Bai Tap Xac Suat Thong Ke

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

Chương 1

Xác suất và công thức tính xác suất

1. Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số thỏa mãn

a) các chữ số khác nhau đôi một.

b) các chữ số khác nhau đôi một và số lập thành là một số chẵn.

c) các chữ số khác nhau đôi một và số lập thành nhỏ hơn 345.

d) chữ số 2 có mặt đúng hai lần và các chữ số khác có mặt đúng một lần.

2. Xếp 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Tin học và 5 quyển sách Anh văn lên một kệ dài. Hỏi có baonhiêu cách xếp thỏa mãn các sách cùng loại xếp cạnh nhau.

3. Có 6 bì thư và 5 tem thư (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 tem thư và dán vào 3 bì thư(mỗi bì thư chỉ dán 1 tem)?

4. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số lập thànhlà một số chẵn?

5. Từ các số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng chữ số 1 lặp lại hailần, các chữ số khác chỉ xuất hiện một lần và số lập thành là số lẻ.

6. Chọn ngẫu nhiên hai lá bài từ một cỗ bài 52 lá. Tìm các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A "hailá được chọn là một đôi cùng màu".

7. Một nhóm có 4 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm thành 4 cặp sao cho mỗi cặp là mộtnam và một nữ?

8. Tung một đồng xu ba lần. Hãy tìm các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A "có ít nhất hai mặtsấp".

9. Trong một hộp có 8 thẻ, người ta đánh số như sau: hai thẻ đánh số 11, hai thẻ đánh số 00, hai thẻđánh số 10 và hai thẻ đánh số 01. Chọn ngẫu nhiên một thẻ. Hãy tìm các biến cố sơ cấp thuận lợicho biến cố A "thẻ được chọn có chữ số đầu tiên là 1".

10. Xét phép thử tung một con súc sắc hai lần.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử trên.

b) Tìm các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A "tổng số nốt chia hết cho 3".

c) Tìm các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B "trị tuyệt đối của hiệu số nốt là một số chẵn".

Trang 1

11. Kiểm tra một lô hàng. Đặt A là biến cố "có ít nhất một sản phẩm hỏng" và B là biến cố "có từ 3 sảnphẩm hỏng trở lên". Hãy mô tả các biến cố A′, B′.

12. Xét phép thử bắn không hạn chế vào một bia cho đến khi có phát trúng thì dừng. Hãy mô tảkhông gian các biến cố sơ cấp của phép thử trên.

13. Có hai hộp bi (hộp 1 và hộp 2) chứa cả hai loại bi đỏ và bi trắng. Gọi Ai là biến cố lấy được bi đỏở hộp thứ i (i = 1, 2). Hãy mô tả các biến cố A1 + A2, A1.A2 và A1A

′2 + A′

1A2.

14. Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối, đồng chất. Tìm xác suất để

a) Tổng số nốt là 7.

b) Hiệu số chấm có giá trị tuyệt đối là 3.

c) Có ít nhất một mặt chẵn xuất hiện.

15. Một chiếc hộp đựng 6 quả cầu màu trắng, 4 quả cầu màu đỏ, 2 quả cầu màu xanh. Chọn ngẫunhiên 6 quả cầu. Tìm xác suất để trong 6 quả cầu được chọn có ít nhất một cầu trắng.

16. Một đơn vị cần tuyển 3 nhân viên. Có 8 người nộp đơn bao gồm 3 nam và 5 nữ. Tìm xác suất đểtrong những người được chọn

a) có ít nhất một nữ.

b) có ít nhất một nam.

c) có ít nhất một nam và một nữ.

17. Một đoàn tàu có 4 toa. Khi tàu vào ga, có 4 hành khách lên tàu. Giả sử việc chọn toa tàu của mỗingười là ngẫu nhiên và độc lập với nhau.

a) Tìm xác suất để toa thứ nhất có 1 người lên.

b) Tìm xác suất để toa thứ hai có 2 người lên.

18. Xếp ngẫu nhiên 5 người vào một bàn dài, trong số đó có Nam, Minh, Hoa là bạn của nhau. Tìmxác suất để

a) Nam và Hoa ngồi cạnh nhau.

b) Nam ngồi giữa Hoa và Minh.

19. Xếp ngẫu nhiên 10 người vào một hàng ngang. Tìm xác suất để Nam và Minh (hai trong số 10người kể trên) đứng cách nhau 3 người.

20. Một hộp có 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai lần, mỗi lần một bi (không trả lại vàohộp). Tìm xác suất để

a) Trong hai bi lấy được có ít nhất một bi đỏ.

b) Hai bi lấy được khác màu.

c) Hai bi lấy được cùng màu.

21. Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 phong bì có ghi sẵn họ tên, địa chỉ. Tìm xác suất để có ítnhất một lá thư được bỏ đúng phong bì của nó.

22. Trong một hộp có 6 bi đỏ, 5 bi xanh và 4 bi vàng có cùng kích thước. Rút ngẫu nhiên lần lượt từngviên bi (không trả lại) cho đến khi được viên bi đỏ thì dừng. Tìm xác suất để trong số bi được lấyra

Trang 2

a) có hai viên bi xanh và một viên bi vàng.

b) không có viên bi xanh nào.

23. Sau khi thu hoạch cam, một chủ vườn đã phân loại theo cách sau: chọn ngẫu nhiên 20 quả camtrong một sọt, nếu không có quả cam nào hỏng thì sọt cam đó được xếp loại một, nếu có một hoặchai quả cam hỏng thì sọt đó xếp loại hai và các trường hợp còn lại xếp loại ba. Giả sử tỉ lệ camhỏng là 3%. Tìm xác suất để

a) sọt cam được xếp loại một.

b) sọt cam được xếp loại hai.

c) sọt cam được xếp loại ba.

24. Trong một bài thi trắc nghiệm nhiều lựa chọn (multiple choice test) có 12 câu, mỗi câu có 4 phươngán trả lời. Giả sử người ta quy định mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1điểm. Một học sinh thực hiện chọn đáp án một cách ngẫu nhiên cho cả 12 câu. Hãy tính xác suấtđể

a) học sinh đó được điểm trung bình trở lên.

b) học sinh đó bị điểm âm.

25. Một trò chơi bao gồm việc gieo 3 con súc sắc. Người chơi thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất "2 lục".Tìm xác suất để trong 5 ván chơi người chơi thắng được 3 ván.

26. Có hai lô sản phẩm, lô 1 và lô 2 tương ứng, gồm 10 sản phẩm và 8 sản phẩm. Biết rằng trong mỗilô có 1 phế phẩm. Lấy một sản phẩm ở lô thứ nhất, bỏ vào lô thứ hai, rồi chọn một sản phẩm ở lônày đem đi kiểm tra. Tìm xác suất để sản phẩm đem đi kiểm tra là phế phẩm.

