Banco de Preguntas Raz Matematico

IMPLICACIONES

JEAN PIAGET CENTRO DE CAPACITACIN DOCENTE

IMPLICACIONES

El problema consiste en deducir informacin a partir de un conjunto de condiciones o restricciones. Por lo tanto, es de suma importancia comprender completamente las condiciones formuladas en el problema. Para tal fin, a continuacin se presenta una tabla con las expresiones ms usadas en este tipo de problema.

Completa la siguiente tabla:

ExpresionesRepresentacinComentarios

1Si A se cumple, entonces B tambin se cumple.

2Si A se cumple, entonces B no se cumple.

3Si B no se cumple, entonces A se cumple.

4Si B no se cumple, entonces A tampoco se cumple.

5A se cumple, si B se cumple.

6A se cumple, solo si B se cumple.

7A se cumple si y solo si B se cumple.

PRCTICA DE CLASE

Preguntas 1 a 5.

Por las maanas, Armando, Walter y Eduardo, cada uno debe realizar una tarea diferente entre hacer el desayuno, ir de compras y ordenar el dormitorio, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

-Si Armando hace el desayuno, Walter va de compras.

-Eduardo ordena el dormitorio si y solo si Armando hace el desayuno.

Representacin de la informacin:

01.Si Armando hace el desayuno, qu realiza cada uno?

ArmandoWalterEduardo

02.Si Eduardo ordena el dormitorio, qu realiza cada uno?

ArmandoWalterEduardo

03.Si Walter ordena el dormitorio, quin realiza cada tarea?.

Hacer el desayunoIr de comprasOrdenar el dormitorio

04.Si Walter hace el desayuno, quin realiza cada tarea?

Hacer el desayunoIr de comprasOrdenar el dormitorio

05.Si Eduardo va de compras, qu realiza cada uno?

Preguntas 6 a 10.

Gracia, Roco y Marita tienen el mismo modelo de vestido, y se han puesto de acuerdo para usarlo el mismo da pero bajo las siguientes condiciones:

-Cada una debe usar un color distinto entre rojo, azul y verde.

-Si Gracia no usa el rojo, Marita usa el azul.

-Roco usa el verde si y solo si Gracia usa el rojo.

06.Si Roco usa el vestido verde, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Gracia usa el vestido rojo.

II.Marita usa el vestido azul.

III.Gracia no usa el vestido rojo.

a) solo Ib) solo IIc) solo III

d) solo I y IIe) solo II y III

07.Si Gracia no usa el vestido rojo, qu vestido usan Gracia, Roco y Marita, respectivamente?

a) verde, rojo y azul

b) verde, azul y rojo

c) azul, rojo y verde

d) azul, verde y rojo

e) no se puede precisar

08.Si Roco usa el vestido rojo, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Gracia usa el vestido azul.

II.Marita usa el vestido azul.

III.Gracia usa el vestido verde.

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo III

d) Solo II y IIIe) Ninguna.

09.Si Gracia usa el vestido rojo, entonces es imposible que:

I.Roco use el vestido verde.

II.Marita use el vestido azul.

III.Marita use el vestido verde.


d) Solo I y IIe) Ninguna.

10.Qu vestido usar Marita?

a) el vestido rojo

b) el vestido azul

c) el vestido verde

d) el vestido rojo o el verde

e) no se sabe

Preguntas 11 a 15.

Maricielo, Carmen, Ismael y Sofa deben realizar un trabajo para el colegio. El trabajo consiste en hacer slidos de cartulina: un cilindro, un cubo, un cono y una pirmide. Ellos se distribuyen el trabajo teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

-Cada uno debe elaborar en cartulina un tipo de slido diferente.

-Carmen podr elaborar el cono, solo si Ismael elabora la pirmide.

-Si Sofa elabora el cubo, entonces Carmen no elaborar la pirmide.

-Maricielo no elaborar la pirmide ni el cono.

11.Si Sofa elabora el cubo, qu tipo de slido elaborarn, respectivamente, Maricielo, Carmen e Ismael?.

a) cono, cilindro y pirmide

b) cilindro, cono y pirmide

c) cilindro, pirmide y cono

d) cono, pirmide y cilindro

e) pirmide, cono y cilindro

12.Si Carmen elabora el cono, qu tipo de slido pueden elaborar Maricielo, Ismael y Sofa, respectivamente?

a) cubo, cilindro y pirmide

b) cilindro, cubo y pirmide

c) cilindro, pirmide y cubo

d) pirmide, cilindro y cubo

e) pirmide, cubo y cilindro

13.Si Carmen elabora el cubo cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Maricielo elabora el cilindro.

II.Ismael elabora la pirmide.

III.Sofa elabora el cono.


d) Solo I y IIe) Solo I y III14.Si Sofa elabora una pirmide, cules de las siguientes afirmaciones seran imposibles?

I.Maricielo elabora el cilindro.

II.Ismael elabora el cubo.

III.Carmen elabora el cono.

a) Solo I y II

b) Solo II y III

c) Solo I y III

d) Todas

e) Ninguna

15.Para determinar qu tipo de slido elaborar cada uno, basta saber qu:

I.Ismael elabora un cilindro.

II.Carmen elaborar una pirmide.

a)El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

b)El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

c)Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

d)Cada uno de los datos, por separado, es suficiente.

e)Se necesitan ms datos.

Preguntas 16 a 20.

Antonella, Jimena, Romina y Samara deciden conformar un grupo musical de cuatro instrumentos diferentes: guitarra, bajo, batera y piano. Para ello deben definir qu instrumento tocar cada una, teniendo en cuenta las siguientes condiciones:

-Cada una tocar un instrumento diferente.

-Si Antonella toca la guitarra, entonces Samara toca el bajo.

-Samara no tocar la batera.

-Jimena toca el piano si y solo si Romina toca el bajo.

16.Antonella, Jimena, Romina y Samara pueden tocar, respectivamente:

a)la guitarra, el bajo, la batera y el piano.

b)la guitarra, el piano, la batera y el bajo.

c)el piano, la batera, la guitarra y el bajo.

d)el bajo, el piano, la batera y la guitarra.

e)el piano, el bajo, la guitarra y la batera.

17.Si Romina toca el bajo, entonces es cierto que:

I.Samara tocar la guitarra.

II.Jimena tocar el piano.

III.Antonella tocar la batera.

a) solo I y IIb) solo I y III c) solo II y III

d) todase) ninguna.

18.Si Antonella toca la guitarra, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Samara toca el piano.

b) Jimena toca el piano.

c) Jimena toca el bajo.

d) Samara toca el bajo.

e) Romina toca la batera.

19.Si Jimena toca el piano, entonces es imposible que:

I.Antonella toque el bajo.

II.Samara toque la guitarra.

III.Romina toque la batera.


d) todase) ninguna

20.Para determinar qu instrumento tocar cada una, es suficiente saber que:

I.Antonella tocar la guitarra.

II.Jimena tocar el piano.






TAREA DOMICILIARIA

Preguntas 01 a 05.

Alberto, Julio, Nilton y Rodolfo han sido convocados para formar parte de la seleccin de baloncesto de su colegio. Los puestos disponibles son cuatro: defensa izquierdo, defensa derecho, alero derecho y armador. Se sabe que:

-cada uno ocupar un puesto diferente.

-si Nilton no es defensa izquierdo, entonces Julo es armador.

-Alberto podr ser alero derecho, solo si Julio es armador.

-Rodolfo no ser defensa derecho.

01.Si Alberto es alero derecho, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Rodolfo es defensa izquierdo.

II.Nilton es defensa derecho.

III.Julio es armador.


d) solo I y IIe) todas

02.Si Nilton es alero derecho, cules de las siguientes afirmaciones son imposibles?

I.Julio es armador.

II.Alberto es defensa izquierdo.

III.Rodolfo es defensa izquierdo.


d) solo I y IIe) todas

03.Si Julio es alero derecho, entonces es cierto que:

I.Alberto es defensa derecho.

II.Rodolfo es armador.

III.Nilton es defensa izquierdo.


d) solo I y IIIe) todas

04.Es imposible que Nilton ocupe el puesto de:

a) defensa izquierdo

b) alero derecho

c) armador

d) defensa derecho

e) ninguna de las anteriores

05.Para determinar qu puesto ocupar cada uno, es suficiente saber que:

I.Rodolfo ser armador.

II.Alberto ser defensa derecho.






Preguntas 06 a 10.

Luca, Mariela, Rafaela y Silvia deben participar en las siguientes pruebas: ciclismo, natacin, gimnasia y salto alto. La distribucin de las pruebas se realizar de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Cada una deber participar en una prueba diferente.

-Si Mariela participa en natacin, entonces Rafaela participa en salto alto.

-Si Rafaela participa en natacin, entonces Mariela participa en gimnasia.

-Silvia no participar en ciclismo.

06.Luca, Mariela, Rafaela y Silvia pueden participar, respectivamente, en:

a)ciclismo, natacin, gimnasia y salto alto.

b)gimnasia, natacin, salto alto y ciclismo.

c)gimnasia, salto alto, natacin y ciclismo.

d)salto alto, gimnasia, ciclismo y natacin.

e)salto alto, natacin, ciclismo y gimnasia.

07.Si Mariela participa en natacin, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Luca participa en ciclismo.

b) Luca participa en gimnasia.

c) Rafaela participa en ciclismo.

d) Rafael participa en gimnasia.

e) Silvia participa en salto alto.

08.Si Rafaela participa en natacin, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Luca participa en gimnasia.

b) Luca participa en salto alto.

c) Mariela participa en gimnasia.

d) Silvia participa en gimnasia.

e) Ninguna de las anteriores.

09.Si Silvia participa en gimnasia, cul de las siguientes afirmaciones es imposible?

a) Mariela participa en salto alto.

b) Rafaela participa en natacin.

c) Luca participa en natacin.

d) Rafaela participa en salto alto.

e) Mariela participa en ciclismo.

10.Si Rafaela participa en salto alto, entonces es posible que:

I.Luca participe en natacin.

II.Silvia participe en gimnasia.

III.Mariela participe en ciclismo.


d) todase) ninguna

Preguntas 11 a 15.

Arturo, Piero, Renzo y Franco deben realizar un trabajo de investigacin sobre algunas de las obras de Shakespeare, para lo cual, ellos deben leer un libro diferente cada uno: Romeo y Julieta, Hamlet, Otelo y Macbeth. Se sabe que:

-si Arturo lee Hamlet, entonces Franco no lee Otelo.

-si Renzo no lee Macbeth, entonces Piero lee Otelo.

-Renzo podr leer Romeo y Julieta, solo si Arturo no lee Hamlet.

-ninguno de ellos ha ledo antes uno de esos libros.

11.Arturo, Piero, Renzo y Franco pueden leer, respectivamente:

a)Romeo y Julieta, Hamlet, Otelo y Macbeth.

b)Hamlet, Otelo, Romeo y Julieta y Macbeth.

c)Hamlet, Romeo y Julieta, Macbeth y Otelo.

d)Otelo, Macbeth, Hamlet y Romeo y Julieta.

e)Otelo, Hamlet, Macbeth y Romeo y Julieta.

12.Si Renzo lee Hamlet, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Arturo lee Romeo y Julieta.

II.Piero lee Otelo.

