BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN TOÁN 12 - LÊ HỒNG ĐỨC
489
ĩhS L„Ê HỔNG ĐỨC - VƯƠNG NGỌCNGUYỄN TUẤN PHONG - LÊ VI ẾT HOi BÀI GI Ả NG TR Ọ NG TÂM C H N G T R Ì NH CHU N T O Á WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON B Ồ I Ư Ỡ N G T O Á N - L Í - H Ó A C Ấ P 2 3 1 0 0 0 B T R Ầ N H Ư N G Đ Ạ O T P . Q U Y N H Ơ N WWW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú
BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN TOÁN 12 - LÊ HỒNG ĐỨC
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
1/488
NGUYN TUN PHONG - LÊ VIT HOi
BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN
TOÁ
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
2/488
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
3/488
NGUYN TUN PHONG - LÊ HU TRÍ
= = = L BÍCK NGC
NHÀ XUT BN I HC QUC GIA HÀ NI
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
4/488
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
5/488
Li NÓI U .gi dc và ào to ã côg b “ig d ì tp ti won Tái
TPT và
u Cu búc tìú ùt tìgp 7P môn To.d thi Dai hc và Cao d ìg môn c á
,
c tlic:
CU m ú c TH I TT KGHP THPT
L Phn chung cho tt c các thí sinh (7 im). Câu 1
(3 im):
Kho sái, v th hàm s. * Các bài toán liên quan h ng ng ca o hm và th
ca hàm s
chiu bin túêtt ca hàm s, cc t, tip tuyn, tim cn (úg và ngang
ca th hàm s. Tìm trên th nhng im c lính cht cho trc tng ga
gia hai th (mt trong hai th là ng thng)...
Câsi 2 (3 im):
Hàm s, phng trình, bt phng tiÌh m và logari.
° Giá tr Qnht và nh nht ca hàm s. Tim nguyêo hàm, tính tích
phán.
a Bài toán tg hp. Câu 3 (1 iero): Hình hc không gian (tg hp): Tính
din tích xung quanh ca hình nói
tròn xoay, hình tr tròn xay, tíhh th tích ca khi lng r, khi chóp,
khi nói tròn xoay, khi tr tròn xday; tíhh din tích mt cu và
th tích khi cu.
XL Phn riêng (3 im)
. Theo chng trình chun:
Cu 4a (2 im):
H Xác nh ta ca im, vect- Mt cu. “ Vit phng trình ng thng, mt
phag.
H Tính góc, tính khong cách t im n mt phng. V trí tng ca ng thng,
mt phng và mt cu.
Câu 5a (1 im):
° S phc: Môun ca s phc, các phép toá trên s phúc. Cn bc ha ca s thc
âm. Phng rình bc hai h s thc c bit ihc A âm.
B úbg dng ca ch phân: Imh diên tích hình phng, th tích khi ròn
xoay.
2. Theo cboig trình nâng cao: Gâu 4b (2 im): Phng pháp a trong
kông gian .V--V V.- *'
“ Xác nh ta ca im, vect —Mt cu. 8 Vit phng trình mt phng, ng
thng.
° Tính góc, tíah khong cách t im n úcmg thng, mt phn khong cách gia
hai ng thng.
° V trí tng i cù òng thng, mt phng và mt cu.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
6/488
Câu Sh ( im): B Sphc:Môun ca s phc, các phép toán trên s
phc. Cn bc hai ca
s phc. Phng trình bc hai h so phc. Dng lng giác ca s phúc.
a Th hàm phân Uiúc hu t bc hai trên bc nht và mi s yu t liên
quan.
8 S tip xúc ca hai ng cong.
s H phng trình m v logarit.
a úg dng ca tích phân: Tnh din tích Hình phng, th tích khô tròn
xoay.
CU TRÚC CA MT - THI TUYN SINH HC, CÁ Ã\G
I. Phì chung cho tt c các thí sinh (7 im)
Cáu 1 (2 im): „ Kho sát, v th hàm s.
a Các bài toán UêQquan n úng dng ca o hm Vã th ca hàm s: chiu bin
thiên ca hàm s, cc tr, tip tuyn, m cn (ng v ngang) ca th hàm s. Tìm
trn h nhng im có tính cht cho trc,
tung giao già hai th (mt íroQgchai thià ng thng)...
Cu 2 {2 im): B ' Phng tiìoh, b phng trình và h i s.
Công thc lng giác, phng trình; lng giác.
Cu 3 {1 im): 8 Tim gii bn-
Q Tìm nguyêD hàm. Tính tích pha.
B Úng dng ca tích phân: Tnh din tích hình phag, th tích Idii tròn
xoay.
Câu 4 'I im)* H"ml bc không gian (tng hp): Quan h song song, quan h
vung góc ca ng thng, mt phang. Tính din tích xung quanh ca bình nón
tròn xoay, hình tr tròn xoay; tính th tích cã khi lng tr, ktôl
chóp, khi nón tròò xoay, khi tr tròn xoav; tính din tích m cu va th
tích khi cu.
Cu 5 1 im): Toán tng hp.
n . Phn riêng (3 im)
1. Theo chng trình chun:
Câu 6a (2 im)* PllU0inS pbáp ta trong mt phng và trong không gian:
B Xác nh a ca im, vect.
a ng tròn, elíp, mt cu.
^ B Vit phQg trình mt phng, ng thng.
B Tính gc, tính khong cách t im n mt phng. V trí tng ca ng thng, mt
phng và mt cu.
4
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
7/488
Câu 7a (1 im); D S phc.
a T hp, xác sut, thng kê.
B Bt ng thc. Cc tr ca biu thc i s.
2. Theo chng trình nàng cao:
Câu 6b (2 im): Phng pháp ta trong mi phng và oQg không gian s
Xác nh ta ca im, vect.
3 ng tròn, ba uQg cônic, mt cu.
a Vit phng trình mi phng, ng thng.
o Tnh góc, tính khong cách t im n ung thng, mt phng. Khong
cách -giakai ng thng. V trí ing i ca ng, thng, mt phng 'và
mt'Cu..
Câu 7b (I im): s S phc.
B th hàm phân thc hu tí bc hai trên bc nht và mt s yu t liên
quan.
B S tip xúc ca iai ng cong, a H phng trình m và
logarit.
* T hp, xác sut, thng kê.
a Bt ng thc. Cc tr ca biu thc i s.
Da vào ó Nhm C Môn chirng tôi xiu trâu trng gii tliiu tói bn
c
b sách:
C Á C B À I G I N G T R N G T Â M - M N T O Á N
(gm 3 tp) "
miu t-cl tit phoiig pháp gii cho các diig toáii thòíìg gp troiig
các ác
tlii tt liglúp TtPT. i hc và cao iig môn Toán.
Vòi môn Toii 12 phn kin thc trng tm:
a bao gm các choiig III, chotg rv, chOíig V cùng mt
chút
kin thc ca choiig II.
B ùhhcc mt'phn kin thc ca chng , chng II. chng
IU.
T ó, cun Bígpqg og têm csííg •— b7 12 c diia
tliàii 2 phi: . • Phn I: Gii tích, bao gm các ch :
A - NG DNG O HÀM E kho s á t VÀ V TH HÀM s
Ch 1 - ca hàni s Ch 2 - rá c^a un sô Ch 3 - Giá tr Ln nht và
giá tr nh Iiht ca hàm s
5
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
11/488
3. IU KIN HÀM s CÓ c c TR
nh lí 2: Gi s hàm s y = f(x) liên tc trên
khong (a; b) cha im Xo và có o hàm trên các
kong (a; Xo) và (Xfl*, b). Khi ó:
a. Nu f '(x) < 0 vi mi X e (a; x0) và f
’(x) > 0 vi mi X e (Xo; b) thì hàm sô'f(x) t cc
tiu ti im X(>.
b. Nu ’(x) > 0 vói' mi X <E(a;
X(,) và f '(x) < 0 vi mi X € (Xo*, b) hì
hàm s(x) t cc i ti im x,|. Nói mt cách vn tt: Nu
kh X qua Xo, o hàm i du thì im Xo là mt
im
cc tr.
Ta tóm tt nh lí 2 trong các bng bin thiên sau:
T nh lí 2 ta có quy tc tìm cc tr sau âý:
Quy tc I: tìm cc tr ca hàm sy = f(x) ta thc hin theo các bc:
Dó í Tínhf(x).
