bendaa tegar

7/13/2019 bendaa tegar

1/50

Makalah Fisika Dasar 1~Benda Tegar 1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Mempelajari gerak benda, konsep-konsep gaya dan energi yang

berhubungan, membentuk satu bidang yang disebut dengan mekanika (Giancoli,

2001). Lebih lanjut, mekanika dibagi menjadi dua bagian yaitu kinematika dan

dinamika. Kinematika adalah ilmu yang mempelajari gerak tanpa menyebabkan

penyebab geraknya, sedangkan dinamika merupakan ilmu yang mempelajari

gerak dengan memperhatikan penyebab geraknya (Umar, 2008). Dinamika

berhubungan dengan gaya- gaya yang berkaitan dengannya dan sifat-sifat benda

yang bergerak tersebut.

Benda bergerak secara translasi dan rotasi. Benda yang berotasi disebabkan

oleh adanya torsi (Giancoli,2001). Jika torsi yang diberikan pada benda yang diam

lebih besar dari pada torsi yang menghambat, maka benda tersebut akan berputar.

Dalam hal ini, selisih antara torsi yang dikerjakan pada benda dengan torsi yang

menghambat disebut dengan torsi total. Torsi merupakan gaya yang kita berikan

pada benda tersebut. Secara metematis, torsi merupakan hasil kali dari gaya dan

lengan gaya. Dan torsi yang menghambat disebabkan oleh adanya gaya gesekan,

yang lebih tepatnya adalah hasil kali dari gaya gesekan dengan panjang lengan

gaya.

Dalam kenyataannya, setiap benda bisa berubah bentuk (menjadi tidak

tegar), jika pada benda itu dikenai gaya atau torsi. Misalnya beton yang digunakan

untuk membangun jembatan bisa bengkok, bahkan patah jika dikenai gaya berat

yang besar (ada kendaraan raksasa yang lewat di atasnya). Derek bisa patah jika

beban yang diangkat melebihi kapasitasnya. Mobil bisa bungkuk apabila gaya

berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu

mengalami perubahan bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara

setiap bagian pada benda itu tentu saja berubahdengan kata lain benda menjadi


2/50


tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor-

faktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.

Selain itu peristiwa gerak benda yang menggelinding sangat erat kaitannya

dengan konsep dinamika rotasi benda tegar. Benda tegar merupakan sistem benda

yang terdiri atas sistem benda titik yang jumlahnya tak terhingga dan jika diberi

gaya, jarak antara titik titik dalam sistem selalu tetap. Gerak benda tegar dapat

dianalisis sebagai gerak translasi dari pusat massanya, ditanbah dengan gerak

rotasi sekitar pusat massa (Giancoli. 2001). Serta kaitannya dengan usaha dan

energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta

permasalahan pada dinamika rotasi.Berdasarkan uraian diatas, kami menyimpulkan diperlukan adanya

pemahaman yang lebih mengenai kesetimbangan benda tegar, kinematika rotasi

benda tegar, dinamika rotasi, torsi, momen inersia, gerak menggilinding, usaha

dan energi kinetik gerak rotasi, momentum sudut dan hukum kekekalannya, serta

permasalahan pada dinamika rotasi. Agar kita semua dapat memahami lebih

dalam tentang kesetimbangan benda tegar dan mempraktekannya dalam

kehidupan sehri-hari.

1.2. Rumusan Masalah

Dari latar belakang tersebut adapun masalah-masalah yang muncul adalah

sebagai berikut :

1. Apakah yang dimaksud dengan titik berat?2. Bagaimanakah Kesetimbangan benda tegar?3. Bagaimanakah kinematika rotasi benda tegar?4. Apakah yang dimaksud dengan torsi dan momen inersia dalam

dinamika rotasi?

5. Bagaimana konsep gerak menggelinding?6. Bagaimana penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi?7. Bagaimanakah usaha dan energi kinetik gerak rotasi?8. Bagaimanakah momentum sudut dan kekekalannya?


3/50


1.1. Tujuan1. Menjelaskan dan menganalisis titik berat.2. Menjelaskan dan menganalisis kesetimbangan benda tegar.3. Menjelaskan dan menganalisis kinematika rotasi benda tegar.4. Menjelaskan dan menganalisis dinamika rotasi yang meliputi torsi dan

momen inersia.

5. Menjelaskan dan menganalisis konsep gerak menggelinding.6. Memaparkan cara penyelesaian masalah dalam dinamika rotasi.7. Menjelaskan dan menganalisis usaha dan energi kinetik gerak rotasi.8. Menjelaskan dan menganalisis momentum sudut dan kekekalannya.

.

1.2. ManfaatAdapun manfaat dari pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut :

1. Memberikan suatu pengetahuan mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar bagi mahasiswa khususnya mahasiswa Pendidikan Fisika.

2. Menambah modul pembelajaran mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar.

3. Memberikan tambahan wawasan mengenai Kinematika dan DinamikaBenda Tegar


4/50


BAB II

PEMBAHASAN

Benda tegar merupakan benda dengan bentuk tertentu yang tidak berubah,

sehingga jarak antar partikel partikel pembentuknya berada pada posisi yang

tetap relatif satu sama lain (Giancoli, 2001). Tentu saja pada kenyataanya benda

apapun bisa bergetar atau berubah bentuk ketika diberikan gaya. Namun efek ini

seringkali kecil, sehingga konsep benda tegar yang ideal sangat berguna bagi

pendekatan yang baik. Gerak benda tegar dapat dianalisis sebagai gerak translasi

dari pusat massanya yaitu jika lintasan semua titik tersebut sejajar, ditambah

dengan gerak rotasi sekitar pusat massa.

2.1 Titik Berat

Titik beratadalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gaya berat

sistem benda titik (Giancoli, 2001). Benda tegar akan melakukan gerak translasi

apabila gaya yang diberikan pada benda tepat mengenai titik berat. Titik berat

merupakan titik dimana benda akan berada dalam keseimbangan rotasi (tidak

mengalami rotasi). Pada saat benda tegar mengalami gerak translasi dan rotasi

sekaligus, maka pada saat itu titik berat akan bertindak sebagai sumbu rotasi dan

lintasan gerak translasinya. Untuk mengetahui letak titik berat suatu benda tegar

untuk benda-benda yang memiliki simetri tertentu, misalnya segitiga, kubus,

balok, bujur sangkar, bola dan lain-lain yaitu sama dengan letak sumbu

simetrinya. Sedangkan untuk benda-benda yang mempunyai bentuk sembarang

letak titik berat dicari dengan perhitungan.

Dari pernyataan di atas, titik berat benda homogen (massa jenis tiap tiap bagian

benda sama) memiliki sifatsifat khusus sebagai berikut:

Jika benda homogen mempunyai sumbu simetri atau bidang simetri, makatitik beratnya terletak pada sumbu simetri tersebut.

Letak titik berat benda pada benda padat bersifat tetap dan tidak tergantungpada posisi benda.

Jika suatu benda homogen mempunyai dua bidang simetri, maka titikberatnya terletak pada garis potong kedua benda tersebut.


