Badania operacyjne

Wykład 6

Idea branch and bound

• Mamy trzy zmienne decyzyjne x1 (zmienna całkowito-liczbowa) i dwie zmienne binarne x2 i x3 oraz ograniczenia 1 ≤ x1 ≤ 3, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x3 ≤ 1

• Poniżej jest drzewo pełnego wyliczenia możliwości [full enumeration tree]

• Zamiast budować całe drzewo na raz, buduj drzewo stopniowo, rozwijając tylko najbardziej obiecujące wierzchołki na każdym etapie. Najbardziej obiecujące wierzchołki są wskazywane poprzez estymowanie ograniczenia na najlepszą wartość funkcji celu, jaka może być osiągnięta poprzez rozwinięcie danego wierzchołka w następnych etapach.

Podstawowe pojęcia• Rozgałęzianie

[Branching]• Ograniczanie

[Bounding]– Sądowanie

[fathoming]• Podcinanie

[Prunning]

Pojęcia:• wierzchołek [node] każde częściowe lub pełne rozwiązanie• liść [leaf node] pełne rozwiązanie• pączek [bud node] częsciowe rozwiązanie dopuszczalne lub niedopuszczalne• funkcja ograniczająca [bounding function] – metoda estymacji dla pączków, musi być optymistyczna• rozgałęzianie [branching], rozwijanie [growing], ekspansja [expanding] wierzchołka – proces kreowania wierzchołków dzieci dla pączka• tymczasowe rozwiązanie [incumbent]

Trzy popularne systemy selekcji wierzchołków [node selection policy]• Best-first / global-best node selection• Depth-first• Breadth-first

System selekcji zmiennych [variable selection policy]Reguły przycinania pączków

Reguła zakończenia algorytmu

Przykład – problem przyporządkowania

• Znaczenie wierzchołka w drzewie:– Częściowe lub pełne przyporządkowanie ludzi do zadań

• System selekcji wierzchołków: global best• System selekcji zmiennych: wybierz następne zadanie w naturalnej

kolejności 1 do 4• Funkcja ograniczająca: dla nieprzyporządkowanych zadań wybierz

najlepszą nieprzyporządkowaną osobę, nawet jeśli będzie wybrana parę razy

• Reguła zakończenia: kiedy wartość funkcji celu dla tymczasowego rozwiązania jest lepsza lub równa do wartości funkcji ograniczającej dla wszystkich pączków

• Sądowanie: rozwiązanie wygenerowane przez funkcję ograniczającą jest dopuszczalne jeśli każde zadanie jest przyporządkowane do różnych osób.

Jak powstają wartości funkcji ograniczającej?

• Popatrzmy na wierzchołek pierwszego etapu, który oznacza przyporządkowanie osoby A do zadania 1.

• Zbiór rozwiązań reprezentowanych przez ten wierzchołek to A???– Faktyczna wartość przyporządkowania A do zadania 1 to: 9– Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 2 to C, wartość: 1– Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 3 to D, wartość: 2– Najlepsza nieprzyporządkowana osoba dla zadania 4 to C, wartość: 2

• Rozwiązanie funkcji ograniczającej to ACDC z kosztem całkowitym =9+1+2+2=14.– Wiemy, że w najlepszym wypadku wartość funkcji celu dla wierzchołków

pochodzących od A??? To 14. To nie jest dopuszczalne rozwiązanie, bo osoba C jest przyporządkowana do dwóch zadań. Osoba A jest faktycznie przyporządkowana.

Tworzymy drzewoPierwszy etap: korzeń drzewa

Drugi etap:• Wierzchołek C??? Jest

wysądowany – pierwsze tymczasowe rozwiązanie dopuszczalne CBDA=13

• To nam pozwala przyciąć wierzchołek A???, którego wartość funkcji ograniczającej wynosi 14.

• Dwa pączki, które dają nadzieję na poprawę B??? i D??? – global best: wybieramy D???

Przycięte wierzchołki mają przerywane obrzeżaDopuszczalne wierzchołki mają pogrubione obrzeża Przycięte dopuszczalne wierzchołki mają to i to

Tworzymy drzewoTrzeci etap:

• Nie ma nowych dopuszczalnych rozwiązań, czyli rozwiązanie tymczasowe się nie zmienia.

• Nowe wierzchołki nie mogą być przycięte poprzez porównanie z rozwiązaniem tymczasowym lub wysądowane.

