(BAGIAN - 2) Oleh : WIJAYA - Zeamayshibrida's Blog · ¾ Penggunaan jenis distribusi (rumus) dalam Pengujian Hipotesis sama dengan Pendugaan Parameter –––– sebaran penarikan

STATISTIKA II (BAGIAN - 2)

Oleh :

WIJAYA

email : [email protected]

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2008

Wijaya : Statistika II (Bagian-2) 0

VI. PENGUJIAN HIPOTESIS

Hipotesis merupakan dugaan mengenai suatu hal; atau hipotesis adalah

jawaban sementara terhadap suatu masalah. Jika dugaan itu dikhususkan

mengenai populasi (parameternya), maka hipotesis itu disebut Hipotesis Statistik.

Hipotesis Statistik adalah pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih

populasi.

Setiap hipotesis bisa benar atau salah, sehingga perlu diuji dengan suatu

penelitian untuk diterima atau ditolak. Penerimaan suatu hipotesis statistik

merupakan akibat tidak cukupnya bukti untuk menolaknya, dan tidak berimplikasi

bahwa hipotesis itu pasti benar.

Langkah atau prosedur untuk menentukan apakah menerima atau menolak

hipotesis disebut Pengujian Hipotesis. Dalam pengujian hipotesis terdapat 2

kekeliruan (galat), yaitu :

Keadaan Sebenarnya Kesimpulan

H0 Benar H0 Salah

Terima Hipotesis Benar Galat Jenis II ( β ) Tolak Hipotesis Galat Jenis I ( α ) Benar

Nilai α disebut Taraf Nyata, jika α diperkecil maka β semakin besar. Nilai α

biasanya 0,05 (5%) atau 0,01 (1%). Jika α = 0,05 artinya 5 dari tiap 100

kesimpulan kita akan menolak hipotesis yang seharusnya diterima. Harga (1 – β)

disebut Kuasa (Kekuatan) Uji.

Hipotesis Nol (H0) adalah hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan

ditolak. Lawan H0 adalah H1 atau Hipotesis Alternatif.


Teladan 6.1 :

Di suatu kota proporsi penduduk dewasa lulusan Perguruan Tinggi (PT) diduga

sebesar p = 0,3. Untuk menguji hipotesis ini diambil contoh acak 15 orang

dewasa. Bila diantara 15 orang terdapat 2 sampai 7 orang lulusan PT, kita akan

menerima hipotesis nol bahwa p = 0,3, selainnya akan disimpulkan p ≠ 0,3.

a. Hitung α bila diasumsikan p = 0,3.

b. Hitung β bagi H1 bila p = 0,2 dan p = 0,4

Jawab :

a. p = 0,3 nilai α = 1 – p (2 ≤ x ≤ 7) = 1 – [ p (x ≤ 7) – p ( x ≤ 1) ]

7 1 α = 1 – [ ∑ b(x; 15, 0,3) – ∑ b(x; 15, 0,3) ] 0 0 = 1 – (0,9500 – 0,0353) = 0,0853 b. p = 0,2 nilai β = 1 – p (2 ≤ x ≤ 7) = 1 – [ p (x ≤ 7) – p ( x ≤ 1) ] 7 1 β = 1 – [ ∑ b(x; 15, 0,2) – ∑ b(x; 15, 0,2) ] 0 0

= 1 – (0,9958 – 0,1671) = 0,8287 p = 0,4 nilai β = 1 – p (2 ≤ x ≤ 7) = 1 – [ p (x ≤ 7) – p ( x ≤ 1) ] 7 1 β = 1 – [ ∑ b(x; 15, 0,4) – ∑ b(x; 15, 0,4) ] 0 0 = 1 – (0,7869 – 0,0052) = 0,7817

Teladan 6.2 :

Sebuah contoh acak 400 orang ditanyai apakah mereka setuju dengan kenaikan

pajak penjualan bensin 4% untuk menambah dana perbaikan jalan. Bila lebih dari

220 tetapi kurang dari 260 orang setuju, maka disimpulkan bahwa 60% orang

setuju.

a. Hitung α jika 60% setuju kenaikan pajak tersebut.

b. Hitung β jika sesungguhnya hanya 48% yang setuju kenaikan tersebut.


Jawab :

Data diskrit, n cukup besar dan p dekat ke 0,5 jadi digunakan pendekatan normal

ke binom.

a. n = 400 p = 0,6 q = 0,4 μ = np = 240 dan σ = √ npq = 9,8

z1 = (220,5 – 240) / (9,8) = –1,99 atau p (z1) = 0,0233

z2 = (259,5 – 240) / (9,8) = 1,99 atau p (z2) = 0,9767

p (220 < x < 260) = p (z1 < z < z2 ) = 0,9767 – 0,0233 = 0,9534

nilai α = 1 – 0,9534 = 0,0466

b. n = 400 p = 0,48 q = 0,52 μ = np = 192 dan σ = √ npq = 9,99

p (220 < x < 260) = p (2,85 < z < 6,76 ) = 1 – 0,9978 = 0,0022

Nilai β = 0,0022

Teladan 6. 3 :

Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga volume minuman yang

dikeluarkannya menghampiri normal dengan rata–rata 200 ml dan simpangan

bakunya 15 ml. Setiap periode tertentu mesin itu diperiksa dengan cara mengambil

9 contoh acak kemudian dihitung isi rata–ratanya. Bila rata–ratanya jatuh diantara

191 < x < 209, mesin dianggap baik, bila tidak demikian disimpulkan bahwa μ ≠

200 ml.

a. Hitung α jika μ = 200 ml.

b. Hitung β jika μ = 215 ml.

Jawab :

Data kontinyu; sebaran penarikan contoh ; σ diketahui (sebaran z).

a. n = 9 μ = 200 dan σ = 15 σx = σ / √ n = 15 / √ 9 = 5

α = 1 – p (191 < x < 209) = 1 – p (–1,8 < z < 1,8 )

α = 1 – ( 0,9641 – 0,0359) = 0,0718

nilai á = 1 – 0,9534 = 0,0466

b. β = p (191 < x < 209) = p (–4,8 < z < –1,2 ) = 0,1151 – 0 = 0,1151


Pada Teladan 6.3, untuk 191 < x < 209 jika nilai μ ditentukan, maka peluang β

dan nilai (1– β) dapat dihitung. Misalnya nilai μ sebagai berikut :

μ 184 188 192 196 200 204 208 212 216

β 0,0808 0,2743 0,5790 0,8366 0,9282 0,8366 0,5790 0,2743 0,0808

(1– β) 0,9192 0,7253 0,4210 0,1634 0,0718 0,1634 0,4210 0,7253 0,9192

00,10,20,30,40,50,60,7

891

184 188 192 196 200 204 208 212 216

0,0,

(1− β)

β

Kurva β disebut Kurva Ciri Operasi atau Kurva Ciri Kerja, sedangkan Kurva

(1 – β) disebut Fungsi Kuasa.

Teknik dalam Pengujian Hipotesis :

Uji Dua Pihak :

H0 : θ = θ0

H1 : θ ≠ θ0 α

Uji Satu Pihak (Pihak Kiri) :

H0 : θ = θ0

H1 : θ < θ0 α

Uji Satu Pihak (Pihak Kanan) :

H0 : θ = θ0

H1 : θ > θ0


Penggunaan jenis distribusi (rumus) dalam Pengujian Hipotesis sama dengan

Pendugaan Parameter –––– sebaran penarikan contoh.

6.1 Pengujian Rata–rata

(a) Jika σ diketahui atau n ≥ 30 :

x – μ z = ————

σ / √ n

(b) Jika σ tidak diketahui dan n < 30 :

x – μ t = ————

s / √ n

Teladan 6.4 :

Sebuah perusahaan alat olah raga mengembangkan jenis batang pancing sintetik

dengan rata–rata kekuatan 8 kg dan simpangan baku 0,5 kg. Suatu contoh acak

50 batang pancing diuji ternyata kekuatannya rata–rata 7,8 kg. Ujilah pada taraf

nyata 0,01 pernyataan perusahaan tersebut dapat diterima.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μ = 8 lawan H1 : μ ≠ 8 Jadi merupakan uji dua pihak

2. Uji Statistik : z

3. Taraf Nyata α = 1% atau zα/2 = z0,005 = – 2,575

4. Wilayah Kritik : z < – 2,575 atau z > 2,575

5. Perhitungan :

x = 7,8 n = 50 σ = 0,5 σ/√n = 0,5 /√50 = 0,07

z = (x – μ ) / (σ/√n) z = (7,8 – 8) / (0,07) = – 2,83

–2,575 2,575


6. Kesimpulan : Karena z < z0,005 , maka Tolak H0 artinya rata- rata kekuatan

batang pancing tersebut tidak sama dengan 8 kg, tetapi kurang dari 8 kg.

Teladan 6.5 :

Seorang peneliti senior menyatakan bahwa rata–rata pendapatan per bulan

keluarga di kota A sebesar Rp 350.000,–. Suatu contoh acak berukuran 25

diambil dan diperoleh rata–rata pendapatannya Rp 250.000,– dengan simpangan

baku Rp 100.000,–. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah benar pernyataan

peneliti senior tersebut bahwa rata–rata pendapatan keluarga di kota A sebesar Rp

350.000,–

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μ = 350.000 lawan H1 : μ ≠ 350.000 Jadi merupakan uji dua pihak.

2. Uji Statistik : t

3. Taraf Nyata α = 0,05 atau tα/2 (n–1) = t0,025 (24) = 2,064

4. Wilayah Kritik : t < – 2,064 atau t > 2,064

5. Perhitungan :

x = 250.000 n = 25 s = 100.000 s/√n = 100.000 /√25 = 20.000

t = (x – μ ) / (s/√n) t = (– 100.000) / (20.000) = – 5

–2,064 2,064 6. Kesimpulan : Karena t < t0,025(24), maka Tolak H0 artinya rata- rata pendapatan

keluarga tersebut kurang dari Rp 350.000,-.

Cara lain : (Pengujian dalam bentuk selang kepercayaan)

Selang Kepercayaannya : x – tα/2 . s/√n < μ < x + tα/2. s/√n

⇔ 250.000 – (2,064)(20.000) < μ < 250.000 + (2,064)(20.000)

⇔ 229.360 < μ < 270.640

Karena selang kepercayaan 95% bagi rata–rata μ tidak mencakup nilai Rp


350.000,– maka kita tolak pernyataan peneliti senior tersebut.

6.2 Pengujian Selisih Rata–rata

(a) Jika σ1 dan σ2 diketahui atau n ≥ 30 :

x1 – x2 z = ——————————

√ (σ12/ n1) + (σ2

2/ n2)

(b) Jika σ1 dan σ2 tidak diketahui dan n < 30 :

1. σ1 = σ2 , maka :

x1 – x2 t = ——————————

sg √ (1/ n1) + (1/ n2)

(n1 – 1) s12 + (n2 – 1) s2

2

sg2= ————————————

n1 + n2 – 2

2. σ1 ≠ σ2 , maka :

x1 – x2 t = ——————————

√ (s12/ n1) + (s2

2/ n2)

Nilai t dibandingkan dengan t’ sebagai t–tabel, dimana :

(w1 t1 + w2 t2 ) t’ = ————————— ( w1 + w2 )

w1 = (s12 / n1) ; w2 = (s1

2 / n1) ; t1= tα/2(n1–1) ; t2 = tα/2(n2–1)


Teladan 6.6 :

Sebuah perusahaan memproduksi 2 macam lampu pijar A dan B. Misal umur

lampu pijar tersebut menyebar normal dengan simpangan baku masing–masing 80

dan 90 jam. Contoh acak masing–masing berukuran 50 diuji dan didapat rata–rata

umurnya sebesar 1282 jam dan 1208 jam. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah

rata–rata umur lampu pijar A lebih lama dari B.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μA = μB lawan H1 : μA > μB ( uji pihak kanan).


3. Taraf Nyata α = 0,05 atau zα = z0,05 = 1,645

4. Wilayah Kritik : z > 1,645

5. Perhitungan :

n1 = n2 = 50 σ1 = 80 σ2 = 90 x1 = 1282 x2 = 1208 x1 – x2 = 74

σx1– x2 = √(σ12/ n1) + (σ2

2/ n2) = √ (802/ 50) + (902/ 50) = 17,321

z = (x1 – x2) / (√ (σ12/ n1) + (σ2

2/n2)

z = (74) / (17,321) = 4,24

z0,05 = 1,645

6. Kesimpulan : Karena z > z0,05, maka Tolak H0 artinya rata- rata umur lampu

pijar A lebih lama dari lampu pijar B.

