Bevezető komplex függvénytan - tankonyvtar.huregi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_halasz_komplex...[cos(φ + φ 0) + i sin(φ + φ 0)] r 0-val való nyújtásnak

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Bevezető komplex függvénytan

Komplex függvénytani füzetek III.

Halász Gábor

Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Bevezető komplex függvénytan: Komplex függvénytani füzetek III. Halász Gábor

Copyright © Halász Gábor, Typotex

ISBN 978 963 9664 95 1

Kiadja a Typotex Kiadó

Felelős kiadó: Votisky Zsuzsa

http://typotex.hu/

iii Created by XMLmind XSL-FO Converter.

Tartalom

ELŐSZÓ ............................................................................................................................................ iv 1. ISMÉTLÉS ..................................................................................................................................... 1

1. KOMPLEX SZÁMOK .......................................................................................................... 1 2. KOMPLEX SÍK .................................................................................................................... 1

2. REGULÁRIS FÜGGVÉNY ........................................................................................................... 3 1. KOMPLEX DIFFERENCIÁLHATÓSÁG ........................................................................... 3 2. CAUCHY−RIEMANN-EGYENLETEK .............................................................................. 3 3. HATVÁNYSOR ................................................................................................................... 5 4. ELEMI FÜGGVÉNYEK ...................................................................................................... 8

3. INTEGRÁLTÉTELEK ................................................................................................................. 11 1. KOMPLEX VONALINTEGRÁL ....................................................................................... 11 2. PRIMITÍV FÜGGVÉNY .................................................................................................... 14 3. GÖRBE INDEXE ............................................................................................................... 17 4. ÁLTALÁNOS CAUCHY TÉTEL ...................................................................................... 18

4. HATVÁNYSORBA FEJTÉS ....................................................................................................... 21 1. HATVÁNYSORBA FEJTÉS ............................................................................................. 21 2. UNICITÁS .......................................................................................................................... 22 3. TAYLOR-SOR ................................................................................................................... 23 4. LOKÁLIS ASZIMPTOTIKUS VISELKEDÉS .................................................................. 24 5. MAXIMUM ELV ............................................................................................................... 25 6. EGYÜTTHATÓBECSLÉS ................................................................................................. 26

5. IZOLÁLT SZINGULARITÁSOK ............................................................................................... 28 1. LAURENT-SOR ................................................................................................................. 28 2. IZOLÁLT SZINGULARITÁSOK ...................................................................................... 32 3. REZIDUUM TÉTEL .......................................................................................................... 34 4. ARGUMENTUM ELV ....................................................................................................... 37 5. LOKÁLIS ÉRTÉKELOSZLÁS .......................................................................................... 39

6. KONFORM LEKÉPEZÉSEK ...................................................................................................... 41 1. LINEÁRIS TÖRTFÜGGVÉNYEK .................................................................................... 41 2. RIEMANN ALAPTÉTEL .................................................................................................. 44 3. SEGÉDTÉTELEK .............................................................................................................. 46 4. KITERJESZTÉS A HATÁRRA ......................................................................................... 48 5. TÜKRÖZÉSI ELV .............................................................................................................. 52 6. SOKSZÖG LEKÉPEZÉSE ................................................................................................. 52 7. PICARD TÉTELE .............................................................................................................. 55

7. EGÉSZFÜGGVÉNYEK ............................................................................................................... 57 1. FÜGGVÉNY RENDJE ....................................................................................................... 57 2. KONVERGENCIAEXPONENS ........................................................................................ 58 3. FÜGGVÉNY ELŐÍRT GYÖKÖKKEL .............................................................................. 60 4. WEIERSTRASS-SZORZAT .............................................................................................. 62 5. KANONIKUS ALAK ......................................................................................................... 66 6. BOREL-FÉLE KIVÉTELES ÉRTÉKEK ........................................................................... 68

8. HARMONIKUS FÜGGVÉNYEK ............................................................................................... 70 1. LAPLACE-EGYENLET ..................................................................................................... 70 2. POISSON FORMULA ........................................................................................................ 71 3. MAXIMUM ELV ............................................................................................................... 73 4. DIRICHLET-FELADAT .................................................................................................... 74

iv Created by XMLmind XSL-FO Converter.

ELŐSZÓ

Az egyváltozós komplex függvénytan - legalábbis az elemeinek itt tárgyalandó nagy része - a komplex változós,

komplex értékű függvények differenciál- és integrálszámítása. A többváltozós leképezésektől eltérően egy ilyen

f (z) függvény deriváltját az egyváltozós eset formális analógiájára a különbségi hányados

határértékeként definiáljuk. Ebben benne van, hogy a határérték létezik, bármilyen irányból tartunk is ξ-vel z-

hez, és független az iránytól. A differenciálható függvények e szigorú feltételből adódó merev szerkezete vezet

arra, hogy szinte minden tulajdonságuk összefügg egymással, és a valós függvénytanon nevelkedett olvasónak

sok meglepetésben lesz része.

Az anyag megértéséhez pusztán az egy- és többváltozós valós analízis alapjainak ismerete szükséges.

A jegyzet az Eötvös Loránd Tudományegyetemen már több éve a III. év 1. félévében a matematikus

hallgatóknak tartott "Komplex függvénytan" c. előadásom pontos mása, apró eltérésektől eltekintve. Cauchy

integráltételének például igazi felhasználásra itt nem kerülő általános alakját ugyan a jegyzettel egyidőben

mondom ki, a bizonyítását, amit rendszerint egy önként jelentkező hallgatóval mondatok el, az előadásban a

téma legvégére halasztom. Másik különbség, hogy a Picard- és/vagy a Borel-tétel bizonyítására nem mindig

marad idő az előadáson. (Ha sorra is kerül, az utóbbit karácsonyi ajándékként ki szoktam hagyni a

vizsgatematikából.)

Az előadáshoz külön gyakorlat tartozik, ezért itt - az előadásban még inkább - csak röviden utalok a

legfontosabb tételek legfontosabb példáira.

Nem ez az egyetlen ilyen jegyzet. Petruska György "Bevezetés a komplex függvénytanba" c. jegyzete például -

ha nem is minden részletében - nagyobb anyagot ölel fel. Szemléletben és felépítésben azonban inkább L.

Ahlfors "Complex Analysis" c. könyvét követtem, amelyet mindenkinek érdemes forgatni, aki a komplex

függvénytan elemeivel alaposabban meg kíván ismerkedni. Aki pedig a komplex függvénytan felsőbb

fejezeteibe akar e jegyzethez hasonlóan gyors betekintést, annak figyelmébe ajánlom a sorozat többi füzetét.

Köszönettel tartozom Vörös Zoltán hallgatómnak, aki számítógépbe jegyzetelte az előadásomat, és ezzel

megkönnyítette a munkámat.

Budapest, 1998.

Halász Gábor

1 Created by XMLmind XSL-FO Converter.

1. fejezet - ISMÉTLÉS

1. KOMPLEX SZÁMOK

Az x2 + 1 = 0 egyenletet a valós számok körében nem tudjuk megoldani. Az algebrai testbővítések elmélete ezen

úgy segít, hogy a valós számok testét az egyenletet kielégítő absztrakt szimbólummal, i-vel bővíti. Másodfokú

egyenletről lévén szó, a

z = x + iy

szimbólumokat, a komplex számokat kapjuk, amelyek a formális összeadásra és szorzásra nézve testet alkotnak;

x ≝ ℜz, y ≝ ℑ zz valós és képzetes része.

z az (x, y) koordinátájú síkvektorként is reprezentálható. Polárkoordinátákkal felírva

z = r (cos φ + i sin φ),

ahol a vektor hossza, r ≝ ∣ z∣ z abszolút értéke, az x tengellyel bezárt szöge, φ ≝ argzz ≠ 0 csak (mod 2π)

meghatározott argumentuma.

Az értelemszerű jelöléssel a

z + z0 = (x + x0) + i (y + y0)

összeadás z függvényének tekintve z0-val való eltolást jelent. A szorzás polárkoordinátákkal írható fel

egyszerűen

zz 0 = rr0 [cos(φ + φ0) + i sin(φ + φ0)]

r 0-val való nyújtásnak és φ0 szöggel való elforgatásának felel meg. A sík irányítástartó hasonlósági

transzformációi

az + b (a ≠ 0)

alakban adhatók meg, az irányításváltók pedig

alakban, ahol ≝ x - iyz konjugáltja, a valós tengelyre való tükrözés. Ezeket a transzformációkat később

messzemenően általánosítani fogjuk.

Korlátlanul tudunk gyököt is vonni:

ahol

ami z ≠ 0 esetén n különböző n-edik gyököt jelent. A testbővítés tehát jobban sikerült, mint terveztük, sőt az

Algebra Alaptétele szerint tetszőleges komplex együtthatós, legalább elsőfokú polinomnak is van gyöke a

komplex számok körében, amire majd egy általános tételünk segítségével egyszerű bizonyítást fogunk adni.

2. KOMPLEX SÍK

A sík pontjaival reprezentált komplex számok halmazán topológiát is bevezethetünk, ha z és z0 távolságát ∣ z -

z0∣ -kel értelmezzük, ami az abszolút értékre vonatkozó ∣ z + w∣ ≤ ∣ z∣ + ∣ w∣ háromszög-egyenlőtlenség

értelmében metrikát definiál.

ISMÉTLÉS


z 0 környezetén

{z : ∣ z - z0∣ < r}

alakú nyílt körlapot értünk. Pusztán a környezet fogalmára van szükség ahhoz, hogy értelmezhessük komplex

számok sorozatának

határértékét, ami egyenértékű a megfelelő valós és képzetes részekre vonatkozó limeszreláció együttes

fennállásával:

Szintén a környezet fogalmára van csak szükség komplex számok valamely halmazán értelmezett f (z) komplex

értékű függvény adott pontban való határértékének, folytonosságának definiálásához. Egy ilyen

f (z) = u (z) + iv (z)

függvény megadható valós és képzetes részével, az u (z) és v (z) valós értékű, komplex változós függvényekkel,

amelyeket kétváltozós valós függvényként is felfoghatunk:

u (z) = u (x,y), v (z) = v (x,y) (z = x + iy).

A folytonosság és a határérték létezése ismét ekvivalens a valós és képzetes rész folytonosságával, illetve

határértékének létezésével.

A környezetek segítségével definiáljuk a nyílt és zárt halmazokat. Függvényeinket majdnem mindig nyílt

halmazon lesz célszerű értelmezni. Nyílt halmaz pedig egyértelműen előállítható összefüggő nyílt halmazok,

úgynevezett tartományok diszjunkt egyesítéseként, és így szinte kivétel nélkül szorítkozhatunk tartományon

megadott függvényekre.

Nyílt halmazt egyébként akkor mondunk összefüggőnek, ha nem áll elő két diszjunkt, nem üres nyílt halmaz

egyesítéseként. A síkban ez ugyanazt jelenti, mint hogy bármely két pontja összeköthető a halmazban futó törött

vonallal.

Később hasznos lesz a komplex számok halmazát kompaktifikálni. Egyetlen végtelen távoli pontot veszünk

hozzá, éspedig úgy, hogy z → ∞ jelentse azt, hogy ∣ z∣ → ∞. Szemléletesen úgy képzelhetjük el, hogy a síkra

az origóban gömböt helyezünk, és a sík pontjainak megfeleltetjük az őket a gömb északi pólusával összekötő

egyenesnek a gömbfelszínnel való másik metszéspontját; ezen úgynevezett sztereografikus leképezés révén az

északi pólus képviseli a ∞-t. A komplex számok halmazát nevezzük a nyílt síknak, és ℂ -vel jelöljük, míg a teljes

gömbfelszínnel, az úgynevezett Riemann-gömbbel reprezentált lezártja, a zárt sík.


2. fejezet - REGULÁRIS FÜGGVÉNY

1. KOMPLEX DIFFERENCIÁLHATÓSÁG

A teststruktúra és a topológia teszi lehetővé, hogy bevezessük vizsgálatunk tárgyát, az Előszóban már jelzett

fogalmat.

DEFINÍCIÓ (REGULÁRIS FÜGGVÉNY). A D tartományon értelmezett f (z) : D → ℂ komplex függvényt

regulárisnak (holomorfnak) mondjuk, ha mindenütt létezik a deriváltja,

Ezen komplex értelemben vett differenciálhatóságot így is megfogalmazhatjuk:

f (ξ) - f (z) = f ' (z)(ξ - z) + ε (ξ, z),

ahol

Látható ebből, hogy reguláris függvény szükségképpen folytonos.

Az alábbi differenciálási szabályok formálisan szóról szóra az egyváltozós valós függvényekre megismert

értelemben és bizonyítással reguláris függvényekre is fennállnak:

Kicsit bonyolultabb a helyzet az inverz függvény regularitásával. Tegyük fel, hogy a D tartományon reguláris w

= f (z) függvénynek létezik inverze, f -1 (w) az f (D) képhalmazon, amiről ezért szintén tegyük fel, hogy

tartomány. A valós esetben is alkalmazott átalakítással és az f -1 (ρ) = ξ, f -1 (w) = z jelöléssel

Amikor a ρ → w határátmenetről áttértünk ξ → z-re, hallgatólagosan feltételeztük, hogy f -1 (w) folytonos is, és a

(véges) határérték létezéséhez természetesen azt is, hogy f ' (z) ≠ 0. Ekkor tehát az inverz is reguláris az ismerős

képlettel a deriváltjára. A sok mellékfeltétel nagy részétől az "Izolált szingularitások" c. fejezetben majd meg

fogunk szabadulni.

2. CAUCHY−RIEMANN-EGYENLETEK

f (z) = u (x, y) + iv (x, y) alakban megadott függvényről hogyan lehet felismerni, hogy reguláris-e?

A differenciálhatóság

f (ξ) - f (z) = f ' (z) (ξ - z) + ε (ξ, z)

lineáris alakjában írjuk fel mindkét oldal valós és képzetes részét, ahol az egyszerűség kedvéért legyen f ' (z) = A

+ iB és ξ - z = h + ik:

REGULÁRIS FÜGGVÉNY


u (x + h,y + k) - u (x, y) = Ah - Bk + ε1 (h, k, z),

v (x + h,y + k) - v (x, y) = Bh + Ak + ε2 (h, k, z).

Itt

ε 1 (h, k, z) ≝ ℜε (ξ, z), ε2 (h, k, z) ≝ ℑε (ξ, z).

A

feltétel - a nevezőben az abszolút érték semmit sem változtat - ekvivalens azzal, hogy mind a valós, mind a

képzetes rész 0-hoz tart:

Ez azt jelenti, hogy mind u (x, y), mind v (x, y) valós értelemben (totálisan) differenciálható az (x, y) pontban, és

ott

u (x, y) és v (x, y) tehát nem független egymástól, kielégítik a

úgynevezett Cauchy−Riemann-egyenleteket. Fordítva, ha a valós értelemben differenciálható u (x, y) és v (x, y)

kielégíti ezeket az egyenleteket, akkor létezik a komplex differenciálhatóság feltételét teljesítő f ' (z) = A + iB.

Ezzel bebizonyítottuk a következőt Tételt.

TÉTEL (CAUCHY−RIEMANN-EGYENLETEK). Az f (z)= u (x, y) + iv (x, y) függvény akkor és csak akkor

reguláris egy tartományon, ha ott u (x, y) és v (x, y) valós értelemben differenciálható és kielégíti a

Cauchy−Riemann-egyenleteket.

Jegyezzük meg, hogy ezúttal f (z) deriváltját is kiszámítottuk valós és/vagy képzetes része segítségével:

Maga u (x, y) és v (x, y) is csak nagyon speciális függvény lehet; erre a kérdésre a "Harmonikus függvények" c.

fejezetben térünk vissza.

A Cauchy−Riemann-egyenletekkel olyan függvényekről derül ki, hogy nem regulárisak, amelyekről nem is

gondoltuk volna. Ha például f (z) valós értékű, v (x, y) ≡ 0, akkor ∂u / ∂x = ∂u / ∂y = 0, tehát u (x, y), és így f (z)

is csak konstans lehet. De sem reguláris, mert ∂u / ∂x = 1, ∂v / ∂y = -1.

Jobban megértjük ezeket a példákat, ha meggondoljuk, mit is jelent a komplex értelemben vett

differenciálhatóság geometriailag.

f (ξ) = f (z) + f ' (z)(ξ - z)+ ε (ξ, z)

f ' (z) ≠ 0 esetén - z-hez közeli ξ-re ∣ f (ξ) - f (z)∣ -hez képest elhanyagolható hibatagtól eltekintve - a ξ

változóban irányítástartó hasonlósági transzformáció.



A z körüli, δ sugarú kört ez a hasonlósági transzformáció az f (z) körüli ∣ f ' (z)∣ δ sugarú körbe viszi. f (ξ) tehát

kis δ esetén ezt a kört követi a sugarához képest elenyésző hibával, infinitezimálisan körtartó, persze hogy nem

képezhet mindent a valós tengelybe.

A z-ből kiinduló, a valós tengellyel ϑ szöget bezáró félegyenest a hasonlósági transzformáció az f (z)-ből

kiinduló, a valós tengellyel ϑ + arg f ' (z) szöget bezáró félegyenesbe viszi. f (ξ) ehhez a félegyeneshez lesz az f

(z)-től mért távolságához képest is közel, a z-ből kiinduló félegyenes képének tehát van érintője az f (z) pontban.

ϑ-t növelve a képérintő ugyanabban az irányban ugyanakkora szöggel fordul el, a leképezés z-ben szögtartó, -

vel az a baj, hogy megfordítja az irányítást.

Ezt a lokális aszimptotikus viselkedést a "Hatványsorba fejtés" c. fejezetben részletesebben megtárgyaljuk,

amikor majd az f' (z) = 0 esettel együtt fogjuk tudni kezelni.í

f (ξ) akkor is közelíthető lineáris leképezéssel, ha csak azt tudjuk, hogy u (x,y) és v (x,y) valós értelemben

differenciálható; a Cauchy−Riemann-egyenletek biztosítják, hogy ez a lineáris leképezés irányítástartó

hasonlósági transzformáció.

Ehhez és a későbbiekhez jegyezzük meg, hogy függvény deriváltja nem lehet mindenütt 0, kivéve a konstansé.

