Badania operacyjne

Badania operacyjne

Jeśli dzisiaj jest choć w połowie tak dobre, jak jutro ma być, to prawdopodobnie będzie dwa razy lepsze niż wczoraj

Norman Augustine

Wstęp

• Poprzednio estymowaliśmy równanie popytu• Proces estymacji składa się z paru kroków:– Identyfikacja głównych zmiennych objaśniających– Zbieranie danych dot. tych zmiennych– Wykorzystanie metod statystycznych, aby uzyskać

równanie popytu, które najlepiej pasuje do przeszłych danych

• Na tym wykładzie z kolei zostanie zaprezentowane parę metod prognozowania przyszłości

Wstęp

• Metody prognozowania dzielą się na:– Modele strukturalne (próbują wyjaśnić jak dana

zmienna zależy od innych zmiennych)• Strukturalne modele ekonometryczne gospodarki

– Modele niestrukturalne (identyfikują zależności w ruchach danej zmiennej w czasie)• Analiza szeregów czasowych • Metoda barometru (identyfikuje tzw. wskaźniki

wyprzedzające, które sygnalizują zmiany danej zmiennej – np. zmiany na giełdzie sygnalizują zmiany w gospodarce realnej)

Dzisiaj

• Analiza szeregów czasowych– Wyznaczanie trendu prostego względem czasu:

• Liniowy• Nieliniowy np. kwadratowy• Nieliniowy, ale sprowadzalny do liniowego np. wykładniczy

– trend wykładniczy a zmiany procentowe zmiennych

– Wyznaczanie trendu autoregresyjnego• Zależność zmiennej od siebie samej z przeszłości

– Uwzględnienie trendu i zmian sezonowych• Metoda ze średnimi błędami dla każdej pory roku• Metoda ze zmiennymi binarnymi oznaczającymi porę roku

Szacowanie prostego trendu

0 2 4 6 8 10 12 14100

120

140

160

180

200

220

f(x) = 8.41197111080723 x + 98.1514911690421R² = 0.982600602767809

Trend kwadratowy

0 2 4 6 8 10 12 14100

120

140

160

180

200

220

f(x) = 0.291770560733721 x² + 4.61895382126885 x + 107.001864844632R² = 0.993633795326488

Trend wykładniczy

0 2 4 6 8 10 12 14100

120

140

160

180

200

220

f(x) = 104.794381008876 exp( 0.0552307258246034 x )R² = 0.992224623323921

Trend wykładniczy z naliczaniem dyskretnym i ciągłym

• Jeśli R>1 to y rośnie proporcjonalnie w stosunku do czasu– Np. R=1,04, więc y rośnie 4%

rocznie• Procenty mogą się naliczać co

roku, bądź w częstszy sposób (na przykład codziennie)– Stąd rozróżnienie na dwa sposoby

ujmowania trendu wykładniczego– Istnieje jednak prosta zależność

między nimi

Model liniowy

Prognozy

• Trend wykładniczy i kwadratowy (nieliniowe) dają zupełnie różne prognozy niż trend liniowy (w szczególności dla „dalekich prognoz”)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20100

150

200

250

300

350

trend liniowy

trend kwadratowy

trend wykładniczy

Szereg czasowy

Jak teraźniejszość wpływa na przyszłość?

• Rozważmy prognozę liczby abonentów pewnej telewizji kablowej, która obecnie ma 500000 abonentów:– Około 98% dotychczasowych abonentów przedłuża

abonament na następny kwartał– Potencjalne rozmiary rynku ocenia się na 1000000

abonentów– Liczba nowych abonentów zarejstrowanych w

każdym kwartale stanowi ok. 8% ogólnej liczby nie pozyskanych jeszcze potencjalnych klientów

Model• Załóżmy, że firma nie ma dobrej informacji na temat:

– Wielkości rynku: N– Współczynnika utrzymania klientów (retention rate): r– Współczynnik nowych rejestracji abonentów (new subscriber sign up rate): s

