Upload
amel-krvavac
View
51
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
hrthshhgsjzhhn
Citation preview
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Dimenzioniranje AB presjeka prema EC 2
PRIMJER 1. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu datih podataka.
DATO:
Presječne sile MG,k = 120 kNm, NG,k = 0 kNMQ,k = 80 kNm, NQ,k = 0 kN
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 80 cm
Materijali C 25/30 B 500 S(A)
TRAŽI SE1: = ? i = ? (pri čemu je ‰)
ili = ? i = ? (pri čemu je ‰ )
Rješenje:
Potrebno je ispuniti zahtjev Ed ≤ Rd odnosno da je otpornost poprečnog presjeka veća od naprezanja. Praktično se ovaj uslov svodi na MEd ≤ MRd, NEd ≤ NRd, itd.
a) Naprezanje u graničnom stanju nosivosti Ed
Općenito za proračunsku situaciju graničnog stanja nosivosti osnovna kombinacija opterećenja je (npr. DIN 1055 – 100, poglavlje 9.4)2:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Pretpostavljena statička visina d i udaljenost armature od težišta presjeka zs1 :
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
1 U ovom slučaju dimenzioniranje nazivamo vezanim.2 Osim osnovne postoji i kombinacija dejstava za incidentnu i seizmičku proračunsku situaciju.
1
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
b) Otpornost u graničnom stanju nosivosti Rd
Računska vrijednost otpornosti ovisi o karakteristikama pojedinih materijala od kojih se element sastoji, kao i vrsti proračunske sitauacije. Općenito se određuje kao:
(prema DafStB, Bemessungshilfsmittel zu EC 2, Heft 425 3)
c) određivanje potrebne površine zategnute armature
c.1) dimenzioniranje korištenjem μs – tabela (bezdimenzionalne tabele)
Relativni računski moment obzirom na težište zategnute armature (bezdimenzionalna vrijednost):
Moramo zadovoljiti uslov:
(presjek treba armirati jednostrukom armaturom)
Iz tabele nalazimo:
3 Izvorno je u EC 2 računska čvrstoća betona definirana kao fcd = fck / γc, dakle bez obuhvatanja uticaja dugotrajnog opterećenja na čvrstoću betona na pritisak kroz koeficijent . Posljedica ove izmjene su drugačije vrijednosti μEds i ω1 u tabelama za dimenzioniranje. Međutim, ako se konzistentno pridržavamo priručnika koji koristimo za dimenzioniranje, dobija se ista potrebna armatura.
2
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Usvojena armatura:
B500 S (A): 5 Ø 16
Kontrola minimalne armature:
C25/30 → fctm = 2.6 N/mm2
Mcr = fctm ∙ W
Kontrola razmaka šipki u presjeku:
n = 5 komb = 40 cmnom c = 3 cmdsl = 1.6 cmdsw = 1.0 cm
Provjerimo još jesmo li korektno pretpostavili statičku visinu d:
3
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
c.2) dimenzioniranje korištenjem kd – tabela (dimenzionalne tabele)
Postupak dimenzioniranja pomoću kd – tabela se temelji na poznatom kh – postupku iz DIN 1045. Vrijednost kd ima ovisi o klasi čvrstoće, dimenzijama ulaznih parametara i nema fizikalno značenje. Radi pojednostavljenja postupka dimenzioniranja pretpostavlja se da je računski dijagram čelika idealno elasto – plastičan.
U našem slučaju:
(presjek treba armirati jednostrukom armaturom)
Iz tabele nalazimo (bez interpolacije međuvrijednosti):
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Usvojena armatura:B500 S (A): 5 Ø 16
4
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 2. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu datih podataka.
