bab2- MATRIKs-intiMatlab

Fiber, Fisika FMIPA UNSRI

1

MATRIKS INTI BAHASA MATLAB

I. PENDAHULUAN

§ Dalam bahasa MATLAB matriks diartikan sebagai array atau larik, yaitu sejumlah

bilangan yang disusun dalam bentuk persegi. Demikian juga pengertian secara

umum matriks adalah susunan bilangan sebagai berikut:

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaaaaa

A

LMMM

LL

ukurannya ( m x n )

Secara singkat :

A = (aij) ; 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n

§ Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, matriks tersebut

disebut matriks bujur sangkar; misalnya berukuran n x n atau berorde n.

§ Matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran (1 x n) disebut matriks baris;

sedangkan yang terdiri dari hanya satu kolom berukuran (n x 1) disebut matriks

kolom.

§ Matriks bujur sangkar yang semua elemen tak diagonalnya nol, jadi aij = 0 untuk i

≠ j, disebut matriks diagonal.

II. MENYUSUN MATRIKS

Dalam MATLAB matriks dapat digunakan dan dibuat dengan melalui empat cara

berikut ini, yaitu:

II.1 Membuat matriks langsung dari command window atau jendela interaktif

Tiga metode untuk membuat matriks berorde m x n melalui jendela interaktif

MATLAB dapat ditunjukkan sebagai berikut:

Metode 1:

>>A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]


2

Hasilnya:

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

Metode 2:

>> A=[2 1 -1

1 -1 1

2 2 1];

Hasilnya:

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

Metode 3:

>> A1=[2 1 -1];

>> A2=[1 -1 1];

>> A3=[2 2 1];

>>A=[A1;A2;A3]

Hasilnya:

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

II.2. Membuat/menyusun Matriks dengan File-M

Matriks disusun atau dibuat dengan script MATLAB. Berikut ini contoh script

File-M untuk menyusun matriks berordo3x3.

Contoh 2.2.1

%Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc;


3

A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %Akhir program

Program ini disimpan sebagai file-M, dengan nama(misal) Matrik1a. Kemudian pindah

ke layar perintah MATLAB untuk memangil file Matrik1a, dilanjutkan dengan

mengetikkan ’A’ untuk menampilkan matriks yang telah dibuat.

Contoh 2.2.2.

%Program menyusun Matriks ordo 3x3 clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] %Akhir program

Simpanlah program ini dengan nama Matrik2a. Selanjutnya berpindah ke layar perintah

Matlab, ketikkan matrik2a, maka hasilnya(matriks A) akan langsung terlihat di layar.

II.3. Membuat Matriks dengan fungsi bawaan MATLAB

MATLAB menyediakan beberapa fungsi bawaan yang dapat menghasilkan

matriks, yaitu:

• zeros : semua elemen matriks bernilai nol

• ones : semua elemen matriks bernilai satu

• rand : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi uniform dari

nol sampai dengan satau

• randn. : matriks dengan elemen bilangan random berdistribusi normal

dengan rata-rata nol dan varian unit.

Berikut ini disajikan contoh-contoh penggunaan fungsi di atas.

Contoh 2.3.1.

>> Z=zeros(3,3) Z = 0 0 0 0 0 0 0 0 0


4

Contoh 2.3.2.

>> S=ones(3,3) S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Contoh 2.3.3.

>> R=rand(3,3) R = 0.9649 0.9572 0.1419 0.1576 0.4854 0.4218 0.9706 0.8003 0.9157

Contoh 2.3.4.

>> N=randn(3,3) N = -0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273

II.4. Membuat/menyusun Matriks dari data eksternal

MATLAB dapat membuat atau meload data dari file eksternal. Data eksternal

yang akan dibaca oleh MATLAB harus dalam bentuk numerik. Aturan penulisannya

adalah: data tersebut harus disusun dalam bentuk persegi(bujur sangkar atau persegi

panjang) antar elemen harus dipisahkan dengan spasi(kosong) dan jumlah elemen setiap

barisnya harus sama. Fungsi MATLAB yang digunakan untuk meload data tersebut

adalah ’load’

Berikut ini disajikan contoh data yang disusun dalam bentuk persegi yang

jumlah barisnya empat dan kolomnya empat.

16.0 3.0 2.0 13.0 5.0 10.0 11.0 8.0 9.0 6.0 7.0 12.0 4.0 15.0 14.0 1.0

Simpan data ini dengan nama magik.dat

Selanjutnya baca file ini dengan cara:

>> load magik.dat


5

>> B=magik

B =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

III. ALJABAR MATRIKS

a. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika ukurannya sama dan

elemen yang seletak bernilai sama.

b. Penjumlahan dan pengurangan Matriks

Jika matriks A = (aij) dan matriks B = (bij), berukuran sama, maka: A ± B = C,

dengan matriks C = (cij), dimana cij = aij ± bij

Contoh 3.1

Misalkan matriks A = [2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] dan Matriks B = [2 -1 1;1 2 3;2 1 2].

