Giới thiệu môn học

Môn học: XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Số tiết: 45 (LT:30; BT:10; BTL:05) Số ĐVHT: 02

Cách tính điểm:

- Kiểm tra giữa kỳ (Trắc nghiệm): 20%

- Bài tập lớn theo nhóm

( Ứng dụng thống kê trong Excel): 20%

- Thi cuối kỳ (Tự luận 90 phút): 60%

1

• Họ tên GV: Nguyễn Kiều Dung

Email: ngkieudung@hcmut.edu.vn

Tài liệu chính:

1. Bài giảng trên BKeL. 2. Giáo trình Xác suất và thống kê; tác giả Nguyễn Đình Huy, Đậu Thế Cấp;

NXBĐHQG TPHCM; 2011. 3. Bài tập Xác suất và thống kê; tác giả Nguyễn Đình Huy; NXBĐHQGTPHCM 2011.

Một số tài liệu tham khảo:

4. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học; tác giả Lý Hoàng Tú, Trần Tuấn Điệp, NXBGTVT; 2003.

5. Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán; PGS.TS. Nguyễn Cao Văn, TS.Trần Thái Ninh; NXB ĐHKTQD; 2008.

6. Xác suất thống kê; PGS.TS Tô Văn Ban; NXBGDVN; 2010.

7. Thống kê ứng dụng trong kinh tế- xã hội, tác giả Hoàng Trọng, Chu Nguyễn Mộng Ngọc; NXBLĐXH;2011.

8. Nhập môn hiện đại Xác suất và thống kê, tác giả Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng; NXBĐHSP; 2010.

2

3

PHẦN I: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

• Lý thuyết xác suất là bộ môn Toán học xác lập những quy luật tất nhiên ẩn giấu sau những hiện tượng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu một số lớn lần lặp lại cùng các hiện tượng ấy.

• Các khái niệm đầu tiên của xác suất hình thành vào giữa thế kỷ 17, gắn liền với tên tuổi của các nhà bác học Fermat, Pascal,Bernoulli,… dựa trên việc nghiên cứu các quy luật ẩn náu trong các trò chơi cờ bạc may rủi. Đến năm 1933, nhà toán học Nga A.N.Kolmogorov đã đưa ra định nghĩa xác suất dựa vào hệ tiên đề, từ đó xây dựng được cơ sở chặt chẽ của lý thuyết xác suất. Hiện nay, các phương pháp của lý thuyết xác suất được ứng dụng rộng rãi trong trong việc giải quyết các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và kinh tế - xã hội.

4

PHẦN II: THỐNG KÊ

• Thống kê toán ( còn gọi là thống kê lý thuyết) là một nhánh của toán ứng dụng, sử dụng lý thuyết và phân tích xác suất để nghiên cứu cơ sở lý thuyết của thống kê như các luật phân phối.

• Thống kê ứng dụng bao gồm:

- Thống kê mô tả được dùng để tóm tắt dữ liệu, để mô tả mẫu nghiên cứu dưới dạng số hay đồ họa. Các công cụ thường dùng nhất là trung bình cộng và độ lệch chuẩn. Các công cụ đồ họa bao gồm biểu đồ và đồ thị.

- Thống kê suy diễn được dùng để mô hình hóa các kiểu biến thiên trong dữ liệu, giải thích những biến thiên có vẻ ngẫu nhiên và rút ra kết luận về tổng thể nghiên cứu mà chúng ta thường không có điều kiện để khảo sát hết.

5

Chương 0: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TÚC

0.1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp. 0.2. Các quy tắc đếm :

– 0.2.1. Quy tắc cộng – 0.2.2. Quy tắc nhân

0.3. Giải tích tổ hợp : – Chỉnh hợp – Chỉnh hợp lặp – Hoán vị – Tổ hợp – Nhị thức Newton

0.4. Tích phân Euler - Poisson.

6

0.2.1 Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án riêng biệt

nhau,

– phương án 1 có n1 cách hoàn thành công việc,

– phương án 2 có n2 cách hoàn thành công việc,

…...……

– phương án k có nk cách hoàn thành công việc,

Khi đó có n1 + n2 + ... + nk cách thực hiện công việc.

0.2.2 Quy tắc nhân: Giả sử một công việc được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp,

– giai đoạn 1 có n1 cách thực hiện,

– giai đoạn 2 có n2 cách thực hiện ,

– .....………..