5/50


a) Titik berat benda berbentuk linear (garis)Titik berat benda berbentuk linear (garis) dapat dilihat pada Tabel 2.1

Nama Benda Gambar Benda Letak Titik Berat

Garis Lurus X0

A B

Busur

Lingkaran

A yo B

R = jari-jari

lingkaran

Busur Setengah

Lingkaran

Y

A B

Untuk benda homogen yang merupakan gabungan dari benda- benda

berbentuk linear, titik beratnya dapat diperoleh dengan menggunakan

persamaan berikut:

(2.1)

Y

ZR

o R

Z

Z

Tabel 2.1 (titik berat benda liner)


6/50


Keterangan:

: panjang garis : titik berat masingmasing benda : kordinat titik berat bendaContoh soal:

Hitunglah letak titik berat benda homogen satu dimensi seperti gambar di

bawah jika panjang masingmasing benda 6 cm dan 8 cm!

Jawab:

Bangun 1:

L1= 8 cm, x1= 0, y2= . 8 = 4

Bangun 2:

L2= 10 cm, x2 = .5, y2= 0

= 2,77 = 1,8Maka titik berat benda tersebut terletak pada (2,77 , 1,8)

b)Titik berat benda homogen berbentuk luasan (dua dimensi)Titik berat benda homogen berbentuk luasan yang bentuknya teratur

terletak pada sumbu simetrinya. Untuk bidang segi empat, titik beratnya

merupakan perpotongan diagonalnya, dan untuk lingkaran terletak dipusat

lingkaran. Titik berat bidang homegen diperlihatkan pada Tabel 2.2

berikut:

10cm

8 cm

y

x


7/50


Nama Benda Gambar Benda Titik Berat Keterangan

Segitiga C

t = tinggi

z = perpotongan

garis-garis berat

AD & CF

Jajaran Genjang D

C

A B

t = tinggi

z = perpotongan

diagonal AC dan

BD

Juring Lingkaran

R=jari-jari lingkaran

Setengah

Lingkaran

A 0

B

R=jari-jari lingkaran

Jika tebal diabaikan maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua

dimensi), dan titik berat gabungan benda homogen berbentuk luasan dapat

ditentukan dengan persamaan berikut:

(2.2)

A

D

BE F

Zt

o

o

t

Y

X

ZR o

Y

R Z o

Tabel 2.2

(titik berat benda luasan)


8/50


Keterangan:

: Koordinat titik berat bendaA : Luas bidang

: Absis titik masingmasing benda : Ordinat titik masingmasing benda

c) Titik berat benda homogen berbentuk ruangan (dimensi tiga)Titik berat benda berbentuk ruangan (dimensi tiga) dapat dilihat pada

Tabel 2.3

Nama Benda Gambar Benda Titik Berat Keterangan

Prisma

Z2

Z1

z pada titik

tengah garis z1z2

z1 = titik berat

bidang alas

z2 = titik berat

bidang atas

= panjang sisitegak

Silinder

Z2

t

Z1

t = tinggi silinder

R = jari-jari

lingkaran alas

A = luas kulit

silinder

Limas T

TT = garis tinggi

ruang

o

Z

Z

Z

y0


9/50


Kerucut

A B

TT = tinggi

kerucut

T = pusat

lingkaran alas

Setengah bola

R = jari-jari

Letak titik berat dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi

tiga dapat ditentukan dengan persamaan:

(2.3)

Contoh soal:

Sebuah bola homogen berlubang, mempunyai jari-

jari 2R. Bentuk rongga juga berbentuk bola dengan

jari-jari R. Seperti terlihat pada gambar. Berapakah

titik berat bola berlubang ini jika diukur dari pusat

koordinat dalam sumbu X.

Jawab:

Misalkan bangun 1 ialah bola besar, maka

Z

T

T

y0 Z

Tabel 2.3

(titik berat benda ruangan)

x

y


10/50


, Dan lubang ialah bangun 2, maka;

, Sehingga titik berat benda tersebut dapat diperoleh melalui persamaan 2.3

Jadi titik berat bangun bola berlubang diatas adalah(X,Y) = (-1/7 R, 0)

2.2 Kesetimbangan Benda Tegar

2.1.1 Benda Tegar

Benda tegar disefinisikan sebagai benda yang ukurannya tidak dapat

diabaikan dan tidak mengalami perubahan bentuk atau volume jika dikenai gaya

luar (Umar, 2008). Jika benda tegar dikenai oleh suatu gaya maka setiap partikel

pada benda tersebut tidak mengalami perpindahan atautidak bergeser posisinya

sehingga jarak antara bagian-bagian benda tidak berubah.

2.1.2 Kesetimbangan benda

Kesetimbangan sebuah benda dapat dibedakan atas kesetimbangan statis

(keadaan benda tanpa gerak) dan keseimbangan dinamis (kesetimbangan benda

dalam keadaan gerak beraturan). Jika resultan semua gaya yang bekerja pada

suatu benda adalah nol dan benda tersebut tetap tidak bergerak, benda tersebut

berada dalam keadaan keseimbangan statis. Dengan kata lain benda pada


11/50


kesetimbangan statis, jika tidak diganggu maka tidak akan mengalami percepatan

translasi maupun rotasi karena jumlah semua gaya dan jumlah semua torsi yang

bekerja padanya adalah nol. Bagaimanapun, jika benda dipindahkan sedikit, akam

memungkinkan 3 akibat, yaitu kesetimbangan stabil, kesetimbangan tidak stabil

dan kesetimbangan netral (Giancoli, 2001). Benda yang kembali ke posisi

semula,dikatakan sebagai kesetimbangan stabil. Benda yang berpindah lebih juh

lagi dari posisi awalnya disebut dengan kesetimbangan tidak stabil. Dan benda

yang tetap pada posisinya yang baru, dinamakan kesetimbangan netral. Benda-

benda yang berada dalam kesteimbangan statis banyak ditemukan dalam

kehidupan sehari-hari terutama dalam bidang teknik, misalnya rancangan struktur

jembatan, struktur menara, dan berbagai gedung pencakar langit.

Jika suatu benda bergerak beraturan dan resultan semua gaya yang bekerja

pada benda tersebut sama dengan nol, benda tersebut berada dalam

kesetimbangan dinamis. Contoh benda yang berada dalam kesetimbangan

dinamis. Contoh benda yang berada dalam keseimbangan dinamis adalah gerak

seorang penerjun payungmenggunakan sebuah parasut.

2.1.3 Kesetimbangan Benda Tegar

Syarat- syarat benda tegar agar setimbang adalah :

1. Percepatan linier pusat massanya nol.Dalam hukum II Newton, kita mempelajari jika terdapat gaya total yang

bekerja pada sebuah benda, maka benda akan bergerak lurus, di mana arah

gerakan benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat

sebuah benda diam, maka gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya

yang bekerja pada benda.

Berdasarkan persamaan hukum II Newton, persamaannya dapat ditulis:

F = m a

F= 0 (2.50)


12/50


2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalamkerangkan acuan juga nol.

Dalam dinamika rotasi, kita mempelajari bahwa jika terdapat torsi total

yang bekerja pada sebuah benda (benda dianggap sebagai benda tegar), maka

benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian, agar benda tidak berotasi

maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja pada

benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :

Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :

= I

Ketika sebuah benda diam (tidak berotasi), benda tidak punya percepatan

sudut. Karena percepatan sudut = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :

=0 (2.51)

Jawab:

W

C

B

TBC

TABA

60o

T = 50 N

TAB

TBC

TBCcos 60

TBCsin 60

60o


13/50


Maka,

2.3Kinematika rotasi benda tegarKinematika rotasi adalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegar

dengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Benda tegar bergerak rotasi

murni jika setiap partikel pada benda tersebut bergerak dalam lingkaran yang

pusatnya terletak pada garis lurus yang disebut sumbu rotasi. Untuk menjelaskan

gerak rotasi benda tegar akan dimulai dengan memperkenalkan konsep konsep

yang berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad),

kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2).


