Bereznai Gyula: Pitagorasz tétele (magyarul)

7/22/2019 Bereznai Gyula: Pitagorasz tétele (magyarul)

http://slidepdf.com/reader/full/bereznai-gyula-pitagorasz-tetele-magyarul 1/56

*lFü,,,,,,ffi*,

'',(

PITAGORASZTETELE

0d&r

renr NvvKIApó, EUDApEsT, 1972



KÉ SZÜLT A MŰVELÓDÉ SÜGYI MINISZTER RENDELETÉ RE

tl

ll

l

:l,

,l

q

ll,

, 'il;,

$

ilffi

,1

il

',' t',.],ll,i},,.]

{

,,'í $i],,í,',;;,j,] ,

i',i ,l

|i{

ELŐSZÓ

, Az elemi geometria s igy az egé szmatematika egyik legalapvet bloieggyakrabban emlegetett é salkalnrazott té tele a Pitagorasz-té te| néveí }

ismert, deré ksztigí í áromsz gek oldalaira vonatkozó sszefiiggé s"

Ezt a té telt az emberisé g már tiibb ezer é vóta ismeri, szerepe mind a tu-

donrány, mind a gyakorlati é letszempontjából felbecstilhetetlen;

,,né pszerií sé gé nek"alán els eorban mé gis az az oknn hogy egyszeríí sé ge

rnellett is igen mé lyreható matemalikai igazságok cslráit rejti magában.

Pitagorasz tételét tt, e bevezet ben mé g nem fogalmazzuk meg, nen-l

mondjuk ki; riivid t rténeté velis majd csak kés bb foglalkozunk,mert kis ktinyviink cé ljanem csupán a ké szté tel bebizonyí tása é salkal-mazási lehet sé geinek megrnutatása, hanem els sorban annak ,,fel-iedezé se", Ahhoz azonban, hogy r vid id alatt vé gigjárhassuk azt azutat, amelyet a matematika mí í velóie té tellel foglalkozva t bb ezer é valatt tettek meg, más riton kell elindulnunk; az olvasó ré szé r né hányolyan alapismeretet kell felté telezniink, arrrelyrc a továbbiak során hivat-kozhatunk. Ezekkel az ismeretekkel az általános iskola 8. osztályánaktanulói rendelkeznek, s e ktinyvecske els sorban nekik ké sziilt, demeggy z dé sem, hogy haszonna| tirrgathatják a kiizé piskolák tanu-lói is.

A té telrenem sok, inkább sokfé le bizonyí tast adunk, mert rá kellrnutatni arra is, hogy a matematika egysé ges egé sz, é saz álta|a megfogal-tnazott igazságok tiibb irányból is megktizelí thet k. A bizonyí tásokhalmozása helyett a szemlé letes, de a tudományossag szempontjait nem

né lktiliiz tiibb irányri beláttatás é sgyakorlati alkalmazási teriileteinekt'eltfuása a é l, smertetve r viden azokal a legegyszerí í bbproblé mákatis, amelyeket - ha esetleg más teriileteken is -, de Pitagorasz té televetett fel.

BEREZNAI GYULAMUNKÁJA

lBí RÁLó ..KABÁDI lqi RoLYDJÉ ,BLJl)API,:s,r

q-.r- i- * ,



Bizonyos. hogy mindazok. akik e kis k nyvet figyelmesen áttanul-,lányozzák, q a feladatok nagi cészétonállóan meg is oldják, sokat tanul-

atnak bel le.

1969. októberl szerz

t. FITAGORASZ TÉ TELí -6s a Ho zzÁ KApcsoLoDó pRoBlÉ nnÁr

| i \

]L, ''

1. EGY GONDOLATÉ BRESZT KÍ SÉ RLET

Vágjunk szé tegy né gyzetetátlói menté n: né gyegybevágó eglenliisáru deré ksziigti háromsz get nyeriink. Ezek k ziil kett t_kett t

átfogójuk menté n osszeillesztve, két kisebb, de egymással erybevágó

né gyrctetkapunk (l. ábra).

dnnet< az egyszetí i ,,kí sé rletnek"az eredményé trlgy fejezhetjiik ki,

hogy bármely né gyzet átdarabolható két egybeu gó né gyzetté ,

Firyeljtik meg jól az óbrátt Lá[iuk rqjte szaggatott vonallal mepaj,

zolvá'az eredeti ,,tr88y", é sfolytonos vonallal a kót egybevágó ,,kis"né gyzeí trjt,A szaggatott nagy né gyz9tet gondolatban emeljiik ki, é s

helyezz k el hjra gy, amint az a 2, ábra rnutatju

1, &rc

Ext az rij ábrát tanulmányozva azt figyelhetjtik meg, hogy az eredetinagy é sa nyert kétkis né gyzet rigy helyezkedik cl, hogy egy- gy oldaluk_

kal háromsziiget határolnak. s t tirbbet is mondhatunk: ez a háromsz g

deré ksziigí í s egyenl6 sár , mert a 2, ábthn vastagabban rajzolt ké t



i

i

,]

],

i

l

I

I

]

Ii

1

i

I

l

átlóval, tehát a deré ksziigí iháromsziig átfogójával párhuzamos é s

arra mer leges egyenesekkel kellett feldarabolnunk.Kí sé reljtikmeg ezeknek a megí igyelé sekneka birtokában elvégezai az

átdarabolást tetsz leges deré kszgii háromsz g esetében i

1, ra 5. ábra

Helyezz k el a rtividebbik befogóra rajzolt né gyzetet az átfogórarajzolt né gyzetben rigy, hogy eredeti helyzetével megegyez állásúrlegyen, é s egy csricsa az átí og ra, egy másik pedig a r videbb befogóvé gpontjábó induló, az átfogótó kiil nbiizó né gyzetoldalra illeszked-jé k,amint azaz5, ábrán látható. Azátdaraboló vonalakat szaggatottanrajzoltuk, é saz egyenl tertiletí l darabokat azonos számokkal, tiintet-ttlk fel.

Itt még csak foltové s, é snem biztos, hogy az azonos számokkal jel-zott idomok cgymássat fodésbc hozhatók. Bizonyossóggá akkor lesz, haazok egybevágóságát sikcrtll bobizonyltani. Mindenesetre, ha a í íFg-felel idomokat kivágjuk, é s té nylegesen egymásra illeszqiiik, megerós dikbenniink az a sejté s, hogy

minden deié kszg hdromsz g dtfogójára raJrolt né gyzet átdarabothaUa befogókra rajzolt negyzetekké .

l0

A második kérdé sre rtajd akkor adunk választ, ha ezt a sejté siinke

bebizonyí tottuk.

GyakoltófelailatVizsgáUuk meg: mennyiben speciátis esete a 4. ábra az 5. ábní nak.

3. sDJTÉ sÜnrnr, TÉ TELLEsz

Ahhoz, hogy az 5. ábrán látható átdarabolhatóságot bebizonflt-hassuk, elegend azt megmutatnunk, hogy az azono számokkal jel-

zett sí kidomok egybevágók. Miel tt azonban ehhez hoz,zákezdené nh

figyeljiik meg a 6. ábtátl Bzta kiivetkez ké ppenrajzoltukmeg:

a) A2 lBC háromsz get

elforgattuk a 8 pont kiirill9F-kal negatlv (az óramutató;árásával rnegegyez ) irány-ban; Igy kaptuk az ArBC,

háromsz get. Az elforgatásmiatt az ArB szakasz mer&leges az AB átfog ra,é segyen-l is vele:

ÁlB= ÁB,

é s egy egyenesbe esik a B8'né gyzetoldallal. Ugyancsak azelforgatás k vetkezménye,hogy

AlCr= lQ,b) A C csticsponton át megrajzoltuk az AB-vel párhuzamor CD é s

az AB-re meróeges CC' szakaszí , Ez utóbbl T-ben metszt az AB 6tí ogót.c) Megrajzoltuk az A"T szakaszt az AC, é sa TB' szakaszt a .BCbefogóval párhuzamosan, vé giil az Á'E szaka zt, amely a BC,6 a C'Fsz,akaszt, amely az AC befogóval párhuzamos.

,.,r" "".]._

I\//\_

' ".t. .rrr'4

l Ilt

^ll-T

l1

tt

/3,

{--;,-

.li

' -\lt

I

lII

\ll\l

,,,

2i

4

6. ábra

ll



Ezek után ráté rhetiink tulajdonké ppeni bizonyitásunkra.1. Az l-gyel é s 1vel jelzett háromszogek az ABC háromsz g átfo-

gójára mer leges irányri eltolással fedé sbe hozhatók, tehát ezek egybe-vágók.

2. A2-vel é s21veljelzett háromsz gek egybevágósága í gy átható be:

AA":GB,iilfrtaz AA'TC é sBGCT paralelogrammák szemk zti oldalai egyenl k;

Á"T: BD,

ugyancsak a paralelograntnrák szemkozti olclalainak egyenl sé gemiatt;vé giil a 2 háromszog A"-né l é sa 2'háromsz g 8-né l lev sztiget ts

egyenl k, mert egyállásu sz gek. Ké t-ké toldal é sa k zbezárt szogekegyerrl sé geaz egybevágóságot biztosí tja.

3. A 3-mal é s31vel jelzett né gysz gek rs egybevágók, mert

AlG:B" R r.

hiszen az l ós l' háromsztigek egybevágóságilt már kimutattuk, s í gyaz egyenl A,B é sBB' szakaszokbó az ugyancsak egyenl GB é sBE'szaka zoka1 kivonvao szinté n cgyenlóket kaprrnk; CG eltolható C'B'-be,tehát ezek is egyenl k, vé gül a két né gysz g megfe|el szogel egyállásriszogek. Ké t szomszédosoldalából é ssz geib l, ha azok sorrendje rs

adott, a né gyszg egyé rtelmí í enmegszerkeszthet , tehát a 3 é stné gyszgek csakugyan egybevágók. (A szerkeszté sné ra sztigek k ztilelegend csupán hármat megadni, mert a né gysztigsz gernek osz-szege 360e.)

4. Mé g a 4-gyel é s4'-vel ielzett né gysziigek egybevágóságának kr-mutatása van hátra. Nyilván

Á'C':GD,

tnerl mindkett ÁT-vel cgyenlií ; tclvábbá

A' A" : AtG,é snnegfelel sziigeik mint egyállásrl sziigek, cgyenl6k.

Bizonyitásunk csak akkor lesz teljes, ha még azt rs nlegmutatiuk.hcrgy az Á"EFT'né gysziig né gyzet, é saz ABC háromsz g AL átlogó-

l2

játa rajzolt né gyzettet egybevágó. Ez pedig igaz, mert sztigei 9f-osak,é skét szomszé dos oldala: A"T é sA"E egyen| az AC befogóval. Azel bbi kiizvetleniil belátható, az utóbbinál pedig elé garra hivatkoznunk,

hogy a 4 é s4'né gysztigek egybevágósága miatt A"E:AtCu márpedig

az AlC1 szakasz az AC befogónak az elforgatottja.

sejté stinkettehát biz-onyí tottuk, vagyis é rvé nyesa kiivetkez té tel:

bármely deré ksz gí i háromsz g átí ogójára rajzolr né gyzer fid,arabol-

ható a befogókra rajzoh né gyzetekké .

4. YÁLAszT A.DUNK MÉ GEGY KÉ RDÉ SRE

Adósak vagyunk még annak a ké rdésneka megváluszolásóval, hogy

lé tezik-e olyan háromsz g, amely nem deréksziig , de az oldalairarajzolt, né gyzetek k ziitti átdarabolás rné gis lehctsé ges. Mivel most

már biztosan trrdjuk, hogy cz minden deré ksziigí lháromsz g eseté n

elvé gezhet , ktinnyen bebizonylthatjuk, hogy ha a háromsz g nem

deréksziigí í ,sohasem vé gezhetel.

Tegyiik fel, hogy van olyan nem derékszg í íháromsziig, amelynek vala-

melyik, oldalára

-nyilván a leghosszabbikra

-rajzolt né gyzet át,

darabolható a másik kett vé. Legyen ez az ABC háromszcig, é sABa leghosszabb oldala, AC pedig a legrovidebb oldala.

Szerkessziink é gyolyan A'B'C' deré ksziig{í háromsz get, amelynek

A'B' átfog ja ma1a az ÁBC háromsziig ÁB olda|a, é sA'C' befogójaegyenl AC-vel. tlyen háromsziig lé tezik, s lgy valóban megszerkeszt_

het . Ennek másik, B'C'beí ogója nyilván kiiliinbtizni fog BC-t l, mert

ha egyenl lenne vele, a két háromsz g egybevágó, s t egybees ,lenne,

tehát az ÁBC háramsziig is deré ksziigií enne, mivel a háromszciget

három oldala egyé rtelmí í enmeghatározza.

A két háromsziignek tehát ké t-ké toldala egyenl , de a harmadikpár nem egyenl egymással. Az oldalaikra rajzolt né gyzetróI az alábbia,

kat tudjuk:l, Az A'B'oldalra rajzolt né gyzet egybeesik az AB oldalri né gyzet-

tel.

13



1

IílI

1

:

lil

zakan,é ppenaz l. ábránlátható nagy né gyzet két átlója, s ezek, mint

.rdjuk, egyenl k, é smer legesen f'elezik egymást.

A három né gyzet: a ré gié sa ké t rij tehát rigy fogható fel, mint egy

egyenl szárri deréksz g{í háromsz g oldalaira rajzo|t né gyzetek. Kísér,letiink tehát azt mutatja, hogy a deré kszi)gí iegyenl szór háromsz g

átí ogójára rajzolt né gyzet átdarabolható a befogókra rajzolt né gyzetekké .

Azonnal beláthatjuk, hogy ez a megállapí tásunk tetsz leges három-sz gre nem é rvényes, ehát nem igaz az az általánosabb állí tás, hogy

a lráromsz g oldalaira rajzolt né gyzetek kiiziil egy átdarabolhatóa nrásik ketliivé . ljllenpé ldaez egyenl oldalí r háromsz g, mert nyilván-való, hogy egy rré gyzet rem darabolható át ké tnvele egybevágó né gyzelté ,

Kí sé rletijnkbentehát a lráronrsz g ké t kiernelt tulajdon ága: a deré k-sz gíiségé saz egyenl szárilság k ziil valamelyik lé nyeges zerepetjátszik, de az is lehet, hogy azátdar'abolhatóság e két tulajdonság egytittesk vetkezménye.

K<innyen belátható, hogy a háromsz g egyenl szár ságábó nemktjvetkezik az, hogy a harmadik oldalra ralzolt né gyzet átdarabolhatóa szárakra rajzolt né gyzetekké , Ha ugyanis a 2, ábrán'látható három-sz get rlgy rajzoljuk meg, hogy az ne legyen derékszgí í ,de ké toldalának hossza megmáradjon, akkor a harmadik oldalra rajzolt

né gyzet vagy kisebb, vagy nagyobb lesz, aszerint, hogy a deréksziighelyett hegyes- vagy,t{ lpasziiget szerepelteti.ink, márpedig az átfogórar,ajzolt négyzeí né lem kisebb, sem nagyobb né gyzet nem darabolható átazzá a két né gyzetté ,amivé é ppenaz átí og&a ralzolt né gyzetdarabol-ható át.

Az a sejté siink, hogy az egyik né gyzetnek a másik kettóvé való át-ctarabollratósága tehát csak akkor áll fenn, ha az emlitett háromsziigderé ksztigii.Ezt r viden rigy fejezztik ki, hogy az átdarabolhatóságnaksziiksé ges felté tele, hogy a háromsz g deré ksziig{í egyen. Most már csakaz a ké rdé s,hogy kí sé rletilnkeredmé nye minden derékszg{í három-sziigre é rvényes-eovagy ezek kilzi,ll csak az egyent szár ra. É shogya nem deré k z g háromsziigek k ziitt van-e mé gis olyan, amelyremegállapí tásunk é rvé nybenmarad?

Ezekre adunk választ a továbbiakban.

i,

Gyrkorlófeladatok

1. Daraboljunk át egy T alak idomot egy F alakrl idomba|2. Daraboljunk át egl V alakrl idomot Y alakr1 idomba

2. EGY SEJTÉ STFOGALMAZUNK MEG

Fordí tsuk figyelmiinket elósz r arra a ké rdésre,hogy igaz.e az azállí tás, hogy bármely deréksz gí) háromsz g átí ogójára rajzoh né gyzet

átfurabolható a befogókra raizolt né gyzetekké .

Vizsgáljunk meg egy kozismert t'eladatot

Eg1 né gyzet alakri ha]astó csticsarnál a parton né gynagy nyárfa ál|.

A halastavat ké tszeresé rekell novelnr rigy, hogy alakia né gyzet marad-jon, é s a fák is helyiik n maradjanak.

A megoldást bizonyára mindenkr vagy l -

meri, vagy nagyon k nnyen megtalálhatja.A 3. ábrán szaggatott vonallal a ré 8l,vasta-gabbal a megn velt halastavat, kis k r kkelpedig a nyárfákat ieliiltí ik. Ha megrajzol-juk az eredeti né gyzet átlóit rs, akkor k ny-

nyen meggy z dhetiink arról. hogy az rij

né gyzet valóban ké tszer akkora, mint a régi,Azt is látjuk, hogy a n velé skor keletkezettné gyegybevágó egyenló szárri deréksztig{lháromsztiget azeredeti né gyzetoldalar menté náthaitogatva, azok é ppenlefedik azt. Megállapltható tehát, hogy a nagy né gyzet {rgy rs átda-rabolható két egybevágó né gyzetté ,hogy ezeket a deréksz g í í árom-sz geket befogójuk mentén illesztjük ssze.

Használjuk fel most ezt az é szercvé teliinket,é ské szí tsiikel a 4. ábrátEzen már azt is fe]tiintettí ik, hogy az átfog ra raizolt né gyzet.darab-jaiból hogyan állnak ssze a befogókra rajzolt né gyzetek,

Az ábrát figyelve, legszembet n bb az, hogy a betbgókra rajzoltné g}zetekegyike teljes egé szébenmegtaláIható az átí 'ogóra ra.izoltné gyzetdarabial ktiz tt. mtntha párhuzamosan toltuk volna oda.liszrevehetjtik azt ls, hogy a másik befogóra rajzolt né gyzetet a ká

,' | ..,"|".

,'|'a

,"|'t

'. | ,'\l/'...

| ..r'l/

3. dhrt



2. Lz A'C' oldatra rajzolt né gyzet csak egyent az AC oldalra raj-zolrt tté gyzsttel.

3. A B'C' oldalra mJzolt né gyzet pedig vagy nagyobb, vagy kisebb,mint a .BC oldalra rajzolt né gyzet (7. á&a).

Í gyugyanaz az A'B'=AB oldal né gyzet a felté teliink szerint át,.|lrabolható"lenne az AC é sBC oldal lé gyzetekké ,bebizonyí tott

té teliinké rtelmé benpedigaz A'C' é sB'C' oldaltiné gyzetekké . Bel le tehátegyenl ré szek esnek az ACé sÁ'C' egyenl nagyságtirré gyzetekre, a maradé k pe-dig már nem darabolhatóát két kiiltinb z nagyságúr

né Eyzetté ,slgyaz a feltg-vé siink, hogy az átdarabo-lás akkor is elvé gezhet ,

ha a háromsziig nem deré k-sztigí í ,nem felel meg a va-lóságnak.

Ezt,é s

minden olyan bizonyí tást, amelynek lé nyegc az, hogy egy állí -tás bizonyí tása helyett a vele ellentótes állí tás tarthatatlanságát mutat-juk ki, indirekt bizonyí tásnak nevezziik.

Mindké t felvetett ké rdé siinkre álaszt adtunk. Megállapí tottuk egy-ré szt, hogy

1. ha egy háromsz g derékszg , akkor az dtfugójára rajzolt né gyzet

átdarabolható a befogókra rajzolt né gyzetekké ;2. ar ótdarabolás nem ué gezheí el, ha a háromsz g nem deréksz{,oagyls, ha eluégczhet , derékszg nek kell lennie,

Ezt a két állltást cgybeí bglalhatjuk a ktivetkez ké ppcn:a háromsz g oldalaira raJzolt né gyzetekk zí jla legnagyobb akkor é s

csakis akkor darabolható át a móslk kctt ué, ha a háromsz g dcré ksz gíi.

Az álliltás megis

forditható:a háromsz g akkor é s csakis akkor derékszgí), ha az átfogóra rajzoltné gyzet ótdarabolható a befogókra raJzolt né gyzetekké .

l4

5. F,ELHASZNÁLUNK EGY É szREvÉ TELT

Annak az á|l1tásnak. a bebizonyltásánál, hogy csak deréksziigií

háromsziig ,eseté ben vé gezhet e| az átdarabolás, azt a nyilvánvaló

té nythasználtuk fel, hogy ugyanaz a né gyzet nem darabolható át két_

fé leké ppenké t-ké tné gyzetté igy, hogy er"en né gyzetpárok egyike egybe_

vágó leryen, másikuk pedig kiiltinbiiz .

A fentiekb l szorí tkozzunk most csak arra, hogy ugyanazon né gyzet-

nek ké tfé leátdarabolása lehetsé ges-e.Ebb l az elgondolásbó kiindulva talán egy rijabb, s t esetleg egy-

szerí í bbbizonyí tást is adhatunk té teliinkre. Valóban, a té tel egyik leg_

egaszerií bb bizonyí tása é ppen azon alapszik, hogy ugyanazt a (yagy

két egybevágó) nógyzetet két ktiltinbtiz módon bontjuk fel egybevágo

ré szekre.

Rajzotjunk egy alb otdalri né gyzctct, é gaz a, b szakaszok kiiz s

vé gpontjait ktjssiik ssze gy, amint az a 8. árbrán látható.

két dolgot kell belátnunk. Elósztir azt, hogy a keletkezett né gyhárom_

sztig egybevágó, másodszor: hogy a beí rt

kis né gysziigmaga is né gyzet.

A háromsz gek egybevágósága azon-nal belátható, hiszen mindegyiknek két-

két befogója egyenl . A beí rtné gysziig,nek pedig oldalai egyenl k, mert azokaz egybevágó deré ksziigí í áromsziigekátfogói, s csak azt kell még belátnunk,hogy sziigei egyenl k. Ez pedig igaz, mert

bármelyikiiket ké t-ké tháromsz g két kii-liinbiiz hegyessziige egé sziti ki 180e-ra,

márpedig a deréksz gtí háromsziig hegyes-

sziigeinek tisszege 90P.

lJgyanezt az a *b oldalrl né gyzetet a 9. ábta szerint felbonthatjuk ké t

né gyzetre é sné gyegybevágó deré ksztigí í áromsz gre tso amelyek azet zó felbontásban szerepl háromsziigekkel is egybevágók. Ha ezekt l

eltekintiink, é sa 8. ábra kis né gyzetéta 9a ábra szaggatottan jeliil,

l

6. ábra

7. dbra

' \.' \-l '..

.l ,l,l,\'

"a' ,

l5



vonalához illesztjiik (9b ábra), azonnal meglátjuk, hogy emlé keztetrj ábránk a 2. ábrára.Ez azonban még nem bizonyitja azt, hogy a 8. ábra kis né gyzete

átdarabolható a 9a ábra ké tki né gyzetévé .De ne ragaszkodjunk

tobbé az átdarabolhatóság í bgalmához, s akkor mást bizonyí t. Minthogy

,),l

,,l'.,.----,É t ,'

t '. l

i._____--':j

L__.- _____J

@9, bra

egyenl kb l egyenl ket elvéve,egyenl ket kapunk, itt pedig az a+boldalri né Eyzetb l a kétfé le eldarabolás során egyerrlij teri,ilet három-sz geket hagytunk el, a visszamaradó idomok teri,iletet is egyenl ek.Azt kaptuk tehát, hogy

a deréksz gí i háromsz g átfogóára rajzok né gyzet teriilete egyenlu bqfogókra raJzolt né gyzetek ter leteinek sszegé uel.

