Upload
arif-nr
View
220
Download
15
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Bentuk Koordinat, Silinder, Dan Bola
Citation preview
Bentuk Koordinat
Koordinat Kartesius, Koordinat Polar,Koordinat Tabung, Koordinat Bola
Desember 2015
Koordinat Kartesius
• Sistem Koordinat 2 DimensiSistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y
Koordinat Kartesius
y
x
Koordinat Kartesius
• Sistem Koordinat 3 DimensiSistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yangketiganya saling tegak lurus
Koordinat Kartesius
x
y
z
Koordinat Polar• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik
didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.
Koordinat Polar
Otitik kutub sumbu polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi: - derajat dari sumbu-x (sumbu polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r : koordinat radial : koordinat sudut
Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil = ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap
Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius.
(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)
Koordinat Polar
r
Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesiusGunakan relasi:
x = r cos , y = r sin Maka r2 = x2 + y2, tan = y/x, jika x 0
Catatan: menentukan Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -/2 < < /2 = arctan (y/x).Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
= + arctan (y/x).
Koordinat Polar
Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a adalah r = a
Contoh: Untuk lingkaran berjari-jari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos
Koordinat Polar Jika a = 1, maka
r = 2 sin r = 2 cos
Konversikan persamaan polar r = 2 sin ke dalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r menjadi
r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tersebut dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1
Titik dalam koordinat tabung
r
Koordinat Polar dalam bidang datar
Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).
r
Titik dalam koordinat tabung
r
r
(r,,z)
Titik dalam koordinat tabung
Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius
cos( )sin( )
x ry rz z
r
r
(r,,z)
2 2 2
tan( )
r x yyx
z z
(x,y,z)
Titik dalam koordinat bola
Titik dalam koordinat bola
0 .
Titik dalam koordinat bola
Titik dalam koordinat bola
Titik dalam koordinat bola
Sudut .
0 2 .
Titik dalam koordinat bola
Titik dalam koordinat bola
( , ,)
Konversi antara koordinat boladan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
sin( ) cos( ) tan( )r z rz
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
cos( ) sin( ) cos( )sin( ) sin( )sin( )cos( )
x ry rz
Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y zyx
x yrz zz z
x y z
(x,y,z)
z
r
Integral pada Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung dan Koordinat Bola
Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi
* * *( , , ) .i i i i i if x y z x y z
* * *( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok keciltitik tertentu
f x y z x y z
ix iyiz
Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, and z?
Dengan menganggap kasus 2 dimensi dalam koordinat polar
r
r
zr dan,,
Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r
r
r+rr
Integral: Koordinat Tabung
r+r
r
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+ r.
r
r+r
Integral: Koordinat Tabung
Sudut terjadi penambahan sudut sebesar .
Integral: Koordinat Tabung
Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut
Integral: Koordinat Tabung
Dengan penambahan z.
Integral: Koordinat Tabung
Integral: Koordinat Tabung
dA r dr d
Untuk mencari volume benda padat
Integral: Koordinat Tabung
dV r dr d dz
Maka . . .
( , , )S
f r z r dr d dz
Soal
1. Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)
2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan
2 2 9r z 2 cos 3 sin 6r r z
Soal3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a. b.
Tentukan persamaan dalam koordinat tabung dan gambarkan
2 2 9x y 2 2 22 12 14 0x y z z
Soal
4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a.b. c.
Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan
3
3
4
Soal5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius:
a.b.
Tentukan persamaan dalam koordinat bola dan gambarkan
2 2 2 4x y z 2 2 2 1x y z
Soal
6. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV