Embed Size (px)
Citation preview
BAB VI ANAISIS PASKA OPTIMUM
Pada bab ini akan membahas pengaruh perubahan nilai parameter terhadap penyelesaian optimum. Bila perubahan tersebut diskrit maka study mengenainya disebut analisis sensitivitas, sedang bila perubahannya kontinu pembahasan dikerjakan dalam program linear parametik.
Untuk menangani masalah yang timbul karena perubahan disusunlah analisis paska optimum yang didasarkan pada sifat-sifat penyelesaian simpleks.
Ada 5 macam perubahan yang dapat mempengaruhi p.o, yaitu:
1. Perubahan suku tetap(diruas kanan).
2. Perubahan koefisien ongkos cj.
3. Perubahan koefisien teknis aij.
4. Penabahan kendala baru.
5. Penambahan perubahan baru.;
Perubahan suatu parameter dapat menimblkan salah satu dari akibat-akibat berikut:
1. Penyelesaian optimum tidak berubah, berarti perubah-perubah basis beserta nilainya tidak berubah.
2. Perubah-perubah basis tetap, tetapi nilainya berubah.
3. Perubah-perubah basisnya berubah.
Dua dari 5 macam perubahan diatas akan kita bahas dalam makalah ini, ialah perubahan pada cj
dan aij.
1. Perubahan Pada Koefisien Ongkos
Misalkan diubah menjadi atau
(cara penulisan vektor) diubah menjadi dan adalah vektor ongkos
baru untuk perubah basis dalam tablo optimum soal asli.
Pada tablo optimum soal asli, koefisien kontrol :
setelah diubah akan menjadi
syarat (6.2)
Untuk tipe soal yang meminimumkan Penyelesaian optimum soal asli akan tetap menjadi penyelesaian optimum soal terubah bila dipenuhi,
atau
, untuk bukan basis.
(Untuk basis, tetap sama dengan nol)
Khususnya, bila perubahan hanya terjadi pada dengan bukan basis dalam tablo
optimum, maka dan syarat (6.2) menjadi
untuk bukan basis.
Untuk tipe soal yang memaksimumkan berlaku sebalaiknya,
atau
untuk bukan basis.
Jika (6.2) dipenuhi maka perubah basis yang menyusun penyelesaian optimum tidak berubah demikian pula nilainya. Yang berubah adalah niai program, yang semula
menjadi , jadi ada tambahan .
Bila tidak dipenuhi oleh beberapa perubah bukan basis, maka proses simpleks dapat
dilanjutkan dengan mengangkat tablo optimum soal asli yang sudah berubah sebagai tablo awal dan perubah-perubah yang tidak memenuhi (6.2) sebagai calon-calon basis baru sampai
penyelesaian optimum baru tercapai. Sebagaimana pengubahan , efisiensi penyambungan
langkah simpleks ini tergantung kepada banyak-sedikitnya yang tidak memenuhi (6.2).
Contoh 1 :
Pada contoh soal asli suatu masalah P.L. berbunyi :
Meminimumkan f = -45
Dengan kendala
7 1200
3
Diadakan perubahan pada dari -45 menjadi -40 dan dari -100 menjadi -90.
Penyelesaian :
Dihitung untuk bukan basis, lihat tablo optimum soal asli berikut:
-45 -100 -30 -50 0 0
0 7 10 4 9 1 0 1200 120
0 3 40 1 1 0 1 800 20
0 0 0 0 0 0 0
45 100 30 50 0 0 0
0 25/4 0 15/4 35/4 1 -1/4 10000 800/7
-100 3/40 1 1/40 1/40 0 1/40 20 800
-15/2 -100 -5/2 -5/2 0 -5/2 -2000
75/2 0 55/2 75/2 0 -5/2 -2000
-50 5/7 0 3/7 1 4/35 -1/35 800/7 800/3
-100 2/35 1 1/70 0 -1/350 9/350 120/7 1200
-290/7 -100 -160/7 -50 -38/7 -8/7
25/7 0 50/7 0 -38/7 -8/7
-50 5/3 0 1 7/3 4/15 -1/15 800/3
-100 1/30 1 0 -1/30 -1/150 2/75 40/3
-160/3 -100 -30 -200/3
-22/3 -2/3 -28000/3
-25/3 0 0 -50/3 -22/3 -2/3 -28000/3
Perhatikan bahwa bukan basis. Berikut ini perhitungan untuk
bukan basis:
1.