DATO:
Presječne sile MG = 130 kNm, NG = – 150 kN (sila pritiska)MQ = 90 kNm, NQ = – 100 kN (sila pritiska)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 60 cm; pretpostavljeno d1 = 4 cm; d = 56 cmzs1 = 56 – 60/2 = 26 cm
Materijali C 16/20 → fcd = 0.85∙16/1.5 = 9.06 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ? i = ? (pri čemu je ‰)
ili = ? i = ? (pri čemu je ‰ )
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
a) Dimenzioniranje pomoću bezdimenzionalnih μs – tabela
(presjek treba armirati samo u zategnutoj zoni)
Iz tabele nalazimo:
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Usvojena armatura:B500 S (A): 5 Ø 20
5
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
b) Dimenzioniranje pomoću dimenzionalnih kd – tabela
(presjek treba armirati samo u zategnutoj zoni)
Iz tabele nalazimo za prvu nižu vrijednost kd = 1.75 (bez interpolacije međuvrijednosti):
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Usvojena armatura:B500 S (A): 5 Ø 20
6
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 3. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Presječne sile MG,k = 140 kNm, NG,k = 0 kNMQ,k = 100 kNm, NQ,k = 0 kN
Geometrija presjeka b = 40 cm
Materijali C 30/37 → fcd = 0.85∙30/1.5 = 17.00 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ? i d = ? (slobodno dimenzioniranje)
Rješenje:
a) Dimenzioniranje bez upotrebe tabela
Za usvojene dilatacije εc2 = εcu = – 3.50 ‰ i εs1 = εyd = fyd / Es = 435 / 200000 = 2.175 ‰ dobijamo najmanju statičku visinu jednostruko armiranog presjeka. U ovom graničnom slučaju relativna visina pritisnute zone betona ξlim, moment i relativni moment u odnosu na težište zategnute armature MEds,lim i μEds,lim iznose :
(relativna visina pritisnute zone)
Za εc2 = εcu = – 3.50 ‰ :
(koeficijent punoće jer se prosječni napon nalazi kao )
(koeficijent položaja sile pritiska u betonu)
(relativni krak unutarnjih sila)
7
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Usvojeno: h = 45 cm , d = 40 cm, d1 = 5 cm
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
b) Dimenzioniranje pomoću bezdimenzionalnih μs – tabela
Konačno dobijamo 4
Odavde nalazimo potrebnu statičku visinu presjeka:
Ukupna potrebna visina presjeka iznosi: Usvojeno: h = 45 cm , d = 40 cm, d1 = 5 cm
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Usvojena armatura:B500 S (A): 9 Ø 20
c) Dimenzioniranje pomoću dimenzionalnih kd – tabela
Za domaću zadaću.
4 Da bi se osigurala dostatna mogućnost rotacije poprečnog presjeka u slučaju proračuna sa ograničenom preraspodjelom presječnih sila, za ξlim odnosno μEds,lim postavljena su strožija ograničenja.
8
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 4. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Presječne sile MG,k = 340 kNm, NG,k = – 100 kN (sila pritiska)MQ,k = 160 kNm, NQ,k = – 80 kN (sila pritiska)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 70 cm; pretpostavljeno d1 = 8 cm; d = 62 cmzs1 = 62 – 70/2 = 27 cm
Materijali C 16/20 → fcd = 0.85∙16/1.5 = 9.06 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ? i = ? (pri čemu je ‰ i ‰ )
U slučaju x ≥ xlim kod dimenzioniranja na savijanje, presjek je jako napregnut. Moguće je uraditi sljedeće:
Povećati presjek Odabrati bolju kvalitetu betona Postaviti armaturu u pritisnutu zonu
Procedura dimenzioniranja je kao i uvijek u betonu zasnovana na uslovima ravnoteže:
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
a) Dimenzioniranje pomoću bezdimenzionalnih μs – tabela
(presjek treba armirati i u pritisnutoj zoni)
9
