177

BAB V1

RANGKAIAN RC, RL DAN LRC

Tujuan Instruksional

Setelah mempelajari bab ini pembaca diharapkan dapat:

1. Menganalisis karakteristik rangkaian RC menurut analisis analitik.

2. Menganalisis karakteristik rangkaian RC menurut analisis numerik.

3. Menganalisis karakteristik rangkaian RL menurut analisis analitik.

4. Menganalisis karakteristik rangkaian RL menurut analisis numerik.

5. Menganalisis karakteristik rangkaian RLC menurut analisis analitik.

6. Menganalisis karakteristik rangkaian RLC menurut analisis numerik.

7. Menemukan pengaruh nilai increment terhadap ketelitian data numerik

dibandingkan data analitik.

Pendahuluan

Rangkaian RC merupakan rangkaian dasar yang perlu dipahami dalam

menganalisis perilaku rangkaian yang melibatkan resistor dan hambatan.

Pemahaman tentang perilaku rangkaian RC dibutuhkan sebagai dasar mempelajari

perilaku rangkaian lain seperti rangkaian RL dan RLC, selain penggunan aplikasi

rangkaian RLC yang sangat luas, pemahaman osilasi RLC diperlukan ketika akan

mempelajari gelombang elektromagnetik. Karakteristik rangkaian RC biasanya

digambarkan dalam suatu persamaan differensial sehingga pemahaman tentang

teknik solusi differensial mutlak dibutuhkan dalam menganalisis rangkaian RC.

Metode numerik dengan fasilitas tabel dan grafik memberi peluang metode

alternatif penyelesaian persamaan differensial rangkaian RC tanpa harus

memahami solusi penyelesaiannya sehingga karakteristik rangkaian RC dapat

dipahami berdasarkan nilai-nilai tabel karakteristik dan penafsiran grafiknya

178

6.1 Rangkaian RC

Analisis rangkaian arus searah DC biasanya menggunakan arus listrik

yang selalu konstan. Biasanya rangkaian DC memiliki karakteristik tertentu yaitu

arus listrik tetap mengalir pada arah yang sama, namun dengan adanya

penambahan kapasitor menyebabkan arus listrik yang berubah-ubah terhadap

waktu. Secara sederhana, rangkaian RC tersusun atas komponen sumber tegangan,

resistor dan kapasitor seperti gambar berikut.

Gambar 6.1. Rangkaian RC

Gambar 6.1 menunjukkan rangkaian RC. Pada kondisi awal biasanya diasumsikan

bahwa kapasitor belum memiliki muatan. Pada saat saklar dihubungkan ke titik b

maka tidak ada arus listrik yang mengalir. Jika pada waktu t = 0 saklar pada

posisi a maka arus listrik akan mengalir dan kapasitor mulai dimuati muatan

listrik.

6.1.1 Analisis Rangkaian RC dengan Pendekatan Analitik

6.1.1.1 Pengisian Muatan pada Kapasitor

Berdasarkan hukum Kirchhoff maka hubungan antara arus dan tegangan

dalam rangkaian dapat dinyatakan dengan persamaan

𝜀 = 𝑖𝑅 +𝑄

𝐶 …(6.1)

persamaan (6.1) dapat disusun kembali menjadi

𝜀 − 𝑖𝑅 −𝑄

𝐶= 0

berdasarkan definisi arus listrik

𝑖 =𝑑𝑄

𝑑𝑡

maka persamaan (6.1) dapat dituliskan kembali menjadi

179

𝜀 = 𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑄

𝐶 …(6.2)

solusi persamaan (6.2) adalah

𝑄 = 𝐶𝜀 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶 ) …(6.3)

apabila didefinisikan bahwa Q0 = Cε maka persamaan (6.3) dapat dituliskan

menjadi

𝑄 = 𝑄0 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶 ) …(6.4)

Sedangkan arus listrik yang mengalir dalam rangkaian selama terjadi pengisian

muatan adalah

𝐼 =𝑑𝑄

𝑑𝑡=

𝜀

𝑅𝑒−𝑡/𝑅𝐶 …(6.5)

6.1.1.2 Pengosongan Muatan pada Kapasitor

Apabila saklar terhubung dengan titik b maka ε = 0 muatan listrik tidak

lagi dipompakan dari baterai ke kapasitor, akan tetapi sebaliknya kapasitornya

membuang muatan atau terjadi pengosongan muatan. Dengan mengaplikasikan

hukum Kirchhoff, maka arus dan tegangan pada saat terjadi pengosongan muatan

dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑖𝑅 +𝑄

𝐶= 0 …(6.6)

persamaan (6.6) dapat disusun kembali menjadi

𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑄

𝐶= 0 …(6.7)

analog dengan penjelasan di atas, maka solusi umum persamaan (6.7) dapat

dinyatakan dengan persamaan

𝑄 = 𝑄0𝑒−𝑡/𝑅𝐶 …(6.8)

sedangkan arus yang mengalir dalam rangkaian selama terjadi pengosongan

muatan dapat diuraikan dengan penjelasan berikut. Berdasarkan definisi arus

listrik yang menyatakan bahwa

𝑖 =𝑑𝑄

𝑑𝑡

180

maka dengan menurunkan persamaan (6.8) terhadap t akan kita peroleh

persamaan berikut

𝑖 = −𝑄0

𝑅𝐶𝑒−𝑡/𝑅𝐶

tanda minus menunjukkan bahwa arah arus listrik pengosongan berlawanan

dengan arah arus pengisian muatan pada kapasitor. Berdasarkan definisi bahwa

Q0 = Cε, maka arus listrik selama proses pengosongan dapat pula dinyatakan

dengan persamaan

𝑖 = −𝜀

𝑅𝑒−𝑡/𝑅𝐶 …(6.9)

6.1.2 Analisis Rangkaian RC dengan Pendekatan Numerik

6.1.2.1 Pengisian Muatan pada Kapasitor

Berdasarkan hukum Kirchhoff maka hubungan antara arus dan tegangan

dalam rangkaian RC selama terjadi pengisian muatan dapat dinyatakan dengan

persamaan

𝜀 = 𝑖𝑅 +𝑄

𝐶 …(6.10)

persamaan (6.10) dapat disusun kembali menjadi

𝜀 − 𝑖𝑅 −𝑄

𝐶= 0 …(6.11)

berdasarkan definisi arus listrik

𝑖 =𝑑𝑄

𝑑𝑡

maka persamaan (6.11) dapat diuraikan menjadi

𝑑𝑄

𝑑𝑡𝑅 = 𝜀 −

𝑄

𝐶

apabila kedua ruas persamaan di atas dibagi dengan R akan diperoleh

𝑑𝑄

𝑑𝑡=

𝜀

𝑅−

𝑄

𝑅𝐶 …(6.12)

dengan menggunakan definisi turunan, maka arus listrik dapat juga dituliskan

menjadi

𝑑𝑄

𝑑𝑡≈

∆𝑄

∆𝑡

dengan demikian, secara lengkap persamaan (6.12) dapat dituliskan menjadi

181

∆𝑄

∆𝑡=

𝜀

𝑅−

𝑄

𝑅𝐶 …(6.13)