Ezt a megállapltást már az eddigiek alapján is megtehettiik volna,hiszcn ha cgy lkidom cgy másikba átdarabolható, akkor teriiletiiknyilván egyenl . Az átdarabolhatósdg é saz egyent teriilet ség azonbannem azonos fogalmak, mert ha két slkidom egyenl tertilet{i, abbómég nem kovetkezik, hogy egymásba át is darabolhatók. Erre a ké sób-biekben még pé ldát hozunk fel.

ló

6. NÉ HÁNYSZÓ AZ ÁTDARABOLÁSRÓL

Ké t sí kidomot egymásba darabolhatónak neveziink akkor, ha azegyiket egyenes vonal vágásokkal rigy lehet ré szeire bontani, hogyezekb l a ré szekb l a másik sí kidom sszerakható legyen. Egymásbaátdarabolható sí kidomok egyenl tertilet ek.

Ez a meghatározás lehet vé teszi, hogy csupán átdarabolással a para-

le|ogrammák tertileté re vonatkozólag né hányolyan megállapí tásttegyiink, amelyeket a ké s bbiekben hasznositani tudunk. Már az e7ejé nmegállapí thatjuk, hogy

a paralelogramma teriilete egyenl egy olyan té glalapnak a tel leté uel,amelynek alapja é smagassága ug.yanakkora, mlnl. a paralelogrammaalapja é smagassága.

Megállapí tásunkat átdarabolóssal lgazoljuk. A paralelogrammaból vágjunk le egy olyan deréksz g háromsz get, amelynek átí og jaa paralelogramma valamelyik r videbb oldala (ha a paralelogrammarombusz, akkor mindegy, hogy melyik oldalról van szó), é s llessziik

ezt a háromszget

a paralelogrammábó megmaradt trapé zhoz tigy,hogy átfogója attafiz nem mer leges szárához illeszkedjék. Így olyarrté glalapot kapunk, amelynek mind alapja, mincl magassága egyenla paralelogramma alapjával, illetve magasságóval, ez állltásunk igazolásához már elé g.Eredmé nytinket rlgv is megfogalmazhatjuk" hogr

a paralelogramma ter lete egvenl alapja é saz alaphoz tartozó uagu..sdga szorzatdual..

Eljárásunk nem egé szenkifogástalan. Az átilarabolásnál ragaszkodtunk ahhoz, hogy a vágást a bosszabbik párhuzamos oldalra mer le,gesen vé gezziik. Ezek szerint a paralelogramma valamelyik hosszabbikoldalát tekintettiik alapnak. Kérdé s:elvé gezhet -e az átdarabolása riividebb oldalakra mer ieges vágással is?

Igen. Né haegyetlen vágással is, de tiibb vágássa| mindenképpen.Egy ilyen átdarabolást mutat a l0. ábra. Itt a paralelogrammát olyarité glalappádaraboltuk át, amelynek alapja a paralelogramma riividehl.-,oldala, é smagassága egyenl a paralelogramma magasságával,

II

lI

0+

b

ra)

|tagorasz tétole - l99; l']



A paralelogl3p63 keriu,

átdarabolása azt mutatJi1

hogy teriilete ké tféleké ppeil

is szární tható. Kimondhatjuktehát, hogy

a paralelogramm,a teriilete

egyenX ualamelyik oldalá-

nak é sehhez az oldalhozrartoz() magasságának szor,

zatátlal,

illeszthetjiik ssze, amely paralelogrammán az el bbi átdarabolás mátesetleg vé grehajtható. Ha nem, a felezé stmegismé teljiik.

Háromsztig is kiinnyen átdarabolható paralelogrammává. Elé g havalamelyik kcizé pvonalamenté n ketté vágjuk, s a levágott kis három-szoget l80p-os elforgatással a megmaradttrapé zhoz illesztjiik (l2. ábral.

,'\

t l, ábra 12. ábra

Gyakorlófcladaí ok

|. Daraboljunk át egy rombuszt két egybevágó té gla|apba2. Daraboljunk át egy háromszciget sgyetlen vágással paralelogrammába (K zé n

vonal )3. Daraboljunk át egy trapé a egyetlen vágással paralelograrnnrábat , A. egyenl szár trapé z egyetlen vágással robbfé lekóppen is átdarabolhar{:

té glalapba.Vé gezziink el egy ilyen ótdarabo|ástl

7. BoLYAI FARKAS TÉ TELE

Emlí tettiik már, hogy az átdarabolhatóság é segyenl terí ilet ség ké tktiltinbiizó fogalom. lgaz, hog_v egymásba darabolható sí kidomok egyenlteriiletií ek, de nem igaz az állitás fordí tottja, az, hogy egyenl teriiletiíslkidomok egymásba átdarabolhatók.

G rbe vonalr1 sí kidomok egyenesvonal sí kidomokba általában nem darabolhatók át.Egyenl teriiIettí egyene vonal slkidomok (soksztigek) egy:másba

darabolhatóságának kérdésé vel gy magyar tudós: Bal.yai Farkasnrarosvásárhelyr matematikatanár is í bglalkozott. Tentamen címí í

l9

De enné lmég tiibbet is megállapí thaturtk, Azt, lrogy

ha két paralelogramma egy,e1y oldala é sa hozzójuk tartozó magassdguk

egyenl , akkor ter letiik is egyenl ,

Ezazé ttigaz,mettaké tfé leátdarabolásvalarnelyiké velmindké tparal logramma ugyanazon té glalapba darabolható eL @het báí ,

*.lvikUi[ teriilete ennek a té glalapnaka teriileté vel lesz egyenl ,

Mindké t paralelogramma-átdarabolásolyarr volt, hogy az átdara-

bolással nyert té glalap egyik oldala a paralelogramma valamelyik oldalá-

val lett egyentó. ké rdesiitaarauolható_e a paralelogramma olyan té gla_

lapp5,uri.tyrr"t egyik oldalát el re megadjuk? Megrnutatjuk, hogy igen,'i;

eljátis a kiivetkez : a paralelogrammát átdaraboljuk el szor egy

olyan paralelogrammába, amelynek egyik oldala a megadott a szakasz,

,r,u;a ."t a paralelogrammát a már ismert módon egy olyan té glalapba,

amelynek egyik oldata az í ljpara|elogramma a hosszriságri oldala, Csak

ínégazt kitl megmutatnunk, hogy egy tetsz leges paralelogramma

t oivu^ <latabolhaió át olyan paralelogrammában amelynek egyik oldala

a megadott a szakasz.

Ha az aszakasz nagyobb, mint a paralelogramma rtjvidebb oldala,

de kisebb, mint a t o.JatUit átlója, akkor az átdarabolás a lL ábrár lleolvasható. Ha pedig az a szakasz kisebb, mint a paralelogramma

rilvidebboldala,vagyhosszabb,mintahosszabbikátló,akkorapaft-lelogrammát a hosszabb oldalakkal párhuzamos kózepvonala menté n

ketté vágya,a két ré sztegy hosszabb, de keskenyebb paralelogrammává

18

d,



l,

ké tkiltetes, 1832-ben megjelent latin nyelv{í matematikak nyvében

bizonyí totta be els ké nt,hogy

bármety két egyent ter let soksz g egymásba darabolható,

Bizonyltsuk be Bolyai Farkas té telé t

El bb azonban felváaolunk egy olyan utat, amelyen haladva egy

soksztiget té glalappá lJet átdarabolni, A 13a ábrában titsz get vettiink

fel, amelyet nz .4 csricJoztaftozó átlókkal háromsz gekre bontottunk,

,nduló átlói menté n háromszogekké darabolhatjuk. Minden egyes há-

romsz get átdarabolhatunk paralelogtammává, majd ezeket a paralelog-

rammákat olyan paralelogrammákká, amelyeknek egy-egy oldalpárja

eryenl a hosszriságri. Ezek a paralelogrammák pedig átdarabolhatók

olyan té glalapokká, amelyeknek egyik oldala a, é sezen a hosszriságri

oldalak mentén egamáshoz illesztve ket, mindké t soksz get egy-egy

té glalappádaraboltuk át, mé gpedig olyan té glalapokká, amelyek egyenl

teri,ilettí ek,é svan a hosszriságri oldaluk. De ha a két té glalap egy-egy

oldalpárja a hossz ság , é s teriiletiik is egyenl , akkor a másik oldal-párjuknak is egyenl knek ketl lennitik, a ké t té glalaptehát egybevágó.

Tekintstik most a ké t té glalap k ztjil az egyiket, é s daraboljuk azt

szé ta másik té glalap vágási vonalai menté n ; az igy nyert darabokbó

a másik soksz get is ssze tudjrrk rakni. Ez peclig é pponazt bizonyí tja,

hogy az elgyik soksztig a másikba átdarabolható.Bolyai Farkas té tclé neka mi szcmpontunkból nz a legfontosabb

k vetkezménye, lrogy

a) ha a deré ksz gii h romsz g tí tfogójdra rajzolt né gyzetátdarabolható

a befogókra rajzolt né gyzetekké , akkor az átftgóra rajzolt né gyzet

teriilete egyenl a befogókra rajzolt né gyzetek terijleté nek sszegé uel,

é s fordí tva:

b) ha a befogókra rajzolt né gyzetek teriileté nek sszege egyenl az

átfogóra raizolt né gyzetteriiletéuel, akkor a befogókra rajzolt né g.y-

zetekb l dtdaraboldssal el álltthat.juls az át/bgóra rajzolt né gyzetet is"

Ugyanis a befogókra rajzolt né gyzetekátdarabolhatók olyan para-

lelogrammákká, amelyeknek egy,egy oldalpárja egyenl , majd ezek

olyan té glalapokká, amelyeknek ké t_ké toldala egy*nl hosszriságir,

ha pedig ezt a két té glalapot egyenl oldalaik menté n sszeillesztjiik,

a befogókra rujzolt né gyzetek teriilet sszegé velegyenl teriiletii té gla_

lapot kapunk, anrely Bolyai Farkas té tele szerint átdarabolható az át,

fogóra rajzo|t né gyzetbe.Megjegyezziik, hogy a pitagorasz_té telre igen sok átdarabolási bizo_

rryí tást ismeriink, ezek k ziil mi csak a legegyszerí ibbekkel foglalko-

runk. Mint é rdekessé getazt is megemlí tjiik, hogy a matematikusok

|liii

,l

13. ábra

Br.t"t a kilzé pvonalai menté n ketté vágtuk, s í gykaptuk az ABFG,

ACHI é sADJK paralelogram,rnákat, A kiizeps paralelogramma

CII=aoldalátválasztva,amásikketttisekkoraoldalparalelogram.mává daraboltuk át a ti, aura alapján. A 13ó ábrában megmutatjuk,

;;;,"";k

k ziil az A'B'FG paralelograrnmát hogyan lehet a 10, ábra

uffiaoa oldalrl té glalappá átáarabolni. Hasonlóan a másik két a oldalit

pur'ur.togru*rna is átdarabolható a oldalri té glalapokká, s ha ezeket

L, "gy"Áa oldaluk mentén tisszeillesztjiik, az adott soksziiggelegyen16

t"rtiietti té glalapot kaptunk. Ehhez hasonlóan bármilyen sokszif át_

darabolhatóté glalapp.á.EnnekalapjánmárhozzáfoghatunkBolyaiFarkas té telé nekbizonfitásához,

Legyen két soksz g egvenl teriiletíí ,Mindké t soksz get egy csricsbó

20

21



,Il:

I

il

lI

bebizonyí tották, hogy az átíog&a njzolí_né gyzet átdarabolásával kelet-

kez háromsztigek száma legalább 7. Átdarabolás után a befogókra

tqzolt né gyzetek is egytitt legalább 7 háromsz gre esnek szé t. (Ahot

az átdanbolásnál né gysz gek is szerepelnek, ott minden né gysziigké t

háromsz gnek számí t.)

Gyakorlófeladat

Daraboljunk át egy általános né g}sz get olyan té glalapba, amelynek eryik oldalítel re megadtukl

8. PITAGoRAsz TfTaLn

A deré ksz g í íháromsz g oldalaira rajzolt né gyzetekk ztitti, két-

fé leké ppen s megfogalmazott sszefiiggé s tulajdonképpen már Pita_

gorasz tételét ejea ki. Annak, hogy mind ez ideig még nem neveáiiknevé n,az az oka, hogy a té telnek enné l a geometriai megfogalmazásnál

annak rigynevezett algebtai alakja egyré szt k zismertebb, másré szt

pedig számttásokra alkalmasabb. A 8. é s9. ábta alapján ehhez is el_

jutunk.A bizonyltottak szerint a 8. ábrán látható c oldalr1 né gyzst terí ilete

egyenl a 9a 6bra a é s oldalrlné gyzeter

terlileténektlsszegé vel. Mivel

azonban a c oldal né gyzet teriilete: c,c, amit hatványjel lé ssel í gy s

í rhatunk:cs, a teriiletekre vonatkozó <isszefiiggé s algeblar ala\ia

. c2: az+bz

lesz. Pitagorasz té tele gy mentesiil a háromsz g oldalaira rajzo|t né gy,

zetek, e né gyzetek tertiletei, átdarabolhatósága fogalmának kísé retét,

s tiszlán a deré ksz gil háromsztig oldalai k ziitt állaplt meg tisszefiiggést,

mé gpedig azt, hogy

a deré ksz g háromsz g dtí ogójának né gyzeleegyenl a befugók nég-zeté nek sszegé uel.

Itt pé ldául azt í rtuk:átfogójának né gyzete,az átfog hosszánakné gyretehelyett. Ez a megfogalmaás nyilván magában foglalia az

eddigieket is, de segí tsé gé vel lyan további risszefiiggésekre juthatunk,

amire a teriilet_ átdarabolás kevésbé alkalmas.

22

Látható,hogyebbenaké pletbencsakc.nek,tehátazátfogónakvan kitiintetett szerepe; a befogók a számolás szempontjábó egyen-

é rté k k. Ha ismert a két befogó mé rté kszáma,akkor meghatározhat az

a sámis, amely az átí og mé rté kszámának né gyzete,s t, gyakran pon,

tosan, esetleg megktizelí tóeg, tetsz leges pontossággal maga az átfogó is,

ugyanezt mondhatjuk az átfogó é saz egyik befogó ismereté ben a másik

befogóró is, mert hiszend2 : c| _ b2

szinté n igaz. S t, ha adott a háromsztig három oldalának hossza, akkor

el tudjuk dOnteni, hogy az aháromsz g deré kszógí ie vagy sem, aszerint,hogyamegadottszámadatokelegettesznek.ePitagoraszté telé nekvagy sem.

it. lru u háromszog oldalai: a=3, b:4, c=5, akkor ez a háromsziig

deré ksz g, mert a megadott számok

3'+4{ = 5r,

9a16:25

szerint kielé gí tikPitagorasz tételét,

Ha viszont tudjuk a háromsz gról, hogy deré ksz gií ,é s átfogója

13, egyik befogója pedig 12 cm, akkor a másik befogó né gyzete

a2 : I32 - 22 : 169 *l44 = 25

rehát a befogó mé rté kszámaaz a szám, amelynek né gyzete 25, s ez

é ppen 5, lgy a keresett beí bgó5 cm,..lut.g.".,k.,zthetazaderé ksziigí iháromszogls,amelynekbefogói

5 é s6 egysé gnyi hosszriságriak. Mekkoí a a2 átí ogója?

Az átfog né gyzete

c, : 52*62 :25a36 : 6I.

^zátfxg6 mé rté kszáma ehát az a ilzám, amelynek né gyzete 6l,

Olyan termé szetes szám, amelyet né gyzetre emelve ól-et kapnánknincs, mert

'l2:49<6l <64=8gn

23





Egy kí nai í rásos emlé k viszont cáfollratatlanul bizonyí tja, hogy

az |áaszatnitásunk el tti 1 l, századbatr a kí naiak már ismerté k az

egyiptomi háromszilget, de nem valószí nti, hogy eljutottak volna a

Pitagorasz-té tel bizonyí tásáig,

Akb.3századdalké sbbiSulva-Szutránaknevezetthindiráldozatiktirryv arról tanriskodik, hogy Indiában egy oltárk megtervezé sé né l

,már akkor a Pitagorasz-té telt hasz-

nálták fel; s innen származik a té ,

tel els matematikai megfogalma-

zása is. Ebben a k nyvben mái azegyiptomi háromsz gcin kí viil ó

né hány deré kszogtí háromsztigre

találunk pé ldát, amelyek oldalhosz-

szirságai egé szszámokkal fejezhe-

tkki.

bok kiizvetí té sé vel utottak el Európába. A kiizé pkorbana Pitagorasz-té telt csaknem a matematikai ismeretek csricsának tekintetté k. ,,Né p.szerií sé gé re"utalnak azok a rajzok, amelyek a té telgeometriai alakjátemberi figurákká, pé ldául talárt visel pro-fesszbrrá egé szí tetté kki (15. ábra), megtalál-juk ezt festmé nyeken1 mozaikokban é skora-beli cí merrajzokon is. De még a m lt század vé -gén is voltak olyan elké pzelé sek,amelyek szerinta marslakókkal rigy k ziilhetnénk legegyszerií b-ben, hogy a F ,ldon é rtelmes é nyekvannak,ha a Pitagorasz-té tel rajzát sugároznánk aMars felé , abból a felté telezé sb l kiindulva,hogy ha ott é rtelmes lé nyek é lnek,akkor aPitagorasz-té telt felté tleniil ismerni k kell,

A Pitagorasz-té tellel kapcsolatos vizsgí rlatoktermé szetesen ezután ts sok j eredmé nyt ltoztak, é snap.jainkbarr r:

í blynak, de ezek ismerteté sé re tt nem té rlretiink ki; lrelyette vegyiik fe,

í nkább azelejtett fonalat, é s foglalkozzunk'ismé t magával a té tellel

l1. I]JABB PROBLEMA MERÜL FELLáttuk az e| z ekben, hogy a Pitagorasz-té telóvel való számolásní r

lrárom mí í veletetkell vé gezniink :

l. két számot né gyzetre kell emelniink;2.' ezek sszegé t vagy kiil nbségé tkell venniink;3. meg kell keresniink azt a harmadik számot, arnelyet né gyzetrt

emelve, az el bbj osszeget, illetve kiilonbséget kapjuk,

A második tépé sselnem kell foglalkoznunk. Az els is egy-egy szor-zással elvé gezhet , A harmadik mí í veletetviszont meg kell beszé lrriink,

Azt a pozitiv a számot, amelyet né gyzetreemelve a pozitlv l-t kap-iuk, a ó szám né gyzetgyoké nekfogjuk nevez.ni, é s gy jcloljtik:

l5. dhra

Ababilóniaiakrnatematikaiismereteirltiibbé kí rásosfeljegyzé smaradt ránk, s ezekb l megállapí tható, hogy a babiloni geometria

fejlottebb vo|^t a, egyiptominál; a pitagorasz_té telt ismerté k, sót olyan

esctben is alkalmazták, amikor a háromszog oldalai nem egé sz számok

uot'ot , de meg sem klsé relté kannak bizonyí tását vagy megí ogalmazá-

sát, szavakba foglalását. Ez a feladat a giir giikre várt,A giir giikné l a geometria fejl dé secsak akkor irrclult meg, amikor

szoro.ubb gazdasági é skereskedelmi kapcsolatba keriiltek az egylpto,

miakkal, s ttibb giir g utazó, filozófus é studós juthatott el egyiptomi

fiildre. Ezek k ztitt volt Thalé sz é spitagorasz is. Hogy a té tel innen

vagy Babilóniából é smilyen kiizvetí té ssel jutott el hozzájllk, nem tud-

nót biztosan. Ha pitagorasz valóban bebizonyí totta a . nevéhez

ra*aa té telt,akkor azt valószlní lleg a hasonlóság alapján tette. A kele_

tiektól iir ktilt olyan deréksziig{i háromsz gek számáí , amelyeknek

oldalai egé szek, Pitagorasz é sa pitagorettsok alaposan megn velté k,

s ezen nJm is csodálkozhatunk, hiszen tilozófiájuk k zponti fogalma

a szdm volt.Ugyancsak a pitagoreusoknak é sa Pitagorasz-té tellel való

ierrató foglakázásnak kiisz nhetjiik az irracionális é rté kekbevezeté_

sét s.Az ókor matematikai eredmé nyei a ktizé pkorban a gor<ig<ik é sara-

26

a= |b.

a"ll



l

lgy pl.

motfi69 : 13,

132:169.

Ezzel ajeliilóssel az átfog kiszámí tása a befogókbó a

g: {V+ü ,

az cgyik befogó (pl. az a) meghatározása az átfogóbó é sa másik befogó-

bó pedig aza : /'g2 _$1

ké plet szerint torté nik.hrra is volt pé ldánk, hogy egy szám né gyzetgy ké nek a megkeresé se

(riividen: a né gyzetgyókvoí ás) nem kiinnyí í eladat mégakkor sem,

ha az racionális (egé sz vagy tort) szám, Már pedig legtobbsziir nem ez

a helyzet.szimí tsuk ki pé ldául az egysé gnyi oldalri né gyzet átlójának hosszát

Mivcl az átló é skét né gyzetoldal olyan egyenl szárri deré ksz g{í

lráromsz get tratároz meg, amelynek befogói egysé gnyiek, ezét í az

átló hossza Pitagorasz té teleé rtolmében:

cz:12*|2:2.

A c nem lehet egé sz,mert c:l esetén c2=|, c:2 mellett pedig

már c2=4lenne. A c tehát l é s 2 kiizé esik, s í gyt rtszámnak kell lennie.

De mogmutatjrrk, lrogy t rt nem lehet,

Ha c tiirtszám lenne, akkor lé tezné kolyan p é sq pozití v egé sz, ame_

lyekro

"-Llenne, é stegyiik fel, hogy ez a t tt tovább már nem egyszerí í sí thetAkkor, mivel

^r_P' - q''

aq

ennek kellene egyenl nek lennie 2-vel, vagyis

a, :2,q-

amib l ql-tel val szorzássalp':2qr

adódné k.Látbat , hogy p nem lehet páratlan, mert akkor a né gyzete is párat_

lao l"no", , rey o"* lehetne eg}enló a páros 2q2 számmaL Tehát p_páros,Oe aktor q,nak keil páratlannak lennie, mert ha páros_lenne, akkor a

itq1"""legalább 2_vel egyszefií sí tenitudnánk, ellenté tben azzal a í el_

té tellel, hogy ez a tOrt már nem egy zerí í sí thet A 4 tehát páratlan,

* -ru"t parul* számnak a né gyr,ete is az, azé tt24 a p6ros számok

koztil csak 2_vel osztható, míg a páros p szhm né gyzetc lcgalább 4,gyel

is, Igy p2 é s2q' nem lehet egyenl6,

Nincs tehát olyan tiirtszári,.rn, amclynek né gyzete 2-vel lenne egyenl

Ez nem jelenti ázt, hogy nincs il}en szám, mert az egysé gné gyzptátl :a

s annak valamilyen tosszusaga lé tezik, csak azt, hogy nincs ilyen

racionólis szám| Azt fogjuk mondani, hogy a 1/2 irracionóis,.

I1yen irracionális szááok apitagorasz_té tellel való számolás kiizben

ougyoo ryakran el fordulnak, de szerencsé re igen jól megktizellt,

het k racionális számokkal, Pé ldául ktinnyen meggy zódhetiink

arról, hogy1,4142 =fí ,1,41422,

tehát nem kvetiink el tr1l nagy hibát, ha fz-t t,ltlz-nek vesszí ik'

Ezt tettiik egyé bként már eddi is, amikor az ugyancsak irraci,onális

n;g,t+tS...n"ry.tt 3,1,4-dal számoltunk, Mivel pedig a gyakorlrati áet

i, ,iti.ao igé nyeikét izedesjegyné l nagyobb pontosságat, (2 eseté ben

l,4l-dal is megelé gedhetiink,A sámolásók megkonnyí té seé rdeké bena kiivetkez kben ké t táb,

|ázatotkiizliink (30. é ;31.oid.;, amelyekb l a számok né gyzetei ós né gy_

"ogvot"iu -i igé nyeinket kielé gí t ontossággal kiizvetleniil kiolvashF tók ,

Í né gyzettablázat haszná|ata igen egyszer{i, A 10 é s99 kiizé es szá

*"t"Í ry *̂

k zvetleniil leolvasható, a kiivetkez pé ldaszerint:



í ,T

ili

il Negyzetgyiiktáblázateressiik meg 57-nek a né gyzeté tl

A párhuzamos vonalak koztitti oszlopban megkeressiik a tí zes helyi-ér ték í í-ó,t, az ugyancsak párhuzamosok k<iz tti sorban pedig az egyeshelyié rté kii7-et; az 5-tjs sorban é s 7-es oszlopban találbat 57 né gyzete:

572:3249.

