Schrodinger Koordinat Bola

1

BAB I

PENDAHULUAN

I. 1 Latar Belakang

Pandangan terhadap ilmu fisika mulai berubah sejak peristiwa bencana ultraungu

yang melahirkan hipotesis Planck, kemudian dilanjutkan oleh teori kuantum

cahaya yang dipublikasikan oleh Einstein dan percobaan Efek Compton. Era ini

kemudian ditandai dengan lahirnya fisika kuantum.

Teori kuantum kemudian berkembang seiring dengan formulasi matriks

Heisenberg dan mekanika gelombang yang digagas oleh Schrdinger. Gagasan

Schrdinger ini kemudian terkenal dengan nama persamaan Schrdinger.

Persamaan Schrdinger merupakan topik yang sangat penting dalam teori

kuantum. Aplikasinya bahkan dapat terlihat langsung pada fisika atom, nuklir, dan

zat padat. Persamaan ini tidak dapat diturunkan dari salah satu persamaan dalam

fisika klasik. Persamaan Schrdinger dipostulatkan adanya dan kebenarannya

diuji kesesuaiannya dengan hasil-hasil eksperimen.(1)

Penerapan persamaan Schrdinger dapat dijumpai pada solusi gerak partikel

dalam sebuah potensial seperti sumur potensial, tanggul potensial, dan osilator

harmonik. Peluruhan alfa, dioda tunel, dan inversi amoniak adalah beberapa

aplikasi persamaan Schrdinger pada tanggul potensial yang dikenal sebagai efek

terobosan.(1)

2

Dalam perkembangan selanjutnya, penerapan persamaan Schrdinger kemudian

diapalikasikan untuk menentukan nilai eigen dan fungsi gelombang atom

hidrogen pada potensial Coulomb. Berbeda dengan potensial sumur dan osilator

harmonik, gerak elektron dalam mengelilingi atom pada potensial Coulomb

berada di bawah pengaruh gaya pusat sehingga penurunan persamaan Schrdinger

diselesaikan dalam koordinat bola tiga dimensi. Solusi nilai eigen dari persamaan

Schrdingerternyata sesuai denga apa yang dihitung oleh Niels Bohr beberapa

tahun sebelumnya.

I.2. Ruang Lingkup

Fokus penelitian ini adalah menurunkan solusi persamaan Schrdinger untuk

potensial Coulomb secara terperinci. Solusi berupa fungsi eigen () dan nilai

eigen (En). Pengaruh gaya pusat membuat tinjauan mencakup persamaan

Schrdinger tiga dimensi dalam koordinat bola. Grafik rapat probabilitas radial

diplot menggunakan software Maple.

I.3. Tujuan

Tujuan penelitian ini adalah

1. Menyelesaikan persamaan Schrdinger secara analitik bentuk potensial

Coulomb

2. Membuat grafik untuk rapat probabilitas radial.

3

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1 Persamaan Schrdinger

Sajian persamaan Schrdinger bergantung waktu adalah :

),(),(),(

2),(

2

22

txtxVx

tx

mtx

ti

(2.1)

Dasar perumusan dari persamaan (2.1) di atas dimulai dari tinjauan terhadap

gelombang datar satu dimensi yang merambat ke arah x

/),( Etpxitkxi AeAetx (2.2)

diferensial satu kali terhadap t, maka diperoleh

),(),( txE

itxt

(2.3)

selanjutnya jika persamaan (2.2) diturunkan dua kali terhadap x akan

menghasilkan

txp

txx

,,2

2

2

2

(2.4)

dari uraian persamaan (2.3) dan (2.4) maka didapat hubungan

xip

tiE

(2.5)

Untuk partikel bebas berlaku hubungan klasik

m

pE

2

2

(2.6)

4

Partikel bebas yang bergerak sepanjang sumbu x akan memenuhi persamaan

),(),( txEtxH (2.7)

dengan operator observabel energi E diungkapkan oleh operator Hamiltonian H

2

222

22 xmm

pH

(2.8)

Dengan memasukkan energi potensial interaksi, sajian Hamiltonian sistem

diberikan oleh:

xV

xmH

2

22

2

(2.9)

akhirnya dengan menggabungkan persamaan (2.5), (2,7), dan (2,9) maka akan

didapatkan persamaan (2.1) yang merupakan persamaan Schrdinger bergantung

waktu.(2)

Aplikasi persamaan Schrdinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi

potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan

fungsiwaktu. Untuk kasus energi potensial (V) tidak bergantung pada waktu (t)

secara eksplisit maka dapat dituliskan V = V(x). Dengan pemisahan variabel

yakni:

)()(),( tTxUtx (2.10)

maka persamaan Schrdinger dapat dijabarkan dalam dua bentuk persamaan,

yakni :

)()()()(

2 2

22

xEUxUxVdx

xUd

m

(2.11)

5

dan )(tTEdt

dTi (2.12)

Solusi persamaan(2.12) berbentuk iEt

etT

)(

sehingga fungsi eigen persamaan (2.10) adalah (2)

iEt

exUtx

)(),( (2.13)

Dan persamaan (2.11) menjadi :

02

22

2

UVEm

dx

Ud

(2.14)

Yang merupakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu.