III.Franco lee Macbeth.


d) todase) ninguna

13.Si Arturo lee Hamlet, cul de las siguientes afirmaciones es imposible?

a) Piero lee Otelo

b) Renzo lee Romeo y Julieta

c) Renzo lee Macbeth

d) Franco lee Romeo y Julieta

e) Ninguna de las anteriores.

14.Si Franco lee Otelo, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) Piero lee Hamlet

b) Piero lee Romeo y Julieta

c) Arturo lee Macbeth

d) Renzo lee Hamlet

e) Renzo lee Romeo y Julieta

15.La lista completa de los libros que puede leer Renzo en sus vacaciones es:

a)Hamlet y Otelo

b)Otelo y Macbeth

c)Otelo y Romeo y Julieta

d)Hamlet, Romeo y Julieta y Macbeth

e)Hamlet, Otelo, Romeo y julieta y Macbeth

Preguntas 16 a 20.

Cuatro amigas, Begonia, Violeta, Rosa y Camelia, se encuentran en una heladera y cada una pide un sabor de helado diferente: fresa, chocolate, menta y vainilla, pero bajo las siguientes condiciones:

-Si Begonia pide un helado de fresa, entonces Violeta pide un helado de chocolate.

-El helado de menta debe ser pedido por Rosa o Camelia.

-Violeta pide un helado de chocolate si y solo si Camelia pide un helado de menta.

-Si Camelia no pide el helado de menta, Begonia pide el helado de chocolate.

-Cada una de estas amigas debe pedir un helado de distinto sabor.

16.Si Begonia pide el helado de fresa, qu sabor de helado pedirn Violeta, Rosa y Camelia, respectivamente?

a) Chocolate, menta y vainilla

b) Menta, chocolate y vainilla

c) Chocolate, vainilla y menta

d) Menta, vainilla y chocolate

e) Vainilla, chocolate y menta

17.Si Rosa no pide el helado de menta, entonces es posible que:

I.Violeta pida el helado de chocolate.

II.Rosa pida helado de vainilla.

III.Begonia pida el helado de chocolate.

a) solo I y IIb) solo II y IIIc) solo III

d) todase) ninguna

18.Si Rosa pide el helado de menta, entonces es imposible que:

I.Camelia pida el helado de fresa.

II.Begonia pida el helado de vainilla.

III.Violeta pida el helado de chocolate.

a) solo I y IIb) solo II y IIIc) solo III

d) solo I y IIIe) ninguna

19.Qu sabor de helado pueden pedir Begonia, Violeta, Rosa y Camelia, respectivamente?

a) Fresa, menta, chocolate y vainilla.

b) Fresa, chocolate, menta y vainilla.

c) Chocolate, fresa, vainilla y menta.

d) Chocolate, fresa, menta y vainilla.

e) Menta, chocolate, fresa y vainilla.

20.Para determinar qu sabor de helado pedirn tales amigas, basta saber que:

I.Rosa pedir un helado de menta.

II.Violeta pedir un helado de vainilla.






TEMA N 02:

ORDENAMIENTO POR AGRUPACIN I

La habilidad principal que debemos desarrollar para resolver con xito este tipo de problemas es la de ordenar la informacin de tal manera que nos permita elegir un grupo de individuos de una gran y variada coleccin de stos.

Los grupos que se puedan formar deben cumplir una serie de condiciones o reglas, las cuales nos indican qu individuos pueden estar en el mismo grupo y cules definitivamente no van juntos, o que algunos individuos deben ir juntos bajo determinadas condiciones y no deben ir juntos bajo otras condiciones. Por lo tanto, lo ms importante, aqu, es la comprensin de las reglas de formacin de grupos.

A continuacin te presentamos una tabla con las expresiones ms usadas en este tipo de ordenamiento, y te pedimos que la completes.

EXPRESIONESREPRESENTACINOBSERVACIONES

1El equipo debe tener tres integrantes.

2El equipo tendr al menos tres integrantes.

3El equipo tendr a lo ms tres integrantes.

4A no puede estar con B en el equipo.

5A y B no pueden estar en el mismo equipo.

6Ni A ni B estn en el equipo.

7Si A est en el equipo, entonces B tambin est.

8Si A est en el equipo, entonces B no est.

9Si A no est en el equipo, entonces B est.

10A podr estar en el equipo, solo si B est.

11A est en el equipo si y solo si B est.

12A no estar en el equipo a menos que B est.

13Entre A y B, exactamente uno debe estar en el equipo.

PRCTICA DE CLASE

Preguntas 1 a 5.

Un entrenador de baloncesto debe formar un equipo de cinco miembros, seleccionndolos de un grupo de cuatro juveniles: Pablo, Quique, Ral y Sergio, y otro de cinco mayores: Hctor, Juan, Kenzo, Luis y Manuel. En el equipo debe haber por lo menos dos juveniles y se sabe que:

-Quique y Juan no jugarn en el mismo equipo.

-Ral no puede estar con Luis en el equipo.

-si Sergio est en el equipo, Quique tambin est en el equipo.

01.Cules de los siguientes pueden ser el equipo de baloncesto?

I.Pablo, Ral, Hctor, Juan y Kenzo.

II.Pablo, Ral, Quique, Hctor y Manuel.

III.Pablo, Luis, Hctor, Kenzo y Manuel.

a) solo Ib) solo I y II c) solo II y III

d) solo IIIe) todos

02.Si ni Hctor ni Sergio estn en el equipo, cuntos equipos diferentes se pueden formar?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

03.Si Sergio formar parte del equipo pero no puede estar con Kenzo, entonces es cierto que:

a)Manuel forma parte del equipo.

b)Quique y Ral forman parte del equipo.

c)Pablo no forma parte del equipo.

d)Juan no forma parte del equipo.

e)Luis forma parte del equipo.

04.Si Kenzo est en el equipo pero no puede estar con Hctor ni con Manuel, entonces es verdad que:

I.hay exactamente una manera de conformar el equipo.

II.Quique debe jugar todas maneras.

III.Pablo estar en el equipo.

a) solo I

b) solo I y II

c) solo II y III

d) solo III

e) todas

05.Si el equipo tiene exactamente tres juveniles y Kenzo no est en el equipo, entonces la lista completa de los que de todas maneras jugarn en el equipo es:

a) Quique

b) Quique y Pablo

c) Quique, Manuel y Pablo

d) Quique, Manuel, Pablo y Sergio

e) Hctor, Quique, Manuel, Pablo y Sergio.

Preguntas 6 a 10.

Eva debe elegir cinco objetos para comprar en el supermercado. Puede escoger entre los artculos de limpieza: A1, A2, A3 y A4, y entre los tiles de escritorio: B1, B2, B3 y B4. Eva realizar la eleccin de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Al menos tres de los cinco objetos comprados deben ser tiles de escritorio.

-Si A4 es elegido, entonces B3 no puede ser elegido.

-Si A1 es elegido, entonces A4 tambin debe ser elegido.

06.Si B3 no es elegido, entonces cul de los siguientes objetos debe ser elegido?

a) A1b) A2c) A3

d) A4e) B1

07.Si B1 no es elegido, cuntos grupos de objetos aceptables se pueden elegir para ser comprados?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

08.Cuntos grupos de objetos aceptables para su compra incluyen a A4?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

09.Cul de los siguientes objetos, al ser elegido, da como resultado un nico grupo de objetos aceptables para ser comprados?

a) A1b) A2c) A4

d) B2e) B3

10.Si A2 es elegido, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)A4 no es elegido

b)A1 no es elegido

c)A3 no es elegido

d)Los cuatro tiles de escritorio son elegidos.

e)Exactamente tres tiles de escritorio son elegidos.

Preguntas 11 a 15.

Un alumno debe seleccionar cuatro libros de consulta para escribir una monografa sobre las obras de Vctor Hugo. Los libros de este autor disponibles son ocho: Nueve odas, El rey se divierte, Lucrecia de Borgia, Nuestra Seora de Pars, Los miserables, El hombre que re, Las orientales y Hojas de otoo. La seleccin de los libros se realizar de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Nuevas odas debe ser seleccionado.

-si El hombre que re es seleccionado, entonces Las orientales es seleccionado.

-Si El rey se divierte es seleccionado, entonces Hojas de otoo no es seleccionado.

-Las orientales es seleccionado si y solo si Hojas de otoo es seleccionado.

11.Cul de las siguientes es una seleccin aceptable de los libros?

a)Nuevas oda, El rey se divierte, Las orientales y Hojas de otoo.

b)Nuevas odas, Nuestra Seora de Pars, El hombre que re y Las orientales.

c)Nuevas odas, Nuestra Seora de Pars, Los miserables y El hombre que re.

d)Nuevas odas, El rey se divierte, Lucrecia de Borgia y Nuestra Seora de Pars.

e)Los miserables, El hombre que re, Las orientales y Hojas de otoo.

12.Si el rey se divierte es seleccionado, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)Lucrecia de Borgia es seleccionado.

b)Nuestra Seora de Pars es seleccionado.

c)Los miserables es seleccionado.

d)Nuestra Seora de Pars no es seleccionado.

e)El hombre que re no es seleccionado.

13.Si El hombre que re es seleccionado, cul de los siguientes libros es seleccionado?

a) El rey se divierte

b) Lucrecia de Borgia

c) Nuestra Seora de Pars

d) Los miserables

e) Hojas de otoo

14.Si Hojas de otoo es seleccionado, de cuntas maneras diferentes puede seleccionar los libros?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

15.Si Hojas de otoo no es seleccionado, entonces es imposible que:

I.El rey se divierte no sea seleccionado.

II.Nuestra Seora de Pars sea seleccionado.

III.El hombre que re sea seleccionado.


d) solo I y IIIe) solo II y III

Preguntas 16 a 20.

Ocho miembros de un club, Pedro, Eduardo, Ramiro, Sergio, Tatiana, Ursula, Valeria y Walkiria, son candidatos para integrar la Junta Directiva que debe tener: un presidente, que puede ser Pedro o Eduardo, dos vicepresidentes, que puede ser Ramiro, Sergio o Tatiana, y dos vocales, que puede ser rsula, Valeria o Walkiria. Adems, se deben tener en cuenta las siguientes condiciones:

-rsula no puede estar con Walkiria en la Junta.

-Sergio est en la Junta, solo si Eduardo est.

16.Si Pedro est en la Junta, cuntas Juntas diferentes podran ser elegidas?

a) 4

b) 1c) 2

d) 3

e) 0

17.Si Ramiro y Sergio estn en la Junta, cules de las siguientes afirmaciones no pueden ser verdaderas?

I.Pedro est como presidente.

II.Valeria y Walkiria son las vocales.

III.Eduardo est como presidente.

a) solo Ib) solo IIIc) solo I y II

d) solo II y IIIe) Ninguna18.Si Tatiana no puede estar con rsula en la Junta, cules de las siguientes son posibles Juntas Directivas?

I.Pedro, Ramiro, Tatiana, Valeria y Walkiria

II.Eduardo, Sergio, Tatiana, Valeria y Walkiria.

III.Eduardo, Ramiro, Sergio, rsula y Valeria

a) solo I y II

b) solo I y III

c) solo II y III

d) todas

e) ninguna

19.Si Eduardo y rsula estn en la Junta, entonces todos los siguientes enunciados son posibles, EXCEPTO:

a)Pedro no es el presidente.

b)Ramiro y Tatiana son los vicepresidentes.

c)rsula y Valeria son los vocales.

d)Sergio y Valeria pertenecen a la Junta Directiva.

e)Walkiria pertenece a la Junta Directiva.

20.Para determinar con seguridad quines integraran la Junta Directiva, bastara saber que:

I.Tatiana y Ursula estn en la Junta.

II.ni Sergio ni Walkiria estn en la Junta.

a)EL dato I es suficiente y el dato II no lo es.





TAREA DOMICILIARIA

Preguntas 1 a 5.

Un profesor debe seleccionar cinco maquetas presentadas por sus alumnos para una exposicin. Las maquetas disponibles son siete: M1, M2, M3, M4, M5, M6 y M7. La seleccin de las maquetas se realizar de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Si M2 es seleccionada, entonces M6 tambin debe ser seleccionada.

-Si M1 es seleccionada, entonces M5 no puede ser seleccionada.

-M3 podr ser seleccionada, solo si M5 es seleccionada.

01.Cul de las siguientes es una seleccin aceptable de las maquetas para la exposicin?

a) M1, M2, M3, M5 y M6

b) M1, M2, M3, M6 y M7

c) M1, M4, M5, M6 y M7

d) M2, M3, M4, M6 y M7

e) M2, M3, M4, M5 y M6

02.Si la maqueta M3 es seleccionada, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a) M1 no es seleccionada

b) M6 no es seleccionada

c) M2 es seleccionada

d) M4 es seleccionada

e) M7 es seleccionada

03.Si M1 es seleccionada, cul de las siguientes maquetas no debe ser seleccionada?

a) M2b) M3c) M4

d) M6e) M7

04.Si la maqueta M3 es seleccionada, cules de las siguientes tambin deben ser seleccionadas?

I. M2II. M6III. M7


d) todase) ninguna

05.Si M7 no es seleccionada, cul de las siguientes maquetas no debe ser seleccionada?

a) M1b) M2c) M3

d) M4e) M5

Preguntas 6 a 10.

Seis estudiantes Tania, rsula, Vanesa, Ximena, Yanira y Zaida estn siendo consideradas para representar a su universidad en un congreso. La seleccin final depende de las siguientes restricciones:

-Zaida no puede ser seleccionada, si Ximena es seleccionada.

-Si Tania es seleccionada, entonces rsula no puede ser seleccionada.

-Si Ximena es seleccionada, entonces Yanira no es seleccionada.

-Si rsula es seleccionada, entonces Zaida debe ser seleccionada.

06.Se deduce que las parejas no aceptables son:

I.Ximena y rsula

II.Yanira y Zaida

III.Ximena y Zaida

a) solo I

b) solo I y II

c) solo II y III

d) solo III

e) solo I y III

07.Si se deben seleccionar a cuatro estudiantes, cules de las siguientes listas podran ser las seleccionadas?

I.Zaida, rsula, Valeria y Yanira

II.Tania, Valeria, Yanira y Zaida

III.Ximena, Tania, Valeria y rsula

a) solo I y II

b) solo II y III

c) solo I y III

d) todas

e) ninguna

08.Si se deben seleccionar a tres estudiantes y Zaida debe ser una de ellas, cuntos grupos se podran formar?

a) 4

b) 5c) 6

d) 7

e) 8

09.Cul es el mximo nmero de estudiantes que pueden ser seleccionados?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

10.Para determinar con exactitud quines sern seleccionadas, basta saber que:

I.Valeria no ser seleccionada.

II.Tania ser seleccionada.






Preguntas 11 a 17.

En una empresa se desea formar un equipo de trabajo de cinco miembros. Armando, Bruno, Carlos, Diego, Eduardo, Franco, Gustavo y Javier estn postulando para cubrir esas cinco vacantes. Se sabe que los miembros de tal equipo sern seleccionados bajo las siguientes condiciones:

-Si Armando es parte del equipo, entonces Bruno no lo ser.

-SI Franco no es parte del equipo, entonces Javier formar parte del equipo.

-Carlos ser parte del equipo si y solo si Diego est en el equipo.

-Diego podr ser parte del equipo, solo si Bruno es parte del equipo.

11.Cul de los siguientes es un posible equipo?

a)Armando, Bruno, Eduardo, Franco y Gustavo

b)Armando, Carlos, Diego, Eduardo y Gustavo

c)Armando, Diego, Eduardo, Franco y Javier

d)Bruno, Carlos, Diego, Franco y Javier

e)Bruno, Carlos, Diego, Eduardo y Gustavo

12.Si Javier y Diego son parte del equipo, cul de las siguientes afirmaciones es imposible?

a) Eduardo es parte del equipo

b) Franco es parte del equipo

c) Gustavo es parte del equipo

d) B es parte del equipo

e) Armando es parte del equipo

13.Si Eduardo no puede estar con Franco en el equipo, cules de los siguientes son posibles equipos?

I.Armando, Carlos, Eduardo, Gustavo y Javier

II.Armando, Carlos, Diego, Eduardo y Javier

III.Bruno, Carlos, Diego, Eduardo y Franco


d) todose) ninguno

14.Si Bruno no es parte del equipo, cuntos equipos diferentes se podrn formar?

a) 0

b) 1c) 2

d) 3

e) 4

15.Si Armando es parte del equipo, cuntos equipos diferentes se podrn formar?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

16.Si Carlos es parte del equipo, todos los siguientes pueden ser posibles equipos, EXCEPTO:

a)Carlos, Bruno, Diego, Eduardo y Javier

b)Carlos, Bruno, Diego, Javier y Gustavo

c)Carlos, Bruno, Diego, Franco y Javier

d)Carlos, Bruno, Diego, Gustavo y Eduardo

e)Carlos, Bruno, Diego, Franco y Eduardo

17.Para determinar quines conformarn el equipo, es suficiente saber que:

I.Bruno forma parte del equipo.

II.Carlos no forma parte del equipo.


b)El dato II es suficiente y el dato I no lo es

c)Es necesario utilizar I y II conjuntamente

d)Cada uno de los datos, por separado, es suficiente


Preguntas 18 a 20.

Ftima es una alumna que debe matricularse en tres cursos. Los cursos disponibles caen dentro de una de cinco reas generales: matemtica, ingls, estudios sociales, ciencias y artes.

-Los alumnos deben tomar cursos de al menos dos reas diferentes.

-Si toma algn curso de artes, no puede tomar algn curso de ingls.

-Toma algn curso de ciencias si y solo si toma algn curso de matemtica.

-Puede tomar algn curso de estudios sociales, solo si toma algn curso de artes.

18.Cul de las siguientes es una lista aceptable de cursos en los que se puede matricular?

a)Uno de ciencias, uno de ingls y uno de artes

b)Uno de matemtica, uno de ciencias y uno de estudios sociales.

c)Uno de matemtica, uno de estudios sociales y uno de artes

d)Uno de ingls, uno de estudios sociales y uno de artes

e)Uno de matemtica, uno de ciencias y uno de artes

19.Cul de las siguientes no es una lista aceptable de cursos en los que se puede matricular?

a)Dos de matemtica y uno de ciencias

b)Dos de ciencias y uno de matemtica

c)Dos de artes y uno de matemtica

d)Dos de estudios sociales y uno de artes

e)Uno de estudios sociales y dos de artes

20.Si toma un curso de estudios sociales, cul de las siguientes listas de cursos es aceptable para su matrcula?

a)Un curso de matemtica y uno de ciencias

b)Un curso de arte y uno de ingls

c)Dos cursos de artes

d)Dos cursos de matemtica

e)Dos cursos de ingls

TEMA N 03:

PRINCIPIOS DE CONTEO

CONTEO DE CIFRAS

Para relajarse

TU ESTAS FUERA DE TI

1 Corintios 5:13, 14.

Un da un ministro estaba sentado en su estudio cuando vio a un hombre cabalgando sobre un caballo al cual golpeaba sin misericordia, tanto que pareca que el pobre animal podra caer muerto por causa de una caminata tan dura. El ministro se sinti indignado con el hombre vindolo maltratar tanto a su caballo, y pens que estara fuera de s. Sali de su estudio para seguir al hombre y entregarlo a las autoridades por el mal trato que daba al animal, y encontr el caballo atado a un poste junto a la oficina del doctor. Cuando entr en el consultorio escuch al hombre relatando cmo, por un accidente, una mquina le haba cortado los dos pies a su niito. Esto cambi por completo la idea del ministro. Consigui dos caballos nuevos para que el padre y el doctor fueran a atender al niito, mientras que l atenda al otro caballo. Estaba el hombre fuera de s? Estaba Pablo fuera de s cuando procuraba salvar a los hombres del infierno? Escuchad: Si estamos locos, es para Dios; y si somos cuerdos, es para vosotros. Porque el amor de Cristo nos constrie, pensando esto: que si uno muri por todos, luego todos murieron. C. L. N.I.CANTIDAD DE CIFRASEl problema fundamental consiste en averiguar la cantidad de cifras o tipos que se han utilizado al escribir la sucesin natural desde el nmero 1 hasta n.

PROBLEMA ILUSTRATIVO: Cuntas cifras se utilizan para numerar del 1 hasta 3475?.

Resolucin:

PRIMER MTODO:

Para numerar desde el 1 hasta el 9:

Se utilizan: ( 9 0 ) x 1 = 9 cifras.






Se utilizan: ( 3475 999) x 4 = 9904 cifras.

Total de cifras empleadas para numerar desde el 1 hasta el 3475:

9 + 180 + 2700 + 9904 = 12 793

SEGUNDO MTODO:

Se puede aplicar la siguiente frmula, si se trata de la base diez:

N de cifras = ( N mayor + 1) (N de cifras de n) - 111..............111(Tantos unos como cifras tenga el nmero n)

Para nuestro problema:

N de cifras = ( 3475 + 1) ( 4) 1111 = 12 793 .

NOTA: Dicha frmula cumple cuando la sucesin comienza en 1.

CUANDO SE TRABAJA EN SISTEMA DIFRENTE AL DECIMAL, Se emplea la siguiente frmula:

N de cifras = K . n K n K 1 / n 1

Donde:

n = base del sistema

K = Cantidad de cifras del ltimo nmero.

II.CANTIDAD DE NUMERALES O MTODO COMBINATORIO:

Sirve para determinar cuantos numerales (nmeros) de k cifras existen en base n.

Se procede de la siguiente manera:

1Se indica la forma general del numeral (nmero) buscado, teniendo en cuenta el valor de la base.

2Se calculan los valores posibles para cada una de las cifras.

3Cuando hay cifras diferentes expresadas en funcin de la misma variable, los valores de la variable sern todos aquellos comunes a los calculados individualmente.

4Cuando una variable se encuentra ms de una vez se le considera slo una vez en el producto.

5Determinar la cantidad de valores que acepta cada variable, multipliquese todas ellas; siendo este producto la cantidad de numerales ( nmeros) de la forma dada.

EJEMPLO ILUSTRATIVO: Cuntos nmeros de tres dgitos existen en el sistema octal?.

Resolucin:

1Forma general de nmero:

2Valores posibles para cada una de las cifras:

abc (8)

1 00

211

322 valores

433

544 posibles

655

766

77

788

ENTONCES: La cantidad de nmeros que existen en el sistema octal es: (7)(8)(8)=448

PRACTICA DE CLASE

01.Cuntas cifras se utilizaran para numerar las pginas de un libro de :

* 644 pginas ..........................................

* 1746 pginas ........................................