𝑄 𝑡+∆𝑡 −𝑄(𝑡)

∆𝑡=

𝜀

𝑅−

𝑄(𝑡)

𝑅𝐶

𝑄 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑄 𝑡 +𝜀

𝑅 ∆𝑡 −

1

𝑅𝐶𝑄(𝑡)∆𝑡

𝑄 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑄 𝑡 + ∆𝑡(𝜀

𝑅−

1

𝑅𝐶𝑄 𝑡 ) …(6.14)

jika 𝜀

𝑅= 𝐼0 dan

1

𝑅𝐶= 𝜏 maka persamaan (6.14) dapat dituliskan

𝑄𝑖+1 = 𝑄𝑖 + (𝐼𝑜 − 𝜏 𝑄𝑖)∆𝑡 …(6.15)

berdasarkan hukum Ohm, maka besarnya arus listrik yang mengalir dalam

rangkaian dinyatakan dengan persamaan

𝐼𝑖 = 𝑉𝑖− 𝜀

𝑅 …(6.16)

dengan

𝑉𝑖 = 𝑄𝑖

𝐶 …(6.17)

dimana Ii menyatakan besarnya kuat arus pada i, Vi menyatakan beda potensial

pada i dan Qi menyatakan besarnya muatan pada i.

6.1.2.2 Pengosongan Muatan Pada Kapasitor

Berdasarkan hukum Kirchhoff maka persamaan arus dan tegangan dalam

rangkaian selama terjadi pengosongan muatan dapat dituliskan

0 = 𝑖𝑅 +𝑄

𝐶

persamaan di atas dapat disusun kembali menjadi

𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑄

𝐶= 0

𝑑𝑄

𝑑𝑡= −

𝑄

𝑅𝐶 …(6.18)

dengan menggunakan definisi turunan, maka persamaan (6.16) dapat dituliskan

∆𝑄

∆𝑡= −

𝑄

𝑅𝐶 …(6.19)

182

apabila diuraikan dengan teori Euler maka persamaan (6.9) dapat dinyatakan

dengan persamaan

𝑄 𝑡+∆𝑡 −𝑄(𝑡)

∆𝑡= −

𝑄(𝑡)

𝑅𝐶

𝑄𝑖+1 = 𝑄𝑖 −𝑄𝑖

𝑅𝐶 ∆𝑡 …(6.20)

berdasarkan hukum Ohm, maka besarnya arus listrik yang mengalir dalam

rangkaian dinyatakan dengan persamaan

𝐼𝑖 = −𝑉𝑖

𝑅 …(6.21)

dengan

𝑉𝑖 = 𝑄𝑖

𝐶 …(6.22)

Contoh 6.1

Suatu rangkaian RC terdiri atas resistor dengan R = 1000 Ω, C = 8μF dan gaya

gerak listrik 10 V. Analisislah proses pengisian dan pengosongan muatannya

berdasarkan pendekatan analitik dan numeriknya!

Penyelesaian

1. Proses Pengisian

Sebagai langkah awal untuk menyelesaikan soal di atas adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel persamaan pengisian rangkaian RC dalam

Spreadsheet sehingga akan diperoleh tabel berikut.

Tabel 6.1. Variabel-Variabel dalam Pengisian Muatan Kapasitor

Variabel Nilai Satuan

R 1000 ohm

C 0.0008 farad

RC 0.8

τ 1.25

to 0 s

∆t 0.1

Io 0.01 ampere

ε 10 volt

Qo 0.008 C

183

Langkah selanjutnya adalah melakukan komputasi dengan Spreadsheet sehingga

akan diperoleh data-data seperti dalam tabel berikut.

Tabel 6.2. Perbandingan muatan, arus dan tegangan terhadap Waktu dalam

Pengisian Kapasitor dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

t Q_analitik Q_numerik I_analitik I_numerik V_analitik V_ numerik

0 0 0 0.01 0.01 0 0

0.1 0.00094 0.001 0.008825 0.00875 1.175031 1.25

0.2 0.0017696 0.001875 0.007788 0.00765625 2.2119922 2.34375

0.3 0.0025017 0.002640625 0.0068729 0.00669922 3.1271072 3.30078125

0.4 0.0031478 0.003310547 0.0060653 0.00586182 3.9346934 4.138183594

0.5 0.0037179 0.003896729 0.0053526 0.00512909 4.6473857 4.870910645

0.6 0.0042211 0.004409637 0.0047237 0.00448795 5.2763345 5.512046814

0.7 0.0046651 0.004858433 0.0041686 0.00392696 5.8313798 6.073040962

0.8 0.005057 0.005251129 0.0036788 0.00343609 6.3212056 6.563910842

0.9 0.0054028 0.005594738 0.0032465 0.00300658 6.7534753 6.993421987

1 0.005708 0.005895395 0.002865 0.00263076 7.134952 7.369244238

1.1 0.0059773 0.006158471 0.0025284 0.00230191 7.471604 7.698088709

1.2 0.006215 0.006388662 0.0022313 0.00201417 7.7686984 7.98582762

…. … … … … … …

Langkah berikutnya adalah membuat grafik muatan, arus dan beda potensial

kapasitor terhadap waktu dalam Spreadsheet sehingga diperoleh grafik berikut.

184

Grafik 6.1 Hubungan Muatan terhadap Waktu dalam Pengisian Kapasitor

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Grafik 6.2 Hubungan Arus terhadap Waktu dalam Pengisian Kapasitor

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0 5 10 15

Mu

atan

(C

)

Waktu (s)

Q_analitik

Q_numerik

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 5 10

Aru

s (A

)

Waktu (s)

I_analitik

I_numerik

185

Grafik 6.3 Hubungan Tegangan terhadap Waktu dalam Pengisian

Kapasitor dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Berdasarkan tabel 6.2 dan grafik 6.1 dapat disimpulkan bahwa untuk

proses pengisian muatan pada rangkaian RC dengan R = 1000Ω, C = 8μF dan

gaya gerak listrik 10 V dengan nilai Increment waktu ∆t = 0,1 s akan diperoleh

data berikut. Pada saat t = 0,1 s maka muatan listrik menurut solusi analitik adalah

0,00094 C sedangkan menurut solusi numerik besar muatan listriknya adalah

0,001 C dengan demikian perhitungan dengan pendekatan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 6,4%.

Menurut solusi dengan analisis analitik kapasitor mulai penuh pada saat t

= 7,8 s dengan nilai muatan listrik sebesar 0,008 C sedangkan menurut analisis

numerik kapasitor mulai penuh pada saat t = 7,3 s dengan besar muatan listrik

0,008 C. Pada t= 7,8 s muatan listrik menurut analisia analitik adalah 0,008 C

sedangkan pada saat ini menurut analisis analitik kapasitor baru menyebabkan

muatan 0,007991 C dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik

memiliki kesalahan sebesar 0,005%. Berdasarkan hasil ini dapat disimpulkan

bahwa semakin lama kesalahan dalam perhitungan analisis numerik semakin kecil

dan pada saat kapasitor penuh kesalahannya adalah sekitar 0% sehingga seiring

0

2

4

6

8

10

12

0 5 10

Tega

nga

n (

V)

Waktu (s)

V_analitik

V_ numerik

186

bertambahnya waktu dapat dikatakan bahwa data-data analisis numerik semakin

konvergen.