óc 2: Tìm các im Xi (i = l2,...) ti ó o hàm ca hàm sô"
bng 0 hoc hàm s lên tc nhng không có ó hàm.
tíóc 3: Xét du f (x). Nêu f(x) í u khí Xqua im Xi
thì hàm S t cc t ti Xj.
inh u 3: Gi s hàm s y = f(x) có o hàm cp mt trên
khong (a; b) cha im x0, f '(X(,) =
0 và f(x) có o hm cp hai khác 0 ti
im x0.
a. Nu f'(Xfl) < 0 thì hàm s t cc i ti
im x0.
b. Nu f ’(Xo) > 0 thì hàm s t cc tiu ti
im x0.
T nh lí 3 ta có quy tc tìm cc tr sau ây:
Qny te tìm cc tr ca hàm sy = f(x) ta ic hin ieo các
bc: ócl: Tmh f’(x).
H- Tìm các nghim Xi (i = 1,2,...) ca phng trình f(x) =
0.
Dc 3: Vói mi i ta tính khi dó:
Nêu f'(Xi) < 0 thì hàm s t cc i ti im Xf.
Nu f Xj) > 0 thì hàm sô" t cc tiu ti im Xj.
9
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
12/488
in . GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA HÀM s nh ngha: Cho hàm
s y = f(x) xác nh rên tp D.
a. Nu n ti mt im x„ e D sao cho:
f(x) < f(X(,) vi mi Xe D thì s M =
f(X()) c gi là gá tr ln nht ca hàm sô' y = f(x)
trên táp D nu, kí hiêu M = max f( x ).
xD
b. Nu tn t mt im Xo € sao cho:f(x) > f(x,,) vi
mi X e D thì s m = f(x,)) c gi là giá
tr nh nht ca hàm s y = f(x) trên tp D nu, kí
hiu m = minf(x).
xcD
IV. TH CA HÀM S VÀ PHÉP TNH TEN h t a
I. PHÉP TNH TIN H TA VÀ CÔNG THC CHUYEN h t a
Cho im I(x(í; y0) và im M(x; y) trong h ta Oxy, khi ó trong h
ta IXY diem M(X; ) se COta :
ÍX = x - x 0 ^ íx = X + x(, [Y = y - y 0 ly = Y + y0
2. PHNG TRÌNH ÒNG CONG I VI H TA MI
Phng ình ca ng cong y = f(x) i vi h ta IXY có dng:
Y = f(X + x()) - y j
V. NG TEM CN CAÔ TH HÀM s
1. NG TIM CN ÚNG VÀ NG TIM CN NGANG nh ngha 1: ng
thng y = y(, c gi là ng tim cn ngang (gi
tt
là tim cn ngang) ca th àm s y = f(x) nu:
lim f(x) = y0hoc im f(x) = (>. X—-y. ’ X-+>:
nh ngha 2: ng thng X= x0 c gi à ng tim cn
ng (gi tt là tim cn ng ) ca th hàm
s y = f(x) nu:
lim f(x) = 00 hoc lim f(x) = ±co. X—xi
2. NG TIM CN XIÊN nh ngha 3: ng thng y = ax + b c
gi à ng ni cn xiên (gi tt
là tim cn xiên) ca th hm s y = f(x) nu\
lim [f(x) - (ax + b)] = 0 hoc lim [f(x) - (ax + b)] =
0
Quy tc: G i s khi X —> co thì
f(x> —> 00.
10
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
13/488
Ta tìm á = lim (1)
Nu gii hn (1) khng tn ti hoc bng 0 thì th khng có tim cn xiên. Trái
li ta i tìm tip b = lim [f(x) - ax]. (2)
Nu gii hn (2) không tn ti thì th không có tim cn xiên. Trái
li ta kt lun th nhn ng thng (d) có phng trình y = ax + b
làm
tim cn xiên. VI. KHO SÁT S BIN THIÊN VÀ V TH HÀM s ó
ng li tng q uát kho sát và v th hàm s
Phng pháp
Bc : Tìm tp xác nh ca hàm s.
Bc 2: Xét s biên thiên ca hàm s:
a.* Tìm gii hn ti vô cc và gii hn vô cc (nu có) ca hm
s.
Tìm các ng tim cn ca th (nu có).
b. Lp bng birt thiên ca hàm s, bao gm:
' Tìm o hàm ca hàm s, xét du o hàm, xét chiu bih:thiên và tìm
cc tr ca hàm s (nu có).
• in các kt qu vào bng bih thiên:
Xy’ y
Bc 3: V th hàm s:
a. V các ng tim cn ca th (nu có).
b. Xác nh mt s im c bit ca thng là các giao
im ca th vi các trc ta (trong trng hp
th không ct các trc ta hoc vic tìm ta
giao im phc tp thì b qua phn này).
c. Nhn xét v th: Ch ra trc i xng và tâm i xng ca th (nu
có, không yêu cu chng minh).
Chú . Khi v th các em hc sinh cn lu ý rng "Dáng ca
th
ticng ng vi mi tên trong bng bin hên".
l
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
14/488
[ B. PHNG PHÁP GII CÁC DNG TOÁN LIÊN q u a n '
§ 1 . THÍH B OM M D -C A H À M s
Dang toán 1: Xét tính n iu ca hàm s
Phn&nháp xét tính n iu c hàm s y = f(x)* ta thc hin các
bc sau:
Bc I : Tìm tp xác nh ca hàiTLS.
Bc 2: Tính o hàm y', ri tìm các im ti hn (thông thng
vic gii phng trình y '= 0).
Bc 3: Tính các gii hn (nu cn).
Bc 4: Lp bng bin úên ca hàm s. T ó, a ra li kt n
Chú . Trong trng hp phng trình (x) = 0 vô nghiêm, tc à
hàm luôn ng bin hoc nghich bin, ta có'th’b qua vic lp b bin
thiên.
Thí d 1 • Kho sát s bêh thiên ca hàm s y = 2x3 +
3x2 + 1 .
JS$ Gii
X * 0
y ’ = 6 x 2 + 6 x , y ' = 0 <=> 6 x 2 + 6 x = 0 <=>
j_x = - Gii hn:
lim y = 00 và lim y = +00. X-*— V. X—>+TC
Bng bin thiên: —00 —1 0 + co
0 0
Vy, ta có kt lun: Hàm s ng bin trên các khong (-00; - 1) và
(0; +oo). " Hàm s nghch bin trên khong (-1; 0).
^ Nhn xét'. Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách
trình bày d toán "Kho st s bin thiên ca hàm s". Và vi dng to
này các em cn c bit chú ý ti tp xác nh ca hàm thì mi chc chn nhn c
mt bng bin thiên úng.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
15/488
^ Nhn xét: Hàm a thc bc ba tng quát có dng:
y = f(x) - ax?+ bx2 + cx + d, vi a * 0. Khí ó, nu s
dng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s, la có: Min xác nh D =
M. o hàm: y' = 3ax2 + 2bx + c, y’= 0 <=>3ax2 +
2bx + c = 0.
Gii han: lim y = ÌI1 Xs Ia + —+ -T + -r i = (±co)\a =
(±oo).a.x->±* X X X" )
Bng bin thiên: Du ca y' ph thuc vào du ca a (a >
0 hay a < 0) và u ca A' = b2 - 3ac (A' > 0 hay A'
< 0), do ó ta có bn trng hp bin thiên khác nhau.
Thí du 2. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = X4 -
2x2 - 5.
Jê£ Gii
o hàm:
Vy, ta có kt luân: • Hàm s nghch bin trên các khong (-co; -1) và
(0; 1 ). “ Hàm s ng bin trên các khong ( - 1; 0) và (1; +oo).
Nhn xét : Hàm a thc bc bn dng trùng phng có phng
trinh:
- f(x) = ax4 + bx2 + c, vi a * 0. Khi ó, nu s dng o hàm
kho sát s biên thiên ca hàm s,
ta có:Min xác nh D .= M. o hàm:
y’= 4ax' + 2bx =. 2x(2ax2 + b), y’= 0 o 2x(2ax2 + b) -
0. Do dó, phng trình y' = 0 hoc có mt nghim (a.b > 0) hoc
có ba nghim phân bit, do ó ta có bn trng hp bin thiên
khác nhau.
X—0 y' = 4x3 - 4x, y' = 0 4xs - 4x = 0 <=>4x(x2- 1) = 0
<=> J X = ±
2 1 Gii han: lim y = lim [x4(l - — +
—J )] = + 00.