14/50


(2)

(1)

R

1) Posisi Sudut ()Agar sebuah titik di tepi roda berpindah dari posisi (1) ke posisi (2),

roda tersebut harus berputar sebesar ( lihat gambar

2.1). Jika jarak tempuh linear sdari posisi 1 ke posisi 2

dan jari jari R diketahui, maka hubungan posisi sudut

dengan jarak linearnya adalah:

(2.4)

Keterangan:

s: Perpindahan linear (m)

R: Jarijari Lingkaran (m): Perpindahan sudut (rad)

Bila gerak rotasi berlawanan dengan putaran jarum jam disebut sebagai

arah positif putaran, sehingga bila gerak rotasi berlawanan dengan jarum jam

maka jumlah bertambah, sedangkan bila gerak rotasi searah dengan putaran

jarum jam maka berkurang. Sudut dapat dinyatakan dengan radian (rad),

derajat ( 0 ), ataupun dalam putaran. Hubungan antara satuan radian, derajat,

dan putaran adalah sebagai berikut:

Radian merupakan satuan geomatris murni tanpa dimensi fisis karena terjadi

dari perbandingan dua panjang. 1 putaran disamakan dengan keliling

lingkaran (2), maka untuk satu lingkaran penuh diperoleh , , dan .

2) Kecepatan Sudut ()Kecepatan sudutdidefinisikan sebagai perbandingan pergeseran sudut

dengan waktu tempuh dengan arah kecepatan sudut searah dengan pergeseran

sudut atau searah dengan sumbu putarnya. Pergeseran sudut partikel dalam

selang waktu t = t2 t1 adalah = 2 1 maka laju sudut rata rata

(dapat dirumuskan sebagai berikut:

Gambar 2.1s = R


15/50


(2.5)

Keterangan:

: kecepatan sudut ratarata (rad/s)t : selang waktu (s)

: perpindahan sudut (rad)

Kecepatan sudut sesaat terjadi pada selang waktu yang sangatsingkat yaitu mendekati nol sehingga perubahan kecepatannya sangat kecil.

Persamaannya dapat ditulis sebagai berikut:

(2.6)

Untuk benda tegar, semua garis radial yang tetap dalam benda itu dan

tegak lurus terhadap sumbu rotasi akan menempuh sudut yang sama dalam

waktu yang sama, sehingga kecepatan sudut terhadap sumbu ini sama untuk

semua partikel dalam benda (Resnick. 1985: 319)

Gambar 2.2

Pada piringan yang berputar dengan sumbu putar pada poros, setiap titik

pada piringan tersebut mengalami kecepatan sudut yang sama, sedangkan

kecepatan linearnya berubah ubah tergantung pada letak titik tersebut.

semakin ke tepi (jarijari semakin besar), semakin besar kecepatan linearnya.


16/50


Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudutnya dapat

dirumuskan sebagai berikut:

Karena , maka hubungan antara kecepatan linear (v)dengan kecepatan

sudutnya ()

(2.7)

Keterangan:

v : kecepatan linear (m/s)

: kecepatan sudut (rad/s)

R : jarijari lingkaran (m)

Contoh soal:

Posisi sudut benda yang bergerak melingkar beraturan memenuhi

Dari data itu tentukan kecepatan sudut rata-rata antara !Jawab:

Bila

= 52 rad/s

3) Percepatan Sudut ()Jika laju sudut partikel dalam benda tegar tidak konstan maka laju sudut

seluruh partikel di dalam benda tegar juga tidak konstan. Ini berarti benda

tegar tersebut mengalami percepatan sudut atau biasa juga disebut dengan

v = R


17/50


percepatan anguler. Percepatan sudutmerupakan perubahan kecepatan sudut

per satuan waktu yang diperlukan untuk terjadinya perubahan tersebut. Jika

pada saat t1, kecepatan sudut tersebut adalah 1dan pada saat t2= tt,kecepatan sudutnya menjadi 2= , percepatan sudut ratarata dapatdituliskan sebgai berikut:

(2.8)

Keterangan:

: percepatan sudut ratarata (rad/s2) : perubahan kecepatan sudut (rad/s)

t : perubahan waktu (s)

Sedangkan percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai percepatan sudut

ratarata untuk selang waktu yang sangat kecil atau mendekati nol.

(2.9)

Contoh soal:

Sebuah benda berotasi dengan kecepatan sudut Tentukan percepatan sudut saat Jawab:

Percepatan sudut bisa dicari menggunakan persamaan 2.8

=

Untuk rotasi dengan sumbu tetap, setiap patikel pada benda pejal

tersebut mempunyai kecepatan sudut yang sama dan percepatan sudut yang

sama. Jadi dan merupakan karakteristik keseluruhan benda pejal tersebut.


18/50


Kita dapat menggunakan persamaan 2.8untuk menunjuukan bahwa

percepatan sudut berhubungan dengan percepatan linear tangensial (aT) dari

partikel yang berotasi.

(2.10)

Keterangan:

aT : percepatan tangensial (m/s2)

R : jarijari lingkaran (m) : percepatan sudut (rad/s2)

Arah percepatan tangensial ini selalu bersinggungan dengan busur

lingkaran. Selain itu di dalam gerak rotasi juga terdapat percepatan radial

(asp), yaitu percepatan yang arahnya menuju titik pusat lingkaran atau biasa

disebut dengan percepatan sentripetal:

(2.11)

Keterangan:

asp : percepatan setripetal/ radial (rad/s2)

: kecepatan sudut (rad/s)

R : jarijari lingkaran (m)

Pada gambar 2.3, titik P terletak di tepi piringan mengalami dua

percepatan linear, yaitu percepatan setripetal

yang arahnya menuju pusat lingkaran dan

percepatan tangemsial yang arahnya tegak lurus

dengan percepatan setripetal, serta

bersinggungan dengan busur lingkaran yang

asp= R

P


19/50


berpusat di O. Maka percepatan linear total dari sebuah partikel adalah jumlah

vector dari dua komponen percepatan tersebut.

2.3.1 Rotasi dengan laju sudut konstan

Untuk gerak rotasi benda tegar yang mempunyai laju sudut yang

konstan, pergeseran sudutnya dapat ditentukan dengan menggunakan

persamaan 2.5, sehingga diperoleh hubungan . Jikapada saat t=0 posisi sudut partikel adalah 0dan pada t2= t posisi sudutnya

adalah t, hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut

(2.12)

Pada gerak rotasi partikel atau benda tegar yang laju sudutnya konstan, laju

sudut sesaat sama dengan laju sudut rataratanya.

2.3.2 Rotasi dengan percepatan sudut konstan

Definisi kecepatan sudut dan percepatan sudut dengan kecepatan dan

percepatan linear, dengan mengganti perpindahan linear s, mengganti v,

dan mengganti a. Karena persamaan-persamaan kinematika yang

menghubungkan , , dan bentuknya sama dengan persamaan-persamaan

kinematika gerak linear,maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh

kaitan sebagai berikut untuk percepatan sudut konstan.

