BARTSCH Matematicke Vzorce

Peloil, upravil a doplnil
8/15/2019 BARTSCH Matematicke Vzorce
http://slidepdf.com/reader/full/bartsch-matematicke-vzorce 4/831
Píruka zahrnuje nejdulei tjš í def in ice , vty a metody ze základních obor ui té matematiky .
Z v lá š tn í p o zo rn o st j e v n o v á n a v ý b ru ma tema t ick ý ch v zo rc a i lu s tra t iv n ím ešen ý m p ík la d m.
Kro m zá k la d ma tema t ick é lo g ik y a t eo r ie mn o in o b sa h u je a r i tmet ik u a e l emen tá rn í a lg eb ru ,
ro v n ice a n ero v n ice , zá k la d n í fu n k ce , p ro cen to v ý a ú ro k o v ý p o et , v ek to ro v ý a ma t ico v ý p o et ,
e l emen tá rn í g eo metr i i , ro v in n o u a s fér ick o u tr ig o n o metr i i , a n a ly t i ck o u g eo metr i i v ro v in a p ro
storu , d i ferenciá ln í a integrá ln í poet , d i ferenciá ln í geometri i , obyejné a parciá ln í d i ferenciá ln í
ro v n ice , p o s lo u p n o st i a ra d y , F o u r ier v in teg rá l a L a p la ceo v u tra n sfo rma ci , p o et p ra v d p o d o b
n o s t i a ma tema t ick o u s ta t i s t ik u , l in eá rn í o p t ima l i za c i , sp ín a o v o u a lg eb ru a v zo rce z reg u la n í techniky .
P íru k u d o p l u j í ma tema t ick é ta b u lk y , p eh led zn a k a sy mb o l , p eh led l i t era tu ry a v cn ý
rejstík.
J e u ren a s tu d u j íc ím s ted n ic^ šk o l v šech za men í , p o s lu ch a m v y so k ý ch šk o l t ech n ick ý ch ,
a le h lavn tm tenám, kteí pi své pracovní nebo studijn í innost i potebují rychlou a pesnou
in fo rma ci ze zá k la d n ích o b la s t í a p l ik o v a n é ma tema t ik y .
Red a k ce t eo re t i ck é l i t era tu ry
H l a v n í r e d a k t o r k a R N D r . B l a n k a R u t i n o v á , C S c .
O d p o v d n ý r e d a k t o r V l a d i m í r D o l e a l , p r o m o v a n ý m a t e m a t i k
© Dr . In g . Ha n s-J o ch e n B a rtsch : T a s ch e n b u ch ma th em a t i sch er F o rm eln . 1 7. Au f la g e . L e ip z ig ,
V E B F a c h b u c h v e r l a g 1 9 7 9
T ra n s la t io n © In g . Z d en k T ich ý , 1 9 83
O B S A H
P E D M L U V A K E S K É M U V Y D Á N Í 14
P E D M L U V A K 17. N M E C K É M U V Y P Á N Í 16
0. P E H L E D Z N A K A S Y M B O L , Í S E L N É T A B U L K Y , M A T E M A T I C K Á
L O G I K A A M N O I N Y 19
0.1. Peh led znak a sym bo l 19
0 .1 .1 . M atem at i ck á log ika 19
0 .1 .2 . M no iny , zobra zen í , funkce 200.1.3. S t a n d a r d n í o z n a e n í n k t e r ý c h m n o i n 2 4
0 .1 .4 . í se lné kon s tan ty 26
0.1 .5 . Elem entár ní ar i tm et ika a a lgeb ra 27
0 .1.6 . K om ple xn í í s l a 28
0 .1 .7. Ve ktor ová a lgebra a vek torov á ana lý za 28
0 .1.8 . M at i ce a de term inanty 30
0 .1 .9 . G eom etr i e 31
0 .1 .10 . M atem at i ck á ana lý za 34
0.1 .1 L Elem entá rní funk ce 38 0.1 .12 . Spe ciá lní funk ce 40
0 .1 .13 . D i f erenc iá ln í geom etr i e 41
0 .1 .14 . La plac eov a t rans form ace 42
0 .1 .15 . Po e t pra vd pod obn os t i , m atem at i ck á s ta t i s t ika a t eor i e chy b 42
0 .1 .16 . Regu lan í t echn ika 44
0.2 . íse lné tabu lky 45
0.2.1. T a b u l k y h o d n o t n2, w 3 , Jn, inn2, nn a lg n p ro n od 1 d o 100 ; 45
0 .2 . 2. G o n i o m e t r i c k é f u n k c e 4 7 0 .2 .3 . M oc nin y o zák la du 2 56
0 .2.4 . De s í tk ov é záp i sy pro a. 8" 57
0 .2.5 . O sm ik ov é záp i sy pro a. 10" 58
0.3. M a t e m a t i c k á l o g i k a 5 9
0 3 . 1 . ^ V ý r o k o v ý p o e t 5 9
0 .3 .2 . Pre d iká tový po e t 65
0 .4 . M no in y , zobra zen í a funkce 68
0.4.1. M n o i n y 6 8
0 .4 .2 . M n o i n o v é o p e r a c e 7 1
0.4 .3 . V ty o m no in ác h ' . . . . 73
0 .4 .4 . K a r t é z s k ý s o u i n d v o u m n o i n . 7 6
5
0.4.(j. Zobrazení, operac e, funkce 83
0.4.7. Kone né, nekone né a spoetné mnoiny, mohut nost mnoiny 89
Ó.4.8. Algebraické struktury 91
0.4.9. Nkol ik topol ogick ých pojm 98
1. ARITM ETIKA A EL EM ENT ÁRN Í ALGEB RA 103 1.1. íselné mno iny 103
1.1.1. lvlnoina všech pirozených ísel 103
L1.2 . Mno ina všech celých ísel 104
1.1.3. Mno in a všech racionálních ísel " 105
1.1.4. Mn o in a všech reálných ísel 106
1.2. Operace na mnoinách Z, Q a R 106
1.2.1. Základní operace na mno inác h Z, Q a R 106
1.2.2. Absolu tní hod not a reálného ísla 110 1.2.3. Moc nina a odmocn ina 111
1.2.4. íse lné soustavy 114
1.2.5. Dlení se zbyt kem a beze zbytku v mno in Z. Dli telnost v mno i n Z .. . . . 121
1.2.6. Uspo ádán í na mno in R 128
1.3. Komplexní ísla 129
1.3.2. Ryze imaginární ís la . . 131
1.3.3. Komple xní ísla v kartézském tvaru . 132
1.3.4. Kom ple xní ísla v goni ometri cké m tvaru 134
1.3.5. Kom ple xní ísla v expo nenciá lním tvaru 138
1.3.6. Grafické metody 139
1.4.1. Pibliná ísla 143
1.4.3. Pravid la pro pibliné výpo ty 1 4 6
1.5. Úm r y 149
1.6. Logari tmován í 151
1.6.1. Zák ladní pojmy '. . 151
1.6.2. Vlastnosti logari tm 153
1.6.3. Urován í desí tkových logaritm z logari tmických tabu lek . 153
1.6.4. Pirozené logari tmy komple xní ch ísel , 155
1.7. Kom binato rik a 156
1.7.1. Binomi cké koeficienty, binomická vta . . 156
1.7.2. Permutac e 160
6
1.8 . Po s lo up no st i reálný ch íse l 165
1.8.1 . Zá klad ní po jm y 165
1 .8 .2 . Ar i tm et i cké po s lou pn os t i 167
1 .8 .3 . G eom etr i c ké po s lou pn os t í ^ . 170
1.8.4. Vy vo len á ísla 171
1 .9 . Pro cen tov ý poe t , úro kov ý po e t 172
1 .9 .1 . Pro cen tov ý poe t , pro m i lový po e t 172
1 .9 .2 . Ú ro ko vý poe t 174
1.9 .3 . S lo en ý úr ok ov ý po et 175
1 .9 .4 . D c ho do vý po e t 177
1.10 . M at ic e 180
1.10 .2 . Op era ce s m at ice m i 184
1.10.3 . N k ter é typy m at ic 1931 .10 .4 . Pou i t í m at i c ov ého po tu 196
1 .11 . De term inan ty 198
1 .11 .2 . V las tnos t i de term inantu tver cové mat i ce 202
1 .11 .3 . ešen í sous tavy l ineárn ích rovn ic po m oc í de term inant 207
2. R O V N I C E , F U N K C E , V E K T O R O V Ý P O E T 2 09
2.1. R o v n i c e 2 0 9
2.1.1 . Z á k l a d n í p o j m y 2 0 9
2 .1.2 . A lgeb ra ické rovn ice s j ed no u nez ná m ou 211
2.1.2 .1 . L i n e ár n í r o v n i c e s j e d n o u n e z n á m o u 2 1 2
2 .1.2 .2 . Kv adra t i cká rovn ice s j ed no u ne zn ám ou 212
2 .1 .2 .3 '.. K ub ická rovn ice s j ed no u ne zn ám ou 214
2 .1.2 .4 . A lgebra ická rovn ice w- tého s tup n s j ed no u ne zná m ou 217
2 .1.3 . Tra nscen dentn í rovn ice 220
2.1.3 .1 . E x p o n e n c i á l n í r o v n i c e 2 2 0
2 .1 .3 .2 . Log ar i tm ické rovn ice 221 2 .1 .4 . P ib l i né m etod y k uren í ko en rovn ice 222
2.1.4 .1 . M etod a . t t iv [ regu la fa lš i, l ineárn í in t erp o lace ] 222
2 .1 .4 .2 . M e t o d a t e e n [ N e w t o n o v a m e t o d a ] 2 2 3
2.1 .4 .3 . I teraní m et od a . . . 225
2.1 .4 .4 . Gr af ické ešení rov nic 225
2 .1.5 . Sou s tavy rovn ic 221
2.1.5 .1 . S o u s t a v y l i n eá r n í c h r o v n i c s e d v m a n e z n á m ý m i 2 2 7
2 .1.5 .2 Sou s tavy l ineárn ích rovn ic s e t emi nezn ám ým i 230
2.I .5. J . S o u s t a v a n l ineárn ích rovn ic s n n e z n á m ý m i 2 3 3 2 .1 .5 .4 . S o u s t a v a d v o u k v a d r a t i c k ý c h r o v n i c s e d v m a n e z n á m ý m i 2 3 5