* Y —Ì- A V ^ VX—í? X
Bng bin thiên:
0 + 0 0 +
13
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
16/488
b c r+c°khia >0 lim y = lm ax (1 + 7 + — 7 ) =
-
x-**: ax ax —co khi a < 0
Bng bin thiên: Du ca y' ph thuc vào du ca a (a > 0 hay a
< 0) và du ca a.b, do ó ta có bn trng hp bin thiên khác
nhau.
Và bt du t ây, vic a ra li kt lun da theo bng bin thiên c
dành cho bn p.
X""1 Thí d .3. Kho sát s bin thiên ca hàm s y =
—
T X1
Gii Min xác nh D = R\{ 1}. o hàm:
2 — y'=—^ < 0 Vx € D => hàm s luôn nghich bin trên
D. ( x - 1)
Gii hn: lìm y= lim y = 1 và lim y = —c , lim y = +CO
X - t - T . X—> +T X - H ' x - + r
Bng bin thiên:
-00
+00'
Nhn xét: Hàm phân thc bc nht trên bc nht có dng:
(H): y = ^ ± 4 , v i c * 0 , D = a d - b c * 0 .
ta có:
cx + d Khi ó, nu s dng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s,
Min xác nh D = E \{ - —}. c
o hàm: , _ ad - bc
cx + dNu D = ad - bc > 0 => hàm s ng bin trên D. Nu D =
ad - bc < 0 => hàm s’ nghch bin trên D.
Thí do 4, Kh sát s bin thiên ca hàm s y = X + —.
X
J5 Gii
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
17/488
o hàm:
y' = 1 - -L, y’ = 0 1 - \ X2 - 3 = 0 o X = ±V3.
3 X2 X2 .r
Gii hn:
lim y = -0 0, lim y =+ oo; l i m y = -o o , lúny = +<». X-++3C
X—»(J" x-»0‘
Bng bin thiên:
—00 ^ *—00 +00 r- -,+CO
Nhn xét : Hàm phân thc bc hai trên bc nht có dng:
,TTX ax2+ bx + c (H): y= —— ,
dx + e vi a * 0, t, mu không có nghim chung.
Khi ó, nu s ng o hàm kho sát s bin thiên ca hàm s, ta thng
vit li hàm s di dng:
y = f(x) = áx + p + —-— . x + e
Min xác inh D - M\{- —}. d
o hàm:
v’= a - yd = a(dx + e)2- yd
(dx + e)2 (x + e)2 u cùa o hàm là du ca tam thc g(x) = a(dx + e)2-
yd. Gii hn lim y = co và im y = co.K— x-»-e/d Bng bin thiên:
Ta có các trng hp:
Trns hn > 0
Phng trình y' - 0 c hai nghim Xj < x2. X
—co X - e/d *2 + 00 y' + 0 0 +
y C^ -”00 +CO-- +00
Phng trình y’= 0 vô nghim X — o —e/d
-f-oo y' + +
+00 y —00 —
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
18/488
Trng hp < 0 Phng trình y' = 0 có hai
nghim X, < x2
X — 00 X, - e / d *2 +
y ’ 0 + + 0
X —00 - í/d +CO
+00 "• co
hí d 5. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = v2x
- X2.
Gii
Ta có iu kin:
2 x - x 2> 0 « - 0 < x < 2 ^ D = [0;2].o hàm:
2 - 2x 1- x , 1 y = — 7 " = — ; , y ' = 0 « l -
x = 0 o x = l .
2V2X-X V 2 x -x
^ A7z« xí: Hàm vô t dng:
(H):y= VaX2 + bx + c , vi 0. Khi ó, nu s dng o hàm kho sát s
bin thiên ca hàm s, ta có
Min xác nh D = {xe M Iax2 + bx + c > 0}. o hàm:
, 2ax + b y= I r . , ’
2Vax + bx + c
Bng bin thiên: có 4 trung hp khác nhau v chiu bin thiên
Thí u. 6. Kho sát s bin thiên ca hàm s y = X -
yx.
JS3 Gii
16
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
19/488
, y’= 0 <=> 1 -
= Q< >x - —. 4
Dang toán 2: Xác nh m hm s y = f(x, m) ng bin (hoc
nghch biên) trên khong I
Phng pháp Chúng ta cn thc hin các bc sau: Bc :
Tìm tp xác nh ca hàm s.
Bc 2: Tính o hàm y\
Hc 3: Lp lun cho các trng hp (tng t cho tính
nghch
bin) nh sau: a. Hàm s ng biên trên I khi:
[ Hàm s xác nh trên I
[y' > 0, Vx € I, du ng thc ch xy ra ti hu hn im.
b. Hàm s ng bin trên on có dài bng k
jy > 0, Vx [a-k; a], du ng thc chi xy ra ti hu
hn im ca [a-k; a] và x e [a-k; a] không tho mn.
Chú : gii các biu thc iu kin ca y' phng pháp c s dng ph bin
nht là phng pháp tam thc bc hai, tuy nhiên trong nhng tnròng
hp riêng bit có x s dng ngay phiig pháp hàm s gii.
Thí du. 1. Chõ hàm sy = 4x3 + (m + 3)x2 + mx. Tìm m
: a. Hàm s ng bin trên . b. Hàm s ng bin ên
khong [0; + co).
c. Hàm s nghch bin trên on [-/2; 1/2].
d. Hàm s nghch bin trên on có dài bng 1.
J Gii Hàm s xác nh trên D = R . o hàm:
y’= 12x2 + 2(m + 3)x + m, y' = 0 f(x) = 12x2 + 2(m + 3)x
+ m = 0. (1)
17
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
20/488
a. Hàm s ng bin trên R khi: y'> 0, Vxe R f(x) ^ 0, V
xsR A'< 0 <=>(m + 3)2- 12m < 0 (m - 3)22 0
<=>m - 3 = 0 <=>m = 3.
Vy, vi m = 3 tha mãn iu kin u bài. b. Ta có th trình bày theo hai
cách sau: Cách 1: Hàm s ng bin trên khong [0; + 00) khi:
y' £ 0, Vxe [0; +oo) f(x) > 0, Vxe [0; +
co)
’(m -3 )2 <0
(1) có nghim Xj < x2 < 0 <=>
A' <0
m = 3
m* 3
m>-3
ra >0
« m ^ 0. Vy, vi m £ 0 tha mãn iu kin u bài.
Cách 2: Nhn xét rng phng trình (I) luôn eó nghiêm X= và X=
.2 6 T ó, hàm s ng bin trên khong [0; +00) khi:
y’£ 0, Vxe [0; + oo) o f(x) ^ 0, Vx€ [0; + co)
<=> (1) có nghim kép
t > I I
o
m >3
Cách 3: Hàm s ng bin trên ichong [0; + co) khi:
y' >0, Vxe[0; + oo) <=> 12x2 + 2(m + 3)x + m £0,
Vxe[0; +oo)
o m ( 2 x + 1 ) > - 1 2 x 2- 6 x , Vxe[0;+oo) <=> m >
-6 x , Vx e[0;+co)
<=> m > Max ( - 6x) = 0 o ra O . xeO: +»)
Vy, vi m ^ 0 tha mãn iu kin u bài.
c. Nhân xét rng phng trình. (1) luôn có nghiêm X= - —và X= - —
.2 6 .
ì_ j_ 2 ; 2
y'^ 0, Vxe <=>f(x)£0. L 2 2 j
Vy, vi m 3 tha mãn i kin u bài.
khi:
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
21/488
. Hàm s nghich bin trên on có dài bng 1 khi: y’ < 0, trên
on có ài bng 1
<=>(1) có hai nghim phân bit X,, x2 tho mãn x, - x2| =
1 r Í A ’ > 0 -
1 > 2-K' <=>7 ^ = 6 <=>(m - 3)2 =
36 <=><=> < ' <=> 1 11X, -
x2 = I
12
m =9
m = -3
Vy, hàm s nghich bin trên on có dài bng 1 khi m = 9 hoc m=
-3.
^ Nhn xét: Trong li gii trên: Vi ni dung cu b), các em
có th thy rng phng pháp hàm
s thng c u tiên la chn. Vi Iì ung câu c), ta nh li rng phng trình
ax2 + bx + c = 0
(a &0) nu có hai nghim Xp x2 thì:
|x, - x2| = ^ hoc |x, - x2 = . |a |a|
Ngoài ra, vì phng trình (1) luôn có nghim Xy= và
x2 = -
v y’ nhn giá tr âm trong khong này nên ta có iêu kin là. , , fm
=9
= 1 <=>m - 3 = 6 <=>xj - x2j = 1 o
_ 1 m ~ 2 + ~6 m = -ó
Thí du 2. Cho hàm s y = X —
x - m Vi giá tr nào ca m: a. Hàm s nghch biêh trên mi
khong xác nh ca nó ?
b. Hàm s ng bin trên khong (0;+co) ?