Az 1 é s10 kiizé es egy tizedesjegyí í számok né gyzeténekkikereséseettó csak a tizedesvessz elhelyezé sé benkiil nbijzik: az utolsó két jegytized, illetve század helyi é rté kti esz. Pl.

5,7'=32,49.

A tizedesvessz ilyenelhelyezé se azon a té nyen alapszik, hogy ha

az: b,akkor

Hasonlóké ppcn kcressí ik ki a 0 é sl ktiziitti, két tizedesjegyet tartal-mazó számok né gyzeté t s, csak akkor a táblázatban talált számnakné gytizedesjeggyel kell rendelkeznie, tehát pl.

t234

56789

l0

3,164,475,486,327,o77,758,378,949,49

10,00

|2 24 3620 29 3908 16 2586 93 7,0055 62 68

19 25 3l,77 83 8933 38 4385 90 953439M

87 4,0o,00 l092 6,007l 7842 48

06 1266 72a1 ,r1

75 8025 30

32 46 ól 7458 69 80 9057 66 74 8340 48 56 631,4 21 28 35

81 87 94 8,0043 49 54 609.00 ,06 1l 17'54 59 64 7o05 l0 15 20

(oY a a a2 b|-l:t 10, l0 l0 l00 l00'

vagy0,572:0,3249

0,262:0,0676.

l)34

56789

l0

49496l25

58706546l778

10,0014,1411,3220,00

22,36u,4926,4628,2830,0031,62

95 11,4083 15,1783 18,1749 74

80 23,0290 25;1O83 n,oz648133 5093 32,09

83 t2,2549 8l44 7l98 21,2l

24 4530 5020 3998 29,|566 8225 .t0

65 t3,04 42 78

16.16 43 73 17,03'g,] Lg.24 49 ,l5

45 -68 9l nJA

6ó 87 u,o8 2969 88 26,08 z757 7s 93 28,1l33 50 6ó 8398 3l,t4 31 4655 7l 86 33,02

1)3

456789

l00 l214N ul900 961

1600 ló8l2500 260l3600 3,1214900 504164ffi 65618100 ? 281

144 169484 5291024 1089

1764 18492704 280938M 39695184 53296724 68898464 8649

196 225576 625ll56 1225

1936 20252916 30254096 42255476 56257056 72258836 9025

256 289676 729

1296 1369

2116 22093136 32494356 M895776 592.97396 75699216 9409

324 36l784 84l1M4 152l

z3o4 24ol3264 34814624 47616084 624l7744 792l9604 980r

Né gyzetgy ktáblázatunk, mint látjuk, két ré szb l áll, Á fels részén

aké tjegy egé sz számokné gyzetgyoke oluasható /e a kijvetkez ké ppen:

e-megaoótt

sám tizedes helyiértékí íegyé t keressiik az S,sel ielzett

oszlopba-n, egyes helyié rté ktí egyé t pedig az S-sel kezd dó fejlé c zámai

k zoit. a megretetO helyen találunk egy kétjegyí íámot; a né gyzetgyiik,

é rté kbenez ál1 atizedesvessz után, el tte pedig a sor eleje felé haladva

mlálható legels egé szszám (vastagon szedve), Pl, keressiik meg 63 né gy-

zetgytiké tÁz S-osztopban megkeressiik a 6-ot, az S,sel kezd d fejlé c sorában

Né gyzettáblázat

3031



mert

a 3-at. Ezek meghatározzák a 94-et. A 94-hez a 7 egé az tartozik, tebál

/d :'t,94.De már pl.

ffi: 8,06.

Ugyanez a táb|ázafté sz szolgáI a 0 é s l ktizé e két tizedesjegyertartalmazó vagy annyira kerekí tett számok né gyzetgyiiké nekmeg-

keresé sé res. Ugyanis a t rtek né gyzetgyiiké re é rvé nyes

Ha a háromjegyí í számban az e tesek helyón nem 0 van, akkor a hozzólegk zelebbi ilyen számot ye sziik helyette. Pl.:

{m = |770 :27,75.

Az elk vetett hiba nem nagy; számí tásainkat alig befolyásolja.Az 1 é s10 ktizé esó egy tizeclesjegyet tartalmazó számok né gyzet-

gyiiké nek kikeresé sé re vgyanezt a tábí ázatot használjuk. Pé ldául keres-

stik ki {3-ettA 3,4-et szorozzuk l0Gzal: 340.

Ennek az el bbi módon kikeressiik a né gyzetgyiiké t-:18,44.

Az 1gy nyert számot elosztjuk lO-zel: 1,844, tehát

] = 1,g4.

A gyakorlatban egy sz6m né gyzetgytiké nekkikeresé sé né l é lszer{ienjárrrnk el, ha el bb megné zziik a né gyzettáblázatot. Ott ugyanis a né gy-zetgyiikiit ,,visszakeresé sse1" kaphatjuk meg ha a megadott számotvagy egy ahhoz k ze| álló é rté keta táblázatban megtaláljuk. Pé ldául

azonnal látszik, hogy 17,64 né gyzetgy ke 4,2, mert 4,2-et né gyzstreemelve kapunk 1T,64-ot. Né gyzetgytiktáblázatunkban ugyanerre, 18-nálkeresve, 424-ot kapunk. Ez esetben a né gyzettáb|áz,atb l nyert értékpontosabb.

Gyakorlófeladat. Gyakoroljuk a né gyl*'t-é s né gyzetgyiiktáblázat használatátl

12. Mí G EGYSZER ll, t/Í -n l

Annak bizonyltilsára, hogy a 1Q. nem racionális szám, az el z fejezet,

ben a legkiizismertebbeljárást láttuk. Az alábbiakban bemutatunk egy

olyan rij bizonyí tást, amely az el bbiné l sokkal egyszerí lbb, é sarra iralkalmas, hogy módszeré vel más számok irracionális voltát is kimutat-hassuk.

Vt =#,

' {YoF a:@=T,{É |

Ennek alapján pé ldául /g t é tté ké t áblázatunkból a kiivetkezt'átalakltás után határozhatjuk meg:

/@=fT=E- v$, - V TóT: iffi -'ló-,

Tehát /ffi helyett keressiik /3a-et (vagyrs a gy<ik alatti szám százszorosának né gyzetgy ké t),é saz igy kapott é rté k izedé t í rjuk eiMivel a táblázatb }

í fr= 5,83, tehát /d,34 = 9,533.

Tehát ké t tizedesjegyre kerekí tve:

/d',34- = 0,58.

A né gyzetgy ktáblózat alsó ré szea hdromJegy egé sz számok né gyzet-gy ké nekkikeresé sé reszolgál. Szerkezete ugyar.az, mint a fels részé .

pt. y'3GÓ: tAz S-oszlopban az 5-né l é saz S-sel kezd1d fejlé c sorában a 6Gnál

rrzt találjuk, hogy 66. Azegé szré sz23.Tehát:

l,,.

1}.

{ffi : 23,66. 3 Pitagora z té tcle- t997 33



|ii

i

Tegyiik fel ismé t,hogy van olyan pozití v egész p é s4, amelyek relatí v

primei (legnagyobb ktiziis osztójuk lt, é samelyekro

tIí : L.ql

Megmutatjuk, hogy ez lehetetlenD

Felté telszerint u f, tart nem egyszeríí sí thet Ebb6l k vetkezik, hog1

ha p 0-ra vé gzdik, akkor g nem vé gz dhet O-ra vagy 5-re,Erre a fontos

meiállapí tásra a kés bbiekben sziiksé giink lesz,- ái Vbracionális szám lenne, akkor igaz lenne az is, hogy

2q':p',

Vizsgáljuk meg, hogy milyen számjegyre vé gz dhet p2 é , 2q9,

Bármely pozití v egé szszétmné gyzetének,1gy pz,nek es 42-nek is

az utolsó számjegye csak a

0, l, 4, 5, 6,9

számok valamelyike lehet, Né gyzetszám 2-szerese ezek szerint csak a

0,2,8számok valamelyiké re vé gzdhet, Né gyzetszám ké tszerese tehát csak

akkor lehet egyenló né gyÁtszámmal, ha mindketten O-ra^ vé gzdlek,

Á p, é sq, utolsó szamjegye ezek szerint egyaránt 0, De p2 csak akkor

vé gzdhei Gra, ha *uÁa*t p-nek is 0 az.utolsó számjegye, 2q2 pedig

akkor, ha q G,ra uugy -," vé gzdik, Azt viszont eleve megállapí tottuk,

i;gy * nem tetetseles, s ezzel té teliinketbe is bizonyí tottuk,

Pontosan ezzel agoidolu'*,nettel azt is beláthatjuk , hogy d3, fr, ['lszinté n irracionális, Ne higgyiik azonban, hogy irracionális szám csak

n"rn ,regy".tszámbó vont ;é gyzetgyiik lehet; az tlyeneken kí viil mé g

más irracionálisszámok is lé teznek,

Gyakorlófeladat

Bizonyí tsuk be a fenti módon, hogv /Í y'í es/Í nern radonális

34

13. EGY FELADAT

A Pitagorasz-té tellei kapcsolatos számí tások gyakran csak akkorvé gezhet k el, ba az (a + b)2 alakí r krfejezé seket más alakban is fel tud-juk í rni. Az ilyen kifejezé stké ttagri osszeg né gyzetónek nevezitik.A ké ttagri iisszeg né gyzeté revonatkozti azonos átalakí tás k nnyenadódik a számok né gyzeténeké rtelme-zégé b1, amely szerint

(a+b\z : (a*b)(a+b\. b

Elvé gezve a kijeltllt szorzásí , azt kapjuk,ttogy

(a-tb)': a'+2ab+b2,

Bzt az eredí né nyiinketgeometriaitago

is szemlé ltethetjiik: (a+b)I egy olyanné gyzet teriileté t jelenti, amelynek ol-dalhosszí rsága a+b. Az ilyen né gyzetneka 16, ábra szerinti felbontása azt mutat-ja, hogy teriilete egyenl az a é só oldalri né gyzet, valamint

té glalaptertileteinek iisszegé vel) amelynek oldalar c é sa2 +2ab * ó2-nel.

Azonosságunkat í gy foglalhatjuk szavakba :

két szám sszegé nek né gyzete azonosan egyenl a két szdm né gyzeté nek

é s ké tszeres szorzatának sszegé uel.

A kiiliinbségre vonatkozó hason]ó azonosság is kiinnyen belátható:

(a-b)': a2_2ab+b2.

Iíj smeretiink birtokában most már megoldhatunk olyan feladatokat

is, mint amilyen a kijvetkez :

pé lda: A l7. áwán látható román stilusti ablak egy fé lkiirí vb,ennek átmé r jé re ,befelé " rajzoh ké t é lakkorasugar fé lk rlvb l,

s e fé lkr ket é rintkisebb ktirb l áll. Mekkora ez utóbbi ktir sugara,

ha a nagy fé lkiiré 0 cm?

a

ob Iu'I

--o-t---

ol 0

o

16. dbra

b

két olyan

ö vagyis

35



Megoldás: Legyen a nagy fé lkiirkozéppontjaC, az egytk kisebb fé l-kóré Oy a kis k ré 02, é s jeli'ljiikennek sugarát r-rel.

Olyan deré kszg í í áromsz get

keresiink, amelynek oldalat a meg-adott 50 cm é sa keresett r segí t-ségé velfejezhet k ki. Ebb l a celbó

felhasználjuk azt a té nyt,hogyké t,egymást akár kí viilr l, akár

beliilr l é rintk r kózé ppontjait iisszekiitó egyenes, az n. centrális,átmegy a ktir k é rinté sipontján. A CO, egyenes ilyen, tehát átmegya B ponton, azonkí viil szimmetria ktivetkezté ben mer leges a fé lkiirátmé r jé re,az O1O2 egyenes pedig a kis kiir é sa kis fé lkiir k ztis é rin-té sipontján megy át mint azok centrálisa. Az OrCO2 háromsz g tehátderé ksztigí í .B deré kszg háromsziig OrC befogója a kis fé lkiir sugara,tohát 25cm, O1Orátfog ja a két sugár tisszege:2í +r;a másik befogópedig az ábra szerint a k vetkezóké ppen adódik:

CO2 = CB," O2B : 50 - r.

Erre Pitagor asz té te|étalkalmazva :

(25+r)2: 252+(50-r)l.

Ebb l az egyenl sé gbl kell meghatározni r-et. Ha felhasználjuk elóbbinzonosságunkat, azt kapjuk, hogy

252 + r2 +2.25r : 252 + 502 + ra *2.50r.

De 25| é sr2 mindké t oldalból kivonható, s í gy

50r : 2500* 100r,amib l rendezé s után

l50r:2500

adódik. Tehát a keresett sugár

14. EGY BIzoNYÍ TÁsI FELADAT

Pitagorasz té teté t gen gyakran olemi geometriai sszefiiggé sekbizonyltásáta is felhasználhatjuk. Erre is mutatunk egy pé ldát.

Legyen a feladát a k vetkezó:Pé Ida: Bizonyí tsuk be, hogy

iisszege egyenl a né gyoldalné gyzetiisszegé vel

Megoldds: Jeliiljiik aparale,

logramma párhuzamos oldalaitc-val é só-vel, átlóit e-vel é s f-fel, amint azí a 18, ábra mutat-ja ; akkor azt kell bizonyltanunk,

a paralelograínma átlóinak né gyzet-

hogy Ae'+í '= 2a2 +2bz,

Ha a paralelogramma té glalap,I8, dbra

oldal deré kszg í í á-

, : ffcm ry 16,67 cm.

a bizonyí tás egyszeríí omert bármelyik átló é ské t

rornsziiget alkot, tehát

e2: a2+b2 é s f8: a2+bz,

tehát valóban:é +í n: 2(a2 +b2).

Ha a paralelogramma qem deréksztig{l, mindezek nem é rvényesek,

de a bizonyí tást visszavezethetjiik deré ksziigií háromsz gekre. Az ABCDparalelogramma valamelyik oldalának, pé ldául a BC oldalnak mindké t

vé gpontjábó hrlzzunk mer legest a BC-vel nem pórhuzamos olda]-

egyenesekre; legyenek e mer legesek talppontjai B', illetve C'. Mivela BC'CB'né gyszg té glalap, azert

BC):EC=x é sBR =CC:l.lz l'ÓC é sa BB'Dháromsziigek már deré ksziigí í ek, ehát alkalmazhat,

'uk Pitagorasz tételé tnrindkett re, s kapjuk, hoge2: (a+x)2+rr

s2 = (a-x)r+f,

j6

é s

31



s í gyvalóban

amint azt állí tottuk.

Ezeket sszeadva

e, +.f, : (a * x\2 + (a _ x)2 + b} : 2a2 + 2x2 + 2y2 : 2a2 + 2(f + y\,

De a Bc,c háromszcig szinté nderé ksztigí í , zé rtpitagorasz té tele szerint

i+y' :6',

en +í ' : 2a2 +2b',

Lz e lapátló viszont az ABC deré ksziigí í áromsz g átfogója, s í gy

e2: a2+b2,

Ha ezt hrjak e2 helyett, akkor azt kapjuk, hogy

d2: é +b2+cz,vagyis

a té glatest testátlójának né gyzeteegyenl az egy cstlcshoz tartozó

három é lné gyzeté nek szegé uel.

Ez a ké plet hasonló a

analogonja annak.Pitagorasz-té tel ké pleté hez;azt mondjuk, hogy

A Pitagorasz,ié te|hez nagyon

hasonló másik tisszeftiggé st, tehát

a té telegy analogonjót nyerhet-jtik, ha megktsé reljiik a té gla-

test te tátlóját az egy c.s cshoz

tartoz három lapátlóból meg-

határozni.Rajzoljuk meg ismé t a té gla-

testet é saz l csrlcshoz tarí oz hrát-rom lapátlót, s M ugyanonnaninduló d testátlót. Legyenek a lapátlók

az ábtajelillé seit használjuk (20. ábra).

Az ABC deré ksztigí í áromsz gbó

d2: a2*P',

é saz ÁBD ugyancsak deré ksziigií háromsztigbó

Ezek sszege

dz: bz+q2.

2t : a2 +b'+ p'+ q',

Azt is látjuk viszont, hogy az ÁEF deré ksziigí iháromsz gben

15. A PITAGoR.AsZ-TÉ rnr,ALKALMAzÁsATESTEKRE

A pitagorasz_té tel, mint tudjuk, deré ksztigí í háromsz gekre, tehát

sí kbeli alakzatokra vonatkozik. A deré ksztigí í áromsz g oldalai

k ztitti sszefiiggést leí ró Fitagorasz-té tel ternré szetesen akkor is é rvé ny_

ben maracl, ha a háromsztig bármilyen más módon helyezkedik el a tér_

ben, hisa a háromsz g rrkkor is egy slkban van, Így pl, a té glate t tesF

átlójához van otyan é l ésolyan lapátló, amelyekkel deré ksz g í íhárom_

sziiget alkot, í gy erre is é rvé nyes

hosszriságri CD oldalé l olyanamelynek tfog ja d, tebát

Pitagorasz té tele. Erre az é szrevéto-

ltinkre támaszkodva megmutathatjuk,hogy a testátló a té glatest három nen:t

párhuzamos é lehosszának ismereté -

ben meghatározható.Legyenek a té glatest egy csrlcsbó ki-

induló é lei a, b é sc. F;7É kpáronké nt

mer legesek egymásra. Rajzoljuk meg

a 19. ábta szerinti AD testiltlot, é n

jeliiljiik annak hosszát d-vel. A d test-

átló, az e-vel jel lt AC lapátl é sa c

deré ksztigí í áromsziiget hatátoz neg,

20. óbra

p,4 & r, a továbbiakban pedig

i\]

Ot

':r(..:" '\,:a.tal:t_,

38

d' : c2+é . a2+b2 = rz,

39



,ff

i,

l

i

ha tehát ennek alapján qda behelyettesí tiink:

2d2 o p2+q'+r'

vagyis, szavakban megfogalmazva

a té glatesregy cscshoz tartozó három lapátlója né gyzeté neksszege

egyinl a testótló né gyzeté nek é tszeresé uel,

Gyakorlófoladat

Fogalmazzuk mog a mo t kimondott té telt kockára é sné gyzetesoszlopra

16. PITAGoRASz TÉ TELÉ NEKEGYIK Ár,mr,ÁNosÍ TÁsA

Az el z fejezetben elmondottak után nkéntmeriil fel a kérdé s,

hogy mi lenne Pitagorasz té telé nek é rbelimegfelel je?

Ámint a sí kban az egyenes vonalakkal határolt idomok ktiziil leg_

egyszer bb a háromsz g, a té rben a sí kokkalhatárolt alakzatok ktiziil

Jfigcgyszertí bbnek a háromsztig alapir g lát fogjuk tekinteni. A deré k_

szo|u-í raromoz gnck fcleljen meg a háromsziig alap r grila, amelynek

aZW a nem deré ksz gií háromsz glap teriiletének né gyzete eryenló

a deré ksztig háromsz glapok teriiletei né gyzettisszegé vel.

Br"i azonban bizonyí tanunk kell.

lrryenek a deré ksziigí í etraé der egymásra mer leges é leia 22, áWa

raerint p, 8 é sr, a nem deréksztig{í háromsztig oldalai pedig a, b & c,

Az a, q, r oldal deré ksziigií három,ziig teriilete legyen Tr, a b, r, p o|,

dal é Tr,é sac,p, Q,é Tg,vé gí laza,b,

c oldaltl háromsziig tertilete 74.Rqizoljuk meg az ABC háromsz g,

nek az l csrlcsbó induló magasságát;

legyen annak talppontja a szemkiizti ol-

dalon M, az ÁM magasságot pedig je-

liitjiik z-mel. Az OM=k szakasz mo,

r leges a-ra, tehát az OCB dcré ksz g{l

háromsz gnek k a magassága, s az

AOM hátomsziig is deré ksztig{l.A cbizorryí tást mo t már k nnyen elvégez,

hetjiik.Az ABC háromsztig teriilete

Tn:T'tehát a Tn teriilet né gyzete:

ri:+:l}..,.De az ÁaM deré ksztigÍ iháromsziigbl Pitagorasz té tele szerinl

mz : k2 *P2

r' ,- +ge'+l\: +r+ ,=Í +)'r{,a,

három lapja páronké nt m r lege egy-másra, a negyedik sí kjapedig nem. Ezt

a gttlát a továbbiakban deréksztigtí

tetraé dernek fogjuk nevezni. A deré k-

szijgí í etraé dert tehát három deré k-

sziig{í é segy nem deré ksziigí í árom-

sziig határolja. Ilyen testet kapunk, ha

I

21. ábra

egy téglatestet olyan sí kkal metsziink,

ametv a té glatestvalamely csricsábó induló mindhárorn é ltmet zi (21.

ábra\'qÁáacl hqtlrnlÁ lnnok l

',ul-Ha a deré kszg í í etraé dert határoló lapok kiiziil a deréksztigí í áro

sz gek teriileté t rend rc Tr_gyel , Tr_vel , rr_mal, a nem deré kszgí jhárom,

szo tertileté t pedig Tn-gyel jeliiljtik, akkor a pitagorasz-té tel té fbelimegfelel je azt mondja ki, hogy

Ti: T +Tí +TE,

40

é s í gy

Mivel azonbanakT:t"

{_) ,,8-]

4t



ii

az OCB deré ksz gií háromsziig terí ilete, azt l(apJuK, nogy

Ti, = Tf *+.d.

Viszont ugyanebbó a háromsz gb l az aátfogó né gyzete

a2 : r2 *q2s í gy

*oo = *u,*r,.,:P'í '

++:Í +l'-l+)'.A jobb oldalon konny{i felismernr az Aoc é sAob deré kszg í íháron,

sz gek T,é sTrteriileté nekné gyzetét, tehát valóban

Ti : Tí +T3+Tá,amint azt állltottuk.

t7. A PITAGoRASz-TÉ rnrszÁMoLÓ NoMoGRAMJA

Ha a feladatok megoldásánál nem t reksziink nagy pontosságra, é s

számadataink sem t l nagyok, akkor a deré kszilgtí háromsztig két oldalá,

nak ismeretében a harmadik oldal hossza az alábbi n. nomogranról isleolvasható.

Nomogramunk három párhuzamos számskálábó áll, amelyek k z la kiizépsáegyenló távolságra van a két szé lsót l (23. ábra)..A két szé ls6

a befogók, a kiizé ps az átfogó hosszrlságait ttinteti fel. Mindháronskála rln. né gyzetskála, ami gy ké sziil, hogy a sámegyenes mindon

pontjához a neki megfelel szám helyett azt a számot í rjuk oda, amely,

nek az el bbi szám a né gyzete.Pl. az origótól 9 egysé gnyire lev pont-

hoz nem a9-eí , hanem a 3-at í rjuk,mert 3-nak ané gyr*te 9, Ugyanigy

25 helyett 5- t í runk,mert 52:25. A skálák tehát nem egyenletes

beosztásriak.A két szé tsóskálán azonos áz egysé g, a kiizé ps n viszont fele akkora

egységgel dolgozunk, í gy itt minden szám fé lakkoratávolsár,gra van az

origótó, mint a másik két skálán.A nomogram használata a kiivetkez :

Ha a ké ibefogóból kell kiszámí tanunk az átfog t, akkor a két szé lsa é s ö skálán megkeressiik a befogóé rté keket, ezekhez hozzáillesztiink

egy vonalzót, s a vonalzó menté n a c skálán leolvassuk azátí ogó é rtékét .

Ábránk az etlárást é ppen az egyiptomi háromsziig pé ldáján mutatja be.

Ha viszont az átí og b lés az egyik befogóbó keressiik a mósik befogót,

pl.c:4,a:3,akkoravonalzótakiizé psó,cskálána4-hezé svala.Lelyik szé ls6skálán a 3_hoz illesztjitk, a nrósik szé lsó sk lán pcdig

leolvassuk az eredmé nyt: bx2,6,Hasonlónomogramokatalegkiitnfé lé bbszámí tásokgyorselvé gzé .

sé reterveztek, é sszé lesktjrben alkalmaznak. Elmé letiikkel a mate_

matika kiiltin ága: a nomográfia foglalkozik,

Gyakorlófeladatké szí tsifurknomogramot cisszeadásra (tlárom párhuzamos számegyenes. egyc,t,

letes beosztással.)