27. Một lô sản phẩm gồm hai loại do hai nhà máy sản xuất, trong đó số sản phẩm của nhà máy thứnhất sản xuất nhiều gấp 3 lần số sản phẩm của nhà máy thứ hai sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của nhàmáy thứ nhất là 0, 2 và của nhà máy thứ hai là 0, 3. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm xác suấtđể sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt.

28. Có hai hộp, hộp thứ nhất đựng 8 bi trắng và 2 bi đen, hộp thứ hai đựng 9 bi trắng và 1 bi đen. Lấyngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai rồi sau đó rút ngẫu nhiên 3 bi từ hộp thứhai. Tìm xác suất để trong 3 bi này có 2 bi trắng.

29. Một hộp có 10 phiếu, trong đó chỉ có một phiếu có thưởng. 10 người lần lượt rút, mỗi người rút 1phiếu. Hỏi rút trước hay rút sau có lợi hơn? Vì sao?

30. Một hộp đựng 15 quả bóng bàn. Người ta lấy ra 3 bóng để thi đấu. Sau đó trả lại 2 bóng vào hộp.Hôm sau người ta lại lấy ra 3 quả từ hộp này. Tìm xác suất để lần lấy bóng sau được 3 quả mới.

31. Một trạm tín hiệu chỉ phát ngẫu nhiên hai loại tín hiệu α và β với xác suất tương ứng là 0, 8 và 0, 2.

Do có nhiễu nên16

tín hiệu α bị nhiễu thành β và18

tín hiệu β bị nhiễu thành α.

a) Tìm xác suất thu được tín hiệu α.

b) Giả sử tín hiệu thu được là α. Tìm xác suất để tín hiệu thu được đúng tín hiệu lúc phát.

32. Một cửa hàng bán một loại sản phẩm trong đó có 40% là của phân xưởng A sản xuất và 60% làcủa phân xưởng B sản xuất. Tỉ lệ phế phẩm của hai phân xưởng A và B, tương ứng là 20% và 10%.

a) Mua một sản phẩm bất kì tại cửa hàng. Tìm xác suất để sản phẩm này là sản phẩm tốt.

Trang 3

b) Mua một sản phẩm bất kì tại cửa hàng. Giả sử sản phẩm này không tốt. Tìm xác suất để sảnphẩm này là của xưởng A sản xuất.

33. Có 3 xạ thủ cùng bắn vào một con mồi (mỗi người bắn một viên) với xác suất trúng lần lượt là0, 6; 0, 7; 0, 8. Biết rằng nếu trúng một viên thì xác suất để con mồi bị tiêu diệt là 0, 5, nếu trúng haiviên thì xác suất để con mồi bị tiêu diệt là 0, 8, nếu trúng ba viên thì con mồi bị tiêu diệt. Tìm xácsuất để con mồi bị tiêu diệt.

34. Có 3 thiết bị điện trong một mạch điện. Xác suất chúng bị hỏng lần lượt là 0, 3; 0, 4; 0, 4. Tìm xácsuất để mạch bị hỏng nếu

a) mạch mắc song song.

b) mạch mắc nối tiếp.

Giả sử rằng nếu mạch mắc song song thì nó chỉ hỏng khi cả ba thiết bị đều hỏng, còn nếu mạchmắc nối tiếp thì nó chỉ hoạt động tốt khi cả ba thiết bị đều hoạt động tốt và các thiết bị này hoạtđộng độc lập nhau.

35. Xác suất bắn trúng đích của một xạ thủ là 0, 8.

a) Nếu bắn 3 phát. Tìm xác suất để có ít nhất một lần trúng đích.

b) Cần bắn bao nhiêu phát để xác suất có ít nhất một viên trúng đích lớn hơn 0, 99.

Trang 4

Chương 2

Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phânphối xác suất

1. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ xác suất là

f(x) =

c(8− x), nếu x = 0, 1, 2, 3, 4, 5;0, ở nơi khác.

với c là hằng số.

a) Hãy tìm hằng số c.

b) Tìm hàm phân phối xác suất của X .

c) Tính P [X ≥ 2].

d) Tìm EX .

2. Một túi gồm 5 quả bóng màu trắng và 3 quả bóng màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên một bóng (không trảlại) cho đến khi gặp bóng trắng thì dừng. Gọi X là số lần chọn bóng.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X .

b) Tính P [2 ≤ X < 5].

3. Một biến ngẫu nhiên rời rạc X có hàm mật độ xác suất là

f(x) =

k.

(12

)x

, nếu x = 1, 2, 3;

0, ở nơi khác.

trong đó k là hằng số.

a) Tìm hằng số k.

b) Tính P [X ≥ 4].

4. Cho hàm số

f(x) =

k.x−(k+1), nếu 1 < x < +∞;0, ở nơi khác.

a) Xác định hằng số k để f(x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X .

b) Tính P [X < 3].

Trang 5

5. Một xạ thủ bắn 10 lần độc lập vào một mục tiêu (mỗi lần bắn một viên đạn) với xác suất trúng là0, 85. Gọi X là số lần bắn trúng mục tiêu của xạ thủ.

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X .

b) Tìm hàm phân phối xác suất của X .

c) Tính P [2 ≤ X ≤ 6].

6. A continuous random variable X has pdf given by

f(x) =

c(1− x)x2, if 0 < x < 10, otherwise

a) Find the constant c.

b) Find EX .

Trang 6

Chương 3

Phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiênrời rạc

1. If the probabilitiy of picking a winning horse in a race is 0, 2, and if X is the number of winningpicks out of 20 races.

a) Find P [X = 4].

b) Find P [X ≤ 4].

c) Find EX and DX (or V arX).

2. An office has 10 employees, three men and seven women. The manager chooses four at randomto attend a short course on quality improvement.

a) What is the probability that an equal number of men and women are chosen?

b) What is the probability that more women are chosen?

3. Một nữ công nhân phụ trách 3 máy dệt tự động. Xác suất để các máy I, II, III cần đến sự điều chỉnhcủa chị trong 2 giờ lần lượt là 0, 1; 0, 2 và 0, 2. Gọi X là số máy cần điều chỉnh trong 2 giờ. Hãy lậpbảng phân phối xác suất của X và tính EX .

4. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm loại II và 7 sản phẩm loại I. Chọn ngẫunhiên cùng lúc 4 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số sản phẩm loại II được chọn.

a) Hãy tìm phân phối xác suất của X .

b) Tính P [X ≤ 2].