Valóban, abból, ahogy f' (z)-t kiszámítottuk u (x,y) és v (x,y) segítségével, látjuk, hogy f' (z) ≡ 0 esetén u (x,y) és

v (x,y) mindkét parciálisa eltűnik, és így mindkettő konstans.

3. HATVÁNYSOR

A konstans függvény azonosan 0, az identitás azonosan 1 deriválttal az egész síkon reguláris, differenciálási

szabályaink szerint ezért minden

a 0 + a1z + ... + amzm

polinom is. Most

alakú végtelen hatványsorokkal próbálunk további reguláris függvényeket konstruálni.

Komplex tagú végtelen sorok konvergenciája, abszolút konvergenciája, a konvergenciakritériumok mind a

többváltozós valós analízisben tanultak speciális esetei. A Weierstrass Majoráns Kritérium például a

függvénysor egyenletes konvergenciájára ad elégséges feltételt konvergens numerikus majoráns létezésével:

Tegyük fel, hogy hatványsorunk konvergens z0-ban, ∣ z0∣ = r0. Akkor persze a tagjai ott korlátosak,

és minden z-re

∣ z∣ <r0 esetén

tehát hatványsorunk abszolút konvergens, sőt rögzített ρ < r0 esetén ∣ z∣ ≤ ρ-ra a Weierstrass Kritérium szerint

egyenletesen is.



Ezzel tulajdonképpen már meg is határoztuk a hatványsorok konvergenciaviselkedését. Valóban, legyen

Ha ∣ z∣ < R, akkor ∃ r0 > ∣ z∣ , r0 ∈ E, azaz és az előbb azt mutattuk meg, hogy ilyenkor

hatványsorunk abszolút konvergens, sőt ρ < R-hez választva E-nek r0 > ρ elemét, ∣ z∣ ≤ ρ-ra egyenletesen is.

Ha ∣ z∣ > R akkor ∣ z∣ ∉ E, azaz az anzn tagok még csak nem is korlátosak, hatványsorunk divergens.

A ∣ z∣ = R eset már nem ilyen egyértelmű, de arra nem lesz szükségünk.

TÉTEL (HATVÁNYSOR KONVERGENCIÁJA). A hatványsor abszolút konvergens az - esetleg

elfajult - {∣ z∣ < R} körben, minden kicsit kisebb {∣ z∣ ≤ ρ} (ρ < R) körben egyenletesen is, és divergens ∣ z∣

> R-re, ahol

{∣ z∣ < R} az úgyynevezett konvergenciakör, sugara, R a konvergenciasugár.

HADAMARD KÉPLET BIZONYÍTÁSA. Már csak a korábban máshogy definiált konvergenciasugár

kiszámítására vonatkozó Hadamard Képlet szorul magyarázatra.

Igazolásához legyen először r0 ∈ E tetsszőleges. Ez azt jelenti, hogy

ahonnan határátmenettel

Az egyenlőtlenség ekkor fennáll az ilyen r0-ak felső határára is:

A fordított egyenlőtlenség bizonyításához legyen

A limesz inferior definíciója szerint

tehát korlátos, azaz r0 ∈ E, és így r0 ≤ R. r0-val tartva a limesz inferiorhoz, adódik a fordított

egyenlőtlenség és azzal Hadamard Képlete.

TÉTEL (HATVÁNYSOR REGULARITÁSA). Az



hatványsor konvergenciasugara legyen R > 0. Ekkor f (z) reguláris a konvergenciakörben,

E hatványsor konvergenciasugara szintén R.

KÖVETKEZMÉNY. (i) A Tételbeli f (z) akárhányszor differenciálható, és

Speciálisan f (k)(0) = k!ak, és a hatványsor Taylor-sorként is felírható:

(ii) Ha két hatványsor által előállított függvény,

az origó kis környezetében, akkor

a hatványsor "egyértelmű".

TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Számítsuk ki a formális derivált sor konvergenciasugarát!

mint állítottuk.

Ezek szerint

∣ z∣ < R esetén abszolút konvergens. Rögzített ilyen z-re meg kell mutatnunk, hogy ez lesz ott f (z) különbségi

hányadosának a határértéke.

Válasszunk ρ-t a ∣ z∣ < ρ < R feltételnek megfelelően. Legyen ξ már olyan közel z-hez, hogy ∣ ξ∣ ≤ ρ is

teljesüljön. Triviális becsléssel

a derivált sor már ismert abszolút konvergenciája miatt. A Weierstrass Kritérium szerint ezért a különbségi

hányados fenti előállítása egyenletesen konvergens. A határérték tehát tagonként képezhető:



A Tételt bebizonyítottuk.

4. ELEMI FÜGGVÉNYEK

Keressünk a hatványsorával olyan f (x) függvényt, amely kielégíti az f' (z) = f (z) differenciálegyenletet az f (0) =

1 kezdeti feltétellel.

A hatványsorok egyértelműsége értelmében itt nan = an-1, ahonnan a0 = 1 miatt

Konvergenciasugara,

a komplex exponenciális függvény az egész síkon reguláris kiterjesztése a valósban megismert exponenciális

függvénynek.

TÉTEL (EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNYEGYENLET). Bármely két komplex számra

ew+z = ew ez.

BIZONYÍTÁS. Legyen c tetszőleges konstans. A derivált kiszámításával megmutatjuk, hogy ezec-z állandó:

(ez ec-z)' = ez ec-z + ez (-ec-z ) = 0.

Az állandó értéke

ez ec-z = e0 ec-0 = ec,

és a c = w + z választással az azonosság a Tételbeli alakját nyeri.

Például ez e-z = 1, ahonnan ez ≠ 0 az egész komplex síkon.

Általában

hiszen a konjugálás algebrailag homomorfizmus, topológiailag pedig folytonos függvény. Esetünkben az

együtthatók valósak:

Innen

ez = ex eiy, arg ez ≡ arg eiy (mod 2π).

Itt



ahogyan a szinusz és koszinusz függvény hatványsorát a valósban megismertük.

Összefoglalva,

∣ ez∣ = ex, arg ez ≡ y (mod 2π) (z = x + iy).

y képzetes részű vízszintes egyenes tehát kölcsönösen egyértelmű módon az origóból y szögben induló sugára

képződik, x valós részű függőleges pedig az ex sugarú körvonalra tekeredik végtelen sokszor.

Mikor vesz fel az exponenciális függvény azonos értékeket?

ez = ew ⇔ ℜz = ℜw, ℑ z ≡ ℑw (mod 2π) ⇔ z - w = k2πi,

a függvény tehát 2πi szerint periodikus.

Az exponenciális függvény segítségével a trigonometrikus függvényeket is kiterjeszthetjük a komplex síkra.

Például

szintén az egész síkon reguláris függvények. A valósban megismert azonosságok a komplexben is érvényben

maradnak, amit a definíció alapján is könnyen beláthatnánk, de erre a "Hatványsorba fejtés" c. fejezetben még

kényelmesebb utat fogunk találni. Igaz marad az is például, hogy sin z csak a kπ helyeken tűnik el, de a síkon

már egyik sem lesz korlátos.

A w = ez függvénykapcsolat inverzeként akarjuk a logaritmust definiálni. ∣ w∣ = ex, arg w ≡ y (mod 2π) alapján

z = x + iy ≝ log w = log ∣ w∣ + i arg w.

Minden w = 0-hoz képest végtelen sok ilyen z vab, a valós része egyértelműen meghatározott, de a képzetes

csak (mod 2π).

Két út van előttünk. Megengedhetjük logaritmusként az összes végtelen értéket. Például ekkor a valósban tanult

log w1w2 = log w1 + log w2

függvényegyenlet érvényben marad abban az értelemben, hogy a bal oldalon előforduló összes komplex szám

halmaza megegyezik a jobb oldalon előfordulókéval.

A másik lehetőség az, hogy megszorítjuk az exponenciális függvényt olyan tartományra, ahol már kölcsönösen

egyértelmű, és létezik inverze. Fenti ismereteink szerint a

{z : ∣ ℑ z∣ < π}

2π szélességű vízszintes sáv ilyen, amit ez a negatív féltengely mentén felvágott síkra képez. Ezzel a felvágott

síkban egyértelműen definiáltuk a logaritmust a főértékével:

z ≝ log w ≝ log ∣ w∣ + i arg w, ∣ arg w∣ < π.

Ez a függvény nyilván folytonos is, és teljesíti az inverz függvény regularitásának e fejezetben kimondott

feltételeit. A felmetszett sík minden egyes pontjában tehát kiválasztottunk a végtelen sok érték közül egyet úgy,

hogy ezek reguláris függvénnyé álltak össze; azt mondjuk, hogy megadtuk a logaritmus egy reguláris ágát.



Persze a negatív féltengely helyett minden origóból kiinduló sugár menti felvágás megtenné - általában minden

olyan tartomány, amelyben lehet az argumentumot folytonosan értelmezni -, és speciálisan minden w ≠ 0

környezetében tudunk definiálni reguláris logaritmus ágat. Mindegyik deriváltja az egyértelmű 1/w függvény, de

ennek nincs az origóban kipontozott síkon egyetlen, globális primitív függvénye. A jelenséget később fogjuk

megérteni.

Komplex szám komplex kitevős hatványát így definiáljuk:

zα = eα log z (z ≠ 0).

Könnyű meggondolni, hogy egy értéket kapunk, ha α egész, véges sokat, ha racionális, és végtelen sokat minden

más esetben. z függvényének tekintve választhatjuk a másik megoldást is, és log z minden reguláris ágával

definiálhatjuk a hatványfüggvény reguláris ágát.

Szemléletes a kép valós α-ra:

∣ zα∣ = eℜα log

z = eαlog ∣z∣ = ∣ z∣ α, arg zα ≡ ℑα log z ≡ α arg z (mod 2π).

Ha például origó csúcsú szögtartományon értelmezzük regulárisán, akkor a szögtartomány szögtartományba

(vagy a kipontozott síkba) megy, origó középpontú körvonalat ugyanilyen körvonalba vive, a szögmértéket

∣ α∣ -szorosára változtatva. (Nem mond ez ellent a szögtartásnak?) A leképezés kölcsönösen egyértelmű is lesz,

feltéve, hogy az értelmezési (szög)tartomány nyílásszöge ≤ 2π/∣ α∣ .

Például az origóból kiinduló sugár mentén felmetszett síkot reguláris ága kölcsönösen egyértelműen egy

félsíkra képezi, de a teljes kipontozott síkon már nem tudnánk regulárisan, még folytonosan sem értelmezni,

mint ahogy z semmilyen más, nem egész kitevős hatványát sem.


3. fejezet - INTEGRÁLTÉTELEK

1. KOMPLEX VONALINTEGRÁL

Azt mondjuk, hogy egy z (t): [a, b] → ℂ folytonos leképezés γ irányított görbét határoz meg, de a leképezés

átparaméterezését nem tekintjük különböző görbének: a z1(u): [c, d] → ℂ leképezés vele ekvivalens, ha létezik

φ(t): [a, b] → [c, d] szigorúan monoton növő és folytonos ráképezés úgy, hogy z(t) = z1(φ(t)). Ha φ(t) szigorúan

monoton csökkenő, akkor z1(u) az ellenkező irányítású görbét, (-γ)-t határozza meg.

Legyen f (z) : γ → ℂ a görbén értelmezett függvény. (Görbe nem azonos az őt definiáló leképezés képpontjainak

halmazával; ilyen esetekben mégis megengedjük magunknak ezt a jelölésbeli kettősséget.)

Osszuk fel a valós intervallumot az a = t0 < t1 < ... < tn = b osztópontokkal, a görbét a zi ≝ z(ti)-kel, és minden

íven (i = 1,...,n) jelöljünk ki egy ξi pontot. Azt mondjuk, hogy f (z) integrálható γ-n, ha létezik olyan I

szám, és minden pozitív ε-hoz olyan δ = δ(ε), hogy

tetszőleges olyan integrálközelítő összegre, amelyre a ívek átmérői mind < δ. (Ugyanezt a fogalmat

kapnánk, ha a felosztás finomságát a paraméterintervallumon mérnénk, annak ellenére, hogy a végtelenül

finomodó felosztás fogalma nem mindig ugyanaz a kétféle értelemben.)

I ≝ ∫γf (z) dz.

f (z)= u(x,y) + iv(x,y) és dz = dx + idy alapján formálisan

∫γf(z) dz = ∫γ(u(x,y) + iv(x,y))(dx + idy) = ∫γu(x,y) dx - v(x,y) dy + i ∫γv(x,y) dx + u(x,y) dy.

Ugyanezt a számolást az integrálközelítő összegekkel elvégezve látjuk, hogy a négy valós integrál létezése

esetén a komplex integrál is létezik, és a képlet érvényes.

Folytonos f (z) függvény tehát integrálható rektifikálható γ görbén, hiszen az analízisből tudjuk ezt a valós

integrálokra. Mindig csak rektifikálható görbén fogunk folytonos függvényt integrálni, úgyhogy az

integrálhatósággal sohasem lesz gondunk.

Véges összeg tagonként integrálható, konstans szorzó az integrál mögül kiemelhető. Másfajta linearitást

fejeznek ki az

∫γ1+γ2f (z) dz = ∫γ1f (z) dz + ∫γ2f (z) dz, ∫-γf (z) dz = -∫γf (z) dz

képletek, ahol γ1 + γ2 a két görbe összefűzését jelenti, feltéve, hogy γ1 végpontja megegyezik γ2 kezdőpontjával.

Fontos szerepet játszik az integrál becslése,

ahol ∣ dz∣ ívhossz szerinti integrálást jelöl, speciálisan

∫γ ∣ dz∣ ≝ ℓ (γ),

γ hossza. A bizonyításhoz csak azt kell megjegyezni, hogy

a felosztás finomításával.

INTEGRÁLTÉTELEK


Ebből következik, hogy egyenletesen konvergens sort szabad tagonként integrálni,

Valóban, véges összegre ezt már tudjuk, és a bal oldali végtelen összeget ε-nyi hibával közelítő szeletével

helyettesítve az integrálban legfeljebb εℓ(γ) hibát vétünk. Persze hallgatólagosan felhasználtuk, hogy folytonos

függvények egyenletesen konvergens sorának az összege is folytonos.

Egyszerű esetben az integrált a definíció alapján is meghatározhatjuk:

∫γdz = z(b) - z(a),

hiszen minden integrálközelítő összeg megegyezik a jobb oldallal.

Ha pedig γ folytonosan differenciálható, azaz létezik olyan z(t) = x(t) + iy(t) paraméterezése, amelyre z'(t) =

x'(t)+ iy'(t) folytonos [a, b]-ben - a végpontokban a deriváltat egyoldalról értelmezve -, akkor a fenti valós

integrálokat az analízisből ismert módon felírva

és a komplex integrált komplex értékű függvény valós intervallumon való integrálásával számíthatjuk ki:

Persze ehhez elég, ha γ csak szakaszonként folytonosan differenciálható.

TÉTEL (HELYETTESÍTÉSES INTEGRÁLÁS). Tegyük fel, hogy a γ rektifikálható görbe a D tartományban

fut, az F (z) függvény reguláris D-ben, F'(z) ott folytonos. Az F (γ) képgörbe ekkor szintén rektifikálható, és

∫F(γ)h (w) dw = ∫γh (F (z)) F' (z) dz,

ahol h(w) F(γ)-n értelmezett folytonos függvény.

F(γ)-n természetesen az F(z(t)) leképezéssel megadott görbét értjük, ahol z(t) (t ∈ [a,b]) γ paraméterezése.

A h(w) ≡ 1 speciális esetben

∫F(γ)h (w) dw = F (z (b)) - F (z (a)),

innen a

KÖVETKEZMÉNY (NEWTON−LEIBNIZ SZABÁLY). Ha γ abban a tartományban fut, ahol F(z) reguláris és

'F(z) folytonos, akkor

F (z (b)) - F (z (a)) = ∫γF' (z) dz.

TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Tegyük fel először, hogy z (t) folytonosan differenciálható. Ekkor F (z (t)) is, hiszen

Mindkét integrált átírhatjuk tehát valós integrállá:

INTEGRÁLTÉTELEK


A kettő láthatóan ugyanaz.

Az általános esetben legyen

D 1 = {z : d (z,γ) < r}

γ olyan kis r sugarú rögzített környezete, amelynek még a lezárása is, itt és a továbbiakban is d( , )-vel

pontok és/vagy halmazok egymástól mért távolságát jelöljük.

Ezen a lezáráson mint kompakt halmazon folytonos függvény korlátos és egyenletesen folytonos:

∣ F' (z)∣ < M (z ∈ D1), ∣ F' (ξ) - F' (z)∣ < ε (z, ξ ∈ D1, ∣ ξ - z∣ < δ (ε)).

Osszuk fel γ-t olyan finoman, hogy a ívek átmérője < r (i = l,...,n). Ekkor az összekötő szakasz is, [zi-1, zi]

⊂ D1, ami folytonosan differenciálható görbe lévén, a már bebizonyított speciális eset értelmében, annak is csak

a Newton−Leibniz-féle következményét használva,

F (zi) - F (zi-1)= ∫[zi-1, zi]F' (z) dz.

Innen egyrészt, F' (z) korlátossága alapján,

∣ F (zi) - F (zi-1)∣ ≤ M ∣ zi - zi-1∣ ,

és F (γ) valóban rektifikálható.

Másrészt, becsempészve a közbülső értéket,

F (zi) - F (zi-i) = ∫[zi-1, zi]F' (ξi) dz + ∫[zi-1, zi]F' (z) - (F' (z) - F' (ξi)) dz.

Itt a jobb oldal első tagja

F' (ξi)(zi - zi-1),

a második abszolút értékben

< ε∣ zi - zi-1∣

F' (z) egyenletes folytonossága alapján, hacsak átmérője <δ(ε).

Szorozzuk be az így adódó egyenlőtlenséget h (F (ξi))-vel:

∣ h (F (ξi)) (F(zi) - F (zi-i)) - h (F (ξi)) F' (ξi)(zi - zi-1)∣ < Hε ∣ zi - zi-i∣ ,

ahol bevezettük a H ≝ maxw∈F(γ) ∣ h(w)∣ jelölést. Összegezve

A bal oldalon álló két összeg éppen a két integrálunk közelítő összege. γ felosztását minden határon túl

finomítva F (γ) megfelelő felosztása is végtelenül finomodik, pusztán F (z) γ-n való folytonossága

következtében. Határátmenettel

∣ ∫F (γ)h (w) dw - ∫γh (F (z)) F' (z) dz∣ < Hεℓ(γ),

és ε → 0 adja a Tétel állítását.