(2.13)

(2.14)

Gambar 2.3

t=t


20/50


(2.15)

2.4Dinamika Rotasi; Torsi dan Momen Inersia2.4.1 Momen gaya (Torsi)

Momen gayamerupakan hasil kali antara gaya (F) dengan lengan gaya

(l) (Umar, 2008). Momen gaya sebenarnya dibagi menjadi tiga yaitu:

momen lentur, momen kopel, dan momen puntir (torsi). Dalam makalah ini

kami membatasi materi pada momen puntir (torsi)

Benda hanya dapat mengalami perubahan gerak rotasi jika pada benda

diberi momen gaya atau sering juga disebut torsi. Menurut Umar (2008),

torsi didefinisikan sebagai besaran yang ditimbulkan oleh sebuah gaya

terhadap sumbu putarnya dan momen ini dapat memberikan pengaruh

terhadap perubahan gerak rotasi suatu benda. Torsi merupakan perkalian

secara vektor antara vektor gaya dan vektor lengan gaya, maka torsi

merupakan besaran vektor., sehingga selain mempunyai besar, torsi juga

mempunyai arah.

Contoh momen gaya (torsi) yang bisa kita temukan dalam kehidupan

sehari-hari adalah pegangan pintu yang diberikan gaya oleh tangan kita

sehingga engsel di dalamnya dapat berputar. Ketika membuka sebuah pintu,

pengaruh gaya yang diberikan tidak hanya tergantung pada besarnya gaya,

tetapi bergantung juga pada arah dan jarak titik gaya terhadap sumbu

perputaran pintu. Gaya yang diberikan untuk membuka pintu arahnya tegak

lurus terhadap pintu. Makin besar gaya yang diberikan, maka makin cepat

pula pintu dibuka. Tetapi jika diberikan gaya dengan besar yang sama pada

titik yang lebih dekat dengan engsel, maka pintu tidak akan terbuka

sedemikian cepat. Sedangkan jika kita memberikan gaya yang sejajar

dengan (mendekati atau menjauhi) engsel, maka engsel pintu tersebut tidak

akan berputar sehingga pintu tidak bisa terbuka. Terlihat bahwa percepatan

t=


21/50


Gambar 2.4

F1

O

r = engsel

sudut pintu berbanding lurus tidak hanya dengan besarnya gaya, tetapi juga

dengan jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis kerja yang disebut

dengan lengan gaya.

Pada gambar 2.4, tirik

O disebut sebagai sumbu rotasi,

F adalah

besar gaya yang diberikan, dan rdisebut dengan lengan gaya. Adapun

pengertian dari lengan gaya yang merupakan jarak yang tegak lurus dari

sumbu rotasi Oterhadap garis gayanya.

Berdasarkan pernyataan tersebut besarnya gaya puntir atau momen

gaya (torsi) tidak hanya bergantung pada besarnya gaya, tetapi juga

ditentukan oleh titik tangkap gaya relatif terhadap titik asal (lengan gaya),

yaitu vektorr. Secara sistematis, torsi dirumuskan sebagai berikut:

(2.16)

jika garis gaya Fmelalui titik asal (sumbu rotasi), maka r sama dengan

nol dan momen gaya terhadap titik asal juga sama dengan nol

F sin

Gambar 2.5

F

O

r =


22/50


F2

BA

F1

Gambar 2.7

Jika gaya yang diberikan pada sebuah batang (Gambar 2.5)

membentuk sudut terhadap lengan gaya, maka vektor F sin merupakan

komponen gaya yang tegak lurus terhadap lengan gaya. Ini berarti bahwa

gaya yang menimbulkan momen gaya adalah gaya yang tegak lurus dengan

lengan gaya. Atau jika sin melekat pada lengan gaya (r sin ), maka

lengan gaya yang memberikan momen gaya adalah lengan yang tegak lurus

terhadap garis gaya. Hubungan antara momen gaya dan lengan gaya jika

gaya membentuk sudut terdadap lengan gaya adalah:

(2.17)

Keterangan:

: momen gaya (Nm) : lengan momen (m) : gaya yang bekerja (N) : sudut antara garis gaya dengan lengan momen (o)Ketentuan momen gaya berdasarkan arah putarannya:

1. Jika benda diberikan gaya yang arah putarannya searah dengan arahputaran jarum jam atau menjauhi pembaca, maka momen gaya bernilai

positif (+).

2. Jika benda diberi gaya yang arah putarannya berlawanan dengan arahputaran jarum jam atau mendekati pembaca, maka momen gaya bernilai

negatif (-).

Gambar 2.7 menunjukkanadanya dua momen gaya yang

bekerja pada sebuah batang.

Besarnya momen gaya yang

ditimbulkan oleh F1 dan F2

terhadap titik B (sumbu rotasi)

adalah:


23/50


Oleh karena arah rotasi yang ditimbulkan oleh gaya F1searah dengan arah

putaran jarum jam, maka bernilai positif, sedangkan bernilai negatifkarena arah rotasi yang ditimbulkan F2 berlawanan dengan arah putaran

jarum jam.

Jika pada sebuah benda bekerja dua atau lebih momen gaya, maka momen

gaya total di sekitar sumbu benda merupakan penjumlahan vektor semua

momen gaya yang bekerja. Secara matematis dapat dituliskan sebagai

berikut.

Contoh soal:

Batang AB bebas berputar di titik O seperti pada gambar di bawah.

Panjang AB = 3 m, OA = 2 m, dan OB = 1 m. Pada titik A bekerja gaya F A

= 10 N dan pada titik B bekerja gaya FB= 20 N. Tentukan torsi yang bekerja

pada batang dan arah putarnya.

Karena torsi bernilai negatif (-) maka arah putarnya berlawanan arah jarum

jam.

( )


24/50


2.4.2 Momen inersia (kelembaman)Menurut Hukum I Newton, setiap benda memiliki kecenderungan

untuk mempertahankan keadaan geraknya. Jadi, jika benda dalam keadaan

diam, benda cenderung untuk tetap diam. Demikian pula dengan benda

yang sedang bergerak dengan kecepatan konstan, benda akan cenderung

untuk tetap bergerak lurus beraturan. Kecenderungan untuk

mempertahankan keadaannya inilah yang disebut dengan inersia.

Konsep Hukum kelembaman tersebut juga berlaku untuk benda

benda yang sedang berotasi, seperti halnya planet planet dalam tata surya

yang mempunyai kecenderungan untuk tetap mempertahankan keadaan

gerak rotasinya. Kecenderungan ini disebut sebagai momen inersia. Dalam

buku yang ditulis oleh Young dan Freedman (2002), tertulis bahwa kata

momen berarti bahwa I tergantung pada bagaimana massa benda

didistribusikan dalam ruang; ini tidak ada hubungannya dengan momen

dari waktu. Untuk sebuah benda yang rotasinya dan massa totalnya kita

ketahui, semakin besar jarak sumbu terhadap partikel yang menyusun benda,

semakin besar momen inersianya.

