1 Chứng minh định lý Cholesky và áp dụng

Bài tập lớn PHƯƠNG PHÁP TÍNH:

Chứng minh định lý Cholesky về phân tích ma trận và áp dụng

Nhóm tác giả

Nguyễn Tấn Thông – 50902652

Nguyễn Văn Tính - 50902419

2 Chứng minh định lý Cholesky và áp dụng

Phát biểu định lý:

Bổ đề 1:

Cho ma trận

, trong đó ma trận A11 không suy biến.

Chứng minh:

Chứng minh bổ đề 1:

Ta có:

Chứng minh định lý Cholesky: Chứng minh bằng qui nạp:

Bước cơ sở:

Với ma trận đối xứng, xác định dương kích thước .

Ta có phép phân tích

Bước giả định:

Giả sử định lý đúng với ma trận đối xứng, xác định dương kích thước

Bước chứng minh qui nạp:

Chứng minh định lý vẫn đúng với ma trận A đối xứng, xác định dương kích thước

Ma trận A có dạng:

, với B là ma trận kích thước , b là ma trận kích thước .

B là ma trận con của A, do đó B đối xứng và xác định dương, vậy tồn tại ma trận tam giác dưới Gk-1 kích

thước với các phần tử trên đường chéo dương sao cho .

Cho ma trận A đối xứng và xác định dương, tồn tại ma trận tam giác

dưới L với các phần tử trên đường chéo dương, sao cho

3 Chứng minh định lý Cholesky và áp dụng

Định nghĩa mà trận G kích thước có dạng:

Ta cần xác định vec-tơ cột c kích thước và số thực sao cho

Do có các phần tử trên đường chéo dương nên không suy biến. Do đó tồn tại thỏa

(1).

Theo bổ đề 1:

Do nên

Vì vậy tồn tại thỏa (2)

Tồn tại vec-tơ c và sao cho

Kết luận: Định lý Cholesky đúng với mọi ma trận đối xứng, xác định dương.

Áp dụng