INTEGRÁLTÉTELEK


(Jegyezzük meg, hogy γ felosztását végtelenül finomítva nem feltétlenül kapjuk meg F (γ) minden elég finom

felosztását. Erre azonban nincs is szükség sem F (γ) rektifikálhatóságának igazolásakor, mert továbbosztással a

beírt poligon hossza csak nőhet, sem pedig az utolsó lépésben, mert az F (γ)-n vett integrál létezése is ismert,

kiszámításához már szorítkozhatunk speciális felosztásokra is.)

2. PRIMITÍV FÜGGVÉNY

Legyen f (z) folytonos függvény a D tartományon. Ha van primitív függvénye, azaz olyan, D-ben reguláris F (z),

amelyre F' (z) = f (z), akkor a Newton−Leibniz Szabály, utolsó Tételünk Következménye szerint

∫γf (z) dz = F (z (b)) - F (z (a)).

Az integrál tehát csak a két ponttól függ, az őket összekötő úttól független.

f (z)-nek ezt a tulajdonságát néha kényelmesebb úgy fogalmazni, hogy minden zárt görbén vett integrálja

eltűnik. A kettő valóban ekvivalens: a zárt görbék éppen azok, amelyek két, azonos kezdő- és végpontú görbével

γ - γ1 - értsd γ + (-γ1) - alakban adhatók meg, márpedig

∫γ - γ1f (z) dz = 0 ⇔ ∫γf (z) dz = ∫γ1f (z) dz.

TÉTEL (ÚTTÓL VALÓ FÜGGETLENSÉG ÉS PRIMITÍV FÜGGVÉNY). Tartományon adott folytonos

függvény integrálja akkor és csak akkor független az úttól, ha létezik primitív függvénye.

SZÜKSÉGESSÉG BIZONYÍTÁSA. Rögzítsünk egy tetszőleges z0 pontot a tartományban. Ha az integrál

független az úttól, akkor

- ahol a két pontot összekötő γ görbét nem is jeleztük - jól definiált függvény.

Legyen ξ olyan közel z-hez, hogy a [z, ξ] szakasz is a tartományban fekszik. F (ξ)-t definiálhatjuk γ + [z,ξ]

mentén integrálva, amikor is

F (ξ) - F (z) = ∫[z,ξ]f (s) ds = f (z)(ξ - z) + ε (ξ,z),

ahol

A z-beli folytonosság,

miatt

Ez éppen azt jelenti, hogy F(z) differenciálható, és F'(z) = f(z).

MEGJEGYZÉSEK. 1. Sovány vigasy, de a Tétel és bizonyítása - γ-t is annak véve - mutatja, hogy az úttól való

függetlenséget, illetve a zárt görbén való eltűnést elég töröttvonalakra tudni.

2. Ha viszont a tartomány konvex, akkor pusztán F(z) definiálásához nincs is szükség az úttól való

függetlenségre, mert integrálhatunk az egyértelmű [z0, z] szakaszon. Bizonyításunk ekkor csak (a z0, z, ξ csúcsú)

háromszögvonalra használja az integrál eltűnését, amiből tehát következik a primitív függvény létezése, amiből

pedig az integrál eltűnése minden zárt görbére.

INTEGRÁLTÉTELEK


GOURSAT LEMMA. Ha f(z) reguláris egy, a ∆ (irányított) háromszögvonalat a belsejével együtt tartalmazó

tartományon, akkor

∫∆f(z) dz = 0.

A Goursat Lemmából és az előző Tételhez fűzött 2. Megjegyzésből folyik a

CAUCHY TÉTEL KONVEX TARTOMÁNYON. A konvex tartományon reguláris f(z) függvényre

∫γf (z) dz = 0,

ahol γ tetszőleges, a tartományban haladó zárt görbe.

GOURSAT LEMMA BIZONYÍTÁSA. Az integrál legyen I(∆), a jelölést a bizonyításban szereplő

háromszögekre is használva. A háromszögeinket mindig pozitív körüljárással irányítjuk.

Osszuk fel ∆-t a középvonalai mentén négy egybevágó háromszögre. A négy kis háromszögön vett integrál

összege I(∆)-t adja ki, hiszen a középvonalakon vett integrálok kétszer lépnek fel ellenkező előjellel, és így

kiesnek. A négy között kell lenni olyannak - legyen egy ilyen ∆1 -, amelyre

Az eljárást alkalmazzuk ∆ helyett ∆1-re, és így tovább. Háromszögek egy végtelen {∆k} sorozatát kapjuk,

amelyekre

Az egymásba skatulyázott zárt háromszöglapoknak van - egyetlen - közös pontja, jelöljük z0-val, és írjuk fel f (z)

z0-beli differenciálhatóságának a feltételét:

f (z) = f (z0) + f '(z0)(z - z0) + ε(z, z0),

ahol

I(∆k) = ∫∆kf (z) dz = f (z0) ∫∆kdz + f '(z0) ∫∆k (z - z0) dz + ∫∆k ε (z,z0) dz.

A jobb oldal első két integrálja eltűnik, hiszen mind az azonosan 1 függvénynek - amelynek az integrálját

egyébként még korábban elemien is kiszámoltuk -, mind (z - z0)-nak az egész síkon van primitív függvénye.

z ∈ ∆k esetén durván ∣ z - z0∣ < ℓ(∆k), a ∆k háromszög kerülete, és így a harmadik integrál abszolút értékben,

olyan nagy k-ra, amelyre ∆k már benne van z0δ(ε) sugarú környezetében.

Eredményeinket összefoglalva

ε → 0 adja a Goursat Lemma állítását.

GOURSAT LEMMA ÁLTALÁNOSÍTÁSA. A ∆ háromszögvonal belsejével együtt essen a D tartományba,

és ∆ belsejében legyen adva véges sok pont, zj (j = 1,...,n). Ha f(z) reguláris a kipontozott

tartományon, és

INTEGRÁLTÉTELEK


akkor

∫∆f (z) dz = 0.

BIZONYÍTÁS. A zj pontok mint középpontok körül rajzoljunk kis, ρ oldalhosszú Qj négyzeteket, ρ-t - később

majd további megszorításnak alávetve - egyelőre olyan kicsire választjuk, hogy ezek belsejükkel együtt

egymástól és ∆-tól diszjunktak legyenek.

Alkalmazzuk ismét a Goursat Lemmában is bevált eljárást, az úgynevezett triangulálást integrálok

lokalizálására: a háromszöglapból hagyjuk el a négyzetlapokat, és a keletkező síkidomot véges sok szakasz

behúzásával daraboljuk fel háromszögekre. Minden keletkező háromszögvonal teljesíti a Goursat Lemma

feltételét, tehát rajta f(z) integrálja eltűnik.

Adjuk össze ezeket az integrálokat, a háromszögvonalakat a Qj négyszögvonalakkal együtt most is pozitív

irányítással értve. A behúzott szakaszokon vett integrálok ismét kiesnek, és megmaradnak a ∆-t kiadó szakaszok

pozitív előjellel és a Qj-ket kiadó szakaszok negatív előjellel:

A zj pontokban való viselkedésre tett kikötés miatt

minden ε > 0-ra. A Goursat Lemma általánosítását bebizonyítottuk.

D legyen konvex, s ∈ D és f (z) kivétel nélkül reguláris D-ben. A Goursat Lemma általánosítását az

függvényre akarjuk alkalmazni. Egyetlen kivételes pont van, s, ahol a feltétel f (z) s-beli folytonossága miatt

triviálisan teljesül. Ezért

minden D-beli, s-et elkerülő γ háromszögvonalra.

Akkor azonban igaz minden zárt görbére. Ugyan nem közvetlenül, a 2. Megjegyzésből, hiszen D \{s} nem

konvex, hanem a sovány vigaszt nyújtó l.-re való hivatkozással: elég tudni töröttvonalakra, töröttvonalat viszont

triangulálhatunk, csak arra vigyázzunk, hogy a behúzott szakaszok se menjenek át s-en. Az n(γ, s) index alábbi

definíciójával így adódik a

TÉTEL (CAUCHY FORMULA KONVEX TARTOMÁNYOKON). A D konvex tartományon reguláris f(z)

függvényre

INTEGRÁLTÉTELEK



3. GÖRBE INDEXE

Először e fontos Cauchy Formula bal oldalán álló, pusztán a geometriától függő kifejezést vesszük szemügyre.

DEFINÍCIÓ (GÖRBE INDEXE). Legyen γ zárt görbe, s ∉ γ. Az

mennyiséget a γ görbe s-re vonatkozó indexének nevezzük.

Tekintsük példaként az s = 0 és az e körüli, pozitív irányban egyszer körüljárt, r sugarú kör esetét. Paraméteres

előállítása z(t)= reit (t ∈ [0, 2π]), és az integrált a fejezet elején megismert módon valós integrállá alakíthatjuk:

(Az integrációs út pontatlan ∣ z∣ = r jelölésén a későbbiekben is az itt leírt irányított körvonalat értjük.)

TÉTEL (INDEX TULAJDONSÁGAI). (i) n(γ,s) egész szám.

(ii) Mint s függvénye n(γ, s) γ komplementerének minden komponensében konstans.

(iii) A nemkorlátos komponensben n(γ, s) = 0.

Például

(ii) alapján, mert s = 0-ra már kiszámoltuk, a második eset (iii) alapján.

BITONYÍTÁS. (i) Ha globálisan nincs is, lokálisan van 1/(z - s)-nek primitív függvénye az s-ben kipontozott

síkon.

Osszuk fel γ-t olyan kis (i = 1,...,n) ívekre, amelyek beleesnek egy, s-et nem tartalmazó konvex

tartományba. Ha átmérőjük <d(s,γ) - ismét általános jelölésünket használva pontok és/vagy halmazok egymástól

mért távolságára -, akkor a {\z - zi∣ <d(s, γ)} körlap megfelel. Ilyen konvex tartományban - még s-ből kiinduló

félegyenessel felmetszett síkban is - értelmezhető log(z - s) reguláris ága. A Newton−Leibniz Szabály szerint

A reguláris logaritmusokhoz egymás után 2πi alkalmas egész számú többszörösét adva elérhető, hogy zi - s itt

pozitív előjellel szereplő logaritmusa ugyanaz legyen, mint a következő ívre felírt képletben a negatív előjellel

szereplő. Összegzés után ekkor a közbülső tagok kiesnek, és marad

Erre a képletre, ahol γ z0-ból zn-be menő, nem is feltétlenül zárt görbe, és a jobb oldalon bizonyos - bár előre

nem látható, hogy mely - logaritmusok állnak, még később is hivatkozunk.

Ha viszont γ zárt, z0 = zn, akkor a jobb oldal mint egyazon komplex szám két logaritmusának a különbsége

valóban 2πi egész számú többszöröse.

INTEGRÁLTÉTELEK


MEGJEGYZÉSEK. Az osztópontokkal kijelölt töröttvonal indexe ugyanaz, mint γ-é, hiszen a [zi - 1, zi] szakasz is

abban a konvex tartományban halad, amelyben a ív, és így a kettőn vett integrál egyenlő. Például pozitív

körüljárású téglalap belsejének minden pontjára vett indexe 1, mert ugyanannyi, mint a köré írt köré. Ezt is egy

későbbi hivatkozáshoz jegyeztük meg.

A korábbi Newton−Leibniz Szabály mindkét oldalának képzetes részét véve

n(γ, s) tehát z - s argumentumának megváltozása γ mentén 2π-vel osztva, szemléletesen azt jelenti, hogy

hányszor kerüli meg γ az s pontot.

(ii) Elég megmutatni, hogy n(γ, s) mint s függvénye folytonos: összefüggő halmazon egész értékű folytonos

függvény csak konstans lehet.

s → s 0 esetén d(s,γ) → d(s0,γ) > 0, és így valóban

n(γ,s) → n(γ,s0).

(iii) Hivatkozhatunk például a Cauchy Tételre konvex tartományon: elég nagy ∣ s∣ esetén γ a {∣ z∣ < ∣ s∣ }

konvex tartományban halad, ahol 1/(z - s) reguláris.

Ezzel n(γ, s) tulajdonságait bebizonyítottuk.

4. ÁLTALÁNOS CAUCHY TÉTEL

Vegyük most szemügyre a Cauchy Formula jobb oldalán álló integrált. Közelítő összege az s változó reciproka

eltoltjainak lineáris kombinációja, ilyenek határértékeként tehát minden reguláris függvény előáll (legalábbis ott,

ahol a bal oldali együttható, n(γ, s) ≠ 0). A formulának ezért megvan az a potenciális ereje, hogy a reciprok

függvény tulajdonságait általános reguláris függvényre átörökítse. Erről szól első alkalmazásunk a formulára.

Láncon véges sok irányított zárt görbe halmazát értjük. Természetes módon, additíve értelmezzük rajta az

integrált és ennek megfelelően az indexét is.

ÁLTALÁNOS CAUCHY TÉTEL Legyen D tetszőleges tartomány, γ ⊂ D olyan lánc benne, amelynek indexe,

n(γ,s = 0 minden s ∉ D pontra. Ekkor minden, D-ben reguláris f (z) függvényre

∫γf (z) dz = 0.

A Tétel valóban azt mondja, hogy ha a tartományban reguláris reciprok függvények integrálja mind eltűnik,

akkor minden reguláris függvényé is. A láncra tett feltevés így egyben szükséges is.

Vannak olyan tartományok, amelyekben e feltevés automatikusan teljesül.

DEFINÍCIÓ (EGYSZERESEN ÖSSZEFÜGGŐ TARTOMÁNY). A D tartományt egyszeresen

összefüggőnek hívjuk, ha n(γ,s) = 0 minden γ ⊂ D zárt görbe és s ∉ D esetén.

(A bizonyításainkban mindig ezt a definíciót használjuk, de jó tudni, hogy ez ugyanaz, mint hogy D-nek a zárt

síkra vett komplementere összefüggő (zárt) halmaz, vagy hogy minden zárt görbe D-ben egy pontra húzható

össze. E nem triviális ekvivalenciákkal nem foglalkozunk.)

Erre az esetre nem is lenne értelme a lánc fogalmát bevezetni. Ha viszont például D az origó körüli körgyűrű,

akkor egy koncentrikus körvonal ugyan nem, de két ellentétes irányítású koncentrikus körvonalból álló lánc

teljesíti a feltevést, mert s ∉ D vagy mind a kettő belsejében van, és így az index 1 - 1 = 0, vagy mind a kettő

külsejében, és akkor mindkettő inexe 0. Cauchy Tétele ekkor így néz ki.

INTEGRÁLTÉTELEK


ÁLTALÁNOS CAUCHY TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Feltehetjük, hogy D korlátos. Az általános esetben

szorítkozzunk egy, γ-t tartalmazó D1 ≝ D∩{∣ z∣ < R} metszetre. A láncra tett feltevés D1-re vonatkozóan is

teljes ül, mert s ∉ D1 vagy ∉ D, akkor eleve, vagy ∣ s∣ ≥ R, amikor is rá nézve a láncot alkotó mindegyik görbe

indexe 0. Ha tehát D1-re már tudjuk a Tételt, akkor készen vagyunk.

D 1 azonban nem feltétlenül tartomány. Most az egyszer eltekintünk az összefüggőségtől, és bebizonyítjuk az

állítást minden korlátos nyílt D halmazra.

Borítsunk a síkra δ rácstávolságú négyzetrácsot. A rácsnégyzeteket pozitív irányítású négyszögvonalaknak, még

inkább a négy irányított oldal halmazának tekintjük. Nevezzünk egy ilyet belsőnek, ha az általa határolt (zárt)

négyzetlap D-be esik, és jelöljük Q-val.

Adjuk össze a Q belső négyzeteket előjelesen, amin azt értjük, hogy ha egy oldal két Q-hoz tartozik, akkor az

ellentétes irányítások miatt kiesik, és azok az oldalak maradnak meg eredeti irányításukkal - jelöljük ezek

összességét Γ-val -, amelyek csak egyetlen Q-ban fordulnak elő. Meg lehetne mutatni, hogy Γ láncot alkot, de

erre nem lesz szükségünk.

Legyen z ∈ D egyelőre rögzített pont, és tegyük fel először, hogy nem esik rácsvonalra. Ekkor

a konvex tartományokra már ismert Cauchy Formulának, illetve a Cauchy Tételnek köszönhetően, ha Q-t D

konvex résztartományába foglaljuk, és hivatkozunk arra, hogy az első esetben valójában n(Q,z) = 1, mint az

index (i) tulajdonságának bizonyítása után megjegyeztük, a másodikban pedig az integrandus reguláris, ha a

tartományba z-t már nem foglaljuk bele.

Ha z messze van a határtól, , akkor a z-t megkerülő rácsnégyzet szükségképpen belső, és az első

eset pontosan egy Q-ra valóban előfordul.

Adjuk össze ezeket az egyenleteket. Az integrálok ugyanúgy összegződnek, ahogy maguk a Q-k, és csak a Γ

szakaszain vett integrálok maradnak meg:

Ha z rácsvonalra esik, akkor - fenntartva a kikötést - mind a két vagy mind a négy őt tartalmazó

rácsnégyzet belső, és először ezeket adjuk össze előjelesen. Olyan téglalapot vagy négyzetet kapunk, amelynek

már a belsejében van z, és erre felírva a Cauchy Formulát, a többi Q-ra a Cauchy Tételt, majd a

négyszögvonalakat és az integrálokat összeadva ugyanazt a Γ-t és ugyanazt a formulát kapjuk.

Ha - rögzítsük le δ-t így -, akkor speciálisan minden z ∈ γ-ra érvényes lesz az integrálképletünk,

és γ-n integrálva

Γ definíciója értelmében minden ξ ∈ Γ rajta van egy olyan rácsnégyzeten is, amely által határolt négyzetlapnak

van s ∉ D pontja. Ez a négyzetlap nem metszheti γ-t, tehát a láncot alkotó minden görbére nézve egy

komponensben van, és speciálisan n(γ,ξ) = n(γ,s) = 0 a feltevés szerint. Az integrál tehát eltűnik.

