Upload
rahmat-hidayat
View
77
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Paper
Citation preview
74
BAB V
POTENSIAL LISTRIK
Sasaran pembelajaran
Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa di harapkan mampu mencari potensial
pada suatu titik yang diakibatkan oleh muatan titik, muatan yang terdistribusi merata
dalam dalam bentuk 1-D, 2-D dan 3-D untuk benda-benda berbentuk simetri (kawat,
plat tipis, bola).
Mampu menurunkan persamaan curl Maxwell (membuktikan bahwa medan listrik
statis adalah medan irrotasional) dan membuktikan hubungan antara medan listrik
dengan potensial listrik, mampu menurunkan persamaan Posisson dan persamaan
Laplace untuk medan listrik statis.
Deskripsi matakuliah
Bab ini membahas mengenai konsep dasar potensial listrik untuk muatan titikn dan
muatan kontinyu, membuktikan persamaan divergensi Maxwell dan curl Maxwell,
persamaan Posisson dan persamaan Laplace untuk medan listrik statis.
MODUL IV
POTENSIAL LISTRIK
4.1 PENDAHULUAN
Energi potensial gravitasi menyatakan bahwa jika sebuah massa berada pada
ketinggian h akan memiliki energi potensial sebesar mgh. Tetapi bila massa
tersebut bergerak dari tempat yang lebih tinggi ke tempat yang lebih rendah dalam
medan gravitasi bumi, maka akan kehilangan energi potensial. Peristiwa ini
dikatakan bahwa medan gravitasi melakukan kerja pada benda tersebut, sehingga
benda tersebut mengalami percepatan gravitasi bumi karena arah gerak benda
searah dengan arah medan gravitasi bumi (Rao, N.N., 1974).
Tetapi lain halnya bila massa tersebut digerakkan dari tempat yang lebih rendah
ke tempat yang lebih tinggi dalam medan gravitasi bumi, maka dibutuhkan usaha
untuk memindahkan massa tersebut dalam medan gravitasi bumi (medan gravitasi
bumi arahnya selalu menuju pusat bumi) karena dibutuhkan gaya luar yang
melawan arah gaya gravitasi bumi.
75
4.2. BEDA POTENSIAL LISTRIK
Analogi dalam medan listrik statis, andaikan sebuah muatan uji q bergerak di
dalam medan listrik E, jika arah gerak muatan uji searah dengan arah medan listrik,
maka muatan uji tersebut mendapat gaya sebesar qE, sehingga muatan uji
mengalami percepatan dalam medan listrik yang diakibatkan muatan titik tersebut.
Akan tetapi jika sebuah muatan uji q bergerak dalam medan listrik E yang
dihasilkan oleh muatan sumber yang ditempatkan pada pusat koordinat melawan
arah medan listrik E, maka diperlukan usaha W untuk memindahkan muatan uji
tersebut dalam medan listrik dari titik a ke titik b seperti pada gambar (4.1).
Gambar 4.1. Sebuah muatan uji q digerakkan dalam medan listrik E yang
dihasilkan oleh muatan q terletak pada pusat koordinat dari titik a ke
titik b.
Besarnya usaha/kerja yang dilakukan untuk memindahkan muatan uji dari titik a
ke titik b dalam medan listrik melalui lintasan dl dengan arah melawan medan
yang dihasilkan oleh muatan q yang berada pada pusat koordinat, harus
menyediakan energi sebesar :
lElF dqddW ' (4.1)
dengan,
dW adalah perubahan usaha/kerja (Joule), F adalah gaya Coulomb (N), q adalah
muatan yang menghasilkan medan listrik statis (C), E adalah medan listrik statis
(N/C) dan dl adalah elemen lintasan (m). Atau dapat ditulis sebagai
cos'EdlqdW , dan adalah sudut antara medan E dengan dl. Jadi kerja
yang diperlukan untuk memindahkan dari titik a ke titik b adalah :
76
b
a
ab dqW lE' (4.2)
Besarnya usaha dibagi dengan besarnya muatan uji dikenal sebagai beda
potensial listrik antara titik a dan b, sehingga:
(4.3)
Dengan,
Vab adalah beda potensial dari titik a ke titik b
kjil dzdydxd (dalam koordinat kartesian)
krl dzrddrd (dalam koordinat silinder)
rl drrddrd sin (dalam koordinat bola)
Satuan dari beda potensial adalah Newton meter/coulomb atau Joule/Coulomb,
secara umum dikenal dengan nama volt.
