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Dpto. de Matemáticas 1

BACHILLERATO

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS Y LA TECNOLOGÍA.

MATEMÁTICAS I

Introducción La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa debe ayudar al desarrollo de las capacidades, enunciadas en los objetivos generales del Bachillerato, junto con aquellas otras más ligadas a la modalidad de Ciencias y Tecnología como son: el acceso a conocimientos científicos y tecnológicos, y la comprensión de los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Por su naturaleza, las matemáticas constituyen un conjunto muy amplio de conocimientos que tienen en común un determinado modo de representar la realidad. Nacen de la necesidad de resolver determinados problemas prácticos y se sustentan en su capacidad para tratar, modelizar, explicar y predecir situaciones reales, y dar consistencia y rigor a los conocimientos científicos. Las matemáticas facilitan a su vez la creación de modelos simplificados del mundo real y nos ofrecen una ayuda para acotar los problemas. Su estructura, lejos de ser rígida, se halla en continua evolución, tanto por la incorporación de nuevos conocimientos como por su constante interrelación con otros campos, muy especialmente en el ámbito de la ciencia y de la técnica. OBJETIVOS. La enseñanza de las Matemáticas de esta modalidad en la etapa tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Comprender y aplicar los conceptos, estrategias y procedimientos matemáticos a situaciones diversas, así como en la resolución razonada de problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del saber, utilizándolos en la interpretación de las ciencias y en la actividad tecnológica, que a su vez permitan desarrollar estudios posteriores y adquirir una formación científica general. 2. Apreciar las argumentaciones razonadas y las demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y la tecnología y utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor científico. 3. Utilizar las estrategias características de la investigación científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de problemas, formulación y contraste de hipótesis, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la inducción y la deducción y comprobación de los resultados obtenidos) para realizar investigaciones y, en general, explorar situaciones y fenómenos nuevos.


4. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática y del trabajo científico tales como la visión crítica, la necesidad de la verificación, la valoración de la precisión, el aprecio del rigor, la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas, el interés por el trabajo cooperativo, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. 5. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y dinámico asociado a la construcción de la cultura universal, creador de un lenguaje sin fronteras, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado con otras ramas del saber. 6. Servirse de los medios tecnológicos para obtener y procesar información, ayudar en la comprensión de fenómenos dinámicos, desarrollar o rechazar intuiciones usándolos con sentido crítico, facilitar cálculos, presentar conclusiones y como herramienta en la resolución de problemas. 7. Analizar y valorar la información procedente de fuentes diversas, utilizando herramientas matemáticas para formarse una opinión que permita expresarse críticamente sobre problemas actuales, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante otros juicios y razonamientos. 8. Expresarse oralmente, por escrito y de forma gráfica en situaciones susceptibles de tratamiento matemático, comprendiendo y manejando términos, notaciones, representaciones matemáticas y recursos tecnológicos.


Contenidos I. Habilidades básicas y actitudes 1. Habilidades para realizar proyectos y pequeñas investigaciones matemáticas. Manejo

de distintos recursos y fuentes documentales: calculadora científica, gráfica, programas informáticos, Internet, diccionarios, enciclopedias, otras obras de referencia y consulta, revistes especializadas, bancos de datos, etc.

2. Habilidades matemáticas para interpretar, representar y analizar la realidad: clasificación, ordenación, cuantificación, representaciones, uso de distintos lenguajes y expresiones matemáticas.

3. Actitudes características de la actividad matemática: sensibilidad por el orden, la precisión y la simplicidad, curiosidad e interés por investigar, autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas, flexibilidad para cambiar el punto de vista, sentido crítico ante argumentaciones propias y ajenas, confianza en las propias capacidades, cooperación al trabajar en grupo y reconocimiento de la contribución de las matemáticas a otras ramas del saber y a la cultura universal.

4. Estrategias generales de resolución de problemas e investigaciones matemáticas: simplificación del problema, analogía con otro similar, búsqueda de regularidades, análisis de casos particulares, inducción, generalización y reflexión sobre el proceso seguido.

II. Aritmética y álgebra 1. El número real. Necesidad de su utilización. Interpretación y uso de los números

reales decidiendo su adecuada aproximación y valorando el margen de error según la situación estudiada. Ejemplos de especial interés de números irracionales: π , e, 2 ,φ . Representación en la recta real. Subconjuntos de R, intervalos y entornos. Desigualdades. Introducción de algunas demostraciones de interés con números reales.

2. Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones y de inecuaciones de primer y segundo grado y de ecuaciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas sencillas.

3. Manipulación de expresiones algebraicas (polinómicas, racionales e irracionales) de utilidad en la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Uso de herramientas algebraicas, de métodos numéricos para el cálculo de raíces, de programas informáticos y de recursos tecnológicos en la resolución de problemas

4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante métodos algebraicos y gráficos. Método de Gauss.

III. Geometría 1. Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Relaciones entre razones trigonométricas. 2. Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de triángulos y

problemas geométricos diversos. 3. Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Producto escalar. Interpretación

geométrica. 4. Geometría analítica plana: sistemas de referencia, ecuaciones de la recta. 5. Incidencia, paralelismo y perpendicularidad. Distancias y ángulos.


6. Idea de lugar geométrico en el plano. Elementos básicos de las cónicas. Aplicaciones a contextos reales.

7. Resolución de problemas geométricos. Estrategias generales del pensamiento científico: observación, experimentación, abstracción, simbolización, inferencia de leyes, propiedades y relaciones, comprobación, justificación y refutación de hipótesis.

IV. Análisis 1. Funciones reales de variable real. Descripción e interpretación de funciones dadas en

forma analítica o gráfica. 2. Clasificación y características básicas de las funciones polinómicas, racionales

sencillas, valor absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. 3. Operaciones con funciones. Familias de funciones. Transformaciones: f(x)+a, f(x+a),

)(xaf , f(ax). Composición de funciones. 4. Aproximación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de

una función. Continuidad de una función en un punto. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en fenómenos reales, mediante el uso de calculadoras u ordenadores.

5. Aproximación gráfica al concepto de derivada. Recta tangente a una función en un punto, estimación gráfica y numérica (tasa de variación media). Idea gráfica del concepto de derivabilidad en un punto. Derivada de una función en un punto. Interpretación física.

6. Obtención gráfica de las funciones derivadas de las funciones constantes, lineal, potencial, exponencial, logarítmica, seno, coseno y, en casos sencillos, de la suma de funciones y del producto de un número por una función.

7. Reconocimiento de las propiedades de continuidad y derivabilidad de una función a partir de su gráfica. Introducción al cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el producto y el cociente de funciones. Derivada de la función compuesta. Extremos relativos en un intervalo.

8. Interpretación y análisis de fenómenos sociales y de la naturaleza mediante funciones dadas en forma analítica o gráfica. Estudio de las propiedades locales y globales de funciones sencillas.

9. Utilización de programas informáticos y recursos tecnológicos para facilitar las representaciones y cálculos con funciones.

V. Estadística y probabilidad 1. Distribuciones bidimensionales. Representación gráfica. Estudio del grado de

relación entre variables. Correlación y regresión lineal. Predicciones estadísticas. 2. Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a posteriori. 3. Distribuciones binomial y normal. Uso de estas distribuciones para asignar

probabilidades a sucesos.


Criterios de evaluación 1. Utilizar los números reales, sus notaciones, representaciones gráficas, propiedades, operaciones y procedimientos asociados, para presentar e intercambiar información, estimar y resolver problemas, valorando los resultados obtenidos de acuerdo con la situación. Se pretende comprobar las destrezas adquiridas por el alumnado para reconocer y utilizar distintos tipos de números y operar con ellos, eligiendo la notación más conveniente en cada caso, seleccionando las aproximaciones y determinando las cotas de error acordes con las circunstancias, en un contexto de resolución de problemas. Además, se pretende evaluar la comprensión por parte de los alumnos y las alumnas de las propiedades de los números, del efecto de las operaciones y del valor absoluto y su posible aplicación. 2. Transcribir problemas extraídos de la realidad social y de la naturaleza al lenguaje algebraico, utilizar los procedimientos matemáticos adecuados en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas. El objeto de este criterio es valorar la capacidad del alumnado para la utilización del lenguaje algebraico y el uso de procedimientos de resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas, haciendo una interpretación de los resultados obtenidos. En relación con este criterio es tan importante la trascripción del lenguaje habitual al lenguaje algebraico como la resolución de las ecuaciones, inecuaciones o sistemas que se planteen, ayudándose de asistentes matemáticos en los casos necesarios. 3. Transferir una situación real a una esquematización geométrica, manipular expresiones trigonométricas sencillas y aplicar las diferentes técnicas de resolución de triángulos para encontrar las posibles soluciones, valorándolas e interpretándolas en su contexto real. Este criterio se propone evaluar la capacidad del alumnado para aplicar estrategias generales de resolución de problemas corno: representar geométricamente la situación planteada, simplificarla, encontrar analogías con otras similares, analizar casos particulares, seleccionar y utilizar las herramientas y transformaciones trigonométricas y geométricas adecuadas, con el fin de dar solución a problemas prácticos de medida, tanto del mundo físico como de la vida cotidiana. 4. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en dos dimensiones, utilizar las operaciones con vectores para resolver los problemas extraídos de ellas, así como identificar las formas correspondientes a lugares geométricos del plano, analizar sus propiedades métricas, construirlos a partir de ellas e interpretar y resolver analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental. La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se persigue comprobar si el alumnado es capaz de resolver problemas de incidencia, paralelismo, perpendicularidad y cálculo de distancias y ángulos, y de identificar y construir lugares geométricos del plano, valorando especialmente la capacidad para realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos del plano. En relación con este criterio es tan importante identificar los elementos básicos de las cónicas como el estudio de sus aplicaciones a contextos reales. 5. Reconocer las familias de funciones elementales, relacionar sus gráficas y expresiones algebraicas con fenómenos naturales y tecnológicos que se ajusten a ellas, y analizar, cuantitativa y cualitativamente, las situaciones presentadas


mediante relaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas o expresiones algebraicas. Este criterio tiene por objeto poner de manifiesto la capacidad del alumnado para realizar estudios del comportamiento global de las funciones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales del tipo: f(x) = k/g(x) y las que se obtienen a partir de ellas por transformaciones de tipo: f(x+a), f(x)+a, f(ax) o af(x), sin necesidad de profundizar en el estudio de propiedades locales desde un punto de vista analítico. Asimismo, se pretende evaluar la capacidad para interpretar los fenómenos estudiados a partir de las características de su gráfica y aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información aportada por el estudio de las funciones. 6. Interpretar el significado físico y geométrico de la derivada de una función y utilizar las operaciones con funciones derivadas y las reglas de derivación en el cálculo de derivadas. Este criterio pretende comprobar si el alumnado identifica tendencias y tasas de variación, estima la pendiente de una curva en un punto por diversos procedimientos, gráficos y numéricos, comprende el concepto de derivada y lo relaciona con su interpretación física y con la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Además, se pretende valorar las destrezas adquiridas en el cálculo de derivadas que se limitará a las familias de funciones simples y a las operaciones suma, producto y cociente. 7. Utilizar los conceptos propiedades y procedimientos adecuados para encontrar e interpretar características de funciones expresadas analítica y gráficamente. Se pretende comprobar, con la aplicación de este criterio, la capacidad de los alumnos y las alumnas de utilizar adecuadamente la terminología y los conceptos básicos del análisis para estudiar tendencias, continuidad, intervalos de crecimiento, extremos, curvatura, relacionar la gráfica de una función sencilla con la de su función derivada y aplicar el estudio realizado a la construcción de una función concreta. 8. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal. El criterio se propone evaluar si el alumnado es capaz de determinar, haciendo uso de tablas, calculadoras u ordenadores, la probabilidad de un suceso, utilizando diferentes técnicas, analizar una situación y decidir la opción más conveniente y utilizar las distribuciones binomial y normal para asignar probabilidades a sucesos. También se pretende comprobar que e] alumnado es capaz de apreciar el grado y el tipo de relación existentes entre dos variables mediante la información gráfica aportada por una nube de puntos o mediante la interpretación de los parámetros relacionados con la correlación, y extraer las conclusiones apropiadas. 9. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. A través de este criterio se pretende constatar si el alumnado utiliza la modelización de situaciones, la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas y las destrezas matemáticas adquiridas para realizar proyectos y pequeñas investigaciones, enfrentándose con situaciones nuevas. Se pretende, asimismo, evaluar la capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido.


Unidades Didácticas Unidad 1: Números Reales OBJETIVOS

• Utilizar los números enteros, racionales e irracionales para cuantificar situaciones de la vida cotidiana.

• Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas de números reales.

• Ordenar y representar los números reales sobre la recta real.

• Conocer y utilizar las distintas clases de intervalos.

• Operar utilizando la notación científica y las aproximaciones.

• Expresar un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

• Operar con radicales. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Manejar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Aplicar las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

CONTENIDOS CONCEPTOS

• Números racionales, irracionales y reales.

• Ordenación en el conjunto R. Valor absoluto.

• Notación científica.

• Aproximaciones. Errores absoluto y relativo.

• Potencias de base real y exponente entero.

• Radicales. Radicales equivalentes. Racionalización.

• Logaritmo de un número. Propiedades.

• Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• Comparación de números racionales utilizando la representación de una fracción.

• Reconocimiento y creación de números irracionales.

• Utilización de las propiedades del orden en el conjunto R en distintos contextos.

• Expresión y representación de un conjunto numérico en forma de intervalo.


• Aplicación del valor absoluto y la distancia entre números reales en la resolución de problemas.

• Utilización de números expresados en notación científica.

• Realización de cálculos con números usando las aproximaciones, y dando cuenta del error cometido.

• Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

• Realización de operaciones con radicales. Racionalización de expresiones.

• Aplicación de las propiedades de los logaritmos en distintos contextos.

• Reconocimiento y resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

ACTITUDES

• Respeto por las soluciones de problemas numéricos distintas de las propias.

• Gusto por la realización ordenada y cuidadosa de los cálculos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Operar con números enteros, racionales y reales, aplicando la jerarquía de las operaciones.

• Reconocer el conjunto numérico mínimo al que pertenece un número dado.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana, utilizando las operaciones de números decimales, fraccionarios y reales.

• Expresar resultados usando la representación de números reales y los distintos tipos de intervalos.

• Manejar con soltura la notación científica.


• Operar con radicales.

• Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Emplear las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.


UNIDAD 2: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

OBJETIVOS

• Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado.

• Resolver ecuaciones polinómicas, bicuadradas, con radicales y con fracciones algebraicas.

• Conocer y aplicar los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Plantear y resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, utilizando técnicas algebraicas y gráficas.

• Plantear y resolver sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas.

• Plantear y resolver problemas diversos mediante ecuaciones y sistemas.


• Raíces de un polinomio y factorización de polinomios.

• Operaciones con fracciones algebraicas.

• Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas, polinómicas, con radicales y fracciones algebraicas.

• Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales con dos incógnitas. Resolución gráfica.

• Tipos de sistemas según sus soluciones.

• Sistemas de ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas. Método de Gauss.

• Resolución de problemas mediante ecuaciones.


• Descomposición de un polinomio en factores.

• Simplificación de fracciones algebraicas reducibles.

• Reducción de un conjunto de fracciones algebraicas a común denominador.

• Utilización de las relaciones entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces para resolver distintos problemas.

• Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, aplicándolos para resolver problemas de la vida real.

• Utilización de diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.


• Resolución de sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss.

• Resolución de problemas mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones.

ACTITUDES

• Actitud de sentido crítico ante las soluciones obtenidas.

• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.

• Interés por la predicción y el descubrimiento de datos desconocidos.


• Reducir un conjunto de fracciones algebraicas a común denominador.

• Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado.

• Transformar situaciones reales en ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver, analítica y gráficamente, sistemas lineales de ecuaciones con dos incógnitas, y determinar su compatibilidad o incompatibilidad.

• Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, y determinar la compatibilidad o incompatibilidad de dichos sistemas.

• Resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.


UNIDAD 3: Inecuaciones y sistemas de inecuaciones. OBJETIVOS

• Resolver inecuaciones con una y dos incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas, aplicando técnicas algebraicas y gráficas.

• Resolver sistemas de inecuaciones no lineales con una incógnita.

• Resolver problemas utilizando inecuaciones y sistemas de inecuaciones, y analizar la validez de las soluciones en el contexto del problema.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Desigualdades. Inecuaciones. Inecuación lineal con una incógnita.

• Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

• Inecuaciones no lineales con una incógnita. Inecuación de segundo grado con una incógnita.

• Inecuaciones de grado superior a dos con una incógnita.

• Inecuaciones con fracciones algebraicas y una incógnita.

• Inecuaciones lineales con dos incógnitas.

• Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas. Representación gráfica de las soluciones.

• Resolución de problemas mediante inecuaciones.

PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES • Resolución de inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y de sistemas

con inecuaciones lineales.

• Resolución de inecuaciones de segundo grado y superior por medios gráficos.

• Resolución de sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas por medios aritméticos y gráficos.

• Planteamiento y resolución de problemas mediante el uso de inecuaciones.

ACTITUDES o Valorar la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en

diferentes ámbitos, y reconocer su simplicidad y precisión. • Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN • Resolver inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y sistemas con

inecuaciones lineales.

• Resolver inecuaciones de segundo grado y superior por medios aritméticos y gráficos.

• Resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas por medios aritméticos y gráficos.

• Plantear y resolver problemas mediante el uso de inecuaciones. UNIDAD 4: Trigonometría

OBJETIVOS

• Reconocer los sistemas de medida de ángulos.

• Obtener las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Reconocer las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, obtenerlas y utilizarlas para resolver problemas.

• Aplicar las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Utilizar las razones trigonométricas de la suma y la diferencia de dos ángulos, así como las razones del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolver triángulos rectángulos y aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de problemas.

• Resolver triángulos cualesquiera a partir de determinados datos.

• Reconocer y resolver ecuaciones trigonométricas.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Ángulos. Medida de ángulos.

• Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

• Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Circunferencia goniométrica.

• Reducción de ángulos al primer giro.

• Relaciones trigonométricas fundamentales.

• Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolución de triángulos rectángulos. Teorema del seno. Teorema del coseno.