– giai đoạn k có nk cách thực hiện .

Khi đó sẽ có n1 .n2 . . . nk cách thực hiện công việc trên.

Ví dụ 1

Để đi từ nhà đến trường, An phải đi qua 1 cây cầu. Có 2 cách để An đi từ nhà đến cây cầu,

và có 3 cách để đi từ cây cầu đến trường học.

Hỏi An có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường ?

• Áp dụng Quy tắc cộng

• Áp dụng Quy tắc nhân

• Phân biệt cách sử dụng

7

8

0.3.1 Chỉnh hợp:

Chỉnh hợp chập k từ n phần tử khác nhau ( k ≤ n) là một

bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau đôi một từ n phần tử đã cho .

Số các chỉnh hợp chập k từ n phần tử :

0.3.2 Chỉnh hợp lặp :

Chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử khác nhau là một bộ

sắp thứ tự gồm k phần tử , không nhất thiết khác nhau, từ n phần tử đã cho .

Số các chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử :

!( 1)( 2)...( 1)

( )!

k

n

k so

nA n n n n k

n k

k k

nA n

9

0.3.3 Hoán vị :

Hoán vị của n phần tử khác nhau là một nhóm có thứ tự gồm đúng n phần tử đã cho.

Số các hoán vị của n phần tử :

0.3.4 Tổ hợp :

Tổ hợp chập k từ n phần tử khác nhau ( k ≤ n) là một bộ

không kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau đôi một từ n phần tử đã cho.

Số các tổ hợp chập k từ n phần tử :

• Một số công thức thường gặp :

n

n nP = A = n!

kk nn

A n!C = =

k! k!(n-k)!

0 1 k n-k k k-1 k

n n n n n n-1 n-1=1 C = n C = C C = C + CC

Ví dụ 2: Từ các số khác nhau 1,2,3,4,5.

1. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một?

2. Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số? (các chữ số có thể trùng nhau).

3. Có thể tạo được bao nhiêu tập con gồm 3 chữ số khác nhau đôi một từ 5 chữ số trên?

4. Có bao nhiêu cách xếp thứ tự

các chữ số trên?

11

0.4 Tích phân Euler-Poisson:

( Trường hợp riêng )

+ Hàm tích phân Laplace:

+ Để tìm các giá trị gần đúng của hàm tích phân Laplace, ta tra bảng Phụ lục 2, hoặc sử dụng máy tính bỏ túi Casio 570 ES.

2

2 2x

e dx

2

2

0

1( )

2

x t

x e dt

2

22 2 ; 0

x a

e dx

12

Bài tập chương 0

1. Có 7 bức tranh khác nhau và 5 cái móc trên tường, mỗi móc chỉ để treo đúng một tranh. Có bao nhiêu cách treo tranh trên tường?

2. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một ban cán sự lớp 3 người ( gồm lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ ) từ một lớp 50 sinh viên?

3. Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách để lấy ra 5 bi mà:

a) trong đó có đúng 3 bi xanh.

b) trong đó có ít nhất 3 bi xanh.

c) trong đó không màu nào có quá 2 bi.

13

4. Có 10 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?

5. a) Có bao nhiêu cách chia đều 20 sinh viên thành 4 nhóm để đi thực tập ? ( 4 nơi thực tập khác nhau).

b) Có bao nhiêu cách chia đều 20 sinh viên thành 4 nhóm để đi thực tập mà A và B đi cùng một nhóm, còn C, D đi cùng nhóm khác.

6. Có bao nhiêu cách xếp 8 hành khách lên 3 toa tàu ( giả thiết mỗi người có thể lên một toa tùy ý)?

14

§1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT

1.1 Phép thử và các loại biến cố.

1.2 Định nghĩa xác suất :

I.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất.

I.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất.

I.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất.

I.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề (tham khảo).

1.3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ.

Chương I: CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

15

1.1 Phép thử và các loại biến cố :

• Việc thực hiện một nhóm các điều kiện cơ bản để quan sát một hiện tượng nào đó gọi là thực hiện một phép thử ( trial ).

• Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ở hai lần thử bất kỳ với đầu vào và quá trình chuyển hóa giống nhau nhưng kết quả đầu ra lại có thể hoàn toàn khác nhau, không dự báo được .