Contoh Soal 1 (Rao, N.N., 1974) :
Dalam koordinat kartesian, intensitas medan listrik dinyatakan dengan persamaan:
kjiE xyzxyz
Carilah beda potensial antara titik A(0,22.7,99) dan titik B(1,1,1).
Penyelesaian :
Dalam koordinat kartesian, kjil dzdydxd , sehingga :
kjikjilE dzdydxxyzxyzdV
B
A
B
A
AB
BA
B
A
B
A
AB xyzxyzdxydzzxdyyzdxV ( )
Selama Edl adalah turunan total dari fungsi x, y, z, bukan suatu lintasan khusus
untuk integral antara dua titik tersebut, sehingga VAB hanya bergantung pada
koordinat titik A dan B. Jadi diperoleh potensial antara titik A dan titik B adalah :
b
a
abab d
q
WV lE
'
77
11
99,7
1
7,22
1
0 xyzxyzVB
AAB
Jika suatu muatan titik q terletak di pusat koordinat, kemudian ditinjau pada suatu
titik P berjarak r dari pusat koordinat, maka medan listrik yang dihasilkan oleh
muatan tersebut di titik P pada jarak r tersebut sebesar :
rE2
04
1)(
r
qrP
, sehingga beda potensial antara titik a dan Titik b yang
diletakkan dalam medan listrik statis dengan jarak masing-masing dari pusat
medan ketitik tersebut adalah ra dan rb dapat dihitung untuk setiap lintasan.
Panjang elemen garis vektor dl dalam koordinat bola adalah :
rl drrddrd sin (4.4)
Dengan menggunakan persamaan (4.3), diperoleh :
rrlE
drrddrr
qdV
b
a
b
a
ab sin4
12
0
b
r
rr ar
q
r
qdr
r
qb
a00
2
0 444
1
(4.5)
Persamaan (4.5) menyatakan bahwa perbedaan potensial antara dua titik yang
terlatak dalam medan listrik akibat muatan q hanya bergantung pada jarak dari
muatan ke titik tersebut dan tidak bergantung pada lintasan dari titik a ke titik b.
Sehingga dapat dikatakan bahwa potensial di titik a adalah Va dan potensial di
titik b adalah Vb, jadi persamaan (4.4) menjadi :
a
ar
qV
04 (4.6)
b
br
qV
04 (4.7)
Ruas kanan persamaan (4.4) dapat ditambahkan dengan suatu konstanta
sembarang yaitu C tanpa mengubah nilainya, secara matematis ditulis sebagai :
C
r
qC
r
qV
ba
ab
00 44 (4.8)
78
Sehingga,
Cr
qV
a
a 04
(4.9)
Cr
qV
b
b 04
(4.10)
Jika 004 r
qC
, dengan 0r adalah konstan, maka persamaan (4.8) dan (4.9)
menjadi :
000 44 r
q
r
qV
A
a
(4.11a)
000 44 r
q
r
qV
B
b
(4.11b)
Bandingkan persamaan (4.11a) dengan persamaan (4.5), yang menyatakan
bahwa Va adalah potensial antara titik a dan titik lain yang ditempatkan pada
jarak 0r dari muatan titik, yang disebut dengan titik referensi. Sehingga potensial
di setiap titik dalam medan listrik adalah beda potensial antara titik tersebut
dengan titik referensi sembarang. Tetapi, apakah potensial di titik referensi
tersebut ? untuk menjawab pertanyaan ini yaitu dengan mensubsitusi 0rra pada
persamaan (4.11a) atau 0rrb , sehingga keduanya sama dengan nol. Jadi
potensial pada setiap titik adalah beda potensial pada titik tersebut dengan
potensial di titik referensi sama dengan nol.
Pada kasus muatan titik ini, titik referensi yang sesuai adalah 0r , sehingga :
r
qrV
04 (4.12)
Jadi untuk membawa muatan uji tersebut dari titik takberhingga ke suatu titik
dalam medan listrik pada jarak r dari pusat koordinat atau sebaliknya, maka
potensial pada titik tersebut dapat dinyatakan sebagai :
79
r
r
P ddrV lElE)( (4.13)
Ruas kanan persamaan (4.11) menyatakan medan potensial dari muatan titik.