* 512 pginas ..........................................

* 604 pginas ..........................................

* 124 pginas ..........................................

02.Cuntas pginas tiene un libro si al numerar sus pginas se utilizaron?

* 1125 cifras ........................................

* 657 cifras ........................................

* 3913 cifras ........................................

* 2784 cifras ........................................

03.En la serie natural :

1,2,3,4, 4444

Cuntas cifras hay escritas ?

a) 16569 b) 16669 c) 17669

d) 16589e) N.a.

04.Si en la serie natural de los nmeros se han empleado 1341 cifras. Hallar el ltimo nmero escrito.

a) 516b) 483c) 515

d) 482e) N.a.

05.Hallar la cantidad de pginas que tiene un libro, sabiendo que para enumerar sus ltimas 36 pginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleo en las primeras 63 pginas.

a) 1002b) 1280c) 1008

d) 984e) 1204

06.Se escribe la serie natural de los nmeros desde 1 hasta el 2493. Cuntas cifras sern necesarias usar para escribir los 2000 ltimos nmeros ?

a) 7444 b) 7494 c) 6484

d) 8494e) 7484

07.Al escribir la serie natural de los nmeros a partir del nmero 71. Cul es la cifra que ocupa el lugar 8418?

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) N.a.

08.Cuntas cifras se emplean en la escritura de todos los nmeros enteros desde el mximo nmero de dos cifras distintas hasta el menor nmero de 4 cifras distintas?

a) 2700b) 2750c) 2800

d) 2900e) N.a.

09.Para numerar las 22 ltimas pginas de un libro se utilizarn 71 tipos. Cuntos tipos en total se utilizaron ?

a) 2809b) 2709c) 2909

d) 3009e) N.a.

10.Si en la numeracin de las pginas impares de un libro se han utilizado 440 tipos, Cuntas hojas tendr dicho libro?

a) 330b) 360c) 165

d) 180e) N.a.

11.Cuntos nmeros tiene la siguiente sucesin: 52;57;62;67;72;.........; 382?.

a) 64b) 67c) 80

d) 45e) 21

12.Cuntos numerales de dos cifras , todas impares menores que 9 existen?.

a) 20b) 27c) 32

d) 16e) 23

13.Cuntos nmeros capicas existen en el sistema senario?.

a) 25b) 30c) 32

d) 18e) 40

14.Cuntos trminos tiene la siguiente secuencia:

47;29;30;32;33;35;.....................99?.

a) 65b) 45c) 48

d) 49e) 76

15.Cuntos nmeros de la forma a(a-2) b(6 b) existen en el sistema decimal?.

a) 65b) 74c) 56

d) 87e) 102

16.Cuntos nmeros de 4 cifras tienen una y slo una cifra significativa?.

a) 2187b) 729c) 6961

d) 6541e) 1511

17.Cuntos nmeros capicas de cuatro cifras del sistema decimal tienen como suma de sus cifras 24?

a) 7b) 49c) 21

d) 30e) 24

18.En qu sistema de numeracin hay 30 nmeros de cuatro cifras de la forma:

a) 7b) 8c) 9

d) 12e) 14

19.Cuntos nmeros de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?

a) 500b) 625c) 675

d) 635e) 600

20.Cuntos nmeros naturales de 5 cifras existen tales que su cifra de unidades sea un nmero impar y su cifra de 3er. orden un nmero par ?

a) 2500b) 5000c) 10250

d) 22500e) 25000

TAREA DOMICILIARIA

01.Cuntos nmeros capcuas impares de 8 cifras existen?

a) 9000b) 4500c) 5000

d) 6000e) 3500

02.Cuntos tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia:

10077 , 10078, 10079, .. 100300

a) 941b) 1321c) 1426

d) 1584e) 2403

03.En la numeracin de las pginas de un libro se han empleado cifras de imprenta. Hallar: m+n+p

a) 14b) 15c) 18

d) 17e) 20

04.Se han arrancado las 50 ltimas hojas de un libro, notndose que el nmero de tipos de imprenta se han utilizado en la numeracin ha disminuido en 361. Cuntos tipos de imprenta se han utilizado en la numeracin de las hojas que quedan?

a) 2700b) 2720 c) 2746

d) 2772 e) 2870

05.Hallar el nmero de tres cifras tal que su doble sea igual a l nmero de cifras que se utilizan al escribir todos los nmeros naturales desde 1 hasta dicho nmero inclusive. Dar la suma de sus cifras.

a) 6b) 7c) 8

d) 9e) 10

06.Para numerar las paginas de una revista se utilizaron nm cifras. Dar (m+n)

a) 8b) 7c) 12

d) 13e) 17

07.Si un libro tiene 960 paginas. Cuntas cifras se usaron en la numeracin de las paginas impares?

a) 1185b) 1385b) 1585

d) 1285e) 1485

08.En la numeracin de las 5ab paginas de un libro se usaron 15ab cifras, calcular el valor de (a+b)

a) 7b) 8c) 9

d) 10e) 11

09.En la paginacin de las 38 primeras hojas de un libro se ha usado la sexta parte de la cantidad de cifras que se emplean en la paginacin total. El nmero de hojas del libro ser:

a) 322b) 135c) 161

d) 228e) 114

10.Cuntas pginas de un libro se podrn enumerar con el doble del nmero de cifras que se utilizan para numerar un libro de 500 pginas?

a) 962b) 972c) 964

d) 948e) 965

11.Si un libro tuviera una hoja ms se hubiera utilizado 10 cifras ms. Si hubiera una hoja menos se hubiera utilizado 9 cifras menos. Cuntas pginas terminan en 5?

a) 1000b) 908c) 675

d) 555e) 625

12.En un libro de 225 paginas se arrancaron un cierto nmero de hojas del principio, notndose que en las hojas que quedaron se emplearon 452 cifras en su numeracin. Cuntas hojas se arrancaron?

a) 19b) 20c) 22

d) 30e) 31

13.Si escribimos la sucesin natural a partir de 1993 hasta haber escrito una cantidad de cifras que coincide con el ltimo nmero escrito. Cul es la suma de cifras del siguiente nmero a este ltimo ?

a) 12b) 13c) 16

d) 19e) 20

14.Los 72 primeras pginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeracin que las utilizadas por las 72 ltimas. Averiguar el nmero total de pginas.

a) 500b) 148c) 159

d) 214e) 272

15.Con los dgitos 1,3,5,8 y 9. Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes mayores que 300, se pueden formar?.

a) 20b) 24c) 36

d) 48e) 64

16.Cuntos nmeros diferentes de 6 cifras pueden formarse con los 9 dgitos 1,2,3,... 9 y en los cuales no se repite ningn dgito?.

a) 48 640b) 60 480c) 80 460

d) 46 800e) N.a.

17.Cuntos nmeros de 3 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 5, 6, 8, 3, 1?.

a) 48b) 50c) 54

d) 60e) 72

18.Cuntos nmeros capicas de 3 cifras del sistema decimal no terminan en cifra 2?.

a) 70b) 75 c) 78

d) 80e) N.a.

19.Cul es la mayor cantidad de nmero de 2 cifras que se pueden formar con 2 fichas en las que se han pintado un dgito en cada una?.

a) 2b) 1c) 4

d) 6e) 8

20.Cuntos nmeros de 5 dgitos tienen como, sus 2 ltimos cifras 2 y 5 en este orden?.

a) 900b) 990c) 899

d) 998e) 999

DESAFIO MATEMTICO

Propagacin de los rumores en una ciudad.

Es sorprendente cmo se difunde un rumor entre el vecindario de una ciudad! A veces, no han transcurrido an dos horas desde que ha ocurrido un suceso, visto por algunas personas, cuando la novedad ha recorrido ya toda la ciudad; todos lo conocen, todos lo han odo. Esta rapidez parece sorprendente, sencillamente maravillosa.

Sin embargo, si hacemos clculos, se ver claro que no hay en ello milagro alguno; todo se explica debido a ciertas propiedades de los nmeros y no se debe a peculiaridades misteriosas de los rumores mismos.

Examinemos, como ejemplo, el siguiente caso:

A las ocho de la maana, lleg a la ciudad de 50.000 habitantes un vecino de la capital de la nacin, trayendo una nueva de inters general. En la casa donde se hosped, el viajero comunic la noticia a slo tres vecinos de la ciudad; convengamos que esto transcurri en un cuarto de hora, por ejemplo.

As, pues, a las ocho y cuarto de la maana conocan la noticia, en la ciudad, slo cuatro personas; el recin llegado y tres vecinos.

Conocida la noticia, cada uno de estos tres vecinos se apresur a comunicarla a tres ms, en lo que emplearon tambin un cuarto de hora. Es decir, que a la media hora de haber llegado la noticia, la conocan en la ciudad 4+(3 x 3) = 13 personas.

CONTEO DE FIGURAS

Para relajarse

EN NOMBRE DE LA LIBERTAD

Glatas 5:13.

Madame Rowland, que fue guillotinada durante la Revolucin Francesa, despus de que haba ascendido al patbulo y ya cuando estaba lista para poner su cabeza debajo de la cuchilla, por casualidad vio una estatua de la Libertad que estaba cerca del lugar, y exclam: Oh, Libertad! Qu crmenes son cometidos en tu nombre! Y es verdad que los crmenes ms negros y repugnantes que manchan las pginas de la historia han sido cometidos en el nombre de lo ms sagrado: en el nombre de la Libertad, de la Justicia o de la Religin. Hasta el da de hoy la libertad es slo para el ms poderoso, para el que sabe apoderarse de todo. Pablo tena libertad para visitar a Jerusaln y purificarse en el templo; pero le fue quitada dicha libertad por los poderosos, y por cosa de cuatro aos se le priv de ese tesoro tan preciado, estando unos dos aos en Cesrea y otros dos en Roma.

Como el ttulo as lo indica, el objetivo es averiguar el nmero exacto, por lo general el mximo - de figuras de cierto tipo que puedan identificarse en una figura principal, la cual se encuentra dividida por puntos o lneas que determinan figuras secundarias de diversas formas y tamaos.

Ejemplo:

Cuntos cuadrilteros pueden contarse como mximo en la siguiente figura?

Una figura puede ser simple o compuesta, veamos:

Figura Simple:

Cuando en su interior no aparecen otras figuras.

Figura Compuesta

Cuando en su interior aparecen otras figuras.

MTODOS DE CONTEO

Conteo Directo

Podemos efectuar el conteo directo de 2 formas:

A.Por Simple Inspeccin

Contamos directamente en la figura utilizando nicamente nuestra capacidad de observacin.

Ejemplo :

1.Cuntas regiones simples hay?

2.En cuntas regiones simple se observan por lo menos 3 asteriscos?

3.En cuntas regiones simples se observan a lo ms 2 asteriscos?

4.En cuntas regiones simples se observan 4 asteriscos?

5.Cuntos asteriscos pertenecen al tringulo y al cuadrado pero no al crculo?

B.Mtodo Combinatorio

Asignamos dgitos y/o letras a todas las figuras simples que componen la figura principal y luego contamos anotando los dgitos o combinaciones de ellos que correspondan a la figura buscada. Es recomendable proceder al conteo de forma ordenada y creciente; es decir, figuras de un dgito, figuras de dos dgitos y as sucesivamente.

Ejemplo :

Cuntos cuadrilteros como mximo se pueden contar en la siguiente figura?