Gii Min xác nh D = M\{m}. o hàm:
y'=- 1 -m
( x -m ) 2
a. Hàm s nghch biên trên, mi khong xác nh ca nó khi: y' < 0,
VxeD và u ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im <=> 1 - m
< 0 <=> m > 1.
Vy, vi m > 1 tho mãn iu kin u bài.b. Trc ht là hàm s cn xác nh
trên (0; +co), iu kin à m > 0. (*) Hàm s ng bin trên (0; +00)
M:
y’> 0, Vx e(0; -ko) và du ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im
(*)
<=> 1 - m > 0<=>m < 1 <=> 0 < m <
1.
Vy, vói 0 < m < 1 tho mãn .iu kin u bài.
19
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
22/488
^ Chú ý: Rt nhiu hc sinh khi thc hin bài toán trên:
a. câu a), ã nhn c nghim m = 1 , bi thit lp iu kin 1 - m < 0.
Các em hc sinh cn nh k ni dung nh lí 2.
b. câu b), ã không kim tra iu kin xác nh ca hàm trên khong (- 00;
0).
Ngoài ra, các em hc sinh cng cn nh rng hàm phân thc b nht trên bc
nht luôn n diu trên min xác nh ca nó.
Vi giá tr nào ca m:Thí do 3, Cho hàm s y = x 1
a. Hàm s ng bêh trên mi khong xc nh ca nó ? b. Hàm
s nghch bin trên các khong (0; 1) và (2; 4) ?
J5 Gii Min xác nh D = R\{ 1 }. o hàm:
X2 - 2 x + l - m 2 . 2 - , , „ ,
, y = 0 <=>X - 2x + 1 - m = 0 <=>X, 2- 1 ± m.V = ( x -
i a. Hàm s ng bin trên mi khong xác nh ca nó khi:
y' > 0, VxeD và du ng thc ch xy ra ti mt s hu hn im
<x>X2 - 2x +1 - m2 > 0, VxeD và du ,,=" ch xy ra ti
mt s hu hn im <=>A’ < 0 <=>m2 £ 0 o m =
0-
Vy, vi m = 0 tho mãn iu kin u bài.
b. Nhn xét ràng y’ ch nhn giá tr âm trong;khong (Xjí x2)\{
1}-
T ó, hàm s nghch bin trên các khong (0; 1) và (2; 4) khi:
o m> và m>3 m <-1 và m <-3 jm >3.
Vy, vi |m| > 3 tho mãn iu kin u bài.
Ch ý. hiu c lp lun trong li gii câu b) ca ví d trên các e hc
sinh hãy phác tho bng bin thiên ca hàm s, ,c th:
X —co *1 1 x2 4- co
y’ + 0 - 0 +
^ c r +00
t c các im X .= 0, X = 2, X = 4 vào v trí thích hp.
Thí d 4. Cho hàm s y = -x 4+ 2mx2- m2. Vi giá tr nào
ca m: a. Hàm s nghch bin trên (1; +oo) ?
b. Hàm s nghch bin trên (-1; 0) và (2 ; 3)?
20
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
23/488
Gii Min xác nh D = R . o hàm:
y’ - -4 x3 + 4mx, y’ = 0 -4 x' + 4mx = 0 <=>-4 x(x 2 - m) =
0.
l Hàm s nghch bin trên (1 ; +co) khi: y' < 0, V
xe(l; -Ko) <=>- 4-x(x2- m) < 0, Vx€(l; +oo)
<=>x(x2 - m) > 0, V xe(l; +oo) <=>f(x) = X2- m
> 0, Vxe(; +co) <=>f(l) > 0 <=> l - m > 0 - »
m < l .
Vy, vi m < 1 tho mãn iu kin u bài. b. Hàm s nghch bin trên (-1;
0)vj(2; 3) khi:
y’ < 0, Vx€(-1; 0)u(2; 3) <» -4x(x2 - m) < 0, Vx€(-1;
0)u{2; 3)
<=>4x(x2 - m) > 0, Vxe(-; 0)u(2; 3)
í 4x(x2 - m) > 0, Vx <E(-1; 0) jf(x) = X2- m < 0, Vx e
(-1; 0)
[4x(x2- m) > 0, Vx € (2; 3) f(x) = X2 - m > 0, Vx € (2;
3)
S(0.m) ff(—1)<0 Í1 -m <0 • , 'o f <=> < <=>
< m < 4. [f(2)>0 [4-m >0
Vy, vi 1 < m < 4 tho mãn iu kiên u bài.
Chú ý. hiu c lp lun trong li gii trên các em hc sinh
hãy la chn mt trong hai cách sau: Cách, 1: Nhn thy th
hàm s f(x) = X2 - m là mt Parabol nhn trc Oy làm trc i
xng và ct Oy ti im S(0; -m). Cách 2: S dng, khái nim ng
tròn ca hình hc gii tích
trong mt phng.
Dang toán 3: S dn g tính n iu ca hàm s chng minh ng thc, bt
ng thc.
Phng pháp Bng vic xét hàm s f (x) trên on [a; b], ta có: a.
Nu f'(x) = 0, Vxea; b] <=>Hàm s f(x) là hàm hng trên [a;
b
=> £(x) = f(x0) vi x0e [a; b].
b. .Nu f '(x) > 0, Vxe[a; b] <=>Hàm s f(x) ng biên
txên [a; b]
=> f(a) < f(x) < f(b). c. Nu f '(x) < 0, Vxe [a; b]
<=>hm sô" f(x) nghch bin trên [a; b]
=> f(b) < f(x) < £(a).
Thí d 1 » Chng minh biu thc sau không ph thuc vào x:
A = sin2(x - — ) + sin2x + sin2(x + — ). v 3 3
21
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
24/488
Vy, ta có A = —không ph thuc vào X.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em‘hc sinh ã bit cách
trình bày dng toán "ng dng tính n iu ca hm sô'chng minh
ng thc Và ây, các em cn nh rng cng có th s
dng các phép bin i lng giác thun tuý thc hin yêu cu
trên, c th ây ta s dng các công thc h bc.
Thí du 2. Chng minh các bt ng thc sau: a. sinx < Xvi
mi X> 0. b. sinx > X vi mi X<
0.
J$ Gii
Xét hàm s f(x) = sinx - X v i 0 < x < ^ .
o hàm:
f (x) = cosx - l < 0 vi0 < x < — <=>hàm s
f(x) nghch bin trên (0; —).
a. Do ó:
f(x) < f(0) vi 0 < X < — <=> sinx - x < 0 v ì 0
< X < — 2 2
<=>sinx < Xvi 0 < X < r-.
2b. S dng kt qu trên vi lp lun: X< 0 <=>-X >0 =>
sin(-x) < -X -sinx < -X <=>sinx > X, pcm.
^ Nhn xét :
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
25/488
2. i khi chúng ta khng th khng nh c ngay rng f (x) > 0, Vx€ [a;
bì (hoc f ’(x) < 0, Vx€[a; bj), trong các tròng hp nh vy, mt
th thut thông thng c áp dng là chúng ta liên tip tính o hàm
h bc n a thc n X.
3. T nhng bt ng thc n gin trên ngi ta có th xây dng ra nhng bt ng
thc phc tp hn, c th: Vi bt ng thc sinx < X chúng ta xây dng c
bài toán:
"Chng mình rng trong mi AABC nhn a u có: sinA +
sinB + sinC < %" Vi bt ng thc tanx > Xchúng ta xây dng c bài
toán:
"Chng mình rng trong mi AABC nhn a u có:
tanA + tanB + tanC > 71" Và khi ó, chng minh nhng bt ng thc dng
trên chúng ta cn
thc hin theo các bc: cí La chn hàm c trng (y =
sirtx - Xhoc tanx - x).
m2: Chng mình hàm s luôn n iu trên D. 3c 3: Áp
dng.
Thí du 3. Chng minh cc bt ng thc sau: x ? : X3
a. sinx > X- — vi mi X> 0. b. sinx < X- vi mi X< 0.