5. Bắn độc lập 10 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất trúng đích của mỗi viên là 0, 2.

a) Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy (mục tiêu chỉ bị phá hủy khi có ít nhất 8 viên đan trúngmục tiêu).

b) Gọi X là số viên đạn bị trệch mục tiêu. Tìm phân phối xác suất của X .

6. Bắn 3 viên đạn độc lập vào một mục tiêu, biết rằng xác suất trúng đích của ba viên lần lượt là0, 6; 0, 4 và 0, 5.

a) Biết rằng nếu có một viên trúng đích thì mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0, 2. Nếu từ hai viêntrúng đích trở lên thì mục tiêu chắc chắn bị phá hủy. Hãy tìm xác suất để mục tiêu bị pháhủy.

Trang 7

b) Gọi X là số viên đạn không trúng mục tiêu. Tìm bảng phân phối xác suất của X .

7. Giả sử trong một lô hàng, tỉ lệ sản phẩm tốt là 75%. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm của lô hàngđể kiểm tra.

a) Hãy tính xác suất để có 80 sản phẩm tốt trong 100 sản phẩm được chọn.

b) Hãy tính xác suất để có từ 70− 80 sản phẩm tốt từ 100 sản phẩm được chọn.

8. Một trạm được cung cấp ga 1 lần/1 tuần. Dung lượng ga bán trong một tuần của trạm là X cóhàm mật độ xác suất là (đơn vị tính: ngàn thùng)

f(x) =

5(1− x)4, nếu 0 < x < 10, những nơi khác

Hỏi cần cung cấp dung lượng ga cho trạm là bao nhiêu để xác suất hết ga trong một tuần là 0, 01.

9. Cho X, Y là lợi nhuận thu được khi đầu tư 100 triệu đồng cho hai dự án A,B và biết bảng phânphối xác suất tương ứng của chúng là

X −3 −1 0 1 2 3P 0, 1 0, 1 0, 2 0, 2 0, 3 0, 1

Y −2 −1 0 1 3P 0, 1 0, 2 0, 2 0, 2 0, 3

a) Tìm mức lợi nhuận có nhiều khả năng nhất khi đầu tư vào mỗi dự án.

b) Đầu tư vào dự án nào thì ít rủi ro hơn?

c) Cho Z = 2X + 3Y . Hãy tính EZ.

10. Nhu cầu X hàng ngày về một loại thực phẩm có bảng phân phối xác suất như sau

X (kg) 30 31 32 33 34 35P 0, 15 0, 2 0, 35 0, 15 0, 1 0, 05

Mỗi kilogram thực phẩm mua vào giá 2500 đồng và bán ra với giá 4000 đồng. Nếu bị ế thì cuốingày phải bán với giá 1500 đồng. Hỏi phải đặt mua mỗi ngày bao nhiêu kilogram thực phẩm đểcó lãi nhất.

11. Một chủ doanh nghiệp có hai cơ sở bán hàng, mỗi nơi bán một loại sản phẩm khác nhau. Khảnăng bán được một sản phẩm ở cơ sở I là 0, 3; khả năng bán được một sản phẩm ở cơ sở II là 0, 6.Sản phẩm bán tại mỗi cơ sở có 2 loại: loại thượng hạng (giá 1000$) và loại thường (giá 500$). Giảsử việc chọn 2 loại sản phẩm này là ngẫu nhiên. Hãy lập bảng phân phối xác suất của tổng số tiềnbán hàng của doanh nghiệp đó và tính kỳ vọng tổng số tiền thu được này.

12. Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 300. Giả sử có 325 thí sinh dự thi với xác suất đỗ củamỗi người là 90%. Tính xác suất để số người trúng tuyển nhiều hơn chỉ tiêu.

13. The number of calls that arrive at a switch board during one hour is Poisson distributed withmean λ = 10. Find the probability of occurrence during an hour of each of the following events:

a) Exactly seven calss arrive.

b) At most seven calls arrive.

14. If X has Poisson distribution and if P [X = 0] = 0, 2. Find P [X > 4].

Trang 8

Chương 4

Phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiênliên tục

1. Suppose that Z ∼ N(0; 1). Find

a) P [Z ≤ 1, 53].

b) P [Z > −0, 49].

c) P [0, 53 < Z < 2, 01].

d) P [|Z| > 1, 28].

e) Find the value a such that P [Z ≤ a] = 0, 647.

f) Find the value b such that P [|Z| < b] = 0, 95.

2. Suppose that X ∼ N(3; 0, 16). Find

a) P [X > 3].

b) P [2, 8 ≤ X ≤ 3, 1].

c) Find the 98th percentile of X .

d) Find the value c such that P [3− c < X < 3 + c] = 0, 90.

3. Suppose that X ∼ N(10; 16). Find

a) P [X ≤ 14].

b) P [4 ≤ X ≤ 18].

c) P [2X − 10 ≤ 18].

d) Find the 95th percentile of X .

4. Assume the amount of light X (in lumens) produced by a certain type of light bulb is normalydistributed with mean µ = 350 and variance σ2 = 400.

a) Find P [325 < X < 363].

b) Find the value c such that the amount of light produced by 90% of the light bulbs will exceedc lumens.

5. Một doanh nghiệp cần mua một loại trục máy có đường kính từ 1, 18cm đến 1, 22cm. Có 2 nhàmáy sản xuất loại trục máy này và đường kính của các trục máy được sản xuất là một biến ngẫunhiên có phân phối chuẩn với các số đặc trưng cho bởi bảng sau

Trang 9

Đường kính trung bình Độ lệch chuẩn Giá bánNhà máy 1 1, 2 0,1 3 triệu/hộp/100 chiếcNhà máy 2 1, 2 0,015 2, 7 triệu/hộp/100 chiếc

Hỏi doanh nghiệp nên mua trục máy của nhà máy nào?

Trang 10

Chương 5

Biến ngẫu nhiên hai chiều

1. Let X, Y be dicrete random variables with joint pdf f(x, y) given by the following table

YX

1 2 3

1 112

16 0

2 0 19

15

3 118

14

215

a) Find the marginal pdf’s of X and Y .

b) Are X and Y independent? Why or why not?

c) Find [P [X ≤ 2].

d) Find P [X ≤ Y ].

e) Tabulate the conditional pdf’s fX|Y .

2. Cho bảng phân phối xác suất của hai biến ngẫu nhiên X, Y như sau:

YX

10 25 40

10 3a a 2a

15 2a 2a 020 a 4a 5a

a) Xác định hằng số a.

b) Tìm hàm mật độ xác suất có điều kiện fX|Y và fY |X .