• Resolución de triángulos cualesquiera.

• Ecuaciones trigonométricas.


• Manejo de los conceptos de ángulo y radián, y utilización de los sistemas de medida de ángulos: grados sexagesimales, grados centesimales y radianes, pasando de unos a otros.

• Reconocimiento y cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, y utilización de sus relaciones para resolver problemas.

• Aplicación de las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Obtención y utilización de las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolución de triángulos rectángulos y aplicación de los teoremas del seno y del coseno para resolver problemas.

• Resolución de problemas reales mediante la resolución de un triángulo cualquiera, calculando los ángulos y lados desconocidos a partir de los datos conocidos.

• Identificación, resolución y discusión de ecuaciones trigonométricas.


• Utilizar los conceptos de ángulo y radián, y pasar de grados sexagesimales a grados centesimales y radianes, y viceversa.

• Distinguir y hallar las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera, y utilizar las relaciones entre ellas para resolver problemas.

• Aplicar las relaciones trigonométricas en distintos contextos.

• Obtener y utilizar las razones trigonométricas de la suma de dos ángulos, del ángulo doble y del ángulo mitad.

• Resolver triángulos rectángulos y aplicar los teoremas del seno y del coseno en la resolución de problemas.

• Resolver problemas reales mediante la resolución de un triángulo cualquiera, calculando los ángulos y lados que faltan a partir de los datos conocidos, y comprobando la solución obtenida.

• Reconocer, resolver y discutir ecuaciones trigonométricas.


UNIDAD 5: Geometría analítica OBJETIVOS

• Utilizar los conceptos de vector: módulo, dirección y sentido.

• Distinguir si dos vectores son equivalentes, y calcular los componentes de un vector, dados sus extremos.

• Realizar operaciones de suma de vectores y producto por un número real, así como combinaciones lineales de vectores.

• Distinguir si dos vectores en el plano son linealmente dependientes o independientes y si forman base, y obtener las coordenadas de un vector en una base.

• Obtener el producto escalar de dos vectores, y aplicarlo al cálculo del módulo de un vector y del ángulo que forman dos vectores.

• Reconocer y hallar la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas, la ecuación continua y la ecuación general de una recta.

• Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.


• Vectores: módulo, dirección y sentido.

• Operaciones con vectores.

• Dependencia lineal. Bases. Coordenadas.

• Producto escalar. Propiedades. Aplicaciones del producto escalar.

• Vector director de una recta.

• Ecuación vectorial de una recta. Ecuaciones paramétricas de una recta.

• Ecuación continua. Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.

• Ecuación explícita. Ecuación punto-pendiente.

• Ecuación general.

• Posiciones relativas de dos rectas en el plano.


• Utilización de los conceptos de vector: módulo, dirección y sentido, en distintos contextos y determinación de la existencia o no de equivalencia entre dos vectores.

• Realización de sumas de vectores, del producto de un número por un vector, y obtención de combinaciones lineales de vectores, de forma gráfica.


• Determinación de la relación de linealidad entre dos vectores, y cálculo de las coordenadas de un vector en una base cualquiera.

• Obtención del producto escalar de dos vectores, y utilización de sus propiedades para resolver distintos problemas: cálculo del módulo de un vector, del ángulo de dos vectores...

• Cálculo de la ecuación vectorial y de las ecuaciones paramétricas de una recta.

• Obtención de la ecuación continua de una recta.

• Reconocimiento de rectas paralelas y perpendiculares.

• Obtención de la ecuación explícita y de la ecuación punto-pendiente de una recta.

• Determinación de las posiciones relativas de dos rectas en el plano.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de vectores y sistemas de referencia en la realidad.

• Gusto por la realización cuidadosa de los cálculos con vectores.


• Determinar el módulo, la dirección y el sentido de un vector, su equivalencia o no con otro vector, y calcular sus componentes.

• Sumar vectores, multiplicarlos por un número real y obtener combinaciones lineales de vectores, de forma gráfica.

• Determinar la relación de linealidad entre dos vectores.

• Obtener las coordenadas de un vector en una base cualquiera.

• Hallar el producto escalar de dos vectores de forma gráfica y analítica, y utilizar sus propiedades para resolver distintos problemas.

• Calcular la distancia entre dos puntos y el ángulo de dos vectores.

• Reconocer y calcular la ecuación vectorial de una recta.

• Determinar las ecuaciones paramétricas de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos.

• Hallar la ecuación continua de una recta, a partir de la ecuación vectorial.

• Calcular la ecuación explícita de una recta, a partir de la ecuación continua.

• Obtener la ecuación punto-pendiente de una recta, a partir de la ecuación explícita.

• Calcular la ecuación general de una recta.

• Distinguir si un punto pertenece o no a una recta dada.

• Determinar la posición relativa de dos rectas en el plano.


UNIDAD 6: Lugares geométricos. Cónicas. OBJETIVOS

• Identificar los lugares geométricos más comunes y razonar su definición.

• Definir la circunferencia y sus elementos característicos, y hallar su ecuación en diversas situaciones.

• Reconocer la elipse y sus elementos característicos, aplicando las diversas formas de expresar su ecuación.

• Distinguir la hipérbola y sus elementos característicos, y aplicar las distintas formas de expresar su ecuación.

• Reconocer la parábola y sus elementos característicos, usando las diferentes formas de expresar su ecuación.

• Reconocer y analizar las distintas posiciones de una recta y una circunferencia, y caracterizar las rectas tangente y normal a la circunferencia.


• Lugares geométricos.

• Circunferencia: definición, elementos y ecuación.

• Elipse: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Hipérbola: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Parábola: definición, elementos, propiedades y ecuación.

• Posición relativa de una recta y una circunferencia.


• Utilización de la relación entre los semiejes mayor, menor (o imaginario) y focal en la elipse y en la hipérbola para resolver problemas.

• Obtención de la excentricidad de elipses e hipérbolas, y reconocimiento de la influencia que tiene en la forma de estas cónicas.

• Cálculo de la ecuación de la elipse y la hipérbola con centro en el punto (h, k) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

• Representación gráfica y obtención de la ecuación de una parábola de ejes paralelos a los ejes de coordenadas.

• Determinación de la ecuación de una circunferencia en diversas situaciones.


• Estudio de la posición relativa de una recta y una circunferencia.

• Resolución de problemas reales donde aparezcan cónicas.

ACTITUDES

• Reconocimiento de la presencia de cónicas en contextos reales.

• Interés y cuidado al trabajar con cónicas.


• Hallar la ecuación de la elipse, conocidos algunos de sus elementos.

• Determinar las coordenadas del centro, vértices y focos de una elipse de centro (h, k), dada su ecuación reducida o general.

• Hallar la ecuación de la hipérbola de centro (h, k), conocidos algunos de sus elementos.

• Representar y hallar los elementos de distintas parábolas, dada su ecuación reducida.

• Reconocer y calcular la ecuación de una circunferencia en diferentes casos.

• Identificar la posición relativa de una recta respecto de una circunferencia.

• Resolver problemas reales donde aparezcan cónicas en distintos contextos.


UNIDAD 7: Funciones reales. OBJETIVOS

• Comprender el concepto de función.

• Hallar el dominio y el recorrido de una función, dada su gráfica o su expresión algebraica.

• Determinar el crecimiento o el decrecimiento de una función, y obtener sus máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Distinguir las simetrías de una función.

• Reconocer si una función es periódica.

• Calcular la función inversa de una función dada.

• Componer dos o más funciones.


• Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad.

• Función inversa de una función.

• Composición de funciones.


• Obtención del dominio y el recorrido de una función.

• Cálculo de imágenes en una función.

• Análisis del crecimiento de una función y obtención de sus máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje de ordenadas y respecto del origen (funciones pares e impares).

• Análisis de la periodicidad de una función.

• Cálculo de la función inversa de una función.



ACTITUDES

• Interés y cuidado al representar funciones.

• Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar situaciones de la vida real.



• Obtener imágenes en una función.


• Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, y reconocer si una función es par o impar.

• Determinar si una función es periódica.

• Calcular la inversa de una función.



UNIDAD 8: Funciones elementales OBJETIVOS

• Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.

• Identificar los elementos principales de una parábola: vértice y eje de simetría.

• Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola, a partir del estudio de sus características.

• Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, a partir de su expresión algebraica.

• Reconocer y representar hipérbolas derivadas de funciones de proporcionalidad inversa.

• Identificar y representar funciones radicales.

• Interpretar y representar la función exponencial del tipo y = ax, con a > 0 y a ≠ 1.

• Interpretar y representar las funciones exponenciales del tipo y = ak • x, y = ax + b e y = ax+b, como transformaciones de la gráfica y = ax.

• Interpretar y representar la función logarítmica.

• Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la resolución de problemas.

• Conocer las principales características de las funciones trigonométricas y representarlas gráficamente.

• Representar funciones definidas a trozos.

• Identificar y representar la función valor absoluto y parte entera.


• Funciones polinómicas de primer grado: rectas.

• Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas.

• Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.

• Funciones racionales.

• Funciones radicales.

• Funciones exponenciales del tipo: y = ax, y = ax + b e y = ax+b.

• Funciones logarítmicas.

• Funciones trigonométricas.

• Funciones definidas a trozos.

• Función valor absoluto.


• Función parte entera.

• Transformaciones: f(x)+a, f(x+a), a f(x), f(ax).


• Representación gráfica de una función polinómica de segundo grado, y = ax2 + bx +c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.

• Reconocimiento de las funciones de proporcionalidad inversa, así como de sus propiedades.

• Representación gráfica de una función racional a partir de transformaciones de la gráfica de la función y = 1/x.

• Representación gráfica y estudio de las características de la función radical.

• Interpretación y representación de la función exponencial.

• Interpretación y representación de la función logarítmica.

• Características y representación de las funciones trigonométricas.

• Características y representación de las funciones valor absoluto y parte entera.

ACTITUDES

• Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.

• Valoración de la utilidad de los distintos tipos de funciones para representar y expresar situaciones de la realidad.


• Representar gráficamente una función de segundo grado, y = ax2 + bx + c, a partir del estudio de sus características, o mediante traslaciones de la función y = ax2.

• Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.

• Reconocer las funciones racionales y determinar su dominio. Representar una función racional a partir de traslaciones y dilataciones de la gráfica

de la función y = x1

• Representar funciones radicales.

• Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.

• Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.

• Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.

• Determinar funciones trigonométricas.

• Representar gráficamente funciones definidas a trozos.

• Representar funciones sencillas “valor absoluto” y “parte entera”.


UNIDAD 9:límite de una función.

OBJETIVOS

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y hallar sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función.

• Calcular límites de funciones elementales de manera sistemática.

• Resolver las indeterminaciones del tipo 1α , 0 . α y α - α en el cálculo de límites.

• Estudiar la existencia de asíntotas en una función.

• Estudiar la continuidad de una función en un punto y clasificar las discontinuidades.


• Límite de una función en un punto.

• Límites laterales. Indeterminaciones.

• Límite infinito de una función en un punto.

• Límite de una función en el infinito

• Ramas infinitas y asíntotas.

• Continuidad en un punto.

• Tipos de discontinuidad.


• Obtención, si existe, del límite de una función en un punto y de sus límites laterales.

• Determinación de los límites infinitos de una función.

• Utilización de las propiedades de los límites para el cálculo de límites de operaciones con funciones.

• Resolución de problemas de indeterminaciones en el cálculo de límites.

• Estudio de funciones en el infinito (ramas infinitas).

• Cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en una función.

• Determinación de la continuidad de una función en un punto, y estudio de sus discontinuidades.


ACTITUDES


• Interés por la reflexión al realizar cálculos con límites.


• Hallar distintos términos de una sucesión a partir de su regla de formación, y obtener el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos de una función.

• Utilizar las propiedades de los límites para su cálculo.

• Resolver problemas de indeterminaciones.

• Determinar las asíntotas y las ramas infinitas de una función.

• Hallar la continuidad de una función en un punto y estudiar de qué tipo son sus discontinuidades.


UNIDAD 10: Derivada de una función. OBJETIVOS

• Utilizar la variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.

• Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función dada, así como sus derivadas laterales.

• Calcular derivadas usando las reglas de derivación.

• Obtener derivadas de operaciones con funciones.

• Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.

• Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas sucesivas.

• Resolver problemas de optimización.


• Variación media de una función.

• Derivada en un punto. Interpretación geométrica. Función derivada.

• Derivadas laterales.

• Derivadas de las funciones elementales.

• Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.

• Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una función en un punto.

• Derivadas sucesivas.

• Gráfica de las funciones derivadas de las funciones constantes, lineal, potencial, exponencial, logarítmica, seno y coseno.

• Gráfica de la función derivada de la suma de funciones y del producto de un número por una función.

• Aplicación de las derivadas.


• Cálculo de la variación media de una función en un intervalo.


• Obtención de la derivada de una función en un punto, y determinación de la función derivada asociada a esa función.

• Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

• Utilización de la relación entre la derivabilidad y el crecimiento de una función para resolver problemas.

• Determinación de la función derivada de las funciones elementales.

• Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Obtención de la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

• Utilización de programas informáticos y recursos tecnológicos para efectuar cálculos y representar funciones.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de las derivadas en la vida real.

• Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.


• Hallar la variación media de una función en un intervalo.

• Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función derivada asociada a esa función.

• Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Determinar las derivadas laterales de una función en un punto.

• Utilizar la relación entre derivabilidad y crecimiento para resolver problemas.

• Obtener la función derivada de una función elemental.

• Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas sucesivas de una función.

• Resolver distintos problemas donde aparezca el concepto de derivada de una función.


UNIDAD 11. Estadística bidimensional. OBJETIVOS

• Interpretar frecuencias y tablas de variables unidimensionales.

• Encontrar valores representativos de un conjunto de datos, utilizando medidas de centralización y dispersión.

• Reconocer variables estadísticas bidimensionales, y organizar sus datos en una tabla de doble entrada.

• Representar e interpretar un conjunto de valores de dos variables mediante un diagrama de dispersión.

• Distinguir si existe dependencia lineal entre las variables que forman una variable bidimensional.

• Determinar el coeficiente de correlación lineal.

• Analizar el grado de relación de dos variables, conociendo el coeficiente de correlación lineal.

• Determinar la recta que mejor se ajusta a una nube de puntos.

• Estimar un valor de una variable, conocido un valor de la otra variable.


• Frecuencias y tablas de variables unidimensionales.

• Media aritmética, mediana, moda, varianza y desviación unidimensionales.

• Variables bidimensionales.

• Frecuencias relativas y absolutas de variables bidimensionales. Diagrama de dispersión.

• Tablas de doble entrada.

• Covarianza. Coeficiente de correlación. Rectas de regresión. Estimación.


• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de una variable de un conjunto de datos, expresándolas en forma de tabla.

• Obtención de la media, mediana y moda de un conjunto de datos, agrupados o no.

• Cálculo de la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos.

• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de variables bidimensionales.

• Representación del diagrama de dispersión de una variable bidimensional.


• Obtención de la covarianza de una variable bidimensional.

• Interpretación y obtención del coeficiente de correlación.

• Cálculo de la recta de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

• Obtención de estimaciones a partir de las rectas de regresión.

ACTITUDES

• Aprecio de la utilidad de la regresión para realizar estimaciones y predicciones.

• Razonamiento crítico de los resultados extraídos al estudiar la correlación.


• Expresar, en forma de tabla, las frecuencias absolutas y relativas de una variable de un conjunto de datos.

• Resolver problemas donde intervengan la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos, agrupados o no.

• Obtener la varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación de un conjunto de datos.

• Representar una variable bidimensional utilizando el diagrama de dispersión.

• Calcular la covarianza de una variable bidimensional y el coeficiente de correlación lineal entre dos variables, a partir de su covarianza y de sus desviaciones típicas.

• Hallar las rectas de regresión de una variable bidimensional, y realizar estimaciones y predicciones utilizando dichas rectas.


UNIDAD 12: Probabilidad

OBJETIVOS

• Distinguir si un experimento es aleatorio o no, y utilizar los conceptos de espacio muestral, suceso, suceso seguro, suceso imposible y suceso complementario.

• Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades.

• Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades.

• Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace.

• Resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes o independientes, y resolverlos.

• Determinar la probabilidad de un suceso, aplicando el teorema de probabilidad total.

• Aplicar el teorema de Bayes en la resolución de problemas donde aparezcan probabilidades «a posteriori».


• Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos. Propiedades.

• Probabilidad. Regla de Laplace.

• Probabilidad condicionada.

• Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes.

• Probabilidad total.

• Probabilidades «a posteriori». Teorema de Bayes.


• Reconocimiento de la aleatoriedad o no de un experimento.

• Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos.

• Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Resolución de problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos.

• Obtención de la probabilidad total de un suceso.


• Reconocimiento y uso de las probabilidades «a posteriori».

• Utilización del teorema de Bayes en la resolución de problemas.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida real.

• Gusto por la reflexión al resolver problemas de probabilidad.


• Distinguir si un experimento es aleatorio o no.

• Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades.

• Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Hallar probabilidades de forma experimental.

• Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta.

• Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos.

• Calcular la probabilidad total de un suceso, utilizando diagramas de sucesos y diagramas de árbol.

• Reconocer y usar las probabilidades «a posteriori».

• Utilizar el teorema de Bayes en la resolución de problemas.


UNIDAD 13: Distribuciones binomial y normal. OBJETIVOS

• Reconocer el concepto de variable aleatoria, sus tipos y las funciones de probabilidad y de densidad.

• Identificar las características de la función de distribución, y utilizar su relación con las funciones de probabilidad y densidad.

• Reconocer la distribución binomial, obtener distintas probabilidades a partir de ella y calcular su media y su varianza.

• Identificar la distribución normal, interpretar la campana de Gauss y tipificar y manejar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en los casos en que sea necesario.


• Funciones de probabilidad y de densidad. Función de distribución.

• Distribución binomial. Media y varianza.

• Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1).

• Tipificación de la normal.

• Aproximación de la binomial por la normal.


• Distinción entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Empleo de la función de densidad de una variable aleatoria continua y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificación de la distribución binomial y del valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, cálculo de probabilidades usando las tablas, y obtención del valor de su media o esperanza y su varianza.

• Identificación de la distribución normal y del valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretación de la campana de Gauss, manejo de la tabla N(0, 1) y cálculo de probabilidades mediante la tipificación.