2 .1 .5 .5 . Graf i cké e šen í sous ta v rovn ic s e dv m a nez ná m ým i 237
2.2. N e r o v n i c e 2 3 9
7
2.2 .2 . ešen í ner ovn ice , 239
2.3. Reá lné funkce 241
2 .3 4 . Zák ladní po jm y 241
2 .3.2 . P ib l i né vy jáden í funkc í po m oc í in t erpo lan ích vzorc 250
2.3.3. F un kc e n k o l ik a p ro m n ný ch . . . . . . 2 5 2
2.3 .4 . Imp l ic i tní funkc e 253
2.3 .5 . Ka rtézsk é grafy funkcí 254
2.3.5 .1 . Algebra ick é funkce 254
2.3 .5 .2 . Tra nsce nde ntn í funkc e 26 0
2 .4. Ve ktoro vý poe t 261
2.4.1. Zák ladní po jm y 261
2 .4.2 . Pou i t í vek toro véh o po tu v geom etr i i 273
2 .5 . Kr uho vá inverze 279
3. E L E M E N T Á R N Í G E O M E T R I E 2 83
3.1. Z á k l a d n í p o j m y 2 8 3
3.1.1. Pím ka, rovina , pro stor a je j ich ást i 283
3.1.2. , Ro v in ný a pro s toro vý úhe l 286
3.1.3 . Míry v geom etr i i r • • • 28 7
3.1.3 .1 . Míra jak o zobrazen í 287
3.1 .3 .2 . Sou et úseek a sou et úhl 287
3.1.3 .3 . Dé lka [ve l iko s t ] úseky . . . 289
3.1 .3 .4 . Ve l ikos t úhlu - ; 290 3 .1 .3 .5 . O bsa h obraz ce 296
3.1 .3 .6 . O bj em t lesa 296
3.1 .3 .7 . Po jem vel i iny 296
3 .1 .4 . Ge om etr i ck á zobra zen í v rov in • 298
3.1.5. . ' Pou i t í shod nos t i a po do bn os t i . 301
3.2. P lan im etr i e 307
3.2.1. Trojúhe ln ík 307
3.2.1 .1 . Pra voú hlý t ro júhe ln ík 317 3.2.1.2. R o v n o r a m e n n ý t r o jú h e l n ík 3 1 8
3.2.1 .3 . Ro vno s tran ný t ro júhe ln ík 319
3.2.2 . tyúh e ln íky 319
3.2.2 .1 . R o v n o b n í k . 3 20
3.2.2.2. O b d é l n í k 3 2 0
3.2.2 .3 . K o s o t v e r e c 3 21
' 3 / 2 . 2 . 4 . tve rec 321
3.2 .2 .5 . Lic hob n ík 322
3.2 .2 .6 . T t ivo vý tyúh elník 322
3.2 .2 .7 . Te n ov ý tyúh elník 323
3.2 .2 .8 . D el to id ] 323^
3.2.3 . M n o h o ú h e l n í k y [ n - ú h e l n í k y ] 3 2 3
8
4 .2 .5 .4 . Parabo lo id 475
4 .2 .5 .5 . K ue lová p loc ha 477
4 .2.5 .6 . Vá lcová p loc ha 478
4 .2.6. O bec ná a lgebra ická rovn ice dru héh o s tupn v pr o m n n ý c h x j a z 480
5. D I F E R E N C I Á L N Í P O E T 482
5.1. L i m i t y . 482
5.1.1. L i m i t y p o s l o u p n o s t í 482
5.1 .2 . Lim ity funkcí 486
5.2. Di ferenn í pod í l , der iv ace , d i ferenciá l 491
5.3. Prav id la pro der ivová ní funkcí 496
5 .4 . Der iv ace funkc í nk o l ika pro m nný ch , to tá ln í d i f erenc iá l 499
5 .5 . Der ivace e l eme ntárn ích funkcí 505 5 .6 . De r ivov ání vek toro vé funkce v E 3 508
5.7. Gra f ické der ivov ání 511
5.8. Extr ém y funkcí 511
5.9. Inflexní bo dy 518
5.10 . Vty o s t e d n í h o d n o t v d i f erenc iá ln ím po tu 519
5.11. N e u r i t é v ý r a z y . 520
5.11 .1 . Lim ita typu 0/0 n e b o oo/oo 52 0
5.LI .2 . Lim ita typ u 0 . oo 521
5.11 .3 . Lim ita typu o o - o o . . . * 522
5.11 .4 . Lim ity typ 0°, oo °, 10 0 522
6. D I F E R E N C I Á L N Í G E O M E T R I E . . 524
6.1. R o v i n n é k i v k y 524
6.1.1 . Zák ladní prvky rov in nýc h k ivek 525
6 .1.2 . N které d le i t é rov in né k ivky 5376 .1 .2 .1 . S e m i k u b i c k á p a r a b o l a [ N e i l o v a p a r a b o l a ] 537
6.1.2.2. • C y k l i c k é k iv k y [ t r o c h o i d y ] 537
6.1 .2 .3 . Ca ss in iov y kivky 545
6.1.2.4. Spirály 547
6.1.2.6. Traktrix 550
6 .1 .2 .9 . Koncho ida ,554
6 .2 . P r o s t o r o v é k i v k y ; 556
6.2.1 . Zák ladní prvky pros torov ých k ivek 557
6.3. P l o c h y 567
10
7. I N T E G R Á L N Í P O E T F U N K C Í J E D N É P R O M N N É 571
7.1. Def in i ce neur i t ého in tegrá lu 571
7.2 . Zá klad ní integrály ' 571
7.3 . Zá klad ní integra ní prav idla 573
7.4 . N k ter é dle i té integrály 585
7.4.1 . Integrály rac ion áln ích funkcí ... 585
7.4 .2 . Integrály irac ioná lních fu/ ikc í 587
7.4.3. In tegrá ly gon iom etr i c kýc h funkc í 589
7 .4.4 . In tegrá ly hyp erbo l i ckých funkc í 594
7 .4.5 . In tegrá ly exp one nc iá ln í ch funkc í 597
7.4 .6 . Integrály log ari t m ický ch funkcí 598
7 .4.7 . In tegrá ly cyk lom etr i ck ých funkc í 599
7.4 .8 . Integrály hyr>eb olometr ický ch funkcí 60 0
7.5 . Ur i tý integrál 601
7.5.1 . Zák ladní po jm y 601
7 .5.2 . V ty o s t edn í ho dn ot in tegrá ln íh o po tu 602
7 .5.3 . P ib l i né m eto dy pro výp oe t ur i tých in tegrá l 604
7.5 .4 . Gra f ická integ rac e ' 607
7.5 .5 . Ne vla stn í integrály 607
7.5 .6 . Pe hled nk terý ch uri týc h integrál 609
7.5 .7 . Vyjádení nk terýc h integrá l ada m i 616
7.5 .8 . Po ui t í ur i týc h integrá l 619 7.6 . K iv ko vý integrál 631
7.6.1 . K ivko vý in tegrá l p o ob lou ku rov inn é k ivky 631-
7 .6 .2 . K ivko vý in tegrá l po pro s toro vé k ivce 633
7 .6.3 . K ivko vý in tegrá l vektoru 634
7 .7 . M no n é [w-ro zm rné ] in tegrá ly 635
7.7.1 . D v o j n é [ d v o j r o z m r n é ] i n te g r á ly 6 3 5
7 .7 .2 . Tro jn é [ t ro j roz m rn é ] in tegrá ly 642
8. D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C E 6 48
8.1. Ob ye jné d i f erenc iá ln í rovn ice 648
8 .2. Ob ye jn é d i f erenc iá ln í rovn ice prvn ího ádu : 649
8.2.1 . G e o m e t r i c k ý v ý z n a m 6 4 9
8 .2.2. D i f erenc iá ln í rovn ice s e s epa rova ným i pro m nn ým i . 652
8.2 .3. Lineární di ferenciá lní rov nice prv níh o ádu 654
8 .2.4 . H om og en ní d i f erenc iá ln í rovn ice prvn ího ádu 658
8.2 .5 . Ex aktp í di ferenciá lní rov nice prv níh o ádu 659
8 .2 .6. In tegruj íc í f aktor [Eu lerv m ul t ip l iká to r ] ; 660
8 .2 .7 . Ber nou l l i ova ( d i f e ren c iá ln í ) rovn ice 66 2
8 .2.8 . R icca t iova ( d i f e ren c iá ln í ) rovn ice 663
8 .2.9 . Cla irau tova (d i fe re nc iá ln í ) rovn ice . . . . * 664
8.3. Ob ye jné d i ferenciá ln í rovn ice dr uh éh o ádu 665
8.3.1. Zvláštn í pípad y 666
8 .3 .2 . H o m o g e n n í l ineá rn í d i f eren c iáln í ro v n ice d ru h éh o á d u s k o n s ta n tn ím i k o e
ficienty 672
8.3.3. H o m o g e n n í l in eá rn í d i f eren c iá ln í ro v n ice d ru h éh o á d u s p ro m n n ý m i k o ef i c i en ty 6 7 3
8 .3 .4 . E u lero v a d i feren c iáln í ro v n ice d ru h éh o á d u b ez p ra v é s tra n y [h o m o g e n n í
E u lero v a d i feren c iá ln í ro v n ice ] 6 7 5
8 .3 .5 . N eh o m o g en n í l ineá rn í d i f eren c iáln í ro v n ice d ru h éh o á d u 6 7 7
8 .3 .6 . N eh o m o g e n n í l in eá rn í d i f eren c iá ln í ro v n ice d ru h éh o á d u s k o n s ta n tn ími k o e
ficienty 680
8 .3 .7 . Eu lerov a d iferenciá ln í rovn ice dr uh éh o ádu s pra vou stran ou [úp lná Eu lero va
diferenciá ln í ro vn ice ] 682
8 .4. Ob ye jné d i ferenciá ln í rovn ice tet ího ádu . / 684
8.4.1. Ho m o g e n n í l in eá rn í d i f eren c iá ln í ra v n ice t e t íh o á d u s k o n sta n tn ím i k o ef i c i en ty 6 8 4
8 .4.2 . N eh o m o g en n í l ineá rn í d i f eren c iá ln í ro v n ice t e t íh o á d u s k o n s ta n tn ím i k o e
ficienty 685
8 .5 . In teg ro v á n í d i f eren c iá ln ích ro v n ic p o m o cí m o cn in n ý ch a d 6 8 6
8 .6. Parciá ln í d i ferenciá ln í ro vn ice : 688
8.6.1. Z á k la d n í p o jm y 6 8 8
8 .6 .2 . Jed no du ch é parciá ln í d i ferenciá ln í rovn ice 689