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
U Tabeli 2d prva veća vrijednost je u odnosu na izračunatu je . Ako pretpostavimo da je d2 = 5 cm, odnosno d2/d = 0.08, odgovarajuće vrijednosti za mehaničke stepene armiranja zategnutom i pritisnutom armaturom ω1 i ω2 su:
Za d2/d = 0.05: ω1 = 0.698 i ω2 =0.199Za d2/d = 0.10: ω1 = 0.709 i ω2 =0.210
Linearnom interpolacijom:
Za d2/d = 0.08: ω1 = 0.7046 i ω2 =0.2056
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Potrebna površina poprečnog presjeka pritisnute armature iznosi:
Usvojena zategnuta armatura:B500 S (A): 8 Ø 25
Usvojena pritisnuta armatura:B500 S (A): 4 Ø 20
b) dimenzioniranje bez upotrebe tabela
Najveći moment koji može preuzeti jednostruko armirani presjek u stanju granične nosivosti iznosi:
(za dilatacije ‰ i ‰ )
Razlika momenata savijanja od vanjskih sila i momenta nosivosti jednostruko armiranog presjeka je moment koji treba da uravnoteži spreg sila u u pritisnutoj i dodatnoj zategnutoj armaturi:
10
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Potrebna armatura se nalazi iz uslova ravnoteže momenata oko težišta armature As1:
Pod pretpostavkom da je gornja armatura u stanju tečenja, imamo Fs2 = fydAs2, pa nalazimo:
Potrebnu površinu armature As1 nalazimo iz uslova ravnoteže horizontalnih sila:
ili
11
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 5. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Presječne sile MG,k = 200 kNm, NG,k = – 500 kN (sila pritiska)MQ,k = 150 kNm, NQ,k = – 480 kN (sila pritiska)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 70 cm; pretpostavljeno d1 = 5 cm; d = 65 cmzs1 = 65 – 70/2 = 30 cm
Materijali C 16/20 → fcd = 0.85∙16/1.5 = 9.06 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: A = ?
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
Relativni računski moment obzirom na težište zategnute armature:
(presjek treba armirati i u pritisnutoj zoni)
d2/d = 5/65 = 0.076
Za μEds = 0.60 i d2/d = 0.10 : ω1 = 0.754 i ω2 =0.254
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
Potrebna površina poprečnog presjeka pritisnute armature iznosi:
→ PRESJEK TREBA ARMIRATI SIMETRIČNOM ARMATUROM
12
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Kao ulaz u interakcioni dijagrama za dimenzioniranje simetrično armiranih presjeka potrebni su nam:
d1/h = 5/70 = 0.071 → d1/h = 0.10
Iz tabele očitavamo: ωtot = 0.45
potAs1 = potAs2 = 26.24/2 = 13.12 cm2
Usvojeno:
B 500 S± 7 Ø 16stvAs1 = stvAs2 = 14 cm2
13
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 6. Dimenzionirati T presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Karakteristično opterećenje: gK = 50 kN/m, qK = 25 kN/m
Geometrija T presjeka:
bw = 30 cmbeff = bw + 2(0.2 bi + L0/10) = 30 + 2(0.2 ∙200 + 800/10) = 270 cmh = 60 cm = 45 cm + 15 cm; pretpostavljeno d1 = 7 cm; d = 53 cm
Materijali C 30/37 → fcd = 0.85∙30/1.5 = 17 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ? i = ? (pri čemu je ‰)
ili = ? i = ? (pri čemu je ‰ )
Rješenje:
→
Kontrola visine pritisnute zone:
(tabela 2a)
Neutralna linija prolazi kroz ploču pa presjek dimenzioniramo kao pravokutni sa širinom pritisnute zone b = beff. Iz tabele očitavamo:
ω = 0.0674
odakle je potrebna armatura
Usvojeno:
B 500 S
14
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
8 Ø 25stvAs = 39.27 cm2
Alternativno, mogli smo za dimenzioniranje koristiti Tabelu 4 u kojoj je:
bf/bw = beff/bw = 270/30 = 9hf/d = 15/53 = 0.28μEds = 0.065
pa možemo očitati
ω = (0.0621+0.0728)/2 = 0.0674
odakle dobijamo identične rezultate kao u prethodnom slučaju.