• Mỗi kết cục không thể phân chia được của phép thử gọi là biến cố sơ cấp. Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp tạo thành không gian các biến cố sơ cấp, hay gọi là không gian mẫu, kí hiệu là .

• Hợp thành của các kết cục nào đó gọi là một biến cố ( hay sự kiện- event ). Như vậy mỗi biến cố chính là một tập con của không gian mẫu.

Phép thử

Các biến cố sơ cấp Ai.

i = 1,2…,6.

D là biến cố số chấm

xuất hiện chia hết cho 3

Không gian mẫu

Tung 1 con xúc xắc

Xuất hiện mặt có i chấm

A1 A2 A3

A4 A6 A5

17

Trong thực tế có thể xảy ra các loại biến cố sau:

• Biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện một phép thử gọi là biến cố chắc chắn, được kí hiệu là .

• Biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện một phép thử gọi là biến cố không thể có, được kí hiệu là .

• Biến cố có thể xảy ra hay không xảy ra khi thực hiện một phép thử cụ thể gọi là biến cố ngẫu nhiên.

Người ta thường dùng các kí hiệu là A, B, C hay A1, A2,… B1, B2, …,Bn để biểu diễn biến cố.

18

1.2 Định nghĩa xác suất:

Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử.

1.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất :

Kí hiệu P(A) là xác suất xuất hiện biến cố A khi thực hiện phép thử;

n : số kết cục duy nhất đồng khả năng xảy ra khi t.h phép thử; mA : số kết cục thuận lợi cho A khi thực hiện phép thử; thì : Các tính chất : • 0 ≤ P(A) ≤ 1 nếu A là một biến cố ngẫu nhiên . • P(Ω) = 1 P() = 0

AmP(A)=

n

19

Ví dụ 3

Tung 2 con xúc xắc cân đối, đồng chất.

Tìm xác suất của các biến cố:

a) Tổng số chấm trên 2 con xúc xắc bằng 7.

b) Có ít nhất một mặt sáu chấm xuất hiện.

20

Hướng dẫn giải:

Số trường hợp duy nhất đồng khả năng khi tung 2 con xúc xắc là n = 62. ( Dù tung 1 lần hay tung lần lượt từng con).

a) Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 7.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A có thể liệt kê là:

(1; 6) (2; 5) (3; 4)

(4; 3) (5; 2) (6; 1)

Vậy m = 6.

Theo định nghĩa thì P(A) = m/n = 1/6.

21

b) Gọi B là biến cố có ít nhất một mặt sáu chấm xuất hiện.

• Vì phép thử không thay đổi nên ta vẫn có n = 36.

• Có thể liệt kê được 10 kết quả biểu diễn đúng 1 mặt sáu chấm và 1 kết quả biểu diễn 2 mặt sáu chấm.

( 1;6) (2;6) (3;6) (4;6) (5;6) (6;6)

(6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5)

Vì vậy trường hợp này m = 11

và P(B) = 11/36.

Ví dụ 4

Một hộp có 7 bi đỏ, 3 bi vàng và 5 bi xanh. Lấy ra ngẫu nhiên 5 bi. Tìm xác suất của các biến cố sau:

a) Trong 5 bi đó có đúng 3 bi xanh.

b) Trong 5 bi đó có ít nhất 3 bi xanh ( làm theo 2 cách).

c) Có đủ 3 màu bi nếu biết rằng trong 5 bi đó có đúng 2 bi đỏ.

.

23

1.2.2 Định nghĩa thống kê về xác suất :

Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử là tỉ số giữa số phép thử trong đó biến cố A xuất hiện và tổng số phép thử được thực hiện.

Kí hiệu:

Người ta nhận thấy nếu tiến hành số lượng lớn các phép thử trong những điều kiện như nhau thì tính ổn định của tần suất khá rõ ràng .

kf(A)=

n

24

Ví dụ 5

Người ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần và đã thu được kết quả trong bảng sau:

Người gieo Số lần gieo (n) Số lần được mặt sấp (k) Tần suất (f)

Buffon 4.040 2.048 0,5069

Kerrich 10.000 5.067 0,5067

Pearson (lần 1) 12.000 6.019 0,5016

Pearson (lần 2) 24.000 12.012 0,5005

25

Qua ví dụ trên , ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt sấp sẽ dao động ngày càng ít hơn xung quanh giá trị không đổi là 0,5.