Teladan 6.7 :

Dua jenis tambang ingin dibandingkan kekuatannya, untuk itu 50 potong tambang

dari setiap jenis diuji dalam kondisi yang sama. Jenis A mempunyai kekuatan

rata–rata 78,3 kg dengan simpangan baku 5,6 kg, sedangkan B rata–ratanya 87,2

kg dengan simpangan baku 6,3 kg. Uji pada taraf nyata 5% apakah rata–rata

kekuatan tambang A lebih kecil dari B.


Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μA = μB lawan H1 : μA < μB ( uji pihak kiri).



4. Wilayah Kritik : z < – 1,645

5. Perhitungan :

n1 = n2 = 50 x1 = 78,3 s1 = 5,6 x2 = 87,2 s2 = 6,3 x1 – x2 = – 8,9

sx1– x2 = √(s12/ n1) + (s2

2/ n2) = √ (5,6)2/ 50 + (6,3)2/ 50 = 1,19

z = (x1 – x2)/ (√ (s1

2/ n1) + (s22/ n2)

z = (– 8,9) / (1,19) = – 7,48

z0,05 = –1,645

6. Kesimpulan : Karena z < z0,05, maka Tolak H0 artinya rata- rata kekuatan

tambang A lebih kecil dari tambang B.

Teladan 6.8 :

Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan metode

pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan

bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4,

kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Ujilah pada taraf nyata 10%

apakah rata–rata populasi bagi nilai ujian kedua metode tersebut sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μA = μB lawan H1 : μA ≠ μB ( uji dua pihak).


3. Taraf Nyata α = 0,10 atau tα/2(n1+n2-2) = t0,05(20) = 1,725


5. Perhitungan :


n1 = 12 x1 = 85 s1 = 4 n2 = 10 x2 = 81 s2 = 5

(x1 – x2) = 4 dan sg = √ [(n1–1) s12 + (n2 –1) s2

2 ]/ (n1+ n2 – 2)

sg = √ [11(16) + 9(25)]/ (10+12–2) = 4,478

t = (x1 – x2)/ (sg √ (1/n1 + 1/n2)

t = (4) / (1,92) = 2,08

6. Kesimpulan : Karena t > t0,05(20), maka Tolak H0 artinya rata- rata nilai

matematika kedua metode tidak sama.

Teladan 6.9 :

Masa putar film yang diproduksi oleh 2 perusahaan film adalah :

Masa Putar (menit)

Perusahaan I 97 82 123 92 175 88 118Perusahaan II 103 94 110 87 98

Ujilah pada taraf nyata 5% apakah rata–rata masa putar film kedua perusahaan

tersebut sama, bila diasumsikan kedua ragam populasi tersebut tidak sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μA = μB lawan H1 : μA ≠ μB ( uji dua pihak).


3. Taraf Nyata α = 0,05

4. Wilayah Kritik : t < ̶ tα/2(v) atau t > tα/2(v)

5. Perhitungan :

Cara I :

n1 = 7 x1 = 110,7 s12 = 1035,9 n2 = 5 x2 = 98,4 s2

2 = 76,3

derajat bebas untuk tα/2 atau t0,025 adalah :

(s12 / n1 + s2

2 / n2 )2

v = ————————————————— [(s1

2/n1)2 / (n1 –1)] + [(s22/n2)2 / (n2 –1)]


[ (1035,9 / 7) + (76,3 / 5) ]2 v = —————————————————— = 7,19 = 7 [ (1035,9 / 7)2 / (4)] + [(76,3 / 5)2 / (6) ] jadi t0,025 (7) = 2,365 dan ( x2 – x1)= 12,3 √ [(s1

2/ n1) + (s22/ n2)] = √ [(1035,9)/(7) + (76,3)/(5)] = 12,78

t = (x1 – x2)/ √ [(s12/ n1) + (s2

2/ n2)] = (12,3) / (12,78) = 0,964

6. Kesimpulan : Karena t < t0,025(7), maka Terima H0 artinya rata-rata masa putar

film kedua perusahaan tidak berbeda nyata.

Cara lain menentukan tα/2(v) = t’ bagi σ1 ≠ σ2 (tidak diketahui)

tα/2(v) = t’ = (w1 t1 + w2 t2 ) / ( w1 + w2 )

w1 = (s12 / n1) = (1035,9)2 / (7) = 147,99

w2 = (s22 / n2) = (76,3)2 / (5) = 15,26

t1 = tα/2(n1–1) = t0,025 (7–1) = 2,447

t2 = tα/2(n2–1) =t0,025 (5–1) = 2,776

tα/2(v) = t’ = (w1 t1 + w2 t2 ) / (w1 + w2 ) = 2,478

Karena t = 0,964 < t’ = 2,478 maka Terima Ho, artinya rata–rata masa putar film

kedua perusahaan tersebut sama.

6.3 Pengujian Rata–rata Pengamatan Berpasangan

d t = ————— db–t = (n–1)

sd / √ n

Teladan 6.10 :

Pelatihan manajemen agribisnis kepada 100 petani andalan agar mampu

mengembangkan usahataninya. Setelah beberapa waktu, 6 orang diantara 100

petani andalan tersebut diselidiki keuntungan yang mereka peroleh sebelum dan


sesudah pelatihan, datanya adalah sebagai berikut :

Petani 1 2 3 4 5 6 Sebelum Dilatih 40 78 49 63 55 33 Juta rupiah Sesudah Dilatih 58 87 57 72 61 40 Juta rupiah

Ujilah pada taraf nyata 5% apakah pelatihan agribisnis dapat meningkatkan

keuntungan petani.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : μA = μB lawan H1 : μA > μB ( uji pihak kanan).