Hitunglah matriks C yang merupakan penjumlahan matriks A dan matriks B.

Solusi 1.

>> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1];

>> B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2];

>> C=A+B

C =

4 0 0

2 1 4

4 3 3

Solusi 2. Penyelesaian menggunakan file-M:

%Program penjumlahan 2 buah matriks berordo sama clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2];


6

C=A+B; %menampilkan matriks A, B, dan C A B C %Akhir program

c. Perkalian Matriks

Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), dan matriks B = (bij) berukuran (n x

k), maka: A B = C. Dengan matriks C = (cij) berukuran (m x k), dimana

∑=

=n

1kkjikij ba c . Syarat yang harus dipenuhi: jumlah kolom pada matriks A harus

sama dengan jumlah baris pada matriks B.

Contoh 3.2: Tentukanlah matriks C yang merupakan perkalian matriks A dan matriks

B, dan matriks D yang merupakan perkalian matriks B dan matriks A. Apakah matriks

C sama dengan matriks D ?

Solusi 1:

>> C=A*B

C =

3 -1 3

3 -2 0

8 3 10

>> D=B*A

D =

5 5 -2

10 5 4

9 5 1

Solusi 2: Penyelesaian menggunakan file-M:

%Program peerkalian 2 buah matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; B=[2 -1 1;1 2 3;2 1 2]; %proses perkalian matriks C=A*B;


7

D=B*A; %menampilkan matriks A, B, C dan D A B C D %Akhir program

Catatan:

Pada MATLAB perkalian matriks dengan pola elemen ke elemen juga dapat dilakukan

dengan notasi yang sedikit berbeda yaitu: ” .* ”

Hitunglah perkalian elemen ke elemen matriks A dan B pada contoh 3.1.

>> E=A.*B

E =

4 -1 -1

1 -2 3

4 2 2

d. Transpos Matriks

Jika matriks A = (aij) berukuran (m x n), maka transpos dari matriks A yaitu AT

= (aji) berukuran (n x m).

Untuk mentrasposkan matrik A(yang telah didefinisikan di atas), lakukan langkah

berikut:

>> F=A' F = 2 1 2 1 -1 2 -1 1 1

e. Trace (Spur) Matriks

Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka Trace dari matriks A:

∑=

=n

1iiia A Tr


8

Pada MATLAB:

>> trace(A)

ans = 2

f. DETERMINAN

Untuk setiap matriks bujur sangkar A berukuran (n x n) atau dikatakan berorde

n, terdapat sebuah bilangan det (A) atau det (aij) yang disebut determinan A.

Contoh 3.f.1:

Hitung determinan matriks A berikut:

−

−=

122111112

A

Solusi 1: dikerjakan langsung pada command windows

>> A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1] A = 2 1 -1 1 -1 1 2 2 1 >> det(A) ans = -9

Solusi 2: Diselesaikan dengan membuat script pada file-M. %Program menghitung determinat matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %pernyataan determinan B = det(A); %menampilkan matriks A, dan determinannya A %matriks A B %determinan dari matriks A %Akhir progran


9

Keluaran program:

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

B = -9

Latihan f.1:

Hitunglah determinan dari matriks berikut ini. Petunjuk (a)kerjakan langsung pada

jendela perintah (b) buat script pada file-M.

=

2241330412102301

A

g. MATRIKS INVERS

Jika matriks A = (aij) berukuran (n x n), maka invers dari matriks A

( dituliskan A-1) secara formal dirumuskan sebagai berikut:

(A)det

(A)adjoint A 1- =

dimana

adjoint (A) =

T

mnmm

n

akofakofakof

akofakofakof

)()()(

)()()(

21

11211

LMMMMMM

L

= kof (A)T

Sifat berikut haruslah dipenuhi oleh A-1, yaitu:

AA-1 = A-1A = I

dengan I adalah matriks identitas. Hal khusus berikut juga haruslah dipenuhi oleh A-1,

yaitu:

1. Jika matriks A orthogonal, maka:

A-1 = AT


10

2. Jika matriks A uniter, maka:

A-1 = A+

Dalam MATLAB®7, matriks invers dari matriks A diperoleh dengan

menggunakan perintah inv(A).

Contoh g.1: Hitunglah matriks invers dari:

−

−=

122111112

A

Solusi 1:

>> A

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

>> B=inv(A)

B =

0.3333 0.3333 0

-0.1111 -0.4444 0.3333

-0.4444 0.2222 0.3333

Solusi 2: %Program mencari invers matriks clear; clc; A=[2 1 -1;1 -1 1;2 2 1]; %menghitung invers matriks A B = inv(A); %menampilkan matriks A, dan invers dari A, yaitu matriks B A B %Akhir program


11

Keluaran program:

A =

2 1 -1

1 -1 1

2 2 1

B =

0.3333 0.3333 0

-0.1111 -0.4444 0.3333

-0.4444 0.2222 0.3333

Documents

bab2- MATRIKs-intiMatlab