Điều đó cho phép hy vọng khi số phép thử tăng lên vô hạn, tần suất sẽ hội tụ (*) về giá trị 0,5 .

Xác suất xuất hiện biến cố A trong một phép thử là một số p không đổi mà tần suất xuất hiện biến cố đó sẽ dao động rất ít xung quanh nó khi số phép thử tăng lên vô hạn.

Như vậy: Khi n đủ lớn ta có thể coi P(A) f(A) (*): SV có thể tìm hiểu thêm trong ta2ii liệu tham khảo về sự khác nhau giữa khái niệm hội tụ

theo xác suất và khái niệm hội tụ trong môn Giải tích đã được học.

26

Ví dụ 6

Theo dõi ngẫu nhiên 10.000 bé mới sinh ở một vùng, người ta thấy có 5097 bé trai.

Số lượng bé được theo dõi là n =10.000 khá lớn nên ta có thể coi

xác suất sinh con trai ở vùng này xấp xỉ bằng:

5097/10.000 0,5097.

Tỉ lệ này cho tương ứng 100 bé gái với khoảng 104 bé trai.

27

I.2.3 Định nghĩa hình học về xác suất :

• Giả sử một phép thử có vô hạn kết cục đồng khả năng có thể biểu

diễn bởi một miền hình học G nào đó đo được,

còn tập các kết cục đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A được

biểu diễn bởi một miền hình học S nào đó đo được.

Khi đó xác suất của biến cố A được tính như sau: .

P(A) = Độ đo miền S / Độ đo miền G

• Tùy theo miền G là một đường thẳng, một miền phẳng hay khối không gian mà độ đo được xác định tương ứng là độ dài, diện tích hay là thể tích.

• Từ định nghĩa xác suất hình học, ta có thể tìm được ví dụ cho thấy một biến cố có xác suất bằng 0 vẫn có thể xảy ra, hay một biến cố có xác suất bằng 1 vẫn có thể không xảy ra.

28

Ví dụ 7

Xét phương trình bậc hai x2 + ax + b = 0,

hệ số a được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [0; 1],

còn hệ số b được lấy ngẫu nhiên trong đoạn [-1; 1] .

a) Tìm xác suất để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt.

b) Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm phân biệt, tìm xác suất để phương trình có 2 nghiệm dương .

29

Hướng dẫn giải câu a)

Phương trình có 2 nghiệm thực > 0 b <

2a

4.

Miền G trong mặt phẳng Oxy

chính là G=[0; 1]x [-1; 1].

Miền S chính là miền phẳng

trong G giới hạn bởi y < 2

4

x.

Xác suất cần tìm: 1 2

0

( 1)4 13

2 24

xdx

Dientich S

DientichG

30

1.3 Nguyên lý xác suất lớn và xác suất nhỏ :

• Nếu một biến cố có xác suất xảy ra rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

• Tương tự như vậy, nếu biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất gần 1 thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra trong một phép thử.

• Mức xác suất khá nhỏ mà từ đó ta cho rằng không xảy ra biến cố phụ thuộc vào từng bài toán thực tế, thường là dưới 5%.

§2. CÁC ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT

2.1 Quan hệ giữa các biến cố

2.2 Một số phép toán giữa các biến cố

2.3 Các định lý xác suất :

2.3.1 Công thức cộng.

2.3.2 Công thức nhân và xác suất có điều kiện.

2.3.3 Công thức xác suất toàn phần và công

thức Bayes.

2.3.4 Công thức Becnoulli.

32

2.1 Quan hệ giữa các biến cố Các khái niệm:

- Ta nói biến cố A kéo theo biến cố B và ký hiệu là A B ( hay A B), nếu biến cố A xảy ra thì biến cố B xảy ra.

(Như vậy một biến cố được gọi là biến cố sơ cấp nếu không có biến cố nào khác kéo theo nó).

- Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, ký hiệu là A = B, nếu biến cố A kéo theo biến cố B và ngược lại, tức là

- Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không thể cùng xảy ra trong một phép thử.

- Hai biến cố A và B gọi là đối lập với nhau , ký hiệu là B = Ā, nếu A xảy ra thì B không xảy ra và khi A không xảy ra thì B xảy ra.