3. Taraf Nyata α = 0,05 atau tα/2(n–1) = t0,025(5) = 2,02


5. Perhitungan :

Sebelum Dilatih 40 78 49 63 55 33 Sesudah Dilatih 58 87 57 72 61 40

Beda (d) 18 9 8 9 6 7

n = 6 ∑d = 57 ∑d2 = 635 d = 9,5 sd = 4,32 sd /√n = 1,76

t = d / sd /√n

t = (9,5) / (1,76) = 5,4

6. Kesimpulan : Karena t > t0,025(5), maka Tolak H0 artinya rata- rata pendapatan

petani setelah dilatih lebih tinggi dibandingkan dengan sebelum dilatih.

Ukuran Contoh untuk Pengujian Rata–rata (μ )

Misal ingin menguji bahwa H0 : μ = μ0 lawan H1: μ = μ0 + δ , δ bisa (+) bisa

(–). Bila peluang galat I dan II adalah α dan β, dan contoh diambil dari populasi

yang menghampiri normal dengan ragam (σ2) yang diketahui, maka ukuran contoh

yang diperlukan adalah : n = (zα + zβ )2 σ2 / (δ2 )


Teladan 6.11 :

Misal ingin H0 : μ = 68 lawan H1: μ = 69 bagi populasi normal dengan σ = 5. Bila α

dan β keduanya 0,05 maka ukuran contoh yang diperlukan adalah :

n = (zα + zβ )2 σ2 / (δ2 ) = (–1,645 – 1,645)2 (25) / (1) = 271

Ukuran Contoh untuk Pengujian Selisih Rata–rata

H0 : μ1 – μ2 = d0 lawan H1 : μ1 – μ2 = d0 + δ

n = (zα + zβ )2 (σ12 + σ2

2) / (δ2 )

Teladan 6.12 :

Dua contoh bebas akan diambil dari populasi normal dengan σ12 = 80 dan σ2

2 =

100. Untuk menguji H0 : μ1 – μ2 = 50 lawan H1 : μ1 – μ2 = 55. Bila α = 0,05

dan β = 0,01 maka ukuran contoh masing–masing yang diperlukan adalah :

n = (zα + zβ )2 (σ12 + σ2

2) / (δ2 ) = (–1,645 – 2,33)2 (80 + 100) / (25) = 114

6.4 Pengujian Proporsi

a. n ≥ 100 : b. n < 100 :

x/n – p z = —————

√ pq / n

x/n – p t = —————

√ pq / n

Teladan 6.13 :

Pengelola restoran menyatakan bahwa minimal 30% pengunjung restoran setiap

hari minggu menyukai makanan laut. Contoh acak 500 orang yang makan siang di

hari minggu terdapat 160 orang yang suka makanan laut. Ujilah pada taraf nyata

5% apakah pernyataan pengelola restoran tersebut dapat diterima.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p = 0,3 lawan H1 : p ≠ 0,3 (uji dua pihak).


3. Taraf Nyata α = 0,05 atau zα/2 = z0,025 = 1,96

4. Wilayah Kritik : z < – 1,96 atau z > 1,96


5. Perhitungan :

p = 0,3 q = 0,7 x/n = 160/500 = 0,32

z = (x/n – p) / √ (pq/n)

z = (0,32 – 0,3) / √ (0,21/500) = 1,00

6. Kesimpulan : Karena z < z0,025, maka Terima H0 artinya proporsi yang suka

makanan laut memang benar 30 %.

6.5 Pengujian Selisih Proporsi

x1/n1 – x2/n2 z = ——————————

√ pq (1/ n1 + 1/ n2)

x1 + x2 p = ————— q = 1 – p

n1 + n2

Teladan 6.14 :

Suatu studi dilakukan untuk menguji apakah ada perbedaan proporsi yang nyata

dari penduduk suatu kota dan penduduk di sekitar kota tersebut yang menyetujui

pembangkit listrik tenaga nuklir. Bila 1200 diantara 2000 penduduk kota dan 2400

diantara 5000 penduduk di sekitar kota yang diwawancarai menyetujui

pembangunan apakah dapat dikatakan bahwa proporsi penduduk kota yang setuju

lebih besar dari penduduk sekitar kota (gunakan taraf nyata 5%).

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 lawan H1 : p1 > p2 (uji pihak kanan).



4. Wilayah Kritik : z > 1,645

5. Perhitungan :

n1 = 2000 n2 = 5000 x1 = 1200 x2 = 2400 x1/ n1 = 0,60 x2/ n2 = 0,48

p = 3600/7000 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25 Wijaya : Statistika II (Bagian-2) 14

z = (x1/n1 – x2/n2 ) / √ pq (1/n1 + 1/n2)

z = (0,60 – 0,48)/√ 0,25 (1/5000 + 1/2000)

z = (0,12) / (0,013) = 9,23

6. Kesimpulan : Karena z > z0,025, maka Tolak H0 artinya proporsi penduduk

yang setuju di kota lebih besar dari penduduk sekitar kota.

Masalah dalam pengujian selisih proporsi akan ditemui apabila sampel yang

diambil ukurannya semakin kecil, misalnya jika :

1. n1 = 200 n2 = 500 x1 = 120 x2 = 240 x1/n1 = 0,60 x2/n2 = 0,48

p = 360/700 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25

z = (0,60 – 0,48) / √ 0,25 (1/500 + 1/200) = (0,12)/(0,042) = 2,86

(z = 2,86 ) > (z0,05 = 1,645)

2. n1 = 20 n2 = 50 x1 = 12 x2 = 24 x1/n1 = 0,60 x2/n2 = 0,48

p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25

z = (0,60 – 0,48) / √ 0,25 (1/50 + 1/20) = (0,12)/(0,13) = 0,92

(z = 0,92) < (z0,05 = 1,645)

3. atau karena n < 100, maka digunakan sebaran t–student, hasilnya :

n1 = 20 n2 = 50 x1 = 12 x2 = 24 x1/n1 = 0,60 x2/n2 = 0,48

p = 36/70 = 0,51 q = 0,49 pq = 0,25

t = (0,60 – 0,48) / √ 0,25 (1/50 + 1/20) = (0,12)/(0,13) = 0,92

(t = 0,92) < (t0,05 (68) = 1,645)

Jadi apabila ukuran sampel semakin kecil (N < 100) maka H0 cenderung diterima.