• Wybieramy global best spośród B??? (9), DA?? (12), DB?? (10) oraz DC?? (12)• A zatem B???

Tworzymy drzewoCzwarty etap:

• Sądujemy dwa wierzchołki BA?? oraz BC??

• Nowe tymczasowe rozwiązanie dopuszczalne to BCDA=12• Wycinamy dotychczasowe

rozwiązanie CBDA• BA?? jest dopuszczalne, ale

wycinamy w porównaniu z nowym rozwiązaniem tymczasowym

• Wycinamy wierzchołki DA?? i DC?? Poprzez porównanie z tymczasowym rozwiązaniem• Gdybyśmy chcieli znaleźć

wszystkie rozwiązania a nie tylko jedno możemy w przyszłości je analizować dalej

• Zostaje nam tylko jeden pączek DB??.

Tworzymy drzewoPiąty etap: • DBAC ma lepszą

wartość niż dotychczasowe rozwiązanie, zatem je zastępuje I wycina poprzednie

• DBCA jest wycięte poprzez porównanie z tymczasowym

• Nie ma innych pączków do ekspansji, więc kończymy

• Przeanalizowaliśmy 13 wierzchołków zamiast 24

• Dla większych problemów znaczne przyspieszenie

Dobra funkcja ograniczająca jest kluczem

• Problem komiwojażera: odwiedzić każde miasto dokładnie raz i powrócić do punktu wyjścia

• Załóżmy, że mamy częściowe rozwiązanie (pogrubione)

• Bardzo sprytna funkcja ograniczająca: minimalne drzewo rozpinające na wierzchołkach nieodwiedzonych i wierzchołku początkowym i końcowym częsciowej trasy

Wprowadzenie do sieci• Dwa główne elementy:

– Łuki (krawędzie) [arcs/edges] – Wierzchołki [nodes]

• Graf [graph] to struktura, którą buduje się poprzez łączenie wierzchołków łukami• Graf skierowany [directed graph] (digraf [digraph]) jest grafem, w którym łuki

mają określony kierunek• Sieć [network] to graf (lub digraf), w którym łuki mają przyporządkowany

przepływ [flow]• Oto parę prostych przykładów sieci:

Wierzchołki Łuki Przepływ

Miasta Autostrady SamochodyCentra

teleinformatyczne Przewody Przekazywane pakiety

Łączenia rurociągów Rury Woda

Wprowadzenie do sieci• Łańcuch [chain] to ciąg łuków łączących dwa wierzchołki i i j, np.

ABCE, ADCE• Ścieżka [path] to ciąg skierowanych łuków łączących dwa wierzchołki,

np. ABDE, ale nie ABCE• Cykl [cycle] to łańcuch który łączy wierzchołek z samym sobą bez

żadnego powtarzania [retracing], np. ABCEDA, ale nie ABCDECBA• Graf/sieć spójny/a [connected graph/network] ma tylko jedną część

graf graf skierowany

Wprowadzenie do sieci• Drzewo [tree] – graf spójny nie mający cyklów.• Drzewo rozpinające [spanning tree] to drzewo wybrane spośród łuków

w grafie lub w sieci tak, aby wszystkie wierzchołki w drzewie były połączone

dwa drzewa rozpinającedwa drzewa

• Zdolność przepływowa [flow capacity] – górna (czasem też dolna) granica ilości przepływu danego łuku w sieci, np. maksymalna ilość wody w rurociągu

• Źródło [source] to wierzchołek który wprowadza przeływ do sieci • Zlew [sink] to wierzchołek, który wyprowadza przepływ z sieci

Problem najkrótszej trasy [The shortest route problem]

• Sformułowanie: Dla danego grafu, w którym każdy łuk oznaczony jest poprzez dystans pomiędzy wierzchołkami, które on łączy, jaka jest najkrótsza trasa pomiędzy wierzchołkiem i i innym wierzchołkiem j.

• Na przykład: Jaka jest najkrótsza trasa pomiędzy A i H?