A. Momen inersia benda diskrit (partikel)Perhatikan gambar 2.6. Sebuah

partikel bermassa m berputar

mengelilingi sebuah sumbu yang

berjarak r dari m. Dengan demikian,

momen inersia (kelembaban inersia)

partikel tersebut dapat dirumuskan

sebagai berikut:

(2.19)

Keterangan:

I : momen inersia (kgm2)

m : massa partikel (kg)

r : jarak antara partikel dengan sumbu rotasi (m)

Gambar 2.6

mr

I = mr


25/50


Perhatikan gambar 2.7! Untuk benda tegar yang tersusun dari banyak

partikel dengan masing-masing massa m1, m2, m3, ..., mN dan berjarak

tegak lurus terhadap titik poros masing-masing r1, r2, r3, ..., rNmaka

momen inersia sistem partikel tersebut adalah:

I = m1 r12+ m2 r2

2+ m3 r32 + + mN rN

2

(2..20)

B. Momen inersia benda tegarJika sebuah benda terdiri atas partikelpartikel yang dapat dianggap

terpisah satu sama lain, momen inersianya dapat ditentukan dengan

persamaan 2.20. Berbeda dengan benda tegar yang memiliki satu kesatuan

massa yang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan

bentuknya teratur. Teratur disini maksudnya adalah massa benda

terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari

titik pusat massa benda. Ketika sebuah benda tegar tidak dapat dinyatakandengan beberapa titik massa, tapi berupa distribusi massa yang homogen,

penjumlahan massa dan jarak yang mendefinisikan momen inersia dihitung

menggunakan teknik integral sebagai berikut (Young dan Freedman, 2002);

dengan radalah jarak tegak lurus elemen massa dmke sumbu putar:

(2.21)

Gambar 2.7

r1m1

m2r2

r3

m3


26/50


Untuk menghitung integral, kita harus menyatakan r dan dmdalam

bentuk variabel integral yang sama. Ketika kita memiliki ojek satu dimensi,

seperti batang tipis, kita bisa menggunakan koordinat x sepanjang batang

dan menghubungkan dm pada pertambahan dx. Untuk objek tiga dimensi

biasanya paling mudah menyatakan dm dalam bentuk elemen volume dV

dan densitas benda , sehingga persamaannya menjadi:

Jika benda memiliki densitas homogen, maka dapat dikeluarkan daripersamaan.

Untuk menggunakan persamaan ini, kita harus menyatakan elemen dV

dalam bentuk diferensial dari variabel integral, seperti .Elemen dV harus selalu dipilih sehingga semua titik di dalamnya memiliki

jarak yang sama terhadap sumbu putar. Batas integrasi ditentukan oleh

bentuk dan ukuran benda.

Benda benda tegar yang bentuknya teratur, diaantaranya adalah

batang, silinder dan bola. Berikut ini akan ditunjukkan cara menghitung

momen inersia dari beberapa benda tegar:

a. Sebuah batang dengan panjang , dan massa m, yang berputar terhadapsumbu melalui pusat massa.

Dari persamaan 2.21, diasumsikan bahwa r = x dan dm = , dengan

batas integralnya adalah x1dan x2 sehingga diperoleh:


27/50


b.Untuk sumbu putar yang terletak di ujung batang dengan panjang , danmassa m, akan didapatkan x1 = 0 dan x2 = sehingga momen inersia

batang akan menjadi:

|

Besarnya momen inersia dari sebuah benda yang bentuknya teratur

bergantung pada massa benda, bentuk benda, dan letak sumbu putarnya.

Pada Tabel 2dibawah ini terdapat momen inersia dari beberapa bentuk

benda dengan posisi sumbu tertentu.

Gambar Nama Letak Sumbu Momen Inersia

Batang melalui pusat

Batang melalui ujung


28/50


cincin tipis melalui pusat

silinder

silinder pejal melalui pusat

silinder

Silinder pejal Seperti tampak

pada gambar

silinder

berongga

melalui pusat

bola pejal melalui pusat

bola pejal melalui salah

satu garis

singgung


29/50


bola

berongga

Melalui pusat

Teorema Sumbu Sejajar

Ketika mengukur momen inersia dari sebuah benda pada sumbu yang

berbeda, hasilnya juga akan berbeda (berubah pada setiap pengukuran). Jadi

dapat dikatakan bahwa momen inersia dari sebuah benda besarnya relatif

terhadap suatu sumbu (Sumardi, 1996). Terdapat suatu teori yang dapat

menentukan besar momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang tidak

melalui pusatnya, tetapi masih sejajar dengan sumbu yang melalui pusat

tadi. Teori ini dikenal sebagai teorema sumbu sejajar. Teorema sumbu

sejajarmenyatakan bahwa jika sumbu putar tidak terletak pada pusat massa,

tapi sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa, maka momen inersia

terhadap sumbu tersebut dapat dihitung.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Tabel 2.4

(momen inersia benda tegar)

Gambar 2.8

(teorema sumbu sejajar)


30/50


Dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap

sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar tetapi

melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut:

(2.22) ( )

Sehingga

( ) (2.23)suku pertama tidak lain adalah Mr2pm (M adalah massa total benda), suku

kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga

lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat

massa). Sehingga persamaanya menjadi:

(2.24)

Keterangan:

Ip : momen inersia terhadap sumbu baru (kgm2).

Ipm : momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat (kgm2).

M : massa seluruh benda (kg).

rpm : jarak antara sumbu baru dengan sumbu yang melalui pusat (m).

Contoh soal:

Hitunglah momen inersia sebuah roda

berbentuk silinder pejal yang memilki

diameter 20 cm dan massa 50 kg. Jika pusat

putaran ditepi roda sejajar dengan sumbunya.

r2pm

d = R

m = 50 kg

20 cm


31/50


Jawab:

Momen inersia silinder yang mealui titik pusat adalah , sehinggamomen inersia yang sejajar dapat diperoleh melalui persamaan 2.24:

Teorema sumbu tegak lurus

Teori ini hanya berlaku pada benda benda yang mempunyai luasan

(lempeng tipis), karena ketebalan benda yang demikian dianggap nol.

Perhatikan gambar 2.9berikut ini!

(2.25)

Berdasarkan buku yang ditulis oleh Sumardi (1996), momen inersia

terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia terhadap dua

sumbu yang saling tegak lurus.

Contoh soal:

Gambar 2.9

(teorema sumbu tegak lurus)


32/50


Keempat massa seperti tampak pada gambar,

dihubungkan oleh kawat yang massanya dapat

diabaikan. Tentukanlah momen inersia sistem jika

sumber putarnya:

a) Melalui pusat lingkaran O tegak lurus pada bidanggambar

b) Melalui AAJawab:

a.

b.

2.5Gerak MenggelindingDalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai benda yang bergerak

menggelinding, misalnya sebuah benda yang dilemparkan di atas lantai mendatar,

atau roda-roda sebuah kendaraan yang melaju di jalan raya. Berdasarkan jenis

bidang yang dilewati, gerak menggelinding dibagi menjadi tiga, yaitu gerak

menggelinding pada bidang datar, menggelinding pada bidang miring, dan beban

yang dihubungkan melalui katrol.

Menggelinding tanpa slip bergantung pada gesekan statik antara benda yang

menggelinding dan lantai. Gesekan bersifat statik karena titik kontak benda yang

menggelinding dengan lantai berada dalam keadaan diam pada setiap saat.

Contohnya ketika sedang mengerem terlalu keras sehingga ban menjadi selip.