Teladan 6.15 :

Seorang ahli genetika tertarik pada populasi laki–laki dan perempuan dalam

populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Dari contoh 100 laki–laki

terdapat 24 yang mengidap kelainan darah dan 100 perempuan terdapat 13 yang

mengidap kelainan. Ujilah pada taraf nyata 1% apakah proporsi yang mengidap

kelainan darah pada laki–laki sama dengan perempuan. Wijaya : Statistika II (Bagian-2) 15

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 lawan H1 : p1 ≠ p2 (uji dua pihak).


3. Taraf Nyata α = 0,01 atau zα/2 = z0,005 = 2,575

4. Wilayah Kritik : z < –2,575 atau z > 2,575

5. Perhitungan :

n1 = 100 n2 = 100 x1 = 24 x2 = 13 x1/n1 = 0,24 x2/n2 = 0,13

p = 37/200 = 0,185 q = 0,815 pq = 0,15

z = (x1/n1 – x2/n2 ) / √ pq (1/n1 + 1/n2)

z = (0,24 – 0,13) / √ 0,15 (1/100 + 1/100)

z = (0,11) / (0,039) = 2,82

6. Kesimpulan : Karena z > z0,005, maka Tolak H0 artinya proporsi kelainan darah

pada laki-laki tidak sama dengan perempuan.

6.6 Pengujian Ragam

(a) Satu Ragam :

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 ≠ σ02 atau σ2 > σ0

2 atau σ2 < σ02

(n – 1) s2

χ2 = ————— σ0

2

(b) Kesamaan Dua Ragam :

H0 : σ12 = σ2

2

H1 : σ12 ≠ σ2

2 atau σ12 > σ2

2 atau σ12 < σ2

2

s12

F = ——— v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 s2

2


Teladan 6.16 :

Pengelola perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aki yang diproduksinya

mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki

menghasilkan simpangan baku 1,2 tahun. Ujilah pada taraf nyata 0,05 apakah :

a. Pernyataan perusahaan dapat diterima bahwa σ = 0,9

b. Menurut saudara σ > 0,9

Jawab (a) :

1. Hipotesis :

H0 : σ2 = 0,81 lawan H1 : σ2 ≠ 0,81 (uji dua pihak).

2. Uji Statistik : χ2


4. Wilayah Kritik : χ2 < χ2(1–α/2)(n–1) atau χ2 > χ2

α/2(n–1)

5. Perhitungan :

Untuk α = 5% didapat χ2α/2(n–1) = χ2

0,025 (9) = 19,023 dan

χ2(1–α/2) (n–1) = χ2

0,975 (9) = 2,7

χ2 = (n – 1) s2 / σ02

χ2 = (10–1)(1,44) / (0,9)2

χ2 = 16,0

χ2(1–α/2)(9) = 2,7 χ2

α/2(9) = 19,023

6. Kesimpulan : Karena χ20,975(9) < χ2

< χ20,025(9), maka Terima H0 artinya benar

bahwa umur aki mempunyai σ = 0,9.

Jawab (b) :

1. Hipotesis :

H0 : σ2 = 0,81 lawan H1 : σ2 > 0,81 (uji pihak kanan).



4. Wilayah Kritik : χ2 > χ2α/2(n–1)


5. Perhitungan :

Untuk α = 5% didapat χ2α/2(n–1) = χ2

0,05(9) = 16,919

χ2 = (n – 1) s2 / σ02 = (10–1)(1,44) / (0,9)2 = 16,0

6. Kesimpulan : Karena χ2 < χ2

0,05(9), maka Terima H0 artinya benar bahwa umur

aki mempunyai σ = 0,9.

Teladan 6.17 :

Pelajaran matematika diberikan kepada 12 siswa kelas A dengan metode

pengajaran biasa, dan 10 siswa kelas B dengan metode pengajaran menggunakan

bahan terprogram. Hasil ujian kelas A rata–ratanya 85 dengan simpangan baku 4,

kelas B rata–ratanya 81 dengan simpangan baku 5. Asumsi kedua populasi

mempunyai ragam yang sama tetapi tidak diketahui apakah dapat diterima ? Ujilah

pada taraf nyata 0,10.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : σ12 = σ2

2 lawan H1 : σ12 ≠ σ2

2 (uji dua pihak).

2. Uji Statistik : F


4. Wilayah Kritik : F < 1/Fα/2 (v2, v1) atau F > Fα/2 (v1, v2)

5. Perhitungan :

n1 = 12 x1 = 85 s1 = 4 n2 = 10 x2 = 81 s2 = 5

Untuk α = 10% didapat 1/Fα/2(v2, v1) = 1/F0,05 (9, 11) = 0,34

dan Fα/2(v1, ϖ2) = F0,05(11, 9) = 3,11

F = s12 / s2

2 = (16) / (25) = 0,64

6. Kesimpulan : Karena 1/Fα/2(v2, v1) < F < Fα/2(v1, v2) maka Terima H0 artinya

kedua populasi mempunyai ragam yang sama .


Teladan 6.18 :

Masa putar film yang diproduksi oleh 2 perusahaan film adalah :

Masa Putar (menit)

Perusahaan I 103 94 110 87 98 Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118

Ujilah pada taraf nyata 10% apakah kedua populasi mempunyai ragam yang

sama.

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : σ12 = σ2

2 lawan H1 : σ12 ≠ σ2

2 (uji dua pihak).



4. Wilayah Kritik : F < 1/Fα/2 (v2, v1) atau F > Fα/2 (v1, v2)

5. Perhitungan :

n1 = 5 x1 = 98,4 s12 = 76,3 n2 = 7 x2 = 110,7 s2

2 = 1035,9

Untuk α = 10% didapat 1/Fα/2 (v2, v1) = 1/F0,05 (6, 4) = 0,22

dan Fα/2 (v1, v2) = F0,05 (4, 6) = 4,53

F = s12 / s2

2 = (76,73) / (1035,9) = 0,074

6. Kesimpulan : Karena 1/Fα/2 (v2, v1) < F < Fα/2 (v1, v2) maka Tolak H0 artinya

kedua populasi mempunyai ragam yang tidak sama .

