1

BAB 6 MATRIKS

Dalam bab ini akan dipelajari beberapa jenis matriks yang dapat

mempresentasikan suatu graf. Representasi ini amat penting, misalkan dalam

masalah jaringan listrik dan ilmu komputer.

Jika tidak dinyatakan lain di sepanjang bab ini graf G=(V , E) yang

dimaksud adalah graf dengan n simpul (V ={v1, v2 , v3 ,.. vn }) dan m sisi

(E={e1 , e2 , e3 , ..em }) dan k=1 komponen.

6.1 Matriks Adjacency

Definisi 6.1

Suatu matriks adjacency dari graf dengan simpul berlabel G=(V , E) adalah

A=(aij )n×ndengan:

a ij={1 jika (v i , v j ) ϵ E0 jika selainnya

Untuk v i , v j ϵ V .

Dari definisi ini jelas bahwa a ij=1 jika v i adjacent dengan v j.

Ilustrasi:

Observasi:

1. A adalah matriks simetrik

2. Jumlah elemen baris ke-i pada matriks A sama dengan derajat simpul v i

yaitu:

∑j=1

n

aij=d (v i)

3. Terdapat pemetaan satu-satu antara graf berlabel yang mempunyai n

simpul dengan matriks biner berukuran n×n yang simetrik yang semua

unsur diagonal utamanya adalah 0.

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS

2

4. Graf G terhubungkan jika dan hanya jika tidak terdapat suatu pelabelan

simpul G sedemikian sehingga matriks adjacency-nya merupakan matriks

blok diagonal.

Ilustrasi:

5. Jika A1 dan A2 adalah matriks adjacency yang berpadanan dengan

pelabelan berbeda dari suatu graf G yang sama maka untuk suatu matriks

permutasi P berlaku A1=P−1 A2P .

Ilustrasi:

6. Elemen ¿) (yaitu elemen baris i kolom j) dari matriks Am adalah

banyaknya walk dengan panjang m dari simpul v i ke simpul v j di G.

Ilustrasi:

7. Jika i≠ jmaka elemen ¿) dari matriks A2 adalah banyaknya path yang

memuat tepat dua sisi dari simpul v i ke simpul v j. Elemen ¿) dari matriks

A2 adalah derajat dari simpul v i sedangkan elemen ¿) dari matriks A3

adalah 2 kali banyaknya segitiga yang memuat simpul v i.

Ilustrasi:

8. Jika G terhubungkan maka jarak antara v i dan v j untuk i≠ j adalah

bilangan bulat m terkecil sehingga elemen ¿) dari Am adalah taknol

Ilustrasi:

Definisi 6.2

Matriks adjacency dari digraf D dengan simpul berlabel yang mempunyai n

simpul, adalah A=(aij )n×nsehingga

a ij={1 jika terdapat sisi berarahdar i v i kev jdiD0 jika selainnya

Ilustrasi:

Observasi:

1. A tidak selalu simetrik.

2. Jumlah dari elemen kolom ke j dari A sama dengan banyaknya sisi

berarah menuju v j.

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS

3

3. Jumlah dari elemen baris ke i dari A sama dengan banyaknya sisi berarah

menjauhi simpul v i.

4. Elemen (i,j) dari Am adalah banyaknya walk dengan panjang m dariv ike

simpul v j.

Ilustrasi:

6.2 Matriks Incidence

Misalkan G adalah graf dengan n simpul dan m sisi dan semua simpul dan

sisinya berlabel.

Definisi 6.3

Matriks incidence dari suatu graf G yang semua simpul dan sisinya berlabel

adalah matriks B=(bij )n×msehingga

b ij={1 jika simpul v idansisi e jber hubungan(incidence )d iG0 jika selainnya

Ilustrasi:

Observasi:

1. Terdapat pemetaan satu-satu antara graf yang semua simpul dan sisinya

berlabel dengan matriks biner yang tepat mempunyai tepat dua elemen 1

pada kolomnya.

2. Setiap kolom di B tepat mempunyai data elemen 1.

3. Baris dengan semua elemennya 0 menyatakan simpul terisolir

(derajatnya = 0).

4. Suatu baris dengan satu elemen 1 menyatakan simpul pendant.

5. Jika G graf terhubungkan yang mempunyai n simpul. Maka rank B adalah

n-1.