Dalam koordinat Cartesian dapat ditulis sebagai :(3)

02

22

2

2

2

2

2

UVE

m

z

U

y

U

x

U

(2.15)

Harga energi E agar persamaan Schrdinger tidak bergantung waktu dapat

diselesaikan disebut harga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian U

disebut fungsi eigen.(4)

II.2 Persamaan SchrdingerUntuk Koordinat Bola

Dalam beberapa persoalan, khususnya fisika atom, kadang dijumpai pemecahan

yang rumit untuk penggunaan koordinat Cartesian sehingga penggunaan koordinat

bola menjadi penting dalam menyelesaikan permasalahan tersebut.

Dalam koordinat bola maka persamaan (2.15) menjadi:

02

sin

1sin

sin

1122

2

222

2

2

UVE

mU

r

U

rr

Ur

rr

(2.16)

6

dengan U U (r, , )

Dengan separasi variabel U (r, , ) = R(r) () ( ), persamaan (2.16) dapat

ditulis menjadi: (4)

1. persamaan azimuth, untuk

022

2

md

d

(2.17)

2. persamaan polar, untuk

0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d

(2.18)

3. persamaan radial, untuk R

0121

22

2

2

R

r

llVE

m

dr

dRr

dr

d

r (2.19)

II.3 Potensial Coulomb dan Atom Hidrogen

Atom hidrogen merupakan atom paling sederhana yang terdiri dari satu proton

sebagai nukleus dan satu elektron yang mengitarinya. Persamaan Schrodinger

untuk mendiskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi

potensial sistem adalah energi potensial elektron yang terikat pada inti. Karena

elektron mengorbit inti pada kulit yang berbentuk bola maka fungsi gelombang

dan tingkat-tingkat energi elektron ditentukan berdasarkan penyelesaian

persamaan Schrodinger dengan koordinat bola. Hasil dari penyelesaian persamaan

Schrodinger untuk atom hidrogen dapat digunakan untuk menjelaskan teori atom

menurut Bohr dan sebagai dasar teori atom secara umum.

7

Persaman Schrodinger untuk atom hidrogen tidak lain adalah persamaan

Schrodinger untuk sebuah partikel yang berupa elektron yang bergerak dalam

medan potensial Coulomb yang dihasilkan oleh gaya tarik-menarik antara elektron

dengan inti, maka massa partikel tersebut sebenarnya merupakan massa sistem

proton-elektron yang tereduksi, yaitu

pe

pe

mm

mmm

(2.20)

Karena m p =1836 m e , maka dalam penerapannya hanya massa elektron yang

digunakan karena antara m dan me selisihnya sangat kecil. Untuk penyerdahanaan

pembahasan, proton diasumsikan diam di pusat koordinat dan elektron bergerak

mengelilinginya di bawah pengaruh medan atau gaya Coulomb.

Karena proton dianggap diam, maka kontribusi energi sistem hanya diberikan oleh

elektron yaitu energi kinetik

222

22

mm

pE

e

k

(2.21)

dan energi potensial sebuah elektron yang berjarak r dari inti

r

kerV

2

)(

(2.22)

Dengan demikian persamaan schrodinger untuk atom hidrogen dapat dituliskan

sebagai

)()(2

22

2

rErr

ke

m

(2.23)

8

Mengingat sistem atom hidrogen memiliki simetri bola, penyelesaian persamaan

Schrodinger menjadi lebih sederhana bila oprator disajikan dalam koordinat bola,

sehingga bentuk persamaan (2.23) dapat diubah ke dalam bentuk persamaan

(2.16) dengan potensial seperti yang diberikan oleh persamaan (2.22).

II.4 Bilangan Kuantum dan Masalah Degenerasi

Persamaan Schrdinger yang diselesaikan dalam koordinat bola digunakan untuk

potensial yang berada di bawah pengaruh gaya pusat. Potensial Coulomb

merupakan salah satu contoh potensial dengan pengaruh gaya pusat. Tinjauan

potensial ini mengarah pada analisis atom hidrogen.

Solusi persamaan azimuth, polar, dan radial pada atom hidrogen masing-masing

memberikan bilangan kuantum magnetik (m), bilangan kuantum orbital (l), dan

bilangan kuantum utama (n). Kombinasi ketiga bilangan kuantum tersebut

mendefinisikan satu keadaan dari atom hidrogen.

Solusi persamaan Schrdinger untuk atom hidrogen sesuai dengan model Bohr.

222

0

2

4 1

32 n

meEn

(2.24)

Nilai energi ini hanya tergantung pada bilangan kuantum n, tidak pada l dan m.

Nilai-nilai bilangan kuantum l dan m dibatasi oleh nilai n. Adapun harga yang

diizinkan untuk ketiga bilangan kuantum tersebut adalah:

1. Bilangan kuantum utama; n = 1, 2, 3,

2. Bilangan kuantum orbital; l = 0, 1, 2, ., (n-1)

3. Bilangan kuantum magnetik; m= 0, 1, 2, .., l

9

Untuk keadaan dasar; n = 1, memiliki bilangan kuantum (1, 0, 0). Untuk n = 2,

himpunan bilangan kuantum yang mungkin untuk tingkat ini adalah (2, 0, 0), (2,

1, 1), (2, 1, 0), dan (2, 1, -1). Semua keadaan ini memiliki n = 2, karena itu energi

yang dimiliki sama, karena energi hanya bergantung pada n. Keadaan ini dikenal

sebagai degenerasi, yaitu keadaan untuk beberapa fungsi yang berbeda tetapi

mempunyai energi yang sama.

Degenerasi pada umumnya terjadi pada sistem dengan dua atau lebih bilangan

kuantum. Gabungan bilangan kuantum berbeda seringkali dapat memberikan nilai

energi yang sama. Jumlah bilangan kuantum berbeda yang diperlukan oleh sebuah

sistem dalam fisika sama dengan jumlah dimensi dalam permasalahan yang

dibahas. Untuk kasus tiga dimensi seperti pada koordinat bola, memerlukan tiga

bilangan kuantum. Permasalahan degenerasi ini penting dalam pembahasan

struktur dan sifat-sifat atom.(1,4,5,)

II.5 Persamaan Diferensial Legendre

Persamaan diferensial Legendre muncul pada solusi persamaan diferensial parsial

dalam sistem koordinat bola. Penerapannnya mencakup bidang mekanika

kuantum, teori medan, dan termodinamika.

Persamaan diferensial Legendre berbentuk:

0)1(2)1( '"2 yllxyyx (2.25)

Penyelesaian persamaan (2.25) berbentuk polinomial yang dikenal sebagai

polinimial Legendre. Salah satu cara untuk memperolehnya dengan metode deret.

10

Bentuk penyelesaian secara umum adalah:(6)

(Lampiran A)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

(2.26)

Persamaan (2.26) disebut solusi untuk persamaan diferensial Legendre.

Persamaan diferensial yang erat kaitannya dengan persamaan diferensial Legendre

adalah:

01

)1(2)1(2

2'"2

y

x

mllxyyx

(2.27)

atau

01

)1()1(2

22

y

x

mll

dx

dyx

dx

d

(2.28)

Tampak bahwa persamaan (2.28) identik dengan persamaan diferensial Legendre,

perbedaan terletak pada hadirnya faktor ( ) . Persamaan (2.28) disebut

dengan persamaan diferensial sekawan atau asosiasi.

Solusinya berbentuk:

)()()1( 2/2 xPxPdx

dxy mnnm

mm

(2.29)

Persamaan Legendre asosiasi dikenal dalam pernyataan variabel bebas sudut .

Hal ini dimungkinkan dengan mensubtitusi x = cos sehingga persamaan (2.28)

dapat ditulis ulang dengan:(7)

0sin

)1(sinsin

12

2

y

mll

d

dy

d

d

(2.30)

11

II.6 Persamaan Difrensial Laguerre

Selain persamaan diferensial Legendre, persamaan difrensial Laguerre juga

digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial dalam koordinat bola.

Bentuk persamaan diferensial Laguerre dapat dituliskan:

012

2

nydx

dyx

dx

ydx

(2.31)

di mana n merupakan suatu parameter yang belum terperinci untuk sementara.

Tampak bahwa persamaan diferensial ini mempunyai dua titik singular, yakni

pada x = 0, dan x = 1.