2.
3.
4.
Karena semua koefisien kontrol tetap tak positif maka penyelesaian optimum soal asli masih menjadi penyelesaian optimum soal terubah, tetapi nilai program akan bertambah
dengan
Nilai program baru
Contoh 2 :
Pada contoh soal asli suatu masalah P.L. berbunyi :
Meminimumkan f = -45
Dengan kendala
7 1200
3
diubah dari -30 menjadi -24.
Bagaimana akibatnya?
Penyelesaian :
, Jadi
Dihitung untuk bukan basis. Dengan rumus (6.1) diperoleh
, sehingga =
Karena maka tablo optimum soal asli belum optimum bagi soal terubah,
maka perlu dilanjutkan, dengan memasukkan (satu-satunya calon basis) kedalam basis.
Perhatikan tabel berikut ini:
-45 -100 -24 -50 0 0
-24 5/3 0 1 7/3 4/15 -1/15 800/3 160
-100 1/30 1 0 -1/30 -1/150 2/75 40/3 400
-130/3 -100 -24 -158/3
-86/15 -16/15
5/3 0 0 -8/3 -86/15 -16/15
-45 1 0 3/5 7/5 4/25 -1/25 160
-100 0 1 -1/50 -2/25 -3/250 7/250 8
-45 -100 -25 -55 -6 -1 -8000
0 0 -1 -5 -6 -1 -8000
Koefisien kontrol sudah tidak positif untuk semua kolom maka diperoleh penyelesaian
optimum baru dengan
2. Perubahan koefisien teknis aij.
Akan diselidiki pengaruh perubahan pada aij terhadap p.o. soal asli bila aij kemudia diganti
dengan aij + aij. Dibedakan dua kejadian, yaitu:
1. Jika perubahan dilakukan asa semua aij yang bersesuaian dengan kolom bukan basis dalam p.o. soal asli. Dalam hal ini pengaruh perubahan terhadap p.o. dapat diamati dengan meihat nilai zj* - cj*.
2. Jika perubahan dilakukan pada aij yang bersesuaian dengan kolom basis dalam p.o. soal asli.
1. Kejadian yang pertama
Untuk tipe soal meminimumkan, misalkan aik + aik, I = 1,2,….,m dengan xk bukan perubah
basis dalam p.o. dihitung zk* - ck*(yang baru):
1. Jika zk* - ck* ≤ 0 maka p.o. lama menjadi p.o. baru dengan zk* - ck* = .
2. Jika zk* - ck* > 0 maka terdapat tablo optimum dilakukan operasi sbb. Dengan mengganti
dengan .
Gantikan dengan = .
Gantikan dengan zk* - ck* = .
Proses dilanjutkan sampai tercapai p.o. yang baru.
Untuk tepe soal memaksimumkan berlaku sebaliknya, yaitu :
1. Jika zk* - ck* ≥ 0 maka p.o. lama menjadi p.o. baru dengan zk* - ck* =
.
2. Jika zk* - ck* < 0 maka terdapat tablo optimum dilakukan operasi sbb. Dengan
mengganti dengan .
Gantikan dengan = .
Gantikan dengan zk* - ck* = .
2. Kejadian yang kedua
Menyelidiki pengaruh terhadap p.o bila ada perubahan dengan adalah basis dalam tablo
optimum soal asli. Untuk membedakan dengan kejadian a, namakan unsurnya yang berubah
menjadi . Tata caranya adalah sebagai berikut:
1. Tambahkan perubah baru pada sistem optimumdengan koefisien teknis
dan koefisien ongkos (milik dengan
2. Koefisien ditransformasikan ke dengan menggunakan rumus
i = 1,…,m
3. Gantikan koefisien ongkos (milik ) dengan bilangan positif terbesar M(tetapi
koefisien tetap ). Hal ini untuk menjamin bahwa tidak lagi berada dalam
basis optimum baru.
