Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU · PDF fileKývångPh÷ìngsaiCovarianceH»sŁt÷ìngquan 4.1.Kývång 4.1.1.Kývångcıabi‚nng¤unhi¶nX ˚ànhngh¾a.Kývångcıabi‚nng¤unhi¶nXl€gi¡tràtrungbnhcıaBNN

Kỳ vọng Phương sai Covariance Hệ số tương quan

Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾNNGẪU NHIÊN

Vũ Mạnh Tới

Khoa CNTT-Đại học Thủy Lợi

9/2013

Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 1 / 23


4.1. Kỳ vọng4.1.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình của BNNđó, tính theo độ tập trung xác suất, ký hiệu là E (X ) hoặc µ.

Cách tính kỳ vọng

Cho X là một biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f (x).

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì

µ = E (X ) =∑x∈X

xf (x) = x1f (x1) + x2f (x2) + · · ·+ xnf (xn) + · · ·

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

µ = E (X ) =

∫ +∞

−∞xf (x)dx



Ví dụ 1: Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối xác suất

X 0 1 2 3

f(x) 135

1235

1835

435

GIẢI:Ví dụ 2: Tuổi thọ tính theo giờ của một thiết bị điện tử là một biến ngẫunhiên X có hàm mật độ xác suất là

f (x) =

{20000

x3 , x > 1000, x ≤ 100

Hãy tính tuổi thọ trung bình của thiết bị điện tử loại này.

GIẢI:



Ví dụ 3: Thời gian (đơn vị đo: 100 giờ) mà một gia đình cho chạy mộtchiếc máy hút bụi trong một năm là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàmmật độ như sau:

f (x) =

x , 0 < x < 1

2− x , 1 ≤ x < 2

0, x /∈ (0, 2)

Hỏi rằng trung bình một năm, một gia đình chạy máy hút bụi bao nhiêugiờ.

GIẢI:



Ví dụ 4. Một người nghiện chơi đề. Mỗi ngày người này chỉ thích đánh duynhất một con 86. Mỗi lần đánh với số tiền 10000 (đồng). Hỏi rằng anh tahy vọng mỗi ngày kiếm được bao nhiêu?



4.1.2. Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên

Cho X là biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suất là f(x). Giá trị trungbình hay kỳ vọng của biến ngẫu nhiên g(X) là

µg(X ) = E [g(X )] =∑

g(x)f (x)

nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, và

µg(X ) = E [g(X )] =

+∞∫−∞

g(x)f (x)dx

nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.



Tính chất của kì vọng

Kỳ vọng của một tổng một hiệu của hai hay nhiều hàm của một biếnngẫu nhiên X bằng tổng hoặc hiệu của kỳ vọng các hàm, tức là

E [g(X )± h(X )] = E [g(X )]± E [h(X )].

Nếu a và b là hai hằng số, thì

E (aX + b) = aE (X ) + b.



Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất

X -1 2 3 5

f(x) 0.2 0.3 0.4 0.1

Hãy tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Y = 3X 2 + 1.Ví dụ 2: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là

f (x) =

{k .x2, x ∈ (−1; 2),0, x /∈ (−1; 2) .

Hãy tìm kỳ vọng của g(X ) = 4X + 3.

GIẢI:



4.1.3 Kỳ vọng của hàm 2 biến ngẫu nhiên

Định nghĩa. Cho (X ,Y ) là BNN với PPXS đồng thời là f (x , y). Kỳ vọngcủa biến ngẫu nhiên g(X ,Y ) là

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =∑

x

∑y

g(x , y)f (x , y) nếu (X ,Y ) là rời rạc

µg(X ,Y ) = E [g(X ,Y )] =

+∞∫−∞

+∞∫−∞

g(x , y)f (x , y)dxdy nếu (X,Y) là liên tục

Tính chất

E [g(X ,Y )± h(X ,Y )] = E [g(X ,Y )]± E [h(X ,Y )].

E (aX + bY ) = aEX + bEY với a, b ∈ RNếu X và Y độc lập thì: E (XY ) = E (X ) .E (Y )

Nếu X và Y không độc lập thì khẳng định trên là không đúng.



Ví dụ 1: Cho BNN (X ,Y ) có bảng phân bố đồng thời:Ví dụ 2: Hãy tính E

(YX

)biết rằng hàm mật độ đồng thời là

f (x , y) =

{x(1+3y2)

4 , (x ; y) ∈ (0; 2)× (0; 1)0, (x ; y) /∈ (0; 2)× (0; 1)

GIẢI:



4.2. Phương sai4.2.1. Phương sai của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa. Cho X là biến ngẫu nhiên với phân phối xác suất f(x) và kỳvọng là µ. Phương sai của X là

D(X ) = σ2X = E [(X − µ)2] =∑

x

(x − µ)2f (x) nếu X là rời rạc,

và

D(X ) = σ2X = E [(X − µ)2] =

∫ +∞

−∞(x − µ)2f (x)dx nếu X liên tục.

Công thức tính phương sai thường dùng

D(X ) = σ2X = E (X 2)− [E (X )]2.

Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X là σ =√σ2 =

√D(X )



Ví dụ 1: Cho BNN X có hàm xác suất f (x) cho bởi

X 0 1 2 3

f (x) = P(X = x) 0.2 0.4 0.3 0.1

Tính phương sai của biến ngẫu nhiên X.