15
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 7. Dimenzionirati T presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Presječne sile: MG,k = 800 kNm, NG,k = 0 kN MQ,k = 900 kNm, NQ,k = 0 kN
Geometrija T presjeka:
bw = 40 cm, beff = 200 cmh = 80 cm = 66 cm + 14 cm; pretpostavljeno d1 = 8 cm; d = 72 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ?
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
a) dimenzioniranje prema tačnom postupku
Relativni računski moment obzirom na težište zategnute armature:
Za izračunati μEds = 0.165 iz tabele za jednostruko armirane presjeke (Tabela 2a) nalazimo relativnu visinu pritisnute zone: ξ = 0.225. Dakle,
x = ξ∙d = 0.225∙ 72 = 16.2 cm > hf = 14 cm → pritisnuta zona je T oblika
Korištenjem tabele 4 nalazimo potrebnu površinu zategnute armature:
hf/d = 14/72 = 0.19 → hf/d ≈ 0.20bf/bw = 200/40 = 5
ω1 = (0.1758+0.1880)/2 = 0.182
16
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
b) dimenzioniranje presjeka prema približnom postupku sa zanemarenjem napona pritiska betona u rebru
Za izračunati μEds = 0.165 iz tabele za jednostruko armirane presjeke (Tabela 2a) nalazimo relativnu visinu pritisnute zone: ξ = 0.225. Dakle,x = ξ∙d = 0.225∙ 72 = 16.2 cm > hf = 14 cm
Pretpostavimo da je raspodjela napona pritiska u betonu pravokutnog oblika (tzv. blok - dijagram) na površini flanše dok se napon u rebru zanemaruje. Približna veličina kraka unutrašnjih sila je:z = d – hf/2 = 72 – 14/2 = 65 cm
Potrebna površina zategnute armature određuje se iz uslova ravnoteže horizontalnih sila:
Sila u betonu nije poznata i moramo je odrediti iz uslova ravnoteže momenata oko zategnute armature:
Sada je,
Trebamo još prekontrolisati napone pritiska u betonu, gdje imamo:
Usvojena armatura:
B 500 S14 Ø 28 (6 Ø 28 + 6 Ø 28 + 2 Ø 28 )stvAs = 86.24 cm2
17
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 8. Dimenzionirati T presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Presječne sile: MG,k = 600 kNm, NG,k = - 150 kN (sila pritiska)MQ,k = 500 kNm, NQ,k = - 200 kN (sila pritiska)
Geometrija T presjeka:
bw = 40 cm, beff = 100 cmh = 100 cm = 84 cm + 16 cm; pretpostavljeno d1 = 8 cm; d = 92 cm, zs1 = d – h/2 = 92 – 50 = 42 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ?
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Računska vrijednost momenta obzirom na težište zategnute armature:
a) dimenzioniranje prema tačnom postupku
Relativni računski moment obzirom na težište zategnute armature:
Za izračunati μEds = 0.15 iz tabele za jednostruko armirane presjeke (Tabela 2a) nalazimo relativnu visinu pritisnute zone: ξ = 0.202. Dakle,x = ξ∙d = 0.202∙ 92 = 18.6 cm > hf = 16 cm → pritisnuta zona je T oblika
Korištenjem tabele 4 nalazimo potrebnu površinu zategnute armature:hf/d = 16/92 = 0.17 → hf/d ≈ 0.15bf/bw = 100/40 = 2.5
ω1 = (0.1641+0.1642)/2 = 0.16415
18
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
b) dimenzioniranje prema približnom postupku sa reduciranjem širine (bf/bw<5)
Za izračunati μEds = 0.15 iz tabele za jednostruko armirane presjeke (Tabela 2a) nalazimo relativnu visinu pritisnute zone: ξ = 0.202. Dakle,x = ξ∙d = 0.202∙ 92 = 18.6 cm > hf = 16 cm → pritisnuta zona je T oblika
Za pretpostavljeno ξ = 0.23 i hf/d ≈ 0.15, bf/bw = 2.5 iz tabele nalazimo koeficijent redukcije širine sudjelujuće širine T – presjeka:
λb = 0.87
Reducirana širina T-presjeka iznosi:
bi = λb∙bf = 0.87∙100 = 87 cm
Iz tabele 2a za dimenzioniranje pravokutnih presjeka na osnovu izračunatog μEds = 0.17 nalazimo ξ = 0.23 što je jednako pretpostavljenom ξ, pa imamo:
ω1 = 0.1882
Usvojeno:
B 500 S8 Ø 25 (6 Ø 25 + 2 Ø 25)stvAs = 39.27 cm2
19
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 9. Odrediti i za T-presjek na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Geometrija T presjeka:
bw = 30 cm, beff = 120 cmh = 70 cm = 60 cm + 10 cm; pretpostavljeno d1 = 5 cm; d = 65 cm,
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ? = ?