6 6
Gii
a. Xét hàm s f(x) = X- ----- sinx vi X> 0. 6
o hàm: X2
f (x) = 1 - - — cosx, f'(x) = -X + sinx,
f"(x) = -1 + cosx < 0 vi X> 0 <=>f'(x) nghch
bin vi X> 0 => f (x) < f ’(0) vói X> 0 f ’(x) < 0
vói X > 0 f (x) nghch bin vi X> 0 => f (x) < f (0) vói
X> 0 <=>f (x) < 0 vói X > 0 o f(x) nghch bin vì
X> 0
=>f(x)< f(0)vi X> 0 <=>X- - — sinx< 0 viX> 0
6
. X3 -
<=>sinx > X- — vói X >0.6 b. S ng kt qu trên vi lp
lun:
(_x x< 0< => -x >0 => (—x) ------ — <
sin(-x)<=>-X + -V < -sinx
6 o
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
26/488
^ Chú ý: Ví d tip theo s minh h mt phng pháp khác, ó là
s ng các phép bin i i s xác nh du cfia'y’.
Thí du 4 . Chng minh rng sinx 4-tanx > 2x vi
mi X <=' O; —
Gii Xét hàm s f(x) = sinx + tanx - 2x, có o hàm:
f(x) = cosx+ —\ ----- 2 COS X
Nhn xét rng vi Xe = o; —j ta có:
Cosí COSX+ —-Z -----2>c os2x + —— ----- 2 > 2
—2 = 0
COS X cos X
<í=>f (x) > 0 vi 0 < X< — o hàm sf(x) ng bin trên
D
<=>f(x) > f(0) vi 0 < X< — <=>sinx + tanx - 2x
> 0 vi 0 < X< — 2 «• sinx + tanx > 2x vi m X
6 D.
^ Ch ý: 1 . Bt ng thc sát hn so V bt ng thc trên là:
2sinx + tanx > 3x vói mi X e I0; — ; V 2J
2. Và t bt ng thc này ngi ta xây dng c: ”Chng minh rng trong
mi AABC nhn ta u có:
2 - 1 —(sin A + sin B + sin C) + -(ta n A + ta n B + ta n G)
> %"
Và gii bài toán trên ta thc hin nh sau: . Vit i bt ng thc di
dng:
2(sin A + sinB + sinC) + (tanÁ + tanB + tanC)>37i: C2>(2sinA
+ían A-3A) + (2sìnB + tanB-3B) +
+(2sinC + tanC-3C)>0 7 ^
Xét hàm sô f(x) = 2sinx + tanx - 3x trên khoang 0; — \
2
Hàm s ng bin trên O; —j - Theo chng mình trên.
Vy, ta c: 2smA + tanA - 3A > 0. (1) 2snB + tanB - 3B > 0. (2)
2sinC + tanC - 3C > 0. (3)
Cng theo v (1), (2), (3) ta c bt ng thc cir chng minh.
14
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
27/488
Dang toán 4: s dng tính n iu ca hàm s gii phng trình, bt phng
trình và h
Phng pháp s dng các tính cht n iu hàm s gii phng trình
là dng
toán khá quen thuc, ta có các hng áp dng sau: Bng 1: Thc hin
theo các bc:
.3CÍ Chuyn phng trình v dng:f(x) = k. 7 ()
DC2: Xét hm s y = f(x), dng p un khng nh hàm s n iu.
óc3: Khi ó, phng trình (1) nu có nghim thì nghim ó là
duy nht
Tìm X, sao cho f(Xo) = k. Vy,, phng trình có nghim duy
nht X= x0.
H tíng2: Thc hin theo các bc: c.l- Chuyn phng
trình v dng:
f(x) =g(x). (2)
Bc 2: Xét các hàm s y = f(x) và y - g(x). Dùng lp lun
khng nh hàm s’ y = f(x) là ng bin còn hàm s y = g(x) là hàm
hng hoc nghch bin.
pc Khi ó, phng trình (2) nêu có nghim thì nghim ó
là duy nht Tìm Xo sao cho f(x0) = g(Xfì). Vy, phng trình có
nghim duy nht X= Xfl.
Hng 3: Thc hin theo các bc: 3 í Chuyn phng
trình v dng:
f(u) = f(v). ^ (3)
2: Xét hàm s y = f(x). Dùng lp lun khang inh
hàm sô" dn iu. D 3: Khi :
(3) <=>u = Vvi Vu, veDr.
Thí d 1. Gii phng trình tanx - X= 0.
J£ Gii iu kin:
cosx^O o x ? s —+ kt,keZ. 2
Xét hàm s f(x) - tanx - Xvi Xt —+ k, k € z . , ta
có:
f ’(x) = — \ — l= tan 2x > 0 , V x * — +
kn, k e 2 . cos X 2
Hàm ng bin trên D = R \ —+ kt, k e % .
25
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
28/488
Do ó, nu phng trình f(x) = 0 có nghim thì nghim ó à duy nht. Ta
thy:
f(0) = 0 - 0 = 0 nên X = 0 là nghim duy nht ca phng trình.
^ Nhn xét : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách
trình bày dng toán
"ng dng tính n iu ca hàm s gii phng trình". Và
ây, các em cn nh rng phng pháp này thòng c áp dng cho nhng
phng trình không mu mc.
Thí. du 2. Gii phng trìììh -v/l-x - VT+X = 2x3+ 6x.
Gii iu kin:
Ti ây ta có th trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Vit li phng trình di dng: V - X- -n/i + X-
2x3“ 6x = 0.
Xét hàm s f(x) = -v/l-x - Vl + X- 2x3- 6x trên D = [-1; 1], ta
có:
f'(x) = -----------------7L = - 6 x 2-6< 0, VxeD 2>/l -X
2V1 + X
<=>Hàm nghch bin trên D. Do ó, nu phng trình f{x) = 0 có
nghim thì nghim ó là duy nht. Ta thy:
f(0) = 1 - 1 = 0
nên X= 0 là nghim duy nht ca phng trình.
Cách 2: Ta ln lt:
B Xét hàm s f (x) = -J 1- X + X trên D = [-1; 1], ta có:
f'(x) = -----7= = -----J = < 0,V xeD
<^Hàmsf(x)nghichbiáitrêriD. 2V1-X 2vl + x
Xét hàm s g(x) = 2x?+ 6x trên D = [ - 1; 1], ta có:
g’(x) = 6x2+ 6 > 0, VxeD <=>Hàm s g(x) ng bin trên D.
Do ó, nu phng trìiih f(x) = g(x) có nghim thì nghim ó là duy
nht. Vói X= 0, ta thy:
l - = 0 + 0<=>0 = 0, úng
nên X= 0 là nghim duy nht ca phng trình. Cách 3: Vit ]i phng
tnnh di dng:
V l-X + ( l - x ) 5=Vl + X+(l + x)3. (1)
26
0 X > - 1 1 1
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
29/488
Xét hàm s f (t) = Vt + t3 trên trên D = [0; .+00), ta
có:
f ’(t) = — + 12 > 0, Vx e D => Hàm s lun ng bin ên D.
2-v/t
Kh : (1) <=> f(l - x) = f (l + x ) <=> 1 - X = 1 + X
<=> X = 0.
Vy, phng trình có nghim X= 0.
Thí d 3. Gii bt phng ình: x?- |x2 - 3x + 2 + 6x - 7 > 0.
Jê$ Gii Xét hàm s f(x) = x?- x2 - 3x + 2| + x - 7.
Min xác nh = E . * o hàm:
Í3x2-2 x + 9 nux > 2vx < 1 , _ s f (x) = =$ hàm s
ng bin trên D.
_3x2+ 2x + 3 nu 1< X< 2
Mt khc ta có f (l) = 0, suy ra bt phng trình có nghim là X >
1.
Nhn xé t : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách
trình bày dng
toán "ng dng tính n iu ca hàm s gii bí phng
trình". Và ây, các em cn nh.rng phng pháp này thng c áp
ng cho nhng bt phng trình không mu mc.
Thí.d 4. Tìm m phng trinh sinmx + cosmx = 1 nghim úng vi
mi X.
J% Gii t f(x) = silf'x + cosmx, khi' yêu cu bài toán c
phát biu dói dng: 'f’(x) = 0, Vx (1)
[f(j i/4) = l (2)
Gii (l ): Ta c: m.cosx. sin1"- 'x - msinx.cosm"‘x = 0,
Vx
f(x) = 1, Vx <=>
sinm2 X= cosm z X, Vxm-2 .
m = 0
m = 2
Ta xét tng trng hp ca m gii (2): Vi m = 0, ta c:
( £ f _ f l f i -
V. 2 / y 2 ) = 2, không tho mãn.
* Vi m = 2, tng t ta c f j = 1, tho mãn.