3. Điều tra thu nhập hàng năm (đơn vị: triệu đồng) của các cặp vợ chồng đang làm việc với X là thunhập của chồng và Y là thu nhập của vợ, người ta thu được kết quả sau

YX

10 20 30 40

10 0, 2 0, 04 0, 01 020 0, 1 0, 36 0, 09 030 0 0, 05 0, 1 040 0 0 0 0, 05

Trang 11

a) Tìm phân phối lề thu nhập của vợ, của chồng và thu nhập trung bình hằng năm của vợ, củachồng.

b) Tìm hệ số tương quan ρX,Y từ đó cho kết luận về sự phụ thuộc về thu nhập của vợ và chồng.

4. Một người cân nhắc giữa đầu tư vào cổ phiếu S hay trái phiếu T (lãi suất tính bằng %). Người tathu thập được bảng số liệu sau về hai loại này (đơn vị tính: trăm triệu đồng)

ST

−10 0 10 20

6 0 0 0, 1 0, 18 0 0, 1 0, 3 0, 210 0, 1 0, 1 0 0

a) Nếu đầu tư toàn bộ tiền vào cổ phiếu S thì lãi suất kỳ vọng và độ lệch chuẩn của nó là baonhiêu?

b) Câu hỏi tương tự nếu đầu tư vào trái phiếu T .

c) Nếu đầu tư cả cổ phiếu S và trái phiếu T thì cần đầu tư theo tỉ lệ nào để lãi suất đạt cực đại?

d) Nếu chọn cách đầu tư để mức độ rủi ro là thấp nhất thì cần đầu tư theo tỉ lệ nào?

Trang 12

Chương 6

Chọn mẫu và phân phối mẫu

1. Tính các đặc trưng trung bình mẫu, phương sai mẫu và phương sai mẫu hiệu chỉnh của mẫu sốliệu sau

Chiều cao X (m) 1,525 1,575 1,625 1,675Số học sinh 4 27 23 12

2. Doanh thu 51 cửa hàng của một công ty trong năm 1996 được ghi trong bảng số liệu sau (đơn vịtính: triệu đồng)

120 197 121 129 114 9588 109 147 118 148 12871 93 67 62 57 103135 97 166 83 114 66156 88 64 49 101 79120 75 113 155 48 104112 79 87 88 141 55123 152 60 83 144 8495 90 27

a) Lập bảng phân bố ghép lớp, sử dụng 8 khoảng với độ rộng 22.

b) Tính các số đặc trưng mẫu: trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu, độ lệch chuẫn mẫu hiệuchỉnh.

c) Vẽ biểu đồ cột mô tả bảng dữ liệu theo bảng phân bố ghép lớp ở câu a.

3. Tính tuổi trung bình của 228 người cho bởi bảng số liệu sau

Tuổi Tần số16-19 1019-22 1322-25 2225-28 3828-31 3531-34 3734-37 2837-40 2040-43 1843-46 7

Trang 13

Chương 7

Ước lượng tham số trung bình của tổng thể

1. Hãy tìm khoảng ước lượng cho chiều cao trung bình của Sinh viên một trường có phân phối chuẩndựa trên mẫu có kích thước n = 36, trung bình mẫu X = 167cm và độ lệch chuẩn σ = 7cm, vớiđộ tin cậy 95%.

2. Sản lượng hàng ngày của một phân xưởng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Kết quả thốngkê trong 9 ngày về sản lượng của nhà máy đó, ta thu được kết quả sau

27 26 21 28 25 30 26 23 26

Hãy xác định khoảng tin cậy 90% cho sản lượng trung bình của phân xưởng đó.

3. Cân thử 100 quả trứng ta có bộ số liệu sau

X (khối lượng-kg) 32 33 34 35 36 37 38 39 40Số quả (n) 2 3 15 28 30 8 5 5 4

Hãy ước lượng trọng lượng trung bình của các quả trứng với độ tin cậy 90%, biết rằng trọng lượngcác quả trứng có phân phối chuẩn.

4. Một trường Đại học tiến hành nghiên cứu xem trung bình mỗi tháng một Sinh viên tiêu hết baonhiêu tiền gọi điện thoại. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 59 Sinh viên được chọn và kết quả như sau(đơn vị tính: ngàn đồng)

14 18 22 30 36 28 42 79 3652 15 47 95 16 27 111 37 63127 23 31 70 27 11 30 147 7237 25 7 33 29 35 41 48 1529 73 26 15 26 31 57 40 1885 28 32 22 37 60 41 35 2620 58 33 23 35

Hãy xây dựng khoảng tin cậy 95% cho số tiền gọi trung bình hàng tháng của Sinh viên, biết rằngsố tiền gọi điện thoại hàng tháng của Sinh viên có phân phối chuẩn.

5. Để ước lượng chiều cao trung bình của thanh niên một vùng người ta tiến hành lấy mẫu gồm 16thanh niên và đo chiều cao. Kết quả thu được như sau (đơn vị tính: cm)

172 173 173 174 174 175 175 176 166166 167 165 173 171 170 171 170

Trang 14

Hãy tìm khoảng ước lượng với độ tin cậy 95% cho chiều cao trung bình của thanh niên vùng đó.

6. Để nghiên cứu tuổi thọ trung bình của một thiết bị (tính bằng tháng) người ta tiến hành điều trangẫu nhiên 15 thiết bị và thu được kết quả sau

114 78 96 137 78 103 126 86 99 114 72 104 73 86 114

Giả sử tuổi thọ thiết bị này có phân phối chuẩn.

a) Tìm ước lượng điểm cho trung bình và phương sai của tuổi thọ thiết bị trên.

b) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tuổi thọ trung bình của thiết bị.

c) Nếu muốn độ tin cậy là 95% và độ chính xác là 5 tháng thì cần điều tra thêm bao nhiêu thiếtbị nữa nữa?

7. Tỉ lệ nợ xấu của một ngân hàng là tỉ số của tổng số nợ quá hạn và tổng số nợ cho vay đang đượcthực hiện. Điều tra ngẫu nhiên 7 ngân hàng trong vùng A người ta thu được bảng số liệu sau về tỉlệ nợ xấu (tính bằng %)

7 4 6 7 5 4 9

Giả sử tỉ lệ nợ xấu có phân phối chuẩn.

a) Hãy ước lượng tỉ lệ nợ xấu trung bình của các ngân hàng trong vùng A với độ tin cậy 95%.

b) Nhân viên thanh tra phàn nàn rằng tỉ lệ nợ xấu của các ngân hàng vùng A cao hơn tỉ lệ nợ xấucủa các ngân hàng vùng B vì ở đó tỉ lệ nợ xấu chỉ có 3, 5%. Nhận xét trên có đúng không?

8. Một nghiên cứu trên 50 em bé 6 tuổi cho thấy số giờ xem tivi trung bình trong một tuần của nhómnày là 38 giờ với độ lệch chuẩn mẫu là 6, 4 giờ. Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình thời gianxem phim của nhóm trẻ 6 tuổi.