8.6.3. Lineár ní parciá ln í d i ferenciá ln í rovnic e prv níh o ádu ve dv ou pr om n ný ch . . 690 9. N E K O N E N É A D Y , F O U R I E R O V Y A D Y , F O U R I E R V I N T E G R Á L ,
L A P L A C E O V A T R A N S F O R M A C E 6 9 2
9.1. ad y 692
9.1.1. Z á k la d n í p o jm y 6 9 2
9 .1 .2 . Kritéria kon ver gen ce ad 692
9.1.3. N k ter é n ek o n e n é k o n v er g en tn í í se ln é a d y 6 9 5
9 .1 .4 . • M oc nin né ady 697
9 .1 .5 . \Pib l iné vzorc e pro po ítání s ma lým i ís ly 705
9.2. Z á k la d n í p o jm y k F o u r ier o v ý m a d á m 7 0 6
9.3. Vý p o et F o u r iero v y a d y ; p ík la d y 7 0 9
9 .4 . Fou rier v integrá l , Fou rie rov a transform ace 718
9 .5. L a p la ceo v a tra n sfo rma ce 7 2 0
9 .6 . Pou it í La plac eov y transfo rm ace k ešení d i ferenciá ln ích rovn ic 725
9 .7 . T a b u l k a k o r e s p o n d e n c í n k t e r ý c h r a c io n á ln í c h L a p l a c e o v ý ch i nt e gr á l . . . . 7 3 0
10. P O E T P R A V D P O D O B N O S T I , M A T E M A T I C K Á S T AT IS T IK A , T E O R I E
C H Y B A V Y R O V N Á V A C Í P O E T 7 32
10.1. P o e t p r a v d p o d o b n o s t i 7 3 2
12
10.2. M a t e m a t i c k á s t a ti s ti k a 7 4 3
10.2.1. Sum aní znak 743
10.2 .2 . M ult ipl ik an í zna k 74 4
10.2.3. S tední ho dn oty 745
10 .2.4. M ír y r oz ptý le ní - . . . . 7 47
10.2..5. M e t o d a n e j m e n š í c h t v e r c 7 4 9
10.2 .6 . Lineárn í regrese , l ineární ko rela ce 751
10.3. Teo r i e chy b 752
10.4. Vyro vnáv ac í poe t 753
11. L I N E Á R N Í O P T IM A L I Z A C E [ L I N E Á R N Í P R O G R A M O V Á N Í ] . . . . 7 6 0
11.1. Z á k l a d n í p o j m y 7 6 0
11.2. Graf i cká m etod a e šen í 762
11.3. S i m p l e x o v á m e t o d a 7 6 4
11.4. S i m p l e x o v á t a b u l k a 7 7 0
12. L O G I C K Á A L G E B R A [ S P Í N A O V Á A L G E B R A ] . 7 72
12.1. Z á k l a d n í p o j m y 7 7 2
12.2. Zák ladní l og i cké zá ko ny a prav id la 774
12.3. D a l š í b o o l o v s k é f u n k c e s e d v m a p r o m n n ý m i [ l e x ik o g r a f i c k é u s p o á d á n í ] . . 7 7 6
12.4. N o r m á l n í t v ar y 7 7 9
12.5. K a r n a u g h o v y m a p y 7 8 1
13. V Z O R C E Z . R E G U L A N Í T E C H N I K Y 7 8 4
l 13 .1 . Zák ladní po jm y 784
13.2. T e s t o v a c í [ z k u š e b n í ] f u n k c e 7 8 5
13.3. Sym bol i c ká vy jáden í .v 787
13.4. azen í íd i c ích [ reg u la n ích ] l en 790
13 .5 . Cha rakter i s t i cké ho dn oty nkterýc h pe nos ový ch l en 791
14. D O D A T K Y 79 5
14.1. eck á abe ceda 795
14.2. N m e c k á a b e c e d a [ g o t i c k é p í s m o ] 7 9 6
14.3. a s t o p o u í v a n é k o n s t a n t y a j e j i ch . d e k a d i c k é l o g a r i t m y 7 9 7
15. L I T E R A T U R A 7 9 9
15.1. L i t era tura z n m eck éh o or ig iná lu . 79 9
15.2. L i t era tura p ipo jená pi e sk ém pek ladu 801
4 5 . 2 . 1 . M a t e m a t i c k á l o g i k a a m n o i n y 8 0 1
15.2.2. Algeb ra ( rovn ice , ma t i ce , de term inanty ) , . . ' 802
15.2.3 . An a ly t i cká geom etr i e \ 802
13
P E D M L U V A K E S K É M U V Y D Á N Í
Píruka „M atematické vzorce' se v pvodním nmeckém znní i v pe
kladech všestrann osvdila, o em svdí dosavadních sedmnáct vydání
v Nmecké demokratické republice, tyi vydání v Nm ecké spolkové republice
a Švýcarsku, peklad do anglitiny a ti pedchozí vydání v eštin podle pvodního
zpracování (v druhém nm eckém vydání), která mla u širokého okruhu eských
tená velmi dobrý ohlas a stala se vyhledávanou pom ckou v technické praxi
i na stedních a vysokých školách.
Posláním této obsané píruky je dát studujícím na stedních a vysokých
školách s peván technickým zamením, stejn jako technickým pracovníkm
a inenýrm na pracovišti poh otov a spolehliv bezprostedn pouitelné mate
matické poznatky a vzorce s udáním p odmínek jejich platnosti pro ešení prak
tických problém. Pitom vzhledem k charakteru této sbírky matema tických
vzorc lze povaovat za samozejmé, e do ní nebyly zaazeny ryze teoretické
poznatky ani dkazy uvádných pouek a algoritm; lze z ní však vycházet pi studiu speciální teoretické literatury.
Názorný výklad pojm a etné ešené píklady usnadují pochopení látky,
která byia do píruky pojata s pihlédnutím k rzným potebám technik
a inenýr.
Pi zavádní názv v definicích jsou v eském pekladu pro lepší srozumitelnost
dávány alternativní termíny do lomených závorek a fakultativní rozšíení termín
do úhlových závorek. Odvolávky na poadová ísla bibliografických citací z pe hledu literatury na konci knihy jsou uvádny v lomených závorkách.
Nynjší eské vydání je zcela novým pekladem podle úpln pepracovaných,
doplnných a modernizovaných posledních nm eckých vydání. Pitom v osobní
spolupráci mezi autorem a pekladatelem bylo se souhlasem autora nové eské
znní pizpsobeno domácím zvyklostem nejen v terminologii, dikci a znaení,
ale také v pojetí a zpsobu výkladu píslušných matema tických obor na sted
ních a vysokých školách v SSR . Stávající eské vydání je tedy zaloeno na modern pojatých matema tických
pojmech ve snaze zajistit maximáln monou pesnost formulací definic, matem a
tických vt a poetních metod.
15
Mj velý dík patí pekladateli Ing. Zdeku Tichému za uvdom lé zpraco
vání mé knihy pi pekladu i za jeho doplky a úpravy, kterými eské znní pi
zpsobil zpsobu podání v eštin.
Dr. Ing. Hans-Jochen Bartsch
K a r l - M a r x - S t a d t , 1 9 8 0
16
P E D M L U V A K 17. N M E C K É M U V Y D Á N Í
V d n e š n í d o b , k d y v d a a t e c h n i k a u i n i l y o b r o v s k é p o k r o k y , j s o u
n a ce lý v ý c h o v n ý s y st é m , z e j m é n a v š a k n a v ý c h o v u v d e c k o t e c h n i c k ý c h k á d r
k l a d e n y z n a n z v ý š e n é p o a d a v k y . P l a t í t o o v š e m h l a v n p r o m a t e m a t i k u .
J e n s p o l e h l i v é a m o d e r n p o j a t é m a t e m a t i c k é z n a l o s t i u m o u j í i n e n ý r m ,
t e c h n i k m , k o n s t r u k t é r m a m i s t r m n e u s t á l e d r e t k r o k s t e c h n i c k ý m
r o z v o j e m a s m a t e m a t i c k o u p e s n o s t í p ln i t p o a d a v k y n a n k l a d e n é . P e d
p o k l a d e m k t o m u j e p e d e v š í m p e li v á n á k l a d n í m a t e m a t i c k á v ý c h o v a r. a
š k o l á c h v š e c h s t u p a v p í s l u š n ý c h i n s t i t u c í c h . T é t o p í p r a v m á p o m á h a t
i t a t o s b í r k a v z o r c , k t e r á v y c h á z í v p o d s t a t z v š e o b e c n ý c h p o z n a t k z í s k a
n ý c h v zá k l a d n í d e se t il e t é šk o l e a j e u r e n a h l av n s t u d u j í c í m n a o d b o r n ý c h
š k o l á c h a p o s l u c h a m v y s o k ý c h šk o l . A v š a k t a k é á k m o d b o r n ý c h s t e d
n í ch šk o l a g y m n áz i í , s t e j n j ak o p r acu j í c í m , k t e í s i s r o z sáh l o u p o m o c í v l ád y
zv y šu j í p i p o v o l án í sv o u k v a l i f i k ac i p i s am o s t a t n ém , d á l k o v ém n eb o v ee r n í m
s t u d i u , m e t a t o p í r u k a b ý t ú i n n ý m p o m o c n í k e m p i r a c i o n a l i z a c i d u š e v n í p r áce .