Solucin:

Cuadrilteros con:

1 dgito : {1,3,5,6} ( 4 cuadrilteros

2 dgitos : {12,23,34,45}( 4 cuadrilteros

3 dgitos : {123,246,345}(3 cuadrilteros

4 dgitos : {2346}(1 cuadriltero

En total son 12 cuadrilteros.

Conteo por Induccin:

A. Conteo de Segmentos

B.Conteo de Tringulos

.Conteo de ngulos menores de 180

C.Conteo de Cuadrilteros

OBSERVACIN:

Para su demostracin se aplica el mismo criterio de los casos anteriores.

1234n-1n

2

3

m-1

m

Ejemplo :

Calcule el total de cuadrilteros en la siguiente figura :

Observacin :

1234n-1n

2

3

m-1

M

Si cada cuadriltero simple es un cuadrado, entonces:

Ejemplos:

Calcule el total de cuadrados en la siguiente figura (cada cuadriltero simple es un cuadrado).

Ejemplo :

En la siguiente figura :

1. Cuntos cuadrilteros hay?

2. Cuntos cuadrados hay?

3.Cuntos cuadrilteros que no son cuadrados hay?

D.Conteo de Paraleleppedos

Ejemplos :

Cuntos paraleleppedos se cuentan en:

Observacin :

Si cada paraleleppedo simple es un cubo, entonces :

Ejemplo :

Calcule el total de cubos en la siguiente figura (cada paraleleppedo simple es un cubo)

Ejemplo:

En la siguiente figura (cada paraleleppedo simple es un cubo) :

1.Cuntos paraleleppedos hay?

2.Cuntos cubos hay?

3.Cuntos paraleleppedo que no son cubos hay?

EJERCICIOS PROPUESTOS N 01

01.Cuntos tringulos hay en la siguiente figura?

Solucin :

Podemos observar que hay 4 tringulos pequeos y un grande.

Por tanto, el total de tringulos es : 5.


Solucin :

Podemos observar que :

Tringulos (1 letra): a,b,c = 3

Tringulos (2 letra): ab, ac, bd, cd =4

Tringulos (4 letra) : abcd = 1

Total de tringulos : 8

PRCTICA DE CLASE


a) 17b) 15c) 14

d) 16e) N.A.

02.Cuntos cuadrilteros como mximo hay en la siguiente figura?

a) 20b) 24c) 30

d) 36e) N.A.

03.Determina el nmero mximo de tringulos que hay en la siguiente figura :

a) 8b) 9c) 10

d) 12e) N.A.

04.Cuntos tringulos como mximo hay en la siguiente figura?

a) 8b) 9c) 10

d) 11e) N.A.

05.Halle el total de tringulos de la figura :

a) 10b) 15c) 18

d) 20e) N.A.

06.Cuntos cuadrilteros tiene la siguiente figura?

a) 72b) 60c) 54

d) 50e) N.A.

07.Halla el nmero total de tringulos que tiene la figura.

a) 48b) 42c) 38

d) 40e) 36

08.Cuntos tringulos puedes determinar como mximo en la siguiente figura?

a) 25b) 28c) 32

d) 40e) 36


a) 40b) 20c) 10

d) 8e) N.A.

10.Cuntos tringulos puedes determinar como mximo en la siguiente figura?

a) 10b) 20c) 30

d) 5e) N.A.


a) 4b) 6c) 8

d) 10e) N.A.


a) 10b) 12c) 14

d) 16e) N.A.


a) 4b) 6c) 8

d) 10e) N.A.

14.Cuntos tringulos como mximo hay en la siguiente figura?

a) 9b) 10c) 12

d) 10e) N.A.


a) 9b) 10c) 12

d) 8e) N.A.

16.Decir cuntos tringulos hay en la siguiente figura

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14


a) 18b) 20c) 19

d) 16e) 23


a) 10b) 12c) 14

d) 13e) 15

19.Decir cuntos tringulos hay en la siguiente figura?

a) 9b) 12c) 10

d) 11e) 13

20.Decir cuntos cuadrilteros hay en la siguiente figura

a) 5b) 7c) 8

d) 10e) 12

TAREA DOMICILIARIA

01.Cuntos tringulos hay en la figura?

a) 7b) 9c) 11

d) 13e) N.a.

CLAVE: C

02.Cuntos cuadrilteros hay en la siguiente figura?

a) 18b) 22c) 24

d) 20e) 25

CLAVE: B

03.Cuntos cuadrilteros hay en la siguiente figura?

a) 16b) 17c) 18

d) 19e) N.a.

CLAVED


a) 6b) 7c) 8

d) 10e) 11

CLAVED

05.Cuntos tringulos hay en la figura?

a) 20b) 21c) 23

d) 18e) 22

CLAVE: E

06.Ubicar cinco puntos en un plano de modo que al unirlos no queden ms de dos de ellos sobre la misma recta entonces, el mayor nmero de segmentos que se puede determinar al unir todos los puntos es :

a) 5 b) 15 c) 25

d) 35 e) Ms de 35

CLAVE: B

07.Si en un tringulo acutngulo se trazan todas sus medianas, Cuntos tringulos se forman?

a) 18 b) 12 c) 13

d) 15 e) 16

CLAVE: E

08.Hallar el nmero total de tringulos en la figura

a) 72 b) 96c) 100

d) 144 e) N.a.

CLAVED

09.Cuntos trapecios se han formado en la siguiente figura?

a) 3b) 5c) 6

d) 12e) 10

CLAVE : E

10.El nmero de tringulos en la figura es :

a) 40b) 16c) 48

d) 36e) 44

CLAVE: D

11.En un tringulo ABC se trazan (n + 1) rectas paralelas a la base AC. Cuntos tringulos se forman?

a) n + 2b) nc) n(n + 1)

d) n(n - 1)e) n2CLAVE A

12.Cuntos tringulos puede usted distinguir en la siguiente figura?

a) 2b) 4c) 5

d) 6e) 3

CLAVE: C

13.En la figura se da un crculo, un rectngulo y un tringulo superpuestos. Cuntos espacios son comunes a dos y slo dos de dichas figuras geomtricas ?

a) 10b) 8c) 6

d) 4e)2

CLAVE: D

14.Cuntos sectores circulares puede distinguir en la figura siguiente?

a) 8b) 12c) 14

d) 16e) 20

CLAVE: D

15.La mitad del nmero de segmentos de rectas que se presentan en la figura es :

a) 5b) 6c) 7

d) 8e) 9

CLAVE: C


a) 8b) 9c) 11

d) 7e) 10

CLAVE: 12


a) 5b) 8c) 15

d) 12e) 9

CLAVE: C

18.Cul es el mximo nmero de tringulos?

a) 2b) 3c) 4

d) 5e) 6

CLAVE: D

19.En la figura, el nmero total de tringulos y cuadrilteros es :

a) 10b) 11c) 12

d) 13e) 14

CLAVE: D

20.El nmero de tringulos de la figura es :

a) 18b) 22c) 14

d) 30e) 16

CLAVE: B

DESAFI MATEMTICO

Relatos de nmeros gigantes

Un trato ventajoso

No se sabe cundo ni dnde ha sucedido esta historia. Es posible que ni siquiera haya sucedido; esto es seguramente lo ms probable. Pero sea un hecho o una invencin, la historia que vamos a relatar es bastante interesante y vale la pena escuchara. Un millonario regresaba muy contento de un viaje, durante el cual haba tenido un encuentro feliz que le prometa grandes ganancias...

A veces ocurren estas felices casualidades -contaba a los suyos-. No en balde se dice que el dinero llama al dinero. He aqu que mi dinero atrae ms dinero. Y de qu modo tan inesperado! Tropec en el camino con un desconocido, de aspecto muy corriente. No hubiera entablado conversacin si l mismo no me hubiera abordado en cuanto supo que yo era hombre adinerado. Y al final de nuestra conversacin me propuso un negocio tan ventajoso, que me dej atnito.

-Hagamos el siguiente trato -me dijo-. Cada da, durante todo un mes, le entregar cien mil pesetas.

Claro que no voy a hacerlo gratis, pero el pago es una nimiedad.

El primer da yo deba pagarle, risa da decirlo, slo un cntimo.

No di crdito a lo que oa:

-Un cntimo? -le pregunt de nuevo.

-Un cntimo -contest-. Por las segundas cien mil pesetas, pagar usted dos cntimos.

-Bien -dije impaciente-. Y despus?

-Despus, por las terceras cien mil pesetas, 4 cntimos; por las cuartas, 8; por las quintas, 16. As durante todo el mes; cada da pagar usted el doble que el anterior.

-Y qu ms? -le pregunt.

-Eso es todo -dijo-, no le pedir nada ms. Pero debe usted mantener el trato en todos sus puntos; todas las maanas le llevar cien mil pesetas y usted me pagar lo estipulado. No intente romper el trato antes de finalizar el mes.

-Entregar cientos de miles de pesetas por cntimos! A no ser que el dinero sea falso -pens- este hombre est loco! De todos modos, es un negocio lucrativo y no hay que dejarlo escapar.

-Est bien -le contest-. Traiga el dinero. Por mi parte, pagar, puntualmente. Y usted no me venga con engaos. Traiga dinero bueno.

-Puede estar tranquilo -me dijo-; espreme maana por la maana.

Slo una cosa me preocupaba: que no viniera, que pudiera darse cuenta de lo ruinoso que era el negocio que haba emprendido. Bueno, esperar un da, al fin y al cabo, no era mucho!

Transcurri aquel da. Por la maana temprano del da siguiente, el desconocido que el rico haba encontrado en el viaje llam a la ventana.

-Ha preparado usted el dinero? -dijo-. Yo he trado el mo.

Efectivamente, una vez en la habitacin, el extrao personaje empez a sacar el dinero; dinero bueno, nada tena de falso. Cont cien mil pesetas justas y dijo: -Aqu est lo mo, como habamos convenido. Ahora le toca a usted pagar...

El rico puso sobre la mesa un cntimo de cobre y esper receloso a ver si el husped tomara la moneda o se arrepentira, exigiendo que le devolviera el dinero. El visitante mir el cntimo, lo sopes y se lo meti en el bolsillo.

-Espreme maana a la misma hora. No se olvide de proveerse de dos cntimos -dijo, y se fue.

El rico no daba crdito a su suerte: Cien mil pesetas que le haban cado del cielo! Cont de nuevo el dinero y convencise de que no era falso. Lo escondi y psose a esperar la paga del da siguiente.

Por la noche le entraron dudas; no se tratara de un ladrn que se finga tonto para observar dnde esconda el dinero y luego asaltar la casa acompaado de una cuadrilla de bandidos?

El rico cerr bien las puertas, estuvo mirando y escuchando atentamente por la ventana desde que anocheci, y tard mucho en quedarse dormido. Por la maana sonaron de nuevo golpes en la puerta; era el desconocido que traa el dinero. Cont cien mil pesetas, recibi sus dos cntimos, se meti la moneda en el bolsillo y marchse diciendo:

-Para maana prepare cuatro cntimos; no se olvide El rico se puso de nuevo contento; las segundas cien mil pesetas, le haban salido tambin gratis. Y el husped no pareca ser un ladrn: no miraba furtivamente, no observaba, no haca ms que pedir sus cntimos. Un extravagante! Ojal hubiera muchos as en el mundo para que las personas inteligentes vivieran bien ...!

