Upload
nguyencong
View
245
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki.
2. Definicje prawdopodobieństwa.
3. Własności prawdopodobieństwa.
4. Zmienne losowe, parametry zmiennych losowych i rozkładu.
5. Rozkłady zmiennych losowych.
Kombinatoryka
Kombinatoryka - dział w matematyce, w którym zajmujemy się m.in.
obliczaniem liczebności zbiorów bądź długości ciągów, które łączą w
określony sposób elementy należące do skończonego zbioru (teoria
zliczania).
=?
Oznaczenia
(ω1, . . . , ωk) - ciąg elementów, porządek odgrywa rolę np.
(zielony, czarny, czerwony) =(zielony, czarny, czerwony)
ale
(zielony, czarny, czerwony) ≠ (zielony, czerwony, czarny)
{ω1, . . . , ωk} - zbiór elementów, porządek nie odgrywa roli np.
{zielony, czarny, czerwony} = {zielony, czarny, czerwony}
i
{zielony, czarny, czerwony} = {zielony, czerwony, czarny}
Permutacja bez powtórzeń
Permutacją (bez powtórzeń) zbioru n-elementowego, nazywamy
każdy n-wyrazowy ciąg utworzony z wszystkich elementów tego
zbioru.
Permutację bez powtórzeń zapisujemy za pomocą:
𝑃𝑛 = 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3⋯ 𝑛 − 1 ∙ 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁
(Mamy dowolny zbór elementów i musimy policzyć ile jest możliwych
ułożeń (kolejności) tych elementów)
Permutacja z powtórzeniami
Niech 𝐴 = {𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑘} oznacza dowolny zbiór n-elementowy.
Permutacją z powtórzeniami w której element 𝑎1 powtarza się 𝑛1
razy, …, element 𝑎𝑘 powtarza się 𝑛𝑘 razy, 𝑛1 + 𝑛2 +⋯+ 𝑛𝑘 = 𝑛
nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym poszczególne elementy
zbioru A powtarzają się wskazaną liczbę razy.
Permutację z powtórzeniami zapisujemy za pomocą:
𝑃𝑛𝑛1,…, 𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑛1! ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑘!
Permutacja bez powtórzeń
Przykład:
1. Ile różnych liczb trzycyfrowych można uzyskać z cyfr 2,3,5?
𝑃3 = 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6
Te liczby to:235, 253, 325, 352, 523, 532
2. Ile różnych liczb trzycyfrowych można uzyskać z cyfr 2,3,5 jeśli
cyfra 2 powtarza się trzy razy, 3 – dwa razy a 5 jeden raz.
𝑃63,2,1 =
6!
3! ∙ 2! ∙ 1!=4 ∙ 5 ∙ 6
2= 60
Te liczby to np.: 222335, 22325,23225 ….
Wariacje bez powtórzeń
Wariacją k-elementową bez powtórzeń zbioru n-elementowego
nazywamy każdy ciąg różnowartościowy k-wyrazowy utworzony z
elementów danego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie).
Dla dowolnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-
elementowego jest:
𝑉𝑛𝑘 = 𝑛 ∙ 𝑛 − 1 ⋅ 𝑛 − 2 ∙ ⋯ ∙ 𝑛 − 𝑘 + 1 =
𝑛!
𝑛 − 𝑘 !
𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁
Wariacje bez powtórzeń
Przykład:
Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając dwóch różnych
cyfr ze zbioru { 2,4,5,7 }?
𝑉42 =
4!
4 − 2 !=4!
2!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4
1 ∙ 2= 3 ∙ 4 = 12
{24, 25, 27, 42, 45, 47, 52, 54, 57, 72, 74, 75} – kolejność jest ważna (24 jest różne od
42) i cyfry mają być różne więc nie może być np. 22, 44 itp..
Wariacja z powtórzeniami
Wariacją k-elementową z powtórzeniami zbioru n-elementowego
nazywamy każdy ciąg k-wyrazowy utworzony z elementów danego
zbioru.