Trang 15

Chương 8

Kiểm định giả thiết thống kê về trung bìnhcủa tổng thể

1. Trọng lượng của một bao gạo là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là µ = 50kg.Nghi ngờ máy đóng bao làm việc không bình thường làm cho trọng lượng bao gạo bị giảm đi,người ta tiến hành cân thử 25 bao gạo và thu được kết quả là trọng lượng trung bình của mẫu làX = 49, 27kg, độ lệch chuẩn mẫu là s = 0, 49. Với mức ý nghĩa 1%, hãy cho kết luận về nghi ngờtrên.

2. Người ta biết rằng tuổi thọ trung bình của bóng đèn là 370 giờ và độ lệch chuẩn là 20 giờ. Với mứcý nghĩa α = 1% và nếu muốn xác suất sai lầm loại 2 là β ≤ 0, 05 và biết được tuổi thọ trung bìnhcủa bóng đèn không vượt quá 380 giờ thì cần điều tra tối thiểu bao nhiêu bóng đèn?

3. Để kiểm tra lượng nước ngọt được đóng vào loại chai 2l sản xuất tại một nhà máy, người ta kiểm tra100 chai nước ngọt loại này và tính được lượng nước ngọt trung bình đóng vào chai là X = 1, 99lvà độ lệch tiêu chuẩn mẫu s = 0, 05l. Với mức ý nghĩa 1%, hãy kiểm tra xem lượng nước ngọttrong chai có bị thiếu không?

4. Được biết nhịp mạch trung bình của nam thanh niên là 72 lần/phút. Kiểm tra 64 thanh niên làmviệc trong hầm lò người ta quan sát thấy nhịp mạch trung bình của nhóm này là 74 lần/phút vàđộ lệch chuẩn mẫu là s = 9 lần/phút. Hãy xét xem làm việc trong hầm lò có làm cho nhịp timtăng lên không? (Sử dụng mức ý nghĩa α = 0, 01.

5. Sản phẩm của một xí nghiệp đúc gang cho phép trung bình 3 khuyết tật/1 sản phẩm. Sau khi cảitiến kỹ thuật, người ta tiến hành kiểm tra 36 sản phẩm, kết quả ghi nhận được như sau

Số khuyết tật/1 sản phẩm 0 1 2 3 4 5 6Số sản phẩm 7 4 4 6 8 6 1

a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng số khuyết tật trung bình của sản phẩm do nhà máy sản xuấtsau khi cải tiến kỹ thuật.

b) Với mức ý nghĩa 5%, chúng ta có thể kết luận gì về việc cải tiến kỹ thuật?

6. Để nghiên cứu tác dụng của một loại chất kích thích sinh trưởng đối với năng suất của cây ngô,người ta ghi lại kết quả từ 5 mảnh ruộng mẫu (có dùng chất kích thích) và 5 mảnh ruộng đốichứng (không dùng chất kích thích)

Năng suất các mẫu ruộng có dùng chất kích thích 60 58 29 39 47Năng suất các mẫu ruộng không dùng chất kích thích 55 53 30 37 49

Trang 16

Hãy cho kết luận về hiệu quả của loại chất kích thíhc này, với mức ý nghĩa 5%.

7. Nghiên cứu nhu cầu của các hộ gia đình về một loại hàng hóa, người ta thu được kết quả sau

Nhu cầu (kg/tháng) <1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8Số hộ gia đình 10 35 86 132 78 31 18 10

Giả sử khu vực đó có 4000 hộ gia đình. Nếu cho rằng nhu cầu trung bình về loại hàng đó của khuvực là 168 tấn trong 1 năm thì có chấp nhận được không?

Trang 17

Chương 1

Xác suất và công thức tính xác suất

1. Gọi số thỏa mãn yêu cầu đề bài là abc (a, b, c ∈ 1, 2, 3, 4, 5).

a) Mỗi số abc được tạo thành có các chữ số khác nhau đôi một nên mỗi số này là một chỉnh hợpchập 3 của 5. Vậy số các số abc là A3

5 = 60.

b) Mỗi số abc được tạo thành có các chữ số khác nhau đôi một và là số chẵn nên mỗi số này cócách thiết lập như sau: chọn chữ số c chẵn (c có 2 cách chọn) sau đó chọn hai số a, b khácnhau và khác c. Vậy số các số abc là A2

4 × 2 = 24.

c) Mỗi số abc được tạo thành có các chữ số khác nhau đôi một và nhỏ hơn 345. Do đó a có 3 cáchchọn (là 1, hoặc 2, hoặc 3). Nếu a= 1 hoặc a= 2 thì số cách chọn b, c là A2

4. Nếu a= 3 thì bcó 3 cách chọn (là 1, hoặc 2, hoặc 4). Nếu b< 4 thì c có 3 cách chọn. Nếu b= 4 thì c có 2 cáchchọn (là 1, hoặc 2). Vậy số các số abc là 2×A2

4 + 1× 2× 3 + 1× 1× 2 = 32.

d) Mỗi số abc được tạo thành có hai chữ số 2 và chữ số thứ ba khác 2. Do đó mỗi số này có cáchthiết lập như sau: chọn hai trong ba vị trí cho hai số 2 và chọn một số từ 1, 3, 4, 5 cho vị trí

còn lại. Vậy số các số abc là 4× A23

2!= 12.

2. Mỗi cách xếp 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Tin học, 5 quyển sách Anh văn thỏa mãn yêucầu các sách cùng loại xếp cạnh nhau được thực hiện như sau: trước tiên xếp 3 nhóm sách Toán,Tin học, Anh văn (có 3! cách), sau đó hoán đổi vị trí các sách trong nhóm (có 4! cách đối với cácsách Toán, 3! cách đối với các sách Tin học, 5! cách đối với các sách Anh văn). Vậy số cách xếp là3!× 4!× 3!× 5! = 103680.

3. Chúng ta sắp xếp và đánh số các bì thư như sau ©1 ©2 ©3 ©4 ©5 ©6. Cách dán temvào bì thư được thực hiện như sau: trước tiên chúng ta chọn ra 3 tem thư từ 5 tem thư (có C3

5

cách), sau đó xếp 3 tem thư vào 3 vị trí trong 6 vị trí đã đánh số ở trên (có A36 cách). Vậy số cách

dán tem thư vào bì thư là C35 ×A3

6 = 1200.

4. Gọi số thỏa yêu cầu đề bài là abc. Nếu c= 0 thì số cách chọn các số a, b là A25. Nếu c6= 0 thì có

2 cách chọn c (là 2, hoặc là 4). Số cách chọn a là 4 và số cách chọn b là 3. Vậy số các số abc làA2

5 + 4× 3× 2 = 34.