S a m o z e j m n e b y l o m o n o d o t é t o k n i h y p o j m o u t v š e c h n y s p e c i á l n í o b o r y
m a t e m a t i k y . V ý b r l á t k y t é t o s b í r k y v z o r c , k t e r á k r o m z á k l a d n í c h p o e t n í c h
o p e r a c í a m e t o d , p l a n i m e t r i e a s t e r e o m e t r i e , a n a l y t i c k é g e o m e t r i e v r o v i n
a p r o s t o r u , l i n e á r n í a l g e b r y a v e k t o r o v é h o p o t u , d i f e r e n c i á l n í h o a i n t e g r á l
n í h o p o t u , d i f e r en c i á l n í g eo m e t r i e a d i f e r en c i á l n í ch r o v n i c o b sah u j e t ak é
F o u r i e r o v y a d y a z á k l a d y p o t u p r a v d p o d o b n o s t i , l i n e á r n í o p t i m a l i z a c e , m a t em a t i ck é l o g i k y a L ap l aceo v y t r an s f o r m ace , j e v šak t ak š i r o k ý , e v y h o v u j e
p o t e b á m v e l k é h o o k r u h u z á j e m c o l i t e r a t u r u t o h o t o d r u h u .
J i d v a n á c t é n m e c k é v y d á n í b y l o v y l e p š e n o , p o k u d j d e o u s p o á d á n í
a u m í s t n í n k t e r ý c h v ý k l a d o v ý c h c e l k v r á m c i t é t o p í r u k y . Z á r o v e b y l o
z p r a c o v á n í j e š t v í c e p i z p s o b e n o m o d e r n í m u v ý k l a d u m a t e m a t i k y n a z á
k l a d m a t e m a t i c k é l o g ik y a t e o r i e m n o i n . A b y t e n á s n a d n o n a š e l , c o - ok a
m i t p o t e b u j e , b y l a z v l á š t n í p o z o r n o s t v n o v á n a v c n é m u r e j s t í k u a p e h l ed n ém u l en n í l á t k y .
17
e t n é e š e n é p í k l a d y m a j í t e n á m u s n a d n i t p o c h o p e n í a b s t r a k t n í c h
m a t e m a t i c k ý c h v z o r c . P o z n á m k y v t e x t u m aj í t e n á e vé s t k t o m u , a b y
k e s t u d i u m a t em a t i k y n ep i s t u p o v a l j en f o r m á l n , a l e ab y š i j i o sv o j i l v l a s t n í m
m y š l e n í m . M a j í z á r o v e p i s p í v a t k t v r í m u p o u i t í m a t e m a t i k y v p r a x i .
Autor a nakladatelství
P E H L E D Z N A K A S Y M B O L ,
Í S E L N É T A B U L K Y , M A T E M A T I C K Á L O Q I K A
A . M N O I N Y
0 .1 . P E H L E D Z N A K U A S Y M B O L U
0 . 1 . 1 . M a t e m a t i c k á l o g i k a
x,y,z9... výrokové pro mn né, té výroky
q>, i//,x>-- výrokové formule, té výroky .
cp, lep, ~cp, non cp, cp' není pravda , e cp; negace výrokové
formule (pop. výroku) cp cp A cp. cpi//, cp rwj/, cp & cp a (zárove) ij/^cpiij/; konjunkce
[logický sou in] výrokových formulí „
(pop. výrok) <p, i//
cp v i//, cp + cp u ty, cp vel cp nebo ^ \ disjunkce [logický soue t]
výrokových formulí (pop. výrok) cp , ij/
(p=>ý, cp -> fa (p => [// jestlie (p, <pak> ij/; (p ímá > implikace
výrokových formulí (pop. výrok) cp , ij/
(v tomto poadí)
cp o cp <-> \j/ cp, práv kdy cp tehdy a jen tehdy,
kdy ^^ekvivalence výrokových
cp | negace konjunkce [operace N A N D ,
Shefferova operace, funkce ani]
výrokových formulí (pop. výrok) cp, ij/
(p<=\//, cp r - \ j / , q> a \j/ nep ímá [zp tná ] implikace výrokových
formulí (pop. výrok) cp, \j/
(v tomto poadí)
inhibice, non imp likace ] výrokových
formulí (pop. výrok) cp, \jJ
(v tomto poadí)
inhibice, zptná inhibice] výrokových
(v tomto poadí)
(/>>=<'A* <p® <A, cp^ij/ n eg a ce ek v i v a l en ce [ an t i v a l e r íce , a l t e r n a
t i v a , o p e r ace „b u , n eb o " , o p e r ace
v y l u o v a c í n e b o , n o n e k v i v a l e n c e ,
l o g i c k ý s o u e t m o d u l o 2 ] v ý r o k o v ý c h
f o r m u l í ( p o p . v ý r o k ) <p, \j/
/?((/>) pr av di vo stn í o h od n o ce n í vý ro ku cp cp = \jj cp j e log icky ekv iva le n tn í s ^
P o b o r p r a v d i v o s t i p r e d i k á t o v é f o r m u l e
[ v ý r o k o v é f o r m y ]
V p r o v š e c h n a , p r o l i b o v o l n é ; o b e c n ý
[ v e l k ý ] k v a n t i f i k á t o r , o b e c n ý [ v e l k ý ]
k v a n t o r , g e n e r a l i z á t o r
3 ex i s t u j e ; ex i s t en n í [ m a l ý ] k v an t i fikáto r, ex i s t en n í [m a lý ] kv an to r ,
^ p a r t i k u l a r i z á t o r
V p r o n e k o n e n m n o h o
V p r o n e jv ý še k o n e n m n o h o
3 ex i s t u j e p r áv j ed en
3 e x is tu je n e k o n e n m n o h o
3 . ex i s tu j e n e j v ýše k o n e n m n o h o
0 .1 .2 . M n o i n y , z o b r a z e n í , f u n k c e
e <je> p r v k e m ( m n o i n y > , p a t í d o
( m n o i n y > ; i n c i d e n c e [ p í s l u š n o s t ]
p r v k u k m n o i n
£ n e ní p r v k e m ( m n o i n y > , n ep a t í d o
( m n o i n y )
A"i. .V 2 -X„ G /í X , G A A x 2 e A A . . . A X„ G A
A = B m n o i n a A s e r o v n á m n o i n B\
r o v n o s t m n o i n A, B *
A =j= B m n o i n a A s e n e r o v n á m n o i n B\
n e r o v n o s t m n o i n A, B A = } x , . x 2 x „ ] m n o i n a A = [ x , , x 2 , x „ ) =
= {x {} u [ x 2 ] u ... u { x n } o b s a h u j e
p r áv j en p r v k y x , , x 2 , x w
20
{xeU\V(x)},
V x e M : V(x),
V x e M ; V(x)
3 x e M [V{x)],
3 x e M : V(x),
3 x e M ; V(x)
AcB,A^B
A n B, AB
A\B, A - B
Az> A z, C z / 4 , A\
n n
A x - u A 2KJ . . . u A n , \ j A t , \jAi
i 1 1
U s
n n
[« ]
4 X £
p r á z d n á mn o i n a
sy s t ém <s/ mn o i n o b s a h u j e p r á v j e n
mno i n y A x, A 2, A n
mn o i n a p r á v t ch p r v k o b o r u U
p r o m n n é x, k t e r é maj í v l a s t n o s t V
p r o k a d ý p r v e k x mno i n y M p l a t í
v l a s t n o s t V(x)
exis tu je a s p o j e d e n p r v e k m n o i n y M , .
