Upload
rizky-lambas
View
46
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
semangat
Citation preview
TEKNIK PENGINTEGRALAN Metoda Substitusi
Integral Parsial
Integral Fungsi Rasional
Integral Tak Wajar
Universitas Padjadjaran
Bandung
Fakultas MIPA -
UNPAD
Pendahuluan
Operasi turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua aturannya telah diketahui, maka dapat disusun ‘konsep pencarian turunan’. Dalam banyak hal operasi turunan tidak terlalu menuntut keratifitas.
Tidak demikian halnya dengan operasi integral. Seringkali integral yang berbeda menuntut kombinasi tehnik-metoda pengintegralan yang berbeda: pengintegralan lebih merupakan seni.
Banyak masalah dalam engineering yang melibatkan integral dari fungsi yang sangat rumit, sehingga kita memerlukan Tabel Integral.
Beberapa metoda yang sangat esensial adalah :
Metoda Substitusi
Metoda Integral Parsial
Integral Pecahan Parsial (Partial Fraction)
Fakultas MIPA -
UNPAD
1. Integral dengan Subtitusi
Rumus dan Aturan Pengintegralan yang sudah kita kenal sejauh
ini cukup bermanfaat dan penting, namun scope-nya masih
terbatas. Sebagai contoh dengan Aturan Pangkat kita dapat
menyelesaikan . Namun tidak berdaya untuk menyelesaikan
integral yang ‘serupa’ yaitu
Integral dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan teknik
substitusi. Ide dasar metoda substitusi datang dari Aturan Rantai.
Teknik adalah ‘kebalikan’ dari Aturan Rantai.
x dx
2 1 x dx
Fakultas MIPA -
UNPAD
Penjelasan Aturan Substitusi
Misalkan F adalah antiturunan dari f . Jadi, F’(u) = f (u), dan
(1)
Bila u = g(x) sehingga diferensial du = g’(x)dx, diperoleh
Prosedur ini disebut metoda pengintegralan dengan substitusi
atau metoda substitusi. Maka, jika integrand tampak sebagai
komposisi fungsi dikalikan turunan fungsi ‘dalam’nya, maka
disarankan menggunakan metoda ini.
Perhatikan pula bahwa metoda merupakan proses
balikan/inverse dari Aturan Rantai.
( ) ( )f u du F u C
( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x du f u du F u C F g x C
Fakultas MIPA -
UNPAD
Dari manakah ide metoda substitusi ini?
Perhatikan bahwa F(g(x)) adalah antirunan dari
jika F adalah antiturunan dari .
Menurut Aturan Rantai
Teorema
Diberikan fungsi g terturunkan dan F adalah antiturunan dari f .
Jika , maka
( ) '( )f g x g x
'( ) ( )f F u f u
( ) ' ( ) '( ) ( ) '( )d
F g x F g x g x f g x g xdx
( )u g x
( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u C F g x C
Fakultas MIPA -
UNPAD
Menggunakan Tehnik Subtitusi
Contoh -1 : Hitunglah
Misalkan u = (2x+3) dengan du = 2dx. Maka setelah disubtitusikan
Contoh-2: Hitunglah
Misalkan u = 25 – x 2 maka du = - 2x dx atau x dx = - ½ du
Sehingga:
=
21(2 3)x dx
21 21 22 221 1 1(2 3) (2 3)
2 2 22 44
dux dx u u x C
Fakultas MIPA -
UNPAD
Contoh : Tentukan hasil dari
a.
b.
c.
d.