A BA B

B A

Ví dụ 8

Tung ngẫu nhiên 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi Ai là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc

bằng i; i = 1,2,…,6. Gọi B là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là

số chẵn. Gọi C là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là

số lẻ. Gọi D là biến cố số chấm xuất hiện trên con xúc xắc

chia hết cho 3.

• Hãy sử dụng các biến cố trên để minh họa cho các khái niệm và các phép toán được định nghĩa trong bài này.

33

34

2.2 Một số phép toán giữa các biến cố - Phép cộng: Tổng của hai biến cố A và B là biến cố C , ký hiệu

là: C =A+B (hay C=AB ), xảy ra khi có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra.

- Phép nhân: Tích của hai biến cố A và B là biến cố C, ký hiệu là: C = AB ( hay C =AB), xảy ra khi cả 2 biến cố A và B cùng xảy ra.

- Phép trừ: Hiệu của biến cố A và B (theo thứ tự đó) là biến cố C, ký hiệu là: C= A\B, xảy ra khi biến cố A xảy ra và biến cố B không xảy ra.

Vì mỗi biến cố bất kỳ chính là một tập con của , nên có sự đồng nhất trong quan hệ và phép toán giữa các biến cố với quan hệ và phép toán giữa các tập hợp.

36

- Hệ n biến cố A1, A2, .. ,An được gọi là hệ biến cố đầy đủ nếu

các biến cố trong hệ xung khắc với nhau đôi một và tổng của

chúng là biến cố chắc chắn;

tức là:

Ai Aj = với i j

và A1 + A2 +…+ An = .

Hãy sử dụng các biến cố đã được định nghĩa trong Ví dụ 8 để tạo ra những hệ biến cố đầy đủ khác nhau.

37

Các tính chất :

1. A + B = B + A ; AB = BA

2. ( A+B) + C = A + ( B + C) ; (AB)C = A(BC)

3. A( B+C) = AB + AC; A + (BC) = ( A+B)( A+C)

4. A \ ( B+C) = ( A\B)( A\C); A\ (BC) = ( A\B) + ( A\C)

5. Nếu A B thì A+B = B; AB = A

6. A = A

7. A + A = ; A. A =

8. A+B+C A.B.C A.B.C A B C

Ví dụ 9 (Bài tập 1.18)

Bắn 3 phát đạn vào bia. Gọi Ai là biến cố phát đạn thứ i trúng;

i=1,2,3. Hãy biểu diễn những biến cố sau qua các biến cố Ai và các biến cố đối lập của chúng:

a) Cả 3 phát đạn đều trúng.

b) Cả 3 phát đạn đều trật.

c) Ít nhất một phát trúng.

d) Có đúng một phát trúng.

e) Ít nhất một phát trượt.

f) Không ít hơn 2 phát trúng.

g) Không quá 1 phát trúng.

h) Không trúng trước phát thứ hai.

2.3 Các định lý xác suất 2.3.1 Công thức cộng :

- Trường hợp tổng quát:

* P( A+B) = P(A) + P(B) – P( AB)

* P( A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) – P(AB) - P( AC) - P( BC) +P( ABC)

* P( A1 + A2 + …..+ An) =

- Nếu A, B xung khắc nhau thì : P( A+B) = P(A) + P(B)

- Nếu A1 ,A2 , ..An xung khắc đôi một thì:

P(A1+A2+..+An) = P(A1)+P(A2)+…+ P(An)

nn-1

i i j 1 2 n

i=1 i<j

P(A )- P(A .A )+....+(-1) P(A A ...A )

Ví dụ 10

Trong một lớp gồm 50 học sinh (HS) , người ta thấy: có 20 HS chơi bóng đá; 15 HS chơi bóng chuyền ; 10 HS chơi bóng rổ; 8

HS chơi cả bóng đá và bóng chuyền; 5 HS chơi cả bóng đá và bóng rổ; 3 HS chơi đồng thời bóng chuyền và bóng rổ; còn 1 học sinh chơi cả 3 môn trên. Lấy ngẫu nhiên một HS.

a) Tìm xác suất HS đó chơi ít nhất một môn bóng;

b) Tìm xác suất để HS đó chơi đúng 2 môn bóng.

41

2.3.2 Công thức nhân :

- ĐN: Xác suất của biến cố A với điều kiện B chính là XS của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra, ký hiệu P(A/B) hay P(A|B) .

