BAB II TEKNIK PENGINTEGRALAN-1.docx

BAB IITEKNIK PENGINTEGRALAN

2.1. Pengertian Dalam Integral Tak Tertentu

Konstanta Pangkat :

1. 2. Eksponen3. u du = eu + C, dimana e hanya untuk eksponen saja4. u du = + C

Fungsi Trigonometri5. u du = - cos u + C6. u du = sin u + C7. 2 u du = tan u + C8. 2 u du = - cot u + C9. u tan u du = sec u + C10. u cot u du = - cosec u + C11. u du = - ln |cos u| + C12. u du = ln |sin u| + C

Fungsi Aljabar13. 14. = sin-1 + c15. = sec-1 + c

2.1.1 PenggantianContoh :1. Tentukan Penyelesaian ;Misalnya : dx = = du= u du= tan u + c= tan (x2) + c

2. Tentukan Penyelesaian :Misal :

3. Hitung

Penyelesaian :

Misal:

/

= + c

4. Tentukan

Penyelesaian ;

Misal

Tidak ada hukum yang mengharuskan adanya suatu penggantian apabila dapat dilakukan tanpa penggantian, lakukanlah

5. Tentukan

Penyelesaian :

Misal u = tan t

= du = t dt

t dt d (tan t)

2.1.2. Mengubah ubah IntegralContoh :

1. Tentukan

Penyelesaian :

+ cMisal : u = x-3 du = d(x-3) = dx

= + C

2. Tentukan

Penyelesaian :

= - 2x +2 d ( x+1) = dx= x+1] + C

2.2. Penggantian dalam Integral Tentu

Contoh :

1. Tentukan Misal

Penyelesaian :

2. Tentukan

Penyelesaian :

Misal : u

3. Tentukan

Penyelesaian :

Misal :

4. Tentukan

Penyelesaian :

Misal = 1

2.3. Beberapa Integral Trigonometri

x dxJenis 1 :

n Ganjil

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

d(cos x) = - sin x dx Misal : u = cos x

Apabila n positif genap, kita gunakan rumus setengah sudut :

x = x =

n Genap

Contoh :

Penyelesaian :

Penyelesaian :

Jenis 2 :

x x dx

Apabila m atau n ganjil positif sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan sembarang, kita keluarkan sin x atau cos x, dan menggunakan kesamaan

( m atau n ) ganjil

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

Apabila n dan m positif genap, kita gunakan rumus setengah sudut untuk mengurangi derajat integral.

( m dan n ) genap

Contoh :

1. Tentukan : Penyelesaian :Misal : ,

u = 2xdu = 2 dxdx = = =

= Misal v = 4x , dv = 4 dx , dx= d(sin 2x) = 2 cos 2x dx , cos 2x dx = , = = = jika Q = sin 2x , dQ = d(sin 2x)= = ==

Jenis 3

x dx x dx

tan2 x x - 1 dxDalam kasus tangen dipakai

cot2 x x - 1 dxDalam kasus cotangen dipakai

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

Dimana dx

2. Tentukan

Penyelesaian :

d(tan x) =

=

cotm x x dx tanm x x dxJenis 4

Rumus :tan2 x = sec2 x 1cos2 x = cosec2 x 1d (tan x) = sec2 x dxd (cot x) = cosec2 x dxd (sec x) = tan x . sec x dxd (cosec x) = - cosec x cot x

Contoh : ( n genap, m sembarang )

1. Tentukan

Penyelesaian :

=

d(tan x) =

= + c

Contoh : (m ganjil, n sembarang)

2. Tentukan :

Penyelesaian :

=

d(sec x)

Jenis 5

sin mx x dx

cos mx x dx

sin mx x dx

sin mxx dx = (sin(m + n) x) + (sin(m - n) x)

sin mx x dx = - (cos(m + n) x) - (cos(m + n) x)

cos mx x dx = (cos(m + n) x) + (cos(m - n) x)Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

2.4. Penggantian yang Merasionalkan

2.4.1. Integral yang Memuat

Contoh :

1. Tentukan : dx

Penyelesaian :

Misal :

d(u 1 ) = du dx=

2. Tentukan : Penyelesaian :Andaikan : x = u3 + 4 == + + c

3. Tentukan : Penyelesaian :Andaikan :

2.4.2. Integral Yang Mengandung

, dan Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian :1. 2. 3. Maka,1. 2. 3. Jadi :1. 2. 3.