3 4 5x x dx
Fakultas MIPA -
UNPAD
2. Integral Parsial
Bila metoda substitusikan sebenarnya adalah balikan dari
Aturan Rantai, maka metoda integral parsial didasarkan pada
aturan turunan untuk perkalian:
Diberikan u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan
atau
Apabila kedua ruas diintegralkan
Catatan : Diferensial dan
( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )D u x v x u x v x u x v x
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x D u x v x u x v x
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d
u x v x dx u x v x v x u x dx uv v x u x dxdx
'( )dv v x dx '( )du u x dx
Fakultas MIPA -
UNPAD
Teorema Integral Parsial
Jika fungsi-fungsi dan mempunyai turunan,
maka
Sedangkan integral parsial untuk integral tentu adalah
Misalkan
Sehingga
Catatan: pilihlah u dan v sehingga
mudah dihitung
( )u u x ( )v v x
udv uv vdu
( ) ( ) ( ) ( )x bx b x b x b
x a x a x ax audv uv vdu u b v b u a v a vdu
1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ),u u a u b v v a v v b
2 2 1 2
x b x b
x a x audv u v u v vdu
vdu
Fakultas MIPA -
UNPAD
Contoh Hitunglah
Misalkan sehingga dan . Maka
Untuk integral ke dua, misalnya Maka
dan Diperoleh
Dengan demikian
Pindahan pada ruas kiri. Akhirnya diperoleh
cosxe xdx, cos ,xue dv dx xdu e dx sinv x
cos sin sinx x xe xdx e x e xdx
, sin .xw e dv xdx xdw e dx
cos .v x
cos cos cosx x xe xdx e x e xdx
cosxe xdxsin cos
cos2
x xx e x e x
e xdx
Fakultas MIPA -
UNPAD
cos sin cos cosx x x xe xdx e x e x e xdx
Pada contoh di atas, perhatikan bahwa kita dapat
menyelesaikan karena integral tersebut kembali
muncul pada ruas kanan.
Contoh Hitunglah
Misalkan sehingga , maka
Latihan: Tentukan hasil integrasi berikut:
cosxe xdx
2
1ln xdx
ln , ,u x dv dx 1
,du dx v xx
Fakultas MIPA -
UNPAD
2 2 22
11 1 1
1ln ln 2ln 2 2ln 2 1xdx x x x dx dx
x
Latihan Soal
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
dxxx cos2
dxxx sin3
dxxx 4cos2
dxxx 2sin15 2
dxxex
sin
dxxe x
2cos2
dxex x
233
dxxx 12
3. Integral Fungsi Rasional
Metoda Pecahan Parsial
Metoda pecahan parsial adalah tehnik untuk mengintegralkan
fungsi-fungsi rasional, yaitu fungsi-fungsi berbentuk
Ide dasar adalah metoda ini adalah menuliskan fungsi rasional
sebagai jumlah dari fungsi pecahan yang lebih sederhana.
Contoh Tentukan
Perhatikan bahwa
( )( ) , ( ) ( )
( )
p xR x p x dan q x adalah polinomial
q x
2
5 1
1
xdx
x
2
5 1 5 1
1 ( 1)( 1) 1 1
x x A B
x x x x x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Langkah berikutnya adalah menentukan koefisien A dan B .
Ini dilakukan dengan mengalikan kedua ruas dengan
sehingga
Maka haruslah dan . Dengan menyelesaikan
sistem persamaan ini diperoleh A = 2 dan B = 3
( 1)( 1)x x
5 1 ( 1) ( 1) ( ) ( )x A x B x A B x A B
5A B 1A B
2
2 3
5 1 2 3 2 3
1 1 1 1 1
( 1) ( 3)2 3 2ln 1 3ln 1
1 1
ln 1 1
xdx dx dx dx
x x x x x
d x d xdx x x
x x
x x C
Fakultas MIPA -
UNPAD
Contoh selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan , sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
yang penyelesaiannya adalah A = 1/4, B = -1 4, C= 3/2. Maka,
3 2
1
4 4
xdx
x x x
3 2 2 2 2
1 1 1
4 4 ( 4 4) ( 2) 2 ( 2)
x x x A B C
x x x x x x x x x x x
2( 2)x x 2
2
( 1) ( 2) ( 2)
1 ( ) ( 4 2 ) 4
x A x Bx x Cx
x A B x A B C x A
0, 4 2 1, 4 1A B A B C A
3 2 2
1 1 1 3
4 4 4 4 2 2 ( 2)
x dx dx dxdx
x x x x x x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Dua integral terakhir diselesaikan dengan substitusi u = x – 2.