Yang biasa juga dikenal senagai Potensial Listrik dari muatan titik yang
merupakan medan skalar. Jadi beda potensial antara dua titik yaitu titik a dan
titik b adalah :
b a
ddaVbV0 0
)( lElE
b
a
b
a
dddaVbV lElElE0
0
)( (4.14)
Menurut teorema gradien adalah :
b
a
dVaVbV l)(
Jadi, b
a
b
a
ddV lEl , sehingga hasil integralnya dapat dituliskan
sebagai,
VE (4.15)
Persamaan (4.15) merupakan bentuk differensial dari persamaan (4.13), yang
menyatakan bahwa medan listrik adalah gradien dari potensial skalar.
Bidang permukaan dimana potensial listrik berharga sama di kenal sebagai
permukaan ekipotensial. Permukaan ekipotensial selalu ortogonal dengan garis
medan listrik yang radial kearah luar untuk muatan positif, seperti ditunjukkan
pada gambar 4.2. Hal ini berlaku bukan hanya pada muatan titik tetapi pada
muatan yang terdistribusi merata. Jika suatu muatan uji digerakkan pada suatu
permukaan ekipotensial dari titik ke titik lain pada lintasan tersebut, maka tidak
ada kerja yang dilibatkan.
80
Gambar 4.2. Garis medan (garis tegas) menggambarkan arah medan listrik
sedangkan garis putus-putus adalah ekipotensial.
Jika terdapat banyak muatan titik, maka seperti halnya pada medan listrik pada
potensial listrik juga memenuhi prinsip superposisi untuk menghitung besarnya
potensial di titik P yang diakibatkan oleh semua muatan titik tersebut. Secara
matematis dituliskan sebagai :
(4.16)
Dengan mensubsitusi besarnya medan yang dihasilkan oleh masing-masing
muatan titik tersebut, maka diperoleh persamaan :
n
j j
j
Pr
qV
1 04 (4.17)
Contoh Soal 2.
Carilah potensial listrik di dalam dan di luar kulit bola dengan jari-jari R yang
membawa muatan serba sama pada permukaannya seperti pada gambar 4.3.
Gunakan titik takberhingga sebagai titik referensi (Griffith, D.J., 1999).
Penyelesaian :
P
nP
P
P
dV
dV
lEEE
lE
...21
n
nP
r
q
r
q
r
qV
020
2
10
1
4...
44
Gambar 4.3. Muatan yang terdistribusi merata pada
kulit bola.
81
Dengan menggunakan hukum Gauss, kuat medan di luar bola adalah :
rr
q
4
12
0E
Dengan q adalah total muatan yang terdapat pada kulit bola. Kuat medan listrik
di dalam bola sama dengan nol. Jadi untuk titik di luar bola yaitu r > R adalah :
r
q
r
qdr
r
qdrV
rrr
00
2
0 4
1
4
1
4
1)(
lE
Untuk mencari potensial di dalam bola (r > R), maka integrasi di bagi menjadi
dua bagian yaitu :
R
q
r
qdrdr
r
qrV
rr
R
R
00
2
0 4
10
4
10
4
1)(
Catatan bahwa potensial di dalam bola tidak sama dengan nol, meskipun kuat
medan listriknya sama dengan nol. Potensial konstan di daerah ini, sehingga
0V .
Pada kasus dipol listrik seperti pada gambar 4.3, carilah potensial listrik pada
jarak yang sangat jauh yaitu di titik P dibandingkan dengan jarak antara dipol
yaitu sejauh 2a .
Berdasarkan notasi pada gambar 4.4, maka potensial listrik pada titik P dapat
dituliskan sebagai berikut :
2010 44 r
q
r
qrVP
(4.18)
Untuk r >> d, persamaan (4.16) dapat didekati sebagai,
200 cos4cos4 ar
q
ar
qrVP
Gambar 4.4. Dipol listrik
82
202220 4cos2
cos4
cos2
r
qa
ar
qa
(4.19)
Persamaan (4.17) menjadi benar dalam batas 0d , dengan menganggap
momen dipol qap 2 adalah konstan, sehingga diperoleh medan potensial dari
momen dipol kp p , dituliskan sebagai :
3
0
2
0
2
0 44
4
cos
rr
r
r
prVP
rpp
dengan
r
rr (4.20)
Medan potensial untuk multipol bervariasi yaitu ,..., 5411
rrdari persamaan (4.18),
dicatat bahwa permukaan ekipotensial untuk medan dipol adalah 2/cos r =
kontan, atau sec2r konstan.
4.3. PERSAMAAN CURL MAXWELL UNTUK MEDAN LISTRIK
Andaikan sekarang ditinjau ada dua lintasan yang berbeda berada yaitu ACB
dan ADB ditempatkan dalam daerah dengan medan listrik yang dihasilkan oleh
muatan Q, seperti terlihat pada gambar di bawah ini, maka :
Gambar 4.5. Lintasan tertutup ACBDA berada dalam medan listrik E .