6.7 Pengujian Kesamaan Beberapa Rata–rata

H0 : μ1 = μ2 = … = μn

H1 : Paling sedikit ada satu tanda “=” tidak berlaku

Uji Statistik yang digunakan adalah :

s12

F = ——— v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 – 1 s2

2


Teladan 6.19 :

Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet, ujilah pada taraf

nyata 0,05 apakah rata–rata penurunan bobot badan keempat metode diet itu

sama.

Metode Diet

Nomor A B C D

1 1,2 1,4 0,7 1,0 2 2,0 1,5 1,6 0,9 3 2,1 1,0 1,6 1,4 4 1,0 1,9 1,4 1,6 5 1,7 2,2 1,7 1,1

Jumlah 8,0 8,0 7,0 6,0 29,0

Rta–rata 1,6 1,6 1,4 1,2

Jawab :

1. Hipotesis : H0 : μ1 = μ2 = … = μn




4. Wilayah Kritik : F > Fα (v1, v2)

5. Perhitungan :

a. Faktor Koreksi (FK) = (29)2 : 20 = 42,05

b. Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) = (8,02 + … + 6,02) / 5 – FK = 0,55

c. Jumlah Kuadrat Total (JKT) = (1,22 + … + 1,12) – FK = 3,35

d. Jumlah Kuadrat Galat (JKG) = JKT – JKP = 3,35 – 0,55 = 2,80

e. Derajat Bebas (db) Total = n – 1 = 20 – 1 = 19

f. Derajat Bebas (db) Perlakuan = k – 1 = 4 – 1 = 3

g. Derajat Bebas (db) Galat = db Total – db Perlakuan = 19 – 3 = 16

h. Kuadrat Tengah (KT) Perlakuan = JK Perlakuan : db Perlakuan

i. Kuadrat Tengah (KT) Galat = JK Galat : db Galat


j. F = (s12 ) / (s2

2 ) = (0,183) / (0,175) = 1,05

Daftar Sidik Ragam :

No. Sumber Variasi db JK KT F F0,05

1 Metode Diet 3 0,55 0,183 1,05 3,24 2 Galat 16 2,80 0,175

Total 19 3,35 6. Kesimpulan : Karena F < F0,05, maka Terima H0 artinya penurunan bobot

badan pada keempat metode diet itu sama besar.

6.8 Pengujian Kesamaan Beberapa Proporsi (Data Multinom)

H0 : p1 = p2 = … = pn


(oi – ei ) 2

χ2 = ∑ ————— db–χ2 = (b–1)(k–1)

ei

dimana b = banyaknya baris dan k = banyaknya kolom. Untuk tabel kontingensi 2

x 2, berarti db–χ2 = (b–1)(k–1) = 1 perlu dilakukan koreksi Yate bagi kekontinyuan

(karena data asal bersifat diskrit) yaitu :

[ (oi – ei ) – 0,5 ]2

χ2 = ∑ ———————— ei

Bila frekuensi harapan (ei ) antara 5 dan 10, maka koreksi Yates harus

dipakai. Bila frekuensi harapan (ei ) besar, maka χ2 ≈ χ2 terkoreksi. Bila frekuensi

harapan (ei ) kurang dari 5, maka dipakai Uji Pasti Fisher–Irwin, oleh karena itu

sebaiknya digunakan ukuran contoh yang besar.

Teladan 6.20 :

Data berikut menunjukkan banyaknya produk yang cacat pada 3 macam waktu

kerja. Ujilah pada taraf nyata 0,025 apakah produk yang cacat mempunyai


proporsi sama untuk ketiga waktu kerja tersebut.

Pagi Siang Malam Jumlah

Cacat 45 55 70 170 Baik 905 890 870 2665

Jumlah 950 945 940 2835

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn




4. Wilayah Kritik : χ2 > χ2α(b–1) (k–1)

5. Perhitungan :

Untuk α = 0,025 didapat χ2α(b–1) (k–1) = χ2

0,025 (2) = 19,023

Pagi Siang Malam

Oi Ei Oi Ei Oi Ei

Cacat 45 57,0 55 56,7 70 56,3 170 Baik 905 893,0 890 888,3 870 883,7 2665

Jumlah 950 945 940 2835

(oi – ei ) 2

χ2 = ∑ ————— ei

(45 – 57 )2 (905 – 893 )2 (870 – 883,7) 2

χ2 = ————— + —————— + … + ——————— = 6,288 (57) (893) (883,7)


0,025(2), maka Terima H0 artinya proporsi produk

cacat yang dihasilkan pada ketiga macam waktu kerja adalah sama.


Teladan 6.21 :

Tiga penyalur ‘mixed nut’ mengiklankan bahwa produknya mengandung

sebanyak–banyaknya 60% kacang. Bila sebuah kaleng berisi 500 mixed nut

diambil secara acak dari masing–masing penyalur ternyata mengandung berturut–

turut 345 ; 319 dan 359 kacang. Simpulkan pada taraf nyata 0,01 apakah

proporsi kacang mixed nut dari ketiga penyalur tersebut sama.

Penyalur I Penyalur II Penyalur III Jumlah

Berkacang 345 319 359 1017 Tidak 155 181 141 483

Jumlah 500 500 500 1500 Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn





5. Perhitungan :


0,01(2) = 9,21

Penyalur I Penyalur II Penyalur III

Oi Ei Oi Ei Oi Ei

Berkacang 345 339 319 339 359 339 1017 Tidak 155 161 181 161 141 161 483

Jumlah 500 500 500 1500 (345 – 339)2 (319 – 339 )2 (141 – 161)2

χ2 = —————— + —————— + … + —————— = 10,19 (339) (339) (161) 6. Kesimpulan : Karena χ2

< χ20,01(2), maka Tolak H0 artinya proporsi kacang

pada mixed nut dari ketiga penyalur berbeda.


Teladan 6.22 :

Hasil penelitian untuk mengetahui proporsi ibu rumah tangga yang suka acara

Sinetron TV diperoleh 29 diantara 150 ibu rumah tangga di daerah A, 48 diantara

200 di daerah B dan 35 diantara 150 di daerah C suka acara tersebut. Simpulkan

pada taraf nyata 0,05 apakah tidak ada perbedaan proporsi ibu rumah tangga

terhadap acara tersebut.

