-
1
Kompetensi Dasar : Mahasiswa dapat menggunakan metode
apsoksimasi
untuk menyelesaikan permasalahan matematika yang
berkaitan dengn persamaan differensial orde dua dengan
koefisien variabel.
Indikator : a. Menggunakan persamaan legendre dalam
membuktikan
suatu deret.
Alokasi Waktu : 3 X 50 menit ( 1 X pertemuan ).
A. Tujuan Pembelajaran
a. Peserta didik dapat menggunakan persamaan legendre dalam
membuktikan suatu deret.
B. Persamaan Legendre
Bentuk umum persamaan legendre :
(1 x2) y 2xy + n (n + 1) y = 0 .... (1.1)
dengan adalah konstanta. Persamaan ini muncul dalam solusi PD
pada
koordinat bola, dan juga dalam mekanika, mekanika kuantum,
teori
elektromagnet, panas, dsb.
Sebagian besar, solusi PD Legendre dalam bentuk polinom, disebut
Polinom
Legendre. Dengan metode deret pangkat, misalkan solusi Persamaan
(1.1)
adalah
y =
0m
amxm (1.2)
y =
1m
mamxm-1
. (1.3)
y =
2m
(m -1)mamxm-2
. (1.4)
-
2
dengan mensubtitusikan persamaan 1.2 ; 1.3 ; 1.4 ke persamaan
1.1 maka
menjadi:
(1-x2)
2m
(m -1)mamxm-2
2x
1m
mamxm-1
+ n(n 1)
0m
amxm = 0
. (1.5)
Uraikan persamaan 1.5 menjadi:
2m
(m -1)mamxm-2
-
2m
(m -1)mamxm
2
1m
mamxm + n(n + 1)
0m
amxm
= 0 . (1.6)
Untuk mendapatkan rumus rekursifnya, samakan pangkat disetiap
deret
dengan s.
+ 1 ( + 2)+2
=0
( 1)
=2
2
=1
+
=0
= 0
Dari persamaan diatas didapat :
(s + 1)(s + 2)as+2 + [-s(s 1) 2s + n(n + 1)]as = 0
Sehingga disederhanakan menjadi:
as+2 = - sa)2s)(1s(
)1sn)(sn(
. (1.7)
Rumus rekursif untuk s = 0,1,2,3,.
Dari rumus rekursif bisa diturunkan :
s = 0;a2 = -
00 a!2
1nna
)2(1
)1n(n
s = 1; a3 = - 11 a!3
)2n)(1n(a
)3(2
)2n)(1n(
s = 2; a4 = - 02 a!2
)1n(n
)4(3
)3n)(2n(a
)4(3
)3n)(2n(
-
3
= 0a
!4
)3n)(1n(n)2n(
s = 3;a5 = - 13 a!3)5(4
)2n)(1n()4n)(3n(a
)5(4
)4n)(3n(
= 1a
!5
)4n)(2n)(1n)(3n(
PU.PD :
y = a0 + a1x +
4
0
3
1
2
0 xa!4
)3n)(1n(n)2n(xa
!3
)2n)(1n(xa
!2
)1n(n
+
51 xa
!5
)4n()2n)(1n)(3n( .. (1.8)
atau
= 0 1 +1
2!2 +
+1 2 (+3)
4!4 + +
1 (1) +2
3!3 +
1 +2 3 (+4)
5!5 +
atau
y = a0y1 (x) + a1y2(x) . (1.8)
C. Contoh Soal
Legendre function for n = 0. Show that (6) with n = 0 gives
P0(x) = 1 and (7)
gives (use ln 1 + = 1
22 +
1
33 + )
2 = + 1
33 +
1
55 + =
1
2
1 +
1
Verify this by solving (1) with n = 0, setting z = y and
separating variables.
-
4
Jawab:
n = 0
2 = + 1
33 +
1
55 +
1
77 +
ln 1 + = 1
22 +
1
33
1
44 +
1
55 + )
ln 1 = 1
22
1
33
1
44
1
55 )
1 +
1 = ln 1 + ln 1
1 +
1 =
1
22 +
1
33
1
44 +
1
55
1
66 +
1
77 (
1
22
1
33
1
44
1
55
1
66
1
77 )
1 +
1 = 2 +
2
32 +
2
55 +
2
77 +
= 2 +1
33 +
1
55 +
1
77 + .
1
2
1 +
1 =
1
2. 2 +
1
33 +
1
55 +
1
77 + .
= +1
33 +
1
55 +
1
77 + . terbukti
D. Latihan Soal
Legendre function for n = 1. Show that (7) with n = 1 gives
y2(x) = P1(x) = x and
(6) gives 1 = 1 2
1
34
1
56 = 1
1
2
1+
1
Jawab:
-
5
n = 1
1 = 1 2
1
34
1
56
1
78
1
2
1 +
1 = +
1
33 +
1
55 +
1
77 + .
1 1
2
1 +
1 = 1 +
1
33 +
1
55 +
1
77 + .
= 1 2 1
34
1
56
1
78 . = 1 terbukti
-
6
Daftar Pustaka
Kreyszig, Erwin, dkk. Advanced Engineering Mathematics.New York:
John
Wiley & Sons, Inc. 10th edition.