Rješenje:
a) Moment ćemo izračunati tako što ćemo dati presjek T-oblika rastaviti na dva pravougaona presjeka.
Za rubne dilatacije: εc2 = εcu = -3.5 ‰, εs1 = εsy = 2.175 ‰
PRESJEK 1.
ili
PRESJEK 2.
b = beff – bw = 120 – 30 = 90 cmxlim – hf = 30.1
Za εc' = 2.63 ‰ > 2 ‰ :
20
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
z2 = d – hf – a2
a2 = k2(xlim - hf)
Odgovarajuća površina poprečnog presjeka zategnute armature iznosi:
b) rješenje pomoću obrazaca za T-presjek
εc1 = 3.5 ‰ → αR1 = 0.8095, k1 = 0.416εc2 = 2.5 ‰ → αR2 = 0.747, k2 = 0.395
21
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
22
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 10. Dimenzionirati kratki centrično pritisnuti stub.
DATO:
Presječne sile NG,k = – 1300 kN (sila pritiska)NQ,k = – 1000 kN (sila pritiska)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 40 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE: = ?
Rješenje:
Računska vrijednost normalne sile za granično stanje nosivosti:
NEd = NRd = Nc,u + Ns,u = Ac,net∙fcd + As∙fyd ≈ Ac∙fcd + As∙fyd = Ac∙fcd∙(1+ω)
- mehanički stepen armiranja
Nc,u = 40∙40∙1.416 = 2265.6 kN
Ns,u = NEd - Nc,u = 3255 – 2265.6 = 989.4 kN
potAs = Ns,u/ fyd = 989.4/43.5 = 22.74 cm2
Geometrijski procenat armiranja:
Usvojeno:
B 500 S8 Ø 20 stvAs = 25.13 cm2
23
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 11. Dimenzionirati presjek napregnut ekscentričnom silom zatezanja malog ekscentriciteta.
DATO:
Presječne sile MG,k = 40 kNm, NG,k = 400 kN (sila zatezanja)MQ,k = 50 kNm, NQ,k = 500 kN (sila zatezanja)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 60 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE:
Rješenje:
Udaljenost armature od težišta betonskog presjeka:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Ekscentricitet sile zatezanja: Ili
Momenat savijanja obzirom na težište zategnute armature:
Dakle, presjek je napregnut ekscentričnom silom malog ekscentriciteta.
Potrebna površina poprečnog presjeka zategnute armature:
24
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Usvojeno:
B 500 S3 Ø 20 stvAs1 = 9.42 cm2
Usvojeno:
B 500 S7 Ø 20 stvAs1 = 21.99 cm2
25
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 12. Dimenzionirati pravougaoni presjek na osnovu datih podataka.