Gerak menggelinding dengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak,

yaitu gerak rotasi dan translasi. Perhatikan gambar 2.11! Setiap bagian dari

silinder melakukan dua gerak sekaligus, yaitu gerak bersama pusat massa dengan

A

A

2m 2m

1m

3m

b


33/50


kecepatan o, dan gerak melingkar dengan kecepatan sudut.TitikPmenyatakantitik singgung silinder dengan lantai, O menyatakan pusat massa, dan Q

menyatakan bagian paling atas silinder.

Jika silinder menggelinding tanpa selip, maka kecepatan titik P terhadap tanah

bernilai nol atau tidak terjadi gerak relatif antara silinder dengan tanah. Jadi titik P

berada dalam keadaan diam, sedangkan kecepatan o adalah resultan dari

kecepatan pusat massa o , dan kecepatan tangensial t = R yang arahnyaberlawanan dengan arah o,sehingga

p= oR = 0 (2.29)

dan kecepatan pusat massa memenuhi persamaan

o= R (2.30)Menyatakan bahwa jika silinder hanya bergerak rotasi, maka kecepatan gerak

pusat massa sama dengan kecepatan tangensial pinggir silinder.

Kecepatn titik memenuhi persamaanQ = o+ R = o+ o= 2o= 2R (2.31)Oleh karena titik P memiliki kecepatan p = 0, titik O memiliki kecepatan o=

R, dan titik memiliki kecepatan o= 2R, maka gerak silinder dapat dianggapsebagai gerak rotasi murni terhadap titik dengan kecepatan sudut . titiksinggung Pdisebut sumbu sesaat dari gerak menggelinding.

Contoh soal:

Gambar 2.11

(silinder pejal melakukan gerak menggilinding)

Q

P

O


34/50


Sebuah roda berbentuk silinder pejal homogen

digantung pada sumbunya seperti pada gambar. Pada

tepi roda dililitkan tali. Tali tersebut ditarik vertikal

kebawah dengan gaya 15N. Apabila roda tersebut

memiliki massa 8Kg dan jari-jari 20cm, maka tentukan

percepatan tali tersebut.

Jawab:

F

R


35/50


Maka:

Momen inersia katrol


36/50


2.6Penyelesaian Masalah Dinamika RotasiUntuk memecahkan persoalan dinamika rotasi, apabila di dalamnya terdapat

bagian sistem yang bergerak translasi maka pemecahannya dapat dilakukan

dengan mengambil langkah-langkah sebagai berikut:

1. Identifikasi benda bagian dari sistem sebagai obyek pembahasan dankelompokkan mana yang bergerak translasi dan yang bergerak secara

rotasi.

2. Tentukan sumbu koordinat yang memudahkan untuk penyelesaianberikutnya.

3. Gambar diagram gaya benda bebas untuk benda yang dipermasalahkan(atau untuk setiap benda jika ada lebih dari satu), yang menunjukkan

hanya (dan semua) gaya-gaya yang bekerja pada benda tersebut dan tepat

di mana gaya-gaya tersebut bekerja, sehingga anda bisa menentukan torsi

untuk setiap gaya.

4. Gunakan persamaan untuk gerak translasi dan untukgerak rotasi.

5. Selesaikan persamaan-persamaan yang dihasilkan unuk mencari besaran-besaran yang ditanyakan.

6. Buatlah perkiraan kasar untuk menentukan apakah jawaban anda masukakal atau tidak.

Kasus 1:

Benda A massa mdihubungkan dengan tali pada sebuah roda putar berjari-jari R

dan bermassa M. Bila mula-mula benda A diam pada ketinggian h1 kemudian

dilepas sampai pada ketinggian h2, tentukan tegangan tali dan percepatan linier

benda Asepanjang geraknya.

Pembahasan 1:


37/50


Analisis rotasi

Setelah benda A dilepas dari roda yang

berputar dengan percepatan sudut ,

dalam hal ini gaya penggerak rotasinya

adalah gaya tegangan tali T. Dari hukum

II Newton untuk gerak rotasi ,hubungan torsi dengan gaya (tegangan tali) yaitu

dan definisi momen inersia roda terhadapsumbunya yaitu , diperoleh

(2.37)

Analisis Translasi

Benda A merupakan bagian sistem yang melakukan gerak translasi, sehingga

percepatan linier benda A sama dengan percepatan linear roda, yaitu ,sehingga gaya tegangan tali dapat dinyatakan seperti persamaan 2.37

Sepanjang gerakan benda A berlaku Hukum II Newton sehingga persamaanya

menjadi:

(2.38)Untuk menentukan tegangan tali T, masukan persamaan 2.38 ke persamaan 2.37

sehingga:

Gambar 2.12


38/50


(2.39)

Masalah dinamika translasi dapat juga diselesaikan secara mudah dan cepat

dengan hukum kekekalan energi mekanik, demikian juga secara analogi

masalah dinamika rotasi juga dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum

kekekalan energi mekanik. Adapun energi mekanik pada benda yang melakukan

gerak rotasi dan gerak translasi adalah sebagai berikut:

(2.40)

Kasus 2:

Sebuah silinder pejal bermassa Mdan berjari-jari Rdiletakkan pada bidang miring

dengan kemiringan terhadap bidang horisontal yang mempunyai kekasaran

tertentu. Setelah dilepas silinder tersebut menggelinding, tentukan kecepatan

silinder setelah sampai di kaki bidang miring!

Pembahasan 2:

a) Penyelesaian secara dinamikaSilinder menggelinding karena bidang miring mempunyai tingkat kekasaran

tertentu. Momen gaya terhadap sumbu putar yang menyebabkan silinder

berotasi dengan percepatan sudut ditimbulkan oleh gaya gesek f, yang dapat

ditentukan sesuai dengan persamaan 2.37

Gambar 2.13


39/50


Pada gerak menggelinding tersebut pusat massa silinder bergerak translasi,

sehingga berlaku hukum kedua Newton.

(2.41)Dengan mensubtitusikan persamaan 2.37 ke dalam persamaan 2.41 maka

diperoleh percepatan silinder di dasar bidang miring yang memenuhi

persamaan sebagai berikut:

(2.42)Dengan menggunakan hubungan dan mengingat kecepatansilinder saat terlepas vo= 0 da h = s sin , maka diperoleh persamaan:

(2.43)Terlihat bahwa kecepatan benda menggelinding lebih lambat jika

dibandingkan bila benda tersebut tergelincir (meluncur) tanpa gesekan yang

kecepatannya adalah

b) Penyelesaian menggunakan hukum kekekalan energi mekanikPada gerak menggelinding barlaku hukum kekekalan energi mekanik.

Karena mula mula silinder dalam keadaan diam, maka energi mekanik

silinder pada kedudukan 1 adalah:

(2.44)Pada saat silinder berada pada kedudukan 2, energi kinetiknya merupakan

jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi, sehingga berlaku

persamaan:

(2.45)Dengan memasukkan momen inersia silinder dan kedalam persamaan 2.45, kecepatan silinder setelah sampai di ujung kaki

bidang miring besarnya adalah:


40/50


(2.46)

2.7Usaha dan Energi Kinetik Gerak Rotasi2.7.1 Usaha

Kerja yang yang dilakukan pada benda yang berotasi pada sumbu yang

tetap, seperti pada roda atau katrol, rotasi batang motor penggerak. Kerja ini

dapat dinyatakan dengan torsi dan perpindahan sudut.