5. Gọi số thỏa yêu cầu đề bài là abcd. Nếu d= 1 thì các số còn lại a, b, c có A35 cách chọn. Nếu d 6= 1

thì có 2 cách chọn d (là 3, hoặc là 5). Các số a, b, c được chọn theo cách sau: vì hai trong ba số a,b, c là số 1 nên số cách chọn hai số 1 này là C2

3 , số còn lại có C13 cách chọn. Vậy số các số abcd là

A35 + 2× C2

3 × C13 = 78.

Trang 18

6. Biến cố A "hai lá được chọn là một đôi cùng màu" có các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là: A1 "hailá át đen", A2 "hai lá át đỏ", A3 "hai lá 2 đen", A4 "hai lá 2 đỏ", ..., A25 "hai lá K đen", A26 "hai lá Kđỏ" (tổng cộng có 26 đôi cùng màu).

7. Các bạn nam được sắp xếp và đánh số vị trí như sau ©1 ©2 ©3 ©4. Vì mỗi cặp có một namvà một nữ nên cách sắp xếp được tiến hành như sau: xếp mỗi bạn nữ vào vị trí của các bạn namđã đánh số (có 4! cách), sau đó hoán đổi vị trí của các bạn nam (có 4! cách). Vậy số cách bắt cặpnam và nữ là 4!× 4! = 576.

8. Tung một đồng xu ba lần. Các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A "có ít nhất hai mặt sấp" là:A1 = SSN, A2 = SNS, A3 = NSS, A4 = SSS.

9. Các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A " thẻ được chọn có chữ số đầu tiên là 1" là: A1 = 11,A2 = 10.

10. Xét phép thử tung một con súc sắc hai lần.

a) Không gian mẫu của phép thử trên là Ω = 11, 12, ..., 16, 21, 22, ..., 26, ..., 66.

b) Các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A "tổng số nốt chia hết cho 3" là: A1 = (1; 2),A2 = (1; 5), A3 = (2; 1), A4 = (2; 4), A5 = (3; 3), A6 = (3; 6), A7 = (4; 2),A8 = (4; 5), A9 = (5; 1), A10 = (5; 4), A11 = (6; 3), A12 = (6; 6).

c) Các biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B "trị tuyệt đối của hiệu số nốt là một số chẵn" là:A1 = (1; 1), A2 = (1; 3), A3 = (1; 5), A4 = (2; 2), A5 = (2; 4), A6 = (2; 6),A7 = (3; 1), A8 = (3; 3), A9 = (3; 6), A10 = (4; 2), A11 = (4; 4), A12 = (4; 6),A13 = (5; 1), A14 = (5; 3), A15 = (5; 5), A16 = (6; 2), A17 = (6; 4), A18 = (6; 6).

11. A là biến cố "có ít nhất một sản phẩm hỏng" và B là biến cố "có từ 3 sản phẩm hỏng trở lên". Khiđó A’ là biến cố "không có sản phẩm hỏng" và B’ là biến cố "có tối đa 2 sản phẩm hỏng",

A′ = 0, B′ = 0, 1, 2.

12. Xét phép thử bắn không hạn chế vào một bia cho đến khi trúng thì dừng. Khi đó không gian mẫucủa phép thử trên là

Ω = 1; 2; 3; ...

13. Ai(i = 1, 2) là biến cố "lấy được bi đỏ ở hộp thứ i". Khi đó A1 + A2 là biến cố "lấy được bi đỏở hộp thứ nhất hoặc hộp thứ hai", A1.A2 là biến cố "lấy được bi đỏ ở hộp thứ nhất và thứ hai",A1.A

′2 + A′

1.A2 là biến cố "hoặc chỉ lấy được bi đỏ ở hộp thứ nhất hoặc chỉ lấy được bi đỏ ở hộpthứ hai".

14. Xét phép thử tung hai con súc sắc cân đối, đồng chất và Ω là không gian mẫu. Khi đó |Ω| = 36.

a) Gọi A là biến cố "tổng số nốt của hai con súc sắc là 7". Khi đóA = (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1).

P (A) =636

=16

.

b) Gọi B là biến cố "hiệu số chấm có giá trị tuyệt đối là 3". Khi đóB = (1; 4), (2; 5), (3; 6), (4; 1), (5; 2), (6; 3).

P (B) =636

=16

.

c) Gọi C là biến cố "có ít nhất một mặt chẵn xuất hiện". Khi đó

P (C) =34

.

Trang 19

15. Gọi A là biến cố "trong 6 quả cầu được chọn có ít nhất một quả cầu trắng". Biến cố bù của A là A’"trong 6 quả cầu được chọn không có quả cầu trắng". Chọn 4 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng, có 1

cách chọn. Chọn 6 quả cầu tùy ý từ 12 quả cầu, có C612 cách chọn. Vậy P (A′) =

1C6

12

=1

924. Suy ra

P (A) = 1− P (A′) =923924

.

16. Gọi A là biến cố "có ít nhất một nam", B là biến cố "có ít nhất một nữ", C là biến cố "có ít nhất mộtnam và một nữ".

a) P (A) =5556

.

b) P (B) =528

.

c) P (C) =4556

.

17. Giả sử các toa được đánh số như sơ đồ sau ©1 ©2 ©3 ©4. Vì việc chọn toa là ngẫu nhiên nênmỗi người (trong nhóm 4 người) có 4 cách chọn toa, do đó số cách chọn toa của 4 người là 44.

a) Gọi A là biến cố "toa thứ nhất có một người lên". Biến cố A có thể thực hiện như sau: trướctiên chọn một người (trong số 4 người) lên toa thứ nhất, có C1

4 cách; sau đó 3 người còn lại,mỗi người chọn một trong ba toa 2, 3, 4, có 33 cách. Suy ra

P (A) =C1

4 × 33

44=

2764

.

b) Gọi B là biến cố "toa thứ hai có 2 người lên. Biến cố B có thể thực hiện như sau: trước tiên chọnhai người (trong số 4 người) lên toa thứ hai, có C2

4 cách; sau đó 2 người còn lại, mỗi ngườichọn một trong ba toa 1, 3, 4, có 32 cách. Suy ra

P (A) =C2

4 × 32

44=

27128

.

18. Các chỗ ngồi được mô tả bằng sơ đồ sau ©1 ©2 ©3 ©4 ©5.

a) Vì Nam và Hoa ngồi cạnh nhau nên chúng ta xếp Nam và Hoa ngồi trước (Nam ngồi cạnhHoa có 4 × 2! cách), sau đó xếp 3 bạn khác vào các ghế còn lại (có 3! cách). Số cách xếp chỗthỏa mãn đề bài là 4 × 2! × 3! = 48. Vậy xác suất của biến cố A "Nam ngồi cạnh Hoa" là

P (A) =485!