Vonalintegrálok felcseréléséről azonban nem tanultunk. Hivatkozzunk ezért arra, hogy Γ eleve szakaszokból áll,

és így rajta vett integrál átírható valós integrállá, γ-ról pedig ugyanez feltehető: kis, D konvex résztartományaiba

foglalható ívekre osztva ismét a Cauchy Tétel már ismert esete szerint f (z)-nek a felosztáshoz tartozó

töröttvonal mentén és a γ mentén vett integrálja megegyezik. Ekkor pedig már folytonos függvény két valós

változója szerint vett integráljainak a feleseréléséről van szó.

INTEGRÁLTÉTELEK


Az Általános Cauchy Tételt teljesen bebizonyítottuk.


4. fejezet - HATVÁNYSORBA FEJTÉS

1. HATVÁNYSORBA FEJTÉS

A reciprok függvényt geometriai sorba tudjuk fejteni, A konvex tartományon ismert Cauchy Formula második

alkalmazásaként nézzük meg, mit tud ebből általános reguláris függvényekre átörökíteni!

Legyen D konvex tartomány, γ zárt görbe D-ben, az a legnagyobb sugár, amellyel

{∣ z - z0∣ < r} ⊂ D \ γ. Mivel az r sugarú teljes körlap γ komplementerének ugyanabban a komponensében van,

mint z0, ezért n(γ,z) = n(γ,z0) (∣ z - z0∣ < r), és ezekre a z-kre a Cauchy Formula szerint

alapján, a w = (z - z0)/(ξ - z0) választással

Felhasználva, hogy ξ ∈ γ esetén ∣ ξ - z0∣ ≥ r, ∣ w∣ ≤ ∣ z - z0∣ /r, és így ∣ z - z0∣ < r esetén a geometriai sor a ξ

változóban egyenletesen konvergens. Beírva az integrálba szabad tehát tagonként integrálni:

ahol

Ezzel a következő hatványsor-előállításhoz jutottunk:

A "Reguláris függvény" c. fejezetben a hatványsor által előállított függvény deriváltjaival fejeztük ki a sor

együtthatóit. Összevetve a mostani definíciónkkal melléktermékként adódnak a

CAUCHY FORMULÁK KOVEX TARTOMÁNYON. A konvex tartományon reguláris f (z) függvényre


A képlet a korábbról ismert n = 0 eset formális deriválásával keletkezik, és közvetlenül is be lehetne úgy

bizonyítani.

Számunkra most fontosabb következmény a

HATVÁNYSORBA FEJTÉS


TÉTEL (HATVÁNYSORBA FEJTÉS). Ha f (z) reguláris a {∣ z - z0∣ < R} (0 < R ≤ ∞) körben, akkor ott

előállítható

hatványsor alakjában, ahol

A bizonyításhoz az előzőket kell alkalmazni a γ = {∣ ξ - z0∣ = r} körvonalra, amikor is n(γ,z0) = 1. Minden r <

R-re kapunk egy hatványsorfejtést {∣ z - z0∣ < r}-ben, de a hatványsorok egyértelműsége (vagy - közvetlenül -

az együtthatók integrálképlete és az Általános Cauchy Tételre körgyűrűben az "Integráltételek" c. fejezetben

adott példánk) alapján a hatványsor együtthatói r-től valójában függetlenek, és így a közös sorfejtés a teljes {∣ z

- z0∣ < R} körlapon érvényes.

A "Reguláris függvény" c. fejezetben láttuk, hogy fordítva, hatványsorral adott függvény reguláris a

konvergenciakörben, tehát legalábbis lokálisan, körlapon teljesen leírtuk a reguláris függvényeket. Jó ideig, ha

nem az egész hátralevő anyagban ebből a Tételből fogunk élni.

Azt is láttuk, hogy hatványsor akárhányszor differenciálható, ami tehát már következménye a regularitásnak,

azaz az egyszeri differenciálhatóságnak. (Ezt előlegeztük meg az előbb a Cauchy Formulák felírásakor, amikor

(n (γ,s) f (s))(n

) helyett n (γ,s) f(n

)(s)-et írtunk.)

2. UNICITÁS

TÉTEL (VÉGTELEN RENDBEN ELTŰNŐ FÜGGVÉNY). Ha tartományon reguláris függvényre f (n

)(z0) =

0 (n = 0,1,...) a tartomány egyetlen pontjában, akkor f (z) ≡ 0.

BIZONYÍTÁS. A z0-beli hatványsor eltűnik, amiből az állítás triviális z0 környezetében.

a tartomány két diszjunkt halmazra való bontása. Most jegyeztük meg, hogy az első halmaz nyílt; a második

meg azért, mert f(n

)(z) folytonos. Az összefüggőség miatt az egyik üres halmaz. Az első nem lehet, ezért az tölti

ki a teljes tartományt, ahogy állítottuk.

Tegyük fel most, hogy f(z) ≢ 0. Ekkor a z0 körüli hatványsor együtthatói sem lehetnek mind 0-k. A legkisebb

ténylegesen előforduló hatványt kiemelve

f(z) = (z - z0)mg(z),

ahol

A g(z) hatványsor is reguláris z0 környezetében, speciálisan folytonos, és így nem tűnik el egy teljes

környezetben. A kiemelt tényező ezt legfeljebb z0-ban teheti meg, és azt kapjuk, hogy f(z) = 0 valamilyen

kipontozott {0 < ∣ z - z0∣ < δ} környezetben. Még frappánsabban hangzik ez a tagadásával megfogalmazva:

UNICITÁS TÉTEL. Ha zn → z0 ∈ D, zn ≠ z0, és a D tartományban reguláris f (z) függvényre f (zn) = 0 (n =

1,...), akkor f (z) ≡ 0. Más szóval, ha két reguláris függvény megegyezik a közös regularitási tartományuk egy, a

tartomány belsejében torlódó részhalmazán, akkor mindenütt megegyezik.

Így vezethető le például a

cos2z + sin2z = 1



azonosság az egész komplex síkon abból, hogy a valós tengelyen fennáll. Ha függvényegyenletek ilyen

kiterjesztésére használják, akkor az Unicitás Tételt Permanencia Elvnek nevezik.

3. TAYLOR-SOR

A hatványsorba fejtés a komplexben sokkal egyszerűbb, mint a valósban: csak egyszeri differenciálhatóságot

kell ellenőriznünk, nem kell törődnünk a Taylor-sor konvergenciájával, vagy hogy előállítja-e a függvényt; a

legnagyobb körlapon, ami benne van a tartományban, ahol a függvény reguláris, mindez automatikusan teljesül.

A Taylor-sor konvergenciaköre ennél a körnél csak nagyobb lehet.

Az ott reguláris függvényünk értelmezési tartománya legyen a {∣ z - z0∣ < R} kör. Azt mondjuk, hogy a

függvény a kerület egy pontján át folytatható, ha kiterjeszthető a körnek és a pont kis környezetének az

egyesítésére reguláris függvénnyé. Ha a z0 körüli Taylor-sorkonvergenciasugara R-nél nagyobb, akkor persze a

függvény a kör kerületének minden pontján át folytatható. Fordítva, ha a konvergenciasugár megegyezik R-rel,

akkor a kerületen kell lenni olyan pontnak, amelyen át már nem folytatható.

Valóban, ha az R sugarú körvonal két pontján át folytatható egymást metsző környezetekbe, akkor az Unicitás

Tétel miatt a metszetben, ami az R sugarú körbe is belenyúló tartomány - ez volt az egyik oka, hogy

környezetnek csak kör alakút neveztünk -, a két kiterjesztés ugyanazt a függvényt értelmezi. Ha tehát az R

sugarú körvonal minden pontján át folytatható, akkor a megfelelő környezetek és az R sugarú körlap által

lefedett tartományban jól definiált reguláris függvényt kapunk, és így a Taylor-sornak nagyobb körben is

konvergálnia kellene.

A konvergenciasugár tehát az együtthatók és az Hadamard Képlet megkerülésével a függvény viselkedéséből is

leolvasható.

Például definiáljuk log(1 + z) reguláris ágát a {∣ z∣ < 1} egységkörben a főértékével.

és minden további vizsgálat nélkül írhatjuk, hogy

log(1 + x) → ∞ (x → -1 + 0)

miatt a függvény a z = -1 ponton át nem folytatható, ezért a sor konvergenciaköre megegyezik az egységkörrel.

Az

hatványfüggvényt definiáljuk ugyanezzel a logaritmussal. Érvényes az

valósból ismert képlet - akkor, ha ezen utóbbi hatványfüggvényt is ugyanazzal a logaritmussal definiáljuk, mint

az eredetit! -, és tovább differenciálva szintén rögtön megkapjuk az általános binomiális formulát,

Ismét z = -1 (az egyetlen) olyan pont, amelyen át nem folytatható a függvény, kivéve természetesen, amikor α

nemnegatív egész szám. A függvény alkalmas rendű deriváltja fog most (-1)-ben ∞-hez tartani.



4. LOKÁLIS ASZIMPTOTIKUS VISELKEDÉS

Legyen f (z) nemkonstans reguláris függvény z0 környezetében. Az f (z0) = a0 konstans tagot levonva a

hatványsorából, ismét emeljük ki a legkisebb előforduló hatványt:

f (z) - f (z0) = (z - z0)mg(z),

g(z) ≝ am + am+1 (z -z0) + ..., g(z0) = am ≠ 0, m ≥ 1.

Azt mondjuk, hogy az f (z0) = a0 érték multiplicitása, m, amit így is definiálhatunk:

m = min(n ≥ 1: f(n

) (z0) ≠ 0).

m = 1 esetén ez nem más, mint a differenciálhatóság, de m > 1, azaz f '(z0) = 0 esetén a hatványsorfejtés fontos

következménye. Lineáris alakban így is írhatjuk:

Legyen z - z0 = δeiϑ. A z0 körűli δ sugarú körvonal képe

f (z0 + δeiϑ) = f (z0) + g (z0) δmeimϑ + o(δm) (0 ≤ δ ≤ 2π).

A főtag, a jobb oldal első két tagja f (z0) körüli, ∣ g (z0)∣ δm sugarú körvonalat ír le pozitív irányban m-szer

körüljárva. A hibatag a sugárral osztva 0 ≤ ϑ ≤ 2π esetén egyenletesen tart 0-hoz, midőn δ → 0. Ez a körtartás

általános esete.

A leképezés lokális viselkedésének jobb megértéséhez térjünk vissza a kiindulási limeszrelációhoz. Az, hogy

komplex mennyiség egy 0-tól különböző komplex mennyiséghez tart, két dolgot jelent. Egyrészt az abszolút

értékekre

egyenletesen 0 ≤ ϑ ≤ 2π esetén. Részletesen megfogalmazva, tetszőleges ε > 0 esetén elég kis δ-ra

∣ g (z0)∣ δm (1 - ε) < ∣ f (z) - f (z0)∣ < ∣ g (z0)∣ δm (1 + ε).

Ez a gyenge körtartásnak nevezhető tulajdonság szemléletesen azt jelenti, hogy z0 körüli kis körvonal képe fz0

körüli, fz0-tól való távolságához képest keskeny körgyűrűbe esik.

Másrészt az irányra, amit az argumentumokkal - azok többértékűsége miatt - körülményes volna precízen leírni,

Tekintsük a z0-ból kiinduló, a valós tengellyel ϑ szöget bezáró sugár képét. A bal oldal a képgörbe szelőjének

irányába mutató egységvektor. Ennek van tehát határhelyzete, más szóval a képgörbének érintője az f (z0)

pontban, ami a valós tengellyel arg g (z0) + mϑ szöget zár be. Részletesen megfogalmazva, az f (z0)-ból induló

képérintőt tartalmazó tetszőleges, f (z0) csúcsú szögtartomány tartalmazni fogja a képgörbe elég kis δ-hoz tartozó

pontjait.

A z0-ból kiinduló sugarat α szöggel elforgatva, a képérintő - az irányítást megtartva - mα szöggel fordul el. Ez a

szögtartás m = 1 esetén; általában a szög m-szereződik. z0-ból induló sugár helyett természetesen akármilyen

görbét is vehetnénk, amit z0-ban a sugár érint.



5. MAXIMUM ELV

A képérintő minden helyzetet felvehet, speciálisan az f (z0)-t reprezentáló vektorral párhuzamos is lehet,

mégpedig a

választással; ez (mod 2π) m különböző értéket jelent, akármelyiket vehetjük közülük.

A határérték válastásunk szerint pozitív, ezért elég kis δ-ra biztosan

Ebből is csak arra van szükségünk, hogy tetszőleges z0 mellett létezik ∣ f (z)∣ > ∣ f (z0)∣ érték. Közben

hallgatólagosan feltettük, hogy f (z0) ≠ 0, de különben eredményünk triviális. Ez a

MAXIMUM ELV, 1. VÁLTOZAT. Tartományon értelmezett reguláris, nemkonstans függvény abszolút

értékének nincs maximuma.

Az ártatlannak látszó tény haszna akkor válik világossá, ha átfogalmazzuk: miután belül nem veheti fel a

maximumát, a határon kénytelen felvenni. Az amúgy értelmetlen "maximumot a határon" így jelöljük:

és az összes {ξn} ⊂ D D belsejében nem torlódó pontsorozat menti lim supn→ ∞ ∣ f (ξn)∣ szuprémumát értjük

rajta. (Csak megjegyezzük, hogy ez nem más, mint D egypont kompaktifikációjában az egyetlen határpontjában

vett limesz szuperior vagy a határt a zárt síkra vonatkoztatva

és hogy mind a két helyen a szuprémum igazából maximum.)

MAXIMUM ELV, 2. VÁLTOZAT. Legyen D tetszőleges tartomány, f (z) reguláris D-ben. Ekkor

nemkonstans f(z)-re mindenütt határozott egynlőtlenséggel.

BIZONYÍTÁS. Triviális, hogy

Válasszunk {ξn} ⊂ D sorozatot, amely mentén ∣ f (ξn)∣ tart ehhez a szuprémumhoz.

Nemkonstans függvényre a már igazolt 1. változat szerint a sorozat nem torlódhat D belső pontjához, különben

ott a függvény felvenné a maximumát. Sorozatunk tehát szerepel a határon vett limesz szuperior definíciójában,

és írhatjuk:



Az 1. változat az egyenlőség lehetőségét is kizárja az első egyenlőtlenségben.

Konstansra pedig minden nyilvánvaló.

Ha a tartomány korlátos, és f (z) még a határán is értelmezve van úgy, hogy a lezártján folytonos legyen, akkor

az általunk definiált lim supξ→∂D valóban megegyezik a határon felvett maximummal, és adódik a

MAXIMUM ELV, SPECIÁLIS ESET. Ha D korlátos tartomány, f (z) reguláris D-ben és folytonos

lezártján, akkor

nemkonstans f (z)-re mindenütt határozott egyenlőtlenséggel.

Tipikus alkalmazás a

SCHWARZ LEMMA. Tegyük fel, hogy f (z) reguláris, ∣ f (z)∣ ≤ 1 (∣ z∣ < 1), f (0) = 0. Ekkor

∣ f (z)∣ ≤ ∣ z∣ (0 < ∣ z∣ < 1), ∣ f ' (0)∣ ≤ 1,

és ha akárcsak egy 0 < ∣ z∣ < 1 helyen vagy a második egyenlőtlenségben egyenlőség áll, akkor szükségképpen

f (z) = ρz ∣ ρ∣ = 1 konstanssal.

BIZONYÍTÁS. f (z) origó körüli hatványsorának konstans tagja hiányzik. z-t kiemelve f (z) = zg (z), ahol

reguláris függvény, rá alkalmazzuk a Maximum Elv 2. változatát.

A feltevés szerint

Ha ξn nem torlódik az egységkörben, akkor ∣ ξn∣ → 1 - 0, és

ami tehát a határon vett limesz szuperiorra is felső korlát. A Maximum Elv közreműködésével az eredeti gyenge

egyenlőtlenségünk így felerősíti önmagát:

Ha itt egyetlen z-re egyenlőség van, akkor g(z) ≡ ρ, ∣ ρ∣ = 1. g(z) definíciója szerint éppen ez volt az állítás.

6. EGYÜTTHATÓBECSLÉS

Végül a hatványsor együtthatóira adott integrálformula becslésének néhány következményét említjük.



n = 0-ra a MAximum Elv nagyon speciális esetét kapjuk, amiből egyébként a legáltalánosabb esetet is könnyen

levezethetnénk.

Legyen most f (z) az egész síkon reguláris, úgynevezett egészfüggvény,

a maximum modulus függvénye. A Maximum Elv speciális esete értelmében ∣ z∣ ≤ r-re véve a maximumot

ugyanazt kapnánk. A z0 = 0 körüli hatványsor együtthatóira ezzel így néz ki a becslésünk:

Ha például konstans M-mel M (r, f) ≤ M (r ≥ 0), akkor

Ez a nevezetes

LIOUVILLE TÉTEL. Korlátos egészfüggvény konstans.

TÉTEL (POLINOM JELLEMZÉSE). Ha f (z) egészfüggvény, M (r,f) < rαkonstans α-val akár csak egy r = ri

→ ∞ sorozat mentén, akkor f (z) polinom, és foka, grad f megegyezik az ilyen α-k infimumával.

BIZONYÍTÁS. r = ri → ∞ mellett

f (z) valóban polinom, grad f ≤ α.

Fordítva, ha m-edfokú polinom, akkor többet is mondhatunk:

Például

∣ f (z)∣ < 2∣ am∣ rm < rα, M (r,f ) < rα (∣ z∣ = r ≥ r0)

minden α > m és tőle függően elég nagy r0 esetén.

A Liouville Tétel segítségével most egyszerű bizonyítást adunk az Algebra Alaptételére.

Tegyük fel, hogy a P (z) m-edfokú polinom (m ≥ 1) sehol sem 0. Ekkor f (z) ≝ 1/P (z) is egészfüggvény, ami a

polinomokról az előbb mondottak szerint z → ∞ mellett 0-hoz tart, és így korlátos, tehát konstans, sőt a konstans

csak 0 lehetne, ami képtelenség.

Ha van egy z1 gyök, akkor

ahol P1 (z) 1-gyel alacsonyabb fokú polinom. Véges sok lépés után a

P (z) = am (z - z1) ⋯ (z - zm)

gyöktényezős alakra jutunk. Később megmutatjuk, hogy sokkal általánosabb egészfüggvényeknek is vannak

nullhelyei, és azok segítségével hasonló gyöktényezős alakban fogjuk őket felírni.