• Ajuste de una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.


ACTITUDES

• Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad en la vida real.



• Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilizar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su función de distribución asociada.

• Emplear la función de densidad de una variable aleatoria continua y su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.

• Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.


METODOLOGÍA El proceso de enseñanza-aprendizaje entendemos que debe cumplir los siguientes requisitos: Partir del nivel de desarrollo del alumnado y de sus aprendizajes previos. Asegurar la construcción de aprendizajes significativos a través de la movilización de sus conocimientos previos y de la memorización comprensiva. Posibilitar que los alumnos y las alumnas realicen aprendizajes significativos por sí solos. Favorecer situaciones en las que los alumnos y alumnas deben actualizar sus conocimientos. Proporcionar situaciones de aprendizaje que tienen sentido para los alumnos y alumnas, con el fin de que resulten motivadoras. En coherencia con lo expuesto, los principios que orientan nuestra práctica educativa son los siguientes: Metodología activa. Supone atender a aspectos íntimamente relacionados, referidos al clima de participación e integración del alumnado en el proceso de aprendizaje: Integración activa de los alumnos y alumnas en la dinámica general del aula y en la adquisición y configuración de los aprendizajes. Participación en el diseño y desarrollo del proceso de enseñanza/aprendizaje. Motivación. Consideramos fundamental partir de los intereses, demandas, necesidades y expectativas de los alumnos y alumnas. También será importante arbitrar dinámicas que fomenten el trabajo en grupo. Atención a la diversidad del alumnado. Nuestra intervención educativa con los alumnos y alumnas asume como uno de sus principios básicos tener en cuenta sus diferentes ritmos de aprendizaje, así como sus distintos intereses y motivaciones. Evaluación del proceso educativo. La evaluación se concibe de una forma holística, es decir, analiza todos los aspectos del proceso educativo y permite la retroalimentación, la aportación de informaciones precisas que permiten reestructurar la actividad en su conjunto.


LA EVALUACIÓN Entendemos la evaluación como un proceso integral, en el que se contemplan diversas dimensiones o vertientes: análisis del proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas, análisis del proceso de enseñanza y de la práctica docente, y análisis del propio proyecto curricular. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS Y ALUMNAS. La evaluación se concibe y práctica de la siguiente manera: Individualizada, centrándose en la evolución de cada alumno y en su situación inicial y particularidades. Integradora, para lo cual contempla la existencia de diferentes grupos y situaciones y la flexibilidad en la aplicación de los criterios de evaluación que se seleccionan. Cualitativa, en la medida en que se aprecian todos los aspectos que inciden en cada situación particular y se evalúan de forma equilibrada los diversos niveles de desarrollo del alumno, no sólo los de carácter cognitivo. Orientadora, dado que aporta al alumno o alumna la información precisa para mejorar su aprendizaje y adquirir estrategias apropiadas. Continua, ya que atiende al aprendizaje como proceso, contrastando los diversos momentos o fases. Se contemplan tres modalidades: - Evaluación inicial. Proporciona datos acerca del punto de partida de cada alumno, proporcionando una primera fuente de información sobre los conocimientos previos y características personales, que permiten una atención a las diferencias y una metodología adecuada. - Evaluación formativa. Concede importancia a la evolución a lo largo del proceso, confiriendo una visión de las dificultades y progresos de cada caso. - Evaluación sumativa. Establece los resultados al término del proceso total de aprendizaje en cada período formativo y la consecución de los objetivos.

Asimismo, se contempla en el proceso la existencia de elementos de autoevaluación y coevaluación que impliquen a los alumnos y alumnas en el proceso. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA Y DE LA PRÁCTICA DOCENTE. Algunos de los aspectos a los que atenderá son los siguientes: a) Organización y coordinación del equipo. Grado de definición. Distinción de

responsabilidades. b) Planificación de las tareas. Dotación de medios y tiempos. Distribución de medios y

tiempos. Selección del modo de elaboración. c) Participación. Ambiente de trabajo y participación. Clima de consenso y aprobación

de acuerdos. Implicación de los miembros. Proceso de integración en el trabajo. Relación e implicación de los padres. Relación entre los alumnos y alumnas, y entre los alumnos y alumnas y los profesores.


MATEMÁTICAS II

OBJETIVOS Con las Matemáticas II se pretenden dos objetivos fundamentales: a) Dar una introducción a las Matemáticas Superiores en sus aspectos operativos (cálculo práctico de derivadas, integrales, resolver sistemas, algo de geometría...). b) Iniciar al alumno en lo que podríamos llamar “el método matemático” y en las aplicaciones prácticas de las Matemáticas. Las dificultades constatadas durante años por los asistentes a la Coordinación hacen que en la práctica el segundo objetivo no se cumpla, y que el primero se alcance escasamente y sólo a costa de reducciones sustanciales de nivel y recortes de contenidos. Teniendo todo ello en cuenta, se formulan los siguientes propósitos: a) El primero, conseguir que el programa sea explicado en su totalidad, con independencia de la existencia o no de una prueba final. Sabemos que puede hacerse, siempre que el profesorado sea consciente del grado de profundidad que debe imprimir a la enseñanza de la asignatura. b) La preparación de la PAU –mientras exista- puede hacerse en función de los niveles promedio de la enseñanza en los diferentes centros, tal como ya está sucediendo actualmente. LA ASIGNATURA Considerando Matemáticas II como introducción a las Matemáticas Superiores, dividimos la materia en cuatro grandes apartados, cuyo orden recomendado es éste: I. Funciones. Funciones continuas. Funciones derivables. II. Cálculo Diferencial e Integral. III. Introducción al Álgebra Lineal. IV. Introducción a la Geometría Vectorial del espacio. Hay acuerdo en que las Matemáticas I deben de haber contemplado los siguientes puntos, y en que hay que partir de esta base: a) Operaciones con diferentes clases de números (potencias, raíces, logaritmos...). b) Manipulación de expresiones algebraicas básicas (polinomios, expresiones racionales

y algunas irracionales...) c) Ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales de primero y segundo grado en una

variable (resolución y discusión). d) Derivadas: Concepto, Tasa de variación media y cálculo de derivadas sencillas.

Interpretación geométrica y física de la derivada Recta tangente a una función

d) Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas: Resolución y aplicación a problemas


I. Funciones. Funciones continuas. Funciones derivables. 1. Concepto de función. Funciones reales de variable natural y funciones reales de variable real. Repasar las características de las funciones a través de la representación. Repasar los siguientes tipos de funciones: Funciones polinómicas, racionales (con denominador de grado a lo más 2), logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, parte entera, valor absoluto y raíces cuadradas (con radicando fácilmente descomponible en factores), así como funciones definidas “a trozos” combinando las anteriores. Representar los casos f(x)±a, f(x±a), af(x) y f(ax), a partir de f(x). Introducir los conceptos con ayuda de muchas representaciones gráficas. 2. Concepto intuitivo e interpretación gráfica del límite de una función con la variable tendiendo a un punto o con la variable tendiendo a infinito. Límites laterales. Infinitésimos. Cálculos de límites funcionales con indeterminaciones del tipo 0/0, ∞ − ∞ , 0 . ∞ , ∞ / ∞ y 1∞ con apoyo gráfico, calculadoras, construcción de tablas de valores y técnicas habituales. Definición y cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. 3. Continuidad de una función en un punto. Continuidad en intervalos abiertos y en intervalos cerrados. Tipos de discontinuidades: Evitables, de salto finito, infinitas (de salto o no) y de segunda especie (un solo ejemplo, que podría ser sen(1/x) , en x = 0, o parecido). 4. Tasa de variación media de una función. Concepto de derivada de una función en un punto. Interpretaciones geométricas y físicas. Derivadas laterales. Rectas tangente y normal a una curva en un punto. Reconocer las propiedades de continuidad y derivabilidad de una función a partir de su gráfica y mostrar gráficamente que “derivable en un punto implica continua en ese punto” y no al revés. II. Cálculo Diferencial e Integral. 5. Concepto de función derivada de otra función. Estudio de la derivabilidad de las funciones del Tema 1: Cálculos prácticos y utilización de algunas de las reglas usuales de derivación (suma, producto, cociente, función compuesta, con un máximo de dos composiciones.). Tabla de funciones derivadas. Comparar las gráficas de f(x) y de f ’(x). 6. Aplicaciones de la derivada.

6.1. Análisis de la construcción de una gráfica: aplicación de los conceptos de límite, continuidad y derivada a la representación gráfica y al estudio de situaciones susceptibles de ser tratadas mediante funciones:

• Dominio y continuidad • Estudio de las simetrías f(x) = f(-x) y f(-x) =-f(x). • Puntos de corte. • Asíntotas: Horizontales, verticales y oblicuas. • Monotonía (aplicación de la derivada primera) y extremos. Concepto de extremo

relativo de una función. Condición necesaria (pero no suficiente) para la existencia de extremos en una función derivable.

• Curvatura (aplicación de la derivada segunda): Interpretación geométrica. Concavidad y convexidad. Puntos de Inflexión. Una función es convexa en a si


f”(a)<0, esto es, si la gráfica tiene aspecto de ∩ en las proximidades del punto (a,f(a)).

6.2. Extracción de Información a partir de una gráfica: • Extracción de información acerca de f(x), f’(x) y f” (x) por observación de la

gráfica de f(x). • Extracción de información acerca de f por observación de la gráfica de f ‘(x):

- Puntos de corte de f ’(x) →Posibles extremos de f (x) - Regiones de f ’(x) → Monotonía de f (x) - Puntos de corte de f ’’(x) → Posibles puntos de inflexión - Regiones de f ’’(x) → Concavidad de f (x)

6.3. Optimización. Se trabajará con problemas relacionados con fenómenos geométricos, tecnológicos, etc… dando la función a optimizar en un contexto real. Evitar problemas geométricos tridimensionales.

7. Dada una función derivada, hallar la función de la que procede. Concepto de primitiva: la constante de integración y su interpretación. Lectura y utilización de la tabla de derivadas en uno y otro sentido. Cálculo elemental de integrales indefinidas:

• Integrales Inmediatas. • Integración por cambios de variables, sencillos y con un solo cambio de variable. • Integración por partes, con no más de dos niveles de integración y evitando las

integrales cíclicas. • Integrales racionales, trigonométricas e irracionales de funciones explicitadas de

la forma siguiente:


8. Concepto de integral definida de una función sobre un intervalo cerrado: origen geométrico del problema. Propiedades algorítmicas de la integral definida (división del intervalo, suma de funciones…). Relación entre la integral definida y el cálculo de primitivas: Regla de Barrow. Cálculo práctico de áreas sobre los casos simples de funciones tratados anteriormente, limitadas por dos curvas como máximo. III. Álgebra Lineal. 9. Concepto de matriz. Tipos de matrices. Uso de matrices en contextos reales. Operaciones con matrices y propiedades. Transpuesta de una matriz. 10. Concepto de determinante de una matriz cuadrada. Cálculo de determinantes, hasta orden 4x4. Propiedades de los determinantes (ilustradas con ejemplos y no demostradas). Regla de Sarrus. Cálculo de determinantes cuyos elementos sean no numéricos aplicando las propiedades. Concepto y cálculo de la matriz inversa. Adjunta de una matriz. Concepto y cálculo de rango o característica de una matriz. 11. Sistemas de ecuaciones lineales.

• Concepto de sistema y de solución. Operaciones elementales con las ecuaciones delsistema y concepto de sistemas equivalentes.

• Clasificación de los sistemas de ecuaciones en función de las soluciones: compatible,

incompatible, determinado e indeterminado. • Matriz de números asociada a un sistema. Escribir un sistema lineal de modo

matricial. • Ecuaciones y sistemas de ecuaciones cuyas incógnitas son matrices. • Método de Gauss para sistemas 3x3. • Método de Cramer para los casos 2x2 y 3x3. • Teorema de Rouché-Frobenius. Discusión de sistemas, homogéneos o no, con un

máximo de tres incógnitas y un parámetro.


• Se sugiere introducir y fijar los conceptos usando sistemas de 2x2. Repasar los métodos de resolución: Igualación, reducción y sustitución. Discutir el significado geométrico mediante posiciones relativas de rectas en el plano. Realizar ejercicios prácticos extendiendo dichos métodos de resolución a sistemas de 3x3, compatibles y determinados.

• Se recomienda trabajar ejercicios y cuestiones de sistemas de ecuaciones hasta orden 4 x 4 ya que en el bloque de geometría se necesitará para resolver las posiciones relativas.

IV. Introducción a la Geometría Vectorial del espacio. 12. Vectores, rectas y planos en el espacio 3 R .

12.1 Sistema de referencia ortogonal: Origen de coordenadas, ejes de coordenadas, planos de coordenadas y coordenadas de un punto. Definición de vector asociado a un par de puntos. Base canónica. Coordenadas de un vector respecto a la base canónica. Características de un vector: módulo, dirección y sentido. Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un vector por un número. Propiedades e interpretación física y geométrica de estas operaciones. Dependencia e independencia lineal de vectores (por combinación lineal y por determinantes). Significado geométrico de la dependencia e independencia de vectores. Producto escalar de vectores. Vectores ortogonales. Producto vectorial de vectores. Interpretación geométrica y uso para calcular áreas. Productos realizados con vectores de la base canónica. Producto mixto de tres vectores. Interpretación geométrica y uso para calcular volúmenes. 12.2 Vector director de una recta. Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas y en forma continua. Vectores directores de un plano. Ecuacion vectorial y paramétrica del plano. Vector normal a un plano: Ecuación implícita del plano. Paralelismo y perpendicularidad: Recta-recta; plano-plano; recta-plano. Intersección e incidencia: punto-recta, punto-plano, recta-plano; posiciones relativas de dos planos; posiciones relativas de tres planos; posiciones relativas de recta y plano; posiciones relativas de dos rectas. 12.3 Distancia entre dos puntos, de un punto a una recta y de un punto a un plano. Distancia entre dos planos paralelos; entre recta y plano paralelos, y entre dos rectas paralelas o que se cruzan. Ángulo entre dos rectas; entre dos planos, y entre recta y plano.

V. Temporalización. Se fijará en las coordinaciones de PAU y previsiblemente será algo parecido a lo que sigue: I. Bloque de Análisis hasta el 25 Enero II. Bloque de Álgebra hasta el 7 de Marzo. III. Bloque de Geometría hasta el 10 de Mayo.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como

instrumento para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y, en general, para resolver situaciones diversas. Este criterio va dirigido a comprobar si los alumnos y las alumnas son capaces de utilizar las matrices como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la organización de datos, realizar operaciones con la matriz y submatrices como objetos algebraicos con identidad propia, y para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con un máximo tres incógnitas y un parámetro, dando una interpretación geométrica de las soluciones.

Transcribir situaciones y problemas derivados de la geometría, la física y demás ciencias del ámbito científico-tecnológico a un lenguaje vectorial y utilizar las operaciones con vectores para resolverlos e interpretar las soluciones de acuerdo con la situación. Con la aplicación del criterio se intenta evaluar la capacidad del alumnado para transcribir situaciones a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las técnicas y operaciones apropiadas en cada caso: suma, resta y multiplicación por un escalar, la dependencia e independencia lineal, producto vectorial y mixto, para interpretar fenómenos diversos y resolver problemas del ámbito científico-tecnológico.

Realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio utilizando el lenguaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría tridimensional. Este criterio se propone poner de manifiesto si el alumnado obtiene ecuaciones de rectas y planos en el espacio, identifica sus elementos característicos y utiliza distintas expresiones de la ecuación de una recta o de un plano, para resolver problemas de incidencia, paralelismo, perpendicularidad y para calcular distancias, ángulos, áreas y volúmenes.

Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para analizar, cualitativa y cuantitativamente, las propiedades globales y locales de una función expresada en forma explícita, representarla gráficamente y extraer información práctica en una situación de resolución de problemas relacionados con fenómenos naturales. Se pretende comprobar con este criterio que el alumnado es capaz de utilizar los conceptos básicos del análisis, que ha adquirido la terminología adecuada y desarrollado las destrezas en el manejo de las técnicas usuales del cálculo de límites y derivadas para estudiar el dominio, recorrido, continuidad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento, curvatura y derivabilidad de una función. Asimismo, se pretende valorar la capacidad para aplicar el estudio anterior a una función que represente una situación real e interpretar dicho estudio.


Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función que describa un fenómeno geométrico, natural o tecnológico, así como para la resolución de problemas de optimización. El criterio tiene como finalidad evaluar la capacidad del alumnado para aplicar a situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio analítico de las funciones, e interpretarla. Se pretende comprobar la capacidad para extraer conclusiones detalladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio establecido interpretando los resultados que se obtengan.

Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente representables. Es el propósito del criterio comprobar la capacidad del alumnado para medir el área de una región plana, limitada por dos curvas como máximo, mediante el cálculo integral. Éste se ceñirá a los métodos generales de integración, en todo caso con cambios de variables simples, y a las técnicas de integración inmediata.

Transcribir problemas reales al lenguaje gráfico o algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, a las soluciones obtenidas. El objetivo del criterio es comprobar si el alumnado es capaz de resolver un problema real utilizando los conocimientos adquiridos en los bloques de álgebra, geometría o análisis, combinando diferentes herramientas y estrategias, y concluir el problema con la interpretación del resultado para confirmar la adecuación de la solución obtenida. En relación con este criterio es tan importante la transcripción del problema como el uso de los procedimientos empleados en la resolución y la interpretación crítica de las soluciones.

Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las herramientas matemáticas adecuadas en cada caso. La intención del criterio es evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nuevas utilizando la observación, la experimentación, la modelización de situaciones, la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas y las destrezas matemáticas adquiridas para resolver problemas relacionados con el entorno científico y tecnológico. En este sentido, es conveniente realizar pequeñas demostraciones que, sin profundizar de forma generalizada en el estudio de teoremas, familiaricen al alumnado con las maneras de proceder propias de una demostración matemática.


MATEMÁTICAS II UNIDADES DIDÁCTICAS

Aritmética y álgebra

1. Matrices

2. Determinantes

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Geometría

4. Vectores en el espacio (I)

5. Vectores en el espacio (II)

6. Geometría afín

7. Geometría métrica

Análisis

8. Límites

9. Continuidad

10. Derivadas

11. Aplicaciones de las derivadas

12. Integrales y aplicaciones

1. Matrices Objetivos didácticos

• Conocer, representar y clasificar las matrices.