Liczba wszystkich różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami
zbioru n-elementowego jest równa
𝑉 𝑛𝑘 = 𝑛𝑘 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁
Wariacja z powtórzeniami
Przykład:
Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć używając cyfr ze zbioru
{2,4,5,7}?
𝑉 42 = 42= 16
{22, 24, 25, 27, 42, 44, 45, 47, 52, 54, 55, 57, 72, 74, 75, 77} – kolejność jest
ważna (24 jest różne od 42) i brak warunku, że cyfry mają być różne.
Kombinacja bez powtórzeń
Kombinacją bez powtórzeń k-elementową ze zbioru n-
elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy danego
zbioru.
Liczba wszystkich różnych kombinacji k-elementowych zbioru n-
elementowego jest równa:
𝐶𝑛𝑘 =𝑛𝑘=
𝑛!
𝑘! ⋅ 𝑛 − 𝑘 ! 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁
W odróżnieniu od permutacji i wariacji, kombinacja nie jest ciągiem, a
podzbiorem elementów, czyli m.in. kolejność nie ma znaczenia.
Kombinacja bez powtórzeń
Przykład:
Ile jest możliwości wyboru dwóch różnych liczb ze zbioru {2,4,5,7}?
𝐶42 =42=
4!
2! ⋅ 4 − 2 !=1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4
1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2= 6
{2,4}, {2,5}, {2,7}, {4,5}, {4,7}, {5,7} – kolejność nie jest ważna (zbiór {2,4} to
to samo co {4,2}), nie może być również elementów {2,2}, {4,4}, {5,5}, {7,7}
gdyż każda cyfra występuje w zbiorze {2,4,5,7} tylko jeden raz.
Kombinacja z powtórzeniami
Kombinacją z powtórzeniami k-elementową ze zbioru n-
elementowego nazywamy każdy podzbiór k elementów różnych lub
nie różniących się między sobą wybranych z n-elementowego zbioru.
Liczba wszystkich różnych k-elementowych kombinacji z
powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa:
𝐶 𝑛𝑘 =𝑛 + 𝑘 − 1𝑘
=(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘! ⋅ 𝑛 − 1 ! 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 𝑘; 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑁
Kombinacja z powtórzeniami
Przykład:
Mamy cztery rodzaje owoców: jabłka, gruszki, morele i banany. Tworzymy
paczki po pięć owoców. Ile różnych paczek możemy otrzymać?
𝐶 45 =𝑛 + 𝑘 − 1𝑘
=4 + 5 − 15
=8!
5! ⋅ 8 − 5 !=8!
5! ⋅ 3!=6 ⋅ 7 ⋅ 8
1 ⋅ 2 ⋅ 3= 56
Sposób na zadanie Doświadczenie polega na wylosowaniu k-elementów ze zbioru n-elementowego.
Czy istotna jest kolejność wylosowanych elementów?
Czy elementy mogą się powtarzać?
Wariacja bez
powtórzeń.
Czy elementy mogą się powtarzać?
Wariacja z
powtórzeniami.
nie
tak
tak
nie tak nie
Kombinacja bez
powtórzeń.
Kombinacja z
powtórzeniami.
1. Elementy kombinatoryki.
2. Definicje prawdopodobieństwa. o Przestrzeń zdarzeń losowych
o Aksjomatyka rachunku prawdopodobieństwa
3. Własności prawdopodobieństwa.
4. Zmienne losowe, parametry zmiennych losowych i rozkładu.
5. Rozkłady zmiennych losowych.
Doświadczenie losowe
Doświadczenie losowe to realizacja określonego zespołu warunków,
wraz z góry określonym zbiorem wyników.
Możemy uznać, że doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie
powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z
góry przewidzieć
Przykładem doświadczenia losowego może być np. rzut kostką do gry czy
monetą i oczywiście obserwacja wyniku rzutu (liczba oczek na kostce, orzeł
czy reszka).
Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Zbiór zawierający wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego
nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych i zazwyczaj oznaczamy
literą Ω. Pojedynczy element zbioru Ω nazywamy zdarzeniem
elementarnym i oznaczamy 𝜔.
