23

BAB IV

KONSTRUKSI METRIK EINSTEIN SELFDUAL PADA

MANIFOLD BERDIMENSI-4

4.1 Struktur Selfdual dengan Simetri Torus

Dalam 4-dimensi, untuk mengatakan bahwa sebuah manifold adalah

quaternionic Kähler adalah ekivalen dengan mengatakan bahwa manifold itu

adalah Einstein dengan selfdual Weyl tensor [2]. Untuk alasan inilah kita perlu

mengklasifikasikan suatu struktur selfdual dengan dua isometri commuting pada

. Syarat isometri dan selfdual adalah sebuah keharusan dan akibatnya

semua deskripsi akan dibuat dalam bentuk kombinasi linear dari persamaan

differensial.

Untuk sebuah ruang Euclidean pada dimensi empat, grup rotasi

isomorphic dengan dan akhirnya Weyl tensor akan

berdekomposisi menjadi dimana komponen berkorespondensi

dengan satu dari grup . Dengan definisi adalah bagian dari Riemann

tensor yang bersifat conformally invariant, hal ini berarti bahwa tidak berubah

terhadap transformasi . Sebuah struktur konformal didefinisikan

sebagai sebuah kumpulan metric yang diperoleh dari dengan transformasi

konformal. Jika untuk suatu maka dikatakan selfdual dan

akibatnya, adalah sebuah struktur selfdual.

24

Sekarang marilah kita tinjau ruang dengan dua isometri

commuting. Manifold akhirnya akan berbentuk dengan N adalah

permukaan Riemann, dan adalah flat torus berdimensi dua.

Kita akan menotasikan sebagai sudut yang memparameterisasi . Tinjau

struktur pada dengan mengambil bentuk

(4.1)

indeks berhuruf latin berkorespondensi dengan vektor pada dan indeks

berhuruf Yunani berkorespondensi dengan vektor pada . Baik dan

diasumsikan tidak bergantung dari .

Dengan teorema Gauss terdapat transformasi yang mereduksi

metric menjadi

(4.2)

definisikan basis sehingga

(4.3)

terdapat sebuah transformasi linear yang menghubungkan basis

dengan , yaitu , dan yang

akan kita tulis sebagai

(4.4)

dengan menghitung ,yaitu

(4.5)

25

(4.6)

akan didapat:

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

karena , didapat

karena , yaitu , akan didapat

(4.13)

akan didapat bahwa dapat ditulis sebagai

(4.14)

didapat

26

(4.15)

dengan mengalikan pada persamaan

4.1.15 memberikan proposisi berikut [3]

Proposisi 4.1.1 Suatu selfdual metric dengan dua commuting killing vectors

dan pada adalah conformal dengan selfdual metric

dengan bentuk

dimana fungsi memenuhi

(4.16)

(4.17)

Harus digarisbawahi bahwa syarat mengimplikasikan

dan untuk suatu fungsi potensial . Kemudian syarat

mengimplikasikan . Sedangkan kalau

ditulis dalam bentuk fungsi potensial [6], syarat akan

memberikan dan . Kemudian syarat

mengimplikasikan , akhirnya akan didapatkan hubungan

dan .

27

4.2 Struktur Toda

Bagian ini akan menunjukkan beberapa hasil yang penting untuk

menemukan Einstein metric di dalam Joyce metric . Tetapi sebelumnya akan

disebutkan terlebih dahulu beberapa sifat penting mengenai struktur Einstein-

Weyl. Struktur Einstein-Weyl adalah generalisasi dari persamaan Einstein. Dari

[2] didapat bahwa struktur Einstein-Weyl 3-dimensi adalah struktur yang

dikarakterisasi oleh dan sebuah connection , yang diberikan oleh

dimana fungsi memenuhi persamaan Toda

(4.18)

Dengan hasil ini, kita mendapatkan proposisi berikut [4]:

Proposisi 4.2.1 Misalkan terdapat Einstein-Weyl structure pada .