Vy, vói m = 2 phng trình nghim ng vi mi X.
27
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
30/488
Thí du 5. Gii h phng trình'. [sinx-siny = y - x ( tc :
' « , vi X e D = 0; — . \x + 2y = 7U V 2 ;
Gii
Vit phng trình th nht ca h di dng: sinx + X= siny + y. (*)
Xét hàm s f(t) “ sint + 1 trên D, ta có:
f '(t) = cost +1 > 0 vi Xe D <& Hàm s f(t) ng bin
trên D. Vy, phng trình (*} c vit di dng:
f(x) = f(y) <=>X= y. Khi ó, h có dng:
x = y fx = y 71 <=> I <í=> X= y = —.
i
x + 2y = 7 [3x = 7 • 3
7t Vy, h phng trình có nghim X= y = —.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em hc sinh ã bit cách trình bày
dng toá
"ng dng tính n iu ca hàm s gii h phng trình". V ây, các em cn
nh rng phng pháp này thòng c á dng cho nhng h phng tranh không mu
mc.
§ 2 . c c T R I CA H À M s ** • • - " -
Dang toán 1: Tìm cc tr ca hàm s’ ; Phng php
tìm cc tr ca hàm s y = f(x), ta thc hin theo các bc sau: Bc
1: Tim tp xác nh ca hàm s. Bc 2: Tính o hm yV ri
tìm các im ti hn (thông thng l
vic gii phng trình y* = 0), gi s CDX = Xf,. Bc 3: La
chn mt o ng hai hng:
Hng 1: Nu xét du c ý' thì p bng bih thiên r a ra kt lun
da vào nh lí: nh í 1: Hu hàm s y = f(x) c o hàm
tron
khong (a; b) và y'(Xo) = 0 vi x0e(a; b).
a. Nu qua Xo o hàm i du t âm sang dn
thì hàm s t cc tiu ti Xq. b. Nu qiia Xo o hàm
i du t dng-sang âm
thì hàm sô't cc i ti X(J.
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
31/488
Hng 2' Nêu không xét u c y’ thì: Tìm o hàm bc hai
y". Tính yn(x<,) ri a ra kt lun da vào nh lí: nh lí 2: Nu
hàm s y = f(x) có o hàm trong
khong (a; b) và yXxo) = 0 vi Xo e (a;
b). a. Nu y"(x<)) < 0 thì hm sô t cc i ti
im Xo- b. Nu y"(^) > 0 hì hàm sô't cc tiu ti im
X.
Thí d . Tìm cc tr ca hàm s y = s ls -x.2 .
Gii Ta có th trình bay theo hai cách sau:
Cách : (Sdng quy tc /): Ta ln lt có: Ta c iu kin:
8 - x 2> 0 <$> X1< 2-J => D = [~2y l 4 ] .
* o hàm:
X
y’=—
2x
J s -X 2 y' = 0 <=> X = 0.
Vy, hàm s t cc i ti X = 0 và giá tr cc i ca hàm s là f(0) = 2V2
. Cách 2: {S dng quy tc 2): Ta n lt có:
Ta có iu kin: 8 - X2> 0 <=> Ixl < l 4
i
o hàm: X
D = [-2-S2; J ).
Ta CÓ:
y" = — — — => y"(0) < 0. (8- x )
Vy, hàm s t cc i ti X= 0 và giá tr cc i ca hàm s là f(0) =
J .
"Nhn xét : Qua thí d trên các em hc sinh ã bit hai cách trình
bày dng toán "Tìm cc tr ca hàm s" a ên hai quy tc tng
ng. Và ò ây, các em cn nh rng quy tc 2 thng ch c
s dng khi gp khó khn trong vic xét u y ’ hoc vi bài
toán cha tham s. .
Và bt u t ày, vic a ra li kt lun da theo bng bin thiên c dành
cho bn c.
29
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
32/488
Thí. d 2. Tìm các khong tâng, gim, cc tr ca hàm s:
y = —X3+ 2x2 + 3x - 1. 3
JX Gii Min xác nh D - R . " o hàm:
y* = X2 + 4x +3, y' = 0 <=>X2+ 4x + 3 = 0 «=>X= -1 hoc X=
-3. Gii hn: lim y = 00 và lim y = +C0.
X— X- MOC
Bng bin thiên:
J r + 00
Bn c t kt lun da theo bng biêh thiên. ^ Nhn xét: Hàm a
thc bc ba tng quát có dng:
y = f(x) = ax* + bx2 + cx + d, vi a ^ o có o hàm:
y'= 3ax2 + 2bx + c, y’= 0<=>3ax2 + 2bx + c = 0. T ó,
suy ra hàm s có 2 cc tr hoc không có cc tr.
Thí d 3. Tìm các khong ãng, gim, cc tr ca hàm s: y = X4- 2x2
- 1.
Gii Min xác nh D = E . o hm:
y' = 4x3 - 4x, y’ = 0 <=>4x?- 4x = 0
<=>X = 0 hoc X= ±1. Gii hn lim y = lim y =+co.
X-*-3C-
y’ — 0 + 0 — 0 +
Bn c t kt lun da theo bng bin thiên.
^ Nhn xét: Hàm a thic dng trùng phng c 3 hoc 1 cc
tr.
„3x 3 Thí d 4. Tìm cc khong tng , gim, cc trì ca hàm s
y = ----- ——
-V X —1
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
33/488
JS5 Gii Min xác nh = R\{ 1}. o hàm:
' 1 _ 1y = 1 - (x- i
, y' = 0 <=> 1 (x-1)2
Gii hn:
lim 1X—>-7? " Bng bin thiên:
lim y = lim y = -co ,x ->]“ lim y = lim y = +00.x-M-5?
*->r
X -0 0 0 1 2 + 00
y' + 0 — — 0 +
Bn c kí hin da theo bng bin thiên.
^ Nhn xét: Hàm phân thc bc hai trên bc nht tng quát có 2 cc
tr hoc không có cc tr. Các em hc sinh cn nh rng giá tr
cc tr ca hàm phân thc y = ti X= Xo là y(x0) = u
Tht vy;
v*(x0)
<=>u*(x,^Xo)= uCxoXv’CXo) <=> = y(>H))’ pcm.
v(x„) v(x())
Kt qu trên c s dng : 1. Xác nh giá tr cc tr ca các hàm phàn thc hu
t. 2. Lp phng trình ng thng, ng cong i qua các
im cc tr ca các hàm phân thc hu t.
Ngoài ra, vi hàm phân thc hu t có cc i và cc tiu thì yC<
yCT, iu này khng nh s khác bit gia khái nim
v cc i, cc tiu và giát lón nht, nh nht ca hàm s. tìm cc tr ca
hàm . s cha du giá tr tuyt i ta thc hin theo các be
sau:
Bc 1: Bin i hàm s v dng: "fj(x) vi Xe Dj
y = ffc(x) vi Xe Dk
31
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
34/488
Bc 2: Tìm min xác nh ca hàm s. Bc 3; Tính o
hàm:
íf'',(x) vi Xe Dj \ {x f(x) = 0}
H - ,• (f 'k(x) vi X€ Dk\ {x Ifk(x) = 0}
y’ = 0 => nghim (nu có). Bc 4: Bng bin thiên, t
ó a ra li kt lun.
Thí d 5. Tìm các khong tng, gim, cc tr ca hàm sô 'y = x(x +
2).
J5 Gii Min xác nh D = E . Vit li hàm s di dng:
í-x(x + 2) vix<0 , (-2x^2 vix<0 y - => y = \
[ x(x + 2) vix>0 [ 2x + 2
vix>0
Gii hn lim y = -CO, lim y =+00. X-M-*
Bng bin thiên: -1 +CO 0
Bn c t kt lun da theo bng birÍ thiên.
Chú ý. Các ví d 2, 3, 4, 5 ã miêu tcc tr ca ba dng hàm s c b
trong chng trình ph thông. Gác thí d tip theo s minh ha v s dng du
hiu 2 cho các hàm lng giác hoc không mu m
Thí du 6 . Tìm cc khong tng , gim, cc tr ca các hàm sô:
a. y = X - sin2x + 2. b- y = 3 - 2cosx - cos2x.