A B C Jumlah

Suka 29 48 35 112 Tidak Suka 121 152 115 388

Jumlah 150 200 150 500 Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn





5. Perhitungan :


0,05(2) = 5,991

A B C

Oi Ei Oi Ei Oi Ei

Suka 29 33,6 48 44,8 35 33,6 112 Tidak Suka 121 116,4 152 155,2 115 161,4 388

Jumlah 150 200 150 500 (29 – 33,69)2 (48 – 44,8 )2 (115 – 161,4)2

χ2 = —————— + —————— + … + ——————— = 1,181 (33,6) (44,8) (161,4) 6. Kesimpulan : Karena χ2

< χ20,05(2), maka Terima H0 artinya proporsi ibu

rumah tangga yang suka acara Sinetron tidak berbeda.


6.9 Pengujian Kesamaan Beberapa Ragam

H0 : σ12 = σ2

2 = … = σk2

H1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku.

Uji dari Bartlett :

χ2 = Ln 10 [ {Log s2 ∑ (ni –1) } – { ∑ (ni –1) Log si2 } ]

∑ (ni –1) si2 ∑ (ni –1) si

2

s2 = —————— = —————— ∑ (ni –1) N – k

Teladan 6.23 :

Untuk data penurunan bobot badan (kg) pada 4 metode diet. Ujilah pada taraf

nyata 0,05 apakah ragam penurunan bobot badan keempat metode diet itu sama.

Jawab :

1. Hipotesis : H0 : σ12 = σ2

2 = … = σk2

H1 : Paling sedikit satu tanda = tidak berlaku.



4. Wilayah Kritik : χ2 > χ2α(n–1)

5. Perhitungan :

Untuk α = 0,05 didapat χ2α(n–1) = χ2

0,05(3) = 7,81

ni –1 si2 Log si

2 (ni –1) Log si2

A 1,2 2,0 2,1 1,0 1,7 4 0,235 – 0,63 – 2,52 B 1,4 1,5 1,0 1,9 2,2 4 0,215 – 0,67 – 2,67 C 0,7 1,6 1,6 1,4 1,7 4 0,165 – 0,78 – 3,13 D 1,0 0,9 1,4 1,6 1,1 4 0,085 – 1,07 – 4,28

s2 = 4 (0,235 + 0,215 + 0,165 + 0,085) / (16) = 0,175

χ2 = 2,3 [ (– 0,76)(16) – (– 12,6) ] = 1,012


0,05(3), maka Terima H0 artinya ragam penurunan

bobot badan keempat metode diet itu sama.


6.10 Uji Kebaikan Suai (Uji Kecocokan) Uji ini digunakan untuk mengetahui ada tidaknya kesesuaian (kecocokan)

model sebaran yang diasumsikan. Misal sebuah dadu dilempar 120 kali, bila dadu

itu setimbang maka secara teoritik masing–masing sisi akan muncul sebanyak 20

kali. Dengan membandingkan frekuensi yang teramati dengan frekuensi harapan,

kita harus memutuskan apakah ketaksuaian itu disebabkan oleh fluktuasi

penarikan contoh atau karena dadunya tidak setimbang sehingga sebaran hasil

percobaan tidak seragam. Uji Kebaikan Suai didasarkan pada besaran :

k ( oi – ei ) 2

χ2 = ∑ i ei db–χ2 = (k – g – 1) dimana k adalah banyaknya kategori atau kelas interval dan g

adalah banyaknya parameter yang ditaksir. Kriteria pengujian adalah Tolak H0 jika

χ2 > χ2α(k–g–1).

Bila frekuensi teramati (oi) dekat dengan frekuensi harapan (ei), maka nilai χ2

akan kecil, menunjukkan adanya kesuaian yang baik. Kesuaian yang baik

membawa pada penerimaan H0. Bila ada frekuensi–frekuensi harapan (ei) kurang

dari 5, maka frekuensi harapan tersebut harus digabungkan, berarti db–χ2 akan

berkurang.

Teladan 4.24 :

Misal data berikut menunjukkan frekuensi teramati dan frekuensi harapan dari

pelemparan dadu sebanyak 120 kali. Ujilah pada taraf nyata 5% apakah dadu

tersebut setimbang.

Sisi Dadu

1 2 3 4 5 6

Teramati 20 22 17 18 19 24 Harapan 20 20 20 20 20 20


Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn




4. Wilayah Kritik : χ2 > χ2α(k–g–1)

5. Perhitungan :

Untuk α = 0,05 dan db–χ2 = (k – g – 1) = (6–0–1) = 5

didapat χ2α(k–g–1) = χ2

0,05 (5) = 11,07

(20 – 20)2 (22 – 20)2 (24 – 20)2

χ2 = ————— + ————— + … + ————— = 1,7 (20) (20) (20)

6. Kesimpulan : Karena nilai χ2 < χ20,05 (5) maka disimpulkan untuk menerima

H0 (dadu setimbang).

Teladan 6.25 :

Eksperimen genetika menunjukkan bahwa semacam karakteristik diturunkan

menurut perbandingan 1:3:3:9, untuk kategori A, B, C dan D. Dari 160

pengamatan terdapat 5 kategori A, 23 B, 32 C dan 100 D. Dengan taraf nyata 5%,

apakah data tersebut menguatkan teori genetika ?

Kategori A B C D Jml

Teramati 5 23 32 100 160 Harapan 10 30 30 90 160

Jawab :

1. Hipotesis :

H0 : p1 = p2 = … = pn





4. Wilayah Kritik : χ2 > χ2α (k–g–1)

5. Perhitungan :

Untuk α = 0,05 dan db–χ2 = (k – g – 1) = (4–0–1) = 3

didapat χ2α(k–g–1) = χ2

0,05 (3) = 7,81

(5 – 10)2 (23 – 30)2 (100 – 90)2

χ2 = ————— + ————— + … + —————— = 5,18 (10) (30) (90)

6. Kesimpulan : Karena nilai χ2 < χ20,05 (3) maka Terima H0 artinya tidak ada

alasan untuk tidak mempercayai teori genetika tersebut.