Przykład
• Rzucamy jeden raz kostką.
Zbór zdarzeń elementarnych to Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Z talii 24 kart wybieramy losowo 5.
Tutaj możliwych wyników mamy dużo (𝑉524 = 5100480), wynikiem może być np.
{9♠,9♣,10♦, K♣, A♥},
Zdarzenie losowe
Zdarzenie losowe – pewien zbiór możliwych wyników danego
doświadczenia. Może to być zarówno zbiór składający się z
pojedynczego wyniku, jak i zbiór złożony z większej liczby
elementów.
Przykład. Rzucamy kostką do gry. Zdarzeniem losowym A określmy
sytuację gdy wypadła parzysta liczba oczek.
Ω 𝐴
Zbiór zdarzeń losowych Zbiorem zdarzeń losowych ℱ nazywamy klasę podzbiorów (czyli
zbiór zbiorów) nazywaną 𝝈-ciało zdarzeń taką, że
1. Cała przestrzeń zdarzeń elementarnych należy do tej klasy
Ω ∈ ℱ
2. Dopełnienie 𝐴′ dowolnego zbioru 𝐴 należącego do klasy ℱ jest
elementem tej klasy, czyli
𝐴 ∈ ℱ ⇒ 𝐴′ ∈ ℱ
3. Suma co najwyżej przeliczalnej liczby zbiorów należących do
klasy ℱ również należy do tej klasy:
𝐴1 ∈ ℱ,… , 𝐴𝑛 ∈ ℱ ⇒ (𝐴1 ∪ … ∪ 𝐴𝑛) ∈ ℱ
Działania na zdarzeniach
Na zdarzeniach wykonuje się analogiczne działania jak na zbiorach.
• Koniunkcją (iloczynem) zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴 ∩ 𝐵
składające się z wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą zarówno
do zdarzenia A jak i do zdarzenia B.
• Alternatywą (sumą) zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴 ∪ 𝐵
składające się z wszystkich zdarzeń elementarnych, które należą do
zdarzenia A lub do zdarzenia B.
• Różnicą zdarzeń 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ nazywamy zdarzenie 𝐴\𝐵 składające się z
wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zdarzenia A i nie
należących do zdarzenia B.
Działania na zdarzeniach
• Różnicę zdarzeń Ω\A nazywamy dopełnieniem zdarzenia 𝐴 i oznaczamy 𝐴′
• Zdarzenie 𝑨 pociąga zdarzenie 𝑩, co zapisujemy 𝐴 ⊂ 𝐵 jeśli każde
zdarzenie elementarne należących do zdarzenia A również należy do
zdarzenia B.
• Zdarzenia 𝐴, 𝐵 ∈ ℱ wykluczają się, jeśli nie mają wspólnych zdarzeń
elementarnych, tj. gdy ich koniunkcja jest zdarzeniem niemożliwym
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Własności działań na zdarzeniach
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴, 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶
𝐴 ∩ 𝐵𝑖𝑖∈𝑇
= (𝐴 ∩ 𝐵𝑖)
𝑖∈𝑇
𝐴 ∪ 𝐵𝑖𝑖∈𝑇
= (𝐴 ∪ 𝐵𝑖)
𝑖∈𝑇
(𝐴 ∩ 𝐵)′ = 𝐵′ ∪ 𝐴′ , (𝐴 ∪ 𝐵)′ = 𝐵′ ∩ 𝐴′
Prawdopodobieństwo
1. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
2. Własności prawdopodobieństwa
3. Przestrzeń probabilistyczna
4. Prawdopodobieństwo warunkowe
5. Prawdopodobieństwo całkowite
6. Twierdzenie Bayesa
7. Niezależność zdarzeń
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego,
ℱ - jego zbiorem zdarzeń losowych.
Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję 𝑃 przyporządkowująca
każdemu zdarzeniu 𝐴 ∈ ℱ liczbę 𝑃(𝐴) (prawdopodobieństwo zdarzenia A)
zgodnie z następującymi warunkami:
1. 𝑃 𝐴 ≥ 0 dla każdego zdarzenia 𝐴 ∈ ℱ,
2. 𝑃 Ω = 1,
3. Jeżeli 𝐴1, … , 𝐴𝑛, … jest dowolnym ciągiem parami rozłącznych zdarzeń ze
zbioru ℱ, to
𝑃 𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 ∪⋯ = 𝑃 𝐴1 +⋯+ 𝑃 𝐴𝑛 +⋯
Elementarne własności prawdopodobieństwa
1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru:
𝑃 ∅ = 0
2. Jeżeli zdarzenie 𝐴 pociąga zdarzenie 𝐵 (𝐴 ⊂ 𝐵), to
𝑃 𝐴 ≤ 𝑃 𝐵
3. Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia 𝐴 jest nie większe od
jedności,
𝑃 𝐴 ≤ 1
Elementarne własności prawdopodobieństwa
4. Jeżeli zdarzenie 𝐴 pociąga zdarzenie 𝐵 (𝐴 ⊂ 𝐵), to
𝑃 𝐵\A = 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴)
5. Jeżeli zdarzenia 𝐴1, … , 𝐴𝑛 są rozłączne parami, to
𝑃 𝐴1 ∪⋯∪ 𝐴𝑛 = 𝑃 𝐴1 +⋯+ 𝑃(𝐴𝑛)
6. Suma prawdopodobieństw zdarzeń przeciwnych równa się
jedności,
𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐴′ = 1
Elementarne własności prawdopodobieństwa
7. Prawdopodobieństwo alternatywy dwóch dowolnych zdarzeń jest
równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o
prawdopodobieństwo ich koniunkcji, czyli
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
Czyli prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń jest równe
sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń pomniejszonej o prawdopodobieństwo zajścia
obydwu zdarzeń równocześnie.
Elementarne własności prawdopodobieństwa
8. Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω jest co najwyżej
przeliczalna i są określone prawdopodobieństwa 𝑝𝑖
poszczególnych zdarzeń jednoelementowych {𝜔𝑖}, czyli
𝑝𝑖 = 𝑃 𝜔𝑖 , 𝑝𝑖 ≥ 0
𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛 = 1, gdy przestrzeń Ω 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑘𝑜ń𝑐𝑧𝑜𝑛𝑎,
𝑝1 +⋯+ 𝑝𝑛 +⋯ = 1, 𝑔𝑑𝑦 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑠𝑡𝑟𝑧𝑒ń Ω 𝑗𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑙𝑖𝑐𝑧𝑎𝑙𝑛𝑎,
to prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴, któremu sprzyjają zdarzenia
elementarne, 𝜔𝑖1 , … , 𝜔𝑖𝑘, jest dane równością
𝑃 𝐴 = 𝑝𝑖1 +⋯+ 𝑝𝑖𝑘
Elementarne własności prawdopodobieństwa
9. Jeżeli,
a) przestrzeń Ω składa się z n zdarzeń elementarnych,
b) zdarzenia jednoelementowe {𝜔𝑖}, są jednakowo
prawdopodobne, a więc
𝑃 𝜔1 = 𝑃 𝜔2 = ⋯ = 𝑃 𝜔𝑛 =1
𝑛
to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia 𝐴 składającego się z k
zdarzeń elementarnych wyraża się równością
𝑃 𝐴 =𝑘
𝑛
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy trójkę (Ω, ℱ, 𝑃), gdzie
Ω- przestrzeń zdarzeń elementarnych,
ℱ- zbiór zdarzeń losowych,
𝑃 – prawdopodobieństwo.
Przestrzeń probabilistyczna danego doświadczenia losowego stanowi
matematyczny opis tego doświadczenia.
Prawdopodobieństwo warunkowe Niech 𝐵 będzie zdarzeniem takim, że 𝑃(𝐵) > 0.
