Chöông 1 Chöông 1 Chöông 1 Chöông 1 KHAÙI NIEÄM VEÀ KHAÙI NIEÄM VEÀ KHAÙI NIEÄM VEÀ KHAÙI NIEÄM VEÀ SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG SOÁ GAÀN ÑUÙNG

VAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁ

Trong caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng chuùng ta khoâng theå xaùc ñònh ñöôïc giaù trò chính xaùc cuûa 1 ñaïi löôïng

I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :

ñöôïc giaù trò chính xaùc cuûa 1 ñaïi löôïng maø chæ laøm vieäc vôùi giaù trò gaàn ñuùng cuûa noù. Ñoä sai leäch giöõa giaù trò gaàn ñuùng vaø giaù trò chính xaùc goïi laø sai soá.

Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :

� Sai soá giaû thieátSai soá giaû thieátSai soá giaû thieátSai soá giaû thieát

� Sai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàu� Sai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàu

� Sai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùp

� Sai soá tính toaùn Sai soá tính toaùn Sai soá tính toaùn Sai soá tính toaùn

Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát : Caùc giaû thieát duøng ñeå moâ hình Caùc giaû thieát duøng ñeå moâ hình Caùc giaû thieát duøng ñeå moâ hình Caùc giaû thieát duøng ñeå moâ hình hoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieát hoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieát hoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieát hoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieát naøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soá naøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soá naøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soá naøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soá naøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieát

Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu : Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu : Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu Caùc soá lieäu ban ñaàu duøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng qua duøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng qua duøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng qua duøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng qua ño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäc ño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäc ño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäc ño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäc vaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïc vaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïc vaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïc vaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïc chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.

Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp : Caùc phöông phaùp duøng Caùc phöông phaùp duøng Caùc phöông phaùp duøng Caùc phöông phaùp duøng ñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùc ñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùc ñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùc ñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùc phöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãi phöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãi phöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãi phöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãi phöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, sai phöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, sai phöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, sai phöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, sai soá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùp

Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn : Tính toaùn baèng maùy tính Tính toaùn baèng maùy tính Tính toaùn baèng maùy tính Tính toaùn baèng maùy tính thöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soá thöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soá thöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soá thöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soá hoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõy hoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõy hoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõy hoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõy trong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tính trong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tính trong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tính trong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tính toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.

IIIIIIII.... CAÙCHCAÙCHCAÙCHCAÙCH BIEÅUBIEÅUBIEÅUBIEÅU DIEÃNDIEÃNDIEÃNDIEÃN SAISAISAISAI SOÁSOÁSOÁSOÁ ::::

Goïi A laø soá chính xaùc cuûa baøi toaùn

Soá a goïi laø soá gaàn ñuùng cuûa A neáu noù xaáp xæ A

kyù hieäu a ≈ Akyù hieäu a ≈ A

Ñaïi löông ∆ = | a – A | goïi laø sai soá thöïc söï cuûa soá gaàn ñuùng a

1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái

Trong thöïc teá do khoâng tính ñöôïc A, ta tìm 1 soá döông ∆a caøng beù caøng toát thoaû

| a | a | a | a –––– A | A | A | A | ≤ ∆∆∆∆aaaa

∆a goïi laø saisaisaisai soásoásoásoá tuyeättuyeättuyeättuyeät ñoáiñoáiñoáiñoái cuûa soá gaàn ñuùng aKyù hieäu A = a ±∆a

2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :

Sai soá töông ñoái cuûa soá gaàn ñuùng a laø soádöông δa tính theo coâng thöùc

δδδδaaaa = = = = ∆∆∆∆aaaa / |a|/ |a|/ |a|/ |a|

Ví dụ :Giaû söû A = π; a = 3.14 laø soá gaàn ñuùng cuûa πXaùc ñònh sai soá

• Giaûi• Ta coù • π =

3.14159265358979323846264338327…• ⇒ 3.14 –0.01 < π < 3.14 + 0.01 • ⇒ | 3.14 - π | < 0.01 δ = 0.3185%• ⇒ | 3.14 - π | < 0.01• ⇒ ∆a = 0.01

Maëc khaùc 3.14–0.002 < π < 3.14+0.002

⇒ ∆a = 0.002

δa = 0.3185%

δa = 0.0637%

Do ñoù cuøng 1 giaù trò gaàn ñuùng coù theå coù nhieàu sai soá tuyeät ñoái khaùc nhau, trong ví duï naøy, sai soá 0.002 laø toát hôn

Ví duï :Ví duï :Ví duï :Ví duï : Cho a = 1.85 vôùi sai soá töông ñoái laø 0.12%, tính sai soá tuyeät ñoáiVí duï :Ví duï :Ví duï :Ví duï : Cho a = 1.85 vôùi sai soá töông ñoái laø 0.12%, tính sai soá tuyeät ñoái

∆a = |a| * δa

= 1.85 * 0.12 /100 = 0.00222

3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :

• Cho haøm y = f (x1, x2, . . . , xn)• Moãi bieán xi coù sai soá ∆xi

Sai soá tuyeät ñoáin f∂n f∂

1

| |i

n

y Xi i

fx=

∂∆ = ∆∂∑

Sai soá töông ñoái1

| |i

n

y Xi i

fx=

∂∆ = ∆∂∑

1

(ln )| || | i

ny

y xi i

fy x

δ=

∆ ∂= = ∆∂∑

Ví dụ : Cho A = 15.00±0.002B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05

Tính sai soá tuyeät ñoái1. x = a + b 2. y = 20a – 10b + c3. z = a + bc3. z = a + bc