Teladan 6.26 :

Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi gaji (x Rp 10.000,– per minggu) dari

40 karyawan Pabrik Rotan, dengan rata–rata (x) = 3,4 dan simpangan baku (s) =

0,7. Untuk menghitung frekuensi harapan (ei) digunakan batas atas masing–

masing kelas ke rumus z (data kontinyu, n > 30), misalnya :

z1 = (1,45 – 3,41) / (0,7) = – 2,80 jadi p(z1 ) = 0,0026

z2 = (1,95 – 3,41) / (0,7) = – 2,09 jadi p(z2) = 0,0183

P (1,45 < x < 1,95) = P (z1 < z < z2 ) = 0,0157 atau ei = 0,0157 x 40 = 0,6

Dengan cara yang sama akan didapat :

Batas Kelas z1 z2 P Ei oi (oi – ei)2 / ei

1,45 – 1,95 –2,80 –2,09 0,0157 0,6 2

1,95 – 2,45 –2,09 –1,37 0,0670 2,7 10,0 1 7 0,900

2,45 – 2,95 –1,37 –0,66 0,1693 6,7 4

2,95 – 3,45 –0,66 0,06 0,2693 10,7 15 1,728

3,45 – 3,95 0,06 0,77 0,2555 10,1 10 0,001

3,95 – 4,55 0,77 1,49 0,1525 6,0 8,2 5 8 0,005

4,45 – 4,95 1,49 2,20 0,0548 2,2 3

40 40 2,634


Jawab :

χ2 = 2,634. db–χ2 = (k – g – 1) = (4–2–1) = 1, k = 4 (asalnya 7 kelas setelah

digabung jadi 4 kelas) dan g = 2 (banyaknya parameter yang ditaksir ada 2 yaitu

rata–rata dan simpangan baku).

Untuk α = 0,05 nilai χ2α(k–g–1) = χ2

0,05 (4) = 7,879. Karena nilai χ2 < χ20,05 (4)

maka Terima H0 artinya sebaran normal memberikan kesuaian yang baik bagi

pendapatan.

6.11 Uji Kebebasan Dua Peubah

Untuk Tabel Kontingensi b x k ( b baris dan k kolom ) :

(oi – ei ) 2

χ2 = ∑ ———— db–χ2 = (b–1)(k–1)

ei

Untuk tabel kontingensi 2x2, berarti db–χ2 = (b–1)(k–1) = 1 perlu dilakukan koreksi

Yate bagi kekontinyuan (karena data asal bersifat diskrit) yaitu :

[ ( oi – ei ) – 0,5 ]2

χ2 = ∑ ———————— ei

atau dengan menggunakan rumus lain, yaitu :

Baris Kolom Jumlah

1 a b a + b 2 c d c + d

Jumlah a + c b + d n

n [ ( ad – bc ) – 0,5 n ]2

χ2 = ——————————— (a+b)(a+c)(b+d)(c+d)


Teladan 6.27 :

Data berikut menunjukkan tingkat pendidikan kepala keluarga dan banyaknya anak

dari 1000 keluarga. Ujilah pada taraf nyata 5%, apakah terdapat hubungan antara

tingkat pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak tersebut.

Banyaknya Anak Pendidikan 1 – 3 > 3 Jumlah

Oi Ei Oi Ei

Sekolah dasar 182 200,9 154 135,1 336 Sekolah menengah 213 209,9 138 141,1 351 Akademi 203 187,2 110 125,8 313

598 402 1000

Jawab :

(182 – 200,9)2 (110 – 125,8)2

χ2 = ——————— + … + ——————— = 7,854 (200,9) (125,8)

db–χ2 = (b–1)(k–1) = (3–1)(2–1) = 2 jadi χ20,05 (2) = 5,991. Karena nilai

χ2 > χ20,05(2) maka Tolak H0 artinya besarnya keluarga bergantung pada tingkat

pendidikan kepala keluarga (atau terdapat hubungan yang nyata antara tingkat

pendidikan kepala keluarga dengan banyaknya anak).

Teladan 6.28 :

Contoh acak 30 orang dewasa diklasifikasikan menurut jenis kelamin dan lamanya

nonton TV setiap minggu. Ujilah pada taraf nyata 1%, apakah terdapat hubungan

antara lamanya nonton TV dengan jenis kelamin.

Jenis Kelamin Lama Nonton TV Laki–laki Perempuan Jumlah

Oi Ei Oi Ei

≥ 25 jam 5 6,53 9 7,47 14

< 25 jam 9 7,47 7 8,53 16

14 16 30


Dengan Rumus I :

[(5 – 6,53) – 0,5]2 [(7 – 8,53) – 0,5]2

χ2 = ————————— + … + ————————— = 0,571 (6,53) (8,53)

Dengan Rumus II :

30 [ {(5x7 – 9x9) – ½. 30]2 χ2 = ————————————— = 0,575

( 14 x 16 x 14 x 16 )

db–χ2 = 1 jadi χ20,01(1) = 6,635. Karena nilai χ2 < χ2

0,01(1) maka Terima H0,

artinya lamanya nonton TV tidak bergantung pada jenis kelamin (bebas).


DAFTAR PUSTAKA

Anto Dajan. 1995. Pengantar Metode Statistika Jilid II. LP3ES. Jakarta. Jalaluddin Rakhmat. 1999. Metode Penelitian Komunikasi. Remaja Rosdakarya.

Bandung. J. Supranto. 1995. Statistik : Teori dan Aplikasi, Jilid II. Erlangga. Jakarta. Kwanchai A. Gomez dan Arturo A. Gomez. 1995. Prosedur Statistik Untuk

Penelitian Pertanian. Universitas Indonesia Press. Jakarta. Robert, G. D. Steel dan James H. Torrie. 1993. Prinsip dan Prosedur Statistika.

Gramedia Pustaka Utama. Jakarta. Ronald E. Walpole. 1995. Pengantar Statistika. Gramedia Pustaka Utama.

Jakarta. Sudjana. 1989. Metoda Statistika. Tarsito. Bandung. Sugiyono. 1997. Statistika Untuk Penelitian. Alfabeta. Bandung Vincent Gaspersz. 1991. Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid I.

Tarsito. Bandung. Vincent Gaspersz. 1991. Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Jilid II.

Tarsito. Bandung.


Documents

(BAGIAN - 2) Oleh : WIJAYA - Zeamayshibrida's Blog · ¾ Penggunaan jenis distribusi (rumus) dalam Pengujian Hipotesis sama dengan Pendugaan Parameter –––– sebaran penarikan