• Efectuar operaciones con matrices.

• Utilizar las matrices para organizar información, representar relaciones...

Contenidos

Conceptos

• Matriz.

• Matriz numérica.

• Igualdad de matrices.


• Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula.

• Matriz escalonada.

• Rango de una matriz escalonada.

• Transformaciones elementales.

• Matrices equivalentes.

• Rango de una matriz.

• Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto.

• Propiedades de las operaciones con matrices.

• Matriz inversa.

• Trasposición de matrices y matriz traspuesta.

• Grafo y matriz asociada a un grafo.

Procedimientos

• Representación de matrices.

• Clasificación de matrices según su dimensión y según sus elementos.

• Obtención del rango de una matriz.

• Obtención de la matriz suma, de la matriz diferencia, de la matriz producto por un número real y de la matriz producto de dos matrices.

• Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición.

• Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

• Obtención de la matriz traspuesta de una matriz.

• Asociación de una matriz a un grafo.

• Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado.

• Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con matrices.

• Cálculo de la potencia n-ésima de una matriz sencilla.

Valores

• Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, representar relaciones…

• Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.


2. Determinantes

Objetivos didácticos

• Conocer el concepto de determinante, así como la manera de representarlo y calcularlo.

• Obtener el rango de una matriz mediante el cálculo de determinantes.

• Aplicar el cálculo de determinantes para hallar la inversa de una matriz.

Contenidos

Conceptos

• Determinantes de orden uno, dos y tres.

• Regla de Sarrus.

• Determinantes de orden n.

• Menor complementario y adjunto de un elemento.

• Determinante de una matriz.

• Propiedades de los determinantes.

• Menor de orden k de una matriz.

Procedimientos

• Cálculo de determinantes de orden uno, dos y tres mediante su definición.

• Cálculo de determinantes de orden tres mediante la regla de Sarrus.

• Determinación del menor complementario y del adjunto de un elemento.

• Desarrollo de un determinante por filas o por columnas.

• Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de éstos.

• Cálculo de determinantes por el método de Gauss.

• Cálculo del rango de una matriz por determinantes.

• Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

• Uso de la calculadora en el cálculo de determinantes.

Valores

• Aprecio de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial.

• Costumbre de considerar todas las estrategias posibles antes de resolver un ejercicio o problema, y de interpretar la solución obtenida.


3. Sistemas de ecuaciones lineales


• Aplicar diversos procedimientos (método de Gauss, método de la matriz inversa y regla de Cramer) para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Conocer el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para clasificar sistemas de ecuaciones lineales.

• Estudiar y resolver sistemas dependientes de un sistema.

Contenidos

Conceptos

• Ecuaciones lineales.

• Sistemas de ecuaciones lineales.

• Tipos de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

• Sistemas escalonados.

• Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Matriz asociada a un sistema y matriz ampliada asociada a un sistema.

• Teorema de Rouché-Frobenius.

• Sistemas resolubles por Cramer.

Procedimientos

• Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

• Expresión de un sistema en notación matricial.

• Resolución de sistemas por el método de Gauss.

• Aplicación del método de Gauss para la clasificación de sistemas según sus soluciones.

• Resolución de sistemas por la matriz inversa.

• Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius para la clasificación de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

• Resolución de sistemas por la regla de Cramer.


• Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros utilizando el método de Gauss, el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.

• Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores • Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver

problemas en diferentes ámbitos.

4. Vectores en el espacio (I)


• Conocer los conceptos de vector fijo y vector libre en el espacio.

• Efectuar operaciones con vectores del espacio, tanto gráficamente como a partir de sus coordenadas.

• Utilizar los vectores para establecer un sistema de referencia en el espacio.

• Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos sencillos.

Contenidos

Conceptos

• Magnitud escalar y vectorial.

• Vector fijo del espacio.

• Dirección, módulo y sentido de un vector fijo.

• Equipolencia de vectores fijos.

• Vector libre del espacio.

• Dirección, módulo y sentido de un vector libre.

• Operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un número real.

• Propiedades de las operaciones con vectores libres.

• Combinación lineal de vectores.

• Dependencia e independencia lineal de vectores en V3.

• Rango de un conjunto de vectores.

• Base de V3.

• Componentes de un vector en una base.


• Sistema de referencia en el espacio.

• Coordenadas de un punto del espacio.

• Componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Punto medio de un segmento.

Procedimientos

• Realización gráfica de operaciones con vectores en el espacio.

• Expresión de un vector de V3 como combinación lineal de otros vectores. En concreto, expresión de un vector de V3 como combinación lineal de tres vectores no nulos y no coplanarios.

• Determinación de las componentes de un vector en una base.

• Determinación de la dependencia o la independencia de un conjunto de vectores y de su rango.

• Realización de operaciones con componentes.

• Determinación de la dependencia o la independencia lineal de un conjunto de vectores.

• Obtención de las coordenadas de un punto de espacio en un sistema de referencia.

• Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento y, en general, de los puntos que dividen un segmento en partes iguales.

• Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro en función de las coordenadas de los vértices.

Valores

• Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y, en general, de problemas de los ámbitos científico y tecnológico.

5. Vectores en el espacio (II)


• Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos a partir de su definición y a partir de sus propiedades.

• Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos (cálculo de áreas y volúmenes) y físicos (cálculo de trabajos, momentos de inercia...).


Contenidos

Conceptos

• Producto escalar de dos vectores libres del espacio.

• Significado geométrico de la anulación del producto escalar.

• Relación entre el módulo de un vector y el producto escalar de dicho vector por sí mismo.

• Base ortogonal y base ortonormal.

• Propiedades del producto escalar.

• Interpretación geométrica del producto escalar.

• Expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal.

• Producto vectorial de dos vectores libres del espacio.

• Propiedades del producto vectorial.

• Interpretación geométrica del producto vectorial.

• Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal.

• Producto mixto de tres vectores libres del espacio.

• Significado geométrico de la anulación del producto mixto.

• Propiedades del producto mixto.

• Interpretación geométrica del producto mixto.

• Expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal.

• Cosenos directores de un vector en una base ortonormal.

Procedimientos

• Cálculo del producto escalar de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.

• Cálculo del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar.

• Obtención de un vector perpendicular o paralelo a otro, que tenga un módulo determinado.

• Aplicación del producto escalar a la demostración de teoremas geométricos sencillos.

• Aplicación del producto escalar a la obtención del trabajo realizado por una fuerza.

• Cálculo del producto vectorial de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.


• Obtención de un vector perpendicular a otros dos vectores, que tenga un módulo determinado.

• Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de polígonos, especialmente de paralelogramos y triángulos.

• Aplicación del producto vectorial al cálculo del momento de una fuerza, del momento cinético y de la fuerza magnética.

• Cálculo del producto mixto de tres vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus componentes en una base ortonormal.

• Aplicación del producto mixto al cálculo de volúmenes de poliedros, especialmente paralelepípedos y tetraedros.

Valores

• Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y físicos.

6. Geometría afín


• Expresar las rectas y los planos del espacio mediante sus diferentes ecuaciones.

• Determinar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos, de una recta y un plano en el espacio, así como la de rectas y planos respecto de la referencia.

Contenidos

Conceptos

• Ecuaciones de una recta en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuaciones continuas y ecuaciones implícitas.

• Ecuaciones de un plano en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación general.

• Posición relativa de dos rectas en el espacio: coincidentes, paralelas, secantes, que se cruzan.

• Posición relativa de dos planos en el espacio: coincidentes, paralelos, secantes.

• Haz de planos paralelos y haz de planos secantes.

• Posición relativa de tres planos: coincidentes, secantes en una recta, dos coincidentes y secantes al tercero, secantes en un punto, paralelos y distintos dos a dos, dos planos coincidentes y paralelos al tercero, secantes dos a dos, dos planos paralelos y secantes al tercero.


• Posición relativa de recta y plano: recta contenida en el plano, recta y plano paralelos, recta y plano secantes.

• Posición relativa de rectas y planos respecto de los ejes y los planos de referencia.

Procedimientos

• Obtención de la ecuación de una recta dados un vector director y un punto o bien dos puntos.

• Obtención de las diferentes formas de expresión de una recta a partir de una ecuación dada.

• Identificación de puntos que pertenecen a una recta dada.

• Identificación de vectores directores de una recta dada.

• Escritura de las ecuaciones de un plano dados un punto y dos vectores linealmente independientes, dos puntos y un vector o bien tres puntos no alineados.

• Obtención de las diferentes formas de expresión de un plano a partir de una ecuación dada.

• Identificación de puntos y rectas que están incluidos en un determinado plano.

• Estudio de la posición relativa de dos rectas si sus ecuaciones vienen dadas en forma implícita o vectorial.

• Estudio de la posición relativa de dos y de tres planos a partir de sus ecuaciones generales mediante el análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales correspondiente.

• Estudio de la posición relativa de una recta y un plano si sus ecuaciones vienen dadas en forma vectorial o continua.

• Discusión de la posición relativa de una recta y un plano mediante el estudio de las soluciones del sistema formado por sus ecuaciones implícitas y general.

• Determinación de un plano que contiene un punto y pertenece a un haz de planos secantes.

• Determinación de un plano que contiene un punto y es paralelo a otro plano.

• Interpretación de las ecuaciones implícitas de la recta como la intersección de dos planos e identificación de la recta como intersección de éstos.

Valores

• Valoración de las ventajas que supone la planificación de la resolución de un problema, lo que permite elegir el mejor procedimiento de resolución, y de la importancia de la representación gráfica en geometría.


7. Geometría métrica


• Determinar y calcular el ángulo entre dos elementos del espacio (dos rectas, dos planos, plano y recta).

• Conocer y hallar las distancias entre dos elementos del espacio (dos puntos, punto y recta, punto y plano, dos rectas, dos planos, recta y plano).

• Resolver diversos problemas métricos.

Contenidos Conceptos

• Ángulo entre dos rectas.

• Rectas perpendiculares.

• Ángulo entre dos planos.

• Planos perpendiculares.

• Ángulo entre recta y plano.

• Recta y plano perpendiculares.

• Distancia entre dos puntos.

• Distancia de un punto a una recta.

• Distancia de un punto a un plano.

• Distancia entre dos rectas.

• Distancia entre dos planos.

• Distancia entre recta y plano.

• Plano mediador y plano bisector.

• Perpendicular común.

• Puntos simétricos respecto de un punto.

• Puntos simétricos respecto de una recta.

• Puntos simétricos respecto de un plano.

Procedimientos

• Cálculo del ángulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano.

• Determinación de la perpendicularidad de dos rectas, de dos planos y de una recta y un plano.


• Cálculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre dos rectas, entre dos planos y entre recta y plano.

• Determinación del plano mediador de un segmento conocidos sus extremos.

• Determinación de los planos bisectores de dos planos dados.

• Obtención de la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan.

• Obtención del punto simétrico a otro punto respecto de un tercer punto, de una recta o de un plano.

Valores

• Valoración de la búsqueda y la aplicación de nuevas estrategias para la resolución de problemas geométricos.

8. Límites Objetivos didácticos

• Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.

• Calcular y efectuar operaciones con límites.

• Reconocer los distintos tipos de indeterminación y resolver algunos casos.

• Determinar gráficamente y algebraicamente las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una función.

Contenidos

Conceptos

• Límite finito de una función en un punto.

• Límites laterales finitos de una función en un punto.

• Límite infinito de una función en un punto.

• Límites laterales infinitos de una función en un punto.

• Límite finito de una función en el infinito.

• Límite infinito de una función en el infinito.

• Propiedades de los límites.

• Operaciones con límites.

• Indeterminación.

• Tipos de indeterminación.


• Asíntotas verticales de una función.

• Asíntotas horizontales de una función.

• Asíntotas oblicuas de una función.

Procedimientos

• Cálculo de límites de funciones en un punto mediante tablas de valores.

• Cálculo de límites de funciones en un punto a partir de su gráfica.

• Cálculo de límites de funciones en un punto utilizando las propiedades adecuadas.

• Cálculo de límites en un punto de funciones definidas a trozos.

• Resolución de la indeterminación 0/0.

• Cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto.

• Cálculo de límites de funciones en el infinito mediante tablas de valores.

• Cálculo sistemático de límites de funciones en el infinito.

• Resolución de indeterminaciones.

• Obtención de las asíntotas verticales de una función.

• Obtención de las asíntotas horizontales de una función.

• Obtención de las asíntotas oblicuas de una función.

Valores

• Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones.

• Aprecio del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.

9. Continuidad Objetivos didácticos

• Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.

• Reconocer y clasificar los puntos en los que una función presenta una discontinuidad.

• Conocer los teoremas más elementales relacionados con la continuidad.

Contenidos

Conceptos

• Continuidad de una función en un punto.


• Continuidad lateral de una función en un punto.

• Continuidad de una función en un intervalo.

• Discontinuidad de una función en un punto.

• Tipos de discontinuidades.

• Propiedades de las funciones continuas.

• Continuidad de las funciones elementales.

• Teorema de conservación del signo.

• Teorema de Bolzano.

• Teorema de los valores intermedios.

• Teorema de Weierstrass.

Procedimientos

• Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones de continuidad.

• Comprobación de la continuidad de una función en un punto mediante la definición de límite.

• Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto.

• Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.

• Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función.

• Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elementales.

• Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero en un intervalo dado y obtención de dicho cero con un determinado error.

• Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero o si una ecuación tiene una solución real en un intervalo dado, así como su determinación con una cierta precisión.

• Aplicación del teorema de los valores intermedios para comprobar si una función toma determinado valor en un intervalo dado, así como la obtención del punto del intervalo para el cual toma dicho valor.

Valores

• Aprecio de la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones.

• Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos de la naturaleza.


10. Derivadas Objetivos didácticos

• Conocer los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea, y aplicarlos en problemas geométricos y físicos.

• Calcular la función derivada de múltiples funciones a partir de las derivadas elementales y utilizando las reglas de derivación.

• Conocer y aplicar el concepto de la diferencial de una función.

Contenidos

Conceptos

• Tasa de variación media de una función.

• Derivada de una función en un punto.

• Derivadas laterales.

• Función derivada.

• Derivadas de orden superior.

• Derivada de funciones elementales.

• Función derivada y operaciones.

• Derivación logarítmica.

• Derivación implícita.

• Diferencial de una función.

Procedimientos

• Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

• Identificación de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.

• Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

• Obtención de la derivada de una función en un punto.

• Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

• Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.


• Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

• Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

• Identificación de puntos angulosos, de retroceso o de inflexión con tangente vertical.

• Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal.

• Obtención de derivadas de funciones elementales.

• Cálculo de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la función producto y de la función cociente.

• Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.

• Determinación de la derivada de funciones inversas.

• Obtención de derivadas de funciones del tipo exponencial-potencial por derivación logarítmica.

• Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma implícita.

• Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una función.

Valores

• Importancia de la derivabilidad para el estudio de las funciones.

• Valoración de los procesos deductivos como instrumento básico en el trabajo matemático.

• Reconocimiento de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instrumento en el campo científico.

11. Aplicaciones de las derivadas Objetivos didácticos

• Aplicar las derivadas al estudio del crecimiento y la curvatura de una función, y efectuar su representación gráfica.

• Conocer los principales teoremas de diferenciación y algunas de sus aplicaciones (determinación de raíces, resolución de indeterminaciones).

• Resolver problemas de optimización de funciones.


Contenidos

Conceptos

• Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la derivada.

• Extremos relativos.

• Relación entre la curvatura (convexidad/concavidad) de una función en un punto y el signo de la derivada segunda.

• Puntos de inflexión.

• Teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange.

• Regla de L’Hôpital.

• Optimización de funciones.

Procedimientos

• Uso de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un punto o en un intervalo.

• Determinación de los extremos relativos de una función.

• Utilización de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función, en un punto o en un intervalo.

• Determinación de los puntos de inflexión de una función.

• Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función.

• Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis.

• Utilización de la calculadora gráfica para la representación gráfica de funciones.

• Aplicación del teorema de Rolle para comprobar si la derivada de una función tiene un cero en un intervalo dado y obtención de dicho cero.

• Aplicación del teorema de Lagrange para hallar el punto o los puntos en que la recta tangente a la función tiene una pendiente determinada.

• Utilización de la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones.

• Planteamiento y resolución de problemas de optimización.

Valores

• Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una función.

• Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales.


• Aprecio del valor que tiene el estudio de funciones y la optimización de funciones para resolver problemas de índole real.

12. Integrales y aplicaciones Objetivos didácticos

• Conocer los conceptos de primitiva y de integral indefinida de una función, y saber calcularlos.

• Conocer el concepto de integral definida de una función continua y calcularla a partir de la regla de Barrow.

• Calcular áreas de recintos planos limitados por curvas y volúmenes de sólidos de revolución.

Contenidos

Conceptos

• Primitiva de una función.

• Integral indefinida de una función.

• Propiedades de la integral indefinida.

• Integral indefinida inmediata.

• Integral indefinida casi inmediata.

• Integral definida entre a y b de una función continua en [a, b].

• Propiedades de las integrales definidas.

• Teorema del valor medio del cálculo integral.

• Teorema fundamental del cálculo.

• Regla de Barrow.

Procedimientos

• Obtención de integrales indefinidas inmediatas.

• Determinación de integrales indefinidas inmediatas.

• Aplicación de las propiedades de la integral indefinida para calcular integrales de funciones sencillas por el método de descomposición.

• Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

• Cálculo de integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes.

• Cálculo de integrales indefinidas de funciones racionales con raíces reales (simples o múltiples).


• Cálculo de integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas e irracionales mediante cambios de variable adecuados.

• Determinación de la primitiva de una función que cumple una condición dada. Aproximación del cálculo del área de la figura plana que limita una función monótona y positiva en el intervalo [a, b], el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, a partir del cálculo de sumas inferiores y superiores.

• Cálculo de integrales definidas a partir de la regla de Barrow.

• Cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y rectas verticales.

• Cálculo del área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales.

• Cálculo del volumen de un sólido de revolución.

• Derivación de funciones cuya expresión analítica viene dada por una integral definida.