GIẢI:



Ví dụ 2: Nhu cầu hàng tuần đối với Pepsi, theo đơn vị 1000 lít, tại mộtchuỗi các cửa hàng ở một địa phương nào đó, là một biến ngẫu nhiên liêntục X với hàm mật độ xác suất như sau

f (x) =

{2(x − 1), x ∈ (1; 2)0, x /∈ (1; 2)

Hãy tìm phương sai và độ lệch chuẩn của X.

GIẢI:



4.2.2. Phương sai của hàm của biến ngẫu nhiên

Cho X là BNN với phân phối xác suất f (x). Phương sai của biến ngẫunhiên g(X ) là

D (g(X )) = σ2g(X ) = E{[g(X )− µg(X )]2} =

∑x

[g(x)− µg(X )]2f (x)

nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc, và

D (g(X )) = σ2g(X ) = E{[g(X )− µg(X )]2} =

∫ +∞

−∞[g(x)−µg(X )]

2f (x)dx

nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục.Công thức thường dùng:

D [g(X )] = σ2g(X ) = E [g(X )]2 − E 2 [g(X )]

Tính chấtD(aX + b) = a2D(X ) với mọi hằng số a, b

.Vũ Mạnh Tới (Bộ môn Toán) Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN9/2013 14 / 23


Ví dụ 10: Cho X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ là

f (x) =

{x2

3 , x ∈ (−1; 2),0, x /∈ (−1; 2) .

Hãy tính phương sai của biến ngẫu nhiên g(X ) = 4X + 3.Ví dụ 11: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối tích lũy

F (x) =

{0, x ≤ 0

1− e−2x , x > 0

Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên g(X ) = e2X3 .

GIẢI:



4.3. Covariance

Cho BNN (X ,Y ) với PPXS f (x , y). Covariance của X và Y là

σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] =∑

x

∑y

(x−µX )(y − µY )f (x , y)

nếu (X ,Y ) là BNN rời rạc, và

σXY = E [(X − µX )(Y − µY )] =

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞(x−µX )(y − µY )f (x , y)dxdy

Nếu (X ,Y ) liên tục

Công thức Covariance thường dùng

Covariance của hai biến ngẫu nhiên X và Y được xác định bởi

σXY = E (XY )− µXµY

Với µX tính theo biên duyên g(x); µY tính theo biên duyên h(y) của Y .



Ý nghĩa của Covariance:

Covariance của hai biến ngẫu nhiên cho ta biết mối quan hệ củachúng, và dấu của Covariance cho ta biết mối quan hệ của chúng làthuận hay là nghịch.

Nếu hai biến ngẫu nhiên độc lập thì σXY = 0, ngược lại không đúng.

Nghĩa là, nếu σXY = 0 thì chưa chắc X và Y độc lập.



Ví dụ 1: Cho biến ngẫu nhiên hai chiều có hàm mật độ đồng thời như sau

f (x , y) =

{x + y , (x , y) ∈ [0; 1]× [0; 1]0, (x , y) /∈ [0; 1]× [0; 1]

Hãy tìm hệ số tương quan của X và Y.



Ví dụ 1: Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào một mục tiêu, xác suất trúngđích của hai người lần lượt là 0,8 và 0,6. Xạ thủ A bắn 2 viên, xạ thủ Bbắn 1 viên. Gọi X, Y là số viên đạn trúng đích của A và B.a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X, Y.b) Tính Covariance của X và Y.

GIẢI:



4.4. Hệ số tương quan

Định nghĩa

Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên với Covariance σXY và các độ lệchchuẩn tương ứng là σX và σY . Hệ số tương quan của X và Y là

ρXY =σXY

σXσY.

Chú ý: σX =√σ2X =

√E (X 2)− µ2X ; σY =

√σ2Y =

√E (Y 2)− µ2Y .

Ý nghĩa:

Hệ số tương quan là đại lượng không phụ thuộc vào đơn vị đo, sẽ chota biết mức độ tương quan của chúng.−1 ≤ ρXY ≤ 1Nếu ρXY = 0, ta nói X và Y không tương quan với nhau.Nếu ρXY = ±1 thì X, Y phụ thuộc tuyến tính với nhau, nghĩa làX = a + bY .




f (x , y) =

{x + y , (x , y) ∈ [0; 1]× [0; 1]0, (x , y) /∈ [0; 1]× [0; 1]

Hãy tìm Covariance và hệ số tương quan của X và Y.




f (x , y) =

{e−(x+y), x > 0, y > 0

0 , x , y khac

Hãy tìm hệ số tương quan của X và Y.



Các ý chính trong bài giảng buổi 4:

Định nghĩa và ý nghĩa của kỳ vọng, phương sai.

Công thức và phương pháp tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫunhiên X.

Công thức và phương pháp tính kỳ vọng, phương sai của biến ngẫunhiên g(X ).

Covariance của X và Y .

Hệ số tương quan X và Y .


Documents

Bài 4: KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI CỦA MỘT BIẾN NGẪU · PDF fileKývångPh÷ìngsaiCovarianceH»sŁt÷ìngquan 4.1.Kývång 4.1.1.Kývångcıabi‚nng¤unhi¶nX ˚ànhngh¾a.Kývångcıabi‚nng¤unhi¶nXl€gi¡tràtrungbnhcıaBNN