El desconocido presentse tambin el tercer da y las terceras cien mil pesetas pasaron a poder del rico a cambio de cuatro cntimos.

Un da ms, y de la misma manera llegaron las cuartas cien mil pesetas por ocho cntimos.

Aparecieron las quintas cien mil pesetas por 16 cntimos.

Luego las sextas, por 32 cntimos.

A los siete das de haber empezado el negocio, nuestro rico haba cobrado ya setecientas mil pesetas y pagado la nimiedad de: 1 cntimo + 2 cntimos + 4 cntimos + 8 cntimos + 16 cntimos + 32 cntimos + 64 cntimos = 1 peseta y 27 cntimos.

Agrad esto al codicioso millonario, que sinti haber hecho el trato slo para un mes. No podra recibir ms de tres millones. Si pudiera convencer al extravagante aquel de que prolongara el plazo aunque slo fuera por quince das ms! Pero tema que el otro se diera cuenta de que regalaba el dinero.

El desconocido se presentaba puntualmente todas las maanas con sus cien mil pesetas. El 8 da recibi 1 peseta 28 cntimos; el 9, 2 pesetas 56 cntimos; el 10, 5 pesetas 12 cntimos; el 11, 10 pesetas 24 cntimos; el 120, 20 pesetas 48 cntimos; el 130, 40 pesetas 96 cntimos; el 14, 81 pesetas 92 cntimos.

El rico pagaba a gusto estas cantidades; haba cobrado ya un milln cuatrocientas mil pesetas y

pagado al desconocido slo unas 150 pesetas.

TEMA N 04:

ORDENACIN POR AGRUPACIN II

PRCTICA DE CLASE

Preguntas 1 a 5.

Liza, Jonathan, Fidel e Israel salieron de vacaciones cada uno a solo una de las siguientes ciudades: Cuzco, Tacna, Piura y Arequipa. Dos de ellos fueron en mnibus, uno en su auto y uno en avin. Los nombres de los hoteles en los que se alojaron fueron Piura, Tacna, Arequipa y Cuzco. Se sabe que:

-ningn hotel tiene un nombre que coincida con el nombre de la ciudad en la que se encuentra.

-el que lleg al Cuzco no lleg en mnibus.

-Liza se aloj en el hotel Arequipa.

-el hotel Tacna no est en Piura.

-el que viaj en automvil se fue a Tacna.

-el que se aloj en el hotel Piura lleg en mnibus.

01.Qu relacin se cumple?

a) Piura hotel Cuzco

b) Tacna hotel Arequipa

c) Arequipa hotel Piura

d) Cuzco hotel Piura

e) Piura hotel Arequipa

02.Es posible que:

I.Liza haya llegado en mnibus a Piura.

II.Fidel haya llegado en mnibus a Arequipa.

III.Liza haya llegado en avin al Cuzco.

a) solo Ib) solo I y IIc) solo II

d) solo II y IIIe) todas

03.Si Israel viaj en su automvil, entonces es verdad que:

a)Jonathan no viaj a Arequipa

b)Jonathan no viaj a Cuzco

c)Israel no viaj a Tacna

d)Fidel no viaj a Piura.

e)Liza no viaj a Piura.

04.Si Jonathan fue en mnibus, entonces es imposible que:

a)Israel haya viajado al Cuzco.

b)Fidel haya viajado a Tacna.

c)Jonathan haya viajado a Arequipa.

d)Uno de ellos haya llegado en mnibus a Arequipa.

e)Uno de ellos haya llegado en automvil al Cuzco.

05.Para determinar con seguridad qu hotel queda en qu lugar, basta saber qu:

a)Liza viaj en mnibus.

b)Fidel viaj al Cuzco

c)Jonathan viaj en avin al Cuzco

d)Fidel no se hosped en el hotel Tacna.

e)Israel se hosped en el hotel Tacna

Preguntas 6 a 10.

Jazmn desea visitar las siguientes ciudades: Arequipa, Cajamarca, Huaraz, Piura y Trujillo. La secuencia de visita de las ciudades se realizar de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Si Jazmn no visita en primer lugar Cajamarca, entonces primero visitar Trujillo.

-Si Jazmn visita en segundo lugar Arequipa, entonces visitar Huaraz en tercer lugar.

-Podr visitar Piura en segundo lugar, solo si visita Trujillo en ltimo lugar.

-No visitar Cajamarca en cuarto lugar.

06.Una posible secuencia de visita de las ciudades que puede visitar Jazmn, de la primera a la ltima, es:

a)Arequipa, Cajamarca, Huaraz, Trujillo y Piura

b)Trujillo, Arequipa, Piura, Cajamarca y Huaraz

c)Trujillo, Huaraz, Arequipa, Cajamarca y Piura.

d)Cajamarca, Piura, Huaraz, Arequipa y Trujillo

e)Cajamarca, Piura, Huaraz, Trujillo y Arequipa

07.Si se sabe que Jazmn visitar Piura en segundo lugar, cules de las siguientes podran ser las ciudades que visitar en cuarto lugar?

I.Huaraz

II.Arequipa

III.Trujillo

a) solo I y IIb) solo IIc) solo III

d) solo II y IIIe) ninguna

08.Si se sabe que Jazmn visitar Arequipa en segundo lugar, cuntas diferentes secuencias de visita de las ciudades puede elegir?

a) 1

b) 2c) 3

d) 4

e) ms de 4

09.Si se sabe que Jazmn visitar Trujillo en tercer lugar, entonces es imposible que visite:

a)Cajamarca en primer lugar.

b)Arequipa en segundo lugar.

c)Piura en cuarto lugar.

d)Huaraz en segundo lugar.

e)Piura en quinto lugar.

10.Para determinar exactamente en qu orden visitar las ciudades, es suficiente saber que Jazmn:

I.visitar Piura en tercer lugar.

II.visitar Cajamarca en ltimo lugar.






Preguntas 11 a 15.

Siete estudiantes, Bernardo, Pedro, Hernn, Gonzalo, Martn, Ral y Sergio, participaron en una carrera de autos, donde no hubo empates. Tres de los autos eran rojos, dos acules, uno verde y uno blanco. El orden en que los participantes cruzaron la meta cumpli con las siguientes condiciones:

-Ral lleg despus de Bernardo y particip con un carro blanco.

-Gonzalo lleg antes que Martn, pero despus de Bernardo y que Sergio.

-Hernn lleg despus de Gonzalo pero antes que Pedro.

-El auto en el que particip Hernn es rojo.

-El primero y el ltimo en llegar fueron autos rojos.

-Un auto rojo lleg inmediatamente antes e inmediatamente despus de autos del mismo color.

11.Cul de los siguientes fue un posible orden de llegada, del primero al ltimo, respectivamente?

a)Bernardo, Sergio, Gonzalo, Ral, Martn, Pedro y Hernn.

b)Sergio, Bernardo, Gonzalo, Martn, Ral, Pedro y Hernn.

c)Bernardo, Ral, Sergio, Gonzalo, Hernn, Martn y Pedro.

d)Sergio, Ral, Martn, Bernardo, Gonzalo, Hernn y Pedro.

e)Ral, Bernardo, Gonzalo, Sergio, Hernn, Pedro y Martn.

12.Cul de las siguientes es una lista completa de los estudiantes que pudieron llegar en tercer lugar?

a)Bernardo y Sergio

b)Bernardo y Ral

c)Bernardo y Gonzalo

d)Gonzalo, Ral y Sergio

e)Bernardo, Ral y Sergio

13.Para determinar quin gan la carrera, es suficiente saber que:

I.Ral lleg segundo.

II.Sergio lleg tercero.






14.Si los autos blanco y verde no llegaron en puestos consecutivos, es verdad que:

I.Ral lleg sexto.

II.Pedro particip en un auto rojo.

III.un auto rojo lleg en cuarto lugar.


d) solo I y IIIe) solo I y II

15.Si el auto verde lleg en tercer lugar, entonces es verdad que:

I.Miguel particip en un auto azul.

II.Ral no lleg segundo.

III.Sergio lleg tercero.


d) solo II y IIIe) ninguna

Preguntas 16 a 20.

Cuatro alumnas, Alina, Brunella, Carola y Diadema, deben participar en las siguientes pruebas de ciencias: Aritmtica, Qumica, Geometra y Fsica. La distribucin de las pruebas se realizar de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Cada una deber participar en una prueba diferente.

-Si Brunella participa en la prueba de Qumica, entonces Carola participa en la prueba de Fsica.

-Si Carola participa en la prueba de Qumica, entonces Brunella participa en la prueba de Geometra.

-Diadema no participar en la prueba de Aritmtica.

16.Alina, Brunella, Carola y Diadema pueden participar, respectivamente, en la prueba de:

a)Aritmtica, Qumica, Geometra y Fsica.

b)Geometra, Qumica, Fsica y Aritmtica.

c)Geometra, Fsica, Qumica y Aritmtica.

d)Fsica, Geometra, Aritmtica y Qumica.

e)Fsica, Qumica, Aritmtica y Geometra.

17.Si Brunella participa en la prueba de Qumica, cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)Alina participa en la prueba de Geometra.

b)Alina participa en la prueba de Aritmtica.

c)Carola participa en la prueba de Aritmtica.

d)Carola participa en la prueba de Geometra.

e)Diadema participa en la prueba de Fsica.

18.Si Alina participa en la prueba de Geometra, entonces cul de las siguientes afirmaciones es imposible?

a)Brunella participa en la prueba de Fsica.

b)Brunella participa en la prueba de Qumica.

c)Carola participa en la prueba de Fsica.

d)Carola participa en la prueba de Aritmtica.

e)Diadema participa en la prueba de Qumica.

19.Si Carola participa en la prueba de Qumica, es verdad que:

I.Diadema participa en la prueba de Fsica.

II.Brunella participa en la prueba de Geometra.

III.Alina participa en la prueba de Aritmtica.

a) solo Ib) solo II y IIIc) solo I y II

d) solo I y IIIe) todas

20.Si agregamos la condicin: Alina participa en la prueba de Aritmtica, si Carola no participa en la prueba de Geometra, entonces es verdad que:

I.Alina no puede participar en la prueba de Geometra.

II.si Alina participa en la prueba de Fsica, Diadema participa en la prueba de Qumica.

III.Carola no participa la prueba de Aritmtica.

a) solo I y IIb) solo II y IIIc) solo I y III

d) todase) ninguna

TAREA DOMICILIARIA

Preguntas 01 a 05.

Cinco personas, Javier, Marco, Pedro, Gonzalo y Roberto, trabajan en un taller de carpintera. Durante cada turno, cada persona debe realizar solo una de las siguientes funciones: barnizar, lijar, clavar, serrar y tallar, de acuerdo a las siguientes condiciones:

-Javier solo puede clavar, serrar o tallar.

-Marco solo puede barnizar, lijar o tallar.

-Pedro solo puede serrar o tallar.

-Gonzalo solo puede barnizar o lijar.

-Roberto solo puede lijar, clavar o serrar.

-Si Marco es asignado para lijar, entonces Roberto es asignado para clavar.

-Pedro es asignado para serrar, solo si Javier es asignado para tallar.