Contoh :1. Tentukan Integral : Penyelesaian :x = a sin t ,

= 1 -

= dx dx = a cos t dt

jika : u = 2t , du = 2 dt , dt = = = == sin 2 t = 2 sin t cos t

Karena Maka (Rumus umum)

Penyelesaian :Andaikan : Jika,

x = 2 sin t,

x tx = 2 sin t sin t =

= 1 = 1 = cot t = = = 2 cos t cos t = Cot t = = = = - cot t t + c

3. Tentukan : Penyelesaian :Andaikan : = 1 +

2.4.3. Melengkapkan menjadi kuadrat

Contoh :1. Tentukan : Penyelesaian :

Andaikan : tan t = maka,

Andaikan : tan t = Maka,

, sec t =

2.5. Pengintegralan Parsial2.5.1 Pengintegralan Parsial BiasaJika pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, kita coba dengan pengeintegralan parsial.

Dx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x)Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) makaMaka :f (x) g (x) = f (x) g'(x) dx + g(x) f ' (x) dx

f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - g(x) f ' (x) dxatau :

Karena:dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dxmaka rumus dapat ditulis :Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

u dv = uv - v du

Pengintegralan Parsial Integral Tentu

Contoh:1. Tentukan x cos x dxPenyelesaian:Misal : u = x , dv = cos x dx , du = dx , =

2. Tentukan Penyelesaian: Misal : u = ln x du = dx dv = dx v = x = u dv = u.v - v du= x ln x - x dxx ln x - x ln x - x = x ln x - x = (e ln e e ) (1 ln 1 1 )= e e + 1 = 13. Tentukan sin-1 x dx Penyelesaian: Misal : u = sin-1 x du = dx diturunkan :1 = cos u du cos u = 1 = cos (sin-1 x ) d (sin-1 x ) 1 = d (sin-1 x ) d (sin-1 x ) = = du u = sin-1 xdx = u dv u = sin-1 x , dv = dx= u.v - v dudu = , v = x= x sin-1 x dx a = 1 x2 , da = -2x dx= x sin-1 x - x ( 1 x2) - dx= x sin-1 x - x (a)- da= x sin-1 x + a- da= x sin-1 x + a + c= x sin-1 x + . a + c= x sin-1 x + ( 1 x2) + cdx = x sin-1 x + + c

2.5.2 Pengintegralan Parsial BerulangContoh :

1. Hitunglah : x2 sin x dx

Penyelesaian :

Misal : u = x2du = 2x dxdv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx

x2 sin x dx = u dv = u.v - v du = -x2 cos x - (-cos x) 2x dx = -x2 cos x + 2x cos x dx a = 2x , db = cos x dx= - + da = 2 dx , b = cos x dx = sin x= -= -= -

2. Tentukan ex sin x dx Penyelesaian: Misa : u = ex du = ex dx dv = sin x dx v = sin x dx = - cos x ex sin x dx = u dv = u. v - v du ex sin x dx = -ex cos x + cos x ex dx= ex cos x + = a = ex , db = cos x dx= da = ex dx , b = cos x dx = sin x= -ex cos x + ex sin x - sin x ex dx ex sin x dx = ex ( sin x cos x ) - ex sin x dx 2 ex sin x dx = ex ( sin x cos x ) + c ex sin x dx = ex ( sin x cos x ) + c