Solusi dari persamaan (2.28) dapat dituliskan menurut sajian

rr

xr

rnnnx

nnnxCy

2

2

20!

111

!2

11

(2.32)

untuk C0 = n! Maka

3222

2

221

2

!3

21

!2

1

!11 nnnn

n

n xnnn

xnn

xn

xxL

(2.33)

Persamaan (2.33) ini dikenal sebagai Polinomial Laguerre, yang setara dengan:

xnn

nx

n exdx

dexL

(2.34)

Pada kenyataannya bukan persamaan diferensial Laguerre yang mempunyai

terapan langsung melainkan persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yakni :

04

1

42

12

2

2

2

y

x

kxkn

dx

dy

dx

ydx

(2.35)

12

persamaan (2.35) dapat disusutkan menjadi

012

2

Zkndx

dZxk

dx

Zdx

(2.36)

dengan faktor transformasi )(2/12/ xZxey kx

untuk nilai k = 0 maka persamaan (2.36) menjadi persamaan (2.31). Solusi

persamaan (2.36) adalah

xLdx

dxL nk

kk

n

(2.37)

di mana Ln(x) adalah polinomial Laguerre. Jadi dengan menghubungkan

persamaan (2.37) dengan transformasi sebelumnya maka solusi persamaan (2.35)

adalah (lampiran B)

)(2/12/ xLxey knkx

(2.38)

persamaan (2.37) dan (2.38) berturut-turut dikenal dengan nama polinomial

Laguerre sekawan dan fungsi Laguerre sekawan.(6)

II.7 Probabilitas Fungsi Gelombang

Agar mempunyai arti fisis, fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan

Schrdinger harus memenuhi beberapa persyaratan yakni :

Fungsi gelombang (x), harus kontinyu begitu pula dengan turunan

fungsi gelombang terhadap posisi d/dx.

Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak,

berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan partikel.

Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol di semua posisi sebab

kemungkinan keberadaan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.

13

Untuk kasus satu dimensi, fungsi gelombang harus memenuhi

1*

dx yang berarti partikel harus berada di suatu tempat. Fungsi

ini dikatakan sebagai fungsi gelombang ternormalisasi.(5)

14

BAB III

METODE PENELITIAN

III.1 Perumusan Hamiltonian Sistem

Hamiltonian sistem yang bergerak dalam ruang tiga dimensi di bawah pengaruh

potensial pusat V(r) diberikan oleh persamaan :

xVxm

H

2

22

2

(3.1)

Potensial sistem adalah energi potensial Coulomb yang diberikan oleh persamaan

r

kerV

2

(3.1)

dengan k adalah konstanta dielektrikum dan e adalah muatan elektron.

Karena potensial V merupakan fungsi dari r dan sistem bergerak di bawah

pengaruh potensial pusat maka persamaan Schrdinger dinyatakan dalam

koordinat bola.

02

sin

1sin

sin

1122

2

222

2

2

VE

m

rrrr

rr (3.3a)

02

sin

1sin

sin

11 2

22

2

222

2

2

r

keE

m

rrrr

rr (3.3b)

15

III.2 Pemisahan Variabel

Persamaan (3.3b) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas sesuai

dengan lampiran C, masing-masing hanya mengandung satu koordinat saja.


022

2

md

d

(3.34)


0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d

(3.35)


0121

22

2

2

R

r

llVE

m

dr

dRr

dr

d

r (3.36)

III.3 Solusi Fungsi Eigen dan Nilai Eigen

Solusi yang didapatkan untuk tiap persamaan azimuth, polar, dan radial adalah

fungsi eigen untuk potensial Coulomb.

Karena suku potensial hanya muncul pada persamaan radial, maka nilai eigen

dapat dihitung dari persamaan radial.

III.4 Plot Grafik Fungsi

Solusi eigen ditampilkan dalam bentuk grafik dengan bantuan software Maple

berupa rapat probabilitas radial.

16

III.5 Diagram Alir Penelitian

Mulai

Persamaan Azimuth, Persamaan

Polar, Persamaan Polar

Solusi Eigen dan Grafik

Studi Literatur

Pembahasan

Selesai

Perumusan Hamiltonian Sistem

Persamaan Schrodinger 3D dalam

koordinat bola

17

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

IV.1 Hamiltonian Sistem

Hamiltonian sistem untuk potensial gravitasi, V(r)=

diberikan oleh

02

sin

1sin

sin

11 2

22

2

222

2

2

U

r

keE

mU

r

U

rr

Ur

rr

(4.1)

IV. 2 Separasi Variabel

Persamaan (4.1) dapat dipisahkan menjadi tiga persamaan yang bebas, masing-

masing hanya mengandung satu koordinat saja.