Berdasarkan tabel 6.2 dan grafik 6.2 dapat dijelaskan juga bahwa untuk

proses pengisian muatan pada rangkaian RC dengan R = 1000Ω, C = 8μF dan

gaya gerak listrik 10 V dengan nilai Increment waktu ∆t = 0,1 s akan diperoleh

data berikut. Pada saat t = 0,1 s kuat arus listrik menurut solusi analitik adalah

0.008825 A sedangkan menurut solusi numerik besar kuat arus listriknya adalah

0.00875 A dengan demikian perhitungan dengan pendekatan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 0,85%. Menurut solusi dengan analisis numerik

kapasitor mulai penuh pada saat t = 7,3 s dengan nilai kuat arus listrik sebesar

1.089E-06 A sedangkan pada saat ini menurut analisis numerik besar kuat arus

listrik juga telah mencapai 5.8424E-07 A dengan demikian perhitungan dengan

analisis numerik kesalahannya adalah 46% akan tetapi apabila dilihat berdasarkan

analisis analitik kapasitor mulai penuh pada saat t = 7,8 s dengan besar kuat arus

listrik 2.9966E-07 A sedangkan pada saat ini menurut analisis analitik kapasitor

baru menyebabkan muatan 5.829E-07 A dengan demikian perhitungan dengan

analisis numerik memiliki kesalahan sebesar 48,5%. Berdasarkan hasil ini dapat

disimpulkan bahwa semakin lama kesalahan dalam perhitungan analisis numerik

semakin besar karena seiring bertambahnya waktu dapat data-data analisis

numerik semakin divergen.

Berdasarkan tabel 6.2 dan grafik 6.3 dapat dijelaskan bahwa untuk proses

pengisian muatan pada rangkaian RC dengan R = 1000Ω, C = 8μF dan gaya gerak

listrik 10 V dengan nilai increment waktu ∆t = 0,1 s diperoleh data-data sebagai

berikut. Pada saat t = 0,1 s maka besarnya potensial listrik menurut solusi analitik

adalah 1.175031 V sedangkan menurut solusi numerik besar potensial listrik

adalah 1.25 V dengan demikian perhitungan dengan pendekatan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 6,4%. Menurut solusi dengan analisis numerik kapasitor

mulai penuh pada saat t = 7,3 s dengan nilai potensial listrik sebesar 9.9989109 V

sedangkan pada saat ini menurut analisis analitik besar potensial listrik adalah

9.99941576 V dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik

menyebabkan kesalahannya adalah 0,005% akan tetapi apabila dilihat berdasarkan

187

analisis analitik kapasitor mulai penuh pada saat t = 7,8 s dengan besar potensial

listrik sebesar 9.9994171 V sedangkan pada saat ini menurut analisis numerik

kapasitor memiliki potensial listrik sebesar 9.99970034 V dengan demikian

perhitungan dengan analisis numerik memiliki kesalahan sebesar 0,003%.

Berdasarkan hasil ini dapat disimpulkan bahwa semakin lama kesalahan dalam

perhitungan analisis numerik semakin kecil karena seiring bertambahnya waktu

dapat data-data analisis numerik semakin konvergen.

Pertanyaan 6.1

Berdasarkan contoh 6.1 jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!

1. Bagaimanakah pengaruh nilai increment waktu (∆t) terhadap grafik numerik

(muatan, arus dan tegangan terhadap waktu) jika dibandingkan dengan grafik

analitiknya?

2. Analog dengan soal di atas, jika nilai ∆t divariasikan pada nilai 0,01 s, 0,1 s

dan 3s pada nilai increment (∆t) berapakah grafik numeriknya (muatan, arus

dan tegangan terhadap waktu) menunjukkan bentuk yang hampir sama

dengan grafik dengan pendekatan analitik?

3. Bagaimanakah hubungan nilai increment (∆t) terhadap ketelitian data yang

diperoleh dengan pendekatan numerik?

4. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah apakah waktu

yang dibutuhkan kapasitor dalam rangkaian RC mencapai nilai

kesetimbangan tergantung pada nilai ε yang digunakan?

5. Mengapa pada saat saklar dihubungkan dengan a pada t = 0 besar arusnya

adalah ε/R? Bandingkan jawaban Anda dengan menggunakan pendekatan

analitik dan numerik!

6. Mengapa pada saat saklar dihubungkan dengan a pada t = 0 besar muatannya

saat itu juga tidak naik ke Q = Cε? Bandingkan jawaban Anda dengan

menggunakan pendekatan analitik dan numerik!

188

7. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah faktor apakah

yang mempengaruhi cepat/lambatnya penurunan arus atau tegangan dalam

proses pengisian muatan?

8. Jika C dibuat tetap, dengan menggunakan analisis analitik dan numerik

selidikilah bagaimanakah pengaruh nilai R terhadap cepat/lambatnya

penurunan arus atau tegangan dalam proses pengisian muatan? Apakah

jawaban dengan pendekatan analitik sesuai dengan pendekatan numerik?

Jelaskan!

2. Proses Pengosongan

Langkah-langkah yang perlu dilakukan untuk mengimplementasikan

proses pengosongan muatan dalam kapasitor adalah menentukan variabel-variabel

dalam persamaan pengosongan kapasitor seperti tabel berikut.

Tabel 6.3. Varibel-Variabel dalam Persamaan Pengosongan Kapasitor

Variabel Nilai Satuan

R 1000 Ω

C 0.0008 F

RC 0.8 s

to 0 s

∆t 0.1

Qo 0.008 C

Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi dalam Spreadsheet untuk

menghitung muatan, tegangan dan kuat arus dalam rangkaian pengosongan seperti

tabel berikut.