3. Hitunglah sec3 dPenyelesaian : sec3 d = sec sec2 dMisal : u = sec du = sec tan d dv = sec2 d v = sec2 d = tan sec3 d = u dv = u.v - v du = sec tan - tan sec tan d= sec tan - tan2 sec d= sec tan - sec (sec2 - 1 ) d= sec tan - ( sec3 - sec ) d= sec tan - sec3 d + sec d sec3 d = sec tan - sec3 d + ln sec + tan +C2 sec3 d = sec tan +ln sec + tan + C sec3 d = sec tan + ln sec + tan + K

RUMUS REDUKSI f n (x) dx = g (x) + fk (x) dx k < nContoh :

1. Jabarkan suatu rumus reduksi untuk sinn x dx Penyelesaian:

Missal : u = sinn-1 xdu = (n - 1) sinn-2 x cos x dv = sin x dx v = sin dx = - cos x u dv = u.v - v du sinn x dx = - sinn-1 x cos x - ( n 1 ) - sinn-2 x cos x . cos x dx= - sinn-1 x cos x + ( n 1 ) sinn-2 x cos2 x dx cos2 x + sin2 x = 1cos2 x = 1 sin2 x

= - sinn-1 x cos x + ( n 1 ) ( sinn-1 x (1 sin2 x ) ) dx= - sinn-1 x cos x + ( n 1 ) ( sinn-2 x sinnx) dx sinn x dx + (n 1 ) sinn x dx = -sinn-1 x cos x + ( n 1 ) sinn-2 dxn sinn x dx = - sinn-1 x cos x + ( n 1 ) sinn-2 x dx

sinn x dx = + sinn-2 x dx

2. Gunakan rumus reduksi di atas untuk menghitung:

Contoh:

1.

Penyelesaian :

= + = 0 + x dx= x dx = x dx= = = . = . sin4-2 x dx= . . = . . = . . .= . . . =

SOAL :1. x ex dx2. x e3x dx3. x sin 3 x dx4. ln 3x dx5. t sec2 5 t dt6. x dx7. ln x dx8. 23 ln x dx9. x dx10. x dx dx11. x sin3 x dx12. x2 cos x dx13. sin (ln x ) dx14. (lnx)3 dx15. Sebarkan rumus reduksi cos3 x dx dengan menggunakan rumus integral parsial16. Buktikan rumus reduksi : x ex dx = xn ex

2.6 Pengintegralan Fungsi RasionalMenurut definisi suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).2.6.1 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Linier)

a. Faktor linier berbeda

Contoh :

1. Tentukan : dx

Penyelesaian:

= =

5x + 3 = A ( x + 1 ) ( x 3 ) + B x ( x 3 ) + C x ( x + 1 ) Didapat:5x + 3 ) + B ( x2 3x ) + C ( x2 + x ) 5x + 3 = = ( A + B + C ) + x (-2A 3B + C ) + ( -3 A )

( A + B + C ) = 0A + B + C = 0(1)

x (-2A 3B + C ) = 5x-2A 3B + C = 5 (2)

-3 A = 3....(3)A = 1

A + B + C = 0(1)-1 + B + C = 0 B + C = 1..(1a)

-2A 3B + C = 5 (2)-2( - 1) 3B + C = 52 3B + C = 5-3B + C = 5 2 -3B + C = 3(2a)

B + C = 1..(1a)-3B + C = 3 ..(2a)4B = 2 B =

B + C = 1 ...(1a) + C = 1 C = 1 = Maka : , B = , dx = dx= dx= + + d(x+1) = dx , d(x-3) = dx= ln + + = - ln

b. Faktor Linier Berulang.

