PENGENALAN

GEOMETRI AFFINE

Presented By :M. Badrul Mutammam (093174016)Yuanita Nur R (093174019)Siti Khomariyah (093174052)

Aksioma 4.1Definisi 4.3Teorema 4.5 dan 4.6

PENGENALAN GEOMETRI AFFINEJanos Bolyai dilahirkan pada tanggal 15 Desember 1802 di Koloszvar, sekarang Cluj, bagian dari Romania Transylvania. Orang tua dari Janos Bolyai adalah Farkas Wolfgang Bolyai dan Zsuzsanna Benko. Ayahnya Farkas Bolyai mempunyai pekerjaan di Perguruan Tinggi Calvinist sebagai pengajar Matematika, Ilmu Fisika dan Ilmu Kimia.Dasar dari Geometri Affine adalah Geometri Terurut. Bidang Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut. Pengertian pangkalnya sama yaitu titik dan relasi keantaraan.

AKSIOMA-AKSIOMA PADA GEOMETRI AFFINEAksioma 4.1 Ada paling sedikit dua titikAksioma 4.2 Jika ABC suatu segitiga dan [B C D] dan [C E A], maka pada garis DE, ada suatu titik F yang memenuhi [A F B].Aksioma 4.3 (Dalam ruang dimensi dua) Semua titik ada dalam satu bidang.

Aksioma 4.4 Untuk setiap partisi dari semua titil pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong, sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik hi,punan lainnya.

Aksioma 4.5 Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A ada paling banyak satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r.

Aksioma 4.6 Jika A, A, B, B, C, C, O adalah 7 buah titik berlainan sedemikian hingga AA, BB, CC adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB// AB, BC//BC, maka CA//CA.

KESEJAJARAN DALAM GEOMETRI AFFINEKesejajaran dalam Geometri Affine ini adalah suatu relasi ekuivalensi. Jadi memenuhi sifat-sifat :Refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan garis a sendiri.Simetrik, yaitu jika garis a sejajar dengan garis b, maka garis b sejajar dengan garis a.Transitif, yaitu jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c.

Teorema 4.1Jika ABC dan ABC adalah dua segitiga dengan titik sudut yang berlainan, diletakkan sedemikian hingga BC//BC, CA//CA dan AB//AB. maka ketiga garis AA, BB dan CC adalah berpotongan pada satu titik(konkuren) atau sejajar.Diketahui: BC//BC, CA//CA, AB//ABAkan dibuktikan: AA, BB dan CC berpotongan pada satu titik atau sejajar

Pembuktian Teorema 4.1Bukti: Jika ketiga garis AA, BB dan CC tidak semuanya sejajar, dua diantaranya tentu berpotongan misalnya AA dan BB berpotongan di O dan OC memotong BC di C1 Maka didapat AA, BB dan CC1 berpotongan di O dan AB//AB, BC//BC, karena C pada BC maka AC//AC(aksioma 4.6)

CA B C A C1

B

karena AC//AC, maka C1 pada AC, C1 juga pada BC. ABC suatu segitiga.maka haruslah C1 berimpit dengan C. Jadi AA, BB dan CC tidak semuanya sejajar

CA B C A

B

Teorema 4.2Jika A, A, B, B, C, C adalah 6 titik berlainan pada 3 garis sejajar berlainan AA, BB, CC diletakkan sedemikian hingga garis AB sejajar dengan AB. BC sejajar dengan BC, maka CA juga sejajar dengan CADiketahui: AA//BB//CC AB//AB dan BC//BCAkan dibuktikan: CA//CA

Bukti:Melalui A dilukis AC // AC, sehingga C terletak pada BC. Maka AB//AB dan BC//BC dan AC//AC. Jadi AA//BB//CC (teorema 4.1).Oleh karena itu C terletak pada CC, C juga terletak pada BC.

Pembuktian Teorema 4.2B C

A B C

A

Karena garis-garis BB dan CC berlainan, maka tidak mungkin B terletak pada CC. Jadi dari C pada CC dan C pada BC dapat disimpulkan bahwa C berimpit dengan C dengan demikian CA sejajar dengan CA

A C B A C B

Definisi 4.1Empat titik A,B, C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajargenjang jika AB sejajar DC dan BC sejajar AD.A, B, C, dan D adalah titik sudutnya. Segmen-segmen AB, BC, CD, dan DA adalah sisi-sisinya dan segmen-segmen AC dan BD diagonal-diagonalnya. Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC, maka diagonal-diagonal berpotongan di suatu titik yang disebut pusat jajargenjang. D C P

A B

P C

A BPembuktian Teorema 4.3Bukti :Misalkan P sebarang titik pada bidang.Untuk melukis bayangan P yaitu P : Buat garis melalui A // APBuat garis melalui B // BPTitik potong keduanya adalah PMenurut teorema 4.1, maka AB //AB sehinga AA, BB, CC dan PP adalah konkruen atau sejajar, sehingga CP // CP. Jadi transformasi itu betul suatu dilatasi.

P C

A B

Namun jika AB berhimpit dengan AB maka transformasi dapat dipandang sebagai AC AC, sehingga dua segmen sejajar menentukan dengan tunggal suatu dilatasi PC C P A A BB

Definisi 4.3Invers dari dilatasi AB AB ialah dilatasi AB AB

Definisi 4.4Yang dimaksud dengan hasil kali dua dilatasi ialah suatu dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain.

Maka hasil kali dua dilatasi AB AB dan AB AB ialah dilatasi AB AB

A B A B A BHasil kali suatu dilatasi dengan inversnya adalah identitas AB AB.