189

Tabel 6.4 Perbandingan Muatan, Arus dan Tegangan terhadap Waktu dalam

Pengosongan Muatan Kapasitor dengan Pendekatan Analitik dan

Numerik

t Q_analitik Q_numerik I_analitik I_numerik V_analitik V_numerik

0 0.008 0.008 0.01 0.01 10 10

0.1 0.00705998 0.007 0.008825 0.00875 8.824969026 8.75

0.2 0.00623041 0.006125 0.007788 0.00765625 7.788007831 7.65625

0.3 0.00549831 0.00535938 0.006873 0.006699219 6.872892788 6.69921875

0.4 0.00485225 0.00468945 0.006065 0.005861816 6.065306597 5.861816406

0.5 0.00428209 0.00410327 0.005353 0.005129089 5.352614285 5.129089355

0.6 0.00377893 0.00359036 0.004724 0.004487953 4.723665527 4.487953186

0.7 0.0033349 0.00314157 0.004169 0.003926959 4.168620197 3.926959038

0.8 0.00294304 0.00274887 0.003679 0.003436089 3.678794412 3.436089158

0.9 0.00259722 0.00240526 0.003247 0.003006578 3.246524674 3.006578013

1 0.00229204 0.0021046 0.002865 0.002630756 2.865047969 2.630755762

1.1 0.00202272 0.00184153 0.002528 0.002301911 2.528395958 2.301911291

1.2 0.00178504 0.00161134 0.002231 0.002014172 2.231301601 2.01417238

1.3 0.00157529 0.00140992 0.001969 0.001762401 1.969116752 1.762400833

1.4 0.00139019 0.00123368 0.001738 0.001542101 1.737739435 1.542100728

1.5 0.00122684 0.00107947 0.001534 0.001349338 1.533549668 1.349338137

1.6 0.00108268 0.00094454 0.001353 0.001180671 1.353352832 1.18067087

1.7 0.00095546 0.00082647 0.001194 0.001033087 1.194329683 1.033087011

1.8 0.00084319 0.00072316 0.001054 0.000903951 1.053992246 0.903951135

1.9 0.00074412 0.00063277 0.00093 0.000790957 0.930144892 0.790957243

2 0.00065668 0.00055367 0.000821 0.000692088 0.820849986 0.692087588

2.1 0.00057952 0.00048446 0.000724 0.000605577 0.72439757 0.605576639

2.2 0.00051142 0.0004239 0.000639 0.00052988 0.639278612 0.529879559

2.3 0.00045133 0.00037092 0.000564 0.000463645 0.564161395 0.463644614

2.4 0.0003983 0.00032455 0.000498 0.000405689 0.497870684 0.405689038

2.5 0.0003515 0.00028398 0.000439 0.000354978 0.439369336 0.354977908

2.6 0.00031019 0.00024848 0.000388 0.000310606 0.387742078 0.310605669

2.7 0.00027374 0.00021742 0.000342 0.00027178 0.342181183 0.271779961

2.8 0.00024158 0.00019025 0.000302 0.000237807 0.301973834 0.237807466

2.9 0.00021319 0.00016647 0.000266 0.000208082 0.266490973 0.208081532

3 0.00018814 0.00014566 0.000235 0.000182071 0.235177459 0.182071341

… … … … … … …

190

Langkah terakhir membuat grafik sehingga diperoleh grafik seperti berikut:

Grafik 6.4 Hubungan Muatan Terhadap Waktu dalam Pengosongan

Kapasitor dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Grafik 6.5 Hubungan Arus Terhadap Waktu dalam Pengosongan

Kapasitor dengan dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0 5 10

Mu

atan

(C

)

Waktu (s)

Q_analitik

Q_numerik

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0 5 10

Aru

s (A

)

Waktu (s)

I_analitik

I_numerik

191

Grafik 6.6 Hubungan Tegangan terhadap Waktu dalam Pengosongan Kapasitor

dengan Pendekatan Analitik dan Numerik

Berdasarkan tabel 6.4 dan grafik 6.4 dapat dijelaskan bahwa untuk proses

pengosongan muatan pada rangkaian RC dengan R = 1000Ω, C = 8μF dan gaya

gerak listrik 10 V dengan nilai increment waktu ∆t = 0,1 s diperoleh data-data

sebagai berikut. pada saat t = 0,1 s maka muatan listrik menurut solusi analitik

adalah 0.00705 C sedangkan menurut solusi numerik besar muatan listriknya

adalah 0.007 C dengan demikian perhitungan dengan pendekatan analisis numerik

menyebabkan kesalahan 0,85%. Menurut solusi dengan analisis analitik kapasitor

muatannya menjadi sangat kecil pada saat t = 3,6 s dengan nilai muatan listrik

sebesar 8.8872E-05 C sedangkan pada saat ini menurut analisis numerik besar

muatan yang tersimpan juga telah mencapai 6.537E-05 C dengan demikian

perhitungan dengan analisis numerik kesalahannya adalah 26,4% akan tetapi

apabila dilihat berdasarkan analisis numerik kapasitor mulai penuh pada saat t =

3,3 s dengan besar muatan listrik 9.7579E-05 C sedangkan pada saat ini menurut

analisis analitik kapasitor baru memiliki muatan 0.00012931 C dengan demikian

perhitungan dengan analisis numerik menyebabkan kesalahan sebesar 24,5%.

Berdasarkan hasil ini dapat disimpulkan bahwa semakin lama kesalahan dalam

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8

Tega

nga

n (

V)

Waktu (s)

V_analitik

V_numerik

192

perhitungan analisis numerik semakin kecil karena data-data analisis numerik

semakin konvergen.

Berdasarkan tabel 6.6 dan grafik 6.5 dapat dijelaskan bahwa untuk proses

pengisian muatan pada rangkaian RC dengan R = 1000Ω, C = 8μF dan gaya gerak

listrik 10 V dengan nilai Increment waktu ∆t = 0,1 s pada saat t = 0,1 s maka arus

listrik menurut solusi analitik adalah 0.008825 A sedangkan menurut solusi

numerik besar arus listriknya adalah 0.00875 A dengan demikian perhitungan

dengan pendekatan analisis numerik menyebabkan kesalahan -0,85%. Menurut

solusi dengan analisis numerik kapasitor mulai penuh pada saat t = 7,3 s dengan

nilai kuat arus listrik sebesar 1.089E-06 A sedangkan pada saat ini menurut

analisis numerik besar kuat arus listrik juga telah mencapai 5.8424E-07 A dengan

demikian perhitungan dengan analisis numerik kesalahannya adalah -46% akan

tetapi apabila dilihat berdasarkan analisis analitik kapasitor mulai penuh pada saat

t = 7,8 s dengan besar kuat arus listrik 2.9966E-07 A sedangkan pada saat ini

menurut analisis analitik kapasitor baru menyebabkan muatan 5.829E-07 A

dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik memiliki kesalahan

sebesar 48,5%. Berdasarkan hasil ini dapat disimpulkan bahwa semakin lama

kesalahan dalam perhitungan analisis numerik semakin besar karena seiring

bertambahnya waktu dapat data-data analisis numerik semakin divergen.

Pada t = 0,1 s maka potensial listrik menurut solusi analitik adalah 8,75 V

sedangkan menurut solusi numerik besar potensial listriknya adalah 8.82496 V

dengan demikian perhitungan dengan pendekatan analisis numerik menyebabkan

kesalahan 0,85%. Menurut solusi dengan analisis numerik kapasitor mulai

kosong pada saat t = 3,3 s dengan nilai potensial listrik sebesar 0.121973574 V

sedangkan pada saat ini menurut analisis numerik besar kuat arus listrik juga telah

mencapai 0.161634946 V dengan demikian perhitungan dengan analisis numerik

kesalahannya adalah 24,5% akan tetapi apabila dilihat berdasarkan analisis

analitik kapasitor mulai penuh pada saat t = 3,6 s dengan potensial listrik

0.111089965 V sedangkan pada saat ini menurut analisis numerik kapasitor baru

menyebabkan muatan 0.081712765 V dengan demikian perhitungan dengan

analisis numerik memiliki kesalahan sebesar 26,4%. Berdasarkan hasil ini dapat

193

disimpulkan bahwa semakin lama kesalahan dalam perhitungan analisis numerik

semakin besar karena seiring bertambahnya waktu dapat data-data analisis

numerik semakin divergen.