Ví dụ 11:

Trong lớp có 20 bạn nữ và 30 bạn nam, ta thấy có 8 bạn nữ và 15

bạn nam mặc áo màu xanh. Chọn ngẫu

nhiên một bạn trong lớp. Hãy tính:

a) XS bạn được chọn là bạn nữ.

b) XS bạn đó mặc áo màu xanh.

c) XS chọn được một bạn nữ mặc áo màu xanh.

d) Biết rằng bạn đó là nữ thì xác suất bạn đó mặc áo màu xanh là bao nhiêu?

e) Nếu bạn đó mặc áo màu xanh thì khả năng bạn đã chọn được một học sinh nam là bao nhiêu?

42

Công thức tính:

khi P(B) 0

* Hãy dùng các kết quả trong Ví dụ 11 để kiểm tra lại công thức nhân ở trên.

- Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại, tức là:

- Hệ các bc A1, A2, .. ,An được gọi là độc lập toàn thể (hay độc lập tương hỗ) nếu mỗi biến cố trong hệ đều độc lập với một tích bất kỳ các biến cố còn lại. Dễ thấy A1, A2, .. ,An độc lập toàn thể thì nó cũng độc lập đôi một. Ngược lại nói chung không đúng.

P(AB)

P A / BP(B)

P A/B =P A/B =P A và P B/A =P B/A = P B

43

- Công thức nhân trong trường hợp tổng quát:

* P( AB) = P(A).P(B/A) = P(B). P(A/B)

* P( A1.A2 …An ) =

= P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1 A2)….P(An/A1 A2…An-1).

- Nếu A, B là 2 biến cố độc lập thì:

P(AB) = P(A).P(B)

- Nếu các biến cố A1, A2, .. ,An độc lập toàn thể thì:

P(A1.A2 …An ) = P(A1).P(A2)...P(An).

Ví dụ 12

Xác suất máy tự động thứ nhất sản xuất ra 1 một sản phẩm tốt là 0,9; còn xác suất máy thứ hai sản xuất ra sản phẩm tốt là 0,7. Cho mỗi máy sản xuất một sản phẩm.

Tính xác suất của các biến cố:

a) Cả hai sản phẩm thu được đều tốt.

b) Chỉ được đúng một sản phẩm tốt.

c) Được ít nhất một sản phẩm tốt (làm bằng nhiều cách).

Ví dụ 13

Gieo đồng thời ba con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập. Tính các xác suất sau:

a) Tổng số chấm xuất hiện là 10 nếu biết rằng ít nhất có một con xuất hiện mặt 3 chấm.

b) Có ít nhất một con xuất hiện mặt 1 chấm nếu biết rằng số chấm xuất hiện trên 3 con xúc xắc là khác nhau.

a) Gọi A là biến cố tổng số chấm trên 3 con xúc xắc bằng 10. B là biến cố ít nhất có 1 con xuất hiện mặt 3 chấm. Xác suất cần tìm là P(A/B)

3

3

21

P(AB) 216P(A|B)=127P(B) 127

6

3

3

60

16( )0 2

) |12

6

P Cb D

Ví dụ 14

Một hộp có 7 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh có kích thước giống

hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 viên bi từ hộp.

( Không hoàn lại bi sau mỗi lần lấy).

a) Nếu viên đầu tiên lấy ra có màu đỏ, tìm xác suất viên thứ 2 có màu xanh?

b) Tìm xác suất lấy được đúng 1 viên bi màu xanh trong 3 lần lấy bi ( làm theo 2 cách)?

c) Nếu trong 3 viên bi đó có đúng 1 viên màu xanh thì xác suất để viên xanh đó được rút ra ở lần lấy thứ 2 là bao nhiêu?

d) Xác suất lần thứ 2 lấy được bi màu xanh

là bao nhiêu?

Ví dụ 15

Ta gọi xác suất 1 linh kiện hoạt động tốt trong một khoảng

thời gian ấn định T là độ tin cậy của linh kiện ( trong khoảng thời gian ấy). Giả sử một hệ thống thiết bị gồm nhiều linh kiện ghép thành. Độ tin cậy của một hệ thống chính là xác suất để hệ thống đó hoạt động tốt trong khoảng thời gian ấn định.

Ký hiệu n là số linh kiện của hệ thống.

Ký hiệu pi là độ tin cậy của linh kiện Ai; i =1,2, …,n.