6. Jika G mempunyai k komponen maka rank dari B adalah n-k.

Definisi 6.4

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS

4

Matriks incidence dari suatu digraf D yang semua simpul dan arc nya berlabel

dan mempunyai n simpul dan m sisi adalah B=(bij )n×m

b ij={1.Jika sisi berarah jmenjau hi simpul i−1.Jika berarah jmendekati simpuli

0.Jika selainnya

Ilustrasi:

6.3 Matriks Cycle

Definisi 6.5

Matriks Cycle dari suatu graf G yang sisi dan cycle-nya berlabel adalah

matriks C=(C ij)c×m dengan

c ij={1 jikacycle ke imemuat c j

0 jika selainnya

Ilustrasi:

Observasi:

1. Tidak terdapat korespondensi satu-satu antara suatu graf dengan matriks

cycle, sehingga ada kemungkinan dua graf berbeda mempunyai matriks

cycle yang sama.

2. Kolom dengan semua unsurnya 0 di C menyatakan bahwa sisi tersebut

tidak termuat dalam cycle manapun.

3. Banyaknya elemen 1 pada baris i menyatakan banyaknya sisi pada cycle

ke i.

Definisi 6.6

Misalkan D = (V,A) adalah digraf yang sisi dan cycle-nya berlabel. Misalkan aj

adalah sisi berarah di D dan Zi, adalah cycle ke i di D. Maka matriks cycle dari

D adalah matriks C i=(C ij)c×m dengan

c ij={ 1.Jika arah sisiai padacycleZ i samadenganara horientasi cycleZ i

−1.Jika arahsisi ai pada cycleZ iber lawanan denganarahorientasi cycle Z i

0.Jika selainnya

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS

5

6.3.1 Matriks Cycle

Misalkan T adalah spanning tree dari suatu graf terhubungkan G dengan n

simpul dan m sisi. Misalkan branch (cabang) dari T adalah b1, b2, b3,...bn-1 dan

chord dari T adalah c1, c2,...cm-n+1. Karena T acyclic maka menurut teorema 3.3,

graf TUCi tepat mempunyai satu cycle, yaitu Ci. Cycle Ci dinamakan cycle

fundamental dari G.

Ilustrasi:

Definisi 6.7

Misalkan graf G memuat himpunan cycle fundamental S. Anak matriks dari

matriks cycle graf G di mana setiap barisnya menyatakan cycle fundamental di

S disebut matriks cycle fundamental, dan dinyatakan dengan Cj

Kolom-kolom matriks Cf dapat dipermutasi sehingga Cf=|Ip|Ct|, dengan Iµ

adalah matriks identitas berukuran µ=m–n+1 dan kolom-kolomnya

menyatakan chord dari spanning tree T. Dan Cf adalah matriks berukuran m x

n – 1 yang kolom-kolomnya merupakan cabang (branch) dari T.

Teorema 6.1

Misalkan: G graf terhubungkan dengan m sisi dan n simpul dan C adalah

matriks cycle dari G. Maka rank dari G adalah m – n + 1.

6.4 Matriks Cut-Set

Definisi 6.8

Misalkan G=(V,E) adalah graf terhubungkan. Cut-set pada graf G adalah

himpunan sisi minimal dari E sehingga jika himpunan sisi ini dibuang maka G

menjadi tak terhubungkan.

Definisi 6.9

Misalkan G adalah graf dengan semua sisi dan cut-set-nya berlabel. Matriks

cut-set dari graf G adalah matriks K=(Kij) dengan

k ij={1 jikacut−set ke i padaGmemuat sisic j

0 jika selainnya

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS

6

6.5 Matriks Path

Definisi 6.10

Misalkan G = (V,E) adalah graf terhubungkan sehingga semua sisinya

berlabel. Untuk setiap pasang simpul yang berbeda u,v ∈ V. Matriks path dari

graf G adalah Puv=(pij) di mana baris P menyatakan path u-v dan kolom P

adalah sisi-sisi di Ei dengan

Pij={1 jika pat hu−vke i padaGmemuat sisie j

0 jika selainnya

Observasi:

1. Jumlah elemen pada baris ke i menyatakan banyaknya sisi pada path ke i.

2. Paling sedikit terdapat terdapat satu elemen 1 disetiap barisnya.

3. Suatu baris dengan semua elemennya 1 adalah trail Euler yang terbuka.

4. Suatu kolom dengan semua elemennya 1 menyatakan sisi yang termuat

pada setiap path u-v.

5. Suatu kolom dengan semua elemennya 0 menyatakan sisi yang tidak

termuat pada setiap path u-v.

TEORI GRAF BAB 6 MATRIKS