022

2

md

d


0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d


0

1212

2

2

2

2

R

r

ll

r

keE

m

dr

dRr

dr

d

r

e

18

IV.3 Solusi untuk Persamaan Azimuth

022

2

md

d

Persamaan ini adalah PD orde 2 dengan solusi:

imAexp (4.2)

dengan keunikan untuk setiapharga yaitu )2()( , sehingga

tampak bahwa bersifat )( periodik.

Kondisi ini hanya terpenuhi jika m adalah bilangan bulat

.,.........3,2,1,0 m (4.3)

Tetapan A pada persamaan (4.2) dapat dihitung dengan menggunakan syarat

normalisasi fungsi gelombang.

1

2

0

*

dAeeA inin

2

0

2dA = 12

2A

2

1A

sehingga solusi lengkap untuk persamaan azimuth adalah

imlm

exp2

1 (4.4)

19

IV.4 Solusi Untuk Persamaan Polar

0sin

1sinsin

12

2

mll

d

d

d

d

Dengan mensubtitusi x = cos maka:

x = cos dx = - sin d

= -

Persamaan awal menjadi :

01

1sin2

2

2

x

mll

dx

d

dx

d

01

112

2

2

x

mll

dx

dx

dx

d

01

1122

2

2

22

x

mll

dx

dx

dx

dx

01

1212

2

2

22

x

mll

dx

dx

dx

dx

Persamaan terakhir ini adalah PD Legendre Terasosiasi atau PD Legendre

Sekawan. Solusinya adalah dengan meninjau solusi PD Legendre dan

memasukkan ke dalamnya dinyatakan dalam Pl(x).

Bentuk Persamaan Diferensial Legendre:

01212

22

ll

dx

dx

dx

dx

Jika persamaan diatas dideferensialkan m kali dengan menggunakan aturan

Leibniz (lampiran D) maka :

20

( )

(

( )) ( )

(

( )) ( ( ) ( )) (

( ))

Namakan ( )

( )

( ) = (

)

*

( )+ (

) ( )

[

( )] (

( )

( ) ) ( )

Substitusikan ke persamaan selanjutnya maka :

( ) *(

( )

( ) ) ( )

+

( ) *(

) ( )

+ ( ( ) ( ))( )

Karena semua suku mengandung faktor (1-x2)-m/2

sehingga dapat dilenyapkan

0.11111

12

11

2

11

21

22

22

2

'

22

22

2

22

'''2

mm

m

xmmllxx

mxmx

xx

xmm

x

m

x

mxx

0.111

1212

1

221

2

2"

22

2'"2

mmll

x

mmxmx

x

xmmmmxx

0111

1222221

2

22'''"2

mmll

x

mmxmmxmxmxmxx

011

21 22

22'"2

llmm

x

mxmxx

0111

121

2

22

2

22'"2

ll

x

mx

x

xmxx

01

1212

2'"2

x

mllxx

21

Persamaan terakhir ini tidak lain adalah bentuk dari PD Legendre terasosiasi

dengan solusi berbentuk xPxPdx

dx mllm

mm

221

Solusi untuk persamaan polar untuk x = cos adalah

cosmllm PA (4.5)

A adalah konstanta normalisasi yang dapat dihitung dengan rumus

dPPAA ml

m

l sincoscos1'

'

0

*

!

!

12

2sincoscos

'

'

0ml

ml

ldPP m

l

m

l

!

!

2

12

ml

mllA

maka solusi lengkap untuk persamaan polar diberikan oleh:

cos!

!

2

12 mllm P

ml

mll

(4.6)

dengan mlP adalah fungsi Legendre terasosiasi yang didefinisikan sebagai

xPdx

dxxP l

mmm

l

221 (4.7)

dan Pl (x) adalah polinomial Legendre ke-l yang didefinisikan oleh formula

Rodrigues

ll

llx

dx

d

lxP 1

!2

1 2

(4.8)

22

IV.5 Solusi Untuk Persamaan Radial

Selanjutnya untuk menyelesaikan bagian radial, ditinjau persamaan (3.6) :

0

1212

2

2

2

2

R

r

ll

r

keE

m

dr

dRr

dr

d

r

Misalkan

dr

d

d

d

drd

Emr

1

||8;

2/1

2

2/12

||8

2

E

mke

Subtitusi ungkapan-ungkapan di atas ke dalam persamaan awal (radial) dengan

pembahasan dibatasi pada keadaan terikat yaitu keadaan dengan energi negatif

E = -|E| maka bentuk persamaan radial menjadi

0

4

11222

2

RR

ll

d

dR

d

Rd

(4.9)