=25

.

b) Gọi B là biến cố "ba bạn Nam, Hoa, Minh ngồi cạnh nhau và Nam ngồi giữa Hoa và Minh".Khi đó cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn yêu cầu trên được thực hiện như sau: trước tiên xếp3 bạn Nam, Hoa, Minh ngồi cạnh nhau và Nam ngồi giữa Hoa và Minh (có 3× 2! cách − chỉđổi chỗ Hoa và Minh trong nhóm 3 bạn); sau đó xếp 2 bạn khác vào các ghế còn lại (có 2!

cách). Số cách xếp chỗ thỏa mãn đề bài là 3× 2!× 2! = 12. Vậy P (B) =125!

=110

.

19. Chúng ta đánh số các vị trí như sau ©1 ©2 ©3 ©4 ©5 ©6 ©7 ©8 ©9 ©10. Việc sắp xếpthỏa mãn yêu cầu đề bài được thực hiện như sau: trước tiên sắp vị trí cho bạn Nam trước rồi sauđó xếp bạn Minh phía sau Nam và cách Nam 3 người; với cách xếp này Nam có thể ở các vị trí1, 2, 3, 4, 5, 6 (có 6 cách). Nam và Minh có thể đổi chỗ cho nhau, số cách đổi chỗ của Nam và Minhlà 2! cách. Tiếp theo chúng ta xếp 8 người còn lại vào các vị trí (có 8! cách). Vậy số cách sắp xếpthỏa mãn yêu cầu đề bài là 6× 2!× 8!. Xác suất của biến cố A "Nam và Minh cách nhau 3 người"

là P (A) =6× 2!× 8!

10!=

215

.

Trang 20

20. a) Gọi A là biến cố "trong hai bi lấy được, có ít nhất một bi đỏ". Biến cố bù của A là A’ "khôngcó bi đỏ trong hai bi lấy được". Gọi A′

1, A′2 theo thứ tự là biến cố "lấy được bi xanh ở lần thứ

nhất" và "lấy được bi xanh ở lần thứ hai". Khi đó A′ = A′1.A

′2 và P (A′) = P (A′

1).P (A′2|A′

1) =710× 6

9=

715

. Suy ra P (A) = 1− P (A′) =815

.

b) Gọi B là biến cố "hai bi lấy được khác màu nhau". Biến cố bù của B là B’ "hai bi lấy được cùngmàu". Biến cố B’ là hợp của hai biến cố C "hai bi lấy được đều màu đỏ" và A’ "hai bi lấyđược đều màu xanh". Hai biến cố trên là hai biến cố xung khắc. Gọi B′

1, B′2 theo thứ tự là

biến cố "lấy được bi đỏ ở lần thứ nhất" và "lấy được bi đỏ ở lần thứ hai". Khi đó C = B′1.B

′2

và P (C) = P (B′1).P (B′

2|B′1) =

310× 2

9=

115

. Suy ra P (B′) = P (A′) + P (C) =815

và

P (B) = 1− P (B′) =715

.

c) P (B′) = P (A′) + P (C) =815

.

21. Gọi Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố "thư i bỏ đúng phong bì" và A là biến cố "có ít nhất một thư bỏđúng phong bì". Khi đó A = A1 ∪A2 ∪A3 ∪A4. Áp dụng công thức cộng xác suất, ta có

P (A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) + P (A4)− P (A1A2)− P (A1A3)− P (A1A4)− P (A2A3)− P (A2A4)− P (A3A4) + P (A1A2A3) + P (A1A2A4) + P (A2A3A4)− P (A1A2A3A4).

Trong đó

P (A1) = P (A2) = P (A3) = P (A4) =1× 3!

4!=

14,

P (A1A2) = P (A1A3) = P (A1A4) = P (A2A3) = P (A2A4) = P (A3A4) =2!4!

=112

,

P (A1A2A3) = P (A1A2A4 = P (A2A3A4) =14!

=124

,

P (A1A2A3A4) =124

.

Vậy P (A) =1524

.

22. Sinh viên tự giải.

23. Tỉ lệ cam tốt là p = 1− 0, 03 = 0, 97.

a) Xác suất để sọt cam xếp loại I là p20 = 0, 54338.

b) Xác suất để sọt cam xếp loại II là C120.(1− p).p19 + C2

20.(1− p)2.p18 = 0, 4352.

c) Xác suất để sọt cam xếp loại III là 0, 021.

24. Gọi x là số câu trả lời đúng và y là số câu trả lời sai. Tổng số điểm của người đó khi thực hiện xong12 câu trắc nghiệm là 4x− y.

a) Gọi A là biến cố "người đó đạt điểm trung bình trở lên". Khi đó 4x − y ≥ 24. Như vậy người

đó phải trả lời đúng tối thiểu là 8 câu. Xác suất trả lời đúng một câu là p =14

. Gọi Ai

(i = 8, 9, 10, 11, 12) là biến cố "người đó trả lời đúng i câu". Vậy

P (A) =12∑i=8

Ci12.p

i(1− p)12−i = 0, 002.

Trang 21

b) Gọi B là biến cố "người đó bị điểm âm". Theo lý luận ở trên, người đó chỉ có thể đúng tối đa 2câu. Vậy

P (B) =2∑

i=0

Ci12.p

i(1− p)12−i = 0, 391

25. Xác suất thắng trong một ván của người đó là p = C23 .

162

.56

+163

=227

(tương ứng với 2 trườnghợp có đúng hai mặt lục và có 3 mặt lục).

Xác suất để người đó chơi 5 ván và thắng 3 ván là

P = C35 .p3.(1− p)2 = 0, 00002.

26. Gọi B1, B2 tương ứng là biến cố "lấy được phế phẩm ở lô thứ nhất" và "không lấy được phế phẩmở lô thứ nhất" và A là biến cố "lấy được phế phẩm ở lần thứ hai". Ta có B1, B2 là hệ đầy đủ.

P (A) = P (B1)P (A|B1) + P (B2)P (A|B2) =110× 2

9+

910× 1

9=

1190

.

27. Gọi Bi(i = 1, 2) là biến cố "chọn nhà máy i" và A là biến cố "chọn được sản phẩm tốt". Ta có B1, B2

là hệ đầy đủ.

P (A) = P (B1).P (A|B1) + P (B2).P (A|B2) =34× (1− 0, 2) +

14× (1− 0, 3) =

3140

.