Wyliczenie wszystkich możliwości [enumeration] – niepraktyczne

Algorytm Dijkstra

ANIMACJA 1

Problem najmniejszego drzewa rozpinającego [minimum spanning tree]

• Sformułowanie: Dla danego grafu, w którym łuki są oznaczone poprzez odległości pomiędzy wierzchołkami, które łączą, znajdź drzewo rozpinające, które ma najmniejszą łączną długość

• Na przykład: Znajdź minimalną długość kabla, aby połączyć wszystkie biura w budynku mając dane wszystkie dopuszczalne trasy kabli

• Algorytm:

Przykład zachłannego algorytmu [greedy algorithm] – robi co jest najlepsze w danym kroku nie patrząc na resztę problemu (zazwyczaj nieefektywne – tutaj TAK!)

Można też robić maksymalne drzewo rozpinające w ten sam sposób

ANIMACJA 2

Maksymalny przepływ i minimalne cięcie [maximum flow and the minimum cut]

• Sformułowanie: Jaki jest maksymalny przepływ pomiędzy danym wierzchołkiem a jakimś innym wierzchołkiem w sieci?

• Na przykład: Znajdź maksymalny przepływ samochodów z parkingu podziemnego w centrum miasta do wyjazdu na autostradę?

• Każdemy łukowi przyporządkowujemy maksymalny możliwy jednoczesny przepływ pomiędzy dwoma wierzchołkami, które ten łuk łączy.– Przepływ może się różnic w zależności od kierunku (np. jednokierunkowe ulice)

4 samochody na minutę na trasie A-D-E-G

3 samochody na minutę na trasie A-B-E-G{jednoczesny przepływ na łuku E-G wynosi teraz 7}

4 samochody na minutę na trasie A-C-F-G

Przepływ łączny 11 samochodów na minutę z A do G

Maksymalny przepływ i minimalne cięcie [maximum flow and the minimum cut]

• Algorytm: Ford and Fulkerson (Canadian Journal of Mathematics 1956)

ANIMACJA 3

• Dlaczego potrzeba dodawać przepływy w odwrotnym kierunku?– Konwencja rachunków, aby zaznaczyć przepływ, który, jeśli trzeba,

można cofnąć.

Maksymalny przepływ i minimalne cięcie [maximum flow and the minimum cut]

• Maksymalny przepływ jest związany z minimalnym cięciem:– Cięcie [cut] to każdy zbiór skierowanych łuków zawierający przynajmniej jeden łuk w

każdej ścieżce ze źródła do zlewu (przeznaczenia). Jeśli usuniemy łuki z danego cięcia, to przepływ jest zupełnie odcięty.

– Wartość cięcia [cut value] to suma wszystkich zdolności przepływowych w kierunku od źródła do przeznaczenia dla wszystkich łuków w cięciu.

• Możliwe cięcia z zaznaczonymi wartościami tych cięć

Maksymalny przepływ i minimalne cięcie [maximum flow and the minimum cut]

Twierdzenie Max-flow/min-cut• Twierdzenie: Dla każdej sieci z jednym

źródłem i jednym zlewem, maksymalny możliwy przepływ ze źródła do przeznaczenia równa się minimalnej wartości cięcia dla wszystkich cięć w tej sieci.

• Intuicja: – Maksymalny przepływ przez serię rur, równy jest

ograniczony przez wąskie gardło.– Minimalne cięcie to rodzaj rozłożonego wąskiego

gardła, czyli wąskiego gardła dla całej sieci w przeciwieństwie do wąskiego gardła dla serii rur.

• Czyli do znalezienia minimalnego cięcia można posłużyć się również algorytmem Forda-Fulkersona.– Jak już zakończy działanie algorytm, zaznacz łuki,

które ciągną przepływ równy ich maksymalnej możliwości przepływu. Wtedy poszukaj cięcia, które składa się tylko z zaznaczonych łuków i żadnych innych.

Maksymalny przepływ i minimalne cięcie [maximum flow and the minimum cut]

• Minimalne cięcie z wartością w kierunku do przodu równą 14.• 4 drogi B-E, D-E, F-E oraz F-G to wąskie gardło sieci i powinno się je

poszerzyć w pierwszej kolejności– Ale możesz nie dostać 1 jednostki powiększenia przepływu na każdą jednostkę

dodanej zdolności przepływowej w łuku z minimalnego cięcia. – Tak się dzieje, ponieważ zwiększony przepływ przez ten łuk może aktywować

nowe wąskie gardło w górze bądź w dole rzeki licząc od tego łuku.• Zdolności przepływu mogą oznaczać koszty. Wówczas minimalne cięcie

oznacza minimalny koszt zablokowania przepływu w całej rzece.