Untuk daerah tak terhingga maka persamaan (4.9) menjadi:

04

12

2

Rd

Rd

dengan solusi 2/)( peR . Penyelesaian lengkap diandaikan mempunyai

ungkapan sebagai 2/)()( peGR

23

2/2/'2/'2/"

2/2/''

2/

4

1

2

1

2

1"

2

1

eGeGeGeGR

eGeGR

eGR

p

p

p

yang jika dimasukkan ke dalam persamaan (4.9)maka didapakan bentuk

0

4

11

2

12

4

122

2

GG

llG

d

dGG

d

dG

d

Gd

atau

0

111

222

2

Gll

d

dG

d

Gd

(4.10)

Pesamaan (4.10) mempunyai singularitas di 0 sehingga solusinya dapat

diungkapkan dalam bentuk deret sebagai

vs

s sCG )(

Penyisipan kembali ke ke dalam persamaan (4.10) maka didapatkan hasil:

s

vs

s

vs

s

vs

s Cll

CvsCvsvs 011

12

12

12

s

vs

s

vs

s

vs

s

vs

s

vs

s CllCCvsCvsCvsvs 0112121122

s

vs

s

vs

s CvsCllvsvsvs 0112112

dengan melakukan perubahan terhadap indeks s agar semua suku mempunyai

pangkat yang sama didapatkan:

011 1 ss CvsCllvsvs (4.11)

Karena Cs-1 = 0, didapatkan persamaan indisial dengan mengambil s = 0

011 0 Cllvv

24

Karena C0 0, maka diperoleh akar-akar bagi v sebagai:

121

lv

lv

akar kedua menjadi tak hingga pada 0 yang berarti tak tentu sehingga dipilih

penyelesaian lv 1 yang membuat persamaan (4.11) menjadi:

111 ss ClsClllsls

ss ClsClllsls 1121 1

ssC

lllsls

lsC

121

11

(4.12)

dan penyelesaian yang bersangkutan bagi G diberikan oleh:

ss

s

l CG

(4.13)

Perbandingan antara dua koefisien berurutan pada persamaan (4.12) untuk s

sC

C

s

s 11

Perbandingan antara dua suku yang berurutan ditentukan oleh

sG

G

s

s 1

yang setara dengan bentuk asimtotik bagi eG l sehingga 2/pleR

Jelas ini ditolak sebagai solusi yang sesuai, kecuali jika deret G putus menjadi

suatu polinomial pada suatu suku tertentu.

25

Misalkan s = N pada persamaan (4.12) maka 1 lN di mana N = 0,1,2,...

maka segera ditandai nlN 1 sehingga menurut pemisalan awal untuk nilai

didapatkan hubungan

22

2

2/12

2

||8

2

ke

E

mn

E

mken

n

nilai energi E kemudian dapat dihitung dari hubungan di atas, diberikan oleh

4

2

2

1me

n

kEn

(4.14)

dengan k adalah konstanta dielektrikum, adalah tetapan Dirac, m adalah massa

elektron, dan e adalah muatan elektron

Penyelesaian untuk persamaan radial (nilai R) akan dicari untuk melengkapi

solusi persamaan polar dan persamaan azimuth. Dari persamaan (4.13) maka

solusi persamaan (4.10) dapat diandaikan mempunyai bentuk

)( ZG l

turunan pertama dan kedua berturut-turut

'' .)( ZZ

lG l

l

"'

22

2

2)()(" ZZl

Zl

Zl

G llll

26

dengan memasukkan ke dalam persamaan (4.10) didapatkan

0)(11.)(122)()(

2

'"'

22

2

Z

llZZ

lZZ

lZ

lZ

l lll

llll

sederhanakan persamaan yang berada dalam kurung

''

2

' 22.)(12

ZZlZZ

ZZl l

llll

l

dan

Z

llZ

nZ

ll Lll22

11)(

11

Penyederhanaan dimasukkan ke dalam persamaan awal kemudian pisahkan

masing-masing suku ,Z ,Z dan Z

suku Z : )(" Zl

suku Z : )(2

12 '

Z

ll

suku Z:

)(211

2

2

222

Z

llllllnl

tiap suku dikalikan dengan faktor l

maka didapatkan persamaan

01122

2

Zlnd

dZl

d

Zd

(4.15)

persamaan (4.15) ini tidak lain adalah persamaan differensial Laguerre terasosiasi,

yang mempunyai bentuk umum

012

2

Lqpd

dLq

d

Ld

(4.16)

yang tidak lain merupakan bentuk lain dari persamaan (2.29)

27

dari persamaan (4.15) dan (4.16) didapatkan hubungan:

lnpqpln

lqql

1

12112

maka solusi untuk persamaan (4.15) adalah:

qp

l

ln

LZ

LpZ

12

di mana

pq

qq

p Ld

dL dan

e

d

deL p

p

pp

p masing-masing adalah

fungsi Laguerre terasosiasi dan fungsi Laguerre.