4. Dihitung koefisien control terubah dengan
zj* - cj* = + j = m+1,…,n,n+1
dengan = 0, k = 1,2,.., dan
5. Lanjutkan algoritma simpleks untuk memperoleh p.o. yang baru.
Tatacara di atas dapat diperluas untuk perubahan yang terjadi pada lebih dari satu
kolom.
Contoh 1.
Pada contoh soal asli suatu masalah P.L. berbunyi :
Meminimumkan f = -45
Dengan kendala
7 1200
3
diadakan perubahan terhadap soal aslinya dengan menggantikan
dari menjadi . Tentukan pengaruhnya terhadap p.o. soal asli.
Penyelesaian
Jadi dan
Ternyata bukan basis dalam p.o. soal asli, maka perubahan di atas termasuk kejadian
pertama, maka
z1* - c1* =
= (-30 -1000 )
=
Karena zj* - cj*= < 0 , maka p.o. lama menjadi p.o. soal baru.
LATIHAN SOAL
1. Maksimumkan
dengan kendala
Kemudian tentukan pengaruh perubahan-perubahan berikut terhadap penyelesaian optimum dan nilai programnya.
a. diubah menjadi
Penyelesaian :
Ubah soal kedalam bentuk kanonik menjadi
Fungsi kendala
Dan memaksimumkan
Berikut ini adalah tablo simpleks soal asli
6 6 4 0 0 0
0 4 3 1 1 0 0 1 1/4
0 1 2 2 0 1 0 1 1
0 3 -1 3 0 0 1 2 2/3
0 0 0 0 0 0 Z = 0
-6 -6 -4 0 0 0
6 1 ¾ 1/4 1/4 0 0 1/4 1
0 0 5/4 7/4 -1/4 1 0 3/4 3/7
0 0 -13/4 9/4 -3/4 0 1 5/4 5/9
6 9/2 3/2 3/2 0 0 Z = 3/2
0 -3/2 -5/2 3/2 0 0
6 1 4/7 0 2/7 -1/7 0 1/7
4 0 5/7 1 -1/7 4/7 0 3/7
0 0 -34/7 0 -3/7 -9/7 1 2/7
6 44/7 4 8/7 10/7 0 Z = 18/7
0 2/7 0 8/7 10/7 0
( basis)
( bukan basis)
( basis)
( bukan basis)
( bukan basis)
( basis)
Perhatikan untuk bukan basis
, sehingga .
Karena maka tablo optimum soal asli sudah optimum. Berarti p.o. soal asli tetap
menjadi p.o. soal terubah.
2. Memaksimumkan f = 6x1 + 6x2 + 4x3
dengan kendala 4x1 + 3x2 + x3 1
x1 + 2x2 + 2x3 1
3x1 - x2 + 3x3 2
Kemudian tentukan pengaruh perubahan-perubahan berikut terhadap p.o. dan nilai programnya.
d. diubah menjadi =
Penyelesaian soal asli:
TABLO SIMPLEKS
6 6 4 0 0 0
/
0 4 3 1 1 0 0 1 1/4
0 1 2 2 0 1 0 1 1
0 3 -1 3 0 0 1 2 2/3
0 0 0 0 0 0 0
-6 -6 -4 0 0 0 0
6 1 3/4 1/4 ¼ 0 0 ¼ 1
0 0 5/4 7/4 -1/4 1 0 3/4 3/7
0 0 -13/4 9/4 -3/4 0 1 5/4 5/9
6 18/4 6/4 6/4 0 0 6/4
0 -6/4 -10/4 6/4 0 0 6/4
6 1 16/28 0 8/28 -1/7 0 4/28
4 0 5/7 1 -1/7 4/7 0 3/7
0 0 -46/28 0 -12/28 -9/7 1 8/28
6 176/28 4 32/28 10/7 0 18/7
0 2/7 0 32/28 10/7 0 18/7
Dihitung koefisien kontrol baru.
z1* - c1* =
I
II
III
= (6 4 0) =
Karena zk* - ck* > 0 maka p.o. lama menjadi p.o. baru.