Prawdopodobieństwem warunkowym zdarzenia 𝐴 przy warunku 𝐵
nazywamy liczbę
𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
Przykład:
Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy zdarzenia:
A – wylosowano liczbę parzystą,
B – wylosowano liczbę podzielną przez 3
Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczby parzystej, wiedząc, że wylosowano
liczę podzielną przez 3.
𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)=
1412
=1
2
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Jeżeli
a) zdarzenia 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 są parami rozłączne (tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, gdy
𝑖 ≠ 𝑗) oraz
b) 𝐵𝑖 = Ω𝑛𝑖=1 , 𝑃 𝐵𝑖 > 0 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛,
to dla każdego zdarzenia 𝐴
𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)
𝑛
𝑖=1
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Przykład:
Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w
połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z
prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem
0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie
ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0,07. Zakłada
się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że u losowo wybranej osoby z tej
populacji test da wynik pozytywny.
P(B1) – prawdopodobieństwo, że wirus jest w organizmie (0,01)
P(A|B1) – jest wirus i wynik pozytywny (0,98)
P(B2) - prawdopodobieństwo, że wirusa nie ma w organizmie (0,99)
P(A|B2) – wirusa nie ma i wynik pozytywny (0,07)
𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐴 𝐵2 ∗ 𝑃 𝐵2
= 0,01 ∗ 0,98 + 0,99 ∗ 0,07 = 0,0791
Zadania
1. Płyty DVD są produkowane w dwóch fabrykach X i Y. Płyty z
fabryki X mają trwałość dłużej niż 30 lat w 99% procentach
przypadków, płyty z fabryki Y tylko w 95% przypadków.
Fabryka X dostarcza na rynek 60% płyt tej marki. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo płyta DVD będzie miała
trwałość dłuższą niż 30 lat?
2. Pierwsza urna zawiera 4 białe i 1 czarną kulę, druga – 2 białe i 3
czarne. Losujemy urnę tak, by szansa wybrania pierwszej urny była
dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny
losujemy kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli
białej.
Twierdzenie Bayesa Jeżeli
a) zdarzenia 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 są parami rozłączne (tzn. 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅, gdy
𝑖 ≠ 𝑗),
b) 𝐵𝑖 = Ω𝑛𝑖=1 , 𝑃 𝐵𝑖 > 0 𝑑𝑙𝑎 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
c) P 𝐴 > 0,
to dla 𝑘 = 1,2, … , 𝑛
𝑃 𝐵𝑘 𝐴 =𝑃(𝐴|𝐵𝑘) ∙ 𝑃 𝐵𝑘 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)𝑛𝑖=1
Wzór Bayesa możemy odczytać następująco: jeśli możliwymi przyczynami zajścia zdarzenia A (skutku),
są zdarzenia B (B1, ..., Bn), to P(Bk|A) wyznacza prawdopodobieństwo, że przyczyną zajścia zdarzenia A
jest właśnie Bk.
Twierdzenie Bayesa - przykład Test ELISA na obecność wirusa HIV w organizmie (stosowany w USA w
połowie lat osiemdziesiątych) daje wynik pozytywny z
prawdopodobieństwem 0,98 i negatywny z prawdopodobieństwem
0,02, jeśli wirus jest w organizmie. Jeżeli wirusa w organizmie nie
ma, prawdopodobieństwo wyniku pozytywnego wynosi 0,07. Zakłada
się, że 1% populacji jest zarażony tym wirusem.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba jest
rzeczywiście zarażona wirusem, jeśli wiadomo, że test dał wynik
pozytywny.