Penyelesaian untuk ZeGeR lpp .2/2/ .Solusi lengkap diberikan

oleh

122/ l ln

l

nlnl LeNR (4.17)

dengan nN adalah konstanta normalisasi

2/1

3

3

0 !2

!12

lnn

n

naN n

(4.18)

di mana

2

0

1

emka

, adalah jari-jari Bohr. Solusi lengkap untuk persamaan

radial adalah:

122/2/1

3

3

0 !2

!12

l ln

l

nl Lelnn

n

naR

(4.19)

dengan0

2

na

r

28

IV.6 Fungsi Gelombang dan Nilai Eigen

Fungsi gelombang untuk potensial Coulomb

mlmnlnlm rRr ,, (4.20)

di mana

122/2/1

3

3

0 !2

!12

l ln

l

nl Lelnn

n

naR

cos!

!

2

12 mllm P

ml

mll

imm exp2

1

Nilai eigen didapat dari persamaan (4.14)

4

2

2

1me

n

kEn

dengan k adalah konstanta dielektrikum, m adalah massa elektron, adalah

tetapan Dirac, dan e adalah muatan elektron.

29

n l m rR ,,r 1 0 0

2

1

2

1 0

/

2/3

0

2 are

a

0

/

2/3

0

1 are

a

2 0 0

2

1

2

1 02/

0

2/3

0

222

1 are

a

r

a

0

2/

0

2/3

0

224

1 are

a

r

a

2 1 0

2

1 cos

2

6

02/

0

2/3

062

1 are

a

r

a

cos

24

102/

0

2/3

0

are

a

r

a

2 1 1

ie

2

1 sin

2

3

02/

0

2/3

062

1 are

a

r

a

iar eea

r

a

sin8

102/

0

2/3

0

3 0 0

2

1

2

1 03/

2

0

2

0

2/3

0

21827381

2 are

a

r

a

r

a

0

3/

2

0

2

0

2/3

0

21827381

1 are

a

r

a

r

a

3 1 0

2

1 cos

2

6 0

3/

00

2/3

0

6681

4 are

a

r

a

r

a

cos6

81

203/

00

2/3

0

are

a

r

a

r

a

3 1 1

ie

2

1 sin

2

3 0

3/

00

2/3

0

6681

4 are

a

r

a

r

a

iar eea

r

a

r

a

sin6

81

103/

00

2/3

0

3 2 0

2

1 1cos3

4

10 2 03/

2

0

2

2/3

03081

4 are

a

r

a

1cos3

681

1 23/2

0

2

2/3

0

0

are

a

r

a

3 2 1

ie

2

1 cossin

2

15

03/

2

0

2

2/3

03081

4 are

a

r

a

iar eea

r

a

cossin81

103/

2

0

2

2/3

0

di mana

2

0

1

emka

Tabel IV.1 Fungsi Gelombang Untuk Potensial Couloumb

30

IV.7 Tiga Bilangan Kuantum

Solusi eigen dari potensial menunjukkan tiga bilangan kuantum yang dihasilkan

dari solusi persamaan azimuth, polar, dan radial. Pada atom hidrogen bilangan

kuantum ini disebut dengan bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum

orbital (l), dan bilangan kuantum magnetik (m)

Berdasarkan solusi dari persamaan azimuth maka nilai untuk bilangan kuantum

magnetik (m)

.,.........3,2,1,0 m

Bilangan kuantum magnetik ini berhubungan pula dengan solusi persamaan polar

yang bentuknya sesuai dengan persamaan Legendre terasosiasi. Dengan meninjau

ulang persamaan (4.7) dan (4.8)

xPdx

dxxP l

mmm

l

2/21

ll

llx

dx

d

lxP 1

!2

1 2

Tampak bahwa persamaan (4.8) hanya terpenuhi jika nilai l adalah bilangan bulat

positif. Dari persamaan (4.7) operator diferensial m beroperasi pada xl sehingga

nilai m harus lebih kecil dari l karena jika sebaliknya maka persamaan (4.7) akan

bernilai nol. Sehingga ungkapan untuk m menjadi:

lm .,.........3,2,1,0 (4.21)