28. Khi chọn ngẫu nhiên 2 bi của hộp I, có 3 khả năng xảy ra: A1 "hai bi được chọn là bi trắng", A2

"hai bi được chọn là bi đen", A3 "hai bi được chọn có một trắng và một đen". Ba biến cố này là mộthệ đầy đủ. Gọi A là biến cố "trong 3 bi được chọn lần hai, có 2 bi trắng". Áp dụng công thức xácsuất đầy đủ, ta có xác suất để trong 3 bi được chọn lần hai, có 2 bi trắng là

P (A) = P (A1).P (A|A1) + P (A2).P (A|A2) + P (A3).P (A|A3)

29. Gọi Ai (i = 1, 2, ..., 10) là biến cố người thứ i trúng thưởng.

P (A1) =110

,

P (A2) = P (A1).P (A2|A1) + P (A′1).P (A2|A′

1) =110

.

Sau khi người thứ hai rút thẻ xong thì có 3 khả năng xảy ra: A1A′2, A

′1A2, A

′1A

′2. Khi đó

P (B1) = P (A1A′2) = P (A1).P (A′

2|A1)P (B2) = P (A′

1A2) = P (A′1).P (A2|A′

1)P (B3) = P (A′

1A′2) = P (A′

1).P (A′2|A′

1)

P (A3) = P (B1).P (A3|B1) + P (B2).P (A3|B2) + P (B3).P (A3|B3) =110

.

Tương tự ta có P (A4) = ... = P (A10) =110

. Như vậy rút trước hay sau đều có xác suất trúng như

nhau nên trò chơi này là công bằng.

30. P (A) =C3

12

C314

=5591

.

Trang 22

31. Gọi B1, B2 theo thứ tự là biến cố "tín hiệu phát là α" và "tín hiệu phát là β". Gọi A là biến cố "tínhiệu thu là α". Ta có B1, B2 là hệ đầy đủ.

a) Xác suất thu được tín hiệu α là

P (A) = P (B1).P (A|B1) + P (B2).P (A|B2) = 0, 8×(

1− 16

)+ 0, 2× 1

8=

83120

.

b) Xác suất để tín hiệu α thu được đúng tín hiệu lúc phát là

P (B1|A) =P (B1).P (A|B1)

P (A)=

8083

.

32. Gọi B1, B2 tương ứng là biến cố "chọn phân xưởng A" và "chọn phân xưởng B". Gọi A là biến cố"chọn được sản phẩm tốt". Ta có B1, B2 là họ đầy đủ.

a) Xác suất để sản phẩm mua được là sản phẩm tốt là

P (A) = P (B1).P (A|B1) + P (B2).P (A|B2) = 0, 4× (1− 0, 2) + 0, 6× (1− 0, 1) =4350

.

b) Xác suất để mua được phế phẩm là

P (A′) = 1− P (A) =750

.

Xác suất để phế phẩm là của phân xưởng A là

P (B1|A′) =P (B1).P (A′|B1)

P (A′)=

47.

33. Gọi Bi(i = 0, 1, 2, 3) là biến cố "con mồi bị trúng i viên đạn" và A là biến cố "con mồi bị tiêu diệt".Ta có B0, B1, B2, B3 là một họ đầy đủ.

Xác suất để con mồi bị tiêu diệt là

P (A) = P (B0).P (A|B0) + P (B1).P (A|B1) + P (B2).P (A|B2) + P (B3).P (A|B3)

Gọi Cj(j = 1, 2, 3) là biến cố "xạ thủ thứ j bắn trúng". Suy ra

P (B0) =C ′1C

′2C

′3 = 0, 024.

P (B1) =C1C′2C

′3 + C ′

1C2C′3 + C ′

1C′2C3 = 0, 188.

P (B2) =C1C2C′3 + C1C

′2C3 + C ′

1C2C3 = 0, 452.

P (B3) =C1C2C3 = 0, 336.

P (A) = 0, 7916.

34. Giả sử Ai là biến cố thiết bị thứ i bị hỏng (i = 1, 2, 3).

a) Nếu mạch mắc song song. Gọi A là biến cố "mạch bị hỏng". Khi đó A = A1.A2.A3.

P (A) = P (A1).P (A2).P (A3) =6

125.

Trang 23

b) Nếu mạch mắc nối tiếp. Gọi B là biến cố "mạch bị hỏng", B’ là biến cố "mạch hoạt động tốt".Khi đó B′ = A′

1A′2A

′3.

P (B′) = P (A′1).P (A′

2).P (A′3) =

63250

.

P (B) = 1− P (B′) =187250

.

35. Xác suất trúng mỗi lần bắn của xạ thủ là p = 0, 8.

a) Gọi A là biến cố "có ít nhất một lần trúng đích trong 3 phát bắn". Khi đó A′ là biến cố "khôngcó lần nào trúng đích trong 3 phát". Ta có

P (A′) = (1− p)3 =1

125⇒ P (A) = 1− P (A′) =

124125

.

b) Gọi số lấn bắn là n. Xác suất không có viên nào trúng là

P1 = (1− p)n = 0, 2n.

Xác suất có ít nhất một lần trúng là

P2 = 1− P1 = 1− 0, 2n

Để xác suất này lớn hơn 0, 99 thì n ≥ log0,2 0, 01 ⇒ n ≥ 3.

Trang 24

Chương 7

Ước lượng tham số trung bình của tổng thể

1. Theo đề, σ = 7 (biết phương sai), nên khoảng ước lượng cho chiều cao trung bình của Sinh viêntrường là

µ ∈(X − ε;X + ε

),

trong đó X = 167cm, ε = z1−α2

σ√n

và z1−α2

được tra từ bảng tích phân Laplace.

Với độ tin cậy γ = 95%, ta có z1−α2

= 1, 96.

2. Dựa vào bảng số liệu ta có các tham số sau:

X = 25, 78, n = 9, σn−1 = 2, 64

Vì n = 9 và σ chưa biết nên khoảng ước lượng của sản lượng hàng ngày của nhà máy là

µ ∈(X − ε;X + ε

),

trong đó ε = tn−1,ασn−1√

nvà tn−1,α được tra từ bảng Student.

Với độ tin cậy 90%, ta có tn−1,α = 1, 860.


X = 35, 74, n = 100, σn−1 = 1, 67


µ ∈(X − ε;X + ε

),

trong đó ε = z1−α2

σn−1√n

và z1−α2


Với độ tin cậy 90%, ta có z1−α2

= 1, 64.


X = 41, 12, n = 59, σn−1 = 27, 97


µ ∈(X − ε;X + ε

),

trong đó ε = z1−α2

σn−1√n

và z1−α2


Với độ tin cậy 95%, ta có z1−α2

= 1, 96.

Trang 25

5.

6.

7.

8.

Trang 26

Chương 8

Kiểm định giả thiết thống kê về trung bìnhcủa tổng thể

Trang 27

Documents

Bai Tap Xac Suat Thong Ke