Contoh :

1. Hitunglah :

Penyelesaian :

= =

.(1) -3A + B = 0 .(2)A= = 1

-3A + B = 0 -3.1 + B = 0-3 + B = 0B = 3

A = 1 B = 3

= dx dx

c. Ada Beberapa Faktor Linier Berbeda Dan Ada Yang Berulang)

Contoh :1. Tentukan: dxPenyelesaian:

= = = A + B (x + 3) (x - 1) + C (x + 3) = A ( x2 - 2x + 1 ) + B ( x2 + 2x 3 ) + C ( x + 3 ) = x2 (A + B ) + x ( -2A + 2B + C ) + ( A 3B + 3C )

x2 (A + B ) = A + B = 3 ..(1)x ( -2A + 2B + C ) = -2A + 2B + C = -8.(2)A 3B + 3C = B ..(3)(2). -2A + 2B + C = -8 3x-6A + 6B + 3C = 24(3).. A - 3B + 3C = 13 1x A 3B + 3C = 13 --7A + 9B = -37..(4)

(4)..-7A + 9B = -371x -7A + 9B = -37(1).. .A + B = 37x 7A + 7B = 21 + 16B = -16 B = B = 1

A + B = 3A + (-1) = 3A = 4A 3B + 3C = 13 4 3 (-1) + 3C = 13 4 + 3 - 3C = 13 - 7 3C = 13 7 = 6 C = 2

Jadi A = 4, B = -1 , C = 2Sehingga: = dx= dx

2.6.2 Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat) a. ( Faktor Kuadrat Yang Berbeda ) Contoh :1. Tentukan: dxPenyelesaian:

= =

6x2 3x + 1 = A ( x2 + 1 ) + ( Bx + C ) (4x + 1 )6x2 3x + 1 = Ax2 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C =

= 6x2(A + 4B) = 6(1) = 3x B + 4C = 3 ..(2)A + C = 1(3)(2). B + 4C = -3 1X B + 4C = -3 (3)..A + C = -1 4X 4A + 4C = -4 - 4A + B = 1.(4)

(2)..B + 4C = - 3 1xB + 4C = - 3(3).A + C = 1 4x4A + 4C = 4 -

B - 4A = -7..(5)

(1)..A + 4B = 61X A + 4B = 6(5).-4A+ B = - 74X-16A+ 4B = - 28 17 A = 34 A = = 2(3)..A + C = 1 2 + C = 1 C = - 1(2)....B + 4C = - 3B + 4 (-1) = -3 B - 4 = - 3 B = - 3 + 4 = 1

Jadi: A = 2 , B = 1 , C = - 1

= dx = dx= dx + x-1 + = 4x+1 + - x + ln + c

B. (Faktor Kuadrat Berulang) Contoh :1. Tentukan: Penyelesaian: = ==

= A ( x4 + 4x2 + 4 ) + (Bx + C )( x3 + 3x2 +2x + 6 ) + (Dx + Ex + 3Dx + 3E)6 15x + 22 = A ( x4 - 4x2 + 4 ) + (Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6 Bx + Cx3 + 3Cx2 +2Cx + 6C) + (Dx 2+ Ex + 3Dx + 3E)

6 15x + 22 = + (4A + 6C +3E) = 0 A + B = 0(1) = 0 3B + C = 0..(2) = 6 = 6(3) = 15x = 15(4)4A + 6C +3E = 22 (5)

(1).. A + B = 0 3x 3A + 3B = 0(2)..C + 3B = 0 1x C + 3B = 0 3A C = 0 3A = C.(6) 4A + 6C + 3E = 22.(5) 4A + 6(3A + 3E) = 22 4A + 18 A + 3E = 22 22A + 3E = 22..(7) 3E = 22 22A = 22 (1-A) E = 22/3 (1-A) = 22/3 22/3 A.(8)4A + 2B + 3C + D = 6.(3)4A + 2B + 3 (3A) + D = 613A + 2B + D = 6(9)6B + 2C + 3D + E = - 15..(4)6B + 2 (3A) + 3D + E = -156B + 6A + 3D + 22/3 22/3 A = - 156B 4/3 A + 3D = - 15 22/3-4/3 + 6B + 3D = - 67/3(10)(9). 13A + 2B + D = 6 3x 39A + 6B + 3D = 18(10) -4/3 + 6B + 3D = -67/3 1x -4/3 A + 6B + 3D = - 67/3 40 1/3 A = = 121/3A = 121/3 A = 1(3A = C)..(6)3 , 1 = C = 3A + B = 0.(1)A = - B1 = - B B = - 14A + 2B + 3C + D = 6..(3)4 , 1 + 2 (- 2) + 3 (3) + D = 64-2 + 9 + D = 6 11 + D = 6 D = -14A + 6D + 3E = 22.(4)4(1) + 6 (3) + 3E = 22 3E = 22 4 18 = 0 E = 0 A = 1, B = -1 , C = 3 , D = -5 , E = 0