31

Solusi nilai eigen dari persamaan (4.14)

4

2

2

1me

n

kEn

dengan nilai

,.........3,2,1n (4.22)

sedangkan dari solusi persamaan radial nilai l n-1 atau

1,.........3,2,1,0 nl (4.23)

IV.8 Degenerasi

Degenerasi yaitu keadaan untuk beberapa fungsi yang berbeda tetapi mempunyai

energi yang sama. Berdasarkan tabel (IV.1) untuk nilai n = 2 himpunan bilangan

kuantum yang mungkin bagi tingkat ini adalah (2, 0, 0), (2, 1, 1), (2, 1, 0), dan (2,

1, -1). Semua keadaan ini memiliki n = 2, dan karena itu semuanya memiliki

energi yang sama, karena energi hanya bergantung pada n. Oleh karena itu semua

keadaan ini terdegenerasi. Untuk nilai n = 2 ini dikatakan terdegenerasi rangkap

empat. Selanjutnya untuk nilai n= 3 maka ada sembilan kemungkinan himpunan

bilangan kuantum yang dapat terbentuk dari keadaan ini. Karena itu tingkat n = 3

terdegenerasi rangkap sembilan. Secara umum dapat dikatakan tingkat ke n

terdegenerasi rangkap n2.

32

IV.9 Plot Rapat Probabilitas Radial

Persamaan untuk rapat probabilitas radial adalah

2

,

2 rRrrP ln (4.24)

dengan nilai lnR , telah ditentukan pada tabel IV.1. Berdasarkan tabel tersebut

maka nilai rapat probabilitas radial dapat ditentukan pada tabel di bawah ini.

n l P(r)

1 0 0/2

3

0

2 4 area

r

2 0 0/

2

0

3

0

2 28

1 are

a

r

ar

2 1 0/

5

0

4

24

1 are

ar

3 0 03/2

2

2

0

2

0

3

0

2

2182719683

4 are

a

r

a

r

a

r

3 1 03/2

2

0

5

0

64

19683

8 are

a

r

a

r

Tabel IV.2 Rapat Probabilitas Radial Untuk Lima Keadaan Awal

33

Berdasarkan tabel IV.2 maka plot rapat probabilitas radial untuk tiga keadaan

awal dapat ditunjukkan seperti pada lampiran H dengan sumbu Y menyatakan P(r)

atau peluang untuk menemukan elektron sedangkan sumbu X menyatakan r atau

posisi pada skala a0 (jari-jari Bohr)

34

BAB V

PENUTUP

V.1 Kesimpulan

Persamaan Schrodinger untuk potensial Coulomb diselesaikan dengan

menggunakan koordinat bola karena potensial berada di bawah pengaruh gaya

pusat. Persamaan terpecah menjadi tiga bagian, yaitu :

1. persamaan azimuth, penyelesaian dengan solusi persamaan diferensial

orde dua.

2. persamaan polar, penyelesaian dengan solusi persamaan diferensial

Legendre sekawan.

3. persamaan radial, penyelesaian dengan solusi persamaan diferensial

Laguerre sekawan.

Fungsi gelombang ternormalisasi dan nilai eigen masing-masing ditunjukkan pada

persamaan (4.20) dan (4.14). Adapun plot rapat probabilitas radial untuk tiga

keadaan awal tampak pada lampiran H.

V.2 Saran

Adapun saran untuk penelitian selanjutnyaadalah :

1. Penelitian berikutnya dapat dilanjutkan untuk solusi secaranumerik.

2. Solusi analitik untuk bentuk potensial lain.

35

DAFTAR PUSTAKA

1. Krane. K,. 1992. Fisika Modern. Universitas Indonesia : Jakarta.

2. Renreng. A,. 2010. Asas-Asas Fisika Matematis dan Teoritis. LPTMK :

Gowa

3. Tjia, M.O. 1999. Mekanika Kuantum. ITB : Bandung

4. Beiser. A. 1995. Concepts of Modern Physics - 6th Ed. McGraw-Hill :

New York.

5. Purwanto.A,. 1996. Fisika Kuantum. Citra Media : Surabaya.

6. Renreng.A,. 1987. Asas-Asas Metode Matematika Dalam Fisika.

Angkasa: Bandung

7. Kreyszig. E. 1988. AdvancedEnginering Mathematics(6th). John Wiley

and Sons : New York

Documents

Schrodinger Koordinat Bola