Elementy Kombinatoryki

19 marca 2017

Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Twierdzenie 1Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n>m to istnieje szuflada zprzynajmniej dwoma obiektami.

19 marca 2017 2 / 24

Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Wniosek 2Wśród niełysych mieszkańców Krakowa w każdej chwili jest dwóch o tej samejliczbie włosów na głowie.

Zakładamy, że liczba włosów na głowie nie przekracza 500000.

19 marca 2017 3 / 24

Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Wniosek 3Malujemy każdy punkt jednostkowego okręgu czerwonym lub niebieskim koloremudowodnij, że istnieje trójąt równoramienny wpisany w ten okrąg, któregowszystkie wierzchołki są tego samego koloru.

19 marca 2017 4 / 24

Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Wniosek 4Grupa 30 osób wita się podając sobie ręce.Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie.Udowodnij że są dwie osoby, które przywitają taką samą liczbę osób.

19 marca 2017 5 / 24

Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Wniosek 5Udowodnij, że wśród dowolnych 2017 liczb (powtórzenia są dozwolone ) możnaznaleźć takie, których suma dzieli się przez 2017. Pokaż, że dowolne 2016 liczbynie mają tej własności.

19 marca 2017 6 / 24

Uogólniona Zasada Szufladkowa Dirichleta.

Twierdzenie 6Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n>rm to istnieje szufladaz przynajmniej r+1 obiektami.

19 marca 2017 7 / 24

Zasada włączeń i wyłączeń.

Twierdzenie 7Niech A,B będą zbiorami skończonymi. Wtedy

|A ∪ B|+ |A ∩ B| = |A|+ |B|,

czyli równoważnie|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|,

|A ∩ B| = |A|+ |B| − |A ∪ B|.

19 marca 2017 8 / 24

Zasada włączeń i wyłączeń.

Wniosek 8Niech A,B,C będą zbiorami skończonymi. Wtedy

|A ∪ B ∪ C | = |A|+ |B|+ |C | − |A ∩ B| − |B ∩ C | − |C ∩ A|+ |A ∩ B ∩ C |.

19 marca 2017 9 / 24

Zasada włączeń i wyłączeń.

Twierdzenie 9

19 marca 2017 10 / 24

Zasada włączeń i wyłączeń.

Twierdzenie 10

19 marca 2017 11 / 24

Zasada włączeń i wyłączeń.

Szkic dowodu

19 marca 2017 12 / 24

Permutacje

19 marca 2017 13 / 24

Permutacje

19 marca 2017 14 / 24

Permutacje

19 marca 2017 15 / 24

Permutacje

19 marca 2017 16 / 24

Kombinacje

19 marca 2017 17 / 24

Kombinacje z powtórzeniami

19 marca 2017 18 / 24

Kombinacje z powtórzeniami

Uwaga 11Liczba wyborów k liczb z powtórzeniami ze zbioru {1, 2, . . . , n} to liczba sposobów rozmieszczenia k identycznych przedmiotów w n rozróżnialnychpudełkach.

Jest(n+k−1

k

), czyli

(k+n−1n−1

), sposobów rozmieszczenia k identycznych przedmiotów w n rozróżnialnych pudełkach.

DowódDla k = 6, n = 4 wskazówka schemat poniżej

ooo|o||oo −→ 000101100.

19 marca 2017 19 / 24

Wariacje bez powtórzeń

19 marca 2017 20 / 24

Wariacje z powtórzeniami

19 marca 2017 21 / 24

Podziały liczby

19 marca 2017 22 / 24

Podziały liczby

Lista podziałów 8 na 3 składniki

1 + 1 + 6, 1 + 2 + 5, 1 + 3 + 4, 2 + 2 + 4, 2 + 3 + 3.

19 marca 2017 23 / 24

Podziały liczby

19 marca 2017 24 / 24