= dx= = + + dx u = du = 2x dx dx = = = = du= + c== = dx = + = ln(x+3) - = ln (x+3) ln u + + c= ln (x+3) ln u + 3 ln u + c= ln (x+3) ln + ln + c

2.7. Rangkuman

A. Penggantian Dalam Integral Tak Tentu

Konstanta Pangkat :

1. 2. Eksponen3. u du = eu + C, dimana e hanya untuk eksponen saja4. u du = + C Fungsi Trigonometri5. u du = - cos + C6. u du = sin u + C7. 2 u du = tan u + C8. 2 u du = - cot u + C9. u tan udu = sec u + C10. u cot u du = - cosec + C11. u du = - ln |cos u| + C12. u du = ln |sin u| + CFungsi Aljabar13.14. 15. Contoh :

1. Tentukan

Penyelesaian:

B. Penggantian dalam Integral Tentu

Contoh :

1. Tentukan Misal

Penyelesaian :

C. Beberapa Integral Trigonometri1. Jenis 1 Apabila n ganjil

x dx Apabila n positif genap, maka kita gunakan rumus setengah sudut.n Ganjil

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

Misal : u = cos x

Dimana : Atau :

Maka :

n Genap

Contoh :

Penyelesaian :

2. Jenis 2 Apabila m atau n ganjil positif, sedangkan mempunyai eksponen yang lain bilangan sembarang menggunakan sin x atau cos x, dan menggunakan persamaan = 1

x x dx

Apabila n dan m positif, kita gunakan rumus setengah sudut untuk mengurangi derajat integral.( m atau n ) ganjil

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

( m dan n ) genap

Contoh :

2. Tentukan : Penyelesaian :Missal :

=

u = 2xdu = 2 dxdx = = = = Missal v = 4x , dv = 4 dx , dx= d(sin 2x) = 2 cos 2x dx , cos 2x dx = , = = = jika Q = sin 2x , dQ = d(sin 2x)= = ==

3. Jenis 3

x dx x dx

tan2 x x - 1 dx Dalam kasus tangen dipakai :

Dalam kasus cotangen dipakai :

cot2 x x - 1 dx

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

Dimana dx

4. Jenis 4

x cosecn x dx x secn x dx

Rumus :tan2 x = sec2 x 1cos2 x = cosec2 x 1d (tan x) = sec2 x dxd (cot x) = cosec2 x dxd (sec x) = tan x . sec x dxd (cosec x) = - cosec x cot dx

Contoh : ( n genap, m sembarang )

1. Tentukan

Penyelesaian :

=

d(tan x) =

+ c

Contoh : (m ganjil, n sembarang)

2. Tentukan :

Penyelesaian :

=

d(sec x)

5. Jenis 5

x cosn x dx x cosn x dx x sinn x dx

sinm x x dx = (sin(m + n) x) + (sin(m - n) x)

sinm x x dx = - (cos(m + n) x) - (cos(m + n) x)

cosm x x dx = (cos(m + n) x) + (cos(m - n) x)

Contoh :

1. Tentukan :

Penyelesaian :

D. Penggantian Yang Merasionalkan1. Integral Yang Memuat

Contoh :

1. Tentukan : dx

Penyelesaian :

Misal :

=

2. Integral yang mengandung

Untuk merasionalkan kita gunakan penggantian :4. 5. 6. Maka,4. 5. 6. Jadi :4. 5. 6.