DATO:
Presječne sile MGy = 140 kNm, MQy = 150 kNmMGz = 50 kNm, MQz = 80 kNmNG = - 200 kN, NQ = - 200 kN (sile pritiska)
Geometrija presjeka b = 40 cmh = 60 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
TRAŽI SE:
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Relativne vrijednosti računskih presječnih sila:
Iz Tabele 9a očitavamo ukupni mehanički stepen podužne armature:
ωtot = 0.6 (za ν= 0)ωtot = 0.5 (za ν= -0.2)
Linearnom interpolacijom nalazimo: ωtot = 0.52 (za ν= -0.167)
26
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Usvojeno:
B 500 S12 Ø 2 stvAs1 = 45.62 cm2 (4 x 3 kom)
27
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 13. Dimenzionirati kružni presjek na osnovu datih podataka.
DATO:
Presječne sile MG = 100 kNm, NG = - 280 kN (sila pritiska)MQ = 120 kNm, NQ = - 350 kN (sila pritiska)
Geometrija presjeka h = 50 cm (prečnik)
Materijali C 30/37 → fcd = 0.85∙30/1.5 = 17 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 435 N/mm2
TRAŽI SE:
Rješenje:
Računska vrijednost presječnih sila za granično stanje nosivosti:
Relativne vrijednosti računskih presječnih sila:
Iz Tabele 7a očitavamo ukupni mehanički stepen podužne armature: ωtot = 0.47
Usvojeno:
B 500 S12 Ø 20 stvAs1 = 37.68 cm2
28
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 14. Proračunati momenat koji dati presjek može preuzeti u stanju granične otpornosti.
DATO:
Geometrija presjeka b = 30 cmh = 60 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
Površina armature: 6 Ø 20
TRAŽI SE: MRd = ?
Iz uslova ravnoteže horizontalnih sila potrebno je odrediti jednu rubnu dilataciju, pri čemu je druga dilatacija jednaka graničnoj vrijednosti.
U slučaju da je je εs > εsy onda gornji izraz možemo napisati:
ili
Općenito vrijedi:
ξ = x/d relativna visina pritisnute zone
ζ = z/d = 1 - k∙ξ relativni krak unutrašnjih sila
Dilatacija na pritisnutom rubu – područje 0 < |ε c2|< 2 ‰
koeficijent punoće
koeficijent položaja sile pritiska u betonu (k = a/x)
Dilatacija na pritisnutom rubu – područje 2 < |ε c2|< 3.5 ‰
29
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Za εc2 = εcu = - 3.5 ‰ :
Rješenje:
Pretpostavimo prvo da je dilatacija u armaturi εs = εsu = 25 ‰. Dilatacija u betonu prolazi kroz 2 područja:1) 0 < |εc2|< 2 ‰2) 2 < |εc2|< 3.5 ‰1) Provjerimo da li je uslov ravnoteže zadovoljen za prvi slučaj.
Dobivena deformacija ne pripada pretpostavljenom području 0 < εc2< 2 ‰.
2) Provjerimo da li je uslov ravnoteže zadovoljen za drugi slučaj.
Dobivena deformacija opet ne pripada pretpostavljenom području 2 < |εc2|< 3.5 ‰.
3) Pretpostavimo sada da je εc = εcu = 3.5 ‰ i da je armatura u stanju tečenja (σs = fyd), a zatim odredimo dilataciju u armaturi εs.
Pošto smo odredili dilatacije za koje je zadovoljen uslov ravnoteže, možemo izračunati moment nosivosti prema:
30
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Potrebne veličine da izračunamo moment nosivosti su:
, , k = 0.416Ili
, , k = 0.416, ζ = 0.82
MRd = 0.8095·23.8·30·1.42·(0.55 – 0.416·0.24) = 369.5 kNm
31
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 15. Proračunati presječne sile koje dati presjek može preuzeti u stanju granične otpornosti na osnovu navedenih podataka.
DATO:
Geometrija presjeka b = 30 cmh = 60 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
Površine armature: 6 Ø 20 + 4 Ø 20 Rubne dilatacije: εs = εsu = 10 ‰, εc2 = 2.5 ‰.
TRAŽI SE: MEd = ? NEd = ?