Garis-garis invarian : Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya. Garis-garis invarian ini berpotongan pada satu titik atau sejajar.Suatu Dilatasi dikatakan dilatasi sentral jika garis-garis invarian menghubungkan dua titik berkorespondensi, berpotongan pada satu titik.Titik pusat dilatasi : Titik potong garis-garis invarianJika garis-garis yang menghubungkan dua titik berkorespondensi sejajar, maka dilatasi itu suatu translasi.Dilatasi adalah suatu translasi bila dan hanya bila tidak mempunyai titik invarian.

A A O C C B B A A

C C B B

Teorema 4.5Dilatasi AB AB mentransformir setiap titik Bukti :Jika kita misalkan :garis AA ialah garis agaris BB ialah garis bgaris CC ialah garis cuntuk setiap titik C, titik potong C dengan suatu segmen AB dengan,A pada garis aB pada garis bMaka teorema diatas terbukti! a b c

A B C

A B C

Jika ABC dan ABC merupakan 2 pasangan 3 titik yang segaris pada garis-garis yang berlainan sedemikian hingga ketiga garis AA, BB dan CC mempunyai titik persekutuan O yang tidak terletak antara A dan A, tidak terletak antara B dan B dan juga tidak terletak antara C dan C. dan jika [A C B] maka [A B C]

Bukti :OC terletak di dalam sudut AOB Untuk setiap titik C, titik potong OC dengan suatu segmen AB dengan A pada sinar OA dan B pada OB dipenuhi [A C B]. O

A C B

A C B

Untuk titik-titik A, B, dan C yang terletak pada garis invarian digunakan garis-garis sejajar sebagai pertolongan untuk menunjukkan kebenaran Teorema 4.5 ini.[A C B] [A1 C B1] [A2 C B2] [A C B] a b c a b c A1 A2 A C B A C B

B1 B2

Teorema 4.6Hasil kali 2 translasi A B dan B C adalah translasi A C

Andaikan hasil kali 2 translasi ini bukan suatu translasi, maka tentu ada titik invariannya O.

Titik O diperoleh dari translasi pertama A ( B,

Titik O di bawa ke O karena translasi pertama A ( B.

Titik O dibawa ke O karena titk O titik invarian oleh B ( C,

Tetapi O ( O adalah invers dari O ( O

Jadi hasil kali dua translasi mempunyai titik invarian jika yang satu invers dari yang lain dan hasil kali ini berupa identitas. Jadi hasil kali dua translasi adalah suatu translasi yaitu dilatasi yang tidak ada titik invariannya.

Definisi 4.5Jika 2 titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB BA atau A B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.

Jika C sebarang titik di luar garis AB, maka untuk mencari bayangannya kita hubungkan C dengan A dan B, maka titik potong garis yang melalui B sejajar AC dan yang melalui A sejajar BC ialah D bayangannya dari C. Jika ACBD adalah suatu jajargenjang, setengah putaran itu dapat dinyatakan dengan C D. Garis-garis invarian AB dan CD, diagonal-diagonal suatu jajargenjang, berpotongan dititik O,yang menjadi titik invarian setengah putaran A B, titik O adalah titik tengah segmen AB.

Teorema 4.7Hasil kali 2 setengah putaran A B dan B C adalah translasi A CDiketahui :Akan Dibuktikan :

Bukti :Jika A B tidak sama dengan B C, maka (A B) (B C) tidak mempunyai titik invarian. Jadi berupa translasi.Pembuktian Teorema 4.7

Contoh 4.1 Diketahui (A B) (B C) = (A C), tunjukkan bahwa sebarang C yang ditentukan adalah titik invarian dari suatu setengah putaran, dengan mengganti A = C dalam persamanPenyelesaian :(A B) (B C) = (A C)Jika A = C, maka diperoleh(C B) (B C) = (C C)(C C), berarti C suatu titik invarian

Teorema 4.8 Setengah putaran A B dan C D sama, bila dan hanya bila translasi A D dan C B samaDiketahui : A B = C DAkan Dibuktikan : A D = C B

Pembuktian Teorema 4.8Bukti :A D = (A B) (B D) = (C D) (B D) = (C D) (D B) = C B

Pembuktian Teorema 4.8Diketahui : A D = C BAkan Dibuktikan : A B = C DBukti : A B = (A D) (D B) = (C B) (D B) = (C B) (B D) = C D

Contoh 4.2 Jika ketiga sisi diagonal dari suatu segienam (tidak perlu konveks) mempunyai titik tengah yang sama, maka buktikan sebarang dua sisi berhadapan sejajar.

Pembuktian Contoh 4.2Diketahui : AO = OD, BO = OE, CO = OFDibuktikan : 2 sisi berhadapan adalah sejajarBukti :D A = B ED E = B A (Teorema 4.8)Berarti DE sejajar dengan BAD A = F C D C = F A Jadi DC sejajar dengan FAE B = C FE F = C BJadi EF sejajar dengan CB.Terbukti sisi-sisi yang berhadapan sejajarF E D

O

A B C

Teorema 4.9

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dan sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik sisi yang ketiga

Contoh 4.3Titik titik tengah sisi sisi suatu segiempat sebarang adalah titik titik sudut suatu jajargenjang. Diketahui : ABCD segi empat sebarang P,Q,R dan S berturut-turut titik titik tengah AB,BC,CD dan DAAkan Dibuktikan : PQRS suatu jajargenjang

Pembuktian Contoh 4.3

Bukti : Pandang ACD dan ACBSR // AC (teorema 4.9)PQ // AC (teorema 4.9)Maka SR // PQ (1)Pandang BDA dan BDCPS // BD (teorema 4.9)QR // BD (teorema 4.9)Maka PS // QR ..(2)Berdasarkan (1) & (2) maka PQRS adalah suatu jajargenjang yaitu segiempat yang sisi sisinya berhadapan sejajar

*