Pertanyaan 6.2

Berdasarkan contoh 6.2, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!

1. Bagaimanakah pengaruh jumlah angka desimal yang digunakan terhadap

ketelitian perhitungan dengan analisis numerik apabila dibandingkan dengan

perhitungan dengan analisis analitik?

2. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah apakah waktu

yang dibutuhkan kapasitor dalam rangkaian RC untuk membuang muatannya

tergantung pada nilai arus dan tegangannya?

3. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah faktor apakah

yang mempengaruhi cepat/lambatnya penurunan arus atau tegangan dalam

proses pembuangan muatan?

4. Jika C dibuat tetap, dengan menggunakan analisis analitik dan numerik

selidikilah bagaimanakah pengaruh nilai R terhadap cepat/lambatnya

penurunan arus atau tegangan dalam proses pembuangan muatan? Apakah

jawaban dengan pendekatan analitik sesuai dengan pendekatan numerik?

Jelaskan!

5. Dengan asumsi bahwa R, C dan є sama selidikilah apakah waktu yang

dibutuhkan untuk mengisi muatan dalam kapasitor sama dengan waktu untuk

mengosongkan muatan dalam kapasitor?

194

6.2 Rangkaian RL

Rangkaian RL merupakan rangkaian yang terdiri atas resisitor (R) dan

induktor (L) seperti disajikan dalam gambar berikut.

Gambar 6.3 Rangkaian RL

Berdasarkan gambar 6.3 apabila saklar ditutup maka arus yang yang mengalir

dalam hambatan R akan naik. Akan tetapi karena di dalam rangkaian terdapat

induktor (L) maka arus tidak akan naik secara cepat menuju nilai 𝜀/𝑅 karena

induktansi dari induktor. Demikian juga, jika pada suatu saat terjadi penurunan

arus listrik, maka karena pengaruh adanya induktor menyebabkan arus listrik tidak

turun secara cepat.

6.2.1 Analisis Rangkaian RL dengan Pendekatan Analitik

Berdasarkan gambar 6.3 apabila saklar ditutup (pada posisi a) maka

elektron akan mengalir dari kutub negatif sumber tegangan melewati saklar

menuju induktor dan resistor kemudian kembali melewati kutub positif sumber

tegangan. Berdasarkan hukum Kirchoff maka hubungan tegangan dalam

rangkaian dapat kita nyatakan dalam persamaan

𝜀 − 𝑖𝑅 − 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 …(6.23)

𝜀 = 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡 …(6.24)

solusi analitik dari persamaan (6.24) dapat kita tentukan dengan cara berikut.

Misalkan kita definisikan y = (𝜀/𝑅) − 𝑖 sehingga 𝑑𝑥 = −𝑑𝑖. Berdasarkan definisi

ini, maka persamaan (6.23) dapat kita tuliskan menjadi

𝑦 +𝐿

𝑅

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0

b a

195

𝑑𝑦

𝑦= −

𝑅

𝐿𝑑𝑡

dengan mengintegralkan persamaan di atas akan diperoleh

ln𝑦

𝑦0= −

𝑅

𝐿𝑑𝑡

jika pada t = 0 nilai y = y0 maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi

𝑦 = 𝑦0𝑒−𝑅𝑡

𝐿

dengan mengingat bahwa pada t = 0, i = 0 maka berdasarkan definsi y maka dapat

pula dituliskan 𝑦0 = 𝜀/𝑅 sehingga berlaku

𝜀

𝑅− 𝐼 =

𝜀

𝑅 𝑒−𝑅𝑡/𝐿

atau

i =ε

R 1 − e−Rt /L …(6.25)

apabila saklar kemudian dihubungkan ke titik b maka 𝜀 = 0 sehingga persamaan

tegangan dalam rangkaian dapat kita nyatakan dengan persamaan

𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0 …(6.26)

solusi analitik dari persamaan (6.26) adalah

𝑖 =𝜀

𝑅𝑒−𝑅𝑡/𝐿 …(6.27)

6.2.2 Analisis Rangkaian RL dengan Pendekatan Numerik

Pada saat saklar dihubungkan ke titik a, maka berdasarkan hukum

Kirchhoff persamaan tegangan dalam rangkaian dapat dinyatakan dengan

𝜀 = 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝜀

𝐿−

𝑖𝑅

𝐿 …(6.28)

apabila kita menggunakan metode Euler maka persamaan (6.28) dapat disusun

menjadi

196

𝑖 𝑡+∆𝑡 −𝑖(𝑡)

∆𝑡=

𝜀

𝐿−

𝑖 𝑡 𝑅

𝐿

𝑖 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑖 𝑡 + 𝜀

𝐿−

𝑖 𝑡 𝑅

𝐿 ∆𝑡 …(6.29)

secara umum persamaan (6.29) dapat dinyatakan sebagai

𝑖𝑖+1 = 𝑖𝑖 + 𝜀

𝐿−

𝑖𝑖𝑅

𝐿 ∆𝑡 …(6.30)

pada saat saklar dihubungkan ke titik b maka akan terjadi peluruhan arus listrik

sehingga persamaan tegangan dalam rangkaian adalah

𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0

𝑑𝑖

𝑑𝑡= −

𝑖𝑅

𝐿 …(6.31)

dengan menggunakan teori Euler maka persamaan (6.31) dapat dinyatakan dengan

𝑖 𝑡+∆𝑡 −𝑖(𝑡)

∆𝑡= −

𝑖 𝑡 𝑅

𝐿

𝑖 𝑡 + ∆𝑡 = 𝑖 𝑡 −𝑖 𝑡 𝑅

𝐿∆𝑡 …(6.32)

secara umum persamaan (6.32) dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑖𝑖+1 = 𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑅

𝐿∆𝑡 …(6.33)

dengan:

𝑖𝑖+1 = arus yang mengalir pada saat t = t+∆t

𝑖𝑖 = arus yang mengalir pada saat t = t

∆𝑡 = Increment waktu (s)

Contoh 6.3

Suatu rangkaian RL tersusun atas resistor dengan resistansi 2000 ohm dan

induktor dengan induktasi 4 H dihubungankan dengan sumber tegangan 10 V.

analisislah arus yang mengalir pada saat saklar ditutup dan dibuka dengan

menggunakan analisis analitik dan numerik. Gunakan Δ𝑡 = 0,01 ms

197

Penyelesaian

1. Proses Kenaikan Arus Listrik

Sebagai langkah awal dalam menyelesaikan soal tersebut adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel persamaan rangkaiannya dalam Spreadsheet

seperti tabel berikut.