5. fejezet - IZOLÁLT SZINGULARITÁSOK

1. LAURENT-SOR

Az {R1 < ∣ z - z0∣ < R2} (0 ≤ R1 < R2 ≤ ∞) - esetleg elfajult - körgyűrűben reguláris f (z) függvényre keresünk

előállítást.

A kör esetének megfelelő Cauchy Tétel és Cauchy Formula az R1 < r1 < r2 < R2 sugarú koncentrikus körökkel:

Az első Cauchy Általános Tételére adott példánk volt az "Integráltételek" c. fejezetben, a második is levezethető

lenne abból. Adjunk azonban most mindkettőre egyszerű, közvetlen, csak a konvex esetet felhasználó

bizonyítást!

BIZONYÍTÁS. Vágjuk fel az {r1 < ∣ z - z0∣ < r2} körgyűrűt sugár irányú szakaszokkal Qj körgyűrűcikkekre

úgy, hogy mindegyik befoglalható legyen az {R1 < ∣ z - z0∣ < R2} gyűrű egy-egy konvex résztartományába; a

zárt görbének tekintett gyűrűcikkeket az r2 sugarú kör pozitív körüljárásával irányítjuk.

hiszen a sugárirányú szakaszokon az integrálok kiesnek. A Cauchy Tétel szerint az összeg minden tagja eltűnik.

Cauchy Formulánk bizonyításánál arra is ügyeljünk, hogy egyik behúzott szakasz se menjen át a z ponton.

Legyen Q0 az a gyűrűcikk, amelyik belsejébe esik z, a többi Qj-t (j ≠ 0) pedig olyan konvex tartományba

foglaljuk, amely z-t már ne tartalmazza.

A j ≠ 0 tagok a Cauchy Tétel szerint mind eltűnnek, míg a j = 0 tag a Cauchy Formula szerint n (Q0,z) f (z).

Hogy az index kiszámításához se csak a szemléletünkre hagyatkozzunk, írjuk fel képletünket az f (z) ≡ 1

függvényre:

n (∣ ξ - z0∣ = r2,z) - n (∣ ξ - z0∣ = r1,z) = n (Q0,z),

ami n (Q0,z)-re valóban 1 - 0 = 1-et ad.

A Cauchy Formulánkban szereplő első integrál a hatványsorfejtésből ismerős, és ugyanazt kell vele csinálni. Az

geometriai sor rögzített z-re a {ξ - z0∣ = r2} körvonalon egyenletesen konvergál, hiszen hányadosának abszolút

értéke ξ-től függetlenül

Szabad tehát tagonként integrálni:

IZOLÁLT SZINGULARITÁSOK


ahol

bármely R1 < r < R2 esetén a Cauchy Tételünk taanúsága szerint.

A Cauchy Formulánkban szereplő másik integrál integrandusát így alakítjuk át:

A sor a {∣ ξ - z0∣ = r1} körvonalon így lesz egyenletesen konvergens, mert a hányados,

Az integrálás és az összegzés sorrendjét felcserélve

ahol n ≝ - (m + 1), és

bármely R1 < r < R2 esetén, formálisan ugyanaz a képlet, mint az n ≥ 0 esetben. Összefoglalva,

TÉTEL (LAURENT-SORBA FEJTÉS). Ha f (z) reguláris az {R1 < ∣ z - z0∣ < R2} gyűrűben, akkor

egyértelműen felírható

úgynevezett Laurent-sor alakjában, ahol

Kétirányban végtelen sor konvergenciáját itt hallgatólagosan úgy értelmeztük, hogy a nemnegatív és a

negatív indexű rész külön-külön konvergens. (Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy

határértékhez tart, midőn N és M függetlenül tart +, illetve - ∞-hez.)

Az egyértelműség még hátralevő bizonyítása előtt írjuk le általános Laurent-sor konvergenciaviselkedését.



TÉTEL (LAURENT-SOR KONVERGENCIÁJA). A Laurent-sor abszolút konvergens, ha

R 1 < ∣ z - z0∣ < R2, és ott reguláris függvényt állít elő, minden kisebb {ρ1 ≤ ∣ z - z0∣ ≤ ρ2} gyűrűben

egyenletesen konvergens, ahol R1 < ρ1 ≤ ρ2 < R2, és divergens, ha ∣ z - z0∣ < R1vagy ∣ z - z0∣ > R2, ahol

Itt 0 ≤ R1 ≤ ∞ és 0 ≤ R2 ≤ ∞ egymástól függetlenek, és a felsorolt esetek közül egyesek esetleg elő sem

fordulnak.

BIZONYÍTÁS. Laurent-sort úgy képzelhetünk el, mint

ahol

mindegyike közönséges hatványsor az Hadamard Képlet szerint 1/R1, illetve R2 konvergenciasugárral, és nem

kell mást tennünk, mint mindkettőre közvetlenül alkalmazni a "Reguláris függvény" c. fejezetben a

hatványsorról tanultakat.

EGYÉRTELMŰSÉG BIZONYÍTÁSA. Legyen tehát

az {R1 < ∣ z - z0∣ < R2} valódi gyűrűben konvergens Laurent-sor, és számítsuk ki az

integrált valamilyen R1 < r < R2 sugarú koncentrikus körön:

Azért integrálhattunk tagonként, mert a Laurent-sor egyenletesen konvergens az r sugarú körvonalon.

Általában

ugyanis az első esetben a körvonalnak a középpontjára vonatkozó indexéről van szó, a többiben pedig az

integrandusnak van primitív függvénye.

A végtelen sorban tehát csak az n = m tag marad meg am értékkel: a függvény valóban egyértelműen

meghatározza a sorát (a várt képlettel).

MEGJEGYZÉSEK?. A Laurent-sort a z = z0 + reit-vel paraméterezett körvonalon t függvényeként tekintve



komplex alakba írt Fourier-sort kapunk, és tulajdonképpen a Fourier-sor egyértelműségét mutattuk meg azáltal,

hogy az együtthatókat a trigonometrikus rendszer ortogonalitásán alapuló ismert formulával kifejeztük. Mindezt

megértjük, ha integráljainkat nem a követett komplex úton, hanem t szerintiekké átírva számítjuk ki.

Az egyértelműség természetesen csak egyetlen körgyűrűre vonatkozik. Két azonos középpontú diszjunkt

körgyűrűben a Laurent-sorok egészen mások lehetnek.

Taylor-sor felírásához elég volt a középpontban deriválni, a Laurent-sor együtthatóira azonban csak az

integrálképletünket használhatjuk, vagy ad hoc módszerekkel próbálkozhatunk.

PÉLDA.

racionális függvényt, ahol P (z) és Q (z) ≢ 0 polinomok, parciális törtekre célszerű bontani: ha a nevező

kanonikus szorzata

Q (z) = a (z - zl)αi ⋯ (z - zm)α

m (zi ≠ zj),

akkor

alakba írható, ahol R (z) is polinom.

Valóban, a komplex együtthatós polinomok gyűrűjében működik az euklideszi algoritmus, ezért a

akkor

polinomokkal, amelyek relatív prímek, hiszen nincs közös gyökük, minden polinom kifejezhető

alakban, ahonnan

és a Pi (z) polinomot z - zi hatványai szerint kifejtve megkapjuk az ígért előállítást.

Elég tehát 1/(z - zi)αz0 körüli vagy egyszerű helyettesítés után 1/(z - 1)α 0 körüli (α ≥ 1 egész) Laurent-sorait

meghatározni. Kettő van:

hatvánvsor és

ami 1/z-ben hatványsor.



2. IZOLÁLT SZINGULARITÁSOK

DEFINÍCIÓ (IZOLÁLT SZINGULARITÁS). Azt mondjuk, hogy a z0 pont f (z) izolált szingularitása, ha f (z)

reguláris z0 valamely {0 < ∣ z - z0∣ < R} kipontozott környezetében.

Szingularitáson kizásólag izolált szingularitást értünk. f (z) a kipontozott környezetben Laurent-sorba fejthető.

Korábbi jelöléseinkkel R1 = 0, R2 = R,

ahol H(w) konvergens minden ∣ w∣ < 1/R1 = ∞ esetén, tehát egészfüggvény, h (z) pedig legalábbis minden ∣ z∣

< R2 = R esetén, és ott reguláris függvényt határoz meg, továbbá

A jobb oldal első tagját nevezzük f (z) szinguláris vagy főrészének.

Három esetet különböztetünk meg.

1. Ha H (w) konstans, ami csak 0 lehet, vagyis a Laurent-sor nem tartalmaz negatív kitejővű tagokat, akkor f (z)

a h (z) hatványsorral kiterjeszthető a teljes környezetre reguláris függvényé: z0megszüntethető szingularitás.

Röviden, bár kissé pongyolán úgy fogjuk mondani, hogy f (z) "regulásris z0-ban".

2. Ha H (w) m-edfokú polinom, m ≥ 1,

vagyis a Laurent-sorban (-m) a legkisebb ("legnagyobb negatív") ténylegesen előforduló kitevő, akkor m-

edrendű pólusról beszélünk.

Polinomokat a "Hatványsorba fejtés" c. fejezetben mint nagy ∣ w∣ -re ∣ H (w)∣ < ∣ w∣ α nagyságrendú

egészfüggvényeket jellemeztük. Ez ekvivalens azzal, hogy z0 kis környezetében

ami pedig egy

alakú becsléssel, hiszen a bal oldalak cssak a korlátos h (z) mennyiségben térnek el egymástól; az utolsó két

egyenlőtlenségben α és δ értéke esetleg más és más, bár a két α akármilyen közel lehet egymáshoz.

Az utolsó becslés tehát szükséges és elégséges feltétel arra, hogy z0 legfeljebb pólus szingularitás legyen, és a

pólus rendje az ilyen α-k infimuma, megengedve a 0-dfokú polinom, tehát a megszüntethető szingularitás esetét

is. Ez az utóbbi eset áll fenn például, ha α < 1 vehető, speciálisan, ha f (z) korlátos egy kipontozott

környezetben.

Pólust úgy is jellemezhetünk, hogy a Laurent-sorból kiemeljük a legkisebb kitevőjű hatványt:

ugyanis



g (z) ≝ a-m + a-m+1 (z - z0) + ...

hatványsorral definiált. Ebben az egy esetben tehát f (z) Laurent-sorát mégis meghatározhatjuk z0-beli

deriválásokkal, hiszen elég g (z) hatványsorát meghatározni.

A reciprokra

ahol g1 (z) szintén regüláris z0-ban, és g1 (z0) ≠ 0. Ez éppen azt jelenti, hogy 1/f (z)-nek z0-ban megszüntethető

szingularitása, éspedig m-szeres gyöke van, ami így szintén ekvivalens jellemzés az m-edrendű pólusra.

Látjuk, hogy pólushelyen a függvény ∞-hez tart. Fordítva, ha z0 izolált szingularitás, és f (z) → ∞ (z → z0), akkor

elég kis kipontozott környezetben f (z) ≠ 0, tehát 1/f (z)-nek is izolált a szingularitása z0-ban, éspedig

megszüntetehető 0 értékkel, hiszen a függvény korláto, sőt 0-hoz tart. f (z)-re nézve ez, mint láttuk, pólust jelent.

Azt tapasztaljuk, hogy a regularitás mennyire kordában tartja a függvényt még szinguláris helyen is: ha f (z) →

∞, ezt nem teheti akármilyen sebességgel,

(itt a komplex c ≝ g (z0) konstanssal), amin azt értjük, hogy

m ≥ 1 egész. (Nem mond ellent ennek az függvény?)

A szingularitás megszüntethetőségét biztosító korábbi feltételünket tovább enyhíthetjük:

Valóban, ebből következik

alakú becslés z0 környezetében, és így csak elsőrendű pólus jöhetne szóba, akkor viszont a határérték 0-tól

különböző volna.

A "Komplex vonalintegrál" c. fejezetben ilyen szingularitást engedtünk meg a Goursat Lemma

általánosításában. Most már látjuk, hogy nem is volt igazi általánosítás. Persze abban, hogy idáig eljutottunk,

mégis fontos szerepe volt.

3. Ha H (w) nem polinom, úgynevezett transzcendens egészfüggvény, vagyis a Laurent-sornak végtelen sok

negatív kitevős tagja van, akkor z0-t f (z) lényeges szingularitásának nevezzük. Ilyen helyen a függvény sem

véges, sem végtelen határértékhez nem tarthat. Többet mond a

CASORATI−WEIERSTRASS TÉTEL. Ha z 0 az f (z) függvény lényeges szingularitása, akkor tetszőleges w

∈ ℂ -hez létezik zn → z0 (zn ≠ z0) sorozat, amely mentén f (zn) → w.

Másszóval, minden f (0 < ∣ z - z0∣ < δ) képhalmaz sűrű ℂ -ben. Még többet mond a Nagy Picard Tétel: minden

képhalmaz megegyezik ℂ -vel legfeljebb egy pont híján. Erre még visszatérünk.

BIZONYÍTÁS. Ellenkező esetben volna ε > 0, δ > 0 és w úgy, hogy ∣ f (z) - w∣ > ε (0 < ∣ z - z0∣ < δ). Ekkor az



függvénynek mint a kipontozott környezetben reguláris és korlátos függvénynek megszüntethető volna a

szingularitása. Mivel ≢ 0, reciprokának, (f (z) - w)-nek és így f (z)-nek is vagy megszüntethető szingularitása,

vagy pólusa volna, ami mindenképpen ellentmondás.

DEFINÍCIÓ (VISELKEDÉS ∞-BEN). f (z) "∞-beli viselkedésén" f (1/z) "0-beli viselkedését" értjük.

Így van értelme a ∞-ről mint izolált szingularitásról beszélni: ha f (z) reguláris valamely {∣ z∣ > R}

körkülsőben. Ott van

Laurent-sora, ahol - a reciprok miatt éppen fordítva, mint 0-ban lenne - a második összeg a szinguláris vagy

főrész.

Megszüntethető a szingularitás, f (z) "reguláris ∞-ben", ha an = 0 (n ≥ 1),

Ennek feltétele például, hogy a függvény korlátos legyen vagy akár csak limz→∞f (z)/z = 0.

m-edrendű pólusa van ∞-ben, ha

Például pontosan az m-edfokú polinomok azok az egészfüggvények, amelyeknek a ∞-ben m-edrendű pólusuk

van, transzcendens egészfüggvénynek ott lényeges a szingularitása.

3. REZIDUUM TÉTEL

A γ ⊂ D lánc elégítse ki az Általános Cauchy Tétel feltételét: n (γ,s) = 0 (s ∉ D). Ha f (z) reguláris D-ben, akkor

tehát a lánc mentén eltűnik az integrálja. Most azonban megengedjük, hogy izolált szingularitásai legyenek a zj

∈ D \ γ pontokban, és megpróbáljuk kiszámítani az integrálját ilyen általánosságban.

{zj ∉ γ} tehát legfeljebb megszámlálható, D belsejében sehol sem torlódó ponthalmaz.

SEGÉDTÉTEL. n (γ, zj) = 0 legfeljebb véges sok kivételtől eltekintve.

BIZONYÍTÁS. Az

E ≝ {z : n (γ,z) = 0}

halmaz γ komplementere bizonyos komponenseinek egyesítése, és így nyílt halmaz. Ezen komponensek között

van a nemkorlátos komponens is. A feltétel szerint E tartalmazza D komplementerének minden pontját.

Ezt a három tulajdonságot az E1 ≝ ℂ \ E komplementerre átfogalmazva: E1 zárt, korlátos részhalmaza D-nek, és

mint ilyen a nem torlódó {zj} sorozat legfeljebb véges sok elemét tartalmazhatja, mint a Segédtétel állítja.

f (z) a

tartományban reguláris. Rajzoljunk ezért a zj-k körül Cj ≝ {∣ z - zj∣ = rj} köröket, az rj sugarakat olyan

kicsiknek választva, hogy a körök belsejükkel együtt D-be essenek, és diszjunktak legyenek.

Azt állítjuk, hogy a



lánc teljesíti az Általános Cauchy Tétel feltételét D1-re vonatkozólag. A jelölés önmagáért beszél; a Segédtétel

biztosította, hogy itt véges egyesítésről van szó.

Valóban,

és s ∉ D1 vagy ∉ D, amikor is mind n (γ,s) = 0, mind n (Cj,s) = 0 az összes j-re, ahonnan triviálisan n (γ1,s) = 0,

vagy pedig s = zk, amikor is

azért, mert

és az összeg egyetlen 0-tól különböző tagja n (γ,zk)-t kiejti.

Az Általános Cauchy Tétel szerint tehát

f (z) a zj pont Cj-t tartalmazó kipontozott környezetében

alakú Laurent-sorba fejthető, ahol visszaemlékezve az együtthatók integrálképletére,

Ennek az együtthatónak e kitüntetett szerepére való tekintettel külön neve is van, az f (z) függvény zj-beli

reziduumának hívjuk, és így jelöljük:

Összefoglalva,

REZIDUUM TÉTEL. γ legyen lánc a D tartományban, amelyre n (γ,s) = 0 (s ∉ D), az f (z) függvény pedig

reguláris D-ben a zj ∉ γ izolált szingularitásoktól eltekintve. Ekkor

az összegben véges sok tagtól eltekintve n (γ,zj) = 0.

A Tétel lényeges szingularitásokat is megenged, m-edrendű pólusban azonban - mint korábban megjegyeztük - a

Laurent-sort, speciálisan a reziduumot egyszerűbben is megadhatjuk:

különösen egyszerűen tehát m = 1 esetén.



A komplex függvénytan alkalmazásai nem kis részben ezen a - minden korábbi integráltételünket magában

foglaló - Reziduum Tételen alapulnak.

PÉLDÁK. Segítségével nemcsak zárt görbe menti vagy olyanná alakítható integrálokat számíthatunk ki, hanem

improprius integrálokat is.

Legyen f (z) reguláris egy, a zárt felső vagy alsó félsíkot tartalmazó tartományban, a nyílt félsíkban

megengedhetünk izolált szingularitásokat. Ha minden R-re vagy legalábbis R-eknek egy ∞-hez tartó sorozatára

össze tudjuk kötni R-et (-R)-rel olyan L(R) görbével, amelyen f (z) integrálja R → ∞ esetén 0-hoz tart, akkor a [-

R, R] + L(R) zárt görbére felírva a Reziduum Tételt reziduumok összegének határértékeként kiszámíthatjuk az

akár csak

úgynevezett Cauchy-főértékben létező improprius integrált.