18. EGY KIs vIssZATEKINTÉ s

pitagorasz té telé nekbizonyí tását az el z ekben teriiletátdarabolással

,egeÁt el. Lé nyegileg két utat kiivetttink: vagy gy megadott né gyzetet

daraboltunk át két kisebb né gyrctté ,vagy pedig ugyaneí Ta a né gyz,etre

ké tfé leátdarabolási eljárást alkalmaztunk,Vizsgáljuk meg most utóag, hogy a kétfé lebizonyttás során milyen

alapelvekre támaszkodhattunk,hátha a ré szletesebb elemzé s jabb

megállapí tások forrása lehet.

Áz em bizonyí tásnál lé nyegileg feldaraboltuk mindh,árom né gyzetet,

s az átfogóra rujzolt né gyzet darabjait rhozgatással fedé sbehoztuk

42 43



a befogókra emelt né gyzetek megfeleló darabjaival. Enné l a bizonyí tásnála'ktivetkez alapelveket használtuk ki:

a) a mozgatással ./bdesbe hozható alakzatok egybeuágók;b) egybeuágó sí kidomok ter lete egyenl ;c) sikidomok ré szeinek ter let sszege egyenl az eredeti idom terii-

té ael.

A második bizonyí tásnál: a kétfé le eldarabolásnál lé nyegileg ugyan-ezekre

atulajdonságokra támaszkodtunk,

de ott rigy fogalmazhattukmeg, hogy egybevágó slkidomokból egybevágó darabokat elvé ve,a visszamaradó alakzatok egyenló teriiletiiek lesznek.

Vizsgálódásaink k zponti ké rdé se é hát mindké t esetben az egybe-vágóság igazolása volt. Az egybevágóság kimutaása pedig bizonyosspeciális mozga&ásfajták: eltolás, elforgatás alkalmazásával igen egy-szerí í enelvé gezhet . r]jaUU tletet kaptunk tehát: próbá.ljuk meg azátdarabolást gy elvé gezni,hogy a megfelel darabok eltolással vagyelforgatással legyenek fedé sbehozhatók.

Az eltolás alkalmazásának lehet sé gemár eddig is kí sé rtett,hiszenaz 5. ábrán az azonos szómokkal jeltilt sí kidomok eltolással fedé sbehozhatók. Ez azonban ott nem volt nyilvánvaló, azért kellett az egyes

ré szekegybevágóságát el bb kimutatnunk.A kovetkez fejezetben az eltolás é s elforgatás alkalmazására muta-tunk pé ldát, arnelyné l é ppen az egybevágóság kimutatásának sokszorhosszadalmas é snebézkes eljárását riividí thetjiikmeg.

19. NÉ HÁNYI]JABB BIzoNYÍ TÁs

Eddigi bizonyí tásaink tisztán geometriai jelleg{í ekvoltak; arta ala-poztuk ket, hogy egyn:ással fedé sbe hozható idomok teriiletei egyenl k.Ezeft - ha kiil nb z módokon is - mindig arra t rekedttink, hogybizonyos idomokat

-mozgatással

-fedésbe hozzunk. Bz azonban

nem nrindig egyszeíí i,é snem is mindig l lretsé ges.Ugyanis a fedé sbehozható idomok valóban egyenló teriiletí í ek,de fordí tvanem igaz:egyenló teriiletii idomok nem felté tleniil egybevágó-k. Sztiksé gesnek

41

látszik tehát, hogy az egyenl ter let sé geta mozgástóÍ ftiggetleniil mu,tassuk ki; ezt elé rhetjiik,ha az algebra formanyelvé t é smódszerert

is igé nybe vessziik. Az alábbiakban ilyen módszerekre, eljárásokramutatunk pé ldát.

Erre a é lramár a 8. ábra nmagában is atkalmas. Számltsuk kl

az a*b oldalri né gyzet teriileté t kétí é leké ppen. gyré szt az

(a + b|',

másré szt mint a c oldalrl né gyzet é sa né gy egybevágó deré ksz g{í három,

szog teriileté nek sszege:

^ .abe +4z,.

Áz lgy számí tott teriiletek egyenlósé ge miatt

(a+b)g - c2 +2ab,azaz

d+2ab*ár o é +\ab,

majd 2ab elvé tele után kapjuk, hogy

a2+b2: é ,

Az eljárásnak tehát az a |é nyege, hogy a két kiil nb z módon való

átdarabolhatóság bizonyí tása helyett egy sikrdom teriileté t ké t kiiliin,b z módon szánrí tjuk ki.Tekintsiik a 24. ábtát Ezen egy

olyan meróeges szárri trapé zt átunk,

amelynek párhuzamos oldalai a é sb, o

amer leges szár a + b hosszrlság . A c-

vel jel lt szakaszok egyenl ek és mer -

legesek egymásra. Az egyenlósé g nyil-vánvaló; a mer legessé g pedig azé rt

igaz, mert u+ B :9tr é sy = 1809-_(a+ fl.

zámí tsuk ki a tapé z teriileté t mint a három lráromsz g tertileté nek

sszegé t Felirható, hogy

,: r+++"= a+{.

24. ábra

Â



Ha pedig azt tekintjtik, hogy a trapé z tertilé te a párhuzamos oldalak

osszege fetének é sa magasságának szorzáta, akkor

,:9+@+b):@+rDi.: É #U: - *,r.A két módon számí tott teriilet nyilván egyenl , tehát

amib6l mindké t oldalon aá-t kivorrva é s2-vel való szorzás után é pperr

Pitagorasz tételé tkapjuk.Mé g egy egyszeríí pé ldát mutatunk a té tel lyenfajta bizonyí tására.

Helyezztink el né gyegybevágó, a, b, c oldalri deré ksziigí í áromsztiget

a 25. ábrán látható módon, é s egyen a>b. A háromsz gek átfog i

c oldalri né gyz"etethatároznak meg, amely a belsejé benegy a-b oldalt1

né gyzetet tartalmaz. A c oldalri né gyzet teriilete egyenl a négy egybe-

vágó deré ksziigií háromsz g é saz a - b

oldalri né gyzet teriileté nek isszegé vel,

vagyis

cl : 4? +@- b)",

azazc2 : 2ab + a2 + b2 -2ab,

tohát valóban

25. óbra c2: a2+b2.

Az effajta bizonyltások, ha algebrai segé deszktiziiket vesznek is

igé nybe, nem sziintetik meg a té telgeometriai tartalmát. Legutóbbi

bizonyí tásunk pl. azt fejezi ki, hogy abból a té nybl, miszerint egy

né gyzetfeldarabolható né gyegybevágó deré ksziigí i háromsz<igre ós egykisebb né gyzeffe,k vetkezik, hogy e né gyzet teriilete egyenl bármely

ilyen ré szháromsztig befogóra rajzolt né gyzetek teriiletének tlsszegé ve},

46

ftiggetleniil attó, hogy az adott né gyzetnek e ké t utóbbi né gyzetté való

átdarabolását valóban el tudjuk-e vé gezni vagy em. A tisztán geo-

rnetriai bizonyí tásokat azé tt tartjuk szebbeknek, mert nemcsak az

átdarabolás lehet ségé tbizonyí tják, hanem egy vagy t bb ilyen átdara_

bolást vatóságosan el is állí tanak. Mé gis sziiksé giink van az tlyon

számí tásos eljárásokra, mert hamarosan találkoznr fogunk olyan terii,

letekre vonatkozó egyenl sé gekkel, amelyekben az átdarabolhatóságot

nemcsak, hogy bizonyí tani nem tudjuk, de az semmilyen módon nenn t

vé gezhet eI.

20. EGY BoNYoLULTABB BIZoNYÍ TÁs

Az el z fejezet mindhárom pé ldájában rr hí rromrztlgok ogyhevógó,

sága, bizonyo egyenesek meróegessógc, szukonzok cgycnl(luógc, lrtt

nem l nyilvánvaló, de kiinnyen ignzolható volt, Most cgy olyan bizo.

nyí tást mutatunk be, ahol czekkel a ré sz-

problé mákkal tiibbet kell foglalkoznunk.Az ABC háromsz g AC:a oldalának C,n

trili meghosszabbltására mé rjiik fel a BC:boldalt, í gykapjuk a B' pontot. A BC oldalrapedig C-t l kezclve mé riiikaz AC:a oldalt,í gynyerjiik a CC' szakaszt (26. ábta\. AzÁ.B'BC' konkáv né gysz g teriileté t fogjuk két-

féle módon kiszámí tani. Egyré sztmint a BCB'é sAC'C deré ksz g í íegyen| szárri három"

szogek teriileté nekosszegé t:

26. ábra

másré szt mint a BC,B, é sAB,C, háromsziigek teriileté nek sszegé t.

Ez utóbbihoz azonban el bb be tbgiuk blzonyttanl, hogy u B'C'egyene mer leges AB,re é sB'C':AB,

Vegyiik é szre,hogy ha az ABC háromsz get C kiiriil 9r_kal ellbr_

gatjuk negatí v irányban, B a B,_be, A a C,_be kcriil, htszen ezeket a

,câ'b"ab* , :7*7-1ab,

b, a-_.-L-2' 2'

47



szakaszokat mé rtiik fel. Az AB szakasz rlj helyzete tehát a B'C' szakasz,

ezé rtRC':AB,

másré szt pedig 9tr_os elforgatással minden egyene mer leges lesz a saját

elforgatottjára, tehát valóban :

EC LAB.

Így rnost már kiinnyí í e két utóbbi háromsz g teriileté t kiszámí tanr.

A BC'B'háromsziig alapjánakvegyiik a B'C'oldalt, akkor magassága

BD, az AB'C'háromsziignek pedig a B'C' alaphoz tartoz magasságz

DA, aholBD+DA - BA,

tehát e ké t háromsz g teriiletiisszege

_ c.(BD+ DÁ) _2

Ha az ATC hárornsz gel tekint--iik, akkor Pitagorasz té telealapján

b2 - p +m2.

A BTC háromsziigben pedig ,^__ l;. --- _ C.'a2 - q2 +mz, | .z -rr

,s í gyezek tisszegeké nt azt kap.,iuk,(--.

hogy a2 + b2 : p2 + q2 +2mz.

De az eredeti ABC háromszogb l

a2+bz: c2,

ami - az el bbivel egytrevetve -csak,rigy lehet igaz, hu

c' : P'+ qu t-2nf ,27, hra

A2'l.ábrán PQRSZV-vel iel lt L alakri idom tertilete tehát é ppen

az m magalságra rajzolt né gyzet teriileté nek ké tszerese. Felezziik meg

ezt a hatszóget| Ez nem lesz nehé z,meí t a felez vonai é ppenaz S7szakasz meghosszabbí tása a PQ szakasszal való l7 metszé sponug.

Ugyanis a PWZY é sa WQRS té glalapokegyik oldala p, a másrk pedig

c - p : q. E té glalapok k ziil tehát bármelyik egyenl teriletí j az m

magasságra rajzolt né gyzettel, ezé rt

':q'+m2:q2.*pq,é s

b2=p2*nf:p'+pq.

De p2 + pq é ppenaz A PWT, é s q2 + pq pedig a l WQB té glalapok tcril,lete, tehát eredmé nyiink igy is í rható:

a2: 4C,

b2 : Pc.

' *-

o?l

0,ll

l

ll

,

i

l

l

B,c. BD B,C . DÁ

-

2'2c.BD*c,DA

_c.BA _c2_2 2,

lgybr aE cI

T+T: T,amib l Pitagorasz té tele azonnal k vetkezik.

2t. ŰJ sszrrÜGcÉ sRE BUKKANUNK

Rajzoljuk me1 az ABC deré ksziigií háromszog AB átfogójához tar,

toz CT =mmagassí tgot, a ké t befogó pedig BC : a é sAC : b (27, ábra).

Az átfog ké t szeleté t: a p hosszrisógí l ÁT szakaszt a á befogó átfogóra es

mer leges vettileté nek, r viden: vetiileté nek, a c-p: q hossztiságtiTB szakaszt pedig az a befogó vetiiletének fogjuk nevezni.

A most megrajzolt- magasság az ABC háromszoget ké tderé ksz gháromsz<igre, mé gpedigaz ATC é sa BTC háromsz gre bontja, ezekre

deré ksziigí í háromsz gekre tehát alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét.

48

,,]i

I

pql

i- l^/

Pitagórasz tétcle - 1997



fr,I

l,

Ezt szavakban így fejezhetjiik ki:

a deréksz gí iharomsz g bármely befogójánalt né gyzete egyenl az

átí osó é sa be|ogónalc iz tifogóra es mer leges uetí ileteszorzatáual.

Mivel pedig azt a poziIiv számot,amelynek né gyzete másik két po-

r,itiv szám szorzatáyal egyenl , ez utóbbi két szárn mé rtani kiizepé nek

nevezzik, ugyanezt í gy s megfogalmazhatjuk:

a deré k.sz g{i háromsz g bármely befogója mé rtanik zepe az átfogónak

é ssaiál uetiilcté nck.

É ,rdekes cisszefiiggé sre j utottu nk ; ór<lcnres vele tovább foglalkoznunk.

Ezt az <isszefiiggé st a pitagorasz_té telb l kiinclulva, annak ismeretében

nyertiik. ké rdé s,nem lehetne_e fordí tvaeljárnunk: ezt az osszefiiggé st

válamilyen más módon bizonyí tani, l abból eljutni a Fitagorasz_té tel_

hez? Megmutatjuk, hogy ez lehetsé ges,

28, ábra 29, óbra

]r4ivel a befogóra rajzolt né gyzet terijlete egyenl egy olyan té glalapteliileté vel, amelynek egyik oldala az átfogó, a másik pedig a befogó

vttiiletol máris ké szen lenné nk,ha a befogóra emelt rré gyzetet át tudnánk

0

]

,iI

]

)

28, ábra

\- .

clarabolni az emlitett té glalappá. A 28. é s29. ábra bizonyí tás né lkiil

ilyen átdarabolást nrutat be,

A kijvetkez fejezetberi nregkí sé reljiikcé lunkatmáské nt ts elé rnt.

GyakorlófeladatDaraboljunk át a 29, ábra alapján egy rrregadotl té glalapot rregyzetbe (Thalé sz

té telel)

?2, tsIzoNYÍ TÁs A HAsoNLÓsÁc ALAPJÁN

Ha ,, Plta8ora Z-té tet teihasználási nelkiil rudtuk volna bebponyí tanl,hogy

a2: QC,ós

i:kor ezek tisszegéb l azottnal rrrcgknpní tnkn lé lclí . llc,rt

a'+ll| : qc"| pt: = c\lt | í ) :a glc " cl,

Kí sé reljiikczt mcglHa az a2=,tl iisszefiiggóst a.a:q.c alakban ké pzeljiik, akkor ezt

í gy s í rhatjuk:q:".gaEz pedig ké tarány egyenl sé ge, í rgynevezett aránypár. Arányok

egyenlósé gé vel a hasonló háromsz gek tanulmányozásánál találkoztunk,anrikor megáliapí tottuk, hogy hasonlóháromsz gek megfelel oldalalnak arányaegyenl . (Megfelel oldalaknak az egyedsz gekkel szemkciztr oldalakat nevezziik.)Hasznositsuk ezt az é szrevé teliinket

A 30, ábrán megrajzoltuk az ABC de-ré kszgíi háromszog átfogóához tartozóCr magasságot. ,4 befogók vetiiletei le-,. enek mo t ls p é sq. Azt állí tiuk, ltogy az lTC háronrsziig hrrsrlttlel azeredeti lBC háronrszcighcrz, vagyis

ATC^ -. ÁI]C^.

c

30. áhrn

5l



Mint tudjuk, a hasontóság bizcrrryí tásához etegend ké tJ<é tsz p

egyenl ségé tkimutatnunk. Ez pedig ki}nnyí í ,mert mindké t háromsz g

<leré ksziigilé sACT < :CBT <,

mert 90o-nál kisebb mer leges szár sz gpárt alkotnak,

A hasonlóság miatt az ATc háromszcigben a deré ksziiggel é saz

ACT 4-get szemk zti oldalak aránya egyenl az ABC háromsztig

deré kszgé vel é scBT{_é vel szemk zti oldalainak arányával, vagyis

amib 1 kapjuk, hcrgyb:p: g16,

b2: Pc.

Hasonlóké ppen mutatjuk ki a BT,C é saz ABC hárornsziigek hasonló_

ságátt is, amib la2:8c,

s ezek tisszegezve, mint láttuk, Pitagorasz tételé tadják.

23. HIPPoKRAT É sz}IoLDAcsKÁI

Szorozzuk meg aza2+b2 : c2

egyenl ség mindké t oldalát r-vel:

aztt+b2n: c2ft.

Vcgyiik é szre,hogy é zaz egyenl sé g azt í ejezi ki, hogy a tíeré kszgí i

ltáronrsz g befogóival mirrt sugarakkal rujzo|t k riik teriileteinek,'is zeg egyerrl{l az. átí ogó sugarí r ktir teriileté vel.Ha viszont nem n-vel.

llattent rf 8-cal szorzunk;

o't*b't: r'|.u, l

é sez-t

alakban í r.iuk,akkor itt a deré ksziigfi háromsziig oldalaira njzo|hatófólk r k teriileteire vonatkozó osszefiiggésre bukkantunk, hiszen azegyes k rtik sugarai fele akkorák, mint a háromsz g oldalar. Ezekszerint a té tel nem csupáIr a deré ksziigí i háromsztig oldalaira tqzoltné gyzetekre, hanem fé lkrijkre is igaz, vagyis

a deréksz gil háromsz g álJbgójára rajzolt í Ulk r ler lete egyenliia befogókra raizolt felktir k terijleí é nek )sszegéuel.

Pé ldát kaptunk tehát olyan esetre, amikor két sí kidom teriileténeksszege egyenl egy harmadik sí kidom teriiletével, de ez utóbbi slkidonr

nem darabolhat át azel bbi kett vé .

Mé g meglep bb eredmé nyre jutunk, ha az átfogóre omolt lülk rt nemkifelé , hanem ,,befelé i'rajzoljuk, mint azt a 3l. ábrn mutada, Ez a bgíblérajzolt fé lkiirThalé sz lé tele órtolmóbon átmogy a dorókcz g cuú tcsón.

Ké t,k dvekkel határolt slkidomot, az n. llippokratósz lroldacskáitkaptuk. A ké tkisebb fé lkr tor{llcté nek sszege most is egyerrl azátfogóra rujzalt fé lktir teri,ileté vel, s ha mindkett b l kivonjuk a vonal_kánott ktirszeleteket, egyenló teriiletek maradnak vissza. Ez pedrgazt mutatja, hogy Hippokraté sz holdacskáinak teri,ilet sszege egyenl

a háromsz g teriileté vel.Ez az eredmény els sorban azé rtnreglep , mert azt bizonyltja, hogyvannak olyan k rivekkel határolt sík-idomok, amelyekhez szerkeszthet ateriiletiik sszegé vel egyenl teriiletí ílráromsztig, tehát né gyszg iso holotttudjuk, hogy a kr né gysziigesí té se,azaz megadott ktirrel egyenl teriiletí íné gyzst szerkeszté sek rz vel é svonalzóval lehetetlen. Meglep itt azis, hogy bár a kiir tertiletének meghatározása a n né tkí ilnem vé gezhet{5el, a holdacskák teriilet s zege a z-t l fiiggetlen.

A hasonlóság nlkalmazása lnás zempontbó rs gytim lcc zó tlctvolt, Láttuk, hogy a

Tl+T" = 7,{+}' "- +{+)' n : {;}'"

532



egyenl ség. amely Pitagorasz té,:

tele szerint flennáll, ha TL, -[,,

é s7, a deré ksz<igiíháromsz g

oldalaira raizolt né gyzetek terii-

leté t jelenti, rnost azt látjuk, akkor

is é rvénybenmarad, ha Tr-gyel, .

Tsye|,Tymal az oldalakra emelt

fé lkiirtik teriileté t ieliiljtik. Mind

a né gyzetek,mirrd a fé lkilr khasonló idomok, Az egyenl szá-

r deré kszogí í rárornsz gek is

hasonlók egymáshoz. Ervé nyes

marad az el bbi egyenl ség akkor

is, ha ezeket rajzoljuk a deré k-

sziig háromsz g oldalaira?

Kiinnyí í belátnr, hogy igen,

Ugyanis ha az o|dalakra raizolt

nógyzctekel lrtlóikkal í 'eldaraboljuk, ilyen háronrszogeket kapunk (32,

llrra), s cgy-cgy tlycn lráromszaig terí ilete

márpedig nyilván

24. AZ Ár.ur,ÁnosABB sszorÜGGÉ sBIZONYÍ TÁSA

Né zziink el bb egy speciális esetet

Rajzoljuk meg az ABC deréksz g í íháromsziig átfogójához taftoz

C7magasságát; ezáIta|ké t j,az ACT é sa BCT deréksz g{í háromsz get

kapjuk (33. ábra). Mint láttuk, ezek mir.degyike lrasonló az eredeti

ABcháromszóghiiz, tehát ha mmdhárom háromsz get tiikr zziik a saját

í itfogójára, anyert AC,B, BT,C é sCT"A háramsz gek is hasonlóak

Iesznek az ABC háromsziighoz (s t, az AC'Bháromsz g egybevágó vele), s ilgy egymáshozis. Nyilvánvaló, hogy az ACT" é sBCT' há,romsz gek teriileté nek sszege é ppen az ÁBCháromsztig teriileté vel, tehát annak tiik(ir,ké pe,. az A B C' h6t omsz g tcrii lctóvcl iu ogyc rt-

lo.Ez a pé lda smé tmegcr6slti

iezetben támadt sejté siinket, s

hogy megvizsgáljuk a ké rdé st.

Ha ké tháromsz g hasonló, akkor megfe_

lel oldalaik atánya egyenl . Ahasonlóság

alapján kiinnyen beláthatjuk, hogy a megfelel magasságok atánya

is egyenló a megfelel oldalak arányával, de ennek igazolását az olya,sóra bí zzuk, Ha ezt az arányí k-val jeliiljiik, akkor

,"'\\

32, ábra el z |'c-

az ideje,&z

itt

', : t, ',: : , l",: c ,

a' b2 cz

T+T: T,Ké rdé s:igazmarad-eezatertiletekrevonatkozóegyenl6sé gakkor.

lta ?,, Tl, 1ua <leré kszgií háromszg oldalarra rajzott hasonlo,egyé b-

kent'ietszoleges sikidomok teriileté t jelentr vagy nem, vagy csak vala_

,,rilyen megszorltással marad rgaz?

A kérdé s zgalmas, é smi rnegpróbálkozunk rá választ adni,

é s

amib l egyré szt

másré szt pedig

adódik.

a':ak,

m'=mk

:h

,r :1r,m

54



Vizsgáljuk mo t a két rárornsz g tert;-A

-é ,?"-1\ leté t Az 9gyikéaml-

- 2'

A //'._ 13 ,'t /\/

'.-'c'34. ábra

,, rnásiké pedig

a'ní alc, mk, : 2 : 2 :T.kz:Tkl.

tehát 1

T'_,,z_("'l'-f : R": [7J ,

azaz hasonl háromsz gek teriiletének aránya egyenlB a megfelel ol-

, dalak arány ának négy zeté v el.

Legyen ezek után az ABC deré ksztigí íháromsz g oldalaira rajzo'lt

három hasonló háromszog BCA', CAB'é s ABC', teriiletiik pedig rendr*

Tr, T, é sTs (34. ábra). Az eI bbiek szerint

í ::

[*)'é s

+,;:í +)'amib 1

,,: 57, é sr,: $rr.Adjuk ezeket iissze, é své gezziinkcé lszerií azonos

azt kapjuk, hogy:átalakí tásokat;

Mivelszerint

í gy

56

pedig az ABC háromsz g deré kszgí i,azé rtFitagorasz

i]]

té tele

ili

a2 +b2 : ó2,

Tl*T2: tr.

llill,

Megállapí thatjuk tehát. hogy

a deréksz gí) háromsz g ajJogójdra raí zoltbármelt, háromsz g teriilett

egyenl a befogókra rajzoh olyan háromszógek ter leté nek sszegéuet,

amelyek hasonlóak az dtfogóra raizolt háromsz gh z,

Figyeljtikmeg,hogyennekaté teltinknekazelznrindké tmintapé }-dánk-spóciális eseté t ké pezi. Ezekben az ABc háromsztig oldalaira raj_

zolt. háromsz gek egyenl száritak, illetve a.z ABC háromsziighiiz

hasonlóak voltak.