• I chce te parametry wyestymować z dostępnych danych

• W tym celu wykorzystuje dane z ostatnich 8 kwartałów

1 900002 1400003 2200004 2800005 3100006 3780007 4200008 450000

Estymacja trendu

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

100000

200000

300000

400000

500000

600000

700000

800000

900000

Dane z ostatnich 8 kwartałów

Nieznany trend rzeczywisty

Wyestymowany trend

Prognoza

1 900002 1400003 2200004 2800005 3100006 3780007 4200008 450000

9484244,

5 500000

10515396,

9 530000

11543736,

4 557000

Popyt na zabawki• Dane kwartalne

1 Zima 1995 133 21 Zima 2000 1582 Wiosna 135 22 Wiosna 1693 Lato 140 23 Lato 1714 Jesień 180 24 Jesień 2095 Zima 1996 141 25 Zima 2001 1726 Wiosna 170 26 Wiosna 2077 Lato 172 27 Lato 2098 Jesień 186 28 Jesień 2149 Zima 1997 143 29 Zima 2002 18310 Wiosna 148 30 Wiosna 21211 Lato 150 31 Lato 18412 Jesień 194 32 Jesień 21913 Zima 1998 154 33 Zima 2003 18514 Wiosna 156 34 Wiosna 19015 Lato 158 35 Lato 22216 Jesień 196 36 Jesień 22717 Zima 1999 153 37 Zima 2004 19918 Wiosna 161 38 Wiosna 22819 Lato 193 39 Lato 23020 Jesień 204 40 Jesień 229

Trend liniowyZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ńZi

ma

Wio

sna

Lato

Jesie

ń

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

100

120

140

160

180

200

220

240

f(x) = 2.00112570356473 x + 141.076923076923R² = 0.642009972875249

RzeczywistePrzewidywane na podstawie

trendu Błąd

1995

Zima 133 143,0811 10,0811Wiosna 135 145,0822 10,0822

Lato 140 147,0833 7,0833Jesień 180 149,0844 -30,9156

1996

Zima 141 151,0855 10,0855Wiosna 170 153,0866 -16,9134

Lato 172 155,0877 -16,9123Jesień 186 157,0888 -28,9112

1997

Zima 143 159,0899 16,0899Wiosna 148 161,091 13,091

Lato 150 163,0921 13,0921Jesień 194 165,0932 -28,9068

1998

Zima 154 167,0943 13,0943Wiosna 156 169,0954 13,0954

Lato 158 171,0965 13,0965Jesień 196 173,0976 -22,9024

1999

Zima 153 175,0987 22,0987Wiosna 161 177,0998 16,0998

Lato 193 179,1009 -13,8991Jesień 204 181,102 -22,898

2000

Zima 158 183,1031 25,1031Wiosna 169 185,1042 16,1042

Lato 171 187,1053 16,1053Jesień 209 189,1064 -19,8936

2001

Zima 172 191,1075 19,1075Wiosna 207 193,1086 -13,8914

Lato 209 195,1097 -13,8903Jesień 214 197,1108 -16,8892

2002

Zima 183 199,1119 16,1119Wiosna 212 201,113 -10,887

Lato 184 203,1141 19,1141Jesień 219 205,1152 -13,8848

2003

Zima 185 207,1163 22,1163Wiosna 190 209,1174 19,1174

Lato 222 211,1185 -10,8815Jesień 227 213,1196 -13,8804

2004

Zima 199 215,1207 16,1207Wiosna 228 217,1218 -10,8782

Lato 230 219,1229 -10,8771Jesień 229 221,124 -7,876

Jak sobie radzić z sezonowością

• Policzyć średni błąd dla każdej z pór roku

• I poodejmować te błędy od wartości przewidywanej w zależności od pory roku

Średni błąd prognozy

Zima 17,0009Wiosna 3,502Lato 0,2031Jesień -20,6958

Jak poradzić sobie z sezonowością

• Alternatywnie (lepiej) można wprowadzić zmienne binarne dla każdej pory roku i wyestymować model postaci:

Zima 1995 133 1 0 0 0Wiosna 135 0 1 0 0Lato 140 0 0 1 0Jesień 180 0 0 0 1Zima 1996 141 1 0 0 0Wiosna 170 0 1 0 0Lato 172 0 0 1 0Jesień 186 0 0 0 1Zima 1997 143 1 0 0 0Wiosna 148 0 1 0 0Lato 150 0 0 1 0Jesień 194 0 0 0 1Zima 1998 154 1 0 0 0Wiosna 156 0 1 0 0Lato 158 0 0 1 0Jesień 196 0 0 0 1Zima 1999 153 1 0 0 0Wiosna 161 0 1 0 0Lato 193 0 0 1 0Jesień 204 0 0 0 1Zima 2000 158 1 0 0 0Wiosna 169 0 1 0 0Lato 171 0 0 1 0Jesień 209 0 0 0 1Zima 2001 172 1 0 0 0Wiosna 207 0 1 0 0Lato 209 0 0 1 0Jesień 214 0 0 0 1Zima 2002 183 1 0 0 0Wiosna 212 0 1 0 0Lato 184 0 0 1 0Jesień 219 0 0 0 1Zima 2003 185 1 0 0 0Wiosna 190 0 1 0 0Lato 222 0 0 1 0Jesień 227 0 0 0 1Zima 2004 199 1 0 0 0Wiosna 228 0 1 0 0Lato 230 0 0 1 0Jesień 229 0 0 0 1

Porównanie RzeczywisteModel tylko z trendem

Model ze średnimi

Model ze zm. Binarnymi

1995

Zima 133 143,0811 126,0802 128,06364Wiosna 135 145,0822 141,5802 143,56364Lato 140 147,0833 146,8802 148,86364Jesień 180 149,0844 169,7802 171,76364

1996


1997


1998


1999


2000


2001


2002


2003


2004


Średni błąd kwadratowy 17,24934 10,72972 10,65477

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

100

120

140

160

180

200

220

240

260

Rzeczywiste

Linear (Rzeczywiste)

Model ze średnimi błędami dla poszczególnych pór roku

Model ze zmiennymi binarnymi dla każdej pory roku

Prognoza – jak policzyć

• W modelu z samym trendem, podstawić wartości czasu:

• W modelu ze średnimi odjąć średni błąd prognozy dla odpowiednich pór roku

• W modelu ze zmiennymi binarnymi, podstawić wartości czasu oraz wstawić jeden dla zmiennej oznaczającej daną porę roku

Średni błąd prognozy

Zima 17,0009Wiosna 3,502

Lato 0,2031Jesień -20,6958

Prognoza

Tylko trend

Ze średnimi

Ze zm. Binarnymi

41 223,1251206,1242 203,742 225,1262221,6242 219,243 227,1273226,9242 224,544 229,1284249,8242 247,4

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

Zim

aW

iosn

aLa

toJe

sień

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004

100

120

140

160

180

200

220

240

260

Rzeczywiste

Model ze średnimi

Model ze zmiennymi binarnymi

Model tylko z trendem

Jak ocenić jakość prognoz• Średni błąd bezwględny prognozy

• Średni pierwiastkowy błąd kwadratowy

• Gdzie Q – przyszła wartość rzeczywista, Q* - wartość prognozowana, m – liczba prognoz, k – liczba estymowanych parametrów

W gretlu mnóstwo narzędzi

• Np. filtr Hodricka-Prescotta do odsezonowania

Model taki jak wcześniej tylko w GRETLu

Kiedy jaka średnia• Jeśli zmiana procentowa danej zmiennej wyniosła w roku x: 50% a w roku x+1: -

33,33% (obie wartości w stosunku do roku poprzedniego), to średnia roczna zmiana procentowa tej zmiennej wynosi około:

A 8,33%B 0%C 16,67%D -8,33%

• Cena towaru x i cena towaru y jest równa i wynosi 10 złotych. Stosunek ceny do zysku dla towaru x wynosi 8:1 a dla towaru y wynosi 2:1. Wobec tego średni stosunek ceny do zysku dla obu towarów wynosi:

A 5,5B 5C 3,2D 4

Kiedy jaka średnia• Jeśli zmiana procentowa danej zmiennej wyniosła w roku x: 50% a w roku x+1: -

33,33% (obie wartości w stosunku do roku poprzedniego), to średnia roczna zmiana procentowa tej zmiennej wynosi około:

A 8,33%B 0%C 16,67%D -8,33%

• Cena towaru x i cena towaru y jest równa i wynosi 10 złotych. Stosunek ceny do zysku dla towaru x wynosi 8:1 a dla towaru y wynosi 2:1. Wobec tego średni stosunek ceny do zysku dla obu towarów wynosi:

A 5,5B 5C 3,2D 4

Średnia geometryczna

Średnia harmoniczna

Documents

Badania operacyjne