Contoh :1. Tentukan Integral : Penyelesaian :x = a sin t ,

= 1 -

jika : u = 2t , du = 2 dt , dt = = = ==

Karena Maka

E. Pengintegralan Parsial1. Pengintegralan Parsial Biasa

Jika pengintegralan dengan metode penggantian tidak berhasil, kita coba dengan pengintegralan parsial .

Andaikan : u = f (x) dan v = g (x) makaDx f (x) g (x) = f (x) g'(x) + g(x) f ' (x)

Maka :f (x) g (x) = f (x) g'(x) dx + g(x) f ' (x) dxatau: f (x) g'(x) dx = f (x) g (x) - g(x) f ' (x) dx uKarena:dv = g'(x) dx dan du = f ' (x) dxmaka rumus dapat ditulis :

2. Pengintegralan Parsial Integral Tak Tentu

u dv = uv - v du

3. Pengintegralan Parsial Integral Tentu

Contoh :1. Hitunglah : x2 sin x dx

Penyelesaian : Misal :u = x2du = 2x dxdv = sin x dx v = sin x dx = - cos x dx x2 sin x dx = u dv = u.v - v du= -x2 cos x - (-cos x) 2x dx= -x2 cos x + 2x cos x dx

Missal : u = 2x du = 2 dx dv = cos x dx v = cos x dx = sin x

x2 sin x dx = u dv = u.v - v du= -x2 cos x + 2x sin x - 2 sin x dx = -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C

RUMUS REDUKSI

f n (x) dx = g (x) + fk (x) dx dan k n

F. Pengintegralan Fungsi Rasional

Menurut definisi suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom)

1. Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Linier)

a. Faktor Linier Berbeda

Contoh :

1. Tentukan : dx Penyelesaian:

Persamaan di sederhanakan : = dx Lalu di integral

b. Faktor Linier Berulang

Contoh :

2. Hitunglah : Penyelesaian :

Persamaan di sederhanakan : = = Lalu di integralkan

c. Faktor Linier Berbeda Dan Berulang

Contoh :

1. Tentukan: dxPenyelesaian:

Persamaan di sederhanakan : = = Lalu di integralkan

2. Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial (Faktor Kuadrat)

a. Faktor Kuadrat Yang Berbeda

Contoh :

1. Tentukan: dx

Penyelesaian:

Persamaan di sederhanakan := = Lalu di integralkan

2. Faktor Kuadrat Berulang

Contoh :1. Tentukan: Penyelesaian:

Persamaan di seerhanakan : = == Lalu di integralkan

2.8 SoalA. Penggantian dalam integral tak tentu1. 2. dx3. dt4. 5. 6. 7. dx8. 9. 10.

B. Penggantian dalam integral tentu

1. 2. 3.

C. Beberapa Integral Trigonometri

1. : cos2x = 2. : sin2x = 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

D. Penggantian Yang Merasionalkan

1. dx 2. dt3. dx = dx

E. Pengintegralan Parsial

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

F. Pengintegralan Fungsi Rasional

1. dx2. dx3. 4. 5. 6. 7. 8.

Sumber PustakaEdwin J.Purcell.Dale Varberg.1987.Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid1,4.ed.Penerbit Erlangga.Frank Ayres,JR.1972.Kalkulus.2.ed.Penerbit Erlangga.HM. Hasyim Baisumi. Kalkulus. 2.ed. Penerbit Erlangga.KA. Stroud. Matematika untuk Teknik.ed.3 Penerbit Erlangga Jakarta.Moch.Chotimdan Cholid.1983.Matematika untuk Perguruan Tinggi.PT Bina Ilmu,Surabaya.Sri Rejeki,D.P.1999.Integral.1.ed.PT.Rineka Cipta Jakarta.Wardiman.Hitung Integral.Penerbit Hanindita Offset Yogyakarta95

Documents

BAB II TEKNIK PENGINTEGRALAN-1.docx