Mivel hasonló egyenes vonalir sí kidomok, rigynevezett rr-sz gek(soksziigek) hasonló háromsz gekre darabolhatók fel, eredményiink

a deré kszg í íháromsz g oldalaira rajzolt hasonló soksz gekre is é rvé ny,

ben marad, s t sokkal általánosabban bebizonyí thatb az is, hogy

a deré kszg hdromsz g oldalalra ralzoh hasonló sí kldomokk z l

az átfugóra rajzolt tdom terí jlele egyenl a befogókra rqlzolt ldomok

ter leté nek sszegéuel,

Az átfogóra rajzolt fé lkr terilleté nck a befogókra raizolt té lkiirtik

teriiletii szegé vel való megegyezése tehát nem kivé teles eset.

25. PITAGcRASZ TÉ TELENEK ÁLTAlÁlsosÍ rÁsaSokfé le vonatkozásban é skiil nbiiz módokon meggy z dtíink arró,

hogy ha a háromsziig deré kszijg{l,

il:r;'Or'"iraé rvé nyesaz

iisszefiiggé s.De kí váncsiak vagyunk arra is, hogy található-e az oldalakkiiziitt olyan kapcsolat, amely akkor rs é rvényes, ra a háromszog

teí szóeges. Ha ilyen kapcsolat van, akkor annak spectálrs esed;é nt

magában kell foglalnia a <lé réksztigí í áromsz gre é rvényesPitagorasz-

té telt s, hiszen a deréksziigí i.háromsz g is speciális esete a háromsz g,

nek, s 1g az a kapcsolat aPitagorasz-té tel általánosltásának ,teklnt,

het .

Keressiik meg ezt az sszefiiggé stt

57



1



Yé gu| azt is megállapí thatjuk, hogy mennyivel ktjl nbtjzik a c2 aza2+b2-t l, ha a háromsz g nem deré ksziigií , Mint tudjuk, ez a kiilijnb-ség 2ap, illetve 2bq. A 35, ábra alapján tudjuk, ho1y p é s4 mit jelentenek.

Ezt az általánosí tott Pitagorasz-té telt má jeltilé sekkelós más fogal-mazásban cosinus- (olvasd: koszinusz) té telnekneyazziÚ,k

?,í í . ,PAI{KETTÁzÁs,Mirrdenki látott már mé hsejteket; ezek keresztmetszete otdalaikkal

egymáshoz illcsztett szabályos hatszogekb l é piil fel. A termé szettehátpé ldát nrutat arra, hogy tetszóeges számí r szabályos hatsz g elhelyez-liet a sí korrrigy, hogy még csak ré szben se fedjé k egymást, é skiiziitttikremmi hé zagne maradjon. Azt morrdjuk, hogy az egybevágó szabályosiratsztigek bé zagtalanul é segyré tiíen efedik a sí kot. í Jgyanezt megtelret-jiik ternré szetesen egybevág né gyzetekkel é sszabályos háromsz<igek-kel is,

A sík efedé se azonban nem vé gezhet el minden szabályos soksz g-gel, trré ldóul rnár egybevágó szabályos tsztigekkel sem. Az egybevágószabályos <itsz gek nem |relyezhet k el egymás mellett rigy, hog} a sí kugyetlen pontja se maradjon lefedetlen, s ugyanakkor az citsz<igek semfedjé k egymóst, még csak ré szben sem. Ezzel szemben a lefedé s bironyo,

esetekben elvégezhet akkor is, ha a soksziigek nem mincl egybevágók.Lássunk erre egy egyszerí í pé ldátIegyenek pé ldául a é sb oldalri né g}zeteink, é ské szí tstinkbel liik

,,parkettát" rigy, ahogyan annakegy ré szleté t-a 37. ábta mu-tatja. E7,en az ábtán vastagabbvonallal emeltiink ki egy olyanhatsz get, amely egy a é segy boldalri né gyzetb l áll.

Ugyanezen az ábrán a ,yajz-hól ktinnyen megállapí tható el-gondolás szerint elhelyeztiink egy

né gyzetrácsot is; ezt zaggatottvonallal tiintettiik fel, s rajta

ll ,

tI

í l-,--,,I

,Il

-TT,='

,

l l ,

37. ábra

feltí í nen kiemeltiink egy né gyzet",tut.g*utatjuk, hogy a vastagonrajzolt batsz g teriilete egyenl a zaggatottan raizolt né gyzet terii-letével.

Rajzoljuk ki kiiliin az ábrának ezt a tészé t, sbetií zztik meg a hatsztigé s a né gyzetcsricsait ilgy, amint azt a 38. ábra mutatja.

38. ábro 39. ábra

Forgassuk el az EFU deré ksziigí í áromsztiget az E pont k riil9ff-kal pozttiv, az UAB háromszoget pedig a .8 pont koriil negatí virányban; az el bbi az

EDV,az

utóbbi a VCB háromszgbe

megy át,a hatsz g é sa né gyzet ttibbi ré szepedig kozos,A ké t dom teriileté nekegyenl sé gét gy bebizonyí tottuk. de ugyan-

ezt az em]llett ké t háromsz g megfelel irány eltolásával is elé rhetttikvolna í lásd kés bb a 40 ábrát).

Figyelmesen szemlé lveaz ábrát ráj viink, hogy az UBVE aé gyzetegy a é só befogój deré ksz g í íháromsz g átfogójára emelt né gyzet,a hatsziig pedig egy a é segy á oldalí r négyzetb l állt ossze, s igy a terii-letek egyenl sé gemiatt rijabb bizonyí tást kaptunk Pitagorasz té telé re.

Feltí í n hogy mennyire hasonló ez a bizonyitás ahhoz, amelyetegy zer már eltolás é selforgatás segí tségé ve|vé grehajtottunk. De nemcsak az, hanem más átdarabolásr bizonyltások is egyszer bbekké,

k<lnnyebben beláthatókká válnak, ha n,parkettában" gondolkozunk.Így pé ldául,ha a nagyobb rré gyzetck kozé ppcrntiai lesznek a né gyzetrácsrácspontjai (39. ábra), az átdarabolhatóság itzonllal nyilvánvaló, de

60





egyenl alap é smagassdg paralelogrammák teijlete egyenlii.

. Ezt a té nyt a bizonyí tásnál fel is í bgjuk használni.Toljuk el az ABC deré ksziigí í áromsz get AB átfogójára mer leges

irányban annyival, amenrryi az átfog (43. ábra), Legyen e háromsz g

eltolás utáni rlj helyzete az A'B'C' háromsz g, Eltolás k zben AB átfog

A t(...

43, dbru

az ABB'Á' né gyzetet,az AC befogó az ACC'A',a BC befogó pedig

a BB'C'C paralelogrammát s rolja, é s Papprrs té teleé rtelmé berr

'T^"",

n, t T sa, , c : T sa, A,,

Bocsáss nk az Á'C' egyene re az A é sC pontbó mer legest, s legyenek

ezek talppontjai A1, illetve Cr. Az ACCIA, deré ksz<igií paralelogramma

terí ilete egyenl lesz az ACC,A, paralelogramma tertileté vel, mert

alapjuk: AC é smagasságuk: ÁÁyk zos.Hasonlóké ppen: ha B é sC-b l állí tunkmer legest a B'C' egyenesre,

lé trejn a BB2C2C deré ksziigí íparalelogramma, amelynek teriileit

ugyaní gy indokolhatóan egyenllesz

a BB'C'Cparalelogramma terii-

leté vel.Azt kaptuk tehát, hogy

Csak azt ketl mé gmegmutatnunk, hogy az ACC,A, é sBBrCrC deré k-sztigií paralelogramma né gyzet. :

Azt állí tjuk, hogy az ÁaC é sa CuCrC' deré ksz g í í áromsztigekegybevágók. Ugyanis CC' : AB, mert az ABC hiromsz get, az AB sza,kasz hosszával toltuk el; továbbá C,CC'<:ABC<, mert mer leges

szárí r hegyessziig'ek. Így mindké t háromsztig harmadik sziige is egyenl ,

tehát egy-egy oldal é sa rajtuk fekv6 ké t-ké tsz g egyenl sé gemiattvalóban

CC\C'^ = ABCL,amib l k vetkezik a megfelel oldalak egyenl sége s, tehát CCr:Bg,s í gya BB,C2C paralelogramma valóban né gyzet, é sÁC=C,C':AA,miatt az ACC.AI paralelogramma is az. Ezzel pedig é ppen Pitagorasz

té telé tgazoltuk.

29. EGY Ú.rlgn BIzoNYÍ TÁs

Ré szben Pappus tételété saz e|í orgatást használtuk fel a k vetkez

bizonyí tásban is.Ismé t eltoljuk az ABC deré ksziigí í áromsztiget az Á'B'C' helyzetbe

rigy, hogy az AB átfogó a rá,,kifelé " rajzo|t ABB'A'nógyzetet srlrolja.Pailpus té teleszerint az ACC'Á' é saBCC'B' paralelogrammák teriileténeksszege egyen| az ABB'Á' né gyzet te,

riileté vel (44. ábra\.Toljuk most el az ABC deré ksztigí i

háromsztiget a BC trányban rigy, hogyaz AC befogó szinté n ,,kifelé " rajzoltné gyzetet sriroljon. Az ABC háromsz g

mo t az A"B'C" helyzetbe keriil, é s

átfog ja az ÁBB"Á" paralelogrammát_

surolja. "Ugyancsak Pappus té telesze,rint - mivel a BC befogó egyenes za-kasszá fajult, tehát nulla teriiletí J ,,p&-ralelogrammát" s rol * az ACC'A,

5 Pitagora z té tela-1997

q

,,

It1lIlIr'|,r'

IlllI

/:

'- \.l}

I

ll

64

Tlccr,l, l T snrcrc : T asgA'.

65



né gyzet teriilete egyenl lesz az ABB'A" paralelclgranrrr:a teriileté ve}"

vagyisb2 : Trcc,, rl,,

: T lss"l..Megmutatjrrk, lrogy az ÁBB"A" paralelogranlma A pont k riili

90o-os negatí v irány r elforgatással az AA'C'Cparalelograrnmába megy át.Valóban: l helyben marad; ÁA" az ÁC-be keriil, rnert ÁA" é sACugyanazon né gyzetké t oldala; AB pedig AÁ'-be megy át, mert ezek isné gyzetolclalak. Ebb l pedig az k vetkezik, hogy a két paralelogramma

egyenl te riilcl(í , lcháttll1 : 'l' ,t nn. l,, : T ll,c'c.

Pontosan ugyaní gy mutatható rneg, hogy a BC befogóra rajzoltné gyzet teriilete egyenl a BCC'B' paralelograrnrna teriiletével:

q2: Tscc,a,,

s igy az el bbivel sszegezve azt kapjuk, lrogy

a2 +b2 : T,ll,c,c|- Turc r,.E ltót rrttibbi paralelogranma teriileté nek cisszege pedig é ppen az

ÁBl]'Á' rré gyz.cl lcri.ilclóvcl: r:l-tel egyenl , ezé rt

aI .|-bg: C2,

arnivel Pitagorasz tételé tsnré t bebizonyí tottrrk.Pitagorasz té telé nek lyen módon való bizonyí tását egyes matematika-

torté né szekEuklidé sznek tulajdoní tják.

30. PlTAGoRASZI SZÁMHÁR.MASOK

Már az, ókor matenratikusait is é rdckelteaz a ploblé ma,hogy vannak-eolyarr der,é kszgií h/tromsz(igek, amelyeknek oldalai mirrrJ egész számok-kal nré rhetk. Máské nt Incgfogalmazva: lé teznek-eolyan pozití yegész x, y é sz számok, amelyekre az

x2*y2:2zpitagoraszi sszefiiggé s teljesiil?

Minden olyan x, y, z egé szekb l áll számhárnrast, amelydonságti, pitagoraszi számhármasnak fogunk nevezni.

ó6

Pitagoraszi számhármasok nyilván lé teznek.Ilyen pl. a 3, 4,5 vagya 24,45,5l számhárma , mert mindkett ben az els ké t szám négyzeté-

nek sszege egyenl a harmadik szám né gyzeté vel.Az pedig egyben az|

is jelenti, hogy ezekkel az oldalakkal deré kszogií háromsz gek szerkeszt-

het k.Másik ké rdé s: van-e vé gtelen sok pitagoraszi számlrármas, vagy ezek

száma csak vé ges? Ktinnyí í megmutatni, hogy vé gtelensok van bel liik.Ugyanis, ha valamely x, , z pitagoraszi számhármast alkot, akkor bár-

.rnely pozití v egé szc mellett a cx, cy, cz számhármas is pitagoraszi,mert a felté tel szerint

X2*y2 : 22,

é s ezé rt(cx)'f (cy)' : c2x2+c9y2 : cl(,xl -l-,yo) = ,,lra : (cz')',

Mi ennek a jclensé gnek itz okir? ligy póclí rrr log.luk rrrcgvilí lgí tani-

Ha a 3, 4, 5 oldalri clcróksziig hí romsz gct pl. a clcrókszog csí rcsá-

ból 2_szeresé re, 3_szorclsi[ra stb. eszeresé re nagyí tjuk, akkor a megfelel

oldalak is 2_szeresci, 3-szorosai stb., c-szeresei lesznek az eredeti há_

romsztlgoldalaknak, tehát a nagyí tással nyert háromsziigek is derékszij-

gíí ek,é soldalaik egé szek maradnak.

Egy jabb ké rdé s:hogyan lehet ilyen pitagoraszi számhármasokattalálni? Sót, hogyan lehet az sszes ilyen szárnlrí trmast megtrrlírlni?

Erre a ké rdésresem lesz nehé z választ adni. Azt állitiuk rtgyanis, ltogv

bármely olyan pozití tl egé sztn é sn eseté n, ahol m>n é smn né gyzet,

szá:n, tehát mn_k2, az

x:m_ni y:2k; z:m+nszámolc pitagora,szi számhármast alkot nak.

De fordí tva is igaz:

minden olyan x, , 2 szánthoz, amelyek pitagoraszi ,;zámhdrmast

alkotnak, található olyan m é sn, umelyekkel e szdnrck uz el(Jbblulak_

ban fe.iezhet k ki.

GyakorlófeladatMennyi az nt é saz n az egyiptomi háronrsziigben?

tulaj-

61



31. A TÉ TELÉ sMEGFoRDÍTÁSA

Ahhoz, hogy az m-n,2k,m+n sz6mok, ahol k2: mn é snt>n,pitagoraszi számhármast alkotnak, elegend csupán azt megmutatnunk,

bogy e három szám kielé gítia pitagoraszi osszefiiggé st.Es csakugyan:

(m + n)2 : m2 + n2 l2mn : m2 + n2 _2mn * 4mn :: (m-n)2t4k2 : (m-n')'+Qk)'.

A té telmcgforditásátrak bizonyí tása el tt lássuk be, hogy ha x,re, y,raé sz-re teljesiil az x'+yl: z2 osszefiiggé s, akkor i e, y k<iziil leg-

alább az egyik páros.

. Ha x é sy mindkett páratlan lenne, né gyzetiik is páratlan, né gy-

zetiik iisszege tehát páros, í gyz2,3 ezéttmagaazispáros lenne, Vagyisx, y é sz valamely pozitiv egész u-val, o-vel é sw-vel Lgy lenne kifejez.het :

x:2u*|i y:2u+Ii z:2w.

Mivel azonban ezek a felté tel szerint pitagoraszi számhármast alkot-nak,

(2u*l\11(2u+ 1)l

=(2w)8

alapján4u2 + | * 4u * 4u2 + 1 + 40 * 4w',

vagyis' 4(u2+u+u2*o)+2:4w2

adódné k, ami lehetetlen, mert a jobb oldal osztható lenne 4-gyel, a baloldal pedig nem, hiszen 4-gyel osztva,Z-t kapnánk maradé kul. I{em

lehet tehát, hogy x é sy mindketten páratlanok legyenek; legalábbegyikiiknek párosnak kell lennie.

Tegyiik fel, hogy y a páros. Ezt í elté telezhetjiik,mert láttuk, hogyx é sy szerepe megegyez , továbbá feltevé siink akkor is jogos, ha azx, , z számok mindegyike páros.

Mivel az y páros, van olyan k, hogy y=2k, tehát yz:4142. De eza k2 mindig el állí tható két kiil<jnbiiz m é sn egész szám szorzataké nt,esetleg t bbfé leképpen is, de legalább k2.| alakban felté tleniil, ahol

ó8

rcbát m:k2 é sn:l. Olyan m é sn tehát, amelyre 4mn=y2 fennáll,lé tezik.

Í rjuk a pitagoraszr osszefiiggé st ilyen alakban:

.y2 : z9_x2 = (z*x)(z+x|.

Mivel y2 páros, a jobb oldah ,Jorr^, ls az, aln| csak rgy lehet, ha leg-

alább az egyik té nyezje páros. Tegyiik fel, hogy z-x az, vagyts valamely /-vel igy í rható:

z-x : 2t.

De akkor, z+x : z-x*Zx : 2t +2x : 2(t+x\

alapján z + x ls páros; tehát mindké t té nyezo páros, u tgy van olyana é só egész szám, amelyre

2+x 3 2d

é sz-x = 2b.

F]zeket sszeadva azl kapiuk. hogv

2z : 2a +2b : 2(a+b|,amib I

z : c*b,kivonva pedig

s ezé rt2x=2a-2b =2(a-b|,

x = a-b.

Mivel pedig pitagoraszi számhármasra teljesiil az y2 , za*x2 ssze-

4kz -: (a + b)z - (a - b)2 = a' + b2 + 2ab - a2 - bz + 2ab : 4ab,

vagyis

k2:abs t'ennáll. De ak2 csak vé gesszánrú rrródon lrható két egé szszóm szclr,

zataké nt, lgy a kiiliinbiiz olyan m, n számpárok k ztitt, amel_veknek

(,.(,)



szorzata k2, ott lesz az a, b számpár is, tehát m é sn rnegválaszthatí l

í lgy, hogynl: a

é sn:b

legyen, s ezzel az m,rnel é sn-ne|Z:m+n

ós

x: m-n.Ezzel tehát belrizorryí tottuk, lrtlgy ltrintlen x, y, z pitagoraszi szánr

hármashoz lé tezlk olyan pozití v egé sz ttt é srt, amelyrl m>n é sszor-

zatuk né gyzetszám, é samelyek segítsógé vel

x : m_na :2k (lcz : mn); z : mlnalakban í rható fel. s í gy állí tásunkat teljes egé szé ben gazoltuk.

lrigyeljiik meg, hogy most tulajdonké ppen az

X2i-yz:7z

háromismerctlcncs cgycnlct tllyatt rrtcgoltlásait adtuk meg, amelyekber-,

az ismcretletrek cgósz számok. Azokaí a tiilrblsnicrcllcnes egyenleteket.amelyekben az tsmeretleneknek az egycnletet kielé gí t gé szé rté keitkell megtalálnunk, a matematikában Diophaní os: alexandriar gcirog

matematikusr l diophantoszi egyenletnek nevezziik.

32. I{BRoN PROBLEMÁJA

Vizsgáltuk azt a kéí dést, tlgy lr<lgyan lehet cllyan deréksz<ighárom-sz geket megadni, amelyckrrck rnirrdlráronr oldala egész.Hasonlóproblé mát vetett fel egy alexandriai trratematikus: tleron ts, amikorazt ké rdezte, hogy vannak-e olyan háromszogek, amelyeknek mind

oldalaik, mind pedig teriiletiik egé sz számokka adhatók meg. Az ilyertháromsz geket Heron-fé le hárornsz geknek nevezlk.

Termé szetesen minden olyan hárontszcig, amely deré kszsíi, é soldalar

7()

rné rté kszámaiegé szek, ilyen é rtelemben Heron-fé le háronrsz g is.Tudniillik ezek teriilete a két befogó szorzaí ának fele, s rrrtnthogy a ké tbefogó k ziil legalább az egyik páros, szorzatuk fele, tehát tertiletiik iegész számma| fejezhet ki. Ezekkel a háromsz gekke| é ppen ezórt nemé rdemes foglalkozni; vizsgáljuk meg rnkább azt, hogy vanlak-e nemderé ksz<igí íHeron-fé le háromszcigekn s ha tgen, hogyan tudunk ilyeneketmegadni.

El sztjr is megállapí thatjuk, hogy nenr dcré ksziigí IHeron-í é lehárom-sz gek is lé teznek. llyen pl. az a lráromsziig, amelynek oldalar 13, 14 é s

15 hosszegység. Ez nem deré ksz gí í ,mertI32+l42 : 169+ 196 - 365 # 225 : l52,

azaz nem teljesiil rá a pitagoraszl osszefiig-gé .

De vajon a teriiletc cgé szszi[mmrrl kilb-jezhet -e? Hogy crrc it kr rclu(srr: ví tlttszl ucl-

hassunk, ismerniink l<cllerrc vulamclyikmagasságát. Szí trní tsuk r t

A 14 egysé gnyr oldallroz tartozó magas-ság legyen rt; ennek talppontja a 14 egységnyroldalt x é s14-x egy_

sé gnyiré szekre,s az eredeti háromsz get ké tderé kszogí iní rromsz gre

bontja (45. ábral, Ezekre a ré szhárclmsziigekre telrát alkalmazhatóPitagorasz té tele. EgyrészI

ln": lJ,-X,.n-rásré szt

tng: l52*(14*x)l.

A magasság né gyzeté t elrát kétí é leké pperreieztiik ki, s ezek a kifeje-ré sek nyilván egyenl ek:

I32 - x2 : 152 -- ( 14 - x)2,

r/é gezziik el a né gyzetreernelé st:

i69-x'

=225

-l9(l

-x2 + ZEx.

lbb l

ltr

45, áhra

169 ,= 28x r- 29,

7l



ezaz.

lehát

28x = l4O,

x:5.

Az x ismeretében most már a magasság is meghatározható. Ugyanrs

mz : l32 -52 = 169-25 = l4t

tehát m: 12, s í gya háronrszijg teriilete

r=\Y=84egé szovagyis a háromsz g valóban Heron-té le.

Hátra van né g annak a ké rdésneka vtzsgá|ata, hogy tudunk-e olyan

egyszerí í eljárást adni, amellyel k nnyen lehet Heron-fé le háromsziigeket

találnt.A 45. ábra szerrnt Heron-fé leháromszoget kapunk, ha ké tolyan

doré kszg háromszoget, amelynek oldalai egész számmal fejezhet kt.

é sogy_ogy bofogójuk egyenl , az egyenl befogók menté n tisszeillesz_

t nk:. í g;;az í tiháromszogck oldalai é smagassága is egész esz. A terii_

let azonban akkor egé sz,ha az alap é s magasság ktiztil legalább egyik

páros. A mi konstrukciónknál ez telje iil, mert ha nl páro , akkor meg,

felel háromszoget kapunk, ha pedig nl páratlan, akkor a ré szhárorn_

sz gek másik befogó párosak, s í gya nagy háromsz g oldalát ké pez

osszegtik ts az, tehát ez a háromszog mindenképpen Heron-fé le.

tlyen háromsz geket találhatunk is. Pl. az a két deré ksz g í í árom-

z g, amelynek oldalar 8, 15, 17 é s6, 8, 10 megf'elei . Az ezekbiii,rlkototr hóromsziig oldalai lO, 17,6 + 15 : 2l egysé gnyiek,é sa 2| egy,

lé gnyi oldalhoz tartozó n:agasság í i hosszegysé g, igy e háromszog

í -Ieron-féle.De ,ha olyan egész oldalu deré ksztig háromszogeket, amelyeknek

egy-egy befogójuk egyenl , nem találunk, akkor Heron-í é leháromsz g

képzésé re ármely két egé szoldalir deré kszogíiháromsztlg megfelel.Legyen pl. az egyik az egyiptomi, a másik pedigaz a deré ksz g í íhárom,

sz g, amelynek oldalai 15, 36, 39 egysé gnyiek. Ezeknek,nincs egyenl

72

trelogójuk. De ha az egylptomi háromszogel 5,sz rosé renagyí tjuk,

oldalar l5, 20, 25 egysé gnyiek lesznek, é sderé kszogí ímarad, igy a másik

háromszoggel 15 egysé gny betbgóik menté n sszeillesltve a 25, 39, 5ó

oldal Fleron-fé le háromszoget kapjuk.