Gii a- Min xác nh D = ú .
o hàm: y’ = 1 - 2cos2x, y" = 4sin2x.
1 T y' = 0<=> - 2cos2x = 0<=>cos2x = <=> x
= ± — + k 7 ,k e Z . 3 2 6
Ta có:
y" -—+ k 7cj = 4sin +2kij ~ - 2 y < 0
=> hàm s at cc ai tai các im X= + kTt, k<=%. * 6
32
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
35/488
|è y”—+ k 7ij = 4sin—+ 2kìj = J > 0
l >' >7 í => hàm s t cc tiu ti các im x = —+ k7i, k<=z.
: 1 6 I b. Min xác nh D = R .
I o hàm: I y' = 2sinx + 2sin2x, y” = 2cosx + 4cos2x.
y’ - 0 <=>2sinx + 2sin2x = 0 « 2(1 +
2cosx)sìnx = 0 2k
<=> X= ± - —+ 2kn hoc X= kir, ke z . 3
Ta có:
Vi x = ±— +2k7i tanhnc: 3 '
y ±— + 2k 7t ] <0^hàmsô'<Mcciticácin x = ± — +
2k 7 ,k eZ .V 3 ) 3
Vi X= kn ta nhn c: y”(k 7c) = 2cos(k 7t) +
4cos(2k 7t) = 2cos(k 7i) + 4 > 0 => hàm s t
cc tiu ti các im X= k7, ke z .
Dang toán 2: Tìm m hm s V = f(x. m ì có cc tri Phng
pháp
thc hin các yêu cu v iu kin có cc tr ca hàm s y = f(x) ta
thc hin theo các bc:
Dóc í Min xác nh. Dc_ 2: Tính o hàm
y1. Dc 3: La chn theo mt trong hai hng:
Hng 1: Nu xét c du ca y’thì s i dng dâu hiu
I vi lp lun:
Hàm s có k cc tr <=> Phng trình y 1 = 0 có
k nghim phân
bit và ôi ii qua các nghim ó.
Hng 2. Nu không xét c dâu ca y’ hoc bài toán yêu
cu c th v cc i hoc cc tiu thì s dng du hiu n, bng vic tính
thêm y”. Khi ó: 1 . Hàm s' có cc tr <=>h sau có nghim thuc
D
'y’ = 0
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
36/488
2 Hàm sô" có Cc tiu <=>h sau có nghim thuc D
y ’= 0
[y" >0
3. Hàm s có cc i <=>h sau có nghim thuc D
y = 0 y" < 0
4. Hàm s t cc tiêu ti x0 iu kin là: ' x0 e D
x0làimtdihn.
vy"(xo)> 0
5. Hàm sô" t cc i ti Xo iu kin là: 'x0eD
x0 là im ti hn.
J"(x0)<0
Ngoài ra, vi hàm a thc y = f(x) thì iu kin " Hm sô 't
cc tr ti im Xo" l:
y ’(x0) = 0
lyO-o^O
Thí d 1» Chng minh rng vi mi giá tr ca m, hm s: _
X2 -m (m j- l)x 4- m3+1
x - m luôn có cc i và cc tiu.
Gii Min xác nh D = R\{m}. Vit li hàm s di dng:
y = x - m +
1
(x-m)
1(x - m) = 0 <=>(x - m)2- 1 = 0 <=>X, 2 = m ± 1 e
D.
Tc là y’ = 0 luôn có hai nghim phân bit thuc và i du qua hai
nghim này, do ó hàm s luôn có cc i. và ec tiu.
Nhn xét’ . Qua thí d trên các em hc sinh ã
bit cách trình bày dng toán "Chng minh hàm s luôn c cc
tr "da trên quy tc 1 .
34
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
37/488
Trong trng hp bài toán trên c phát biu di dng "Tìm m
hàm s có cc tr " thì tng khó cho yêu cu ngi ta thòng òi
hi thêm nh sau: a. Hoành (hoc tung ) các im cc r thuc
khong
K, khi ó chóng ta ch cn thit lp iu kin : m ± 1 <EK
hocy(m± 1) e K o [ 2 x - m(m+l)](m±I) € K.
b. Ta các im cc tr ho mãn iu kin K, khi ó chúng ta thc
hin: Ta các im cc tr là:
(m + 1 , 2 + m - m2) và (m - 1 , 2 + Ì1 - m2) *
Thit lp iu kin K, t ó nhn c giá tr ca m.
c. Phng trình ng thng i qua các im cc tr ho mãn iu
kin K, khi ó chúng ta thc hin: Phng trình ng thng i qua các im
cc tr là:
(d): y = 2x - m(m + I)
Thit lp iu kin K, t ó nhn c giá tr ca m.
Và trong tt c các òi hi kèm theo ch cn các em hc sinh bit
cách phân tích, t ó a ra c mt luc thc hin thích hp.
Thi du 2. Tìm các h s À, b, c sao cko hàm s f(x) =
x:’ + ax2 + bx + c í cc tr bang 0 ti im X = -2 và
th ca hàm s i qua im A(l; 0).
JS Gii o hàm f(x) = 3x2 + 2ax + b và f ’(x) = 6x + 2a.
hàm s t cc.tr bng 0 ti im X - -2 và th ca hàm s i qua
im A(l; 0) iu kin là: f(-2) = 0 8 + 4a-2 b + c = 0
oI I 12 -4a + b = 0 ì ^
<=> <
f"(-2)*0 12 +2a 0
> - h
I I o 1 + a + b + C= 0
Vy, vi a = 3, b = 0 và c = -4 tha mãn iu kin u bài.
^ Nhn xét. Qua thí d trên các em hc sinh ã bit hai cách
trình bày dng toán "Tìm iu kin hàm s c cc tr ti im Xo"
da trên quy tc 2 .
Thí d 3. Tìm m cc hàm s sau có cc tr :
a. y = - x 3 -m x2 +(2m2-3m + 2 )x + 8 .
b. y = sinx - mx.
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
38/488
Jz*i Gii a. Ta ln lt có:
a Tp xác nh D = M. o hàm:
y' = X2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2, y’ = 0 X2 - 2mx + 2m2 - 3m + 2 =
0.
Hàm s có cc tr khi phng trình y’ = 0 có nghim và du qua nghim
o >Q<=> m - 2m + 3m - 2 > 0 <=>nr -3 m + 2
< 0 < » l < Vy, vi 1 < m < 2 tha mãn iu kin u
bài.
b. Ta ln lt có: Tp xac nh D = R . 8 o hàm:
y' - cosx - m, y" = -sínx. y' = 0 <=>cosx -m
= 0 « cosx = m.
Hàm s có cc tr khi h sau có nghiêm:
!y'(x) = 0 Í H - * _ M á l ^ íìm - l _ , I
O ' m < 1 . <=> <£> 1 ; <=> -1
'
y”(x) 0 [-sinx^O [x*k 7t lm*±l
Vy, vi |m| < 1 tha mãn iu kin u bài.
^ Nhn xét: Qua thí d trên các em hòc sinh ã bit hai
cách trình
dng toán "Tìm iu kin hàm s có cc tr "da ên quy tc tng ng. Và
ây, các em cn nh rng quy t thng ch c s dng; khi gp khó khn trong
vic du y’ hoc yêu cu c th v cc i, cc tiu ca hàm s
Thí du.4 . Tìm các h s a, b, c, d ca hàm
s f(x) = ax?+ bx2 + cx + d cho hàm s t cc tiu ti
im X = 0, f(0) =*0 và t cc ti im X = 1, f ( l ) =
1.
Gii o hàm: f (x) = 3ax2 + 2bx + c, f ’(x) = 6ax + 2b.
hàm s t cc tiu ti im X = 0, f(0) = 0 và t cc i ti im X
f(l) = 1 iu kin là:
'd = 0
f(0) = 0 và f(l) = 1 f ’(0) = 0 và f(l) 0
<=>
f"(0)>0 và f ’(l) < 0
a + b + c + d = l c =0
3a+2b + c = 0
a = - 2 b = 3
c = d = 0
Vy, vói a = -2, b = 3 và c = d = 0 tha man iu kin u bài.
36
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
39/488
Thí d 5. Cho hàm s f(x) = x? + px + q. a. Vi iu kin nào
hàm s có mt cc i v mt cc tiu ? b. Chng minh rng nu
giá tr cc i và giá tr cc tiu trái
du thì phng rình:
x5 + px + q = 0 (1) có ba nghim phân bit.
c. Chng minh rng iu kin cn và phng trình ( 1 )
có
ba nghim phân bit là 4p3 - 27q2 > 0.