Tabel 6.5 Variabel-Variabel dalam Rangkaian RL

Variabel Nilai Satuan

R 2000 Ohm

L 4 H

є 10 V

to 0 s

∆t 0.00001 s

Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai arus yang mengalir dengan

menggunakan Spreadsheet seperti tabel berikut.

Tabel 6.6 Perbandingan Besarnya Arus Listrik Menurut Analisis Analitik dan

Numerik

waktu I_Analitik I_Numerik

0 0.0000000 0.0000000

0.00001 0.0000249 0.0000250

0.00002 0.0000498 0.0000499

0.00003 0.0000744 0.0000746

0.00004 0.0000990 0.0000993

0.00005 0.0001235 0.0001238

0.00006 0.0001478 0.0001481

0.00007 0.0001720 0.0001724

0.00008 0.0000249 0.0001965

0.00009 0.0000249 0.0002206

0.0001 0.0000249 0.0002444

0.00011 0.0002676 0.0002682

0.00012 0.0002912 0.0002919

0.00013 0.0003147 0.0003154

0.00014 0.0003380 0.0003388

198

0.00015 0.0003613 0.0003622

0.00016 0.0003844 0.0003853

0.00017 0.0004074 0.0004084

0.00018 0.0004303 0.0004314

0.00019 0.0004531 0.0004542

0.0002 0.0004758 0.0004769

0.00021 0.0004984 0.0004996

0.00022 0.0005208 0.0005221

0.00023 0.0005432 0.0005445

0.00024 0.0005654 0.0005667

0.00025 0.0005875 0.0005889

0.00026 0.0006095 0.0006110

0.00027 0.0006314 0.0006329

0.00028 0.0006532 0.0006547

0.00029 0.0006749 0.0006765

0.0003 0.0006965 0.0006981

0.00031 0.0007179 0.0007196

0.00032 0.0007393 0.0007410

0.00033 0.0007605 0.0007623

0.00034 0.0007817 0.0007835

0.00035 0.0008027 0.0008046

… … …

Langkah selanjutnya adalah dengan membuat grafik arus terhadap waktu seperti

grafik berikut.

0.0000000

0.0010000

0.0020000

0.0030000

0.0040000

0.0050000

0.0060000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012

Ku

at A

rus

(A)

Waktu (s)

I_Analitik I_Numerik

199

Grafik 6.7 Hubungan Kuat arus Terhadap Waktu Saat Induktor Diberikan Arus

Listrik

2. Proses Penurunan Arus Listrik

Sebagai langkah awal dalam menyelesaikan soal tersebut adalah dengan

mendeklarasikan variabel-variabel persamaan rangkaiannya dalam Spreadsheet

seperti tabel berikut.

Tabel 6.7 Variabel-Variabel dalam Rangkaian RL

Variabel Nilai Satuan

R 2000 Ohm

L 4 H

є 10 V

to 0 s

∆t 0.00001 s

Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai arus yang mengalir dengan

menggunakan Spreadsheet seperti tabel berikut.

Tabel 6.8 Perbandingan Besarnya Arus Listrik Menurut Analisis Analitik dan

Numerik

waktu I_Analitik I_Numerik

0 0.005 0.005

0.00001 0.004975 0.004975

0.00002 0.00495 0.0049501

0.00003 0.004926 0.0049254

0.00004 0.004901 0.0049007

0.00005 0.004877 0.0048762

0.00006 0.004852 0.0048519

0.00007 0.004828 0.0048276

0.00008 0.004804 0.0048035

0.00009 0.00478 0.0047794

0.0001 0.004756 0.0047556

0.00011 0.004732 0.0047318

0.00012 0.004709 0.0047081

0.00013 0.004685 0.0046846

200

0.00014 0.004662 0.0046612

0.00015 0.004639 0.0046378

0.00016 0.004616 0.0046147

0.00017 0.004593 0.0045916

0.00018 0.00457 0.0045686

0.00019 0.004547 0.0045458

0.0002 0.004524 0.0045231

0.00021 0.004502 0.0045004

0.00022 0.004479 0.0044779

0.00023 0.004457 0.0044555

0.00024 0.004435 0.0044333

0.00025 0.004412 0.0044111

0.00026 0.00439 0.004389

0.00027 0.004369 0.0043671

0.00028 0.004347 0.0043453

0.00029 0.004325 0.0043235

0.0003 0.004304 0.0043019

0.00031 0.004282 0.0042804

0.00032 0.004261 0.004259

0.00033 0.004239 0.0042377

0.00034 0.004218 0.0042165

0.00035 0.004197 0.0041954

… … …

Langkah selanjutnya adalah dengan membuat grafik arus terhadap waktu seperti

grafik berikut.

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0 0.005 0.01 0.015

Ku

at A

rus

List

rik

(A)

Waktu (s)

I_Analitik

I_Numerik

201

Grafik 6.8 Hubungan Kuat arus Terhadap Waktu Saat Induktor Diberikan Arus

Listrik

Pertanyaan 6.3

1. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah apakah waktu

yang dibutuhkan inductor dalam rangkaian RL mencapai nilai kesetimbangan

tergantung pada nilai ε yang digunakan?

2. Apakah waktu yang dibutuhkan agar arus mencapai kesetimbangan dalam

proses pengisian arus sama saat arus meluruh?

3. Dengan menggunakan analisis analitik dan numerik selidikilah faktor apakah

yang mempengaruhi cepat/lambatnya penurunan arus atau tegangan dalam

proses peluruhan arus listriknya?

4. Jika L dibuat tetap, dengan menggunakan analisis analitik dan numerik

selidikilah bagaimanakah pengaruh nilai R terhadap grafik hubungan arus

terhadap waktu dalam proses peluruhan arusnya?

6.3 Analisis Rangkaian RLC

6.3.1 Analisis Rangkaian RLC dengan Pendekatan analisis Analitik

Rangkaian RLC merupakan rangkaian yang tersusun atas hambaran (R), sumber

tegangan dan inductor (L) seperti gambar berikut.

Gambar 6.4 Rangkaian RLC

Perhatikan rangkaian RLC di atas, misalkan saklar ditutup sehingga menyambung

dengan titik a untuk waktu yang cukup lama kemudian saklar kita buka

(dihubungkan ke titik b). Pada saklar dibuka maka akan timbul perubahan arus

a

202

listrik yang besar sehingga beda potensial pada induktor menjadi sedemikian

besar akibatnya sering timbul percikan api dari induktor. Tentu saja keluarnya

percikan api dari induktor tidaklah kita kehendaki. Salah satu cara yang dapat

dilakukan untuk menghindari keluarnya percikan api dari induktor adalah dengan

memasang kapasitor pada rangkaian. Dengan demikian apabila saklar dibuka

maka arus tidak akan mengalir secara drastis dalam rangkaian, keberadaan

kapasitor akan menyimpan muatan yang mengalir dalam rangkaian sehingga arus

yang mengalir dalam rangkaian dapat menjadi konstan.