Hãy tìm độ tin cậy của từng hệ thống sau với mỗi yêu cầu đặt ra. Hãy nêu nhận xét sau khi so sánh các kết quả.

a) Trường hợp tổng quát.

b) n= 20; p=0.9

2.3.3 Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes:

Định lý : Giả sử H1, H2, .. ,Hn là hệ biến cố đầy đủ

và F là một biến cố bất kỳ .

Khi đó ta có các công thức sau:

a)

Công thức xác suất toàn phần hay CT xác suất đầy đủ.

b)

Công thức Bayes.

n

1 1 n n i i

i=1

P(F) = P(H ).P(F/H )+....+P(H ).P(F/H ) = P(H ).P(F/H )

k

n

i i

i=1

P(H F) P(H ).P(F/H )P(H /F)= = ; 1,2,...

P(F)P(H )P(F/H ) ( ( ) 0)

k kk k n

khi P F

50

Chöùng minh

a) Ta coù:

1 2 n 1 2 nF = F.Ω = F.(H +H +...+H )= FH +FH +...+FH

Vì 1 2 nFH ,FH ,...,FH ñoâi moät xung khaéc neân

P (F) = P (FH1) + P (FH2) + ... + P (FHn)

= P(H1).P(F/H1) + P(H2).P(F/H2) + ... + P(Hn).P(F/Hn)

b) Theo coâng thức nhân, ta coù:

k k kk

P(H F) P(H ).P(F/H )P(H /F)= =

P(F) P(F)

k 1, 2,…, n

51

Ví dụ 16

Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 3 phân xưởng sản xuất.

Phân xưởng 1 sản xuất 50%, phân xưởng 2 sản xuất 20%

còn phân xưởng 3 sản xuất 30% số bóng đèn của cả nhà

máy. Tỉ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 1% ;

3% và 2,5%.

a) Tìm tỉ lệ phế phẩm chung của toàn nhà máy.

b) Nếu kiểm tra ngẫu nhiên một sản phẩm từ trong kho

thành phẩm chung của nhà máy mà thấy đó là phế phẩm

thì khả năng sản phẩm đó do phân xưởng 2 sản xuất là bao

nhiêu?

Ví dụ 17 (BT 1.32)

Hộp I gồm 2 bi trắng và 8 bi đen.

Hộp II chứa 3 bi trắng và 2 bi đen.

Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 bi bỏ đi, số bi còn lại của 2 hộp dồn chung vào hộp rỗng thứ ba.

Từ hộp thứ ba lấy ngẫu nhiên một bi.

Tìm xác suất viên bi lấy ra từ hộp thứ 3 có màu trắng.

53

2.3.4 Định lý Becnoulli :

- Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập.

Trong mỗi phép thử, biến cố B xuất hiện với xác suất p

không đổi, và không xuất hiện với xác suất q = 1- p.

( Số lần biến cố B xuất hiện trong n phép thử còn được gọi là

số lần thành công, và p được gọi là xác suất thành công).

Khi đó:

a) Xác suất trong n phép thử, biến cố B xuất hiện

đúng k lần là k k n-k

nC p q

b) XS trong n phép thử, biến cố B xuất hiện từ k1

đến k2 lần là :

2

1

kk k n-k

n

k=k

C p q

54

- Giả sử ta thực hiện n phép thử độc lập. Trong

mỗi phép thử, biến cố B xuất hiện với xác suất p

không đổi.

Ta nói số nguyên, không âm k0 là số lần biến cố B

xuất hiện có khả năng nhất (hay là số lần xuất

hiện chắc nhất) nếu xác suất để biến cố B xuất

hiện đúng k0 lần là cao nhất .

Người ta chứng minh được:

np-q ≤ k0 ≤ np –q +1. ko

Ví dụ 18

Tung 5 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất.

a) Tìm xác suất có đúng 3 lần được mặt 6 chấm.

b) Tìm xác suất có từ 2 đến 4 lần được mặt 6 chấm.

c) Hãy cho biết số lần được mặt 6 chấm có khả năng nhất?

Suy ra số lần được mặt 6 chấm có khả năng nhất là 0 và 1.

Số lần được mặt 6 chấm trong 5 lần tung

Xác suất tương ứng So sánh các xác suất

0 0.40188 Max

1 0.40188 Max

2 0.16075

3 0.03215

4 0.00322

5 0.00013

Minh họa câu c) – (Cách làm này không sử dụng công thức)