Gii
a. Min xác nh D = R . o hàm:
f (x) = 3x2 + p, f (x) = 0 <=>3x2 + p = 0. (*) hàm s có mt cc
i và mt cc tiu iu kin là:
Phng trình (*) có hai nghim phán bit <=>p < 0. Vy, vi p
< 0 tha mãn iu kin u bài.
b. Vi hàm s trên (liên tc trên R ), ta có ngay nhn xét Xeo
< XCT. Khi ó:
f(Xco) > 0 và f(xCT) < 0
lim f(x) = - 00, vy tn ti Cj < XC f(C|) < 0,
lim f(x) = + co, vy tn ti C2 > XCT f(02) > 0, suy
ra:
f(c,)-f(xCD) < 0; fCXco^Xcr) < 0; f(xCT).f(c2) < 0.
Vy phng trình (1) luôn có có ba nghim phn bit.
c. Ta. có;íCXcdKCxct) < 0 <» ( xJ + pxce + q)( Xct +
p Xc + q) < 0
<» (3 + 3pxC+ 3q)(3 Xct + 3pxCT+ 3q) < 0
<=> [(3 + p)xC+ 2pXce + 3q][(3 + p)xCT+ 2pXCT + 3qj <
0
(2px£j) + 3q)(2pxCT + 3q) < 0 <=>4p2xC.xCT+ óqCXc+ Xct) +
9q2 < 0 c pì
•Cí>4p2 3 J + 9q2 < 0 <>4p?- 27q2 >
0.
^ Chú ý\ 1. Các em hc sinh cn ghi nhn phát biu ca câu b) nh
mt phng pháp tìm iu kin ca tham s sao cho phng trình bc
ba có ba nghim phân bit.
2. Qua các thí 2, 3 ,4 chúng ta bc u làm quen vi vic tìm cc
tr ca hàm a tc bc ba (là dng hàm s c bn ca chng trình toán
THPT). Thí tip theo s minh ho cách thc hin khi bài toán ghép
thêm tính cht K cho các im cc ca dng hàm s này.
37
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
40/488
Thrdy . Cho hàm s: y = x?- 3mx2+ 4m \
Xác nh m các im cc i và cc tiu ca th hàm s i
xng nhau qua ng thng y = X.
Gii Mifl xác nh D = R.
o hàm:y’= 3x2 - 6mx, y’= 0 <=>3x2 - 6mx - 0 o f(x) = X2 - 2mx
= 0 (1)
X, = 0
x2—2m
Trc ht, hàm s có cc i và cc tiu <=> (1) có hai nghim
phàn bit <=> m 5* 0.
Khi ó, ta các im cc tr là Á(0,4m3) và B(2m, 0). các im cc i và cc
tiu ca th hàms ì xng vi nhau qua
ng thng (d): y = Xiu kin là:
jA B(d) ÍÃ Blã^ Í2m-4m 3 =0
trung im I ca ABthuc(d) |I(m;2m3)e () [m -2m3=0
m*0 ] <=> m = ± -U .
J2
Vy, vi m = ±-7=- tho mãn iu kin u bài. V2 -
^ Chú ý: Trong trng hp nghim phng trình (1) cha cn thc, ta
nên chn phng pháp sau: Min xác nh D = R . o hàm:
y' = 3x2- 6mx, y' = 0 <=>3x2- 6mx = 0 f(x) = X2- 2mx = 0
(1)
Hàm s có cc i, cc tiu khi ( 1 ) có hai nghim phn bit, tc: À*
= 36m2> 0 <=>m 0.
Khi ó, hoành các im cc i, cc tiu tho
mãn: xA+xB= 2m
xAxB=0
Thc hin phép chia a thc y cho y’(thc cht chia cho f(x)), ta
c: y = (x2- 2mx)(x - m) - 2m2x + 4m \
nen nu M(Xo{ yt)) là im cc tr ca hàm s thì: y„ =- 2 m \
+ 4m' => A(xa;-2mhLA + 4m3) và B(xb; + 4m3).
38
I.
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
41/488
Gi I là trung im ca AB, ta có: X , + x
X, = — A = m. => y, = -2m2X; + 4m?= 2m?=> I(m; 2m3).
I
các m cc i và cc tiu ca th hàm s i xng vi nhau qua ng thng
(d): y = Xiu kin là: ^
Í A B - L ( d ) _
[ t rung i ém I -ca A B t ì iu c (d)
Thí du 7* Cho hàm s: y = m x 2 + 3 m x + 2 m + 1
~ \ Xác nh các giá r ca tham s m hàm s c cc i, cc
tiu và hai im ó nm v hai phía i vi trc Ox.
Gii Min xác nh D = R\{ 1}. o hàm:
m x 2 - 2 m x - 5 m - l
y -(x-1)2 Hàm s có cc tr
, y’= 0 mx2 - 2mx - 5m - 1 = 0. (1)
m *0 m * 0
m>0
1 m < — -
6
(2)
Ti ây chúng ta có th la chn mt trong hai cách trình bày sau: Cách
: Vi iu kiên (2) phng trình () có hai nghim phân bit Xj, x2
tho mãn:
’x1+x2=2 5m + l-
x , . x , m
( m x 2 + 3m x + 2 m + l ) ’ T a c ó : y (X j) - -----------
-------T----------—(X j) = 2mxl + 3 m , y ( x 2) = 2 m
x 2 + 3 m .
( x - 1 ) '
Hai im cc i, cc tiu nm v hai phía ôi vi trc Ox
<=>y(x,)y(x2) < 0 - » ( 2mXj + 3m)( 2mx2 + 3m) <
0 <=> m 2[4 x 1.x2 + 6( x ( + x2) + 9 < 0 <=>
m 2 - 4m < 0 0 < m < 4 . (3)
Kt hp (2) và (3) ta c 0 < m < 4. Vy, vói 0 < m < 4 tho
mãn iu kin u bài.
Cách 2: {Sng th): Hai im cc i, cc tiu nm v hai phía ôx vói trc
Ox <=> y = 0 vô nghim <=> mx2 + 3m x + 2m + 1 = 0
vò nghim (:i:) <=>Ã<0 <=>9m2- 4m(2m + 1) < 0
<=> m2 - 4m < 0 <=> 0 < m < 4 .
(31)
Kt hp (2) và (3’) ta c 0 < m < 4. Vy, vi 0 < m < 4 tho
mãn iu kin u bài.
39
WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QU
WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQU
B
I
ng góp PDF bi GV. Nguyn Thanh Tú
8/21/2019 BÀI GING TRNG TÂM CHNG TRÌNH CHUN TOÁN 12 - LÊ HNG
C
http://slidepdf.com/reader/full/bai-giang-trong-tam-chuong-trinh-chuan-toan-12-le-hong-duc
42/488
^ Chú ý. Thc t, phng trình (*) vô nghim ta cn xét hai trng
hp: Trng k p l. V im = 0 Trng hp 2. Vi m * 0, khi ó
(*) v ô nghim khi:
A<0
ÍA = 0
.1 2a Tuy nhiên, vi bài toán trên ta ch cn A < 0 vì t (2)
d thy:
^ Ch ý: Thí d tip theo, chúng ta s quan tâm ti tính cht cc tr
c hàm trùng phcmg.
Thí d 8. Cho hàm s', y = X4- 2mx2 + 2m. Xác nh m
hàm s có các im cc i, cc tiu:
a. Lp thành mt tam giác u. b. Lp thành mt am giác
vuông . c. Lp thành mt tam giác có dintích
bng 16*
J$ Gii Ta ln lt có: 8 Min xác nh D = R . " ?o hàm: y' =
4x* - 4mx = 4x(x2 - m), y’= 0 x(x2 - m) = 0. ( 1) Hàm s
có cc i, cc tiu khi:
(1) có ba nghim phân bit m > G (*)
Khi ó, (1) có ba nghim phân bit X= 0, X= ±-Jm và ta ba im cc
tri A(0; 2m), B(-Vm ; -m 2 + 2m), C( ^/m ; -m 2 +
2m)
a. Ta có AABC u khi:
|AB = AC(ld) o 2 = 2 5 +
(*) , rr o m - 3ffl = 0 o m - 3 = 0 C$m = yj3.
Vy, vi m = 3/3 tho mãn iu kin u bài. b. Do tính ôì xn