01.Si Pedro es asignado para serrar en un determinado turno, quin podr lijar en ese turno

I.Gonzalo

II.Marco

III.Roberto


d) todase) ninguna

02.Si Marco es asignado para barnizar en un determinado turno, cul de las siguientes afirmaciones, con respecto a ese turno, es verdadera?

a)Gonzalo ser asignado para lijar.

b)Roberto ser asignado para clavar.

c)Pedro ser asignado para tallar.

d)Pedro ser asignado para serrar.

e)Javier ser asignado para tallar.

03.Si Marco es asignado para lijar en un determinado turno, cul de las siguientes afirmaciones, con respecto a ese turno, es imposible?

a)Gonzalo es asignado para barnizar.

b)Javier es asignado para serrar.

c)Pedro es asignado para tallar.

d)Roberto es asignado para clavar.

e)Javier es asignado para clavar.

04.Si Roberto es asignado para serrar en un determinado turno, cules de las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, con respecto a ese turno?.

I.Gonzalo es asignado para barnizar.

II.Javier es asignado para tallar.

III.Marco es asignado para lijar.


d) todase) ninguna

05.Si Javier es asignado para tallar en un determinado turno, cules de las siguientes afirmaciones puede ser verdaderas, con respecto a ese turno?

I.Marco es asignado para lijar.

II.Gonzalo es asignado para barnizar.

III.Roberto es asignado para clavar.


c) todase) ninguna

Preguntas 06 a 10.

Cinco personas, Alicia, Blanca, Celia, Dora y Emily, deben realizar ciertas compras en las tiendas V, W, X, Y y Z, bajo las siguientes condiciones.

-Si Alicia no realiza las compras en V, entonces Emily no realiza las compras en Z.

-Blanca realizar las compras en W si y solo si Dora realiza las compras en Y.

-Celia no realizar las compras en X a menos que Alicia realice las compras en Y.

-Emily no realizar las compras en V.

-Cada una realizar las compras en una tienda diferente.

06.Alicia, Blanca, Celia, Dora y Emily pueden realizar las compras, respectivamente, en las tiendas:

a) V, W, X, Y y Z.

b) V, W, Z, Y y X.

c) V, X, W, Y y Z.

d) V, W, Y, X y Z.

e) W, V, X, Y y Z.

07.Si Celia realiza las compras en la tienda X, cules de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I.Alicia realiza las compras en la tienda Y.

II.Blanca realiza las compras en la tienda Z.

III.Emily realiza las compras en la tienda W.


d) todase) ninguna

08.Si Alicia realiza las compras en la tienda W, es imposible que:

I.Celia realice las compras en la tienda X.

II.Dora realice las compras en la tienda Y.

III.Emily realice las compras en la tienda Z.


d) todase) ninguna

09.Si Blanca realiza las compras en la tienda W, se cumple que las compras en X la realiza:

a) Celiab) Emilyc) Alicia

d) Dorae) no se puede precisar

10.Para determinar con seguridad en qu tienda realizar cada una las compras, basta saber que:

I.Emily realizar las compras en la tienda Z.

II.Dora realizar las compras en la tienda X.






Preguntas 11 a 15.

Cinco amigos, Arturo, Bruno, Carlos, Daniel y Ernesto, viven en distritos distintos de Lima, Ate, Brea, Comas, Lince y Surco, no necesariamente en ese orden. Cada uno tiene solo un carro. Los colores de dichos son azul, verde, plomo, rojo y blanco. Se sabe que:

-Arturo no tiene un carro azul ni vive en Brea.

-el dueo del carro plomo vive en Ate.

-el dueo del carro blanco vive en Surco.

-Carlos tiene un carro rojo y no vive en Comas.

-el dueo del carro verde acostumbra recibir en su casa de Brea la visita de Daniel.

11.El dueo del carro rojo vive en:

a) Ateb) Breac) Comas

d) Lincee) No se puede determinar

12.Quin es el dueo del carro azul?

a) Arturo b) Brunoc) Carlos

d) Daniele) No se puede determinar

13.Quin vive en Lince?

a) Arturob) Brunoc) Carlos

d) Daniele) No se puede determinar

14.La relacin imposible es:

a) Ernesto carro azul

b) Daniel carro plomo

c) Arturo carro verde

d) Lince carro rojo

e) Comas Bruno

15.Para determinar con seguridad dnde vive cada uno de los cuatro amigos, basta saber que:

I.Bruno vive en Comas.

II.el carro plomo no es de Daniel






Preguntas 16 a 20.

A, B, C, D, E, F, G, H, J y K representan nmeros enteros positivos menores que 11, y se sabe que:

-A es mayor que B pero menor que C.

-D es menor que A y mayor que E.

-A es mayor que J pero menor que F.

-J no es mayor que H ni menor que K.

-G es mayor que H.

-C no es menor que G.

16.Podemos afirmar con certeza que:

a)F es mayor que G.

b)F es mayor que C.

c)D es menor que B.

d)G es mayor que D.

e)C es mayor que J.

17.Cules de los siguientes no pueden ser iguales?

a) F y Hb) D, J y Kc) G, E y B

d) J, F y De) H y A

18.Para saber qu nmero es el menor, se debe saber adems que:

a)D es menor que K y mayor que B.

b)B es menor que K y mayor que D.

c)K es mayor que E y B.

d)B y D son iguales.

e)K es menor que B.

19.Si se supiese que K es mayor que D y menor que B. Entonces se podra determinar que:

a)el mayor es F.

b)el mayor es C.

c)el menor es E.

d)el menor es D.

e)B es mayor que J.

20.Es posible que:

I.G sea igual a 10.

II.haya cinco nmeros iguales entre s.

III.A sea menor que cuatro de estos nmeros.

a) solo I y II

b) solo I y III

c) solo II y III

d) solo III

e) todas

EL MIEDO A LAS COSAS

Mirar hacia afuera, observar la realidad, es a menudo duro, desagradable. La realidad es increblemente compleja e imprevisible. Para vivir debemos construirnos esquemas mentales, explicaciones simplificadas del mundo. El cientfico hace lo mismo. A partir de la observacin construye una teora y esto lo ayuda a orientarse en medio de los hechos. Pero luego llega el da en que los hechos no se adaptan ms al esquema, lo desmienten. Y entonces debe abandonar su conclusin, volver a la incertidumbre, y no es placentero. Muchos se defienden construyendo una barrera. Bajo su amparo quedan en contacto slo con aquello que no produce heridas, dudas, incertidumbres. Es el caso de los amigos que se renen cada noche en la casa de uno o de otro, o bien en el crculo o en el bar. Aqu conversan, hablan por largo rato. Pero el objetivo de la conversacin no es conocer el mundo a travs de las experiencias y el juicio de los otros. Quieren asegurarse de que nada ha cambiado. Ni ellos ni el mundo, que todo sigue como siempre.Existe en cambio quien, para no arriesgarse, evita las relaciones con las otras generaciones. Y esto sucede no slo a los ancianos, sino tambin a los jvenes. Una vez pas una semana de vacaciones en una villa, aislado, en la cual haba tres grupos de distintas edades, sin relaciones entre ellos: los cincuentones, los de treinta aos, los adolescentes. La monotona era tal que todos haban vuelto a un estado vegetativo.Nosotros tambin obtenemos un resultado anlogo buscando, en las lecturas, en el cine y en la televisin, slo aquello que nos gusta, que nos divierte. Pero cmo, puede protestar alguna persona, ahora tengo que ver las cosas que no me gustan? Y sin embargo, si uno se limita a observar slo los programas que no lo molestan, es como si se quedara siempre solo consigo mismo y con sus amigos. No entiende cuan increblemente distintos son los otros, el mundo.Toda diferencia, toda cosa extraa, nos hiere, pero nos obliga a entender, a pensar y nos enriquecemos. Yo no creo que debamos renunciar a nuestra seguridad. Pero debemos tener siempre en claro el conocimiento de que el mundo es infinitamente ms rico y mutable que la pobre representacin que nos hacemos de l. Si nos parece que nada ha cambiado es porque hemos perdido las relaciones con la realidad.En la Unin Sovitica todo permaneca idntico. Uno iba al mismo ministerio, a la misma habitacin, encontraba al mismo funcionario, que deca las mismas cosas. El sistema haba logrado excluir la interferencia con el mundo exterior.Todos los regmenes totalitarios y autoritarios tratan de reducir el cambio al mnimo. Y, para lograrlo, atacan al enemigo, lo acusan de todas las iniquidades. Las tensiones internas que llevan al cambio se descargan hacia afuera, se neutralizan.El ltimo instrumento con el que se evita la dura relacin con la realidad es el poder. Hay personas que usan el poder para no saber. Se quedan encerrados en su empresa, en relacin slo con las personas de su mismo ambiente, a menudo serviles o cortesanos. Cuando perciben que el mundo cambia y tienen miedo, no quieren sentirse contradecidos ni por los hombres ni por los hechos. Es as como se arruinaron los polticos de la primera repblica; al quedarse entre ellos y al usar un lenguaje que se haba vuelto incomprensible y vaco.I UNIDAD

planteamiento de

ecuaciones

PREREQUISITOS:

A)ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA.

Toda ecuacin de 1 grado con una incgnita, puede reducirse a la forma:

a x + b = 0

(al primer miembros se le denomina funcin lineal).

Se observa que:

1 Si: a ( 0 la raz es -b/a

2 Si: a = 0 y b ( 0 la raz no existe

3 Si: a = 0 y b = 0 la raz es un nmero cualquiera (ecuacin indeterminada)

4 Si: a = 0 y b = 0 la raz es cero.

EJEMPLOS:

01. 3x + 4 (x 3) = 4 (x 4) + 2

02. = 7 (x 1 )

03. 5x + (x 4) = 0

04. = x 4 05. 8x + (x + 5) = x

06.

07. 8 + 9 (x 3) =

08. (x + 4) = 0,2 (x 1)

09. 4 = 3

010. (x 3) =

11.3 (x 4) = 5 (x + 3)

12.8 (x+ 4) = 3 (x 9)

13.

=

14.

= 1,5 (x + 1)

15.2,3 x +9 (x 1) = 5 + 2

B)SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES

B.1.Una ecuacin en dos variables o en dos incgnitas de primer grado (lineal) es de la forma: ax+by=c donde a, b, c son constantes con a ( 0, b ( 0; x e y son las variables o incgnitas.

Ejemplo:

Las siguientes ecuaciones son lineales:

01.x + 3y = 7

02.y = x+ 4

03.3x-2y = -4

04.6x - 4y = - 8

Un sistema de dos ecuaciones con dos variables de primer grado (lineales) es de la forma:

ax + by = c

dx + ey = f

donde a, b, c, d, e, f son constantes, con a, b, d, e no todas nulas.

Si S1 y S2 son los conjuntos solucin de estas ecuaciones, el conjunto solucin del sistema es el conjunto S = S1 ( S2

Ejemplo:

x + y = 15

4x + 2y = 14

S1 = {(0,5), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1), ...}

S2 = {(0,7), (1,5), (2,3); (3,1), (4,1), ...}

La solucin del sistema es

S =S1(S2 = {(2,3)}

Son las que satisfacen para iguales valores de las incgnitas

Ejm:

B.2.RESOLUCIN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES.

Existen 3 mtodos de eliminacin: El de Sustitucin, el de Igualacin y el de Reduccin.

A.MTODO DE SUSTITUCIN.

Consiste en despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones del sistema (de preferencia la que tenga el menor coeficiente), luego sustituir su valor en la otra ecuacin y por ltimo resolver la ecuacin de 1er grado con una variable que resulta. As.