Maka metric 4-dimensional

(4.19)

adalah selfdual dengan satu Killing vector jika pasangan fungsi

memenuhi persamaan

(4.20)

dimana adalah Hodge star dan .

28

Dari formula dan fakta bahwa akan

didapat

maka syarat supaya eksis adalah

(4.21)

Dan dengan mengalikan proposisi 4.2.1 dengan akan menghasilkan proposisi

berikut [5]

Proposisi 4.2.2 Sebarang selfdual Einstein metric pada terdapat

sistem koordinat dimana mengambil bentuk

(4.22)

Fungsi bebas dari variabel dan memenuhi syarat

(4.23)

(4.24)

(4.25)

Dapat dilihat dengan mudah bahwa jika kondisi tidak diikutsertakan

maka proposisi 4.2.2 adalah proposisi 4.2.1 dengan mengalikan . Maka

adalah syarat untuk mendapatkan Einstein metric. Jadi untuk

memperoleh Einstein metric di dalam Joyce metric adalah mereduksi Joyce metric

menjadi bentuk dan menerapkan syarat .

29

Hal yang pertama perlu dilakukan adalah menemukan sistem koordinat

baru supaya metric yang diekspresikan dalam dapat

diekspresikan dalam bentuk

(4.26)

untuk melakukannya pertama-tama kita bisa menuliskan persamaan pada

proposisi 4.1.1 dalam bentuk

Dengan mengalikan persamaan di atas dengan akan didapatkan

dengan mengambil kita dapatkan

(4.27)

(4.28)

Faktor dapat dihitung dengan , dan adalah

(4.29)

Langkah selanjutnya adalah mencari sistem koordinat sehingga

persamaan berbentuk

30

, hubungan memberikan dan

akhirnya akan memberikan . Differensial dari adalah

(4.30)

dan dapat dengan mudah dicek bahwa

akhirnya didapat , dengan membandingkannya

dengan didapat , , , dan .

4.3 Metrik Einstein Selfdual pada 4 Dimensi

Sekarang semua yang diperlukan untuk menemukan Einstein metric di

dalam Joyce metric telah siap. Untuk menemukan Einstein metric, cukup

dengan menerapkan syarat Einstein pada metric pada proposisi

4.1.1., dan akan menghasilkan Calderbank-Pedersen metric [1], dari subbab

sebelumnya telah didapatkan bahwa dan dari hubungan

akan didapatkan

(4.31)

Dari subbab 4.2 didapat dan dari formula

menghasilkan , jadi didapat

dan dengan . Fungsi ditentukan dengan

menerapkan syarat pada proposisi 4.1.1, hasilnya adalah

31

dan . Jadi metric adalah Einstein jika dan hanya

jika

(4.32)

(4.33)

Dengan mendefinisikan akan didapatkan bahwa

(4.34)

(4.35)

dengan menerapkan syarat didapat

(4.36)

(4.37)

(4.38)

(4.39)

(4.40)

dengan mengalikan kedua ruas dengan akhirnya akan didapat bahwa

. Kemudian dengan memasukkan , ,

32

, dan yang ditulis dalam ke metric

akan menghasilkan proposisi berikut [1]

Teorema 4.3.1 Misalkan adalah solusi dari persamaan differensial

linear

dalam suatu himpunan buka dari ruang , dan misalkan metric

diberikan oleh

dimana dan . Maka pada suatu himpunan buka

dimana , g adalah selfdual Einstein metric dengan scalar

curvature positif, sebaliknya pada himpunan buka dimana

, -g adalah selfdual Einstein metric dengan scalar

curvature negatif.

33

Bukti teorema 4.3.1 Metric adalah

, sehingga metric

adalah

34

sedangkan suku dapat dijabarkan sebagai

berikut

35

36

dengan mendefinisikan dan maka akan

didapatkan

sehingga didapat

37

dan akhirnya dengan mengalikan dengan akan didapatkan

yang merupakan metrik Einstein pada teorema 4.3.1