Termé szetesen akkor ls elé rtí ikvolna cé lunkat, ha az egylptoml

háromszoget 9-szeresé re nagyitjuk, de az ls el í brdulhat, hogy mindkót

háronrsziigiinket rragyltanunk kell, hogy egy,egv beí bgóiuk egyenl

legyen.Ezzel egysizerí i eliárást találtunk Heron-té le háromszogek ké pzesé re,

s ez volt a cé lunk.

33. EGY ,MAGYAR, BIzoNYlTÁs

Dugonics Andrásiró e matem&ttkus, 8 mggyar matcmatikai szókincs

megteremt je ,,A tudákosságnak olsó k nyve" clm l784,ben meg-

.lelent munkájában Pitagora 2 té telé recgyszer blzonyltást ad, Az aláb_

biakban né mr módosí tá sal ezt a btzonyí tást mutatjuk be,

Rajzoljunk a k kiirhtlz a rajta kiví il ,,ekvp pontból é rtnt t, jelril.

iiik az é rinté sipontot E_vel, é srajzoljuk meg a p ponton é saz o ktir_

k<izépponton, átmenó POegye,

nest, amely az A é sa 8 Pontbanmetszl a k k rt, mé gpedrg (tgy,

hogy az l pont legyen az O é sa

P pontok koz tt (46. ábra). Azr

állí tjuk, hogy a PAE háromsz y

hasonló a PEB háromsztightiz.vagyis

PAEa - PEBA.4 . ábra

A hasonlóság bizonyí tásához elegend két pár megí 'elelsz g egyenl -

ségé tkimutatnunk.Legyen az egyik pár a két háromsztig P csticsáná|

ievó kOzOs a sz ge, u Áarit pár pedig a PEA háromsz g C csircsánál

lev e sz ge, llleive a PEB háromsz g B csí rcsánál lev fi sz ge (46, óbra),

hz ábra POE báromsztige deré ksziigil,mert OE a PE é rint h z tartozc

11



sugár a k kiirben, de Thalé sz té telealapján deré kszogí i az ABE három-sz<ig is.

A BOE háromsz<ig egyenló szár , mert BO:EO, hiszen mindketta k ktir ugara, s í gya BOEháromszognek az Ecs csnál levó szoge is B.Az í rbrából azt látjuk tehát, hogy (ó-val jeliilve az OEÁ háromsz g

E'-né l lev szogé t)

B+ : á+e : 9F,

amib l viszont kijvetkezik, hogy É :e, í gyvalóban

PÁE^ -. PEB*.

A ké tháromsz g hasonlósága nriatt í blí rhatóll rrregfelel oldalakarányának egyenl sé ge, vag_yis

ahonnanPE:PA : PB:PE,

PEz _ PÁ.PB,

[:iz a nrór(ani kiizé p iisszeftiggé s speciális esete egy általánosabb té tei.nck, ltiszclt ultktlr ts é rvónyben marad, ha a P-b ] irrduió szel nemmcgy í rt r k r kiizóppont.ií rrr. vrrgyis ha A é sB nenr átellenes pontjaa k rnek. Errc trzonban nincs sziiksóglink,

azórt itl ncrn is foglalkclzunkvele.Jeloljtik most a PE é rint szakaszt ó-vel. a kiir sugarát a-val é sa Pú

szakaszt c-vel, akkorPA:P0-0Á:c-a,

é s

PB: PO*OB: c*a,tchiri

h2 : (c-a|(r:+a\.

lJlvégezve itt a iobb oldalr :,zol,zí rst, azt kap.iuk, lrogy

b2 : c2-a2,

lgyis átrendezve ós az eredeti jel lé seketalkalrnazva,

74

PO2 = OE2+ PE2

75

é rvényes,márpedig az OPE háromsz g az é rint é saz órinté si pontba

rajzolt sugár mer legessé ge miatt deré kszogí í .Ezzel Dugonics bizonyí tását, arnely szerint rs ,,Minden Derókszogí i

háromsz gben az alatságnak <Jereka egyenl a' mellé koldalak' dere-

kaival'o, befejeztiik. (Dugonics szóraszrrálatában az alatság az átfog t,

a mellé koldal a befogót, az alatsí tgrrak <lereka az átfogó né gyzetété s

a mellé k oldalak derekai a bcfogók rrégyzcté rrck iisszegé t ielenti.)

Gyakorlófeladat

Szerkessziink a 46. ábra alapján olyan né gyzetet, amelynek teriilete egyenló egymegadott í é gla|ap eriileté vel

34. EGY MEGOLDATLAN PRoRLí lM^

Pierre Fermal, a XVll, száza,cl cls lblé lrcrr :lt í irrttciil irlgász a mate_

matikában mí í keclveltl, rrtógis rninclcn idiik cp,yilt Icgrrrrp,yobb nlale-

matikusa, akinek ncvóhcz kiilolrilscrr l szántclntóct srrk ktcnlclkecl ered,

mé nye í - í í z ik. Diophtmtosz ókorl goriig nratenrattkus k nyvé nek tanul-

mányozása k zbert a ,,Pitagoraszi szátnhármasok" c ím í í ejezetné la k<inyv

margójára szé ljegyzetet irt. Az a kérdé sórdekelte ugyanis, hogy talál-

ható_e lrárom olyan ternré szete Szám, amelyek k ziil kett nek valamely

2_né lnagyobb pozití v egé szkitev s hatványait osszegezve a harrnadikszám ugya.rrazon kitev s hatványát kapiuk. tvlí rské nt trcglogalntazvir:|é tezik-e az

,ril -|-,1,,ll :

Xl +yl :

általában azX"*y':7n

egyenletnek, ahcll rr 2_né l nagyobb termé szetesszám, olyan megol<láslr

amelylren x,.y é sz poztí iv egé sz.Fermal emlltett szcltcgyzcté t)ün (|ll

a ké rdésretagadó választ ad, s azt állí tia, hogy í tllltí tsrirircsod{tlatositregyszerí í bizonyí tást találr, cle a lirp szóc títlsitgtlsirn kcskcrry lthltoz, ltclgr

, hizonyitás c,llé rjen rajta.

ci|

.4



Ezí az egyé bké nt ,nagy Fermat-té telnek" nevezett sejté st az tette neve-

zetessé ,hogy bebizonyí tásával a legnagyobb matematikusok ts foglai-kozlak, s noha tgazsága valósziní í nek látszik, eddig még senkinek senl

sikeriilt teljes általánosságában, minden a-re bebizonftanr. Fermatbizonyí tása vagy elveszett, vagy le sem í rta, de az is lehet, hogy ké sbbrájtitt bizonyitása hibás voltára, s azétí nem k<izolte azt. A té teltsokterné szete rr-re bebizonyitották, de a bizonyí támég a legegyszerí í bbzl:3 e etre ls lgen bonyolult. Az a té ny,ami egyé bkéntmár ré gen é s

tiibbí é leké ppen izonyitást nyert, hogy ti. az

XE*yi = 2l

egyenlet pozití v egé szszámokkal megoldlratatlan, már csak azé rt srgen meglep , mert 2-né 1 tt bb k bszám sszege lehet ktjbszám, Í gyné ldául

38+43+53:63,VagY

1l3 + l23 + l3B + l4B : 2ff.

A problóma iránt nkkor rrovekedett megaz é rdekl dés laikusok k<iré .

bcn is, umtkor a né rnol tudományos akadé mia nagy pé nz<i szegeíajánlott l'el annak, aki bebtzorryitja, s cr sen cs kkenrrl kezdett

akkor.amikor ez a pé nzaz els világháborri után elé rté ktelenedett.De mé gma rs szé p számmal vannak amat r matematikusok, akik a té telprimití \módszerekke] való bebizonyí tásának lehet ségé benremé nykednek.

r\ nagy Feímat-té telnek egy ilyen ,,bizonyitását" mi is bemutat_iuk

.,Mivel azlé *y2 : 7z

egyenlet termé szetes x-íQ, y-ra, z-rc lllzol-tyí tottan megoldható, ha

Y|l +yI : zl'

í 'ennáll, akkor rr csak 2 tehet.'Ciondoljuk át ezí a ,,bizonyí tást", é s keresstik meg benne a logika

lrrbát

7(l

Ilyesfajta okoskodással azt is be lehet ,,bizonyí tani". hogy csakegyetlen páros szám van: a 2. Í me:

,,Ha valamely n egész szám páros, akkor, nivel a 2 biztosan párosn csak 2 lehet."

Abban mindenesetre igaza van a bizonyí tónak, hogy ha valamelya., b, c pozí tlvegé szekre teljes l az

.a2+b2 = c1

sszefiiggés, akkor ugyanazon a, b. c számokra semmilyen 2-né l nagyobhll,re nem teljesiilhet. Ha tehát igaz, hogy erí e az a, b, c számhármasrámé g

a'+b" : C

is teljesiil, akkor biztos, hogy n:2. Ugyanis egyré szt

al'r.ar-r+b2.bn-' = gl ,gn-l

felté tel szerint, másré szt pedig

r .Cn-A +bg.cn-[ - g9.4n-z

bizonyí tottan igaz, cle akkor

a2. e-2 + b2. e-2 : g2. on-z + b2. bn-z

is igaz kellene hogy }egyen. Ez pedig iehetetlen. ntert átrendezé s é ski-

emelé s lftán azt kapnók, hogy

a9 (cn-I - aP-) - áB(áí -l - c'-),

ahol a bal oldal pozitiv, a iobb o|dal pedig negatlv, hiszen c nagyobbrnind a-nál, mind pedig á-né ], tehát c minden pozitlv egész kttevr5s hat-ványa is nagyobb a é sö uryanezen kitevós batványánál.



tI. FELADATOK É ,smncor,nÁsur

l. FELADAToK

l. Mckkoralrossz(rsiig(t annak a né gyzetnek az oldala, amelynek teriilete ké tszer

akkora, lnint u 4 nr tll<lallrosszí tság nógyzrté ?2. Mekkora a deréksztig hiironrsziig í rtlbgón, ha beíbgó 6 é s15 cm hosszriak?3. Egy derékszogti háromszog átfogója 1,9cm, egyik befogója 1,8cm. Mekkora

a másik befogó?4. Egy egyenl szárri háromszijg alapja 50 m, tertilete 12@ m2, Mekkora a kertilete'/5. Mennyi a keriilete é tertilete annak a szabályos háromsz grrek, amelynek

magassága l2 dm?ó. Egy egyenl sárí r háromsz g keriilete 2,6 cm, az alap é sa szár ktil nbsége

0,5 cm. Mekkora a tertilete?7. A 30 tlnr l<eriilet egyenl szárí t háromsz<ig alapjá 14 dm. Mekkorák ebben

n lttlt,trrrrsziigbcn a lnagasságok ?

8. Mcrrnyl nlcrailctcilllní lkil 42unrkcriiletí regyenlószárritrapé zrrak,amelybenazcgyik rrlrrp 2cnr-rcl ltrrsszabb, it rtrltrrik 2crtr-rcl rijvidebb a szárak osszegéné l'/

9. llgy egyenló szárí ttrapé z tcriilctc 52 rtr".

1lát,huzamos oldalainak kiilnbsége 5.

kcizé pvonala 6,5 n-r. Mekkora a kcrilletc?l0. Egy deltoid szimmetriaátlója 11 cm, a másik átló 4cm. Számítsuk ki a kerii-

letét, ha tudjuk, hogy egy oldala 2,5 cm hossz1l. Mekkora az 5 cm sugani k rbe í rható szabályos hatszcig teriilete?12. Számí tsuk ki a 12 crn oldalri szabályos hat z g egyik oldala é sa krjriilí rt kcit

llol,z,á í arí oz ve áItal határolt ktirszelet t riil tét

Az rrrga rigy rrrozdult kr nyugalmi lrelyzeté b , hogy alsó vé gpontja a nyugalmlIrclyzcté vcl nrcghatór,oz<ltt egyene t l 8 cm távolságra keriilt, ek zben l cm-tcmclke<lctt. Mekkora az tnga hossza?tJgy l8nt szé les utca két szrmktjzti háza kiiziitt acé lhuzalon lámpát akarunkkifeszí teni. A huzalt a l'alakba lom nragasságban er sí tik. L,egí 'eljebb mennytlehet a tartóruzal hossza, ha a lámpa 8 m-né | alacsonyabbra nem kertilhet?Egy l:25 00O lépték é rké pen 375 m magas hegyre í 'elvezetó egyenes drótkiité l-

pálya 5 cm hosszír. Mekkora a drótk tél minimális hossza a valóságban?Ké t kiir suga,ra l cm. ill. 3 cm; kiizé ppontjaik távolsága 5 cm. Mekkora a k z -

kiils é rint jtik hossza?Mekkora az elóbbi ktirijk k zcis bels é rintónek hossza?

t5.

ró.

18. A 2 cm szárú t egyenló szárri háronrsztig szárai l20o-os sziiget zárnak be. Mekkoraaz alapja?

19. Mekkorák a befogóklroz tarí ozó sulyvonalak abban a deréksz gr1 háromsz gben,

amelynek befogó: a:l0cm, b:24cm?2O. Esy háromszcig oldalai 4, 5 és ócrn-esek. Számitsuk ki az 5 cm-es oldalhoz

tartozó n]agasságot2l. Egy háromsz<ig oldalai a:4 cm, á: 13 crn, c_ l 5 cln lrosszrluk. Mekkora a ter -

lete?ZL ámí tsuk ki a román stí lusrjablakba í rlrató é rintók r sugarát, ha az ablak

szélessé ge240 cm (l7. ábra.'l23. A gótikrrs ablak fels ré sze ké t o|yan ktirí vb l áll, arnelynek sugara egyenl azablak a:50cm-es szélessé gé vel, <izé ppontjaaz ablak té glalapalakí l részénckfelsó két csricsa. Mekkora annak a k rnek a sugara, anrely a két klrí lvot rh n í tlgóví zszintes ablakré szt é rinti ?

A. Eey vizlevezeL árok keresztmetsz,ete cgycnl szrlr trulré e; rrluÓ szé lcsrrlgc l ,Ó m.í els szélessé ge3 rn, ol<lrrlfalai 4 rrr szrllosck, Milycn rrrrlly rrl rlrok'/

25. É gy ompaszrjgtl lri'tlorttsz.(ig litvitlchlr oltlrtlrrr ,1 é l ó ttt. tt 4 lt,t-os oltlrrllroztartozó lrragasság 5 rn. Mckkorn ir hrtl,ntrttlik olrlttl'l

2ó. Egy deréksz g{i hilt,ottrsz(tg bclbgó 50 é s70 nr. l,cslcljcbb rnckkora lchct annak

a 7 m széles té glalilpnaka lrtrssz.(tsí tga, irtrrclynck ké t csricsa az átí ogóra, továbbrcsricsai pcdig a bctilgókra illcszkeclrrck?

tI. Eey egyenl szlrr lráromsz g alapja 15 m, magassága 7 m. Az alap egyik vég-pontját kcissiik tjssze a szemkcizti szár azon pontjával, amely az alappal szem-

kiizti csricstó mé rveharmadolja a szárat. Milyen bosszri ez a szakasz'|28. A 45o-os sz g egyik szárán az O csucstó l cm távolságra ki,iel(ilt ,4 r,ontbenerre a sárra állitott mer |eges a másik szárat á-bcn mct ?l, A2 () ponl l k í ,kéwÁ-ra C, B-re D és C-re E. Mekkoro al Ál]CDl| t(lr(ltí vonul hrrsszu?

T). Esy té glalap egyik oldala 30 cm. Mckkoru az ótlón, hn tcrülctc l mr?30. A né gyzet átlója 0,5 rn. Mcnnyi u kcr letc?31. A paralelogfamn,la egyik sz<igc 45", hosszabbik oldala lOcm, a hozzá tartozá

magasság 5 cm, Mekkora a keríilete?32. Esy né gyzt ktjriilirt k ré nek sugara 44 mm. Mennyt a né gyzet ker lete?33. Egy deltoid oldalar 5 cm é s 6 cm. Mennyi a szin]í netriaátló, ha a másik átlója

8 cm?34. Ecy egyenl szárí t háromsztig alapja 4cm, a hozzá tartozó rnagasság 3,5cm.

Bizonyí tsuk be, hogy e háromsz<ig nem egyenl oldalri35. A k<jrbe írt szabályos hatsz g keriilete hányszorosa a2 ugyan zon klJrbc í rt

szabályos háromszcig kerrileté nek ?36. A ktjrbe í rttrapé z három egymás után k vetkez oldalrr 3 crn. 4 cm ds 5 cm,

Számitsuk ki teriiletét é sátlóját37. Milyen távolró é szlelhet a tenger í blett 16km trragasan lebcgó lé8g mb,

a F<ild su8arát 6400 km-nek vessziik?

7879



38. Milyen messze van a falhoz tánlasztott 2 m hosszri rrjd alsó vége a faltó, ha

í els r,ége 1,6 m magasra kertilt?39. ké tág lé trát alsó részén m-nyire szé tnyitunk.Mennyivel kertil alacsonyabbra

a lé tra felsó ré sze?A lé trarigai 2,20 m hosszriak,,l0. Esy l0 cm sugarÚr lt<irt egy 4 cm sugarri ktir belí ilr é rint.Milyen távol vannak

egymástó a kiir,ijknek a centrálistó legtávolabb es pontjai?

4l. Egy egyenl szárri deré ksz g háromsz<igátfogója 300m, az átfogó vé gpont,jaitó a befogókon lev egy-egy pont 100-100 m távolságra van. Mekkora a ké t

pont k ziitti távolság?42. Egy cloltoid átlónak hossza 15 m é s 7,5 m; a riividebb átló q hosszabbat harína-

' dolja. Mekkor k az oldalsi?43. Mekkora a ktir sugara, ha u beló í rtté glalnp oldalai 4 és 5 cm hossztlak?L4. F;sy deré ksziig háromszrigben a belbgóknak azátfogóra esó vetiiletei:p:4,8 cm

é sq:2,7 cm. Mekkorák a háromszcig oldalai é s magassága?,í5. Egy té elalap egyik oldala ké tszeresea másiknak é s átlója 405 cm. Mennyi

a teriilete?46. A né gyzet valamely cstlcsához tartozó bels sztigé t harmadoló két egyen

metszi a négyzetnek e cs csán át nem haladó egy-egy oldalát. Ezeket a metszé s-pontokat , szek t egyenes az el bbiekkel egy háromsziiget alkot. Mekkora a

nó8yzot teriilete, ha az emlí tettegyenl szárri háromsz<ig szára 10 cm?O. Bsy tóglalnp hosszabbik oldala 9 cm-rel nagyobb, r videbb oldala ugyanannlval

klsobb. nrlnt ogy nógyzet oldala. Mekkorák a té glalap átló, ha a té glalap é s

a né gyzot tertlleté nok esz.ogo 4919 cmt?

4t.Egy deréksz g hóromsz g ótfo ója 65 mnr. Mckkorák a befogók, ha hánya-dosuk 3?

49. Mekkora a hrir abban az 5 cm sugarri kcirben, amelyb l 1 cm magasság k r-szeletet vág le?

50. Egy 25 cm sugarri kcir egy pontjának a ktir valamely átmé rójé nekegyik vég-pontjátó való távolsága 14 cm, Mekkora a távol ága a másik vé gpontjátó?

5l. Egy háromszcig oldalai 77, 5l é s 40 cm hosszriak. Deréksztig -e ez a háromsz g?

2. Hcron-fé lo-e az elóbbi háromsztig?53. Egy egycnl szórrl trapéz teríilete 35 m , magassága 2,5 m,szára 6,5 m. Mekkorák

az alapjai?54. A lOcm alap , 20cm szárí r cgyenló szár háromsziig egyik szfuának felezó,

pontja milyen távolsógra van az alrrp í blczé spontjótó?55. Egy egyopló szár trapé z alapjai 92 és 52 cm, szára 29 cm. Mekkorák azátl6i?56. Rajzoljunk a ktirben két párhuzamos h rt rlgy, hogy azokat a k r ktizé pponüa

ne válassza el. Legyenek ezek a hrlrok l é s 6 cm hosszrlak; a kiiztiik lev távolság1 cm. Számítsuk ki a kiir sugarát ,

Yl. A 36 cm átmé r j kiirbe né gyzetet í runk. Mekkora a né gyzet teriilete?5E. Egy egyenl sáru háromsziig alapjának é s sárának aránya 48:25. Mennyi

a háromsziig ker lete, ha az alaphoz tartozó magasság hossza 35 cm?

80

59. Egy háromszilg alapját a hozzá|artozó magasság 20 és 2l cm-es ré szekreoszüa.zámí tsuk ki a háromsztig másik két oldaí a kiizii a nagyobbiknak a lrosszát.

ha tudjuk. hogy az alapon lev nagyobbik sziig 45o-os60. Esy háromsziig két oldalának hossza a:25cm. ó:30cm, a harmadik oldal.

hoz tartozó magasság m-24cm, Határozzuk meg a harmadik oldal hossátl6l. Határozzuk meg annak a 34 cm-es sugarí lkiirbe í rt é glalapnaka keriileté t.

amelyr l tudjuk, hogy oldalainak aránya 8ll5.62. Mekkora a magassága annak a rombu znak, amclyben az átlók hossza l4cm

é s 48 cm?63. Eey erysé grryikeriilet rombusz átlónak aí ánya-3i4, Halározzuk meg az átlók

hossátil, Esy 40 cm magasságri egyenló szár trapé z kiizé pvonala 45 crn, szára 4l cmhosszrt. Mekkora a párhuzamos oldalak hossza?

6 . Egy egyenl sár,í llrapé zhosszabbik párhuzanros oldalo l0cnt, a boírhatók r sugara 3 cm. Mekkora a másik párhuzamo oldal é su szóro?

66. F;sy egyenl szárri é rintó trapé zpárhuzamo oldal&l lOcnr ós 36cm. ámí tsukki a beí rlrató ktjr su8arátl

67. Mekkora a szimmctriktts trapé z átló|nak lrorrra, lrn alnpjol 4 m é só m, ozárapedig 5 m?

68. Egy deréksz gtl trapóz tompasz 8ét bczáró ké l oldala c8yenló é s a hosszrlságrl.

Adjuk meg a hossznbbik ótló hosszát. ha a hosszabbik alap á hosszrlságri

69. Bizonyí tsuk be, hogy a deré ksziigii trapéz átló né gyzeté nekkiil nbsé ge egy illóazalapok né gyzeté nekkiil nbsé gé vel

70. Egy eryenl szárri háromsz galapja32 cm,a szárak 20 cm hosszriak. Az alappa|

szemk<izti csricsban állí tsunk mer legest valame|yik szárra| Mekkora ré szekreosztja ez az alapot?

7l. Egy deréksz g háromsz<ig átfogóján levó P pontnak n tóvolgóga 0 dorók z 8csricsátó akkora, mint anrennyi a rtividobbik bcí bgó. Bz a P pont Hz átlbgót5 é s30cm lrosszti szakaszokrn bontja. Mekkor k a lr rornsz g oldalai?

12, Egy t3 é s egy lScnt sugar k r k z s htlrja 24cm hosszt't. IJatározzuk meg

a ktizé ppontok távolságát73. N'[ekkora a 25 cm sugar ktir ké í árhuzamos hú rriának távolsága, ba azok

hossztlsága 14 é s 40 cm?74, Egy á magasságri k rszeletet határoló hrir hossza d. hí ilyensugarri k rh z tar-

tozik a ktirszelet?75. Egy k<ir átmé rójé nek egyik vé gpontja egy vele párhuzamos hrir vé gpontjaitóL

18, ill. 84 cm távol van. Mekkora a k r sugara'?