Potensial dari pada lintasan ACB dama dengan potensial pada lintasan ADB,
sehingga dapat ditulus sebagai :
(4.21)
Dengan ,
Persamaan (4.19) dapat diubah menjadi,
ADBACB
dEd llE
rr
Q
4 20E
83
atau ACBDA
d 0lE (4.22)
Jika terdapat beberapa muatan titik atau muatan kontinyu, maka dapat digunakan
prinsip superposisi, sehingga untuk setiap medan listrik statis E secara umum
dapat ditulis sebagai :
(4.23)
Persamaan (4.22) menyatakan bahwa intergral disepanjang lintasan tertutup
sembarang akan sama dengan nol.
Apabila kedua ruas persamaan (4.22) dikalikan dengan muatan uji 'q , maka
diperoleh:
0' ldEq
(4.24)
Persamaan (4.23) menyatakan bahwa kerja kerja yang dilakukan untuk
menggerakkan muatan uji di sepanjang lintasan tertutup dalam pengaruh medan
listrik statis akan sama dengan nol. Pernyataan ini merupakan pernyataan
Hukum Kekekalan Energi dalam elektrostatis. Semua vektor medan yang
memenuhi sifat ini dikenal sebagai medan konservatif.
Dari definisi vektor curl, diperoleh bahwa :
(4.25)
Dengan S adalah luasan yang di batasi oleh lintasan tertutup C dan n adalah
vektok normal luasan. Karena 0lE d , maka persamaan (4.23) menjadi :
0 E (4.26)
Persamaan (4.24) adalah persamaan Curl Maxwell untuk medan listrik statis. Ini
menyatakan bahwa curl dari vektor medan listrik statis dimanapun sama dengan
nol. Semua vektor medan yang memenuhi sifat ini dikenal dengan medan
irrotasional.
0
0
BDAACB
ADBACB
dd
dd
lElE
lElE
0lE d
n
lE
E lim0 S
dC
s
84
Jadi sifat medan listrik statis memenuhi dua persamaan yaitu :
1. 0
E , merupakan persamaan divergensi Maxwell (4.27)
2. 0 E , merupakan persamaan curl Maxwell. (4.28)
4.4. HUBUNGAN ANTARA MEDAN LISTRIK DAN POTENSIAL
Ternyata medan listrik E adalah medan yang mempunyai sifat khusus yaitu curl
dari sebuah vektor sama dengan nol 0E . Ini berarti bahwa medan listrik
statis E merupakan medan vektor yang dapat dinyatakan sebagai gradien dari
suatu medan skalar (Rao,N.N.,1974), jika VE , maka 0 V . Dari
persamaan (4.15), dapat dikatakan bahwa vektor medan listrik statis E dapat
dinyatakan sebagai negatif gradien dari suatu fungsi skalar sembarang misalkan
V , dan dengan mensubsitusi persamaan (4.15) ke dalam persamaan divergensi
Maxwell (4.27) untuk medan listrik statis, diperoleh :
0
)(
V (4.29)
V
adalah Laplacian dari V yang dinotasikan sebagai V2 , sehingga
diperoleh persamaan,
0
2
V (4.30)
Persamaan (4.30) dikenal sebagai persamaan Poisson. Ini merupakan
persamaan differensial yang menghubungkan potensial pada suatu titik dari
suatu rapat muatan dalam suatu volume. Jika rapat muatan dalam daerah
tersebut nol, maka persamaan (4.30), menjadi :
02 V (4.31)
Persamaan (4.31) dikenal sebagai persamaan Laplace dari potensial listrik
statis.
85
4.5. POTENSIAL DISTRIBUSI MUATAN
Namun bagaimana jika sumber muatan bukan muatan titik, tetapi muatan
tersebut terdistribusi kontinyu dalam bentuk tertentu yang simetri berupa garis,
lempengan tipis, atau berupa bongkahan misalkan : silinder dan bola bermuatan
yang memiliki volume tertentu seperti pada kasus medan listrik. Maka potensial
listrik untuk muatan terdistribusi merata tersebut adalah :
1. Potensial oleh muatan berbentuk garis (1 Dimensi) adalah :
C
Pr
dlV
04
1
(4.19)
adalah rapat muatan garis yaitu total muatan persatuan panjang garis dan
ld adalah elemen garis.