• Cálculo de la variación del espacio recorrido y de la variación de velocidad experimentada entre dos instantes por un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea.

• Cálculo del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento al desplazar un cuerpo de un punto a otro.

Valores

• Hábito de analizar los diferentes métodos de integración antes de abordar la resolución de una integral, con el fin de seleccionar el más adecuado.

• Valoración de la utilidad de las integrales definidas en la resolución de diferentes problemas de aplicación a la geometría, a la física...

Se impartirán todas las unidades didácticas de Análisis como primer bloque, en segundo lugar se dará el Álgebra y por último la Geometría. El bloque de resolución de problemas se trabajará de forma implícita a lo largo del

curso. Se adoptarán los acuerdos que, con respecto a esta materia, se tomen en las reuniones de coordinación de Matemáticas II y se seguirán las indicaciones contenidas en el documento “guía” elaborado por la Subcomisión de materia. Los acuerdos tomados por la subcomisión hasta la fecha se encuentran contenidos en esta programación.


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

Introducción Las Matemáticas en la modalidad de Humanidades y Ciencias Sociales tienen como finalidad conocer y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas con objeto de comprender los cambios sociales y participar en la toma de decisiones, interpretar los datos y mensajes aportados por los medios de comunicación y adquirir una visión crítica de estos, reconocer el valor de las matemáticas en nuestra historia y nuestra cultura, y abordar con mentalidad abierta la resolución de situaciones nuevas planteadas en la sociedad actual en continua evolución científica y técnica. Para la adquisición de conocimientos matemáticos y, en general, para desarrollar competencia matemática, la enseñanza a través de la resolución de problemas adquiere en esta modalidad de Bachillerato una importancia significativa para el alumnado, al mismo tiempo que posibilita la interpretación de la realidad. La actividad matemática que se genera en una dinámica de resolución de problemas facilita la toma de decisiones, el aprendizaje de los propios errores, la defensa de argumentos, la toma de decisiones sobre lo esencial y lo prescindible, la valoración de las informaciones objetivas frente a las creencias subjetivas, realización de conjeturas, su verificación y contraste. Igualmente, en este contexto se favorece un modo de hacer matemáticas que no sea sólo el puramente formal, utilizando actividades en las que se emplee la generalización, la particularización y la analogía o inducción. La creación de modelos simplificados del mundo real nos ofrece una ayuda para acotar los problemas. La modelización es una competencia matemática que está unida a la capacidad de estructurar la situación que se va a modelizar, a traducir a una estructura matemática, a trabajar con un modelo matemático, a extraer las variables y relaciones que intervienen, a elegir para su resolución el sistema de representación matemático más adecuado y a cambiar de representación cuando sea oportuno o reflexionar y expresar las limitaciones del modelo utilizado. Todos estos componentes, junto con las capacidades personales como planificar, organizar el trabajo personal y de equipo o liderar, delegar, informar o comunicar, favorecen el desarrollo de la competencia matemática en esta etapa. En el proceso de la adquisición del conocimiento matemático, el estudiante irá edificando un conjunto coherente de conocimientos y accederá al mismo tiempo al placer del descubrimiento y a la experiencia de la comprensión. El uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) constituye una herramienta imprescindible en la obtención y el procesamiento de información, facilita los cálculos, mejora la presentación de resultados, es una ayuda esencial en la comprensión de fenómenos dinámicos y de manera especial en la resolución de problemas. Las TIC no son sólo una herramienta para profundizar en el conocimiento matemático, sino que el manejo de diferentes recursos tecnológicos pasa a formar parte de los contenidos propios de este Bachillerato. Los contenidos de las Matemáticas en este Bachillerato se estructuran en los siguientes bloques: «Habilidades básicas y actitudes», «Aritmética y álgebra», «Análisis» y «Probabilidad y estadística», en el primer curso.


Objetivos La enseñanza de Matemáticas en esta etapa tendrá como finalidad el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Conocer y aplicar conceptos y procedimientos matemáticos a situaciones diversas para analizar, interpretar y valorar fenómenos y procesos propios de las ciencias sociales, con objeto de comprender los cambios de la sociedad actual y desarrollar estudios posteriores. 2. Mostrar actitudes propias de la actividad matemática tales como la visión critica, la necesidad de la verificación, la valoración de la precisión, el gusto por el rigor, la necesidad de contrastar apreciaciones intuitivas, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseverancia en la búsqueda de soluciones. 3. Interpretar datos y mensajes, elaborar juicios y formarse criterios propios sobre fenómenos sociales y económicos y sobre datos e informaciones de los medios de comunicación, utilizando tratamientos matemáticos. 4. Formular hipótesis, diseñar, utilizar y contrastar estrategias diversas para la resolución de problemas que permitan enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía, encada, confianza en sí mismo y creatividad. 5. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor. 6. Hacer uso de variados recursos en la búsqueda y tratamiento de la información gráfica, estadística y algebraica en sus categorías financiera, humanística o de otra índole, y servirse de los medios tecnológicos, usándolos con sentido crítico, para desarrollar o rechazar intuiciones, facilitar cálculos, presentar conclusiones y contrastar e intercambiar opiniones. 7. Establecer relaciones entre las matemáticas y el medio social, cultural y económico, reconociendo su valor como parte de nuestra historia y nuestra cultura y abordando con mentalidad abierta los problemas planteados a la sociedad por la continua evolución científica y tecnológica. 8. Expresarse oralmente, por escrito y de forma gráfica en situaciones susceptibles de tratamiento matemático, comprendiendo y manejando términos, notaciones, representaciones matemáticas y recursos tecnológicos.


Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I Contenidos I. Habilidades básicas y actitudes 1. Habilidades para realizar proyectos y pequeñas investigaciones matemáticas.

Manejo de distintos recursos y fuentes documentales: calculadoras, ordenadores, bancos de datos, obras de referencia y consulta, etc.

2. Actitudes características de la actividad matemática: sensibilidad por el orden, la precisión y la simplicidad, curiosidad e interés por investigar, autonomía intelectual para enfrentarse a situaciones desconocidas, flexibilidad para cambiar el punto de vista, sentido crítico ante argumentaciones propias y ajenas, confianza en las propias capacidades, cooperación al trabajar en grupo y reconocimiento de la contribución de las matemáticas a otras ramas del saber y a la cultura universal.

3. Estrategias generales de la resolución de problemas y del pensamiento científico: abstracción, simbolización, simplificación del problema, analogía con otro problema, análisis de casos particulares, comprobación y reflexión sobre el proceso seguido.

II. Aritmética y álgebra 1. Aproximación decimal de un número real. Estimación, redondeo y errores. Uso de

aproximaciones de los números racionales e irracionales controlando el margen de error según la situación estudiada.

2. El número real. Necesidad de su introducción. Números irracionales de especial interésπ :, 2 , φ , Representación en la recta real. Subconjuntos de R, Intervalos,

3. Resolución de problemas, en situaciones contextualizadas, del ámbito de las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones lineales por medio de métodos algebraicos y gráficos. Utilización del método de Gauss.

4. Interpretación y resolución gráfica de inecuaciones lineales con una o dos incógnitas.

5. Resolución de problemas de matemática financiera, con parámetros económicos y sociales, en los que intervengan el interés simple y compuesto, tasas, amortizaciones, capitalizaciones y números índice.

III. Análisis 1. Descripción e interpretación de fenómenos sociales y económicos mediante funciones

dadas en forma algebraica, por medio de tablas o de gráficas. 2. Obtención de valores desconocidos en funciones dadas mediante su tabla: la

interpolación lineal y la extrapolación. Problemas de aplicación. 3. Concepto intuitivo e interpretación gráfica del límite de una función en un punto.

Tratamiento intuitivo y gráfico de ramas infinitas, asíntotas y continuidad. Su interpretación en fenómenos sociales y económicos.

4. Identificación gráfica y analítica de las funciones polinómicas, racionales sencillas, exponencial y logarítmica, valor absoluto y parte entera a partir de sus características con la ayuda de la calculadora u ordenador. Funciones definidas a trozos.

5. Tasa de variación media. El problema de la pendiente de una curva. Recta tangente a una función en un punto: estimación gráfica y numérica. Tendencias.

6. Resolución de problemas del ámbito de las ciencias sociales utilizando como herramienta las funciones y sus características globales y locales.


IV. Probabilidad y estadística 1. Estadística descriptiva unidimensional. Tipos de variables. Métodos estadísticos.

Estrategias matemáticas para interpretar, representar y analizar la realidad: clasificación, ordenación, cuantificación y representaciones graneas. Parámetros estadísticos de posición y de dispersión.

2. Distribuciones bidimensionales. Representación gráfica. Estudio del grado de relación entre variables a partir de la nube de puntos. Correlación y regresión lineal. Predicciones estadísticas y estudio de su fiabilidad.

3. Asignación de probabilidades a sucesos. Introducción a las distribuciones de probabilidad a partir de las distribuciones de frecuencias para variables discretas y continuas. Significado de la media y la desviación típica.

4. Distribuciones binomial y normal. Uso de estas distribuciones para asignar probabilidades a sucesos.

Criterios de evaluación 1. Utilizar los números reales, sus notaciones, operaciones y procedimientos asociados, para presentar e intercambiar información, estimar y resolver problemas y situaciones extraídos de la realidad social y de la vida cotidiana, valorando los resultados obtenidos de acuerdo con la situación. Con este criterio se pretende evaluar la capacidad del alumnado para reconocer y utilizar distintos tipos de números y operar con ellos, eligiendo la notación más conveniente en cada caso, controlando y ajustando el margen de error exigible según el contexto del problema y su resolución. 2. Transcribir problemas del ámbito de las ciencias sociales a un lenguaje algebraico, utilizar las técnicas matemáticas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, de las soluciones obtenidas. Se busca, mediante la aplicación del criterio, valorar k capacidad del alumnado para resolver una situación de manera algebraica o haciendo uso de procedimientos de resolución de ecuaciones y sistemas, e interpretando los resultados obtenidos. En relación con este criterio es tan importante k trascripción del lenguaje habitual si lenguaje algebraico y su resolución como k interpretación de la solución, ajustada al contexto. 3. Utilizar los porcentajes y las fórmulas de interés simple y compuesto para resolver problemas financieros e interpretar determinados parámetros económicos y sociales. Este criterio pretende comprobar la capacidad del alumnado para aplicar los conocimientos básicos de matemática financiera a supuestos prácticos, utilizando calculadoras y medios tecnológicos a su alcance para obtener y evaluar los resultados. 4. Relacionar las gráficas de las funciones elementales frecuentes en los fenómenos económicos y sociales, con situaciones que se ajusten a ellas y reconocer e interpretar relaciones funcionales expresadas en forma de tablas numéricas, gráficas o expresiones algebraicas. Se trata de evaluar, a través del criterio, la capacidad del alumnado para realizar estudios de comportamiento global de las funciones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, valor absoluto, parte entera, racionales del tipo f(x) = k/xt y


las que se obtienen a partir de ellas por transformaciones de tipo f(x+a) y f(x)+a), sin necesidad de profundizar en el estudio de propiedades locales desde un punto de vista analítico. La interpretación a la que se refiere el enunciado exige apreciar la importancia de la selección de ejes, unidades, dominio y escalas. 5. Utilizar las tablas y gráficas para el estudio de situaciones empíricas relacionadas con fenómenos sociales y analizar funciones que no se ajusten a ninguna fórmula conocida y que propicien la utilización de métodos numéricos para la obtención de valores no conocidos. Este criterio pone de manifiesto la capacidad del alumnado para manejar datos numéricos y relaciones no expresadas de forma algebraica, ajustarlos a una función conocida y obtener información suplementaria mediante técnicas numéricas haciendo uso de asistentes matemáticos en caso necesario. 6. Elaborar e interpretar informes sobre situaciones reales, susceptibles de ser presentadas en forma gráfica o algebraica sencilla. El criterio se propone evaluar la capacidad de] alumnado para extraer conclusiones acerca del comportamiento global y local de una función extraída del ámbito social y económico, dada por su gráfica o por una expresión algebraica sencilla, teniendo en cuenta intervalos de crecimiento y decrecimiento, continuidad, máximos y mínimos, tendencias y tasas de variación, con el fin de interpretar el fenómeno del que se deriva la situación estudiada. 7. Interpretar el grado de correlación existente entre las variables de una distribución estadística bidimensional y obtener el coeficiente de correlación y la recta de regresión para hacer estimaciones estadísticas en un contexto de resolución de problemas relacionados con fenómenos económicos o sociales. La explicación del criterio pretende comprobar si el alumnado es capaz de distinguir el carácter funcional o aleatorio de una distribución tridimensional y apreciar el grado de relación existente entre dos variables mediante la información gráfica aportada por una nube de puntos y la interpretación del coeficiente de correlación, las pendientes y las ordenadas en el origen de las rectas de regresión, así como realizar estimaciones a partir de la recta de regresión, con el fin de interpretar y extraer conclusiones apropiadas al contexto del conjunto de datos de la distribución. 8. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una distribución de probabilidad binomial o normal. El criterio se propone evaluar si el alumnado es capaz de determinar, haciendo uso de tablas, calculadoras u ordenadores, la probabilidad de un suceso, utilizando diferentes técnicas, analizar una situación y decidir la opción más conveniente y utilizar las distribuciones binomial y normal para asignar probabilidades a sucesos. 9. Abordar problemas de la vida real y realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, elaborar hipótesis, seleccionar, comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia. El criterio determinará si sabe utilizar el alumnado utilice la modelización de situaciones, la reflexión lógico-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas y las destrezas matemáticas adquiridas para realizar proyectos y pequeñas investigaciones, enfrentándose a situaciones nuevas. Se pretende, asimismo, evaluar su capacidad para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido.


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I. Unidad 1: Números Reales OBJETIVOS

• Utilizar los números enteros, racionales e irracionales para cuantificar situaciones de la vida cotidiana.

• Aplicar adecuadamente la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en las operaciones combinadas de números reales.

• Ordenar y representar los números reales sobre la recta real.

• Conocer y utilizar las distintas clases de intervalos.

• Operar utilizando la notación científica y las aproximaciones.


• Operar con radicales. Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Manejar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Aplicar las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.


• Números racionales, irracionales y reales.

• Ordenación en el conjunto đ. Valor absoluto.

• Notación científica.

• Aproximaciones. Errores absoluto y relativo.

• Potencias de base real y exponente entero.

• Radicales. Radicales equivalentes. Racionalización.

• Logaritmo de un número. Propiedades.

• Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

• PROCEDIMIENTOS, DESTREZAS Y HABILIDADES

• Comparación de números racionales utilizando la representación de una fracción.

• Reconocimiento y creación de números irracionales.

• Utilización de las propiedades del orden en el conjunto đ en distintos contextos.

• Expresión y representación de un conjunto numérico en forma de intervalo.


• Aplicación del valor absoluto y la distancia entre números reales en la resolución de problemas.

• Utilización de números expresados en notación científica.

• Realización de cálculos con números usando las aproximaciones, y dando cuenta del error cometido.

• Expresión de un radical como potencia de exponente fraccionario, y viceversa.

• Realización de operaciones con radicales. Racionalización de expresiones.

• Aplicación de las propiedades de los logaritmos en distintos contextos.

• Reconocimiento y resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

•

ACTITUDES

• Respeto por las soluciones de problemas numéricos distintas de las propias.



• Operar con números enteros, racionales y reales, aplicando la jerarquía de las operaciones.

• Reconocer el conjunto numérico mínimo al que pertenece un número dado.

• Resolver situaciones de la vida cotidiana, utilizando las operaciones de números decimales, fraccionarios y reales.

• Expresar resultados usando la representación de números reales y los distintos tipos de intervalos.

• Manejar con soltura la notación científica.


• Operar con radicales.

• Racionalizar expresiones con raíces en el denominador.

• Utilizar adecuadamente el concepto de logaritmo de un número.

• Emplear las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas y ecuaciones logarítmicas y exponenciales.


UNIDAD 2: Aritmética mercantil OBJETIVOS

• Resolver problemas con porcentajes.

• Distinguir entre interés simple y compuesto y aplicarlo a situaciones reales.

• Determinar las fórmulas necesarias para aplicar a situaciones de anualidades de amortización y de capitalización.

• Interpretar noticias en las que intervengan conceptos actuales como la TAE, el IPC y la EPA.

• Asimilar los conceptos que intervienen en la matemática financiera, necesarios para desenvolverse en situaciones cotidianas que los precisen.


• Porcentajes: aumentos y disminuciones porcentuales. Porcentajes encadenados.

• Interés simple y compuesto.

• Anualidades de amortización y capitalización: tablas de amortización, amortizaciones inversas.

• Tasa anual equivalente (TAE).

• Números índices. Índice de Precios de Consumo (IPC). Poder adquisitivo.

• Encuesta de Población Activa (EPA).


• Cálculo con porcentajes en situaciones reales.

• Resolución de problemas reales que impliquen los conceptos de interés simple y compuesto, y donde haya que calcular capitales, réditos o tiempos.

• Obtención de anualidades de capitalización y amortización.

• Elaboración de tablas de amortización.

• Cálculo de amortizaciones inversas.

• Cálculo de la tasa anual de equivalencia (TAE) en distintos contextos reales.

• Elaboración de tablas utilizando los números índice.

• Conocimiento del concepto de IPC, sus características y forma de determinación y resolución de problemas reales de cálculo de variaciones en distintos períodos de tiempo.

• Resolución de problemas que impliquen el concepto de poder adquisitivo, determinando su variación en distintos contextos.


• Conocimiento de las características de la EPA y cálculo de sus conceptos asociados.

ACTITUDES

• Confianza en las propias capacidades para afrontar problemas del mundo financiero en situaciones cotidianas.

• Interés por conocer e interpretar conceptos tan repetidos en los medios de comunicación como el IPC y la EPA.

• Valoración de los indicativos sociales y económicos como muestra del nivel de desarrollo de un país.


• Resolver problemas de porcentajes utilizando los conceptos de aumentos y disminuciones porcentuales y porcentajes encadenados.

• Calcular intereses en problemas de interés simple y compuesto.

• Determinar cuotas para espacios de tiempo determinados en problemas de amortización y capitalización.