Ez a helyzet, ha

ahol P (z) és Q (z) m1-, illetve m2-edfokú polinom, és m2 ≥ m1 + 2. Valóban, P (z)/zm1 és Q (z)/zm

2 véges, 0-tól

különböző határértékhez tártanak, midőn z → ∞, ahonnan alkalmas K konstanssal elég nagy R mellett

Másik példa

f (z) = eizf1 (z), f1 (z) → 0 (ℑ z ≥ 0, z → ∞).

L(R)-nek ismét vehetjük a félkört. Mivel ∣ eiz∣ = e-y (z = x + iy),

ugyanis

közben felhasználva az elemi

egyenlőtlenséget.

Ha

f (z) = zαf1 (z),

ahol f1 (z) az egész síkon reguláris eltekintve izolált szingularitásoktól, amelyek ne essenek a pozitív

féltengelyre, akkor nem egész α-ra éppen a hatványfüggvény többértékűségének köszönhetően



alakú improprius integrált is kiszámíthatunk.

Integráljunk ugyanis a

[0,R] + {∣ z∣ = R} - [0,R]

zárt görbén. (Precízen, először a teljesen a pozitív tengely által felmetszett síkban haladó

[ρeiδ, Reiδ] + {∣ z∣ = R, δ ≤ arg z ≤ 2π - δ} - [ρe-iδ, Re-iδ] - {∣ z∣ = ρ, δ ≤ arg z ≤ 2π - δ}

görbén, és tartsunk δ-val, majd ρ-val 0-hoz, feltéve, hogy az utóbbi is megtehető.)

Bár [0,R]-en kétszer ellentétes irányban megyünk át, a két integrál mégsem ejti ki egymást, mert az origó körül

egyszer körülfordulva a hatványfüggvény értéke az e2πiα ≠ 1 konstanssal szorzódik, és így együttes adalékuk

Ha a körvonalon az integrál 0-hoz tart - ismét esetleg az R-eknek csak egy ∞-be menő sorozatán át -, akkor a

keresett integrál szintén reziduumok összegének határértékeként adódik.

Máskor éppen fordítva, a vizsgálandó mennyiségünket érdemes reziduum(összeg)ként felfogni, és integrállal

előállítani, kihasználva, hogy az integrációs út kijelölésében is nagyfokú szabadságunk van.

A π cotg πz függvénynek pontosan az egész számokban van szingularitása, elsőrendű pólus 1 reziduummal. Ha f

(z) reguláris ott, akkor a kettő szorzatának a reziduuma éppen f (z) ottani értéke, és így a

összeget kifejezhetjük a Reziduum Tétel segítségével. Ha például f (z) = P (z)/Q (z) racionális függvény, ahol

megint grad Q ≥ grad P + 2, akkor konkrétan ki is számolhatjuk, egész szám +1/2 sugarú körökön tártva ∞-hez,

és felhasználva, hogy cotg πz az egész számoktól pozitív távolságra korlátos.

4. ARGUMENTUM ELV

Meromorfnak nevezünk olyan függvényt, amely izolált szingularitásoktól eltekintve reguláris, és a

szingularitások legfeljebb pólusok. A Reziduum Tételt most meromorf f (z) logaritmikus deriváltjára, f ' (z)/f (z)-

re akarjuk alkalmazni.

A logaritmus derivált reguláris, ahol f (z) ≠ 0 és reguláris. Az Unicitás Tétel szerint tehát nem azonosan eltűnő

meromorf függvény logaritmikus deriváltjának is csak izolált szingularitásai vannak.

z 0-ban m-szeres gyök azt jelenti, hogy

f (z) = (z - z0)mg(z), g (z) reguláris z0-ban, g (z0) ≠ 0.

m-edrendő pólus formélisan ugyanezt jelenti m helyett (-m)-mel. A kettőt egységesen kezelhetjük, ha itt m

akármilyen egészet megengedünk. Nevezzük m-et házi használatra előjeles multiplicitásnak; m > 0 tehát

nullahelyre, m < 0 pólusra utal.

Differenciálva

f ' (z) = m (z - z0)m-1g (z) + (z - z0)mg ' (z),



Az első tag a szinguláris rész, a második z0-ban reguláris: a logaritmikus deriváltnak mindig elsőrendű pólusa

van az előjeles multiplicitással mint reziduummal.

Jelöljük tehát zj-vel f (z) gyökeit és pólusait, a megfelelő előjeles multiciplicitást mj-vel. Ha a Reziduum Tétel

feltételeihez még azt is hozzátesszük, hogy ne csak pólus, de gyök se essen γ-ra, akkor írhatjuk, hogy

Az integrálnak geometriai jelentése van. A "Komplex vonalintegrál" c. fejezet helyettesítéses integrálképét γ

(görbéinek) kis környezetében alkalmazva, ahol f (z) ≠ 0 és reguláris,

Szemléletesebb, ha speciálisabb esetben fogalmazzuk meg.

ARGUMENTUM ELV. Tegyük fel, hogy a γ (retifikálható) Jordan-görbe a belsejével együtt a D

tartományban van, aho f (z) ,≢ 0 meromorf a zj ∉ γ pólusokkal, illetve gyökökkel és megfelelő mj előjeles

multiplicitásokkal. Ekkor

Szavakban, f (z) helyett (f(z) - w)-re kimondva: γ belsejébe eső w helyek és pólusok multiciplitással vett

számának különbsége megegyezik azzal, ahányszor az f (γ) képgörbe megkerüli a w pontot.

Jordan-görbe önmagát át nem metsző zárt görbe, de topológiai nehézségek elkerülése érdekében értsünk rajta

egyelőre olyat, amelyre n (γ,z) = 1 - az ilyen z pontok halmazát nevezve a belsejének - vagy n (γ,z) = 0 - ezek a

pontok alkotják a görbe külsejét. Az index értelmezéséhez nekünk a rektifikálhatóságra is szükségünk van, de

nem lenne nehéz azt minden folytonos görbére kiterjeszteni.

ROUCHÉ TÉTELE. A γ (retifikálható) Jordan-görbe a belsejével együtt legyen a D tartományban, ahol f 0 (z)

és f1 (z) reguláris függvények, amelyek γ-n közel vannak egymáshoz abban az értelemben, hogy

∣ f0 (z) - f1 (z)∣ < ∣ f0 (z)∣ (z ∈ γ).

Ekkor f 0 (z)-nek és f1 (z)-nek multiplicitással számolva ugyanannyi gyöke van γ belsejében.

BIZONYÍTÁS. Az

függvényre alkalmazzuk az Argumentum Elvet.

f (z) mint két reguláris függvény hányadosa meromorf, mégpedig ott van gyöke vagy pólusa, ahol f0 (z) vagy f1

(z) eltűnik. Jelöljük zj-vel ezeket a pontokat. Ha zj-ben f0 (z)-nek n0,j-szeres, f1 (z)-nek n1,j-szeres gyöke van, n0,j,

n1,j ≥ 0, akkor f (z) előjeles multiplicitása mj = n1,j - n0,j. A feltételezett határozott egyenlőtlenségből triviális, hogy

γ-n sem f0 (z) = 0, sem f1 (z) ≠ 0, azaz zj ∉ γ. (Speciálisan egyik sem azonosan 0, amit hallgatólagosan már eddig

is felhasználtunk.)

Az egyenlőtlenség azt jelenti, hogy

ezért a (-∞, 0] félegyenes f (γ) komplementerének nemkorlátos komponensében van, speciálisan n (f (γ), 0) = 0.

Az Argumentum Elv esetünkben azt mondja, hogy



mint a Rouché Tétel állítja.

5. LOKÁLIS ÉRTÉKELOSZLÁS

TÉTEL (LOKÁLIS ÉRTÉKELOSZLÁS). Legyen f(z) z0-ban reguláris, nemkonstans függvény,

f (z) - f (z0) = am (z - z0)m + am+1 (z - z0)m+1 + ... (am ≠ 0).

Ekkor minden elegendően kis δ > 0-hoz van ε > 0 úgy, hogy 0 < ∣ w - f (z0)∣ < ε esetén az f (z) = w egyenletnek

m különböző megoldása van a {0 < ∣ z - z0∣ < δ} kipontozott környezetben.

BIZONYÍTÁS. Rouché Tételét alkalmazzuk az f0 (z) ≝ f (z) - f (z0), f1 (z) ≝ f (z) - w, γ ≝ {∣ z - z0∣

= δ} szereposztásban.

Az Unicitás Tétel szerint elég kis δ-ra

f 0 (z) ≠ 0 (0 < ∣ z - z0∣ ≤ δ),

és legyen

Ekkor teljesül az

∣ f0 (z) - f1 (z)∣ = ∣ w - f (z0)∣ < ε ≤ ∣ f0 (z)∣ (z ∈ γ)

egyenlőtlenség, a Rouché Tétel feltétele.

f 1 (z) gyökeinek a száma {∣ z - z0∣ < δ}-ban tehát megégyezik f0 (z) gyökeinek a számával. Ezen utóbbi csak z0-

ban tűnik el, viszont m multiplicitással. Ha pedig f (z) - w = 0 m megoldása között volnának azonosak, akkor ott

f ' (z) = 0 volna, de szintén az Unicitás Tétel szerint δ-t elég kicsinek választva ez kizárható. Ezzel a Tételt

teljesen bebizonyítottuk.

KÖVETKEZMÉNYEK: 1. f (z) mindenesetre felveszi f (z0) halmazt nyíltba visz, és persze akkor tartományt

tartományba. Ez a Nyílt Leképezés Tétele.

2. f (z) folytonossága alapján ∣ f (z) - f (z0)∣ < ε, ha ∣ z - z0∣ < δ1 ≤ δ elég kis δ1-gyel, és az m = 1 azaz f ' (z0) ≠ 0

esetben a w = f (z) választással látjuk, hogy f (z) megszorítása a {∣ z - z0∣ < δ1} környezetre kölcsönösen

egyértelmű. Úgy mondjuk, hogy f (z) lokálisan invertálható.

m > 1 f (z) w-t többször venné fel, ezért az m = 1, azaz f ' (z0) ≠ 0 feltétel szükséges is a (lokális)

invertálhatósághoz.

Tételben a "minden ... δ > 0-hoz van ε > 0 ..." állítás azt jelenti, hogy ez az inverz f (z0)-ban - de z0 általános

pont, tehát mindenütt - folytonos.

TÉTEL (INVERZ REGULARITÁSA). Legyen f (z) reguláris, kölcsönösen egyértelmű függvény a

tartományon. Ekkor inverze is regulárid az f (D) tartományon.

Annak idején, a "Reguláris függvény" c. fejezetben ehhez külön ki kellett kötnünk, hogy f (D) is tartomány, az

inverz folytonos, és f ' (z) ≠ 0. Most kiderült, hogy mindez már az inverz létéből következik.

3. Az általános esetben



ahol g (z) reguláris és 0-tól különböző z0-ban.

Például a {∣ ξ - g (z0)∣ < ∣ g (z0)∣ } körben tudjuk log ξ és annak segítségével reguláris ágát értelmezni. z0

olyan kis környezetében, ahol

∣ g (z) - g (z0)∣ < ∣ g (z0)∣ (∣ z - z0∣ < δ),

definiálhatjuk hát -t és azzal S (z)-t regulárisán.

A 2. Következmény eredményeit felhasználva S (z) lokálisan invertálható;

inverze - jelöljük z = Z (s)-sel - az origó környezetében reguláris, és

f (Z (s)) - f (z0) = sm.

Szavakban: az S (z) kölcsönösen egyértelmű és sima deformáció után függvényünk pontosan a

hatványfüggvénybe megy át.

Ehhez a Tételnek csak az m = 1 esetére volt szükségünk, ebből viszont az általános esetet is levezethetjük, sőt

wm ősképének elhelyezkedéséről is nyerhetünk információt: az ősképek az s síkon az origó körüli szabályos m-

szöget alkotó pontok, képük a z síkon valóban m különböző pont, amelyek Z (s) kör- és szögtartása

értelmében f (z0)-hoz közeli w-re majdnem szabályos m-szöget alkotnak z0 körül.


6. fejezet - KONFORM LEKÉPEZÉSEK

DEFINÍCIÓ (KONFORM LEKÉPEZÉS). Reguláris és kölcsönösen egyértelmű függvény által megvalósított

leképezést konform leképezésnek nevezünk.

Éppen az előbb, az "Izolált szingularitások" c. fejezetben írtuk le, hogy hol lesz reguláris függvény lokálisan

konform: ahol a deriváltja nem tűnik el.

Most globálisan vizsgáljuk a kérdést, amihez a lokális feltétel már nem elegendő, mint az exponenciális

függvény példája mutatja. Az alapkérdés az, hogy melyek a konform ekvivalens tartományok, amelyek egyike a

másikra konform módon leképezhető. E reláció nemtriviális tulajdonságát, a szimmetriáját szintén ott, az inverz

függvény regularitásáról szóló Tétellel bizonyítottuk.

1. LINEÁRIS TÖRTFÜGGVÉNYEK

Az általános elméletben fontos szerepet fognak játszani a speciális

alakú lineáris törtfüggvények, más néven lineáris transzformációk.

Egy ilyennek megfeleltethető valódi, ℂ × ℂ → ℂ × ℂ lineáris transzformáció:

w 1 = az1 + bz2

w 2 = cz1 + dz2

A (z1,z2) ≠ (0,0) és úgyszintén a (w1,w2) ≠ (0, 0) párt projektív koordinátáknak tekintjük, azaz a (z1,z2) és (z'1,z'2)

vektort ekvivalensnek mondjuk, ha létezik olyan λ komplex szám, hogy

z 1 = λz'1, z2 = λz'2.

Ekvivalens vektorokat a lineáris transzformációnk ekvivalens vektorokba visz, tehát az ekvivalenciaosztályok

halmazának, a komplex projektív egyenesnek önmagára való kölcsönösen egyértelmű leképezését indukálja.

(z1,z2) ekvivalenciaosztálya reprezentálható az egyetlen

komplex számmal, kivéve (1, 0) ekvivaleneiaosztályát, amelyet ∞-nel jelölünk. Ezzel a reprezentációval

transzformációnk így hat a projektív egyenesen:

ami a T(z) függvényünk az amúgy is természetes

kiegészítéssel.

A projektív egyenes transzformációival való kapcsolatból - minden további számolás nélkül - leolvashatjuk,

hogy kölcsönösen egyértelmű ráképezés, két lineáris törtfüggvény kompozíciója is ilyen, és a

mátrixok közönséges szorzatának felel meg, lineáris törtfüggvény inverze is ilyen,

KONFORM LEKÉPEZÉSEK


A lineáris törtfüggvények a kompozícióra nézve tehát csoportot alkotnak, amelyet a

felbontás tanúsága szerint generálnak az eltolások, forgatások, nyújtások és zsugorítások, valamint az 1/z

leképezés.

T(z) a ∞ ősképét kivéve mindenütt reguláris, beleértve a ∞-t is, ha nem ő az az őskép; ∞ ősképében pedig

elsőrendű pólusa van. A definíciónk kis kiterjesztésével mondhatjuk, hogy a zárt sík önmagára való konform

leképezését valósítja meg.

KETTŐSVISZONY. Négy különböző komplex szám kettősviszonyán a

hányadost értjük.

Az első változó függvényeként tekintve

S (z) = (z,z2,z3,z4)

lineáris transzformáció, ha egybeesést is megengedve a három másik pontban így definiáljuk:

S (z2) = 1, S (z3) = 0, S (z4) = ∞.

S 1 (w) ≝ (w,w2,w3,w4)

hasonlóan w2-t, w3-at és w4-et viszi 1-be, 0-ba, és ∞-be, és így olyan lineáris transzformáció, amely a

tetszőlegesen előírt (z2,z3,z4) ponthármast a tetszőlegesen előírt (w2,w3,w4) hármasba viszi: csoportunk

háromszorosan tranzitív.

Legyen T (z) teszőlegesen ilyen transzformáció:

wi = T (zi) (i = 2, 3, 4).

T 1 ≝ S1 ∘ T-re

T 1 (z2) = 1, T1 (z3) = 0, T1 (z4) = ∞,

ahogyan S (z) is tette. Másszóval T1 ∘ S-1 helyben hagyja az (1, 0, ∞) hármast, ezt azonban - mint a három érték

behelyettesítésével közvetlenül meggyőződhetünk róla - csak az identitás tudja megtenni: T1 = S.

Melléktermékként kapjuk, hogy T csak lehet: három pont és képe már egyértelműen meghatározza a

lineáris transzformációt.

Részletesen kiírva pedig

(T (z),w2,w3,w4) = (z,z2,z3,z4), (w1,w2,w3,w4) = (z1,z2,z3,z4)

w 1 ≝ T (z1) kiegészítéssel. Szavakban: lineáris törtfüggvény megtartja a kettősviszonyt.

KÖRTARTÁS. Mikor lesz a kettősviszony valós,

arg(z1,z2,z3,z4) = arg(z1 - z3) - arg(z1 - z4) — arg(z2 - z3) + arg(z2 - z4) ≡ 0(mod π)?

Jelöljük α-val, illetve β-val a z1,z3,z4 háromszög z1-nél levő, illet ve a z2,z3,z4 háromszög z2-nél levő belső szögét.



arg(z1 - z3) - arg(z1 - z4) = ±α, arg(z2 - z3) - arg(z2 - z4) = ±β

aszerint, hogy a z1,z3,z4, illetve z2,z3,z4 kapjuk, hogy feltételünk akkor teljesül, ha α - β = 0 vagy α + β = π,

aszerint, hogy a két háromszög azonos vagy ellentétes körüljárású, más szóval, hogy z1 és z2 a z3-at és z4et

összekötő egyenes azonos vagy ellentétes oldalán van. Mindkét esetben a húrnégyszög feltételét kapjuk.

Határesetben mind a négy pont eshet egy egyenesre is.

Mivel lineáris törtfüggvény a kettősviszonyt megtartja, körvonalat vagy egyenest körvonalba vagy egyenesbe

visz. A háromszoros tranzitivitásból nyilvánvaló, hogy tetszőleges körvonal vagy egyenes ténylegesen átvihető

tetszőleges másikba.