76. F;gy 7 cm sugarí t ktirh<iz annak k zepporrtjátó 25 clrr távolságra levó pontbó|

é rintóket rajzolunk. Számí tsuk ki az é rinté sipontoli távolságótl17. É gyk r AB átmé r jé nek B vé gpontjában é rintót lrí rzunk a ktlrh z. Az órintóegy C pontját zrl_val osszektjtó egyenes D.ben is |ictszi a k rt. Mennyr a ktirsugara, ha ÁD:32 é sDC: 18 cm?

í , Piiagorasz té tele- i(,,,'i 8l



78. Rajzoljunk a krhz egy é rintté sannak egy P pontjában az é rintóre meróoges

szelt.Legyenaszelóé sakrnrctszé spontjakiiziilaP-hezk<izelebbesóneka P-tó való távolsága l0cnr, az é rinté sipontnak a P ponttó mért távolsága

pedig 12 cm. Határozzuk meg a k r sugarát

lq, Vegytint fel két egymást kí viilró é rint ktjrt, é sa kisebbik kiizé ppontjábó htlz,

,uok "oagyobbikhoz é rintt'majd ebbl az é ilnté si ontbÓ az elbbi kiirhtiz

rljabbé rintót.flatározzukmelezutóbbié rintószakaszbossát (r:2cm./t:9 cm)

ti0. Egy fé lk<ir átmé r je 4 cm. Erre aZ átmé r ré meróegesen az áImé í egyik vég,

pontjátótcm-nyitávolságraegyenes|állí tunk,Határozzllkmegezeneg;yene"nok az átnré róvol é sa lé lk<irrc|0lkotott mctszé spontja k ze esó szakaszának

hosszátI8l. Az el bbi feladat megoldása után bizonyitsuk bc pitagorasz té tele í ,elhasználá_

sával általában is, hogy a deré ksz<ig hárornszcig átfogójáboz tartozó magassá,

gá'rrak né gyzeteegyenlaz átfogn a magasság talppontja által lé teítettké '

szakasz (a befogók vetiiletei) hosszának szorzatáváll

82, két koncentrikus k r sugarának kiiltinbsé ge 8 cm. Rajzoljuk meg a naryobb

kórnek egy olyan hurját, amely a kisebb kiirt é rinti; eryen e hirr hossza

40 cm. Mekkora az egyes k r k sugara?

83. l lulyozzí ik el a 6 cnr sugaru fé lkiirbena lehetó tegnagyobb ktirt, rnajd egy kisebb

olynrr kltlt. nnlcly n lé lkrt, annak átmé rójé t,é skiviilró az elóbbl kiirt is

órrnti, Szllnrítrrrlk ki cz ul(lblri kiJr srrgarát

84, ligy cgyonló sz.órtj hórolnsztig ktlró lrl kiir su8ara 5 cm. a háronrsziig alap_ia

8 cm. Mekkorák a hár<rnrsziig szárai?85. Mekkora az egyenl szárr háromsz g k ró lrl k f su8ará_ ha a lráromszti8

alapja é smagassága egyáránt 6 cnr?

86. Egy egyenló szárrl háromsz g alapja 30cm, a sárak 9cnr_rel hosszabbak. Hatá.

rozzuk meg a háromsziigbe írt k r sugarának hosszátlí l7. Egy paralelogramma egyik oldala 51, ké t átlöa 40 6 74 cm hosszriságrl.Sá_

nrltsttk ki a nragasságát

í i8. }izonyltsuk be. hogy ha kél derdksz gíi háromsz g átfogó egyenl k. akkors(llyvonalaik né gyzcliisszeg,c rs cgyenló

il9. Mu{assuk mcg, hogy lra egy <lcré ksz , három ziig átí bgója c, befogót a é só,

az í rtlbgóroz tartozó maga sí tg lr. akkor az n háronrszijg, lnrelynek o|dalat

a* b, m é s c* m, szintón cleré ksziigü

90. Lássuk be, hogy ha egy konvex né gyszi5gátló rneróegesek egymásra, akkorkéGkétszemk zti oldalának né gyzet sszege rs cgyenló

91. Egy kocka testátlója 75 cm. Mekkorák az é lei'

92, Egy té glatesr egymásra mer leges é ler 0. 12 é s'lScrnhossz ak. Mekkora B

testátlója ?

9-]. Szí rnrítsukki a kocka té rfogatát. ha testátlóa 12 cm hosszitl

\2

$.l. Egy né gyzet alapri grjla alapé 'le6cm. oldalé lei mind t0cmhosszuak. Mekkoraa magassiiga?

95. Egy né gyzete grila alapé Ie Ocn, trragassága 16cm. Mekkorók az oldallapokmagasságai?

96. Egy kocka lapátlója l0cm lrossz. Sámí tsuk kr testátlójának hossztlságátl

97. Egy té glaté st apátló : p:5cnr, ./:6cnr, r-7 cnt. Mekkor:a a testátlója?

9E. Adott egy kocka é lé nek hossza. Szcrkessziik lncg a |apaltló, majd a te tát|ó

irosszrlságát99. Szerkessztik meg a kocka é lhosszriságát, lra testátlójának hossza adott

l00. Mekkora a kocka é le,ha felszine 15,36 m2?

101. Mekkora az a, b, c oldalé l é glatest a é lére lleszked átlósí kjának tertilete?l02. Bizonyí tsuk be, hogy a té gtatest egy csí rcsbó induló három é lének s e tátló_

jának né gyzetiisszege egyenl az ugyanazon csrlcsbó,kiinduló három lapátló

né gyzeté nekcisszegével

103. Egy né gyzet alapri girla magassítga n, oldalé lc á, Mckkoln rrz nlapóe?

lM. Egy szabályos hárolrrsztlg a|rrpri g(rla oldulé lci nrcr1 lcgcsck cllrlynrtlsrn é segyenló

hosszí rságriak. Mennyi nz alapltrp tcr,(llctc, |tn ttz tlltlnlrllck 5 cnl lrossz ak?

105. }Ia azel z8 felaclalban tcírt gí rla itlilptcrillclc l()cnt', nkkor rnr:kkorík azoldal,é lei?

x06. Mekkora az e8ycncs kijrkrip (lor8lrskí rp) nlagassága, lra alkotója l0 é salapkciré nek sugara 6 crrr'/

|,a7. Azegysógnyi szakasz rnegadása után szerkessztik meg a l2 egysé enyihosszrlságtl

szakasztn08. Szerkesszíink egy y'3 hosszriságri szakaszt

l09. szerkessziink ké t adott né gyzet teí eté nek iisszegével egyenl<5 lertilet né gyzetetl 10. Szerkessziik meg azt a né gyzetet, anelynek teriilctc egyenl(l cgy ntlott té glala|r

teriiletévelI]] *l. Szerkessziik meg azt a kiirt, anrclynck lcriilctc kél ntlolt kiir terÍllcté nek szeget

ltz. Szerkesszí ik nleg azt n k rt, anrelynck terr]ilctc cgy rrrcgadott k r tctiiletének

ké tszerese, l3. szerkessztik rncg azt a né gyzetet, anrelynek teri-llete megegyezik harom meg,

adott né gyzet teriileté rrek osszegé vel

114. Mekkorák lehetnek annak a deré ksztigháromsziignek az o|dalai. amelynek

egyik befogója 12crn, é s a másik ké t olda rné rté kszánra s egész szám?

X15. Alkossunk olyan hár,omsz get. arnelynek egyik magassága B cm, é soldalat

cm-ekben kifejezve egész szánrok

83



1



t3. Az inga ré gié s helyzete olyan deréksz g lráromsztiget határoz meg, ame|y-

ben az átfogó az / ingahossz, a befogók egyike a 8 cm-es kité ré s,másika az

1 cm-es emelkedés miatt /- 1, ezé rt

F : 8'-|-(/- 1)r : 64* l2 -2l*l,vagyis 2/:65, amibií l /:32,5 cm.

rl. olvan deréksziigháromsztiget kapunk, amelynek egyik befogója 9 m, a másik

legfeljebb Z m, átfogója a tartóhuzal fele,

Tghát, ezt i-val joltilve:u

-yFlzz : 9,22 (m),

í gya huzal rnaxinróig l,tossza l8,44 rn lehct,

l5. A hegy ,,maga sá8a a té rképon"csak 37 500:25000: 1,5(cm); atetejé reve,

zetó drótktité lpáIya 5 cm_es hossza pedig a valóságos pálya vettileté nok hosszri,

sága. Tehát a valódi pályahossz a térképen

h: |T,s,+s, : {n25 : 5,22 (cm),

a valóságban pedig legalább

5,22cm,25 000 : l30 50O cm : 1305 (m),

ló. Tcrljuk ol az érint t nmagával párhuzamosan a kisebbik k r k é ppontjáis

(48, óbru); a nycrt deréksz<ig háromsztigbó

6 *11 5l -2l - í a * 4,6 (cm).

19. A befogókhoz tartozó s lyvonalak felezik a befogókat, tehát olyan deré k Zijg

háromsziigeket homak lé tre,amelyeknek átfogó a srilyvonalak, befogó a meg,

felel befogók fele, illetve a másik befogó (ké szí tsiinkábrát ). Tehát

," : {;G : |24, + 5, : { 60l : 24,52 (cm),

illetve

,, :l[1f - n^- t5,62 (cm).

20. A magasság az Scm-es oldalt ogy x é segy 5-r hosszr]rságri szakaszra bontja,

ezekkel é sa hárornsztjg másik ké t oldalával két deré ksz g háromsz get alkot,E háromsz gekre Pitagorasz té telét lkalmazva:

m2:42_x2: 16-xr,illetve

m2 : 6'_(5 - x)2 : 36_25- xl+ 10j ll -,rl"|- l0,r,

é sezek egyenlósógc nriattló*xr-. ll-,tll l0,r,

varyis .r:0,5, s czért

,n - /ió-OJ, : |/l-ó-OiS : |Tfis x 3,97.

21. kiszámí tjuk a leghosszabb oldalhoz tartozó maga ságot. Ez a háromszoge t

ké t derékszijgháromsziigre bontja, tehát

m2 - 42_X2: 16_xi,e

m2 : 132 _ (l 5- í )2= 169 _ 225 _ x',F 30x =, 30x - xr _ 5ó,

azaz x:2,4, s í gy

A ter let tehátm: |G:í ió: tlrafr e 3,2 (cm).

7: :YY- 24 (cm").'2z48. ábra

17. Azé rlntí gyanilyen eltolásával trrost

, e: /s,1l+ t10 : y'í = r rcm).

t8. A háromsz g magassága feleakkora, mint a sára(miért?),

lta az alap felé t a-val jeliitjiik:

a: {F=T - 1fl x t,7,

s ezórt az alap 3,4 cm.

Bí l

tehát l cm. í gy

x2. Ha az é rintók r ugarát rrel jeliiljti,k, a 17, ábra szerinti deréksz g három_

szirgbó(r460)l : 60l* (l20-r)r.

A né gyzetre emelós elvé gzése után

amibó r:40 cm.r: + 60 l- 120r : 60| * l20| -|,,r| -24or,

87



É rintóktlrtik k zé ppontjait tisszek<itó egyene szimmetrí aokok miatt átmegya k riik k z s é rinté sipontján. Í g_v, r-ret iel<ilve a kere ett sugarat, a 49. ábraaIapján

(JO-r) - r2*25z,

a7a2

scbb l

tchát r: lE.75 cm.

24. A méIysé g

49. ábra

2500*r'-1OOr: 12*625,

lftr: l875

. =l[;W = /16:0A9 av 3.94 (m).

I

i

l5. Ké szí tsi.ink ábrát A keletkezett egyik deréksziig háronrsz gbóI az ismereticrbefogó

x : /o,* 5, : |í 615 = |TÍ - 3,32 (m).

a mó ikban tchót 4 + 3,32 : 7,32, s í gyaz átfogó

c * l n,w * |zs+Sl'j - V1*= 8,8 (rn).

16. A hasonlóság miatt, az 50. ábra alapján

amibó x:7:7O:5O

x : 49:5 = 9,8 (m)

T't&.^r'.rl \t

l

éy17 : 5a:70

ebbó pedig y:5, tehát )c*y - l4,8. Az átfogó:

/50,+70, - /r5mT7r00 : |14ao: 10.8,6 : 86,

vagyis a té glalaphossz: 86- l4,8 : 71,2 (m).

50, áhra

2?. Kicsinyí tstik a háronrsziig lbtót az alnp cgyik vdgponlinnOr | -ara; n, (li maga ,

2 14 lsz.ác í .7: T,. fél alap pedig -.-:, : 5lesz. A keresett szakasz tehát

':| (+)" ot.''-', x /ag|lg, ec ll (m),

2E. MivellB: l,BC:2,CD:2, DE:22,azé rl a t raitt vonal bossza 3cnr*3y'2crr,29. A másik oldal l:0.3 : 10/3 (m). tehát az ótló

,: /.J.;-eI - /;r* T - /iu}' - ].rol : 3,6(m).

30. A né gyzet olcla|a 2aa:50':2500 alap.ián

a : |l t250: l0 y l2J : 353 (cm).

3tr. A magasságoí megrajzolva egy egyenl sárri deré kszog háromsziiget kapunktehát a paralelogramma riividebb oldala

s í gykeriilete a: |/5"+y - 7,0? (cm).

/r : 2(l0+ 7,07) - 34,14 (cm).

89





a hosszabb pedig

ö : /m1+3J5, : Vu4 * l0,7 (m).

43. A té gia|ap átlója a k í átmérdje. Tehál

s í gya sugár ,:r,r::./16+8: ln :6'40 (cm)'

44, Azátí ogó 4,8+2,7 : 7,5 (cm), a befogók pedig

a: |a,8:75: y':6 : 6 (cm)

t : |z.,l.j,s : /10,25: 4,5 (cnr).

A háromsziig teriilete_ ab 6.4.5l, :

T: -;: l3,5 (cmi),

tehát a magassága2T 27-: ls: u:3,6 (cm),

4 . A két oldal <isszege 60, tehát ha az egyik x, a másik 2x, Pitagorasz té tele szerini

x,+(2x)e: (/a05)' : a05,

5;l* 405,

s ebb l x:9. Az oldalak tehát 9 cm é s 8 cm, s a tcríllet ezek szorzata.46. A lráromsz<ig oldalai a né gyzetb l három deréksziigii lráromszciget vágnak le.

Ezek kiizril egy egyenló szári,a másik kettó egybevágó. Ez utóbú iat birmelyi-ké nek átfogója 10cm,.egyik befogója 5cm, a másik befogó a kere ett né gy.""oldal, Pitagora Z té tele szerint

a2:lO2-52:75,tehát a né gyz.ct lcrí ilcte 75 cnrz.

47. Ha a ndgyrct oldalát a-val jel ljük, a té glalap oldalai a*9, ill, a-9cm-eseklcsznck. ]I'crillctiik,tlsszcgc :

Ebbó_la'*(a*9)(a-9) - 4919.

2ar:5000,

tehát a:JO, s í gya té gíalapoldatai 4l é s 59 cm-esek. amib l átlója kisámí tható:

d : |419+59. : /168t+348l : y5162^,

72 (cm.).

92

,l. az egyik betogó u, a máisik -,iíJ. tch.it

a2*(3a1, : 65e,,

a7az a : {@3 x20,5 é s 3a : 61,5 (nrm).

t9. Legyen a h r fele á. Akkorh2 -r 4, : 5r,

tehátah r6cnr.5{}. Hivatkozzunk Thalé sz tételére;

d: |51j;:gz : |Tffi:t%: /Eu: 48 (cm).

5l. Nern, mert

40'+ 51s : 1600+2601 : 4201#5929:772.

52. A teghosszabb oldalhoz tartozó magasságot ,ieltiljiik lrr,ntcl:

,fl, = 5| -xu : 40 _._(77 *í)I.

A né gyzetre emclé s ctvógzé sc ós lcntlozós trtdn,t,45cnr, lclrill ll 1,11o81l|t,i|i]

m ., |160l -2|Jz5 -. / stt, ^ 24 (cnr),

s ez már elegcnd ae igcnló v laszlroz.53. A kiizé pvonnl: /r ,=, 35:2,5 : 14, tetrát a párlruzamos oldalak <isszege 28 n,

A szár, a ntagirsság é saz alapok kiiltinbségé nekfeie - jeloljijk ez utób ,

.x-szel

-

deré ksztigíi lráromsz get alkot, tehát

6,52:2,52tx2.innen

x _ |lzx:d,x: y'3o -* 6 (nr).

vagyis az alapok l<r'rliirrbsé ge l2 nr. Az cgyik nlirp tl, l lrlrlsik 20 m.

54. A szár í 'elezé spontj/rbó lt[rzzunk párlruzamclst az alappal; c,z í 'elezila magassá,

got. (Mié rt?)A keletkczctl <lerékszcig r lráronrszcig egyik befogója a magassá;t

fele, a nrásik az alap negyedrésze. Szánrí tsuk ki a magasságot

m: |/20r_y : |'4aa{.5 : |375 * 19,36 (cnr).

lvíost már

d: |z,5r*r* : l '625+%m * /l00 - l0(cnr),

l,{egjegyezzí ik, hogy a hasonlóság alkalrrrazí rsával crlné l gysz.cl rb[r lttcgoltllisl

is kaphatunk,55, Meglratározztlk a magassí l8ot:

- f - -rm- <i'r*m:|f zl,-|="") :|2g,,29l . /tl4l_40{) |44l ." 2l (cm)

93



Az átló tehál

d : |/ m\{gzl.W . /441+nu : { sds : 75 (cm).

56. Legyen a hosszabb h lnak a k zé pponttó mé rt távolsága d. Akkor egyrészt

r2:32ld2,másré szt

12:22+(d+l)r,tchát

9,|d2:4+d2+l+2d,

alaz d:2, s IEy ,-|9l4:In -3,61 (cm).

57. A né gyzet teí ülete, tra Ódalát a-val jel<iljíik, a', (ehál rnivel

amibó x:4, tehát az oldalak lrossza a:15.4cm : 60cm é s á - 8.4cm - 32cms í gy keriilete 184 cm,

62, Az átl k metszé spontjábó az egyik oldalra bocsájtott tner leges a rombusz

rnagasságának fele, amelv az oldalt egy xés e1y a-x hossz ság szakaszra

bontja. A rombusz oldal|rosszris/rca gz átlók rner legessé ge miatt

a: /7,+u, : /q9isj6 = /sn - zs,tehát egyré szt

másré szt pedig

amibó nyilvánva|óan

49 -- xr - 57(l -- (l25 l 5().t - xl,

s í gyx: ,96 cm. Etlnek islrrcrctórctt

ní-4, : 49- 1,96r : 45,16,

vagyis a magasság m:13,4cm.ó3. Ha az egyik áll 4x, a másik 3x, akkor mivel a rombusz átló meróegesen felezik

egyrnásto,25' : (2x)?*(1,5x)B : 4x2 * 2,25xg : 6,25xl,

anribó x':0,0l. vagyis x=0,1, s í gy n rombusz lló 0,3cm ó 0,4cln hoc zíl,ságriak.

64. A nnagasság által a hosszabbik alapbó lernctszctt szaka z:

x:l/a1l-ag,:/u:g"

í gya k<izé pvonalbó számí tva, b:45-9: 36(cm) é sa:36*18 : 54(cmt.ó5. Legyen a rrividebbik párhuzamos oldal fele.r, Kirajzolva a rnagasságot, a sárra

azt kapjuk, hogy á2:63*(5-x)'. Másré szt a szár mint ké té rint sz-akasz

sszege 5*x hosszriságri (mert kí ils pontbó a k rh z lrrizott ké t é rintósznkasz

egyenló hossztjság ), í gy

(5 + x) : 6l ,P (5 * x)l.

Aínibó x:1,8cm, telrát a riividcbbik 1lí rrlrrrzanros oldal: 2x:3,6 cm, a szfupedig ó : 5+ 1,8 : 6,8 (cm).

(+)':7a- x2 :49_x|,

(+)' :242-(25_x)1,

azé rt

58. Feltétel szerint

2a2:362:1296,

T:a2:648 (cm2).

48a:==b = 1,92b,2)

tcllrlt rr nrrrgrtssr'igbó

u ,,, I t,',- 1tl,xit)l; = trí ,olsilF : o,28b

szcrint ó:l25 é sa:24O, s í gyu koliilct: k:490 cm,

59. Lla az alapon lev nagyobbik szcig 45"-os, akkor az alapon levó másik sztjg

kisebb enné l, tehát az alappal szernkcizti sztig nagyobb 90"-nál, s í gyaz alapa leghosszabb oldal. Ennek hossza 20cm+2l cm : 4l cm.A másik ké t oldal k zril a hosszabbik a 45o-os sziiggel van szemben, Kirajzolvaaz alaphoz tartozó magasságoto ez olyan két deré kszogií háromsztigre bontjaaz clc(leli hár,omsztiget, amelyek kozul az egyik egyenl sáni. (Mié rt?) Így a

kcrcsct( oldala * /aoo+lu : |ul: 29 (cm).

ó0, A htrrnlatlik oltlnllroz llrltlz{r lrragasság talppontja azt ew q é segy c, hosszri-ságti szakaszra bont,ia. Lzck

c,: |625-576 : 7 (clrr) é sc, : /í Oti':5i6 : 18 (cm),

tehát a harmadik oldal c : cr* c2: 7+ 18 : 25 (cm) hossztiságri.tí i.Legyenek a té glalap oldalai 8x é s 15x hosszriságriak. Mivel a té glalap átlójaakór átmé r je, azé rl

L)4

68' : (8x)'*(l5x)2 = 64x2*225x2 : 289x2,

95



67.

68.

6ó. Az el bbi feladatban szerepló irrdokalapjánasár 5-|-18:23(cm), s rnivel a

magasság a beí rható k r sugarának ké tszerese:

(2r)' : 23z- 13 : 360,amib l r:9,48 cm.Rajzoljuk meg az átlót é své gpontjábóI a magasságot A keletkezett egyik

deréksz<ig háromsz gbó a magasság né gyzete: m': 5?-Lr:24, tebát az

átló hossza d: |F+zn: Ia9:7 km).Megrajzolva a meróeges szárral nem azonos magasságot:

^l * al - (b - a)r_

a8 - b2 +zab_ a2 : 2ab_

bz,

s mivel a mer leges szár né gyzsle ugyancnnyi, az átló ho sza:

d :,|FT-, : /2rb.

Legyenek az átt k e é s í , a párhuzamos oldalak a é s b, a mer leges szár podig ,:,

A két deréksz g háromsz gbó

é : a2*c2 é s f2: b2*c2,tchát valóban

e2-fz: b2-a2.

70. ,|urzn (iuk nz, 52. óbí lt iclttlé scit Az ADC deróksz<igűr háromszcigb i

d29x\_2ol*x _400.

52, ábra

Az ATC deréksz g háronrsziigbót pertig

m2 : 202* 162 : 144,

s vé giil a CTD deréksztig háromsziig alap.ián:

d2: m2 (x-l6)z : l44*x2-32x*256 - x2*32x*4&.

Í g d+t ké tféleképpenejeztllk ki, tehát

x -400 : x2-32x*400,

amiMl x - 80O:32 : 25 (cm) é s32-x : 32-25 : 7 (cm).

7t, Az átí ogó 35 cm hosszr . A deréksziig csricsábó bocsáott z magasság talp-pontja a5 cm távol lesz a rijvidebbik befogónak a derékszcig csricsátó kiiliin_b z vé gpontjátó. (Mié rt?)Ha a r videbbik befogót a-yal, a lrosszabbat ó-veljeltiljiik, a nyert kót deréksziig háromsz gbó

tf : a2*2,5': a'-6,25 é snr: b1-32,5': b'-1056,25, .

tehát a2-6,25: b2-1056,25.

De ugyanakkor az eredeti nagy deé ksztig háromsztigb l

b2 - 35r_al = 1225 _al,s í gy

a'- 6,25 * 1225 * a|.* 1056,25,

tehát a befogók: dnl9,35 cm é eó^r33,7cm.Eryszer bb megoldósí kapunk, ha a mórtanlk zóp-tótelt haszná|uk

a:|/z,s.ls:s,lsb: |lr,5:l5 : 33,7.