p r o k t e r ý p l a t í v l a s t n o s t V(x)
m n o i n a A j e á st í [ p o d m n o i n o u ] m n o i n y B; n e o s t r á i n k l u z e m n o i n
A, B (v t o m t o p o a d í )
m n o i n a A j e v l as tn í ás t í [v l as tn í pod
m n o i n o u ] m n o i n y B; o s t r á i n k l u ze
m n o i n A, &(v t o m t o p o a d í )
m n o i n a A j e n a d m n o i n o u m n o i n y B
m n o i n a A j e v l as tn í n a d m n o i n o u
m n o i n y B
s j e d n o c e n í [ s o u e t ] m n o i n ( t í d ) A, B
p r n i k m n o i n ( t í d ) A, B
r o zd í l m n o i n ( t í d ) A, B (v t o m t o p o a d í )
sy m e t r i ck ý r o zd í l m n o i n ( t í d ) A, B
d o p l n k m n o i n y A v ( z á k l a d n í >
m n o i n Z
s j e d n o c e n í m n o i n Aí9A 2,...,An
s j e d n o c e n í s y s t é m u m n o i n S
p r n i k m n o i n AuA 2,...,An
p r n i k s y s t é m u £f m n o i n S
u s p o á d a n á d v o j i c e o b j e k t a, b u s p o á d a n á n - t i c e o b j e k t au a 2 , a n
k a r t é z s k ý s o u i n m n o i n A, B
(v t o m t o p o a d í )
21
A2, A x A d r u h á k a r t é z s k á m o c n i n a
[ k a r t é z s k ý t v e r e c ] m n o i n y A
Aí x A2 x . . . x An, X ^ p X ^ í k a r t é z s k ý s o u i n m n o i n X 1 ? X 2 , A n
i - 1 1
A " rc-tá k a r t é z s k á m o c n i n a m n o i n y A
\R \ A, B\ R: A -> B ( b i n á r n í ) r ela c e R m e z i m n o i n a m i A, B (v t o m t o p o a d í )
[R ; M ] , R : M - » M ' ( b i n á r n í ) r e la c e v m n o i n M
x / t y , x h + y , x —• y x j e v ( b i n á r n í ) r el ac i K s ( p r v k e m ) y,
p r v k u x j e p i a z e n p r v e k y v r e l ac i R ;
p i a z e n í p r v k u y p r v k u x v r e l ac i R
x h + y , x —• y, p r v k u x j e p i a z e n p r v e k y
xR y ( p r v e k ) x n e n í v ( b i n á r n í ) r e la c i R
s ( p r v k e m ) y
O^R), D(R), dom.R p r v n í [ d e f in i n í , v s t u p n í , l ev ý ] o b o r
[ v z o r ] r e l a c e R
0 2{R\ R{R\ r n g R, H(R) d r u h ý [ v ý s t u p n í , p r a v ý ] o b o r [ o b r a z ]
r e l ace R
R-i, R~ 1 ' i nverz n í r e l ace k re l ac i R
RoS, R*S, RS R s loeno s S ; r e l ace s loená z r e l ac í
R&S, k o m p o z i c e [ k o m p o z i t , s o u i n ]
relací RSLS
i d M , AM, eM i d en t i ck á r e l ace [ r e l ace i d e n t i t y ]
n a m n o i n M
-< r y z e [ s t r i k t n ] p e d c h á z í , ( j e ) m e n š í n e ;
z n a k o s t r é h o u s p o á d á n í
>- ' ' . ryze [ s t r ik tn ] nás l edu je za , ( j e ) v t š í
n e ; z n a k o s t r é h o u s p o á d á n í
=^ p e d c h áz í , ( j e ) n e j v ý še r o v e n , n en í
v tš í n e ; z n a k ( n e o s t r é h o ) u s p o á d á n í
^ n á s l ed u j e , j e n e j m én r o v e n , n en í m en š í
n e ; z n a k ( n e o s t r é h o ) u s p o á d á n í
/ : x H - » y, x ^ j ; , x y, y = / x , p r v e k y j e o b r a z e m p r v k u x v z o b r a z e n í / ,
y = / ( x ) , / ( x ) h o d n o t a z o b r a z e n í ( fu n kc e ) / v b o d x , t é f u n k c e / j e d n é ( n e z á v i s l e ) p r o
m n n é [ a r g u m e n t u ] x (y je záv is le
p r o m n n á )
22'
m a x A m a x i m á l n í p r v e k ú p l n u s p o á d a n é m n o i n y A
m a x {x í9x 2,...,x n} m a x i m á l n í p r V e k í s e l n é m n o i n y
{XU *2> Xn}
m in A m i n i m á l n í p r v e k ú p l n u s p o á d a n é
m n o i n y A m i n { x 1 ? x 2 , . . . , x n } m i n i m á l n í p r v e k í s e l n é m n o i n y
*2> Xn}
(A#,e) m e t r i c k ý p r o s t o r s n o s i e m M
a m e t r i k o u Q
A^, A° v n i t e k m n o i n y A v m e t r i c k é m
p r o s t o r u ( M , Q )
E x t M
/ l , E x t A v n j š e k m n o i n y A v m e t r i c k é mp r o s t o r u ( M , Q )
FrMA, FvA h r a n i c e m n o i n y A v m e t r i c k é m
AM, A u z á v r m n o i n y A v m e t r i c k é m
0 . 1 . 3 . ' S t a n d a r d n í p z n a e n í n k t e r ý c h m n o i n
N { 1 , 2 , 3 , . . . } ; m n o i n a v š e c h k l a d n ý c h
celých ísel
N 0 N u { 0 } ; m n o i n a vš ec h n e z á p o r n ý c h
celých ísel (v iz lánek 1.1.1)
Z mnoina všech ce lých í se l
Q m n o i n a v šech r ac i o n á l n í ch í s e l
R, R 1 m n o i n a v šech r eá l n ý ch í s e l , r e á l n á
[ í s e l n á ] o sa
Z - m n o i n a v šech záp o r n ý ch ce l ý ch í s e l
Z o m n o i n a v šech n ek l ad n ý ch ce l ý ch í s e l
Q + m n o i n a v š e c h k l a d n ý c h r a c i o n á l n í c h í s e l
Q o + m n o i n a v š e c h n e z á p o r n ý c h
r ac i o n á l n í ch í s e l
Q " m n o i n a v š e c h z á p o r n ý c h r ac i o n á l n í ch í s e l
Qo V m n o i n a v š e c h n e k l a d n ý c h
r ac i o n á l n í ch í s e l
2 4
m n o i n a v šech k l ad n ý ch r eá l n ý ch í s e l
m n o i n a v š e c h n e z á p o r n ý c h
reá lných í se l
m n o i n a v šech záp o r n ý ch r eá l n ý ch í s e l
m n o i n a v šech L n ek l ad n ý ch r eá l n ý ch í s e l
m n o i n a v š e c h u s p o á d a n ý c h n - t i c reá lných í se l
m i n u s n e k o n e n o
p l u s n e k o n e n o
< b o d > n e k o n e n o , n e v l a s t n í p r v e k ,
n e k o n e n v z d á l e n ý b o d
R u { + oo}
R u { — oo, + 0 0 } ; r o z š í en á r eá l n á[ í s e l n á ] o sa
R u {00}
m n o i n a v š e c h k o n e n ý c h k o m p l e x n í c h
ís e l, o t ev en á < G a u ss o v a > r o v i n a
( k o m p l e x n í c h í s e l )
C \ { 0 }
m n o i n a v š e c h u s p o á d a n ý c h n - t i c
k o n e n ý c h k o m p l e x n í c h í s e l
C u { 0 0 } ; u z a v e n á [ r o z š í e n á ] G a u s s o v a
r o v i n a
{ 0 , 1 , 2 , n } \ n - tý ú sek m n o i n y N 0
{1, 2 , n } \ n-tý ú s e k m n o i n y N
{x € R I a < x < b]; o t ev en ý i n t e r v a l
o d a d o b [ s k r a j n í m i b o d y a , b]
{x e R I a ^ x ^ b]; u zav en ý i n t e r v a l o d a d o b [ s k r a j n í m i b o d y a , b]
{xeR\a ^ x < b};- z l ev a u za v en ý
a zp r av a o t ev en ý i n t e r v a l o d a d o b
[ p o l o u z a v e n ý i n t e r v a l o d a d o b]
{x G R I a < x ^ b} \ z l ev a o t ev en ý
a z p r a v a u z a v e n ý i n t e r v a l o d a d o b
[ p o l o o t e v e n ý i n t e r v a l o d a d o b] [x G R I a ^ x}
{x G R I a < x)
íx G R I x < a\
U{a,S),U ó{a), U{a)
K{a,S\ K ó{a\ K{a)
K{a,5), Kd{a\ K{a)
E„
A„
C ( W ) ( M ) , r e sp . C ( Q 0 ) ( M )
0 .1 .4 . í s e l n é k o n s t a n t y
e
n
{ x e R | x < a}
m n o i n a R v šech r eá l n ý ch í s el
(a — 8, a + 8); <5-okolí [<5-ové okolí]
b o d u a <v p r o s t o r u E x >
U(a, 8) \ {a}; neúplné <5-okolí
[ á - o v é o k o l í ] b o d u a < v p r o s t o r u E j > ( o t e v e n á ) k o u le v m e t r i c k é m p r o s t o r u
(M , Q ) ( se s t edem a a p o l o m r e m 8),
<5-okolí bodu a v m e t r i c k é m p r o s t o r u
(M,Q)
K(a, 8) \ {a}; n e ú p l n é á - o k o l í b o d u a
v m e t r i c k é m p r o s t o r u ( M , g)
n - r o z m r n ý ( b o d o v ý ) e u k l i d o v s k ýp r o s t o r
n - r o zm r n ý a f i n n í p r o s t o r
n - r o z m r n ý p r o j e k t i v n í p r o s t o r
p r o s t o r s p o j it ý c h f u nk c í n a m n o i n M ;
p r o M = (a, b), r e sp . M = ( a , b}
s e p o u í v á s y m b o l u C(a, b\ r esp .