2. Potensial oleh muatan berbentuk plat tipis (2 Dimensi) adalah :
C
Pr
dV
A
04
1 (4.32)
adalah rapat muatan luas yaitu total muatan persatuan luas permukaan
dan Ad adalah elemen luasan.
3. Potensial oleh muatan berbentuk bola, silinder ( 3 Dimensi), adalah :
C
Pr
dVV
04
1 (4.33)
adalah rapat muatan volume yaitu total muatan persatuan volume dan dV
adalah elemen volume.
Contoh Soal 3.
Carilah potensial listrik dari muatan yang tersebar merata dalam kulit bola yang
berjari-jari R, seperti pada gambar 4.6, (Griffith, D.J., 1999):
86
Penyelesaian :
Kasusnya sama dengan contoh soal 2, tetapi kasus sekarang harus menggunakan
persamaan (4.20) yaitu :
C
Pr
dV
A
04
1
Dengan menggunakan hukum kosinus dalam trigonometri untuk menyatakan r
dalam koordinat polar dengan sudut , maka diperoleh :
'cos2222 RzzRr dan Ad adalah elemen luasan pada bola yaitu
'''sin2 ddRd A , jadi :
'cos2
'''sin4
22
2
0
RzzR
ddRzVP
''cos2
'sin2
022
2
dRzzR
R
0
22
2
2 )'cos21
(2 RzzRR
R
RzzRRzzRz
R22
2 2222
22 )()(2 zRzRz
R
Untuk titik-titk di luar bola, z lebih besar dari R dan RzzR 2 ; untuk
titik-titik yang ada di dalam bola, zRzR 2 . Sehingga ,
Gambar 4.6. Muatan tersebar merata pada kulit
bola dengan jari-jari R.
87
z
RRzzR
z
RzV
0
2
02
; potensial di luar bola;
002
RzRzR
z
RzV ; potensial di dalam bola.
Jika total muatan pada kulit bola, 24 Rq , zqzV /4
1
0
, atau secara
umum dapat dituliskan sebagai :
r
qzV
04
1
; untuk titik di luar bola,
R
qzV
04
1
; untuk titik di dalam bola.
Soal-soal latihan :
1. Berapa besar potensial listrik pada permukaan inti emas jika jari-jari inti emas 6,6 x
10-15
m dan nomer atomnya Z = 79.
2. Berapakah besarnya potensial di pusat sebuah segiempat kuadratis dari Gambar 9,
jika diketahui q1
= +1 x 10-8
C, q2
= -2 x 10-8
C, q3
= +3 x 10-8
C, q4
= +2 x 10-8
C
dan a = 1 m.
3. Carilah potensial listrik di dalam dan di luar bola pejal dengan jari-jari R dengan
total muatan adalah q. Gunakan titik takberhingga sebagai titik referensi.
Hitunglah gradien dari potensial dalam masing-masing daerah dan periksa
hasilnya apakah benar.
88
4. Gunakan persamaan (4.17) dan (4.33) untuk menghitung besarnya potensial
listrik pada jarak z di atas pusat distribusi muatan seperti pada gambar di bawah
ini. Pada masing-masing kasus gambar (a), (b) dan (c), hitung pula VE
(Griffiths, D.J., 1999).
5. Ujilah bahwa persamaan (4.20) memenuhi persamaan Poisson dengan
menerapkan Laplacian dan gunakan )(41 32 rr
.
6. Buat ringkasan dengan benar.
Umpan Balik
1. Mahasiswa harus menyelesaikan semua yang ada secara benar dan memahami arti
fisis semua parameter yang berkaitan dengan permasalahan
2. Bila hanya mampu menyelesaikam sebagian dari soal yang tersedia (kurang 40%).
Mahasiswa harus mengulang materi bab ini sampai mahasiswa mampu
menyelesaikannya secara keseluruhan dan benar.
Kunci Jawaban.
1. VoltxV 7107,1
2. VoltV 500
3. Lihat Griffiths, D.J., 2004 halaman 28.
4. Griffiths, D.J., 2004.
(a). 2
2
20
2
4
1
dz
qV
(b).
zLzL
xzxxz
dxV
L
L
L
L
22
0
22
022
0
ln4
ln44
1
(a) (b) (c)
89
(c). zzRV 2202
Daftar Bacaan.
1. Griffiths, D.J., 1999, Introduction of Electrodynamics, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey.
2. Griffiths, D.J., 2004. Introduction of Electrodynamics-Solution, 3rd edition, Prentice Hall, New Jersey.
3. Rao, N.N., 1974 Basic Electromagnetics with Application, Prentice Hall of India, New Delhi.