𝑃 𝐵𝑘 𝐴 =𝑃(𝐴|𝐵𝑘) ∙ 𝑃 𝐵𝑘 𝑃(𝐴|𝐵𝑖) ∙ 𝑃(𝐵𝑖)𝑛𝑖=1
P(B1) – prawdopodobieństwo, że wirus jest w organizmie (0,01)
P(A|B1) – jest wirus i wynik pozytywny ((0,98)
P(B2) - prawdopodobieństwo, że wirusa nie ma w organizmie (0,99)
P(A|B2) – wirusa nie ma i wynik pozytywny (0,07)
𝑃 𝐵1 𝐴 =𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃(𝐵1)
𝑃 𝐴 𝐵1 ∗ 𝑃 𝐵1 + 𝑃 𝐴 𝐵2 ∗ 𝑃(𝐵2)
=0,98 ∗ 0,01
0,98 ∗ 0,01 + 0,99 ∗ 0,07= 0,123
Twierdzenie Bayesa - zadanie Pierwsza urna zawiera 4 białe i 1 czarną kulę, druga – 2 białe i 3
czarne. Losujemy urnę tak, by szansa wybrania pierwszej urny była
dwukrotnie mniejsza niż drugiej. Następnie z wybranej urny losujemy
kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo losowania z pierwszej urny gdy
wynikiem losowania była biała kula.
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi (parami niezależnymi), jeżeli
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Zdarzenia 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeżeli dla
dowolnego wyboru wskaźników 1 ≤ 𝑖1 < 𝑖2 < ⋯ < 𝑖𝑟 ≤ 𝑛, 𝑟 = 2,3, … , 𝑛,
𝑃 𝐴𝑖𝑘
𝑟
𝑘=1
= 𝑃 𝐴𝑖𝑘
𝑟
𝑘=1
Niezależność zdarzeń
Przykład:
Spośród liczb {2, 3, 5, 30} wybieramy losowo jedną liczbę. Rozważmy
zdarzenia:
A – wylosowano liczbę parzystą,
B – wylosowano liczbę podzielną przez 3,
C – wylosowano liczbę podzielną przez 5.
Czy te zdarzenia są parami niezależne? Czy są wzajemnie niezależne?
𝑃 𝐴 =1
2, 𝑃 𝐵 =
1
2, 𝑃 𝐶 =
1
2, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
1
4, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 =
1
4, 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 =
1
4,
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 =1
4
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 =1
2∗1
2=1
4
𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐶 =1
2∗1
2=1
4
𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐵 ∗ 𝑃(𝐶) =1
2∗1
2=1
4
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴 ∗ 𝑃 𝐵 ∗ 𝑃 𝐶 =1
2∗1
2∗1
2=1
8≠1
4
Zdarzenia są parami niezależne ale nie są wzajemnie niezależne
Własności zdarzeń niezależnych
1. Jeśli 𝐴 i 𝐵 są niezależne i 𝑃 𝐵 > 0 to 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴)
2. Jeśli 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, 𝑃 𝐴 > 0, 𝑃 𝐵 > 0 to 𝐴 i 𝐵 nie są
niezależne.
3. Jeśli 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝑃 𝐴 > 0, 𝑃 𝐵 < 1, to 𝐴 i 𝐵 nie są
niezależne.
4. Ω i dowolne zdarzenie 𝐴 są niezależne.
5. ∅ i dowolne zdarzenie 𝐴 są niezależne.
Dodatek – schemat Bernouliego
Schematem Bernoulliego nazywamy wieloetapowe doświadczenie
polegające na n-krotnym powtórzeniu tego samego doświadczenia
cząstkowego w niezmienionych warunkach i niezależnie od siebie,
przy czym każde doświadczenie cząstkowe może być zakończone
jednym z dwóch wyników: sukces lub porażka.
p – prawdopodobieństwo sukcesu
q – prawdopodobieństwo porażki
n – ilość prób
k – ilość prób zakończonych sukcesem
𝑃 𝑛, 𝑘, 𝑝 =𝑛𝑘𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘
Przykład
Rzucamy dziesięć razy symetryczną monetą. Niech sukcesem w tym
doświadczeniu będzie wyrzucenie orła O. Ponieważ moneta jest
symetryczna więc 𝑃 𝑂 =1
2. Zatem prawdopodobieństwo, że w 10
rzutach monetą uzyskamy 3 razy orła wynosi
𝑃 10,3,1
2=103
1
2
31
2
7
=10!
3! ∙ 7!∙1
8∙1
128=
=8 ∙ 9 ∙ 10
2 ∙ 3∙1
8∙1
128=15
128