C<a,b)
p r o s t o r sp o j i t ý ch f u n k c í n a m n o i n M
se sp o j i t ý m i d e r i v acem i a d o ád u n
v e t n , r e sp . v šech ád
2,718 2 81 828 4 59 0 E u l e r o v o ís lo
3 ,141 592 6 5 4 L u d o l f o v o ís lo 0 ,577 2 1 5 6 6 4 9 0 E u l e r o v a k o n s t a n ta
lg e = 0 ,434 294 4 8 ; sou in i t e l p ro p ev od
p i r o z e n é h o l o g a r i t m u n a d e k a d i c k ý
l o g a r i t m u s
ln 10 = 2 ,302 585 0 9 ; souin i te l , p r o
p e v o d d e k a d i c k é h o l o g a r i t m u
n a p i r o z e n ý l o g a r i t m u s
2 6
o°
K
i , / , k , r e s p . e 1 , e 2 , e 3
O x, o z
a, 14 1^1 o + b a - b co
- o , a ab, o b , (o ,b ) o 2
o x b, [o , b ]
[obe]
v(t)
v e k t o r o j e n e s o u h l a s n k o l i n e á r n í
[ n e s o u h l a s n r o v n o b n ý ]
s v e k t o r e m b
j e d n o t k o v ý v e k t o r s o u h l a s n k o l i n e á r n í
[ s o u h l a s n r o v n o b n ý ]
s v e k t o r e m o n - r o z m r n ý r e á l n ý ( p o p . k o m p l e x n í )
v e k t o r o v ý p r o s t o r
z á k l a d n í v e k t o r y [ o r t y ] s o u a d n i c o v é
sous tavy (O ; / , ; , k ) , r esp . (O ; e 1 ? e 2 , e 3 )
p r m t y p o l o h o v é h o v e k t o r u o
d o s o u a d n i c o v ý c h o s x , y, z
[ s l o k y v e k t o r u a]s o u a d n i c e p o l o h o v é h o v e k t o r u a
v z h l e d e m k z á k l a d n í m j e d n o t k o v ý m
v e k t o r m / , k [ p ro j e k ce p o l o h o v é h o
v e k t o r u a d o s o u a d n i c o v ý c h o s x , y, z]
v e l i k o s t ú h l u n en u l o v ý ch v ek t o r a , b
a s = [o co s (<Cf)] 5°; p ro je kce ve k t o r u a
d o v e k t o r u [ s m r u ] $
o $ = o co s ( < 0 ) ; p r m t v e k t o r u a
d o v e k t o r u [ s m r u ] $
n - r o z m r n ý v e k t o r s e s o u a d n i c e m i
a l 9 a 2 , . . . , a n
v e l i k o s t [ m o d u l , d é l k a ] v e k t o r u a = AB
soue t vek to r o , b
r o zd í l v ek t o r a , b ( v t o m t o p o ad í )
s o u i n v e k t o r u a a s k a l á r u c [ c - n á s o b e k v e k t o r u a ] ; n á s o b e n í v e k t o r u a
s k a l á r e m c
o p a n ý v e k t o r k v e k t o r u a
a sk a l á r n b ; sk a l á r n í so u i n v ek t o r a , b
s k a l á r n í k v a d r á t v e k t o r u o
o v ek t o r o v b ; v ek t o r o v ý so u i n
v ek t o r a , b 0
smíšený sou in vek to r a , b , c
(v t o m t o p o a d í )
v e k t o r o v á f u n k c e [ v e k t o r o v é p o l e ]
v s k a l á r n í < r e á l n é > p r o m n n é t
29
0 .1 .8 . M a t i c e a d e t e r m i n a n t y ,
Poznámka:
Je - l i zn ám t y p , p o p . ád m a t i ce , p ak s e v p í s l u šn ém sy m b o l u n eu v ád í .
4 , B , C , . . . m a t i c e
a ÍU aí2, a ín n m a t i c e 4 typu (m, n) s p rvky aik
• (/ = l , 2 , . . . , m ; k = l , 2 , . . . , n )
#1 1> fl12?
a n , a í 2 , a l n | .
. . J
[aifc]m> l| aik l| m>
(«ik)? [^k]' l|««k A m a t i c e A typu (m, n)
( t v e r c o v á ) m a t i c e 4 á d u n
S(A) s t o p a m a t i c e 4
o . í - t ý á d k o v ý v e k t o r m a t i c e 4
oj k-tý s l o u p c o v ý [ t r a n s p o n o v a n ý ] v e k t o r
m a t i c e 4 0 ( m t W ) , r e s p . 0W, 0 nu lo vá m at i c e ty pu (m, n ), r esp . á du n o á d k o v ý n u l o v ý v e k t o r
o T s l o u p c o v ý [ t r a n s p o n o v a n ý ] n u l o v ý v e k t o r
d i a g o n á l n í m a t i c e á d u n
S S n á s o b n á [ s k a l á r n í ] m a t i c e á d u n
{eik)n> E j e d n o t k o v á m a t i c e á d u n
4 T t r a n s p o n o v a n á m a t i c e k m a t i c i 4
y, n u l A n u l i t a [ d e f e k t , d e g e n e r a c e ] m a t i c e 4 h(A), h h o d n o s t m a t i c e 4
A - fi m a t i c e 4 j e ekv iva len tn í s mat i c í f i
[ m a t i c e 4 , f i m a j í s t e j n o u h o d n o s t ]
4 = B r o v n o s t m a t i c 4, f i 4 + fi s o u e t m a t i c 4 , B OL A s o u i n m a t i c e 4 a sk a l á r u a
AB = C s o u i n m a t i c 4 a B
3 0
de t ( f l i J k ) B , K | „Aik
V(a ua 2, ...,a n)
0 . 1 . 9 . G e o m e t r i e
: : t i i
p í m k a 4 , .4B, <->,4B
p o l o p í m k a ,4B, AB, -+AB, n
ÁB, *-ABj < -v lB
\AB\E,d(AB)E, Q(A,B)E
o r i e n t o v a n á ú s e k a AB, AB
AB\\
>AB
k o m p l e x n s d r u e n á m a t i c e k m a t ic i A
n-td m o c n i n a m a t i c e A
a d j u n g o v a n á m a t i c e k tv e r c o v é m a t i c i A
d e t e r m i n a n t t v e r c o v é m a t i c e A
d e t e r m i n a n t / i - t é h o á d u s p r v k y aik
(Uk= 1,2,...,*)
s u b d e t e r m i n a n t [ m i n o r ] p í s l u š n ý p r v k u
a ik d e t e r m i n a n t u A
Aik = (-l)i+kM ik; ( a l g e b r a i c k ý )
d o p l n k p r v k u aik d e t e r m i n a n t u A
V a n d e r m o n d v d e t e r m i n a n t
< je> to toné , < je> iden t i cké , sp lývá
n en í t o t o n é , n en í i d en t i ck é , n e sp l ý v á
< j e> r o v n o b n é
n e n í r o v n o b n é
< j e > s o u h l a s n r o v n o b n é
< j e > n e s o u h l a s n r o v n o b n é
< je> ko lmá na [k]
<je> shodné
< j e> p o d o b n é
p í m k a u r e n á b o d y A, B(A =j= B)
p o l o p í m k a s p o á t k e m A a v n i t n í m
b o d e m B
o p a n á p o l o p í m k a k p o l o p í m c e AB
ú s e k a s k r a j n í m i b o d y A, B
d é l k a [ v e l i k o s t ] ú s e k y AB [ v z d á l e n o s t
b o d A, £ ] pi d é l k o v é j e d n o t c e E
o r i e n t o v a n á ú s e k a s p o á t e n í m b o d e m
A a k o n c o v ý m b o d e m #, v á z a n ý
v e k t o r u m í s t n ý do b o d u A
o r i e n t o v a n á d é l k a [ v e l i k o s t ] o r i e n t o v a n é ú s e k y AB pi d é l k o v é
j e d n o t c e E
o b l o u k s k r a j n í m i b o d y A, B
31
pA, ±-pA, *^\pA
\AVB\E, v{AVB)E
bodem C
A, B, C, které neleí v tée pímce
rovina urená pímkami p,q(p-¥ q)
rovina urená pímkou p a bodem A
(Atp)
A (At<x)
opaná polorovina k polorovin ABC polorovina s hraniní pímkou p
a vnitním bodem A
(útvaru) M
konvexní (neorientovaný) úhel
s vrcholem V a rameny V A, VB #
velikost konvexníh o ( ne or ie nt ov an éh o)
úhlu AVB pi úhlové jed not ce E
nekonvexní úhel ke konvexnímu úhlu A VB
velikost nekonvexního
poátením ramenem V A a koncovým
ramenem VB
odchylka pímek p, q
odchylka rovin g, a
stupe ^ ^
minuta
vteina
arkus úhlu a; oblouková míra úhlu a
lomená ára PAXA2 ...ANK
k = (S,r), k(S,r)
polopros tor ABCD
x = (S, r),x(S,r)
koncovým bodem K a vrcholy
A U A
uzavená lomená ára s vrcholy
trojúhelník s vrcholy A , B, C tyúhelník s vrcholy A , B, C, D
(v tomto poadí)
poloprostor s hraniní rovinou ABC
a vnitním bodem D
a vnitním bodem D
kvádr s protjšími stnami ABCD,
ABCD' (AA' || BB' || CC || DD)
kulová plocha x se stedem S
a polomrem r
vzhledem k základním bodm A 9 B
na tée pímce
(v tomto poadí)
(nkdy také A = [x])
souadnicemi x, y
souadnicemi Q , < p
souadnicemi x, y, z
A[Q 9 <p, z ] b o d A v p r o s t o r u s c y l i n d r i c k ý m i
s o u a d n i c e m i Q , <p, z
A[Q, <p, 9] b o d A v p r o s t o r u s e s f é r i ck ý m i
s o u a d n i c e m i Q , <p, 9
(O ; x ) , 0(x) s o u a d n i c o v á s o u s t a v a n a p í m c e
s p o á t k e m O a so u ad n i c í x ( O ; x , y), 0 ( x , y) k a r t é z s k á s o u a d n i c o v á s o u s t a v a v r o v i n
s p o á t k e m O a s o u a d n i c e m i x , y
(O; x , y9 z) , 0 ( x , y, z) k a r t é z s k á s o u a d n i c o v á s o u s t a v a
v p r o s t o r u s p o á t k e m O
a s o u a d n i c e m i x , y, z
(O ; Q 9 (p), 0 (Q , <p) p o l á r n í s o u a d n i c o v á s o u s t a v a v r o v i n
s « pó le m O , p r v o d i e m Q a a r g u m e n t e m <p
(O ; Q , <p, z\ 0(Q 9 <p, z) c y l i n d r i c k á s o u a d n i c o v á s o u s t a v a
s p o á t k e m O , p r v o d i e m Q ,
a r g u m e n t e m <p a so u ad n i c í z
(O ; Q , <P> 0 (Q , (p , 3) s fé r ic k á s o u a d n i c o v á s o u s t a v a
s p o á t k e m O a s o u a d n i c e m i Q , <p, 9
0 .1 .1 0 . M a t e m a t i c k á a n a l ý z a
{<*„}?= i, {<*„}, (a n\ (a í9a 2,...) ( n e k o n e n á ) p o s l o u p n o s t ís el aí9a 29...