Ejm : Resolver :

Solucin.

Despejando y en la ecuacin ( 1 )

y = 41 - 5 x

Reemplazando este valor en la ecuacin ( 2 )

2 x + 3 ( 41 5x ) = 32 .... Luego x = 7

Sustituyendo x = 7 en la ecuacin ( 1 )

5x + y = 41 ( 5 ( 7 ) + y = 41 ....

Luego:y = 6

CS = { 7, 6 } Rpta

B.MTODO DE IGUALACIN.

Consiste en despejar la misma variable en cada una de las 2 ecuaciones e igualar, luego las 2 expresiones que representan el valor de la variable despejaba.

Ejm:

Resolver :

Solucin:

Despejando x en cada uno de las ecuaciones dadas.

Igualando estos valores:

8 ( 6 + 5y ) = 13 ( 28 3y )

( 48 + 40 y = 364 - 39 y

40 y + 39 y = 364 - 48

y = 4

Reemplazando y = 4 en la ecuacin ( 2 )

8 x + 3 ( 4 ) = 28 ( 8 x = 28 - 12

( x = 2

CS = { 2, 4 } Rpta.

C.MTODO DE REDUCCIN.

Consiste en igualar el valor absoluto de los coeficientes de la misma variable en las 2 ecuaciones, por medio de la multiplicacin, y luego sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones obtenidas, para de esa manera eliminar dicha variable.

Ejm:

Resolver :

Solucin:

Eliminaremos a y y multiplicamos a la ecuacin ( 1 ) x 2 y a la ecuacin ( 2 ) por 3. As:

2 ( 4 x + 3 y ) = ( 3 4 ) 2 ( 8 x + 6y = 68

3 ( 6 x 2 y ) = ( 12 ) 3 ( 8 x 6y = 36

26 x = 104

x = 4

Sustituyendo x = 4 en ( 1 )

4 ( 4 ) + 3 y = 34

( 16 + 3 y = 34

3 y = 34 - 16

3 y = 18

y = 6

CS = { 4, 6 } Rpta.

EXISTE UN CUARTO MTODO LLAMADO:

D.MTODO POR DETERMINANTES.

Consiste en aplicar el concepto de MATRIZ

Ejm. Resolver:

Solucin

a)Hallamos el determinante del sistema D, usamos la matriz 2 x 2, colocamos los coeficientes de x y de y.

b)Hallando el determinante de x: D ( x ), reemplazando los coeficientes de x por los trminos independientes, respetndose los coeficientes de y. As:

c)Hallando D ( y ), as :

Para hallar

Para hallar

PRACTICA DE CLASE

I PARTE: RESOLVER:

01.3x + 4 (x 3) = 4 (x 4) + 2

02.

= 7 (x 1)

03.5x + (x 4) = 0

04.

= x 4

05.8x + (x + 5) = x

06.

07.8 + 9 (x 3) =

08.

(x + 4) = 0,2 (x 1)

09.4 = 3

10.

(x 3) =

II PARTE: RESOLVER:

11.

a) ( - 3, -1 ) b) ( 1, 3 ) c) ( -1, 3 )

d) (3, 1 ) e) N.A.

12.

a) ( - 7, - 3 )b) ( 3, 7 )c) ( -3, - 7 )

d) ( -3, 7 )e) N.A.

13.

a) (4/3, - 5/2)b) (3/4, 2/5)c) (- 3/4, 5)

d) (- 3, - 5)e) N.A.

14.

a) (- 2/3, - 3)b) (2/3, 4)c) (2/3, 2)

d) (3, - 2)e) N.A.

15.

a) (1/3, 1/2)b) (1/2, 1/3)c) (2,- 3)

d) (- 1/2, - 1/3)e) N.A.

16.

a) ( 3, 4 )b) ( -3, 4 )c) ( 3, - 4 )

d) ( - 3, 4 )e) N.A.

17.

a) ( 1/2, 1 )b) ( 2, 1/3 )c) ( 1, 1/2)

d) ( 3, 1/4 )e) N.A.

18.

a) (2/3, 8)b) (- 2/3, 9) c) (- 2/3, 1)

d) (- 2/3, 7) e) N.A.

19.

a) ( - 4, - 5)b) ( - 5, - 4 ) c) ( 4, 5 )

d) ( 5, 4 )e) N.A.

20.

a) (12, 14) b) (14, 12)c) (- 12, 14)

d) (-14, 12) e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA

01.3 (x 4) = 5 (x + 3)

02.8 (x+ 4) = 3 (x 9)

03.

=

04.

= 1,5 (x + 1)

05.2,3 x +9 (x 1) = 5 + 2

06. 2x + (x - 45) = 3x-4

07.

08. 10 + 3 (4x 3) =

09. (4x -2) = 0,10 (x 10)

10. 4 = 3

11.

a) ( 3, 1 )b) ( 1, 3 )c) ( -1, 3 )

d) ( - 3, 1 ) e) N.A.

12.

a) ( -2, 5 )b) ( 5, 2 )c) ( -2, 3 )

d) ( -2, -6 )e) N.A.

13.

a) ( -4, - 20 )b) ( 4, - 18 )c) ( 4, 4 )

d) ( 4, 20 )e) N.A.

14.

a) ( -2, -1)b) ( -1, -2 )c) ( 2, 1 )

d) ( 0,3 )e) N.A.

15.

a) (1, 2 )b) ( -1, -2)c) ( 2, 1 )

d) ( -2, -3 )e) N.A.

16.

a) ( 6, 2 )b) ( 2, 2)c) ( 6, 6 )

d) ( 0, 0 ) e) N.A.

17.

a) ( 0, 3 )b) ( 4, 0 )c) ( -2, -4 )

d) ( 2, 4 )e) N.A.

18.

a) ( 1, -2 )b) (- 6, - 8 )c) ( 7, - 8 )

d) ( 8, 7 ) e) N.A.

19.

a) ( 3, 4 )b) ( - 3, - 4 )c) ( 2, 4 )

d) ( - 3, 0 )e) N.A.

20.

a) ( 2, 2 )b) ( 3, 3 )c) ( 4, 4)

d) ( 5, 5 )e) N.A.

planteamiento de

ecuaciones INTRODUCCINUno de los principales problemas de Algebra desde tiempos antiguos a sido resolver ecuaciones a medida que el Algebra avanzaba se resolvan problemas mas complicadas.

A este captulo se le considera como la base del desarrollo del Algebra ya que sirve como base para desarrollar los siguientes captulos as como tambin desarrollar las diferentes ramas de la ciencia.

A continuacin haremos un momento histrico relacionado con el tema de ecuaciones.

Los nmeros gobiernan el universo

En la msica se estudi los distintos tonos producidos por las cuerdas de un instrumento musical como el violn y descubrieron que el sonido variaba con la longitud de la cuerda, de ah que expresaran los intervalos de la escala musical en trminos de razones numricos correspondientes a las longitudes de la cuerda del instrumento.

Los pitagricos crean tambin que el movimiento de los planetas se poda reducir a relaciones numricas y que los cuerpos que se movan en el espacio producan sonidos que variaban proporcionalmente a la distancia de la tierra. Todos esos sonidos se concentraban para crear una msica sublime, la msica de las esferas inaudible para nosotros porque somos como el herrero y sus ayudantes, que han dejado de or los ruidos que permanentemente los rodean ya que no los pueden contrastar con el silencio

En las obras de Alkuwarizmi se explica con precisin los procedimientos de resolucin de las ecuaciones con la introduccin del principio de la reduccin de los trminos semejantes y el traslado de un miembro a otro de los trminos cambindoles de signo, aplicndose tambin en la demostracin del Teorema de Pitgoras.

A la izquierda el Teorema en un antiguo texto rabe del 1258

A la derecha una pgina del ALGEBRA de Alkuwarizini (segn una copia de 1416)

Recopilado del libro Consultor Estudiantil Matemticas Visin Histrica Ediciones Grijalbo S.A.

Por lo tanto el procedimiento de resolucin consiste en transformar la ecuacin en otras equivalentes y de forma mas sencilla. Estas transformaciones a las cuales Alkuwarizmi llama en rabe al - giabr dieron origen a la palabra lgebra que pese a haber nacido como ciencia de las ecuaciones hoy ha alcanzado dimensiones mucho ms amplias.

planteamiento de ECUACIONES Plantear una ecuacin es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemtico (Ecuaciones).

Procedimiento bsico para plantear una ecuacin

1:Leer detenidamente el enunciado del problema, las veces que sean necesarios hasta comprender el problema.

2:Extraer los datos.

3:Ubicar la (s) incgnita (s) y representarla mediante (s) variables (s).

4:Relacionar los datos construyendo una igualdad lgica.

5:Resolver la (s) ecuacin (es) planteadas en el paso anterior.

6:Volver a leer la pregunta para responderla.

Traduccin y representacin

Forma escrita

(verbal)Forma

Simblica

A es tres veces ms que B

El triple de un nmero, disminuido en 6

A 8 se le resta un nmero

Se resta un nmero a 18

Se resta de un nmero 18

El nmero de naranjas excede al nmero de pltanos

Cuatro menos tres veces un nmero equivale al doble de, el mismo nmero disminuido en 8

Importante:

*Aumentado, agregado:Suma (+)

*De, del, de, los: Producto (x)

*Es, como, ser, tendr, nos da: Igualdad(=)

*Es, a, como, entre: cociente (:)

*Cantidad de veces: Producto (x)

*Mayor, excede a: Un nmero tiene ms que otro.

*Menor, excedido: Un nmero tiene menos que otro

ANALICEMOS ALGUNOS EJEMPLOS

El arte de plantear ecuaciones.

El idioma del lgebra es la ecuacin. "Para resolver un problema referente a nmeros o relaciones abstractas de cantidades, basta con traducir dicho problema, del ingls u otra lengua al idioma algebraico, escribi el gran Newton en su manual de lgebra titulado Aritmtica Universal. Isaac Newton mostr con ejemplos cmo deba efectuarse la traduccin. He aqu uno de ellos:

1.El comerciante

Problema:Un comerciante tena una determinada suma de dinero x, El primer ao se gast 100 libras, aument el resto con un tercio de ste, al ao siguiente volvi a gastar 100 libras y aument la suma restante en un tercio de ella, el tercer ao gast de nuevo 100 libras, despus de que hubo agregado su tercera, el capital lleg al doble del inicial. Para determinar cul es el capital inicial del comerciante no queda ms que resolver la ltima ecuacin.

La solucin de una ecuacin es, con frecuencia, tarea fcil; en cambio, plantear la ecuacin a base de los datos de un problema suele ser ms difcil. Hemos visto que el arte de plantear ecuaciones consiste, efectivamente, en traducir "la lengua vernculo a la algebraica". Pero el idioma del lgebra es lacnico en extremo, por eso no todos los giros del idioma materno son de fcil traduccin. Las traducciones pueden ser muy distintas por el grado de su dificultad, como puede podr convencerse a la vista de los ejemplos de ecuacin.

Veamos algunas formas:

I FORMA

II FORMA

2.La vida de Diofanto

Problema

La historia ha conservado pocos rasgos biogrficos de Diofanto, notable matemtico de la antigedad. Todo lo que se conoce acerca de l ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripcin compuesta en forma de ejercicio matemtico. Reproducimos esta inscri

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