Pošto su dilatacije zadate, iz 2 uslova ravnoteže možemo odrediti 2 nepoznate veličine (M, N). Na osnovu zadatog:
, , , a = k∙x = 5.93 cm
Dilatacija u pritisnutoj armaturi:
Moment savijanja obzirom na zategnutu armaturu:
MEds = MEd - NEd∙zs1 = 459.86 – (- 217.78)∙0.25 = 514.3 kNm
32
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
PRIMJER 16. Odrediti M – N interakcioni dijagram prema datim podacima.
DATO:
Geometrija presjeka b = 30 cmh = 50 cm
Materijali C 25/30 → fcd = 0.85∙25/1.5 = 14.16 N/mm2
B 500 S(A) → fyd = 500/1.15 = 434.78 N/mm2
Površine armature: 3 Ø 25 + 3 Ø 25
TRAŽI SE: M – N interakcioni dijagram
Rješenje:
Izračunavamo otpornost presjeka za profile deformacija u kojima su armature As1 i As2
potpuno iskorištene ili nemaju nosivost. Pravilo za predznak je sljedeće: σs1 – pozitivno za zatezanje, σs2 – pozitivno za pritisak, σc – pozitivno za pritisak.
Maksimalna sila u armaturi: As1 = As2 → Fs1 = Fs2 = 14.72∙43.5 = 640.32 kN
Profil deformacije A – cijeli presjek je pritisnut: σs1 = σs2 = fyd, σc = fcd
NRd = 30∙50∙1.42 + 2∙14.72∙43.5 = 2130 + 1280.64 = 3410.64 kNMRd = 0νRd = - 1.6, μRd = 0
Profil deformacije B – prolazi kroz težište armature As1: σs2 = fyd, σs1 = 0
x = 45 cm = d, εc2 = 3.5 ‰, εs1 = 0, a = k∙x = 0.416∙45 = 18.78 cm
Fs2 = 640.32 kNFcd = αR∙x∙b∙fcd = 0.8095∙45∙30∙1.42 = 1551.8 kN
NRd = Fs2 + Fcd = 2192.13 kN (pritisak)
νRd = - 1.029, μRd = 0.211
Profil deformacije C – x = xlim: σs1 = σs2 = fyd, ξlim = 0.617
x = 0.617∙45 cm = 27.76 cma = k∙x = 0.416∙27.76 = 11.55 cm
Fs2 = 640.32 kN
33
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
Fcd = αR∙x∙b∙fcd = 0.8095∙27.76∙30∙1.42 = 957.29 kNFs1 = 640.32 kN
NRd = Fs2 + Fcd - Fs1 = 957.29 kN (pritisak)
νRd = - 0.45, μRd = 0.361
Profil deformacije D – a = k∙x = 0.416∙13.2 = 5.49 cm
Fs1 = Fs2 = 640.32 kNFcd = αR∙x∙b∙fcd = 0.8095∙13.2∙30∙1.42 = 455.19 kN
NRd = Fs2 + Fcd - Fs1 = 455.19 kN (pritisak)
νRd = - 0.213, μRd = 0.324
Profil deformacije E – prolazi kroz težište armature As2: σs1 = fyd, σs2 = 0
x = 5 cm = d2, εs2 = 0,
a = k∙x = 0.407∙5 = 2.035 cm
Fs2 = 0 kNFcd = αR∙x∙b∙fcd = 0.786∙5∙30∙1.42 = 167.4 kNFs1 = 640.32 kN
NRd = Fcd - Fs1 = - 472.9 kN (zatezanje)
34
Betonske konstrukcije I – primjeri Zlatar M./Madžarević M./Medić S.
νRd = 0.222, μRd = 0.156
Profil deformacije F – cijeli presjek je zategnut: σs1 = σs2 = fyd, σc = 0
NRd = 2∙14.72∙43.5 = 1280.64 kNMRd = 0νRd = 0.6, μRd = 0
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
-1.75
-1.5
-1.25
-1
-0.75
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.75
v - μ interakcioni dijagram
relativni moment μ [-]
rela
tivn
a n
orm
aln
a si
la v
[-]
35