72. Azábta elkészíté sévellyan háromsziiget kapunk, amelynek oldalai a két sugár, é sa centrális, a centrálishoz 1artoaó magassága a h r fele, amoly a contrói l

ery.r es egy / hossaiságri szakaszra bonüa. Bzok hossza:

í : /l3i=l2[ : 5 é s ;, _ /í í i-*iií - l,tehát a kiizé ppontok távol é gad : 9,15 : 14 (cm).

73. Legyen a k r ktizé ppontjának a hriroktóI mért távolsága é d2. Két olyanderéksz g háromsz get nyertiink, amclyeknek befogó dté s dg, illetve a h rokfele, az átfogók egyenl6k a k r sugarával. Ezekb l

dr: |/25r_7, : {T6 : 24,

d,: í 25,-2ü : \lzx : ts,

tehát a párhuzamos hrirok távolsága d : A*da - 39 cm, lra a k zóppont olvó-

lasztja azokat, é sd: dt-ds: 9 cm, ha nem.

69.

é

á

74

7 Pitagoft 2 té tclc- t9979í r

a2 a|7t - (r-h)1+ o

: rz-2rh-|-h|*T,



amib l

\ 7o,h*O'.28h75, K ssiik <issze az átmé rt5 másik vé gpoDtját a h r hozzÁ kitzelebb es6 vé gponl_

jával, Ez az ti zek t szakasz is 18 cm hossz tesz. s egyben Thalé sz té tele

é rtelnré bendéré kszg háromsztiget nyerttink, amelybó

(2r)2 : 842+|82 : 7056+324: 7380,

tehát a ugár r:43cm,7ó. Elé g a keresetl távolság felé vel foglalkomunk Jelirlitik azt h-va|, az é rintó szakas7

hossát +vcl, amikor is két doréksz gíi ráromsz gbó

h2a7r_x2*49_xr"é s

h2 : e2_(25_ x)2.

majd egy harmadikbóe2 : 252*72 : 625- 49 : 576,

tehát49 - x2 : 576 - 625 + 50x - x2,

unribó x= 1,96. s igy a kereselr távolság:

24 ^ 2|49-L9(l * z|4g=í fr: t3,4"

A mé rtanik zép sszef ggés alkalmazrlsóvrrl egyszer btr a megoldás. K<izvet-

lentil adódik, hogy 'Ir-25x.amib l x:1,9ó.

n. Ha BD-t h-val,. BC-t e-vel ielijli k akkor Thalé sz é teléts felhasználva:

(2r|2 : 322 + h2 : 322 + e2 - l8' = 32' * (32 + t 8)' - (2r)'- l8r,

arnibó r*y'ffi*20(cm),78. K sstik tlsszc a szrló é s a ktir azon metszé pontját. amely P-hez kiizelebb esik.

a k r kllzé ppontjával, I{qizoljuk nreg a k rnek az é rintóvel párhuzamos át-mórójé t é saz é rinté siponthoz tartozó ugaral i . A nyert deré ksziig három_szt gb I

tl - (r- lo;a*rr' * r'*2M_2ar,tehál r:12,2cm.

79. Ha a nagyobbik k<ir kiizeppontját sszekiitjtik az é rintesr ponttel, é snregrat-

zoljuk a centráli t, akkoí két deréksz g háromsz gbó

é q

e : V x2 - ?' : | 40-4 : 6 (cm),

ahol x jelenti az el szór raJzolt é rlnt zaka zt.8(}, Legyen a keresett szakaszhossz m. A kcir n lev vé gpontiát k ssíik ti sze az

átméró valamelyik. mondiuk a hozzá ktizelebb esó vé gpontrával; |egyen ezaz tisszekiit szakasz r. lsmefl té telszerint h'* 1.4 - 4, tehát m: |/'4 1 ::/3 (cm).

8l. l.egcn az egyik befogó a, az átfogóra esó vetillete q, a7 átlo$ó urá lk szaka za pa deré ksziig csticsábó induló magasság z. Mivel

azé rtc akugya o d: c@+q): Pq+q,'

m7 - d_q2 : pq*qg_qz :pq.

82. Két alkalmasan rajzolt sugárral

lt' - 13+20' * (rt-8)l+400 _ /P- l6rt-l 4ó4.

amibó| fi:29 é sr:,P-g _ 2l (cm).

83. Felhasználjuk ismé t azt, hogy o8ymásl é rintóktlrók kttzlppont|ait tlsszek tóegyene átmegy a k r k é rinlé gipontián. lgy az 53. óbra szerlntr ké t deré tsztigbáromságMl:

(6- r)2 * 14 4 7a,

53, ábra

é 3

(3*r)2 - rr*(3-rF,teMt

(a- ry-r' = 1f { r)r-(3_r)r1

amibó] a né gyzetre emelé s slvégzé seután

x2:(9t_2)2_92:4o,adódik, ig} r= ],5 grD.

3b-llt : l2r

99

/i



, i.84. K sstik iissze a kiiriilí rtk r k zé ppontját az egyik sár két vé gpontjával _ ezek

sugarak lesznek - s az alap felezé spontjával..í rgyenez utóbbi szakagz d.

s jel ljiik aszÁral ó-vel. A két deréksz gií háromsziigbó

d :|7fEÍ 6_ 3 (cm) á9 b : |Gi§T4,- /80 : 8,94 (cm).

85. Miké ntazel6z feladatban:

r* : (6*r)'*3' : 45-12r* l'.tehát /:3,75 cm.

86. RajzoUuk meg az alaphoz tartozó magas ágot (átmegy a beírt k r k zé pponrti

ján ), é sk ssük sszo a kiizé ppontotaz egyik sáron levó é rinté polttal.Két deré ksz g{t háromsz get nycrt{lnk. Az egyikbó a nragasságl

m: /3i=r51'= |7IE6: Jó (cm),

a másikMl pedig

8?. A paraleto8ramma valamellk oldalának (szemlé letesebb álqrát kapunk, ha al, egyik r videbb oldalt választjuk) vé gpontjaiMlbocsájtsunk mer legeseket

a másik két párhuzamos oldalra. Ezek az átlókkaI deréksziigháromsz geke|

nlkotnak. Ha x-szel ielirljiik két segé degyenes nk távolságát;

m| n 14|-(5l*.r)r - 5476-26U - l02x-x2,é t

m| r 40|-(5l _x)r

-1600- 260l *l02x-x|,

tehátl: 19 cm,

uî6617n:{rt6: 24 (cm).

$8 Az átfogóhoz í aítoz rilyvonal az átfog6 fele í Thalé szótele ), a másik kettöpedig deré kszirg háromsz gekb l sámí tható, Í gy

,^-ll+*. = {;4, ":f.amibó

+rii+r| - *r,***T*r'- },o,*u"1*,, = 6r" =^(+)"

-+,s ez csak a c átfogótó ftige.

,,l9, Egy háromsztig akkor é s csakis akkor deékszg , ha é rvényesrá Pitagoraszté tele.

Felt sziik

tehát,ltogy

azaz,hogy(a*b)9*m2 * (c*m)2,

a'*b?*?-ab * c2*2cm.

l00

Ha az egyik oldatbó ar*bl-t, a másikbó-.cr-t elvesziink, akicor egyenlóketvesziink d, s í gy továbbra is

ab#cm.

Ez pedig nem igaz, mert mindké t oldalon ugyanannak a deré kszóg [árom-sziignek a ké tszeresteríilete áll, amj nem lehet ktilirnbtiz ,

90. Legyenek az oldalak: a, b, c, d; az átlószakaszok pedigl x, y, u, t, Akkor

. a^+c2: (.r3*or)*(.7l+rll) - (xl*/l)*(rrl* pr) = bl*dr,

ami állí tásunkat igazolja.

9t. 3a2:752, tehát a : y'Ts7s cm.92. d: |WTTrrw : |re: 21,68 (cm).

93. OldalhosszrtsáEára 3a' : 722 : l44 a]apján,. a2 : 48 qn', tohát a té rfogata

Y : as :".a

: 1/u.a8 _ 6,93.48 - 332,64 (cnrl').

94. Az alapné gyzet áflójónak felc, az oldalé l é sn toetmagasoá8 dorókgz 8 három-sztiget alkot, tehát d.vel jol lvc a, átlót|

,-|ll;;;-"W ,

Mivel pedig a né gyzct átlója: d - Yffi - 6|2 /rc;m), azért

rrl : /too_ ts : /u :9,06 (cm).

95. h: /i6r+ 5, : /2u - 16,7 (cm).

96. A lapátlóbó az oldalhosszrság né gyzcte a' _+= 50, toh t a tostátló:

d - Vtr * y'm * 12,25 (cm).

[+ : í B 1.42(cm,l.7" d:

98. Az é lhosszrlsággat mint befogókkal rajzolt egyenl sánj cleréksz gűr három-sz e átfogója,lesz a'lapátló. A testátló annak a deréksógű lráromsz<ignek azátfogója, amelynek egyik befogója az oldalé l, másik a lapátló.

99. Az el bbi í eladat ábráját nagyí tsuk vagy kicsinyltstlk tlgy, lrogy tootótlója

a megadott szakaszba nrcnjen át100. A felszí n:6a^=75,36, amibó n-1,6m.101. Az átlóslk otyan té glalap lesz, amelynek egyik oIdala a,amárlk pcd|g cgv Á é sc

oldalri té gialap átlója. Ez utóbbi /}r+ct, tohót a kcrosott torülct i 7 : al b" +-a.

25+36+49)

5r+62+7?

10l



l02. Az é leket a-val, b-vel, c-vel, a testótlót d_vel é sa lapátlókat p-vel,q,val, r,re|

jel lve:

(a2 + b2 + c2) + d2 = (a2,|- b2),| (a2 + c2\ + (b2 + cz7 : p2 * q2 * rt,

l03. Az m magassáE, a á ol<lalé l é s az alapné gyzet d|2 fé lát\ójának feie derékszcig

háromsz get alkot. A né gyzet át]lóa d: ay2, tehát az alapé l:

a : |Tt'_ztn'.

104. Az általánosí tott Pitagorasz-té tel szerint az oldallapok teriileteinek né gyzet-

cisszege egyenló az alaplap tertiletónek né gyzeté vel, ezert

l25\2l |;,|

: rrAmibó az alaplap teriilete

r : Ieea;ls: 21,6 cm'.

105. Ugyancsak a té rbeli Pitegora zté telre hivatkozva:

lo0: 3 (T)',Ichrlt nz oldnlé lck:

á:3,4 (cm),

l0ó. A lrillonl adat dcl, ksziií Jfi hór,onrsziigcl hittároz meg:

m-_|ig'- 6"=8(crrr),

07. szerkesszíjnk otyan egyenl szárú r deréksztig háronrsz get. amelynek befogó

az egységszakasz,Az átí og, /2 Lesz.

1il, /3 annak a deréksztig báromsztignek azegyikbefogója, amelynek átfogója 1f2,

a másik befogója l hosszegysé gnyi.l09. A kél adott né gyzct oldalhossz ságával mint befogókkal rajzolt deré kság

hárorrrszilg tltfogó.ir'rra emelt né gyzet lesz a megoldás.

l10. vcgyiik fcl a lé glalap hosszabbik oldalát: a_t, é segyik vé gpontjábó mé rjiik

vissza n nrásik oldalat: b_t, Az u oldalra rajzoljunk fé lkirrt, s a á szakasz vég_

pontjában állí tstrnk nrerócgcst a_ra. Ennek a fé lkcirrelvaló metszé spontját

kijss rk rjssze a á szakasznak az a szakasszal kcizcis másik vógpontjával. Ez az

utóbbi szakasz lesz a keresett né gyzet oldala, Indokoljuk mes a szerkeszté s

helyessé gé t11l. A ké t adott kiir átmé r jé ve|,mint befogókkal ra_izolt derékszcig lrárorrrszog

átfosója lesz a szerkesztend kor átmé r je.

ll2. Az el bbi feladat ké t adott k re most egyenl srrgarí l.

l02

l13. Két né gyzetoldallai mint befogókka deréksz gií háromsziiget szerke ztíink,majd egy másikat, amelynek egyik befogója az tmé nti háromsz g átfogója,másik pedig a harmadik né gyzetoldal. Ennek átfogója a szerkesztendí aé gyzetoldala

l14. Tanulmányozzak át a pitagoraszi számhármasokra vonatkozó í ejezetet Fel-té tel szerint 4mn:l44, azért mn:36, anri né gyzetsám. A k vetkezó e teklehetsé gesek:

í 36],:lliiaminek megflelel en

tehát a kijvetkez háronrsz<igeket kapjuk:

I. a:12, ó:35.

,-Iii( 37: í 35i

--,:iili ,-":l'í i

2. a:l2, b-l6,3, a:12, b-9,4. a:12. b-5,

c_ 1l7l

c_ 20tc_ lJlc_ l3.

Pitagorasz té telé velmcggy z clhetiink arró, hogy ezek mindannyían deré k-sztig{iek.

l5. sszeillesztiink egyenl oldaluk menté n két olyan deréksztigii háromsztigcr.amelyeknek egyí kbefogója 8 cm, é s tirbbi oldalai is egé szek.

Mivel 4mn:64, azértmn: t6. s í gy csak a k<jvetkezó kót e ol lchet é 8c

,,* {, i ,-lL:A ré szháromsziigek oldalai tchál 17. 15, B é s 0, 6, 8, s lgy kapjuk a lQ 17 é s2l cm oldalí r Heron-fé le háromsztiget.

l03



zÁnószó

Apitagorasz_té tel

tanutmányozása,mint az eddigiekb l is láttuk,

me sze vezet, s egyáltalán ncm mertil ki az a2 l b2 : c2 tisszeftiggé sberr.

Az volt a cé lunk, hogy felhí vjuk a figyelmet a pitagorasz_té telnek más

té telekkel váló egységé reé s tisszefí iggé seire,annak a matematikában

é sa gyakorlati é letben való alkalmazhatóságáta s a logikai készséget

fejleszt hatására. A tirbb száz ismert bizonyí tásbó] csak a legjellem_

z bbeket mutattuk meg, de mindenki el tt ott a lehet sé g abbak

találásfua vagy legalábbis keresésé re,s ez szinté n hasznos tevé kenység.

A feladatok ziimmel sí kgeometriaiak, ám elé ggéváltozatosak ahboz,

hogy é rdokossógilket megí tizzé k,é sa té rgeometrial feladatok megoldá,

sára elóké gzltgonek. Minden feladatra csaknem teljes megoldá t adtun]<,

abban a rcmé nybcn, hogy oz az náltó feladatmegoldásra való t rekvé st

ne@ veszé lyezteti,de a megoldások tanulmányozása, illetve a saját meg_oldásunkkal való egybeveté se felté tleniilhasznos lesz, Né hány kérdé st

azonban még 1gy is nyitva hagytunk, hogy az nállóságot ezJz,el is fokoz_

hassuk. Remé ljtik, hogy az é rdekl dé ste szé p té mak r iránt sikerí ilt

felkelteniink, é sifj olvasónk kedvet kaptak a matematika más problé _

máinak tanulrnányoására is.

l

i

l04

T.A.i{TA.L OMJE G YZEi,K^

El SZó ."t""""l. Pitagorasz té teleé sabozá kapcsolódó problé mák.

1. Egy gondotatébre ztó kí sérlet . . .... ..2. Egy sejté st fogalmazunk me8 . ..3. sejté itrkb l té tel esz4. Választ adunk még egy kérdésre5. Felbasználunk egy é szrevétolt...6. Né hány szó az átdarabolósró .

7. Bolyai Farkas té telo8. Pitagorasz té tele .. .......9. Pitagorasz é Iete é smunkágeága ..

10. A Pitagorasz-té tel r vid t rté nete

11. Iljabb problé mameriil fel

13. Egy feladat.t4. Egy bizonyí tási feladat, .....i.15. A Pitagorasz-té te] alkalmaá a testekrc16. Pitagorasz té telé nekegyik óItalánosltása ..1?. A Pitagorasz-tétel számoló nomogranrja18. Egy kis vi szatekinté s ....19. Né hány rijabb bizonyí tás .. . ,.2O. Egy bonyolultabb bizonyltás21. I]j s z ftiggé srebukkanunk ,...22. Bizonyltás a hasonlóság alapján.23. Hippokraté sz holdacskái24. az á)talánosabb sszefiiggé s bizonyí tása

25. Pitagorasz té telé nekáltaláno í ása

26.,,Patkettázá "..... ..i....27. Pappus tét le .28. BizonYitás Pappus tételével

29, Bg rijabb bizonyí tá,.. . ..30. Pitagoraszi számhármasok

J,l

79lll3l,l?l9n,24252,1,

33

3531

38q)

4243444"l

48

5l{?

57

ó0

62ó3

65

66

l05



3l, A tétel és megfordí tása ,.,,,32. Heron problé máia33. Egy ,,magyar'o bizonyítás34. Egy megoldatlan problé rna

lt, Feladatok é s megoldásukl. Feladatok2. Megoldások

Zárószó ..,,......"..'fáblózatok

Né gvze(láblá?al, .

.....Né gyz tgy ktáblázat ,

ó8

70,l3

,l3

7818

84l(x

AJÁNLJ|JK^z

ÁrrarÁNos ISKoLAISZAKKÖRI FÜZET SOROz.ATALÁBBI rÖtntnrt:

Szóré nyiné Karualy Valé ria

Aritmetikai é sgeometriai feladatok

Matematikaszakk rt vezet tanárok é sa nrntcmatí kí rlkcdvclt5 rliákokszámára ké szí ilt zakk ri fiizet. Tartalnrazz cgy tané v tcl.icls szakkiiri anyagát8. osztályosok sámára a szerzl\ olké pzelé scszcrint. Vótozatos aritmetikai,algebrai é sgeometriai feladatok k vetik cgymóst, tclctflzdclvc rnntcmatika-tcirté neti ré szekkel. Jó felhasznóható általónos iskohti, cls(lsorlran 8, oszt lyosmatematikaszakk<ir anyngí tr|, clc sikcrcscn lbrgothatja tirrállóan is az a diák.akit é rdekel a matematika.

Dr. Molnár rózsef

Matematikai versenyfeladatokaz általános iskolai tanulók szirrnára

A k zé piskolások számára kiadott ,,Matematikai Versenyté telek" c. kiad-ványhoz hasonló cé llal ké sziiltaz általános iskolal tanulóknak ez a szakk rt

fiizet. Feldolgozza az 1955-ben a .,Felszabadulási Emlé kver eny"-nye| meg_

indí tott budapesti matematikai versenyek anyagát é s tcibb vidókcn lcbonyo,lí tott verseny feladatait is, A kitíiz<itt feladatok megolclásainak berrrutn(ásával

az ónállóan dolgozó tanuló ellen rizheti rnunkíriát. dc segí tsógel kí lpoz azolvasó is, aki kezdetben ncn-r tud rrragátó elinrlr,llnr. 58 hrir scgí ti ii fclnclnt-

megoldók munkáját. A gy ztesekr(1l kciz lt |ónyké pck [.crrrutatjirk |rzokat

a tanulókat, akik a versenyeken a |cglobbakrrak bizotlyttltuk.

303l

í (iíl07



i

Cser Andor - Erhardt Imre - Eirschberg Frigyesné - Imrecze Zoltánne -ielitai Árpád - Miklós Gy rgyi - Dr, Molnár JózseJ - Pálfy Sándor - Rócz.trános - Vári lános

Szakkiiri feladatgyí ijtemé nyaz általános iskolai tanulók számára

A tlz szerz b l álló munkakiiz ssé g változatos té máj feladatokbó állí tottacissze ezt a gy jtemé nyt.A kitenc fejezet (656 feladat) fel leli a matematikánakaz általános iskolai tanulók által fetdolgozttató valamennyi ré szleté t.Ennekellené re nem a tananyag feladatokon t rté n begyakorlása, hanem sokoldalrí ,é rdekes, tcibb fejezetben a tantervi anyagot trilhaladó feladatok iisszessé ge.Ezek megoldása során mód nyllik a logikus gondolkodás fejleszté sé re,a gyorsfelismeré sre, az sszeftiggések meglátására, a tanultak magasfokri alkalma-zásáta, rij isrneretek elsajetí tására, számltásra, szerkesztésre egyatánt.

A fejezetek: 1. Logikai feladatok. 2, T rtek, százalé kszámítás. 3.Aráoy,arányosság, arányos osztás. 4. Fiiggvé nyek, egyenletek, egyenl tlensé gek.5. zánrí tásosgeometriai feladatok. 6. Geometriai szerkesztések é sbizonyí tások.7. zámelmé let. 8. Kombinatorika. 9. zámrendszerek

Szlrókq,né F hluárl Yera

Mátrlxok

Aszakk ri fi,izet sorozat ezen k tete8. osztályos é s k<izépiskolás (I-II. o.itanulók számáta ké sztilt. Ismerteti a nrátrix fogalmát, pé ldákon rrlrrtatja befelha_sználható ágát feladatok megoldásában mind az aritmetika, az algebra,mirrd a geometria teriileté n. Tátgyalja az egyenletrendszerek megoldá-sában.való alkalmazását, foglalkozik a determináns fogalmával, szere-pével, fel-használásával. Megfelel feladatok biztosí tják az elméleti anyag g/akoáását.

í liltnoriMí klós

Halmazok. l\{atematikai logikaÁltalános é sk zé piskolaitanulók számáta

A halmazok fogalmának rrregalkotása a dolgok viszonyának, kapcsolatai-nak pontos megismeré sé hez, a logika a helyes gondolkocás t rvé nyeinek fel-tí rrásához vezpt,. Ezek né lkiil tudományos gondolkodás nenr r<epzettreio er.

|,

A kiinyv cé lja,hogy ezeknek a ma már tudonrányokká fejl diitt ismereteknekaz alapjaib l né hánygondolatot megvillantson. Fejezetek a k tetb l:

I. Halmazok. Halmaz é selem. M veletek halmazokkal. Halmazok é salgebra. Rész é s egé sz.

II. Matematikai logika. Í té leteké s agadásuk. M veletek í té letekkel.Egyelletek a logikában. Logika é salgebra. Kiivetkezteté s.

A szerz k nnyed, játé ko , tré fás, é rdekessziiveg pé ldák segí tségé vel,a tanulók szlnvonalának megfelel en, é rthet nyelvezette| tátgyalja az anyagot.Els sorban az általános iskola 7. é s8. osztályosainak é s a ktizé piskola I. é sII.osztályosainak

ajánljuk.

Csánk Isaán

Sánolás vonalakkal, graffkus ábr zol r

A tanulók mát az általános iskolában megismerik a grafl<us ábráz.oláselemeit, egyes módjait, azonban ez nem mé lyiilel benniik, é saz alkalrnazásilehet sé gek sem elé ggé kihasználtak. Ez a kiinyv hozzájárul a tanulók tudásá_nak kiegé szíté sé hez,ovábbfejleszté sé hez.

A feladatok grafikus eljárással való megoldása szemlé letessé teszi az elvontmatematikaanyagot, fokozza az algebta é sa geometria, valamint a í net rne-tikának az é lettel, a gyakorlattal való kapcsolatát.

K, A. Rupaszo

lfi) logikai feladat

Ez a ktinyv rin. logikai feladatok gy jtemé nye.Az ilyen feladatok münd aziskolások, mind a feln ttek számára vonzóak. Megoldásukhoz nom sztlksógossemmifé lekí ilnleges matematikai ismeretanyag, csak hclyes, bizonyí tóercj ,ellentmondásmente k vetkezteté s.

Az igen é rdekes feladatok egy té szea szorzótó szárrfiazik, más ré sziikry jtés eredmé nye. Megoldásuk izgatmas, é rdekfeszí t , szórakoztató.

I

109





d &.{ t(3ül4l

?t-5151 _ zeeedi NyomdaTankii nyvkiaaló Vállalat

iu"ari"e., r"rto*: dr. Vágviitgyi Tibor igazgató

Fcldós *zerkezt i c ánk IstvánMÉ szakiv zet : Hámori József

CÉ a.8kai srerkeszt : Mikola Judit

l til."iivo_oeta é rkez6tt: t9?1 szept mb r. Megjelelt: |972 ágtilis

Fó|dóuyezáml 5o@. Terjedel m: 7 (A/5) í v

róe lt m.trica f.ttrasêusavai, iá J"g"r'vo-e*ot' az MSz 5601-59 é s az M Z 5602-55

lgabváby zerintB.ktÁfl szám: 1997

Documents

Bereznai Gyula: Pitagorasz tétele (magyarul)