• Elaborar tablas de amortización con cuotas para espacios de tiempo determinados.

• Calcular la TAE de depósitos y préstamos financieros.

• Determinar la pérdida o aumento del poder adquisitivo en relación con el IPC anual.

• Interpretar la Encuesta de Población Activa y determinar características asociadas a ella.

UNIDAD 3: Polinomios y fracciones algebraicas OBJETIVOS

• Realizar operaciones con polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio por el binomio x − a.

• Utilizar el teorema del resto en distintos contextos: hallar el valor numérico de un polinomio y encontrar sus raíces enteras.

• Calcular potencias de polinomios. Potencia de un binomio.

• Comprender el concepto de raíz de un polinomio.

• Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

• Factorizar un polinomio.


• Manejar las fracciones algebraicas y sus operaciones.


• Operaciones con polinomios.

• Regla de Ruffini.

• Teorema del resto.

• Raíces de un polinomio.

• Factorización de polinomios.

• Fracciones algebraicas.

• Operaciones con fracciones algebraicas.


• Realización de operaciones con polinomios.

• Aplicación de la regla de Ruffini para dividir un polinomio por el binomio x − a.

• Utilización del teorema del resto para resolver problemas.

• Interpretación del concepto de raíz de un polinomio.

• Cálculo de las raíces enteras de un polinomio.

• Obtención de las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

• Factorización de un polinomio.

• Realización de operaciones con fracciones algebraicas.

ACTITUDES

• Valoración del lenguaje algebraico como un método eficaz para resolver numerosos problemas de la vida cotidiana.

• Perseverancia y flexibilidad a la hora de enfrentarse a problemas, valorando las opiniones aportadas por los demás.


• Realizar operaciones con polinomios.

• Aplicar la regla de Ruffini para realizar la división de un polinomio por el binomio x − a.


• Obtener las raíces enteras de un polinomio a partir de los divisores del término independiente.

• Aplicar el teorema del resto para encontrar el valor numérico y las raíces de un polinomio.

• Utilizar el teorema del resto para averiguar si un polinomio es divisible por el binomio x−a.

• Factorizar un polinomio.

• Realizar operaciones con fracciones algebraicas.

UNIDAD 4: Ecuaciones, inecuaciones y sistemas OBJETIVOS

• Interpretar y utilizar las relaciones entre las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado.

• Resolver ecuaciones bicuadradas, con radicales y con fracciones algebraicas.

• Conocer y aplicar los métodos algebraicos y gráficos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

• Conocer y manejar el método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Plantear y resolver sistemas de ecuaciones no lineales, utilizando técnicas algebraicas y gráficas.

• Resolver inecuaciones con una y dos incógnitas.

• Resolver sistemas de inecuaciones aplicando técnicas algebraicas y gráficas.


• Ecuaciones de segundo grado, bicuadradas, con radicales y fracciones algebraicas.

• Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

• Método de Gauss.

• Desigualdades. Inecuaciones. Sistemas de inecuaciones lineales.


• Utilización de las relaciones entre los coeficientes de una ecuación de segundo grado y sus raíces para resolver distintos problemas.

• Planteamiento y resolución de sistemas de ecuaciones, aplicándolos para resolver problemas de la vida cotidiana.


• Utilización del método de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

• Utilización de diversos métodos para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

• Resolución de inecuaciones de primer grado con una y dos incógnitas y de sistemas con inecuaciones lineales.

ACTITUDES

• Actitud de sentido crítico ante las soluciones intuitivas.

• Confianza en las propias capacidades para resolver problemas.

• Interés por la predicción y el descubrimiento de datos desconocidos.


• Utilizar la fórmula general, el discriminante y las relaciones entre raíces y coeficientes para resolver ecuaciones de segundo grado.

• Transformar situaciones reales en ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales.

• Resolver, analítica y gráficamente, sistemas lineales de ecuaciones, y determinar su compatibilidad incompatibilidad.

• Resolver problemas reales utilizando sistemas no lineales de ecuaciones, y determinar la compatibilidad incompatibilidad de dichos sistemas.

• Hallar el conjunto solución de una inecuación con una incógnita, y representarlo sobre la recta numérica.

• Resolver inecuaciones con dos incógnitas y sistemas con inecuaciones, y representar el conjunto solución de forma gráfica.

UNIDAD 5: Funciones OBJETIVOS

• Comprender el concepto de función.



• Analizar la concavidad y la convexidad de una función.

• Distinguir las simetrías de una función.

• Reconocer si una función es periódica.

• Obtener funciones a partir de la transformación de otras.

• Manejar operaciones con funciones.



• Calcular la función inversa de una función dada.

CONTENIDOS

CONCEPTOS

• Función: variable dependiente e independiente, dominio y recorrido.

• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Concavidad y convexidad.

• Puntos de corte con los ejes. Simetrías. Periodicidad.


• Función inversa de una función.


• Obtención del dominio y el recorrido de una función.

• Cálculo de imágenes en una función.

• Análisis del crecimiento de una función y obtención de sus máximos y mínimos absolutos y relativos.

• Estudio de la concavidad de una función.

• Determinación de las simetrías de una función respecto del eje de ordenadas y respecto del origen (funciones pares e impares).

• Análisis de la periodicidad de una función.

• Obtención de funciones a partir de la transformación de otras.

• Determinación de la composición de funciones.

• Cálculo de la función inversa de una función.

ACTITUDES

• Interés y cuidado al representar funciones.

• Reconocimiento de la utilidad de las funciones para representar y expresar situaciones de la vida cotidiana.



• Obtener imágenes en una función.



• Estudiar la concavidad y la convexidad de una función.

• Distinguir las simetrías de una función respecto del eje Y y del origen, y reconocer si una función es par o impar.

• Determinar si una función es periódica.

• Transformar funciones para obtener otras funciones a partir de ellas.


• Calcular la inversa de una función.

•

UNIDAD 6: Funciones elementales

OBJETIVOS

• Distinguir las funciones polinómicas por su grado: de primer grado, rectas, y de segundo grado, parábolas.

• Identificar los elementos principales de una parábola: vértice y eje de simetría.

• Representar gráficamente y analizar cualquier tipo de parábola, a partir del estudio de sus características.

• Interpolar y extrapolar valores de una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos.

• Obtener la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, a partir de su expresión algebraica.

• Reconocer y representar hipérbolas que corresponden a funciones de proporcionalidad inversa.

• Identificar y representar funciones con radicales.

• Interpretar y representar las funciones exponenciales y logarítmicas.

• Aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas en la resolución de problemas.

• Conocer las principales características de las funciones trigonométricas y representarlas gráficamente.

• Representar funciones definidas a trozos: valor absoluto y parte entera.


• Funciones polinómicas de primer grado: rectas.

• Funciones polinómicas de segundo grado: parábolas.

• Interpolación y extrapolación.

• Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.


• Funciones racionales.

• Funciones con radicales.

• Funciones exponenciales.

• Funciones logarítmicas.

• Funciones trigonométricas.

• Funciones definidas a trozos: valor absoluto y parte entera.


• Representación gráfica de funciones polinómicas de primer y de segundo grado.

• Utilización de las técnicas de interpolación y extrapolación para obtener, de forma aproximada, los valores que toma una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos.

• Representación gráfica de una función de proporcionalidad inversa.

• Representación gráfica y estudio de las características de la función radical.

• Interpretación y representación de la función exponencial.

• Interpretación y representación de la función logarítmica.

• Características de las funciones trigonométricas.

•

ACTITUDES

• Gusto por la presentación cuidadosa al representar funciones.

• Valoración de la utilidad de los distintos tipos de funciones para representar y expresar situaciones de la realidad.


• Representar gráficamente funciones polinómicas de primer y de segundo grado

• Calcular, de forma aproximada, los valores que toma una función polinómica desconocida a partir de datos conocidos utilizando la interpolación y la extrapolación.

• Estudiar y representar gráficamente funciones de proporcionalidad inversa.

• Representar funciones radicales.

• Determinar, analítica y gráficamente, la función exponencial.

• Identificar e interpretar las gráficas de las funciones exponenciales.

• Interpretar y representar las gráficas de las funciones logarítmicas.

• Determinar funciones trigonométricas.


• Representar gráficamente funciones definidas a trozos.

UNIDAD 7: Límite de una función OBJETIVOS

• Reconocer sucesiones de números reales, obtener distintos términos a partir de su regla de formación y determinar el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión de números reales.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y hallar sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos y en el infinito de una función.

• Calcular los límites de las operaciones con funciones.

• Resolver las indeterminaciones del tipo y ∞∞∞ ,

00,

0 y ∞ - ∞ en el cálculo de límites.

• Estudiar la existencia de asíntotas en una función.

• Determinar la continuidad de una función en un punto y estudiar sus discontinuidades, distinguiendo de qué tipo son.


• Sucesiones de números reales.

• Límite de una sucesión.

• Operaciones con límites.

• Límite de una función. Límites laterales. Indeterminaciones.

• Ramas infinitas y asíntotas.

• Continuidad en un punto. Tipos de discontinuidad.

•


• Obtención de distintos términos de una sucesión y de su término general.

• Cálculo del límite de una sucesión.

• Obtención, si existe, del límite de una función en un punto y de sus límites laterales.

• Determinación de los límites infinitos de una función.

• Utilización de las propiedades de los límites para el cálculo de límites de operaciones con funciones.

• Resolución de indeterminaciones en el cálculo de límites.


• Estudio de funciones en el infinito (ramas infinitas).

• Cálculo de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en una función.

• Determinación de la continuidad de una función en un punto, y estudio de sus discontinuidades.

ACTITUDES


• Interés por la reflexión al realizar cálculos con límites.


• Hallar distintos términos de una sucesión a partir de su regla de formación, y obtener el término general cuando sea posible.

• Calcular el límite de una sucesión.

• Determinar, si existe, el límite de una función en un punto y sus límites laterales.

• Obtener los límites infinitos de una función.

• Utilizar las propiedades de los límites para su cálculo.

• Resolver diferentes tipos de indeterminaciones.

• Determinar las asíntotas y las ramas infinitas de una función.

• Hallar la continuidad de una función en un punto y estudiar de qué tipo son sus discontinuidades.

UNIDAD 8: Derivada de una función OBJETIVOS

• Utilizar la tasa de variación media de una función para interpretar situaciones de la vida cotidiana.

• Obtener la derivada de una función en un punto y la función derivada de una función.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y la recta normal a una función en un punto.

• Calcular derivadas usando las reglas de derivación.

• Obtener derivadas de operaciones con funciones.

• Aplicar la regla de la cadena al cálculo de la derivada de una función compuesta.

• Utilizar la tabla de derivadas para hallar la función derivada de una función cualquiera.

• Calcular derivadas sucesivas.

• Resolver problemas de optimización.



• Tasa de variación media de una función.

• Derivada en un punto. Interpretación geométrica.

• Rectas tangente y normal a una función.

• Función derivada.

• Derivadas de las funciones elementales.

• Derivadas de operaciones con funciones. Regla de la cadena.

• Derivadas sucesivas.

• Aplicaciones de las derivadas.

•


• Cálculo de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

• Obtención de la derivada de una función en un punto, y determinación de la función derivada asociada a esa función.

• Utilización de la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtención de la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Determinación de la función derivada de las funciones elementales.

• Cálculo de derivadas de operaciones con funciones, y aplicación de la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Utilización de la relación entre la derivada y el crecimiento de una función para resolver problemas.

• Cálculo de las derivadas sucesivas de una función.

•

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de las derivadas en la vida cotidiana.

• Gusto por la reflexión al realizar cálculos con derivadas.


• Hallar la tasa de variación media de una función en un intervalo.

• Determinar la derivada de una función en un punto, y obtener la función derivada asociada a esa función.


• Utilizar la interpretación geométrica de la derivada para resolver problemas.

• Obtener la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a una función en un punto.

• Obtener la función derivada de una función elemental.

• Calcular derivadas de operaciones con funciones, y aplicar la regla de la cadena para hallar derivadas de funciones compuestas.

• Utilizar la relación entre derivada y crecimiento para resolver problemas.

• Calcular derivadas sucesivas de una función.

• Resolver problemas de optimización en los cuales aparece el concepto de derivada de una función.

UNIDAD 9: Estadística unidimensional OBJETIVOS

• Comprender y manejar correctamente los conceptos estadísticos necesarios para sentar las bases de posteriores desarrollos.

• Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos a partir de situaciones reales.

• Utilizar las propiedades de las medidas de centralización para analizar y resolver problemas.

• Encontrar valores representativos de un conjunto de datos utilizando medidas de posición y de dispersión.

• Interpretar conjuntamente las medidas estadísticas de un conjunto de datos.

• Manejar con soltura la calculadora científica.


• Población y muestra.

• Frecuencias y tablas.

• Gráficos estadísticos.

• Medidas de centralización.

• Medidas de posición.

• Medidas de dispersión.

•


• Reconocimiento de las diferencias entre población y muestra en situaciones diversas extraídas de contextos reales.


• Distinción de los tipos de variables estadísticas unidimensionales.

• Organización de un conjunto de datos en forma de tabla y cálculo de porcentajes, frecuencias absolutas y relativas, así como acumuladas.

• Construcción, interpretación y análisis crítico de todo tipo de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas de sectores, histogramas, pictogramas, pirámides de población…

• Cálculo de las medidas de centralización: media, mediana y moda, de un conjunto de datos, utilizando las propiedades de cada una para resolver distintos problemas.

• Obtención de las medidas de posición de un conjunto de datos mediante cálculos numéricos o de manera gráfica.

• Obtención de las medidas de dispersión de un conjunto de datos.

• Utilización de la calculadora científica para realizar distintos cálculos estadísticos.

ACTITUDES

• Valoración de los procesos estadísticos como instrumentos importantes para describir y estudiar la realidad.

• Actitud crítica ante informaciones, presentadas de forma estadística, aparecidas en los distintos medios de comunicación.

• Gusto por la investigación sistemática de fenómenos cotidianos.


• Diferenciar las variables estadísticas unidimensionales.

• Organizar un conjunto de datos en forma de tabla y calcular porcentajes y frecuencias.

• Elaborar, interpretar y analizar críticamente todo tipo todo tipo de gráficos estadísticos: diagramas de barras, diagramas de sectores, histogramas, pictogramas, pirámides de población…

• Calcular e interpretar correctamente medidas de centralización, posición y dispersión.

• Efectuar los cálculos complejos y repetitivos aprovechando las características de la calculadora científica.


UNIDAD 10: Estadística bidimensional OBJETIVOS

• Reconocer variables estadísticas bidimensionales, y organizar sus datos en una tabla de doble entrada.

• Representar e interpretar un conjunto de valores de dos variables mediante un diagrama de dispersión.

• Distinguir si existe dependencia lineal entre las variables que forman una variable bidimensional.

• Determinar el coeficiente de correlación lineal.

• Analizar el grado de relación de dos variables, conociendo el coeficiente de correlación lineal.

• Determinar la recta que mejor se ajusta a una nube de puntos.

• Estimar un valor de una variable, conocido un valor de la otra variable.


• Variables bidimensionales.

• Frecuencias relativas y absolutas de variables bidimensionales.

• Diagrama de dispersión.

• Tablas de doble entrada.

• Covarianza. Coeficiente de correlación.

• Rectas de regresión.

• Estimación.


• Obtención de las frecuencias absolutas y relativas de variables bidimensionales.

• Representación del diagrama de dispersión de una variable bidimensional.

• Obtención de la covarianza de una variable bidimensional.

• Interpretación y obtención del coeficiente de correlación.

• Cálculo de las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y.

• Obtención de estimaciones a partir de las rectas de regresión.


ACTITUDES

• Aprecio de la utilidad de la regresión para realizar estimaciones y predicciones.

• Razonamiento crítico de los resultados extraídos al estudiar la correlación.


• Representar una variable bidimensional utilizando el diagrama de dispersión.

• Calcular la covarianza de una variable bidimensional y el coeficiente de correlación lineal entre dos variables, a partir de su covarianza y de sus desviaciones típicas.

• Hallar las rectas de regresión de una variable bidimensional, y realizar estimaciones y predicciones utilizando dichas rectas.

UNIDAD 11: Probabilidad OBJETIVOS

• Distinguir si un experimento es aleatorio o no, y utilizar los conceptos de espacio muestral, suceso, suceso seguro, suceso imposible y suceso complementario.

• Realizar operaciones con sucesos mediante sus propiedades.

• Reconocer y utilizar la probabilidad y sus propiedades.

• Calcular probabilidades de forma experimental o usando la regla de Laplace.

• Resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer problemas de probabilidad compuesta, distinguiendo si los sucesos son dependientes independientes, y resolverlos.

CONTENIDOS CONCEPTOS • Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso. Operaciones con sucesos.

Propiedades.

• Probabilidad. Regla de Laplace. Probabilidad condicionada.

• Probabilidad compuesta. Sucesos dependientes e independientes.


• Reconocimiento de la aleatoriedad o no de un experimento.


• Obtención del espacio muestral de un experimento aleatorio, de los sucesos seguro e imposible y del suceso complementario a uno dado. Realización de operaciones con sucesos.

• Utilización de la definición de probabilidad y cálculo de probabilidades mediante la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Resolución de problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocimiento y resolución de problemas de probabilidad compuesta, y determinación de la dependencia o independencia de dos sucesos.

ACTTUDES

• Valoración de la presencia de la probabilidad en la vida cotidiana.



• Distinguir si un experimento es aleatorio o no.

• Determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Realizar operaciones con sucesos, utilizando sus propiedades.

• Usar la definición de probabilidad y calcular probabilidades con la regla de Laplace en contextos de equiprobabilidad.

• Hallar probabilidades de forma experimental.

• Distinguir y resolver problemas de probabilidad condicionada.

• Reconocer y resolver problemas de probabilidad compuesta.

• Determinar la dependencia o independencia de dos sucesos.

UNIDAD 12: Distribuciones binomial y normal OBJETIVOS

• Reconocer el concepto de variable aleatoria, sus tipos y las funciones de probabilidad y de densidad.

• Identificar las características de la función de distribución, y utilizar su relación con las funciones de probabilidad y densidad.

• Reconocer la distribución binomial, obtener distintas probabilidades a partir de ella y calcular su media y su varianza.