Misalkan pada saat t = 0 saklar kita buka, berdasarkan hukum Kirchhoff

maka persamaan beda potensial dalam rangkaian kita tuliskan sebagai

−𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡−

𝑞

𝐶− 𝑖𝑅 = 0 …(6.34)

Pada saat t = 0 maka q = 0 kemudian apabila saklar dibuka maka muatan listrik

akan segera mengisi kapasitor. Berdasarkan definisi bahwa 𝑖 =𝑑𝑞

𝑑𝑡 maka turunan i

terhadap t dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 …(6.35)

dengan demikian persamaan (6.34) dapat pula dinyatakan dengan persamaan

−𝐿𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 −𝑞

𝐶−

𝑑𝑞

𝑑𝑡𝑅 = 0 …(6.36)

dengan mengalikan dengan (-) kemudian membaginya dengan L maka persamaan

(6.36) dapat dituliskan sebagai

𝐿𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 +𝑞

𝐶+

𝑑𝑞

𝑑𝑡𝑅 = 0

𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 +𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝑅

𝐿+

𝑞

𝐿𝐶= 0 …(6.37)

dengan demikian maka solusi umum persamaan (6.37) adalah

𝑞 = 𝑞0𝑒−𝑅𝑡/2𝐿cos(𝜔′𝑡 + 𝜙) …(6.38)

dimana

203

𝜔′ = 1

𝐿𝐶−

𝑅

2𝐿

2

…(6.39)

arus listrik yang mengalir dalam rangkaian adalah

𝑖(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡𝑞0𝑒

−𝑅𝑡

2𝐿 cos 𝜔′𝑡 + 𝜙

jika 𝜙 = 0 maka berlaku

𝑖(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡𝑞0𝑒

−𝑅𝑡/2𝐿cos(𝜔′𝑡) …(6.40)

𝑖 𝑡 = 𝑞0 −𝑅

2𝐿𝑒−𝑅𝑡/2𝐿 cos 𝜔′𝑡 − 𝜔′𝑒−𝑅𝑡/2𝐿 sin(𝜔′𝑡) …(6.41)

dengan mengeluarkan 𝑒−𝑅𝑡/2𝐿 maka persamaan (6.41) dapat disederhanakan

menjadi

𝑖 𝑡 = 𝑞0 𝑒−𝑅𝑡/2𝐿 −

𝑅

2𝐿cos 𝜔′𝑡 − 𝜔′ sin(𝜔′𝑡) …(6.42)

dengan:

𝑞 = muatan pada kapasitor (C )

𝑞0 = muatan maksimum ( C )

L = induktansi (H)

R = hambatan resistor ( ohm )

𝜔′ = frekuensi sudut (rad/s)

𝑖 𝑡 = arus listrik pada waktu t

6.3.2 Analisis Rangkaian RLC dengan Pendekatan Analisis Numerik

Pada kesempatan ini kita akan menganalisis rangkaian RLC menggunakan

pendekatan analisis numeric. Untuk menganalisis soal tersebut akan digunakan

metode Euler-Cromer dengan uraian sebagai berikut. Persamaan (6.37) kita

uraikan sebagai berikut

𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2=

−𝑅

𝐿

𝑑𝑞

𝑑𝑡−

1

𝐿𝐶𝑞 …(6.43)

204

Berdasarkan definisi bahwa 𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 =𝑑𝑖

𝑑𝑡 maka persamaan ( 6.43) dapat dituliskan

𝑑𝑖

𝑑𝑡=

−𝑅

𝐿

𝑑𝑞

𝑑𝑡−

1

𝐿𝐶𝑞 …(6.44)

𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝑖 …(6.45)

Untuk memecahkan persamaan (6.44) dan (6.45) digunakan metode Euler-

Cromer sehingga diperoleh persamaan

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 −𝑅

𝐿 𝐼𝑖 Δ𝑡 −

1

𝐿𝐶𝑞𝑖 Δ𝑡 …(6.46)

dan

𝑞𝑖+1 = 𝑞𝑖 + 𝐼𝑖+1 Δ𝑡 …(6.47)

Berdasarkan persamaan (6.46) dan (6.47) jelas dapat disimpulkan bahwa solusi

dengan analisis numerik lebih mudah dibandingkan solusi eksaknya.

Contoh 6.4

Suatu rangkaian RLC tersusun atas resisitor dengan resistansi 5 ohm, induktasi

induktor 1 mH, kapasitas kapasitor 1 µF dan dihubungkan dengan sumber

tegangan 10 V. Mula-mula sumber tegangan dirangkai pada rangkaian kemudian

sesaat kemudian diputus. Analisislah karakteristik arus dan muatan yang mengalir

dalam rangkaian dengan menggunakan analisis numerik. Gunakan ∆t = 0,1 µs.

Penyelesaian:

Sebagai langkah awal dalam menyelesaikan soal tersebut adalah dengan

mendeklarasikan variable-variabel persamaan rangkaiannya dalam Spreadsheet

seperti tabel berikut.

Tabel 6.9 Variabel-Variabel dalam Rangkaian RLC

Variabel Nilai Satuan

R 5 ohm

L 0.001 H

C 0.000001 F

to 0 s

205

∆t 0.0000005 s

є 10 V

ω' 0.031523801 rad/s

qo 0.00001 C

Langkah selanjutnya adalah mengadakan komputasi tentang nilai muatan dan arus

dalam rangkaian berdasarkan pendekatan numerik sehingga diperoleh hasil seperti

tabel berikut.

Tabel 6.10 Nilai Muatan dan Arus Listrik dalam Rangkaian RLC

Waktu q_numerik I-numerik

0 0.00001 0

0.0000005 9.9975E-06 -0.005

0.000001 9.9925E-06 -0.0099863

0.0000015 9.985E-06 -0.0149575

0.000002 9.9751E-06 -0.0199127

0.0000025 9.9626E-06 -0.0248504

0.000003 9.9478E-06 -0.0297696

0.0000035 9.9304E-06 -0.0346691

0.000004 9.9107E-06 -0.0395476

0.0000045 9.8885E-06 -0.0444041

0.000005 9.8638E-06 -0.0492373

0.0000055 9.8368E-06 -0.0540461

0.000006 9.8074E-06 -0.0588294

0.0000065 9.7756E-06 -0.063586

0.000007 9.7414E-06 -0.0683149

0.0000075 9.7049E-06 -0.0730148

0.000008 9.6661E-06 -0.0776847

0.0000085 9.6249E-06 -0.0823236

0.000009 9.5815E-06 -0.0869302

0.0000095 9.5357E-06 -0.0915036

0.00001 9.4877E-06 -0.0960427

0.0000105 9.4374E-06 -0.1005465

0.000011 9.3849E-06 -0.1050138

0.0000115 9.3302E-06 -0.1094437

0.000012 9.2733E-06 -0.1138352

0.0000125 9.2142E-06 -0.1181873

206

0.000013 9.1529E-06 -0.1224989

0.0000135 9.0895E-06 -0.1267691

0.000014 9.024E-06 -0.130997

0.0000145 8.9565E-06 -0.1351815

0.000015 8.8868E-06 -0.1393218

0.0000155 8.8151E-06 -0.1434169

0.000016 8.7414E-06 -0.1474659

0.0000165 8.6656E-06 -0.1514679

0.000017 8.5879E-06 -0.155422

0.0000175 8.5082E-06 -0.1593274

0.000018 8.4267E-06 -0.1631832

… … …

Langkah selanjutnya adalah menggambarkan grafik hubungan antara muatan dan

arus listrik terhadap waktu seperti grafik berikut.