Aa n Aan = an+x — an
A"a n • &nan = A n _ 1 a w + 1 - A w _ 1 a w
n - • oo n ( n e N ) s e b lí í k p l u s n e k o n e n u
[n r o s t e b e z o m e z e n í v k l a d n ý c h ce lých í s l ech ]
n - • — oo n (neZ ) s e b l í í k m i n u s n e k o n e n u
x a x se b l í í k a [x ko nv er gu je k a ]
x - • a + x se b l í í k a z p ra v a
x -> a— x se blí í k a z l eva
l im a w = a ( v l a s t n í ) l im i t a p o s l o u p n o s t i {a n}
p r o n -> oo se rovná í s lu aJ im a n = + oo, r esp . Hm a n = — oo p o s l o u p n o s t p r o n -> oo m á n ev l a s t n í
l i m i t u -I- oo, r e s p . — oo
l im^sup a n , lim an l im e s s u p e r i o r p o s l o u p n o s t i an
34
^ / ( x ) , r es p. m a j i / ( x )
m j r i / ( x ) ) r e s p . m i r i / ( x )
s up / ( x ) , r e s p . s up f(x)
< j r ^ / ( x ) , r e s p . i n j / ( x )
, &/(4 / ( « + ) > / ( « + o )
A x
fW ^ y(4 / .
D
l i m es i n f e r i o r p o s l o u p n o s t i a„
m a x i m u m < r e ál né > f un k ce / ( r e á l n é )
p ro m n n é x na in t e rva lu ( a , i>>,
r e s p . n a m n o i n A
m i n i m u m < r eá ln é > f un k ce / ( r e á l n é )
p ro m n né x na in t e rv a lu (0 , í>>,
s u p r e m u m ( r e á l n é ) f un kc e / ( r e á l n é )
p r o m n n é x n a i n t e r v a l u ( a , f ?> ,
i n f im u m ( r e á l n é ) f un k c e / ( r e á l n é )
p romnné x na in t e rva lu (a , f>> ,
r e s p . n a m n o i n A l im i t a ( r e á l n é ) f un k ce / ( r e á l n é )
p r o m n n é x v b o d a
l im i t a ( r e á l n é ) f un k ce / ( r e á l n é )
p r o m n n é x v b o d a z p r a v a
l im i t a ( r e á l n é ) f un k ce / ( r e á l n é )
p r o m n n é x v b o d a z l eva
l im i t a ( r e á l n é ) f un k ce / ( r e á l n é ) p r o m n n é x v n e v l a s t n í m b o d + oo,
r e s p . — oo
p í r s t e k [ d i f e r e n c e ] a r g u m e n t u x
v b o d x 0
p í r s t ek [ d i f e r en ce ] f u n k ce /
[ p í r s t e k z á v i sl e p r o m n n é y ]
v b o d x 0
( p r v n í ) d e r iv a c e ( r e á l n é ) f un k ce /
( r e á l n é ) p r o m n n é x
(y j e z á v is l e p r o m n n á )
( p r v n í ) d e r iv a c e ( r e á l n é ) f un k ce /
( r e á l n é ) p r o m n n é x v b o d x ,
t é ( p r v n í ) d e r i v a ce ( r e á l n é ) f u nk c e / ( r e á l n é ) p r o m n n é x
— ; d i fe r e n ci á ln í o p e r á t o r d x
35
f'(x0+)
J ' d x ' d x " '
d y ^ > d ^
d x df(x\dy x
< p r v n í > d e r i v a ce ( r e á l n é> f u n k ce /
( r e á l n é ) p r o m n n é x v b o d x 0
( p r v n í ) d e r i v a ce ( r e á l n é ) f un k ce /
v b o d x 0 z p r a v a ( p r v n í ) d e r i v a c e ( r e á l n é ) f u nk c e /
v b o d x 0 z l eva
( p r v n í ) d e r i v a c e ( r e á l n é ) f u n k c e
y = f(t) p o d l e p a r a m e t r u t
( p r v n í ) d e r i v a c e ( r e á l n é ) f u n k c e
y = f(t) p o d l e p a r a m e t r u t v b o d r 0
d r u h á d e r i v a c e ( r e á l n é ) f u n kc e /
d r u h á d e r i v a c e ( r e á l n é ) f u n k c e y = f(t)
p o d l e p a r a m e t r u t
n - t á d e r i v a ce ( r e á l n é ) f u n k ce / ( r e á l n é ) p r o m n n é x
d i f e r en c i á l a r g u m en t u x
d i f e r e n c i á l ( r e á l n é ) f u n k c e y = f(x)
d i f e r en c iá l ( r e á l n é ) f u n k ce / v b o d x ,
t é d i f e ren c i á l ( r e á l n é ) f u n k ce /
h o d n o t a ( r e á l n é ) f u n k c e / n ( r e á l n ý c h )
p r o m n n ý c h v b o d x = ( x l 5 x 2 , x j ,
t é ( r e á l n á ) f u n k c e / n ( r e á l n ý c h )
p r o m n n ý c h
l i m i t a ( r e á l n é ) f u n k c e / n ( r e á l n ý c h )
p r o m n n ý c h p r o x - • a , t j . p r o
* i *2 -> <*i> •••> xH -> an, p i e m o = (a í9a 29.. .9a n)
36
—» fxk> fxk parciální derivace (pr vní ho á d u ) d X k (r eá ln é) funkce y = f(x) podle
promnné xk
dxk
d2f
— 2 ' f*k*k> fxkx k parciální derivace dru héh o ádu (r eá ln é)
funkce y = f(x) dvakrá t podle
promnné xk
d2f
•—~z—y fxixp fx parciální derivace druh éh o ádu (Teálné) d X i dxJ funkce y = f(x) nejprve podle
promnné x{ a pak podle promnné x}
[smíšená parciální derivace druhého
df t totální [úpln ý] diferenciál (r eá ln é)
funkce y = f(x)
f totá lní [ú plný ] diferenciál n-tého á du (reálné) funkce y = f(x)
df(a) totální [úpln ý] diferenciál (r eá ln é)
funkce y = f(x) v bod o
dnf(a) totá lní [úplný ] diferenciál n-tého ádu
(reálné) funkce y = f(x) v bod o
F primitivní funkce k (reálné) funkci /
y = f(x) podle prom nné xk v bod
o = (al9a29..., an)
f(x) dx uritý integrál ( z ) (reálné) funkce
y = f(x) od a do b
[na intervalu (a , b>]
[F(x)Z F(x)t [F(x)fa = F(b) - F(a)
Sx, resp. Sy statický mom en t vzhledem k ose x, resp. y
Sxy9 resp. SX2, resp. Syz statický mom en t vzhledem k rovin xy,
resp. xz, resp. yz
Ix9 resp. Iy, resp. Iz momen t setrvanosti vzhledem k ose x,
resp. y, resp. z
/ p m o m e n t s e t r v a n o s ti v z h l e d e m k p o á t k u
D xy, r e s p . Dxz, r e s p . Dy2 d e v ia ní m o m e n t v z h le d e m k o s á m x a y ,
resp . x a z , resp . y SLZ B
(P dx + Q dy)c k i v k o v ý i n t e g r á l ( r e á l n ý c h ) f un k cí
z = P ( x , y ) a z = Q ( x , y ) p o o b l o u k u
r o v i n n é k i v k y C o d A d o B B
(Pdx + Q dy + R dz)c k i v k o v ý i n t e g r á l ( r e á l n ý c h ) f un k cí A u = P(x, y, z), u = 6(x, y9 z) a
u = R(x9 y9 z) p o o b l o u k u p r o s t o r o v é
k i v k y C od A do B
í
í z n a k k i v k o v é h o i n t e g r á l u p o u z a v e n é
k i v ce
( F d r ) c k i v k o v ý i n t eg r á l v e k t o r u F p o k i v ce C
^ A v e v e k t o r o v é m t v a r u r = r (r ) o d .4 d o B
f(x 9 y) d S , / ( x , y) dx dy d v o j n ý [ d v o j r o z m r n ý ] i n t e g rá l ( z ^
J J í í 2 J J í Í 2 ( r e á l n é ) f u n k ce z = / ( x , y ) p e s
r o v i n n o u u z a v e n o u o b l a s t Í 2 2
/ ( x , y , z ) d K, t r o j n ý [ t r o j r o z m r n ý ] i n t e g r á l ( z )
•'•"Z*3 ( r e á l n é ) f un k ce u = / ( x , y , z ) p es
/ ( x y z ) d x dy dz p r o s t o r o v o u u z a v e n o u o b l a s t Í 2 31n3
00 00
Z fl«> Z f l*> Z f l » n e k o n e n á a d a s e l e n y a{ (i = 1,2,...) n=
i i
fl w z b y t e k n e k o n e n é a d y p o n - t é m l e n u
0 . 1 . 1 1 . E l e m e n t á r n í f u n k c e (x e R, z e C )
i
s g n x s i g n u m [ z n a m é n k o ] r e á l n é h o í sl a x
[ x ] , £ ( x ) ce l á á s t ( r e á l n é h o ) í s l a x
x 5 o b e c n á m o c n i n a ( r e á l n é h o ) ís la x
s e x p o n e n t e m s (x > 0, s e R)
z 5 o b e c n á m o c n i n a ( k o m p l e x n í h o ) ís la z
s e x p o n e n t e m s(zeP, seC)
x" , z" n - t á m oc n in a (n 6 N ) 38
e* , ex p x , e z , exp z
l o g « x
ln x
ln z
t g x , t g z
c o t g x , c o t g z
s e c x
c o s e c x
a r c s i n x , a r c s i n z
a r c c o s x , a r c c o s z
a r c t g x , a r c t g z
a r c c o t g x , a r c c o t g z
n - tá o d m o c n i n a ( z ) ( r e á l n é h o ) ís la x
( x ^ O , n e N ) ; */x = y/x
n - tá o d m o c n i n a <z> ( k o m p l e x n í h o )
í s la z (z e P , n e N )
( o b e c n á ) e x p o n e n c i á l n í f u n k c e
p r o m n n é x s e z á k l a d e m a (a > 0 ) ( o b e c n á ) e x p o n e n c i á l n í f un k ce
p r o m n n é z se z á k l a d e m a (a 4= 0)
p i r o z e n á e x p o n e n c i á l n í f u n k c e
(tj. s e z á k l a d e m e )
( o b e c n á ) l o g a r i t m i c k á f u n k c e
p r o m n n é x s e z á k l a d e m a
(x > 0, a > 0 , a 4= 1) , logar i tmus( r e á l n é h o ) í s la x ( x > 0 ) s e z á k l a d e m a
{a > 0 , a =1= 1)
l o g a r i t m i c k á f u n k c e p r o m n n é x
se zá k la de m 10 (x > 0 ) ,
d e s í t k o v ý [ d e k a d i c k ý , B r i g g s v ]
l o g a r i t m u s ( r e á l n é h o ) í s l a x ( x > 0 )
p i r o z e n á l o g a r i t m i c k á f u n k c e p r o m n n é x
( x > 0) , p i r o z e n ý l o g a r i t m u s ( r e á l n é h o )
ísla x (x > 0) (tj. s e z á k l a d e m e )
( p i r o z e n á ) l o g a r i t m i c k á f un k c e
p r o m n n é z (ze P ), p i r o z e n ý l o g a r i t m u s
(k o m p le x n íh o ) í s l a z ( z =•= 0 )
s inus x , s inus z
k o s i n u s x , k o s i n u s z
t a n g e n s x [ x =•= (k + \) n, k e Z ] ,
t a n g e n s z
k o t a n g e n s x ( x =•= kn, k e Z ) , k o t a n g e n s z
s e k a n s x [ x + (/c + i ) n , t 6 Z ]
k o s e k a n s x (x =•= kn, k e Z )
a r k u s s i n u s x ( x e ( - 1 , 1 » , a rk u s s i n u s z
a r k u s k o s i n u s x ( x e ( - 1 , 1 ) ) , a r k u s k o s i n u s z
a r k u s t a n g e n s x , a r k u s t a n g e n s z
a r k u s k o t a n g e n s x , a r k u s k o t a n g e n s z
39
coshx, coshz
tghx, tghz
cotghx, cotghz
argsinhx, argsinhz
argcoshx, argcoshz
argtghx, argtghz
argcotghx, argcotghz
0.1.12. S p e c i á l n í fu nk ce
r(x)
B(p,?)