Anggaplah sebuah gaya tangensial di pinggir sebuah benda yangsedang berputar sejauh sudut

yang sangat kecil pada sumbu tetap dalam

suatu interval yang sangat kecil. Kerja yang dilakukan oleh gayaketika titik pada pinggiran benda tersebut bergeser sejauh adalah Jika diukur dalam radian, maka dan

Karena adalah torsi yang disebabkan oleh gaya , maka

o


41/50


Kerja total yang dilakukan oleh torsi sepanjang perpindahan sudut dari ke adalah :

Jika torsi konstan ketika sudut berubah sebanyak adalah:

Anggaplah menyatakan torsi total pada benda , sehingga dari persamaan dapat diasumsikan bahwa benda bersifat tegar sehingga momeninersia adalah konstan. Kemudian ubah integral dalam persamaan kedalam integral sebagai berikut:

Karena merupakan torsi total, maka persamaan merupakankerja total yang diberikan pada benda tegar yang berputar. Persamaan

tersebut kemudian dapat ditulis menjadi:

Jadi kerja total sebuah benda tegar yang berputar dapat disamakan dengan

perubahan energi kinetik rotasi benda tegar.

2.7.2 Energi Kinetik Rotasi

Energi kinetik pada suatu partikel maupun yang terdiri dari banyak partikel

yaitu :

Ek= mi ( ) (2.54)Atau dapat juga ditulis

mi v2i (2.55)Untuk benda tegar yang berotasi berlaku kecepatan sudut , jadi kecepatansetiap partikel yaitu :

(kerja yang dilakukan oleh torsi)

(kerja yang dilakuakn oleh torsi konstan)


42/50


vi = i(2.56)

Sehingga besar kelajuannya adalah

vi = Ri (2.57)Ri merupakan jarak dari partikel ke sumbu rotasi. Karena benda tegar

merupakan sistem banyak partikel yang jarak antara partikel-partikel

penyusunnya konstan. Sehingga energi kinetik sistem partikel memenuhi

persamaan:

mi ( i).( i) (2.58)Besarnya dapat ditulis sebagai

Ek= mi | i|2 (2.59)Jika dipakai besaran kelajuan untuk menggantikan kecepatan agar

persamaannya lebih sederhana, maka

Ek= mi v2i (2.60)vi= Ri, maka memenuhi persamaan

mi (Ri)2 (2.61) (mi Ri2)2 (2.62)

Dengan meninjau kembali rumus momen inersia yaitu, I = mi Ri2, makadiperoleh persamaan

Ek= 2 (2.63)Pada persamaan vi = iberlaku untuk sembarang sumbu yang bukanutama, karena besarnya kelajuan vi = Ri, besarnya torsi L = I. Jikarotasinya bekerja pada sumbu utama, maka persamaannya

Ek=

Benda tegar yang berotasi terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan

pada saat yang sama benda tegar relatif bergerak translasi terhadap

pengamat. Energi kinetik suatu benda dalam suatu acuan kerangka inersia

adalah sebagai berikut:

Ek=

M vc

2 + Ek,c (2.64)

i


43/50


Dengan M adalah massa total, vc adalah kelajuan pusat massa, danMvc

2

adalah energi kinetik translasi. Jika bendanya berputar, Ek,c adalah energi

kinetik rotasi yang relatif terhadap pusat massa yang ditujukan oleh

vc

2

2

.

Dengan Icadalah momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi yang melalui

pusat massa. Sehingga energi kinetik total benda memenuhi persamaan

Ek=M vc

2+Ic

2(2.65)

Sesuai dengan hukum kekekalan energi memenuhi persamaan yaitu :

Ek + Ep= Konstan

Maka persamaan tersebut menjadi :

Ek= Mi vc2+ Ic 2 + Ep= Konstan (2.66)

2.8 Momentum Sudut dan Kekekalannya

2.8.1 Momentum Sudut

Jika momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh

benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka momentum sudut

merupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang melakukan

gerak rotasi. Dikatakan sudut, karena ketika melakukan gerak rotasi, setiap

benda mengitari sudut tertentu.Dalam hal ini, benda berputar terhadap

poros alias sumbu rotasi.

Persamaan-persamaan kinematika dan dinamika

untuk gerak rotasi analog dengan persamaan-persamaan

untuk gerak linier biasa menggunakan variabel sudut

yang sesuai. Contohnya ada pada energi kinetik rotasi

yang dirumuskan sebagai yang analog dengan Ek

translasi = . Cara yang sama juga dapat

digunakan pada momentum linier yang memiliki analogi rotasi.Besaran tersebut disebut momentum sudut L. Jika benda yang bergerak

rotasi, memiliki massa dan kecepatan, maka dikatakan benda itu memiliki

Gambar 22

m

v

R


44/50


momentum linier. Jika momentum linier dikalikan jari-jarinya, maka

diperoleh momentum sudut yang besarnya dirumuskan:

(2.67)atau

menjadi (2.68)

Keterangan :

= momentum sudut (kg m2rad/s)= momen inersia (kg m2)= kecepatan sudut (rad/s)

= massa (kg)= kecepatan linier (m/s)

Momentum sudut merupakan besaran yang vekor yang arahnya

dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan, yang berbunyi :

Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut,

maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak

rotasinya

2.8.2 Hukum II Newton versi Momentum untuk Gerak Rotasi

Hukum II Newton tidak hanya dituliskan dalam persamaan

, namun dalam pembahasan momentum ini, .

Dengan cara yang serupa, ekivalen rotasi Hukum II Newton juga dapat

dirumuskan sebagai , sehingga dalam momentum sudutdirumuskan:

(2.69)


45/50


Persamaan ini menyatakan bahwa laju perubahan momentum

sudut sama dengan torsi total yang bekerja pada benda tegar. Laju

perubahan momentum sudut = perubahan momentum sudut yang terjadi

selama selang waktu tertentu. Misalnya mula-mula sebuah benda tegar

diam (momentum sudutnya = 0). Setelah dikerjakan Torsi, bnda tegar

tersebut berotasi dengan kecepatan sudut tertentu. Ketika berotasi, benda

tegar itu mempunyai momentum sudut. Jadi selama selang waktu tertentu,

benda mengalami perubahan momentum sudut dari nol atau tidak ada

menjadi ada. Dalam hal ini terjadi pertambahan momentum sudut.

Dalam pesamaan diatas, merupakan torsi total yang bekerjauntuk merotasikan benda, dan merupakan perubahan momentum sudutdalam waktu . Persamaan merupakan suatu kasus khusus pada

persamaan 2.69 apabila momen inersianya konstan. Jika sebuah benda

memiliki kecepatan sudutnya pada waktu t=0, dan kecepatan sudut pada saat , makapercepatan sudutnya menjadi:

(2.70)Kemudian dari persamaan 2.65didapatkan:

(2.71)

2.8.3 Hukum Kekekalan Momentum SudutMomentum sudut merupakan konsep penting dalam fisika, karena

momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum

sudut. Hukum itu berbeda dengan prinsip. Bila dalam fluida kita mengenal

prinsip archimedes, pascal dll. Maka prinsip itu hanya berlaku untuk

kondisi tertentu saja. Karena hukum berlaku universal alias umum.