Topológiai okokból körlap vagy félsík pedig körlapra, körkülsőre vagy félsíkra képződik. Az egyszerűség

kedvéért legyen γ (pozitív irányítású) körvonal, és T (γ) képe is körvonal. Vegyünk ezen utóbbi belsejében egy

w pontot.

Ha γ belseje T (γ) belsejében T (z) pontosan egszer veszi fel w-t, pólusa pedig ott nem lehet. Az Argumentum

Elv szerint

n (T (γ),w) = 1 - 0 = 1.

Ha γ belseje T (γ) külsejében T (z) nem veszi fel w-t, de van egy egyszeres pólusa ott:

n (T (γ),w) = 0 - 1 = -1.

A két eset között tehát T (γ) irányítása alapján lehet különbséget tenni, amit már három képpont sorrendjéből

meg lehet állapítani.

SZIMMETRIA. Körvonalra vagy egyenesre szimmetrikus pontpáron inverziót, illetve tengelyes tükrözést értünk.

Rajzoljuk meg a szimmetriatengelyt, illetve az inverzió körét merőlegesen metsző és adott pontra illeszkedő

összes körvonalat és egyenest. Ezeknek még egy közös pontjuk van, éspedig az adott pont szimmetrikus párja.

A körsor lineáris törtfüggvény általi képe ugyanilyen; a merőleges metszés a kölcsönös egyértelműségből és

regularitásból folyó szögtartás eredménye. Következtetés: lineáris törtfüggvény szimmetrikus pontpárt

szimmetrikus pontpárba visz.

Összefoglalva,

TÉTEL (LINEÁRIS TÖRTFÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI). (i) A lineáris törtfüggvények a

kompozícióra nézve csoportot alkotnak.

(ii) Három pontot a képével együtt előírva, egyértelműen létezik az előírásnak megfelelő lineáris törtfüggvény.

(iii) Lineáris törtfüggvény kört vagy egyenest körbe vagy egyenesbe visz.

(iv) Körre vagy egyenesre szimmetrikus pontpár képe is szimmetrikus a kör, illetve egyenes képére nézve.

A lineáris törtfüggvények ezen alapvető tulajdonságait felhasználva határozzuk meg azokat, amelyek a {∣ z∣ <

1} egységkört önmagára képezik úgy, hogy az előírt z0 pontot (∣ z0∣ < 1) viszik 0-ba! z0-nak a körvonalra vett

szimmetrikus párja ami tehát 0 párjába, azaz ∞-be megy, z0 és lesz ezért a keresett lineáris

törtfüggvény számlálójának, illetve a nevezőjének a gyökhelye:

konstans ρ-val.

Ezzel csak azt biztosítottuk, hogy {∣ z∣ = 1} olyan körvonalra képződik, amelyre nézve 0 és ∞ szimmetrikusak,

tehát origó középpontúra. Hogy a sugara 1 legyen, helyettesítsünk például z = 1-et:

Ezzel valójában az egységkör önmagára való összes konform leképezését is meghatároztuk, mert:



TÉTEL (KÖRÖK KONFORM LEKÉPEZÉSEI). Körlapnak, körkülsőnek vagy félsíknak körlapra,

körkülsőre vagy félsíkra való konform leképezése lineáris törtfüggvény.

BIZONYÍTÁS. Konform leképezésünk értelmezési tartományában jelöljünk ki egy z0 pontot, a

képtartományában annak w0 képét, és mindkét tartományt képezzük le az egységkörre lineáris törtfüggvénnyel

úgy, hogy z0, illetve w0 kerüljön az origóba. A lineáris transzformációk csoporttulajdonsága alapján feltehetjük

hát, hogy w = f (z) az egységkört önmagára képezi le, és f (0) = 0.

A Schwarz Lemmát mind f (z)-re, mind a z = f -1 (w) inverzére alkalmazva azt kapjuk, hogy

∣ w∣ = ∣ f (z)∣ ≤ ∣ z∣ , ∣ z∣ = ∣ f -1(w)∣ ≤ ∣ w∣ .

Márpedig egyenlőség - akár egy 0 < ∣ z∣ < 1 helyen - csak f (z) = ρz-re (∣ ρ∣ = 1 konstans) állhat, ami valóban

lineáris törtfüggvény.

2. RIEMANN ALAPTÉTEL

Az általános esetben is egyszeresen összefüggő tartományokra szorítkozunk. A nyílt sík például - bár

homeomorf vele - konform módon nem képezhető le az egységkörre: a leképezés korlátos egészfüggvény lenne,

a Liouville Tétel szerint konstans. Minden más esetben azonban érvényes a

KONFORM LEKÉPEZÉSEK ALAPTÉTELE. Legyen D ≠ ℂ tetszőleges egyszeresen összefüggő tartomány,

z0 ∈ D. Ekkor létezik egyetlen f0 (z): D → {∣ w∣ < 1} konform ráképezés, amelyre f0 (z0) = 0, f '0 (z0) > 0.

EGYÉRTELMŰSÉG BIZONYÍTÁSA. Ha f (z) másik ilyen leképezés, akkor az egységkör

önmagára való konform leképezése, ami 0-t helyben hagyja, és mint ilyen csak ρw alakú (∣ ρ∣ = 1) lehet. 0-beli

deriváltja,

ezért ρ = 1, f (z) = f0 (z).

Ha a Schwarz Lemmát - amit a körök közötti konform leképezésekről szóló, most alkalmazott Tételünkben az

inverzére is használtunk - csak 0-beli deriváltjára írjuk fel, azt kapjuk, hogy

Ehhez f (z)-ről csak azt kell feltenni, hogy az egységkörbe és nem feltétlenül rá képez, sőt a konformitás helyett

a regularitás is elég lenne. Az f0 (z) konform ráképezésnek ezen az extremális tulajdonságán alapul a

LÉTEZÉS BIZONYÍTÁSA. Az

F ≝ {f : f (z) konform D-ben, ∣ f (z)∣ < 1, f (z0) = 0, f ' (z0) > 0}

függvényhalmazban olyan függvényt keresünk, amelyik eléri a

szuprémumot.

1. LÉPÉS. F ≠ ∅ .

Feltettük, hogy van a ∉ D. A következő, "Segédtételek" c. pontban megmutatjuk, hogy el nem tűnő reguláris

függvény logaritmusának van reguláris ága egyszeresen összefüggő tartományban. Értelmezhetjük hát

regulárisán az



függvényt.

f 1 (z1) = ± f1 (z2) ⇒ z1 - a = z2 - a, z1 = z2.

Ebből látszik egyrészt, hogy f1 (z) kölcsönösen egyértelmű, másrészt pedig, hogy ha egy w ≠ 0 értéket felvesz -

0-t úgysem veszi fel -, akkor (-w)-t nem veheti fel. Biztosan felvesz egy teljes környezetet, azt az origóra

tükrözve látjuk, hogy

∃ w0,r0 ∣ f1 (z) - w0∣ > r0 (z ∈ D).

szintén kölcsönösen egyértelmű, és már ∣ f2 (z)∣ < 1. A normálásról könnyű gondoskodni:

felhasználva, hogy mint konform leképezés deriváltja, f '2 (z0) ≠ 0.

2. LÉPÉS. ∃ f0 ∈ F, f '0 (z0) = B.

Az 1. Lépésből már tudjuk, hogy B > 0, ebből az is fog következni, hogy B < ∞.

Válasszunk fn ∈ F sorozatot, amelyre f 'n (z0) → B (n - ∞). A "Segédtételek" c. pontban bizonyítandó

Vitali−Montel Kiválasztási Tétel szerint reguláris függvények egyenletesen korlátos sorozatának van lokálisan

egyenletesen konvergens részsorozata; a jelölés egyszerűsítése érdekében tegyük fel, hogy már fn (zn) ilyen.

Az ugyancsak ott sorra kerülő Weierstrass Tétel alapján ilyen sorozat határértéke,

is reguláris, sőt f 'n (z) → f '0 (z) (n → ∞).

Ezekből következik, hogy

f 0 (z0) = 0, f '0 (z0) = B, ∣ f0∣ ≤ 1.

Ha az egyenlőtlenségben valahol is egyenlőség állna, akkor a Maximum Elv értelmében f0 (z0) = B > 0.

Végül f0 (z) azért kölcsönösen egyértelmű, mert konform leképezések lokálisan egyenletesen konvergáló

sorozatának határértéke is konform, ha nem konstans; ezt is a "Segédtételek" c. pontban fogjuk igazolni.

3. LÉPÉS. f 0 (D) = {∣ w∣ < 1}.

Az állítással ellentétben tegyük fel, hogy van olyan ∣ w0∣ < 1, amelyre f0 (z) ≠ w0 (z ∈ D).

T 1 (w) legyen (a sok közül egy) olyan lineáris törtfüggvény, amely az egységkört önmagára képezi, T1 (w0) = 0.

Ekkor az egyszeresen összefüggő D tartományban értelmezett függvény, T1 (f0 (z)) ≠ 0, és ismét a logaritmus

reguláris ágáról szóló alábbi Tételre hivatkozva értelmezhetjük regulárisan a

függvényt, ami szintén az egységkörbe képez, és amiről az 1. Lépéshez hasonlóan látszik, hogy kölcsönösen

egyértelmű.

Alkalmazzunk még egy T2 (t), az egységkört önmagára képező lineáris törtfüggvényt, amelyre



ha T2 (t)-be még beleértünk egy forgatást, amivel elérhető, hogy f ' (z0) > 0 legyen.

ahol

reguláris függvény, ∣ W (s)∣ < 1, W (0) = 0.

A Schwarz Lemmából ∣ W ' (0)∣ ≤ 1. Egyenlőség csak akkor lehetne, ha W (s) = ρs kölcsönösen egyértelmű

leképezés volna. Ez azonaban kizárt, hiszen W (s) definíciójában - a valóban kölcsönösen egyértelmű T1 (w) és

T2 (t) mellett - ott van a négyzetre emelés, ami pedig nem olyan. Tehát ∣ W ' (0)∣ < 1 határozottan.

A Láncszabályt alkalmazva - amiből az is látszik, hogy W ' (0) > 0 -

B = f '0 (z0) = W ' (0) f '(z0) < f ' (z0) ≤ B,

hiszen B volt az f ' (z0) deriváltak szuprémuma. (Az f0 (z)-vel f (z)-t kifejező

függvényről nem mondható el ugyanaz, mint W (s)-ről, ami éppen a fordított egyenlőtlenséget eredményezné?)

Az ellentmondással a Konform Leképezések Alaptételét bebizonyítottuk.

3. SEGÉDTÉTELEK

A bizonyításban felhasznált tételek mind fontos általános tételek.

WEIERSTRASS TÉTEL (LIMESZFÜGGVÉNY REGULARITÁSA). Ha fn reguláris a közös D

tartományban, fn (z) → f0 (z) lokálisan egyenletesen, akkor f0 (z) is reguláris, és f 'n (z) → f '0 (z) lokálisan

egyenletesen.

BIZONYÍTÁS. A differenciálhatóság definícióját nem volna könnyű közvetlenül ellenőrizni. Használhatjuk

azonban a következő integrálkritériumot.

Pont környezetében vagy általánosabban egyszeresen összefüggő tartományban folytonos függvény akkor és

csak akkor reguláris, ha minden zárt görbére vett integrálja eltűnik.

Valóban, az integrál eltűnése a primitív függvény létezésének szükséges és elégséges feltétele, és tudjuk már,

hogy az ekvivalens a regularitással.

f 0 (z) persze folytonos, és tekintettel arra, hogy a görbéken a konvergencia egyenletes,

∫γfn (z) dz → ∫γf0 (z) dz,

tehát az integrál eltűnése tényleg öröklődik a limeszre.

Ha pedig már tudjuk, hogy f0 (z) is reguláris, akkor a deriváltra vonatkozó Cauchy Formulát felírva



feltéve, hogy {∣ z - z0∣ ≤ r0} ⊂ D. A határértékképzés ismét az egyenletes konvergenciának köszönhetően

vihető be az integráljel mögé, de a konvergencia valójában a z paraméterben is egyenletes kicsit kisebb {∣ z -

z0∣ ≤ ρ0 < r0} körben, és így következik a derivált lokálisan egyenletes konvergenciája.

VITALI−MONTEL KIVÁLASZTÁSI TÉTEL. Tartományban reguláris és egyenletesen korlátos fn (z), ∣ fn

(z)∣ ≤ K (z ∈ D) függvények sorozatából kiválasztható fnk (z) lokálisan egyenletesen konvergens részsorozat.

BIZONYÍTÁS. zj (j = 1,...) legyen mindenütt sűrű sorozat D-ben. Minden egyes j-re fn (zj)-nek mint korlátos

pontsorozatnak van konvergens részsorozata. Az átlós eljárással olyan közös fnk (z) részsorozatot nyerünk, ami

egyszerre konvergens minden egyes z = zj-re. Készen leszünk, ha megmutatjuk, hogy fnk (z) egyenletesen

konvergens minden olyan {∣ z - z0∣ ≤ r0/2} körlapon, amelynek kétszerese, {∣ z - z0∣ ≤ r0} ⊂ D.

Ismét a deriváltra vonatkozó Cauchv Formula felhasználásával

ha

Úgy mondjuk, hogy a függvénysorozat egyenlő mértékben egyenletesen folytonos az r0/2 sugarú körben.

Mivel a {zj} sorozat mindenütt sűrű, tetszőleges ε-hoz elég nagy m = m (ε) esetén már az első m eleme olyan

sűrűen helyezkedik el, hogy minden z-hez (∣ z - z0∣ ≤ r0/2)

Ezzel a zj-vel írjuk fel a háromszög-egyenlőtlenséget:

∣ fnk (z) - fnl (z)∣ ≤ ∣ fnk (z) - fnk (zj)∣ + ∣ fnk (zj) - fnl (zj)∣ + ∣ fnl (zj) - fnl (z)∣ .

Itt az előzetes becslésünk szerint az első és az utolsó tag < ε minden k-ra, és l-re, a középső pedig akkor, ha k, l ≥

k0 (ε), fnk (zj) (k → ∞) konvergenciája alapján a j = 1,...,m-hez létező küszöbindexek legnagyobbikát választva k0

(ε)-ként.

Innen

amivel ellenőriztük az egyenletes konvergencia Cauchy Kritériumát.

TÉTEL (KONFORM LEKÉPEZÉSEK LIMESZE). Ha tartomány konform leképezéseinek sorozata, fn (z) →

f0 (z) (n → ∞) lokálisan egyenletesen, akkor f0 (z) is konform leképezés, hacsak nem konstans.

BIZONYÍTÁS. A Weierstrass Tételből már tudjuk, hogy f0 (z) reguláris. Az Unicitás Tétel szerint elég kis r0 < d

(z0, ∂ D) esetén a γ ≝ {z - z0 = r0} definícióval

Az egyenletes konvergencia miatt



ahonnan a háromszög-egyenlőtlenségből

Innen következik, hogy a {∣ z - z0∣ < r0} körben fn (z) felvesz minden olyan w értéket, amelyre ∣ w - fn (z0)∣ <

ε/3. Ezt beláttuk a Rouché Tétel segítségével a lokális értékeloszlásról szóló Tételünk bizonyításában. Adjunk

most rá az Argumentum Elven működő közvetlen bizonyítást.

n (fn (γ) fn (z0)) < 0, hiszen fn (z) γ-n belül fn (z0)-t. Márpedig

miatt fn (z0) és w az fn (γ) görbe komplementerének egyazon komponensében van, és így

n (fn (γ), w) = n (fn (γ) fn (z0)) > 0,

tehát fn (z) w-t is felveszi.

Speciálisan választható w = f0 (z0)-nak. Foglaljuk össze az eddig elért eredményeinket a ténylegesen felhasznált

feltételekkel.

HURWITZ TÉTELE (LIMESZFÜGGVÉNY ÉRTÉKEI). Ha az fn (z) reguláris függvények lokálisan

egyenletesen konvergens sorozatának a határértéke, f0 (z) nem konstans, akkor tetszőleges f0 (z0) értéket fn (z) is

felvesz z0minden környezetében elég nagy n-re.

Ha mármost f0 (z1) = f0 (z2) (z1 ≠ z2), akkor ezt a közös értéket fn (z) is felveszi mind

z1, mind z2 környezetében elég nagy n-re, ami ellentmondás, ha fn (z) kölcsönösen egyértelmű. Ezzel a konform

leképezések limeszéről szóló Tételünket is bebizonyítottuk.

TÉTEL (LOGARITMUS REGULÁRIS ÁGA). A D egyszeresen összefüggő tartományban legyen f (z) = 0 és

reguláris. Ekkor létezik olyan φ (z) reguláris függvény, amelyre

f (z) = eφ(z

).

BIZONYÍTÁS. Mint egyszeresen összefüggő tartományban reguláris függvény integrálja az Általános Cauchy

Tétel értelmében

minden γ ⊂ D zárt görbén. Ez pedig azt jelenti, hogv létezik φ0 (z) primitív függvény,

Ekkor

A konstans, hiszen ≠ 0, írható eα alakban, és φ (z) ≝ φ0 (z) + α kielégíti a Tétel követelményeit.

4. KITERJESZTÉS A HATÁRRA



Ha f (z) a D tartomány D1-re való konform leképezése, akkor z → ∂ D esetén f (z) → ∂ D1, a - Maximum Elv

általános változatában már használt - jelölésen azt kell érteni, hogy ha zn nem torlódik D-ben, akkor wn = f (zn)

sem D1-ben.

Valóban, ha wn-nek volna belső ponthoz tartó részsorozata, akkor az inverz folytonossága alapján zn = f -1 (wn)-

nek is.

Szép határú tartományokra többet lehet mondani.

CARATHEODORY TÉTELE. A D Jordan-tartománynak a D 1 Jordan-tartományra való f (z) konform

leképezése kiterjeszthető homeomorfizmussá.

Jordan-tartományok közötti konform leképezést ennek köszönhetően úgy is normálhatunk, hogy kijelölünk

három határpontot a képével együtt, szem előtt tartva a helyes körüljárási irányt. A Tétel segítségével ugyanis az

általános esetet visszavezethetjük az egységkörnek önmagára való leképezésére, ott pedig ezt már megbeszéltük.