Contoh Tentukanlah
Setelah kedua ruas dikalikan dengan penyebut. maka diperoleh
Kesamaan kedua polinomial berarti koefisiean-koefisien harus
sama. Maka 2 = A + B ,1 = C , -1 = 4A . Penyelesaian sistem
persamaan ini adalah
2
1 1 ( 2) 3 ( 2)ln
4 4 2 2 ( 2)
1 1 3 1ln ln 2
4 4 2 2
d x d xx
x x
x xx
2
3
2 1
4
x xdx
x x
2 2
3 2 2
2 1 2 1
4 ( 4) 4
x x x x A Bx C
x x x x x x
2 2 22 1 ( 4) ( ) ( ) 4x x A x Bx C x A B x Cx A
Fakultas MIPA -
UNPAD
Apabila digunakan pada integral di atas, kita peroleh
Untuk integral kedua, gunakan substitusi sehingga
Jadi,
1/ 4, 9/ 4, 1A B C
2 2
3 2
2 2
1
2
2 1 1 1 9 4
4 4 4 4
1 9ln
4 4 4 4
1 9 1ln tan
4 4 4 2 2
x x dx xdx dx
x x x x
xdx dxx
x x
xdx xx
x
2 4w x 2dw xdx
2
2 2
1 2 1 1ln 4
4 2 4 2 2
dx xdx dwx
x x x
22 1
3
2 1 1 9 1ln ln 4 tan
4 4 8 2 2
x x xdx x x C
x x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Contoh Selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
2 2(1 )( 1)
xdx
x x
2
2 2 2 2 2, 1
(1 )( 1) 1 1 ( 1)
x A Bx C Dx Ex irreducible
x x x x x
2 2(1 )( 1)x x
2 2 2
4 3 2
( 1) ( )(1 )( 1) ( )(1 )
( ) ( ) (2 ) ( ) ( )
x A x Bx C x x Dx E x
x A B x B C x A B C D x B C D E x A E C
0, 0, 2 0, 1, 0A B B C A B C D B C D A C E
Fakultas MIPA -
UNPAD
Penyelesaiannya adalah A = B = C = 1/4, D = 1/2,
E = -1/2. Maka,
Substitusi dan maka
2 2 2 2 2
1 1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) 4 1 4 1 2 ( 1)
x dx x dx x dxdx
x x x x x
1u x 2 1,v x , 2 .du dx dv xdx
2 2
2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 ( 1) 1 1 1
4 1 4 1 4 4 2 1
1 1 1ln 1 ln 1 tan
4 8 4
1 ( 1) 1 1 1 1 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 ( 1)
1 1
4( 1) 2 ( 1)
dx x dx du dv dx
x x u v x
x x x
x dx xdx dx dv dx
x x x v x
dx
x x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Untuk menyelesaikan integral terakhir, misalkan
dan
2tan , sec ,x dx d 2 2 21 tan 1 sec .x
22
2 2 2
2 21 1
1
2
sec 1 sin 2cos (1 cos2 )
4 (sec ) 2 2 4
2 1 1 1tan 2sin cos tan
2 4 2 4
tan
2 2( 1)
dx dd d
x
x x xx x
x x
x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Jadi,
2 1
2 2
1
2 2
2
2
1 1 1ln 1 ln 1 tan
(1 )( 1) 4 8 4
1 1 tan
4( 1) 2 2 2( 1)
1 1 1 1ln 1 ln 1
4 8 4 ( 1)
xdx x x x
x x
x xC
x x
xx x C
x
Fakultas MIPA -
UNPAD
Tentukan hasil integrasi berikut:
5. Integral Tak Wajar
Kalkulus 2-unpad
5. Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah
Riemann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu : b
a
dxxf )(
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f (x)) kontinu pada selang pengintegralan
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka
integral itu disebut integral tak wajar.