Grafik 6.9 Hubungan Antara Muatan Terhadap Waktu

-0.00001

-0.00000

-0.00000

-0.00000

-0.00000

0

0.000002

0.000004

0.000006

0.000008

0.00001

0.000012

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012Mu

atan

(C

)

Waktu (s)

207

Grafik 6.10 Hubungan Antara Arus Listrik Terhadap Waktu

Berdasarkan grafik 6.9 dan 6.10 dapat kita simpulkan bahwa untuk rangkaian

RLC tersusun atas resisitor dengan resistansi 5 ohm, induktasi induktor 1 mH,

kapasitas kapasitor 1 µF dan dihubungkan dengan sumber tegangan 10 V setelah

sumber tegangan dihilangkan maka akan muatan dan arus listriknya akan

mengalami redaman kurang. Redaman kritis atau redaman lebih dapat kita peroleh

dengan memvariasikan nilai R, L dan C.

Kesimpulan

1. Persamaan diferensial untuk rangkaian RC pada proses pengisian muatan

adalah

𝜀 = 𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑄

𝐶

2. Solusi analitik persamaan differensial untuk rangkaian RC pada proses

pengisian muatan adalah

𝑄 = 𝑄0 (1 − 𝑒−𝑡

𝑅𝐶 )

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012A

rus

List

rik

(A )

Waktu (s)

208

𝐼 =𝑑𝑄

𝑑𝑡=

𝜀

𝑅𝑒−𝑡/𝑅𝐶

3. Solusi numeric persamaan differensial untuk rangkaian RC pada proses

pengisian muatan adalah

𝑄𝑖+1 = 𝑄𝑖 + (𝐼𝑜 − 𝜏 𝑄𝑖)∆𝑡

𝐼𝑖 = 𝑣𝑖− 𝜀

𝑅

𝑉𝑖 = 𝑄𝑖

𝐶

4. Persamaan diferensial untuk rangkaian RC pada proses pengosongan

muatan adalah

𝑅𝑑𝑄

𝑑𝑡+

𝑄

𝐶= 0

5. Solusi analitik persamaan differensial untuk rangkaian RC pada proses

pengisian muatan adalah

𝑄 = 𝑄0𝑒−

𝑡

𝑅𝐶

𝑖 = −𝜀

𝑅𝑒−

𝑡

𝑅𝐶

6. Solusi numerik persamaan differensial untuk rangkaian RC pada proses

pengosongan muatan adalah

𝑄𝑖+1 = 𝑄𝑖 −𝑄𝑖

𝑅𝐶 ∆𝑡

𝐼𝑖 = 𝑣𝑖

𝑅

𝑉𝑖 = 𝑄𝑖

𝐶

5. Persamaan diferensial untuk rangkaian RL adalah

𝜀 = 𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡

𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖

𝑑𝑡= 0

6. Solusi analitik persamaan differensial untuk rangkaian RL adalah

i =ε

R 1 − e−Rt /L untuk proses pemberian muatan

𝑖 =𝜀

𝑅𝑒−𝑅𝑡/𝐿 untuk proses peluruhan arus

7. Solusi numerik persamaan differensial untuk rangkaian RL adalah

𝑖𝑖+1 = 𝑖𝑖 + 𝜀

𝐿−

𝑖𝑖𝑅

𝐿 ∆𝑡

209

𝑖𝑖+1 = 𝑖𝑖 −𝑖𝑖𝑅

𝐿∆𝑡

8. Persamaan diferensial untuk rangkaian RLC adalah 𝑑2𝑞

𝑑𝑡 2 +𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝑅

𝐿+

𝑞

𝐿𝐶= 0

9. Solusi analitik persamaan differensial untuk rangkaian RLC adalah

𝑞 = 𝑞0𝑒−𝑅𝑡/2𝐿cos(𝜔′𝑡 + 𝜙)

𝜔′ = 1

𝐿𝐶−

𝑅

2𝐿

2

𝑖 𝑡 = 𝑞0 𝑒−𝑅𝑡/2𝐿 −

𝑅

2𝐿cos 𝜔′𝑡 − 𝜔′ sin(𝜔′𝑡)

10. Solusi numeric persamaan differensial untuk rangkaian RLC adalah

𝐼𝑖+1 = 𝐼𝑖 −𝑅

𝐿 𝐼𝑖 Δ𝑡 −

1

𝐿𝐶𝑞𝑖 Δ𝑡

𝑞𝑖+1 = 𝑞𝑖 + 𝐼𝑖+1 Δ𝑡

Soal:

1. Suatu rangkaian RL tersusun atas resistor dengan resistansi 500 ohm dan

inductor dengan induktasi 4 mH dihubungankan dengan sumber tegangan

10 V. analisislah arus yang mengalir pada saat saklar ditutup dan dibuka

dengan menggunakan analisis analitik dan numeric. Gunakan Δ𝑡 = 0,01 ms

Tentukan besarnya beda potensial pada resistor dan beda potensial pada

inductor! Tunjukkanlah dengan grafik bahwa besarnya gaya gerak listrik

sama dengan penjumlahan antara beda potensial pada resistor dan beda

potensial pada inductor!

2. Suatu rangkaian RLC tersusun atas resisitor dengan resistansi 5 ohm,

induktasi inductor 1 mH, kapasitas kapasitor 1 µF dan dihubungkan

dengan sumber tegangan 10 V. Mula-mula sumber tegangan dirangkai

pada rangkaian kemudian sesaat kemudian diputus. Analisislah

karakteristik arus dan muatan yang mengalir dalam rangkaian dengan

menggunakan analisis analitik. Gunakan ∆t = 0,1 µs! Apakah hasilnya

210

menunjukkan hasil yang sama jika dibandingkan dengan contoh 6.4?

Jelaskan!

3. Suatu rangkaian RLC tersusun atas resisitor dengan resistansi yang bisa

diubah-ubah. Jika resistansi awal 5 ohm, induktasi induktor 1 mH,

kapasitas kapasitor 1 µF dan dihubungkan dengan sumber tegangan 10 V.

Mula-mula sumber tegangan dirangkai pada rangkaian kemudian sesaat

kemudian diputus. Analisislah karakteristik arus dan muatan yang

mengalir dalam rangkaian dengan menggunakan analisis analitik. Gunakan

∆t = 0,1 µs!. Tunjukkan pada nilai R berapakah akan terjadi:

a) Teredam lebih

b) Teredam kritis

c) Teredam biasa