Momentum sudut pada kondisi tertentu juga disebut besaran yang

kekal. Pada persamaan 2.69 dapat dilihat apabila = 0, maka juga bernilai 0. Hal tersebut merupakan hukum kekekalan momentum

sudut yang menyatakan :


46/50


Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap

konstan jika torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol.

Jika pada benda yang bergerak rotasi tidak bekerja momen gaya,

maka momentum sudut dari benda itu tidak berubah terhadap waktu, ini

berarti momentum sudut kekal. Jika momentum sudut awal dinyatakan

dengan L0 dan momentum sudut akhir dinyatakan dengan Lt, maka

berlaku :

(2.72)atau

(2.73)Persamaan diatas didapat dengan menggunakan persamaan

Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum, yaitu :

Keterangan :

momentum sudut awal= momentum sudut akhir

Jadi jika torsi total nol yang bekerja pada sebuah benda yang

berotasi pada sumbu tetap atau yang arahnya tidak berubah dapat

dituliskan

Dimana dan berturut-turut adalah momen inersia dan kecepatan sudutdisekitar sumbu pada saat awal (t=0). Sedangkan dan berturut-turut adalahnilainya pada saat yang lain. Bagian-bagian benda bisa merubah posisinya relative

satu sama lain. Sehinggaberubah. Tetapi kemudian berubah juga dan hasilkali tetap konstan. Ini berarti momentum sudut total system adalah konstan.Torsi-torsi dan gaya dalam dapat memindahkan momentum sudut dari satu benda


47/50


ke benda lainnya, namun mereka tidak dapat mengubah momentum sudut total

dari sistem.

Contoh penerapan Hukum kekekalan momentum sebagai berikut:

1. Seseorang berdiri dengan membawa beban pada setiap tangannya diatas sebuah piringan yang berputar. Pada awal gerakannya, kedua

tangan direntangkan. Momen inersia orang akan besar karena beban

jauh dari sumbu putar (badan). Akibatnya kecepatan sudut orang

menjadi kecil. Jika beban yang dibawa tersebut dirapatkan, momen

inersianya akan berkurang karena jarak beban ke sumbu putar

berkurang. Ini menyebabkan kecepatan sudut yang dialami beban

bertambah besar

2. Bumi berputar mengelilingi matahari karena adanya gaya gravitasioleh matahari pada bumi, yaitu Fg sepanjang garis yang

menghubungkan Bumi (B) dan Matahari (M). momen gaya (olehFg dan r segaris = 0 sehingga . Jadi momentumsudut Bumi terhadap Matahari selama berputar adalah konstan

3. Tegaknya sebuah gasing yang sedang berputar juga dapat dijelaskandengan hukum kekekalan momentum sudut. Vector momentum sudut

(L) yang sedang berotasi arahnya vertical ke atas. Selama gasing

berotasi dapat diasumsikan arah L tidak berubah jika tidak ada

momen gaya luar yang mempengaruhinya. Itulah sebabnya saat

berotasi gasing dapat berdiri tegak.


48/50


BAB III

PENUTUP

3.1 SIMPULAN

1. Titik berat adalah titik yang dilalui oleh garis gaya dari resultan gayaberat sistem benda titik.

2. Kinematika rotasiadalah ilmu yang mempelajari gerak rotasi benda tegardengan mengabaikan gaya penyebab gerak rotasi. Konsep konsep yang

berkaitan dengan kinematika gerak rotasi seperti posisi sudut (rad),

kecepatan sudut (rad/s), percepatan sudut (rad/s2).

3. Dinamika rotasi mempelajari mengenai gerak rotasi denganmemperhitungkan pengaruh gaya yang menyebabkan benda itu bergerak.

Dinamika benda tegar sangat berhubungan dengan rotasi benda tegar

dengan sumbu rotasi tetap dalam kerangka acuan inersia. Momen gaya

didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dengan jarak titik ke garis kerja

gaya pada arah tegak lurus. Sedangkan Momen inersiaselain bergantung

pada kandungan zat di dalamnya atau massa benda juga bergantung pada

bentuk benda posisi massa tersebut ke sumbu putarnya. Semakin jauh

posisi massa benda ke pusat rotasinya, semakin besar momen inersia

benda tersebut.

4. Gerak menggelindingdengan slip dapat dipandang melibatkan dua gerak,yaitu gerak pusat massa dan gerak rotasi relatif terhadap pusat massa. Jika

dalam proses gerak menggelinding disertai dengan adanya slip, maka

ketika slip terjadi, gerak rotasi mengalami perlambatan sudut.

5.

Momen kopel merupakan besaran vektor dengan satuan N.m. Pengaruhkopel terhadap suatu benda dapat menyebabkan benda berotasi. Momen

kopel didefinisikan sebagai hasil kali antara salah satu gayanya dengan

jarak yang tegak lurus antara kedua gaya itu.

6. Keseimbangan benda tegar dibedakan menjadi: Keseimbangan stabil Keseimbangan netral Keseimbangan labil


49/50


7. Usaha dalam rotasi benda tegar dirumuskan dengan persamaan: d

Sedangkan untuk energi kinetic benda tegar dirumuskan dengan

persamaan:

Ek=

Mi vc

2+

Ic

2 + Ep

Momentum sudutmerupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda

yang melakukan gerak rotasi. Momentum sudut merupakan besaran yang

vekor yang arahnya dapat ditentukan dengan kaidah/ aturan tangan kanan,

yang berbunyi :

Jika ibu jari tangan kanan menyatakan arah momentum sudut,

maka arah genggaman jari yang lain menyatakan arah gerak

rotasinya

8. Hukum kekekalan momentum sudut yang menyatakan :Momentum sudut total pada benda yang berotasi tetap konstan jika

torsi total yang bekerja padanya sama dengan nol

3.2 SaranAdapun saran yang dapat kami sampaikan dalam pembuatan makalah

ini adalah sebagai berikut :

1. Ternyata alam sekitar telah menyediakan kita laboratorium, yang dapatkita gunakan sebagai media bantu untuk memahami konsep-konsep yang

berkaitan dengan fisika. Karena setiap permasalahan dalam fisika erat

sekali kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, jadi yang dapat

disarankan adalah dalam belajar fisika hendaknya berawal dari

memahami konsepnya terlebih dahulu melalui kehidupan sehari-hari.

2. Hendaknya para mahasiswa berlatih menerapkan teori-teori dalamkinematika dan dinamika gerak benda tegar untuk menyelesaikan

masalah-masalah yang berkaitan dengan teori kinematika gerak lurus.


50/50

DAFTAR PUSTAKA

Bueche, F.J. & Eugene H. 2006. Schaums Outlines Teori dan Soal-Soal Fisika

Univesitas: Edisi Kesepuluh. Jakarta: Erlangga

Giancoli, D.C. 2001.Fisika: Edisi Kelima Jilid 1. Jakarta: Erlangga

Kardiawarman dkk. 1992. Fisika Dasar I. Jakarta: Depdikbud

Sarojo, G.A. 2002.Mekanika. Jakarta: Salemba Teknika

Satriawan, Mirza. 2007.Fisika Dasar. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada

Sumardi, Y. dkk. 1996.Mekanika. Jakarta: Depdikbud

Umar, Efrizon. 2008.Buku Pintar Fisika. Jakarta: Media Pusindo

Young, H.D & Roger A.F. 2002.Fisika Universitas: Edisi Kesepuluh Jilid I.

Jakarta: Erlangga

Documents

bendaa tegar