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga.
b. Integral tak wajar dengan integran tak kontinu.
Kalkulus 2-unpad
a. Integral Tak Wajar karena Batas Pengintegralan Tak Hingga
Definisi :
b
a
b
adxxfdxxf )(lim)(
b
aab
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, maka integral tak wajar
disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen.
(i)
(ii)
(iii)
c
c
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
b
cb
c
aadx)x(flimdx)x(flim
c
dx)x(f
c
dx)x(f
dx)x(fJika dan konvergen, maka konvergen.
12
1lim
2 bex
b
Kalkulus 2-unpad
Contoh: Periksa kekonvergenan ITW
0
2
dxxe xdxxxe
1
2a. b. c.
Jawab :
dxxedxxxeb
x
b
1
2
lim
1
2a.
2
2
1
2
1lim a
ae
Jadi integral tak wajar
b.
ae x
a
0
2
1lim
2
dxxedxxxea
x
a
0
2
lim0 2
12
2
1lim eeb
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke -1/2.
2
1
dxxxe
1
2divergen.
0
2
dxxe x
Kalkulus 2-unpad
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Kontinu
(i) Integran Tak Kontinu di Ujung Selang
Jika f kontinu pada [a,b) dan maka
)x(flimbx
s
abs
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika f kontinu pada (a,b] dan maka
)x(flimax
b
tat
b
a
dxxfdxxf )(lim)(
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan
konvergen, sebaliknya dikatakan divergen.
Kalkulus 2-unpad
(ii) Integran Tak Kontinu di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
)(lim xfcx
,maka
b
c
dxxfc
a
dxxfb
a
dxxf )()()(
b
t
dxxfs
a ct
dxxf
cs
)(lim)(lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar b
a
dxxf )(
konvergen.
Kalkulus 2-unpad
Contoh: Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dxx
xln
Jawab :
x
xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan
x
xlnlim
x 0maka
1
0
1
0
lnlim
ln
tt
dxx
xdx
x
x
tx
t
1)(ln
2
1lim 2
0
2
0)(ln0
2
1lim tt
divergen. Jadi integral tak wajar 1
0
lndx
x
x
Kalkulus 2-unpad
dxx
x
2
01
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab :
Fungsi diskontinu di x=1 , x
xxf
1)(
2
1
1
0
2
0111
dxx
xdx
x
xdx
x
x
s
tts
dxx
xdx
x
x
0
2
11 1lim
1lim
0|1|lnlim1
sss
ss
ssxxdx
x
x
0
011|1|lnlim
1lim
Karena
maka integral tak wajar divergen.
x
x
x
x
xx 1limdan
1lim
11
Kalkulus 2-unpad
Integral tak wajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis di atas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan
integran diskontinu pada batas pengintegralan, seperti contoh
berikut.
Contoh: Periksa kekonvergenan integral tak wajar
0 1dx
x
x
Jawab :
Integral di atas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga
sehingga
0 1dx
x
x
1
0
2
1 2111
dxx
xdx
x
xdx
x
x
x
xxf
1)( diskontinu di x = 1,
x
x
x
x
xx 1limdan
1lim
11
Kalkulus 2-unpad
b
btt
s
s
dxx
xdx
x
xdx
x
x
2
2
101 111limlimlim
Karena
0111 10
011
|s|lnslim|x|lnxlimdxx
xlim
s
ss
ss
Maka integral tak wajar divergen .
0 1dx
x
x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
024 x
dx
04 dxxe
1
1x
dx
1
0 21 x
dx1. 2. 3. 4.
222 )1( x
dxx5.
22)(ln
.6xx
dx
3
329
.7x
dxx