• Identificar la distribución normal, interpretar la campana de Gauss y tipificar y manejar la tabla N(0, 1) en el cálculo de probabilidades.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en los casos en que sea necesario.


• Funciones de probabilidad y de densidad. Función de distribución.

• Distribución binomial. Media y varianza.

• Distribución normal. Campana de Gauss. Tabla N(0, 1).

• Tipificación de la normal. Aproximación de la binomial por la normal.


• Distinción entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilización de la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Empleo de la función de densidad de una variable aleatoria continua y de su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.

• Identificación de la distribución binomial y del valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, cálculo de probabilidades usando las tablas, y obtención del valor de su media o esperanza y su varianza.

• Identificación de la distribución normal y del valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretación de la campana de Gauss, manejo de la tabla N(0, 1) y cálculo de probabilidades mediante la tipificación.

• Ajuste de una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.

ACTITUDES

• Valoración de la presencia de distribuciones de probabilidad en la vida real.



• Distinguir entre variables aleatorias discretas y continuas.

• Utilizar la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su función de distribución asociada.

• Emplear la función de densidad de una variable aleatoria continua y su función de distribución asociada en el cálculo de probabilidades.


• Identificar la distribución binomial y el valor de sus parámetros en situaciones de la vida real, calcular probabilidades usando las tablas, y obtener el valor de su media y su varianza.

• Reconocer la distribución normal y el valor de sus parámetros en situaciones reales, interpretar la campana de Gauss, manejar la tabla N(0, 1) y hallar probabilidades mediante la tipificación.

• Ajustar una distribución binomial mediante una normal en distintos casos.


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Contenidos

Bloque 1: Estadística y probabilidad

Conceptos

Tema 1: Cálculo de probabilidades.

1. Conceptos previos de probabilidad.

2. Definición y propiedades de probabilidad.

3. Probabilidad condicionada.

3.1. Sucesos dependientes e independientes.

4. Teorema de la probabilidad total.

5. Teorema de Bayes.

Tema 2: Distribución binomial.

1. Idea intuitiva de variable aleatoria. (Repaso)

2. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta. “”

3. Media y varianza de una variable aleatoria discreta. “”

4. Idea intuitiva de Distribución binomial. “”

5. Función de probabilidad. “”

6. Media y varianza de una distribución binomial. “”

7. Variable aleatoria de la distribución binomial o de Bernoullí. “”

Tema 3: Distribución Normal.

1. Idea intuitiva de distribución de probabilidad continua.

2. Función de densidad.

3. Experimento de Galton. Distribución Normal.

4. Variable aleatoria de la distribución normal.

5. Función de densidad.

6. Distribución normal estándar.

7. Tipificación de la variable. Tablas.

8. La distribución normal como aproximación continua de la distribución binomial.

8.1. Test de normalidad.


Tema 4: Teoría de muestras. 1. Concepto.

2. Tipos de muestreo.

3. Distribuciones de muestreo.

3.1. Distribución en el muestreo de una proporción

3.2. Distribución en el muestreo de la media.

3.3. Distribución en el muestreo de las sumas muestrales.

3.4. Distribución en el muestreo de la diferencia de medias.

4. Teorema central del límite.

Tema 5: Intervalos de confianza. 1. Estimación puntual.

2. Propiedades de los estimadores.

3. Estimación por intervalo.

4. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial.

4.1 Intervalo de confianza para la media poblacional

4.2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias.

5. Tamaño de la muestra

Tema 6: Tests de contraste de hipótesis basados en la distribución normal.

1. Contraste de hipótesis.

2. Tipos de error.

3. Contraste para el parámetro p de una distribución binomial.

4. Contraste para la media de una población normal.

5. Analogías entre contraste de hipótesis e intervalos de confianza.

Procedimientos

1. Asignación de probabilidades en experiencias simples mediante técnicas elementales.

2. Identificación de variables aleatorias que sigan una distribución binomial o normal.

3. Manejo de las tablas de la distribución binomial.

4. Manejo de las tablas de la distribución normal tipificada.

5. Ajuste de datos a una distribución binomial.

6. Ajuste de datos a una distribución normal. Aplicación de tests de normalidad.


7. Aproximación de una distribución normal por una binomial.

8. Determinación de las condiciones de validez de la aproximación.

9. Asignación de probabilidades teniendo en cuenta la corrección de Yates.

10. Análisis y obtención de conclusiones sobre alguna característica de una determinada

población a partir de una muestra aleatoria.

11. Utilización de algún tipo de test para verificar la validez de una hipótesis de

inferencia.

Actitudes

1. Toma de conciencia de la utilidad de los métodos probabilísticos en la toma de

decisiones sobre fenómenos aleatorios.

2. Confianza en los resultados obtenidos, utilizando métodos probabilísticos como base

para la toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios.

3. Hábito de utilizar métodos probabilísticos para tomar decisiones en situaciones con

varias alternativas no discernibles a priori.

4. Reconocimiento de la existencia de fenómenos paradójicos y antiintuitivos en el

estudio de situaciones relacionadas con el azar.

5. Actitud crítica ante las soluciones obtenidas en la resolución de problemas en

contextos probabilísticos.

6. Hábito de reflexionar sistemáticamente acerca de las conclusiones extraídas del

estudio de fenómenos aleatorios.

7. Concienciación de la importancia de la representatividad de las muestras en

problemas de inferencia estadística.

8. Apreciación de la importancia del nivel de significación de las conclusiones extraídas

acerca de una población a partir del estudio de muestras.

9. Actitud crítica ante la información presentada en los medios de comunicación y

obtenida mediante inferencia estadística, analizando esa información y rechazando la

incorrecta.

10. Reconocimiento de las ventajas que supone el trabajo en equipo en la realización de

estudios estadísticos.

11. Valoración del trabajo ajeno como requisito indispensable al buen funcionamiento de

un equipo.

12. Conducta participativa y respetuosa en un grupo de trabajo durante el proceso de

resolución de problemas de inferencia estadística.


Bloque 2: Análisis

Conceptos

Tema 7: Límites y continuidad

1. Límite de una función: idea intuitiva

2. Límite de una función: definición

3. Límite de una función en un punto. 3.1 Límites laterales. 3.2 Límite en el infinito.

3.3 Límites determinados e indeterminados. Resolución de indeterminaciones.

4. Continuidad de una función en un punto.

4.1. Definición de continuidad de una función en un punto.

4.2. Funciones discontinuas: tipos de discontinuidad.

5. Continuidad de una función en un intervalo.

6. Propiedades de las funciones continuas.

7. Ramas infinitas y asíntotas de una función.

9.1. Asíntotas verticales.

9.2. Asíntotas horizontales.

9.3. Asíntotas oblicuas.

Tema 8: Derivadas.

1. Tasas de variación.

1.1 Tasa de variación media.

1.2 Tasa de variación instantánea.

2. Derivada de una función en un punto.

2.1. Interpretación geométrica.

2.2. Recta tangente a una curva en un punto.

3. Función derivada.

3.1. Función derivada.

3.2. Derivadas sucesivas.

Tema 9: Operaciones y cálculo con derivadas.

1. Derivada de funciones elementales


2. Derivada de las operaciones elementales.

2.1. Derivada del producto de un número por una función.

2.2. Derivada de la suma y diferencia de funciones.

2.3. Derivada del producto de funciones.

2.4. Derivada del cociente de funciones.

3. Derivada de funciones compuesta: Regla de la cadena.

4. Funciones derivables.

4.1. Derivadas laterales.

4.2. Continuidad y derivabilidad.

Tema 10: Monotonía y curvatura.

1. Monotonía.

1.1. Crecimiento y decrecimiento en un intervalo.

1.2. Derivadas y monotonía.

2. Curvatura.

2.1 Concavidad y convexidad.

2.2. Derivadas y curvatura.

3. Puntos de inflexión.

4. Puntos extremos: máximos y mínimos.

5. Optimización de funciones.

Tema 11: Representación de funciones.

1. Dominio, recorrido y regiones gráficas. 2. Simetrías:

2.1. Funciones pares.

2.2. Funciones impares.

3. Periodicidad. 4. Puntos de discontinuidad. 5. Ramas infinitas y asíntotas. 5.1. Asíntotas verticales.

5.2. Asíntotas horizontales.

5.3. Asíntotas oblicuas.

6. Monotonía.

7. Curvatura.

8. Puntos extremos: máximos y mínimos.


9. Puntos de inflexión

Tema 12: Integral indefinida.

1. Integral indefinida.

1.1. Concepto de primitiva.

1.2. Propiedades de la integral indefinida.

1.3. Integrales inmediatas.

2. Integral definida.

2.1. La integral definida como área limitada por una curva.

2.2. Propiedades de la integral definida.

2.3. Regla de Barrow.

Tema 13: Aplicaciones de la integral definida.

1. Área del recinto donde interviene una función.

2. Área del recinto donde intervienen dos funciones.

3. Otras aplicaciones.

Procedimientos

1. Calcular límites y derivadas de funciones sencillas.

2. Aplicación de los límites al estudio de las propiedades locales de funciones.

3. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones.

4. Extracción de conclusiones sobre situaciones reales, susceptibles de ser modeladas

funcionalmente a partir de un estudio analítico de sus propiedades locales.

5. Utilización de las derivadas elementales para resolver problemas de optimización

en situaciones de carácter económico y sociológico.

6. Uso de técnicas elementales para el cálculo de primitivas.

7. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas sencillas.

Actitudes

1. Reconocimiento de la utilidad del análisis matemático para abordar una gran

variedad de problemas.

2. Apreciar la versatilidad, la concisión y la elegancia de los razonamientos del

análisis matemático.


3. Hábito de utilizar métodos propios del análisis matemático en el estudio de los

fenómenos sociales, susceptibles de ser representados por funciones.

4. Actitud favorable ante el hábito de revisar los resultados de cálculos con límites,

derivadas e integrales.

5. Hábito de revisar sistemáticamente los cálculos y los resultados de operaciones

con límites, derivadas e integrales.

6. Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de los nuevos

medios tecnológicos en el tratamiento, la representación y el estudio de funciones.

7. Valoración crítica de la incidencia y la utilización de los nuevos medios

tecnológicos en el tratamiento de las gráficas de funciones.

8. Utilización, siempre que sea posible, de los nuevos medios tecnológicos

(calculadora y/o ordenador) para el tratamiento y el estudio de relaciones funcionales.

Bloque 3: Álgebra

Conceptos

Tema 14: Matrices.

Definición y concepto de matriz.

Tipos de matrices.

Operaciones con matrices.

3.1. Suma y resta de matrices.

3.2. Producto de una matriz por un escalar.

3.3. Producto de matrices.

Rango de una matriz

Matriz inversa.

Tema 15: Determinantes.

1. Determinante de segundo orden.

2. Determinante de tercer orden

3. Determinantes: definición por recurrencia.

4. Propiedades de los determinantes.

5. Cálculo de determinantes

6. Rango de matrices por determinantes

7. Cálculo de la matriz inversa por determinantes.


8. Ecuaciones matriciales.

Tema 16: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

1. Sistemas de ecuaciones lineales.

2. Sistemas equivalentes: transformaciones elementales.

3. Criterio de compatibilidad: Teorema de Rouché.

4. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

4.1 Método de Gauss

4.2 Método de Cramer

4.3 Por la matriz inversa.

5. Discusión e interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones.

Tema 17: Programación lineal.

1. Inecuaciones lineales.

2. Sistemas de inecuaciones lineales.

3. Planteamiento de problemas.

4. Método analítico para el cálculo de soluciones.

5. Método gráfico para la resolución de problemas de programación lineal.

Procedimientos 1. Organización e interpretación de datos tabulados en forma matricial.

2. Cálculo de sumas, productos y potencias de matrices.

3. Cálculo de la matriz inversa de una dada.

4. Cálculo de determinantes de orden 2 y 3 con la regla de Sarrus.

5. Obtención del desarrollo de un determinante a partir de los elementos de una fila

o columna aplicándolo al cálculo de matrices inversas.

6. Utilización de las propiedades de los determinantes y del método de Gauss para

calcular determinantes y el rango de una matriz.

7. Elaboración e interpretación de la matriz asociada a un grafo.

8. Resolución de problemas extraídos de contextos reales mediante el cálculo

matricial.

9. Obtención de la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

10. Aplicación de las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

11. Utilización del teorema de Rouché-Frobenius para la discusión de sistemas.


12. Representación de la función objetivo.

13. Determinación de la región factible del conjunto de restricciones mediante la

resolución gráfica de un sistema de inecuaciones lineales.

14. Análisis de los distintos tipos de soluciones posibles.

15. Obtención gráfica del máximo de la función objetivo.

Actitudes 1. Valoración positiva de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver

problemas de las ciencias humanas y sociales, y para expresar de forma precisa diferentes

contenidos matemáticos.

2. Hábito de utilizar el lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en

diferentes ámbitos, reconociendo su precisión y su simplicidad.

3. Reconocimiento de las matrices como instrumento de manipulación de la

información.

4. Apreciación de la capacidad de generalización que ofrece el lenguaje matricial.

5. Hábito de utilizar las matrices en la descripción de situaciones reales y en la

resolución de problemas.

6. Interés por conocer las posibilidades que ofrece el cálculo matricial para la

resolución de sistemas.

7. Valoración del cálculo matricial como instrumento para la obtención de soluciones

de sistemas de ecuaciones lineales.

8. Adopción de las técnicas de cálculo matricial en la resolución de problemas que lo

requieran.

9. Interés por conocer las posibilidades de la programación lineal en el estudio de situaciones relacionadas con las ciencias sociales y la economía. 10. Valoración de la programación lineal como instrumento sistemático de obtención

de soluciones óptimas en situaciones sujetas a restricciones.

11. Adopción de las técnicas de programación lineal en la resolución de problemas de

optimización que así lo requieran.

12. Comprensión de la necesidad del orden y la precisión en las operaciones con

expresiones algebraicas.

13. Hábito de presentar los cálculos algebraicos de forma clara y ordenada.


Bloque 4: Resolución de problemas

Procedimientos

Estrategias de resolución de problemas.

1. Método general de resolución de problemas.

1.1. Comprensión del enunciado.

1.2. Planificación.

1.3. Ejecución.

1.4. Respuesta.

2. Estrategias de resolución de problemas.

2.1. Resolución gráfica.

2.2. Ensayo-error.

2.3. Razonamiento inverso.

2.4. Organización de la información.

2.5. Coherencia de unidades.

2.6. Simplificación y búsqueda de regularidades.

2.7. Particularización de problemas.

2.8. Descomposición del problema.

2.9. Modificación del enunciado.

2.10. Consideración del problema resuelto.

2.11. Búsqueda de un problema similar resuelto.

2.12. Búsqueda de un contraejemplo.

2.13. Reducción al absurdo.

2.14 Contrarrecíproco.

2.15. Inducción completa.

Selección de estrategias y planificación del trabajo en situaciones de resolución de

problemas. Aplicación de herramientas matemáticas y recursos técnicos adecuados.

1. Planificación de la resolución de problemas: comprensión, planificación, ejecución y respuesta. 2. Aplicación de diferentes estrategias de resolución: ensayo-error, razonamiento inverso, reducción al absurdo… 3. Uso de la calculadora y el ordenador como apoyo en la resolución de problemas.

Actitudes 1. Reconocimiento de los aciertos y los errores propios en la resolución de problemas.


2. Actitud receptiva ante las técnicas y los métodos que permitan mejorar la capacidad

de resolución de problemas.

3. Aceptación positiva de las propias capacidades para resolver situaciones relacionadas

con la actividad matemática.

4. Toma de conciencia de las ventajas que supone el trabajo en grupo en la resolución de

ciertos tipos de problemas.

5. Aprecio de los planteamientos ajenos para el buen funcionamiento de un grupo de

trabajo.

6. Conducta participativa y respetuosa en un grupo de trabajo durante el proceso de


7. Reconocimiento de la necesidad de la independencia de pensamiento y de la

comprobación sistemática de los resultados y del proceso seguido en la resolución de un

problema.

8. Valoración positiva de la constancia en la búsqueda de soluciones a un problema,

tanteando diferentes posibilidades cuando no se llega a éstas tras un primer intento.

9. Hábito de actuar con perseverancia y tenacidad en la resolución de situaciones

problemáticas.

10. Interés por disponer de un método general de resolución de problemas, así como por

conocer cuál será la estrategia más adecuada para resolverlos en cada caso.

11. Valoración del método general de resolución de problemas, así como de las

estrategias utilizadas para resolverlos.

12. Hábito de resolver problemas según un método establecido y de analizar las diferentes

estrategias para discernir cuál es la más adecuada para resolver cada problema particular.

13. Toma de conciencia de la necesidad de rigor, precisión, orden y claridad en la


14. Gusto por el rigor y la precisión en la realización de cálculos, así como por el orden y

la claridad en la presentación del proceso seguido en la resolución de problemas y de los

resultados obtenidos.

15. Comportamiento coherente con los principios anteriores.

16. Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de medios tecnológicos

(calculadora y/o ordenador) en la resolución de problemas numéricos, algebraicos,

estadísticos…


17. Valoración crítica de la utilidad de la calculadora y del ordenador para facilitar el

proceso de resolución de problemas.

18. Hábito de utilizar conscientemente la calculadora o el ordenador en la resolución de

problemas.



1. Utilizar el lenguaje matricial como instrumento para organizar y codificar la información proveniente de situaciones con datos estructurados en forma de tablas o grafos, y aplicar las operaciones con matrices para la manipulación de dichos datos. Este criterio tiene por objeto evaluar las destrezas de los alumnos y las alumnas para organizar la información, codificarla utilizando matrices, y transformarla a través de la realización de operaciones con ellas, como sumas y productos. Asimismo, el criterio está dirigido a comprobar si el alumnado sabe interpretar las matrices obtenidas del tratamiento de las situaciones estudiadas.

Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resolverlo utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, resolución de sistemas de ecuaciones lineales y programación lineal bidimensional, interpretando críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Este criterio va dirigido a comprobar si el alumnado es capaz de transcribir con soltura desde el lenguaje usual al lenguaje algebraico, seleccionar las herramientas algebraicas adecuadas, aplicarlas correctamente y, por último, interpretar críticamente el significado de las soluciones obtenidas. Se debe valorar el uso que haga de la calculadora o del ordenador. Debe tenerse en cuenta que la resolución mecánica de ejercicios de aplicación inmediata no responde al sentido de este criterio.

Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles de ser descritos mediante una función, a partir del estudio de sus propiedades locales y globales. A través de este criterio se determinará la capacidad del alumnado para realizar el estudio cualitativo y cuantitativo de una función expresada por su gráfica, su tabla o su expresión algebraica, mediante la determinación del dominio, recorrido, continuidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento, etc., con el fin de obtener información que permita analizar e interpretar críticamente el fenómeno estudiado. Ejemplos de estos contextos son las curvas de oferta y demanda o las curvas de costes y beneficios.

Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acerca del comportamiento de una función y para resolver problemas de optimización extraídos de contextos relacionados con las ciencias sociales, interpretando los resultados obtenidos de acuerdo con los enunciados. Este criterio centra su atención en la comprobación de la capacidad del alumnado para aplicar las derivadas al estudio de las propiedades locales (máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y curvatura) de funciones elementales y su representación gráfica y para resolver problemas de optimización de situaciones extraídas de contextos reales. Con relación a este criterio, es más importante valorar la capacidad del alumnado para utilizar la información que proporciona el cálculo de derivadas que la realización de complejos cálculos de funciones derivadas.

Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos (dependientes e independientes) relacionados con fenómenos sociales o naturales,


interpretarlas y utilizar técnicas de conteo personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia. Este criterio persigue evaluar la capacidad del alumnado para determinar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio simple o compuesto, y utilizar distintas técnicas de recuento para calcular probabilidades que no requieran la utilización de complicados cálculos combinatorios.

Planificar y realizar estudios concretos de una población, a partir de una muestra bien seleccionada, asignar un nivel de significación, para inferir y contrastar la media o proporción poblacional y estimar el error cometido. Este criterio evalúa la capacidad del alumnado para seleccionar muestras y establecer su tamaño en situaciones reales, utilizando distintas técnicas de muestreo, calcular los parámetros muestrales y estimar los parámetros poblacionales, valorando el error cometido y determinar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto a un valor determinado es significativa, aceptando o rechazando los parámetros poblacionales mediante el contraste de hipótesis.

Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunicación y otros ámbitos, y detectar posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de determinados datos como en las conclusiones. La intención de este criterio es determinar si el alumnado conoce y es capaz de utilizar las herramientas estadísticas para interpretar y analizar la ficha técnica de un estudio estadístico, contrastarla con los datos del informe, detectar posibles falacias, manipulaciones, etc., y, de forma razonada, y con autonomía y rigor, expresar una opinión crítica del estudio.

Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientos adquiridos a situaciones nuevas, diseñando, investigando, utilizando y contrastando distintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento. Por medio del criterio se pretende evaluar la capacidad de los alumnos y las alumnas para combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en el que se hayan adquirido y de los contenidos concretos de la materia, así como la habilidad para modelizar la nueva situación, incorporar la reflexión lógico-deductiva y argumentaciones y utilizar otras destrezas matemáticas adquiridas, para resolver problemas y realizar investigaciones.

TEMPORALIZACIÓN

Bloque 1: Estadística y probabilidad (hasta 31 de enero) Tema 1º ………………………………………………. 8 sesiones

Tema 2º ………………………………………………. 8 “

Tema 3º ………………………………………………. 8 “

Tema 4º ………………………………………………. 8 “

Tema 5º ………………………………………………. 8 “

Tema 6º ………………………………………………. 10 “


Bloque 2: Análisis (hasta 11 de abril) Tema 7º ……………………………………………….. 10 “

Tema 8º ……………………………………………….. 4 “

Tema 9º ……………………………………………….. 8 “

Tema 10º …………………………………………….. 6 “

Tema 11º …………………………………………...... 6 “

Tema 12º …………………………………………….. 5 “

Tema 13º …………………………………………….. 3 “

Bloque 3: Álgebra (hasta 16 de mayo)

Tema 14º ……………………………………………... 5 “

Tema 15º ……………………………………………... 5 “

Tema 16º ……………………………………………... 5 “

Tema 17º ……………………………………………... 5 “


METODOLOGÍA El proceso de enseñanza-aprendizaje entendemos que debe cumplir los siguientes requisitos: • Partir del nivel de desarrollo del alumnado y de sus aprendizajes previos. • Asegurar la construcción de aprendizajes significativos a través de la movilización de

sus conocimientos previos y de la memorización comprensiva. • Posibilitar que los alumnos y las alumnas realicen aprendizajes significativos por sí

solos. • Favorecer situaciones en las que los alumnos y alumnas deben actualizar sus

conocimientos. • Proporcionar situaciones de aprendizaje que tienen sentido para los alumnos y

alumnas, con el fin de que resulten motivadoras. En coherencia con lo expuesto, los principios que orientan nuestra práctica educativa son los siguientes: Metodología activa. Supone atender a aspectos íntimamente relacionados, referidos al clima de participación e integración del alumnado en el proceso de aprendizaje: - Integración activa de los alumnos y alumnas en la dinámica general del aula y en la

adquisición y configuración de los aprendizajes. - Participación en el diseño y desarrollo del proceso de enseñanza/aprendizaje. Motivación. Consideramos fundamental partir de los intereses, demandas, necesidades y expectativas de los alumnos y alumnas. También será importante arbitrar dinámicas que fomenten el trabajo en grupo. Atención a la diversidad del alumnado. Nuestra intervención educativa con los alumnos y alumnas asume como uno de sus principios básicos tener en cuenta sus diferentes ritmos de aprendizaje, así como sus distintos intereses y motivaciones. Evaluación del proceso educativo. La evaluación se concibe de una forma holística, es decir, analiza todos los aspectos del proceso educativo y permite la retroalimentación, la aportación de informaciones precisas que permiten reestructurar la actividad en su conjunto.


LA EVALUACIÓN EN BACHILLERATO.

Entendemos la evaluación como un proceso integral, en el que se contemplan diversas dimensiones o vertientes: análisis del proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas, análisis del proceso de enseñanza y de la práctica docente, y análisis del propio proyecto curricular. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS Y ALUMNAS. La evaluación se concibe y practica de la siguiente manera: • Individualizada, centrándose en la evolución de cada alumno y en su situación inicial

y particularidades. • Integradora, para lo cual contempla la existencia de diferentes grupos y situaciones y

la flexibilidad en la aplicación de los criterios de evaluación que se seleccionan. • Cualitativa, en la medida en que se aprecian todos los aspectos que inciden en cada

situación particular y se evalúan de forma equilibrada los diversos niveles de desarrollo del alumno, no sólo los de carácter cognitivo.

• Orientadora, dado que aporta al alumno o alumna la información precisa para

mejorar su aprendizaje y adquirir estrategias apropiadas. • Continua, ya que atiende al aprendizaje como proceso, contrastando los diversos

momentos o fases. Se contemplan tres modalidades:

- Evaluación inicial. Proporciona datos acerca del punto de partida de cada alumno, proporcionando una primera fuente de información sobre los conocimientos previos y características personales, que permiten una atención a las diferencias y una metodología adecuada.

- Evaluación formativa. Concede importancia a la evolución a lo largo del proceso,

confiriendo una visión de las dificultades y progresos de cada caso. - Evaluación sumativa. Establece los resultados al término del proceso total de

aprendizaje en cada período formativo y la consecución de los objetivos.

Asimismo, se contempla en el proceso la existencia de elementos de autoevaluación y coevaluación que impliquen a los alumnos y alumnas en el proceso.


CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN BACHILLERATO. Para los alumnos de 2º de Bachillerato con las Matemáticas de 1º "pendiente”, no se han establecido clases presenciales de apoyo, ni hora de consulta en el Dpto. por no haber horas disponibles, por tanto se procurará orientar a los alumnos puntualmente. Para evaluar a los alumnos de Bachillerato, los profesores de este Dpto. utilizarán los siguientes instrumentos:

• Pruebas escritas. • Observación directa en el aula (realización de tareas en el aula y en casa,

participación en clase).

En 1º de Bachillerato la calificación se obtendrá del siguiente modo:

Dando un 90% a las pruebas escritas y un 10% a la observación directa en el aula (cuaderno e intervenciones en clase). En cada evaluación se procurará hacer al menos dos pruebas escritas, siendo la calificación de esta parte la nota media de las mismas; aunque para hallar dicha media es necesario no obtener menos de un tres en ninguna de las pruebas escritas. En caso contrario la calificación será de insuficiente y el alumno deberá recuperar la parte de materia no aprobada. Una vez hechas las pruebas de recuperación de cada evaluación, donde cada alumno se presentará a las partes que haya suspendido, si de nuevo suspende, entonces en la evaluación final deberá presentarse a una prueba de todo el temario correspondiente a esa evaluación. En 2º de Bachillerato la calificación se obtendrá del siguiente modo: Dando un 90 % a las pruebas escritas y un 10% a la observación directa en el aula. En 2º de Ciencias de la Naturaleza y Tecnológico la calificación final se obtiene dando un 50 % al Análisis, un 25 % al Álgebra y otro 25 % a la Geometría. En 2º de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales la nota final corresponde en un 50 % a la Estadística, un 25 % al Álgebra y el otro 25 % al Análisis. Tanto en un segundo como en el otro la materia se ha de aprobar por bloques completos, siendo tales bloques los indicados anteriormente. Después de cada evaluación en 1º y después de cada bloque en 2º, se propondrá una prueba de recuperación a los alumnos que no la hayan superado. Las calificaciones superiores a 5 en estas pruebas serán modificadas de la siguiente forma: la cantidad que exceda al 5 se divide por dos y se le suma al 5; así un alumno que tuviera un 7 en un examen de recuperación, su nota sería un 6. Este criterio se justifica por el hecho de que estos alumnos han tenido una segunda oportunidad, y a veces una tercera oportunidad, siendo las pruebas de igual dificultad que las iniciales, lo que en la práctica las haría más fáciles de resolver.


Los alumnos que deseen subir nota al finalizar el curso deberán presentarse a una prueba final de toda la materia, diferente a la prueba de recuperación. Antes de la evaluación final de junio, se propondrán pruebas escritas a los alumnos, que les permita recuperar los contenidos del curso con evaluación negativa. En septiembre se propondrán pruebas escritas extraordinarias para aquellos alumnos con evaluación negativa en junio. RECUPERACIÓN DE ALUMNOS DE 2º CON LA MATERIA PENDIENTE DE 1º DE BACHILLERATO Los alumnos de 2º de Bachillerato con matemáticas de 1º Bachillerato pendiente tendrán dos pruebas escritas a lo largo del curso, en las fechas que se indican más adelante. Junto con la última prueba se propondrán cuestiones correspondientes a la primera, para que puedan recuperarla si no fue superada en su momento. En la 2ª semana del mes de junio los alumnos que sigan teniendo la materia de 1º pendiente, tendrán una prueba extraordinaria que incluirá contenidos de toda la materia. Calendario:

1ª Prueba: 23 enero 2ª y 3ª h. 2ª Prueba: 17 abril 2ª y 3ª h.

EVALUACIÓN EXTRAORDINARIA. Para los alumnos que por absentismo escolar o enfermedad prolongada, no pudieran ser evaluados de forma continua, el Dpto. propondrá una prueba oral y/o escrita que deberán realizar los alumnos al final del curso. Dependiendo de las circunstancias personales de cada alumno, se podrá proponer, además, la realización de uno o varios trabajos que permitan valorar la adquisición de las capacidades expresadas en los objetivos del área. EVALUACIÓN DEL PROCESO DE ENSEÑANZA Y DE LA PRÁCTICA DOCENTE. Algunos de los aspectos a los que atenderá son los siguientes: e) Organización y coordinación del equipo. Distinción de responsabilidades. f) Planificación de las tareas. Dotación de medios y tiempos. Distribución de medios y

tiempos. g) Participación. Ambiente de trabajo y participación. Clima de consenso y aprobación

de acuerdos. Implicación de los miembros. Proceso de integración en el trabajo.


Relación e implicación de los padres. Relación entre los alumnos y alumnas, y entre los alumnos y alumnas y los profesores.

LA ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD EN EL AREA DE MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES. La atención a la diversidad se contempla en tres niveles o planos: en la programación, en la metodología y en los materiales. • Atención a la diversidad en la programación La programación de Matemáticas debe tener en cuenta aquellos contenidos en los que

los alumnos consiguen rendimientos muy diferentes, En Matemáticas este caso se presenta en la resolución de problemas.

Aunque la práctica y la utilización de estrategias de resolución de problemas deben desempeñar un papel importante en el trabajo de todos los alumnos, el tipo de actividad concreta que se realice y los métodos que se utilicen variarán necesariamente de acuerdo con los diferentes grupos de alumnos; y el grado de complejidad y la profundidad de la comprensión que se alcance no serán iguales en todos los grupos. Este hecho aconseja organizar las actividades y problemas en actividades de refuerzo y de ampliación, en las que puedan trabajar los alumnos más adelantados. La programación ha de tener en cuenta también que no todos los alumnos adquieren al mismo tiempo y con la misma intensidad los contenidos tratados. Por eso, debe estar diseñada de modo que asegure un nivel mínimo para todos los alumnos al final de la etapa, dando oportunidades para recuperar los conocimientos no adquiridos en su momento. Este es el motivo que aconseja realizar una programación cíclica o en espiral. la atención a la diversidad en el programa de Matemáticas se concreta, sobre todo, en su programación en espiral. Este método, como se sabe, consiste en prescindir de los detalles en el primer contacto del alumno con un tema, y preocuparse por ofrecer una visión global del mismo.

• Atención a la diversidad en la metodología

En el mismo momento en que se inicia el proceso educativo, comienzan a manifestarse las diferencias entre los alumnos. La falta de comprensión de un contenido matemático puede ser debido, entre otras causas, a que los conceptos o procedimientos sean demasiado difíciles para el nivel de desarrollo matemático del alumno, o puede ser debido a que se avanza con demasiada rapidez, y no da tiempo para una mínima comprensión.

La atención a la diversidad, desde el punto de vista metodológico, debe estar presente en todo el proceso de aprendizaje y llevar al profesor a:


- Detectar los conocimientos previos de (os alumnos al empezar un tema. A los alumnos en los que se detecte una laguna en sus conocimientos, se les debe proponer una enseñanza compensatoria, en la que debe desempeñar un papel importante el trabajo en situaciones concretas.

- Procurar que los contenidos matemáticos nuevos que se enseñan conecten con los

conocimientos previos y sean adecuados a su nivel cognitivo.

- Intentar que la comprensión del alumno de cada contenido sea suficiente para una mínima aplicación y para enlazar con los contenidos que se relacionan con él.

Otra vía de atender la diversidad de los alumnos es el establecimiento de grupos homo-

géneos. Esta es una práctica de poca tradición en nuestros hábitos docentes, y consiste en agrupar a los alumnos de secundaria en grupos homogéneos en función de su rendimiento o en función de su capacidad general.

• Atención a la diversidad en los materiales utilizados

La selección de los materiales utilizados en el aula tiene también una gran importancia a la hora de atender a las diferencias individuales en el conjunto de los alumnos y alumnas. Como material esencial debe considerarse el libro base. El uso de materiales de refuerzo o ampliación, tales como los cuadernos monográficos, permite atender a la diversidad en función de los objetivos que nos queramos fijar. Por consiguiente, estableceremos una serie de objetivos que persigan la atención a las diferencias individuales de los alumnos y alumnas, y seleccionaremos los materiales curriculares complementarios que nos ayuden a alcanzar esos objetivos.


LOS TEMAS TRANSVERSALES.

Educación del consumidor

—Utilizar con autonomía el lenguaje matemático para expresar situaciones de la vida cotidiana (juegos de azar, quinielas, loterías…), fenómenos, y procesos sociales y humanos.

—Aplicar la notación científica para agilizar los cálculos que permiten resolver problemas susceptibles de ser tratados matemáticamente.

—Interpretar y analizar las informaciones que provienen de distintas fuentes (política, economía, sociedad, sanidad, consumo…), empleando herramientas matemáticas (notación científica, gráficas, parámetros estadísticos…). —Valorar críticamente las informaciones que provienen de distintas fuentes (medios de comunicación, gráficas y datos estadísticos, fenómenos sociales y económicos…) para elaborar juicios, formarse una opinión propia y así poder expresarse sobre problemas actuales.

—Emplear la notación científica para escribir cantidades muy grandes o muy pequeñas en distintas situaciones de la vida cotidiana.

—Conocer y valorar la utilidad de interpretar el error absoluto y el error relativo en la realización de medidas.

Educación ambiental —Adquirir una conciencia global del medio ambiente y sensibilizarse respecto a los problemas que lo afectan a partir del manejo de datos estadísticos y la interpretación de éstos.

—Utilizar los conocimientos sobre interpretación de gráficas de funciones y su estudio para interpretar informaciones que vienen expresadas gráficamente.

—Manejar el lenguaje matemático (simbología, gráficas, parámetros…) con el fin de expresar la evolución de distintos indicadores que nos informan sobre el estado del medio ambiente (contaminación, meteorología, recursos energéticos, cambios en la naturaleza, evolución de epidemias…).

Educación para la paz —Conocer y valorar las propias habilidades matemáticas para afrontar las situaciones que requieren su empleo.

—Conocer y valorar las estrategias de resolución de problemas para afrontar problemas de la vida cotidiana susceptibles de ser resueltos matemáticamente.

—Reconocer y valorar el trabajo en equipo como la manera más eficaz para resolver determinados problemas de la vida cotidiana (toma de datos, estudios estadísticos…). —Apreciar el desarrollo y la evolución de los conocimientos matemáticos como un proceso en continuo cambio.


—Interpretar el conocimiento matemático como una herramienta de trabajo al servicio de otras materias.

—Mostrar una actitud flexible y abierta ante las opiniones de los demás en el momento de resolver un problema.

—Manifestar actitudes propias de la actividad matemática (visión crítica y actitud abierta a nuevas ideas) en la resolución de problemas.

—Contrastar las propias estrategias matemáticas para la resolución de problemas, de forma que les permita enfrentarse a situaciones nuevas con autonomía y creatividad.

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