• Giaûi• 1. ∆x = ∆a + ∆b = 0.002 + 0.001 = 0.003• 2. ∆y = 20∆a + 10 ∆b + ∆c = 0.1• 3. ∆z = ∆a + |c| ∆b + |b| ∆c = 0.02115

Ví dụ : Dieän tích ñöôøng troøn S = πR2

vôùi π = 3.14 ± 0.002 vaø R = 5.25 ± 0.001 mTính sai soá cuûa S

Giaûi :S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625S = 3.14 x (5.25) = 86.54625sai soá tuyeät ñoái

∆S = R2 *∆π + 2πR*∆R= (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001= 0.088095

IIIIIIIIIIII.... BIEÅUBIEÅUBIEÅUBIEÅU DIEÃNDIEÃNDIEÃNDIEÃN SOÁSOÁSOÁSOÁ THAÄPTHAÄPTHAÄPTHAÄP PHAÂNPHAÂNPHAÂNPHAÂN

Soá thaäp phaân a ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïnga = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-n

= ∑ak10k= ∑ak10

1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá

Laøm troøn soá laø boû 1 soá caùc chöõ soá leû beân phaûi ñeå ñöôïc 1 soá ngaén goïn hôn vaø gaàn ñuùng vôùi a.

Giaû söû ta muoán laøm troøn ñeán chöõ soá leû thöù k (1 ≤ k ≤ n).

xeùt 2 soáa- = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-ka+ = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ...(a-k+1)

choïn soá laøm troøn laø a- hoaëc a+ theo ñieàu kieän

a- neáu |a- - a| < |a+ - a|

a+ neáu |a+ - a| < |a- - a|ã = {

Ví dVí dVí dVí dụ :::: Cho a = 456.12345678

� Laøm troøn vôùi 2 chöõ soá leûa- = 456.12 | a- - a| = 0.00345678a+ = 456.13 |a+ - a| = 0.00654322

Vaäy ã = a- = 456.12Vaäy ã = a- = 456.12� Laøm troøn vôùi 4 chöõ soá leû

a- = 456.1234 | a- - a| = 0.00005678a+ = 456.1235 |a+ - a| = 0.00004322

Vaäy ã = a+ = 456.1235

Caùch laøm troøn ñôn giaûn hôn

Neáu a-k-1 (chöõ soá sau chöõ soá leû thöù k)

< 5 : ã = a-

≥ 5 : ã = a+

� Sai soá laøm troøn Ñaët

Ta coù aAaaaAa ∆+=−+−≤− θ|||~||~|

|~| aa −=θ

Vaäy sai soá laøm troøn :

a aθ∆ = + ∆ɶ

* NX : Ta coù ∆ã ≥ ∆a. Vaäy khi laøm troøn sai soá seõ taêng leân, neân trong tính toaùn ta traùnh laøm troøn caùc pheùp toaùn trung gian, chæ laøm troøn keát quaû cuoái cuøng.

Sai soá giaûi

Ví dụ : Cho số CX A, a = 187.123456 laø soá gaàn ñuùng vôùi sai soá laø 0.0001. Goïi ã laø soá laøm troøn cuûa a vôùi 4 chöõ soá leû. Tính sai sốcuûa ã so vôùi A

Sai soá a aθ∆ = + ∆ɶ

θ = | 187.1235 – 187.123456 | = 0.000044

Vaäy = 0.000044 + 0.0001 = 0.000144a∆ɶ

Chuù yù :Chuù yù :Chuù yù :Chuù yù :Tröôøng hôïp laøm troøn trong baát ñaúng thöùc, ta duøng khaùi nieäm laøm troøn leân vaø laøm troøn xuoáng

°Laøm troøn leân : ã = a+ , aùp duïng cho caùc °Laøm troøn leân : ã = a+ , aùp duïng cho caùc soá ôû veá lôùn hôn

°Laøm troøn xuoáng : ã = a- , aùp duïng cho caùc soá ôû veá nhoû hôn

�b > 78.6789

Ví duï :

� a < 13.9236 laøm troøn leân vôùi 2 chöõ soá leû ta ñöôïc

a < 13.93

�b > 78.6789 laøm troøn xuoáng ta ñöôïc

b > 78.67

2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :

laø nhöõng chöõ soá tính töø chöõ soá khaùc 0 ñaàu tieân töø traùi sang.

Ví duï : 10.20003 coù 7 chöõ soá coù nghóa10.20003 coù 7 chöõ soá coù nghóa

001234.34 coù 6 chöõ soá coù nghóa

0.010203 coù 5 chöõ soá coù nghóa

10.20300 coù 7 chöõ soá coù nghóa

3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :

Cho a ≈ A vôùi sai soá ∆a .

Chöõ soá ak goïi laø chöõ soá ñaùng tin neáu

∆a ≤ 10k / 2∆a ≤ 10k / 2hay k ≥ log (2∆a )

Ví duï : Tìm soá chöõ soá ñaùng tin cuûa a1. a = 12.3456 vôùi ∆a = 0.00442. a = 12.3456 vôùi ∆a = 0.0062

1. Chöõ soá ak laø ñaùng tin neáu ∆ = 0.0044 ≤ ½ 10k

giaûi

∆a = 0.0044 ≤ ½ 10k

⇒ k ≥ log(0.0088) = -2.0555vaäy ta coù 4 chöõ soá ñaùng tin 1, 2, 3, 4.

2. ∆a = 0,0062 ≤ ½ 10k

⇒ k ≥ log(0.0124) = -1.9065vaäy ta coù 3 chöõ soá ñaùng tin 1, 2, 3