Six
Cix
Eix
hyperbolický kotangens z
hyperbolického kosinu z argument hyperbolického tangens x
[x G ( - 1 , 1 ) ] , argument hyperbolického
tangens z
[ X G ( - o o , — 1) u (1, + o o ) ] , argument
hyperbolického kotangens z
li X i n t e g r á l n í l o g a r i t m u s
[ i n t e g r á l lo g a r i t m u s , l o g a r i t m u s i n t e g r á l ]
erf x f u n k ce ch y b [ ch y b o v á f u n k ce
e r r o r f u n c t i o n ]
e r f c x d o p l n k f u n k ce ch y b [ e r r o r f u n c t i o n
c o m p l e m e n t ] <(x) G a u s s v p r a v d p o d o b n o s t n í i n te g r á l
[ G a u s s o v a f u n k c e c h y b ]
F(kq>) n e ú p l n ý e l i p t i c k ý i n t e g r á l p r v n í h o d r u h u
E {k 9 <p) n e ú p l n ý e l i p t i c k ý i n t e g r á l d r u h é h o d r u h u
K, F(fc, nl2) ú p l n ý e l i p t i c k ý i n t e g r á l p r v n í h o d r u h u
E , E(k, KI2) ú p l n ý e l i p t i c k ý i n t e g r á l d r u h é h o d r u h u
0 .1 .1 3. D i f e r e n c i á l n í g e o m e t r i e
r = r(t) r(t) = (x(), y(t), z ( ) ) ; v ek t o r sk a l á r n í h o
a r g u m e n t u t
T d é l k a ú s e k u t e n y [ t a n g e n t a ] r o v i n n é
k i v k y
N d é l k a ú s e k u n o r m á l y [ n o r m á l a ] r o v i n n é k i v k y
s u b t a n g e n t a r o v i n n é k i v k y
S N s u b n o r m á l a r o v i n n é k i v k y
t d é l k a ú s e k u p o l á r n í t e n y r o v i n n é k i v k y
n d é l k a ú s e k u p o l á r n í n o r m á l y r o v i n n é
k i v k y
St p o l á r n í s u b t a n g e n t a r o v i n n é k i v k y p o l á r n í s u b n o r m á l a r o v i n n é k i v k y
p o l o m r ( p r v n í ) k i v o s t i r o v i n n é k i v k y
( p r v n í ) k i v o s t [ f l e x e ] r o v i n n é k i v k y
p o l o m r d r u h é k i v o s t i [ p o l o m r t o r z e ]
x2 d r u h á k i v o s t [ t o r z e , k r o u c e n o s t ]
5 ik K r o n e c k e r v s y m b o l
[ K r o n e c k e r o v o d e l t a ]
4 1
0.1.14. Lap l a c eova t r an s f o rmace
F p) = ^{f t)} = ¥J\ funkce F je Laplaceovým obrazem
f t) = F p), f t) 7^ F p) funkce / ; Laplaceova transformace
funkce / promnné t
JSf j{F(p)} = F p) = f t), inverzní Laplaceova transformace
F p) = f t\ F p) T1
f t) funkce F promnné p
/ i 0 /2W konvoluce funkcí fl9f2
0.1.15. Po e t pravdpodobnost i , mat emat ick á s tat is t ik a
a te or ie chy b
£ 1 ? £ 2 , . . . náhod né jevy
0 , V nemoný náhodný jev
U jistý náhodný jev
E opaný náh odn ý jev k ná ho dn ém u jevu E
P(E) pravdpod obnost náh odn ého jevu E
P(E2lE) podmínná pravdp odobnost n a h o d i l é h o
jevu E2 za podmí nky, e nast al
náhodný jev E
P n(m l, m2,..., mn) prav dpo dobn ost, e pi n pokusech
náhodný jev Ex nastal m r krát k
(i = l,2,..., fc); = n);
F ( x ) , P(< < x) dist ribuní funkce náhodné veliiny
p(x) hust ota prav dpo dobn osti diskrétní
náhodné veliiny
náhodné veliiny
m(š — xf mo me nt fc-tého á du pr o diskré tní
náhodnou veliinu £
náhodnou veliinu ,
veliinu £
42
m(í - V Y c e n t r á ln í m o m e n t p r o s p o j it o u n á h o d n o u
ve l i inu £
i E š s t e dn í h o d n o t a [ o e k á v a n á h o d n o t a ]
n áh o d n é v e l i i n y
a 2, D£ r o z p t y l n á h o d n é vel i iny
a s m r o d a t n á o d c h y l k a , s t e d n í k v a d r a t i c k á o d c h y l k a
v var i an í koef i c i en t
y 1 š i k m o s t
y 2 šp i a t o s t [ ex ce s ]
N(fi, o 2) o b e c n é n o r m á l n í r o z lo e n í s p a r a m e t r y
li,o 2
f(x; fi, o 2
) < G a u s s o v a > h u s t o t a p r a v d p o d o b n o s t i r o z l o e n í N(n, a2)
F(x; fi, a 2), (PÍ - — - ) ( G a u s s o v a ) d i s tr ib u n í f un kc e r o z lo e n í v a J , *2 )
N (o , 1) n o r m o v a n é n o r m á l n í r o z lo e n í
s p a r a m e t r y \i = 0, a2 = 1
f(x; 0 ,1 ) , (p(x) ' < G a u s s o v a > h u s t o t a p r a v d p o d o b n o s t i
r o z l o e n í N(0, 1)
F(x; 0 ,1 ) , <P(x) < G a u s s o v a > d i s t r i b u n í f u n kc e r o z l o e n í
N(0 91)
X v ý b r o v ý p r m r
S 2 v ý b r o v ý r o z p t y l
S v ý b r o v á s m r o d a t n á o d c h y l k a
s2 e m p i r i c k ý r o z p t y l
s e m p i r i c k á s m r o d a t n á o d c h y l k a
x ( e m p i r i c k ý ) a r i t m e t ic k ý p r m r
x ( e m p i r i c k ý ) v á e n ý a r i t m e t i c k ý p r m r
x G ( e m p i r i c k ý ) g e o m e t r ic k ý p r m r
Xq ( e m p i r i c k ý ) v á e n ý g e o m e t r ic k ý p r m r
W p r m r n é t e m p o
x K ( e m p i r i c k ý ) k v a d r a t i c k ý p r m r
x'K ( e m p i r i c k ý ) v á en ý k v a d r a t i c k ý p r m r xH ( e m p i r i c k ý ) h a r m o n i c k ý p r m r
x'H ( e m p i r i c k ý ) v á en ý h a r m o n i c k ý p r m r
x ( e m p i r i c k ý ) m e d j á n
4 3
X ( e m p i r i c k ý > . m o d u s
R < em p i r i ck é> r o zp t í
d ( e m p i r i c k á ) s t e d n í o d c h y l k a
v ý b r o v ý v a r i an í k o e f i c i en t
sxy, co\(x,y) v ý b r o v á k o v a r i a n c e d v o j i c e n á h o d n ý c h
vel i in x , y r xy
( e m p i r i c k ý ) k o r e l a n í k o e f i c i e n t d v o j i c e
n á h o d n ý c h v e l i i n x , y
w £ a , ; Gaussv sumaní symbol
[ab] i = i
a íb l + a2b 2 + ... + anb n
X s k u t e n á h o d n o t a m e n é v e l i i n y
x . n a m e n á h o d n o t a m e n é v e l i i n y
( n e v y h n u t e l n á ) s k u t e n á c h y b a m e n é
vel i iny
A x ab so l u t n í ch y b a m en é v e l i i n y
r e l a t i v n í ch y b a m en é v e l i i n y
X z d á n l i v á ( s t e d n í ) h o d n o t a m e n é
vel i iny
z d á n l i v á [ d o m n l á ] c h y b a [ o p r a v a ^
m s t e d n í c h y b a j e d n o t l i v é h o d n

Documents

BARTSCH Matematicke Vzorce