Jordan-tartományon (nem feltétlenül rektifikálható) Jordan-görbe belsejét értjük. Annak, hogy tartományunkat

Jordan-görbe határolja, a Caratheodory Tételben lényeges szerepe van: például a {∣ z∣ < 1} \ [0,1) bemetszett

egységkörnek a teljes egységkörre való - konkrétan felírható - leképezésére nem volna igaz. Alapvető a

regularitás is: valós értelemben akármilyen sima homeomorfizmus sem feltétlenül terjeszthető ki a határra.

Ebben az általános megfogalmazásban már nem kerülhetjük el, hogy Jordan-görbék bizonyos szemléletes, de

mély síktopológiai tulajdonságait - bizonyítás nélkül - fel ne használnánk. Konkrét alkalmazásainkban azok

többnyire triviálisak lesznek.

JORDAN-TARTOMÁNY TULAJDONSÁGAI. A. (JORDAN TÉTEL). Jordan-görbe komplementere két

komponensből áll. A korlátos komponens, a görbe belseje egyszeresen összefüggő.

Az egyszeres összefüggés a mi definíciónkkal már közvetlen következmény, hiszen a görbe és külseje a

belsejében haladó görbe komplementerének a nem korlátos komponensében van.

B. Jordan-tartomány pontjainak egy határponthoz tartó sorozata összeköthető ugyanoda tartó görbével, azaz

olyannal, amely átmegy a sorozat tagjain, a végpontja az illető határpont, és attól eltekintve a tartományban

halad.

B'. Jordan-tartománynak határpontja δ sugarú környezetében levő bármely két pontja összeköthető a

tartományon belül a határpont r sugarú környezetében haladó görbével, ahol r > 0 tetszőleges, és δ = δ (r) elég

kicsi.

A B' tulajdonságból egyszerűen következik a B.

C. Jordan-tartomány határpontja körül rajzoljunk körvonalat, és legyen adva a tartományban a körvonalon

belül és kívül egy-egy pont. Ekkor a tartomány által a körvonalból kimetszett, legfeljebb megszámlálható sok ív -

a körvonal és a tartomány metszetének komponensei - között van olyan, amelyik elválasztja a két pontot abban

az értelemben, hogy metsz minden, a két pontot a tartományon belül összekötő görbét.

Ezzel a tulajdonsággal valójában minden egyszeresen összefüggő tartomány rendelkezik.

CARATHEODORY TÉTEL BIZONYÍTÁSA. Legyen zn, z'n ∈ D két, D ugyanazon határpontjához tartó olyan

sorozat, hogy a wn ≝ f (zn) és a w'n ≝ f (z'n) sorozat is konvergál, de különböző határértékhez.

Megmutatjuk, hogy ez lehetetlen. A bizonyítás innen már elemi topológia lesz.

A Jordan-tartományok B tulajdonsága alapján kössük össze a wn és w'n sorozatot D1-ben haladó L1; illetve L'1

görbével. Mivel a kettő különböző ponthoz tart, előbb-utóbb elválnak egymástól, és a sorozatok átszámozásával

elérhetjük, hogy már a w0, illetve w'0 kezdőpontjuktól kezdve diszjunktak, d (L1, L'1) > 0 távolságra haladnak egy

mástól. (d ( , )-vei továbbra is pontok és/vagy halmazok egymástól való távolságát jelöljük.)

A D tartományban kössük össze z0-t és z'0-t egy V görbével, és a zn és z'n sorozat közös határértéke körül -

feltehetjük, hogy ez az origó - rajzoljunk tetszőleges r < d (0,V) sugárral körvonalat. Elég nagy n-re ∣ zn∣ ,

∣ z'n∣ < δ (r), és a B' tulajdonság alapján zn és z'n összeköthető az r sugarú körön belül haladó V' görbével.



A C tulajdonság szerint az r sugarú körvonal D által kivágott egyik íve elválasztja z0-t zn-től. Ugyanez az ív z'0-t

is elválasztja z'n-től. Ha ugyanis el lehetne jutni z'0-ből z'n-be az ív megkerülésével, akkor z0-ból V mentén z'0-be,

majd onnan a feltételezett úton z'n-be menve végül V' mentén zn-be jutnánk anélkül, hogy az ívet kereszteznénk.

Az L ≝ f-1 (L1) és az L' ≝ f-1 (L'1) görbe összeköti z0-t és zn-t, illetve z'0-t és z'n-t, és így mindkettő kell, hogy messe

az ívünket. Más szóval az ív f (z) általi képe összeköti L1-et L'1-vel. Annyit szűrjünk hát le az ábrából, hogy

ennek a képnek a hossza, annál inkább {∣ z∣ = r} ∩ D teljes képének az összhossza ≥ d (L1,L'1). Ezt most

analitikus formában fogalmazzuk meg.

Egyszerűbbek lesznek a képletek, ha az A tulajdonság értelmében egyszeresen összefüggő D tartományban

megadjuk s ≝ log z egy reguláris ágát. Inverze, z = es mindenütt értelmezett függvény, és így a reguláris ág a D

tartományt konform módon képezi le az s sík egy D0 tartományára. A legfeljebb 2π szögmértékű {∣ z∣ = r} ∩

D-nek a legfeljebb 2π lineáris mértékű

I (ζ) ≝ {ℜs = ζ} ∩ D0

halmaz felel meg, ahol

ζ ≝ log r < log d (0,V) ≝ ∆.

Az f (z) konform leképezést az új változóval kifejezve

W (s) ≝ f (es) : D0 → D1

konform leképezést valósít meg, amiről tudjuk tehát, hogy I (ζ)-t legalább d (L1,L'1) összhosszú vonalakba viszi.

Az ívhossz képlete szerint ez az összhossz

∫I (ζ)∣ W ' (ζ + it)∣ dt.



A Cauchy-Schwarz Egyenlőtlenség felhasználásával

d 2 (L1,L'1) ≤ ∫I(ζ)dt ∫I(ζ) ∣ W' (ζ + it)∣ 2dt ≤ 2π ∫I(ζ) ∣ W' (ζ + it)∣ 2dt.

ζ szerint -∞-től ∆-ig integrálva

Vegyük észre, hogy ∣ W ' (s)∣ 2 a W (s) : D0 → D1 leképezés Jacobi-mátrixának determinánsa. Valóban, ha W (s)

≝ u (ζ,t) + iv (ζ,t), akkor

a Cauchy−Riemann-egyenletek és reguláris függvény deriváltjának előállítása alapján, mint a "Reguláris

függvény" c. fejezetben láttuk.

Még világosabb ez a determinánsnak mint a területtorzításnak a jelentéséből: az s körüli kis δ sugarú kör képe a

körtartás értelmében jó közelítéssel a W (s) körüli ∣ W '(s)∣ δ sugarú kör, és a kettő területének hányadosa

valóban ∣ W ' (s)∣ 2-hez tart, ha δ → 0.

A kettősintegrál jelentése tehát a

W ({ℜs < ∆} ∩ D0) ⊂ Dl

képhalmaz területe, ami pedig véges.

(A regularitás ebben a fontos szerepet játszó Terület-ívhossz Elvben, a területet és az ívhosszat összekapcsoló

néhány sorban volt kihasználva azáltal, hogy a területtorzítás éppen az ívhossztorzítás négyzete. Elég lenne,

hogy konstansszorosával becsülhető: ezek az úgynevezett kvázikonform leképezések. Részletesebben lásd a

"Fejezetek a komplex függvénytanból" c. jegyzetben.)

Az ellentmondás azt mutatja, hogy nem fordulhat elő az a kiindulásul vett ábránk, amelyben két közös

határértékű sorozat különböző határértékűbe ment át. Mint jeleztük, a Tétel teljes állítása innen már elemi úton

következik.

t ∈ ∂D ponthoz válasszunk zn ∈ D, zn → t sorozatot, és definiáljuk f (z) kiterjesztését a következőképpen:

Az f (zn) sorozat valóban konvergens, ellenkező esetben kiválaszthatnánk belőle két, különböző határértékhez

tartó részsorozatot, ami egy kizárt ábrát eredményezne. Ugyanezen okból kifolyólag más zn sorozattal definiálva

ugyanazt az f (t) értéket kapnánk. A bevezető megjegyzésünk szerint f (t) ∈ ∂D1.

f -1 (w)-t hasonlóan kitérjesztve D1 határára, az inverzre vonatkozó ábra lehetetlenségéből látjuk, hogy f (t) : ∂D ∂

∂D1 valójában ráképezés, éspedig kölcsönösen egyértelmű.

A folytonosság igazolásához legyen t0 ∈ ∂D, és tartsunk hozzá -beli sorozattal. A sorozat D belsejébe eső

tagjai mentén f (z) → f (t0) ezen utóbbi definíciója értelmében tm-mel - tm → t0 (m → ∞) - jelölve a sorozat D

határára eső tagjait, f (tm) definíciója alapján választhatunk hozzá olyan zm ∈ D-et, amelyre

Ekkor zm → t0, és definiálva f (t0-t



A kiterjesztés tehát folytonos t0-ban. Caratheodory Tételét ezzel bebizonyítottuk.

5. TÜKRÖZÉSI ELV

Általában minél szebb a határ, annál szebben viselkedik a rá kiterjesztett leképezés. Csak azzal a másik véglettel

foglalkozunk, amikor a határ tartalmaz egy egyenes szakaszt, ami szintén egyenes szakaszra képződik: a

függvény ekkor regulárisán kiterjeszthető egy nagyobb tartományra. A kölcsönös egyértelműség nem is

lényeges.

Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy mind a tartomány határán levő szakasz, mind annak a

képe a valós tengelyre esik. D*-gal jelöljük D tükörképét a valós tengelyre.

TÜKRÖZÉSI ELV. D legyen a felső félsík résztartománya, (a,b) ⊂ ∂D egy valós intervallum a határán, és

tegyük fel, hogy D ∪ (a,b) ∪ D* is tartomány. Az f (z) függvény legyen értelmezve és folytonos D ∪ (a,b)-n,

reguláris D belsejében, valós értékű (a,b)-n. Ekkor f (z) kiterjeszthető D ∪ (a,b) ∪ D*-ra reguláris függvénnyé.

Ha már ki lenne terjesztve, akkor f (x) (x ∈ (a,b)) valós értékűségét arról lehetne felismerni, hogy x0 ∈ (a,b)

körüli hatványsorának együtthatói valósak. Ez azt jelenti, hogy és

világos, hogy hogyan kell a kiterjesztést definiálni.

BIZONYÍTÁS.

Ha z ∈ D*, akkor a ∈ D pontbeli differenciálhatóság alapján

f (z) tehát D-ben, hanem D*-ban is reguláris. Mivel (a,b) valós, ez a két fele folytonosan csatlakozik egymáshoz,

és így az egész D ∪ (a,b) ∪ D*-n folytonos. Megmutatjuk, hogy ekkor (a,b) pontjainak környezetében is

regulásis.

Ehhez, mint a Weierstrass Tétel bizonyításában megbeszéltük, elég belátni, hogy a környezetben haladó minden

γ zárt görbe mentén eltűnik az integrálja. A környezet konvex lévén, γ háromszögnek is vehető.

A valós tengely - általában - két zárt görbére (négyszögre vagy háromszögre) vágja γ-t; legyen γ1 a felső, γ2 az

első félsíkban fekvő darab. Megfelelő irányítással

∫γf (z) dz = ∫γ1f (z) dz + ∫γ2f (z) dz.

γ1-et toljuk ε-nal kicsit felfelé, hogy már teljesen a környezet D belsejébe eső részében, γ2-t lefelé, hogy a

környezet D*-ba eső részében legyen. f (z) mindkét részben reguláris, tehát az eltolt görbéken vett integrálok,

∫γ1+iεf (z) dz = ∫γ2-iεf (z) dz = 0.

Másrészt

∫γ1+iεf (z) dz = ∫γ1f (z + iε) dz → ∫γ1f (z) dz

ε → 0 esetén, hiszen f (z) folytonossága miatt f (z + iε) → f (z) γ1-en egyenletesen. Azt kapjuk, hogy f (z)

integrálja eltűnik γ1-en, és teljesen hasonlóan γ2-n is. Ezzel a Tükrözési Elv bizonyítását befejeztük.

6. SOKSZÖG LEKÉPEZÉSE

A Riemann Alaptétel csak egzisztenciát állít, bizonyítása a leképező függvény kiszámítására alkalmatlan.

Az elemi függvények, a lineáris törtfüggvények, ez, log z, zα által megvalósított leképezések ismeretében sok

tartományt le tudunk képezni az egységkörre. Például félsíkot lineáris törtfüggvénnyel közvetlenül,



szögtartományt zα-val előbb félsíkká transzformálva, körkétszöget egyik csúcsát lineáris törtfüggvénnyel a ∞-be

vive előbb szögtartományra képezve.

Háromszögre ez elemi függvények komponálásával már nem menne. Most mindjárt általánosabban

megpróbáljuk meghatározni sokszögtartományok leképezését.

Legyen tehát D sokszögtartomány, az oldalai [B1,B2],...,[Bn,B1]. Célszerű lesz a H ≝ {ℑ z > 0} felső félsík D-re

való konform leképezését jelölni f (z)-vel.

H nem Jordan-tartomány, de lineáris törtfüggvénnyel körbe vihető. Caratheodory Tétele tehát érvényben marad:

f (z) folytonosan kiterjed a valós tengelyre, és értjük, hogy mit jelent a kiterjesztett függvény folytonossága a ∞-

ben is. A Bi csúcsoknak így megfelelnek az Ai ≝ f-1 (Bi) valós pontok; feltesszük ugyan is, hogy a ∞ nincs

közöttük. Jelöljük I-vel a valós tengely Ai-kel való felosztásának bármelyik (véges vagy végtelen) nyílt

intervallumát.

A Tükrözési Elv értelmében f (z) regulárisán kiterjeszthető a H* alsó félsíkba külön-külön mindegyik I

intervallumon át D pontjainak f (I) egyenesére való tükrözésével. A H ∪ I ∪ H* bemetszett síkon reguláris

függvényt kapunk; nem feltétlenül konform leképezést, mert D és tükörképe metszheti egymást. A későbbiek

számára jegyezzük meg, hogy lokálisan még I pontjaiban is konform - hiszen a pontok H-ba eső

félkörnyezetének π nyílásszögét megtartva szögtartó -, a deriváltja tehát sehol sem tűnik el.

A kiterjesztést H*-ra megszorítva azonban D tükörképére való - globálisan is - konform leképezést kapunk, amit

bármelyik másik I intervallumon át újra "tükrözhetünk" H-ba, a H-ra való megszorítást ismét H*-ba, és így

tovább. Végezzük el az eljárást az összes lehetséges módon, és jelöljük az így kapott, egy H ∪ I ∪ H* alakú

tartományban reguláris függvényeket fj (z)-vel.

fj (z) H-ban általában különbözik az eredeti f (z)-től, de ezen utóbbi páros sok tükrözésével keletkezett, ami

végeredményben eltolás vagy elforgatás:

fj (z) = ajf (z) + bj (z ∈ H)

konstans aj-vel és bj-vel, aj ≠ 0. bj-től megszabadulhatunk differenciálással:

f 'j (z) = ajf (z) (z ∈ H)

Innen pedig aj-től logaritmikus differenciálással:

ami tehát egy j-től független g (z) függvényt definiál H-ban.

Teljesen hasonlóan

az alsó félsíkban is egyetlen közös függvényt értelmez. Sőt fj (z) egy I intervallum pontjaiban is reguláris, és

tekintettel arra, hogy - mint f (z) esetében megjegyeztük - fj (z) ≠ 0 (z ∈ H ∪ I ∪ H*) ezekre a kiterjesztett

leképezésekre, az egész síkon egyértelmű reguláris g (z) függvényhez jutunk eltekintve az Ai és a ∞ izolált

szingularitásoktól. Ezekben a szingularitásokban közelebbről is megvizsgáljuk.

f (z)-nek a (-∞,A1) és az (An, +∞) intervallumon át való tükrözése ugyanazt, D f (∞)-t tartalmazó oldalán át való

tükrözést jelent. Így kiterjesztve f (z)-t a ∞-ben izolált, éspedig - a véges határértéke miatt - megszüntethető

szingularitása lesz:

Kétszeri differenciálással,



meggyőződhetünk arról, hogy f " (z) 1-gyel nagyobb rendben tűnik el a ∞-ben, mint f ' (z), és ezért hányadosuk,

g (z) szingularitása szintén megszüntethető g (∞) = 0 értékkel. (Könnyű látni, hogy már c1 ≠ 0, de erre így nincs

is szükségünk.)

Legyen A az Ai-k egyike, B = f (A) a D sokszög megfelelő csúcsa, és α a sokszög B-nél levő belső szöge. A B

csúcsú α nyílásszögű szögtartományban értelmezzük log (w - B) és azzal

reguláris ágát, ami a szögteret "kiegyenesíti", konform módon félsíkra képezi, a szögtér határát is kölcsönösen

egyértelműen a félsíkot határoló egyenesre, B-t pedig 0-ba vive.

A w = f (z) helyettesítéssel

az A pont kis {∣ z A∣ < δ, z ∈ H} félkörnyezetét konform módon 0-nak a félsíkba eső kis félkörnyezetére

képezi. Ezáltal a teljes (A - δ, A + δ) intervallum a félsíkot határoló egyenesre kerül, és így h (z)-re is

alkalmazható a Tükrözési Elv. Kiterjeszthető hát A teljes {∣ z - A∣ < δ} környezetében reguláris függvénnyé, h

(A)= 0, h ' (A) ≠ 0; az utóbbi ugyanúgy, mint f ' (x) ≠ 0 (x ∈ I), a szögtartás következménye, hiszen A

félkörnyezetének π nyílásszögét megtartja.

a már definiált logaritmussal. Kétszer differenciálva

Mindkét oldal kiterjeszthető regulárisan A kipontozott környezetére. Mivel h (z)-nek egyszeres gyöke van A-

ban, a jobb oldal második tagja A-ban reguláris, az első tagnak pedig elsőrendű pólusa van α/π - 1 reziduummal.

Teljesen leírtuk g (z) szingularitásait. αi-vel jelölve a Bi csúcsnál levő szöget, pontosan ugyanilyen

szingularitásai vannak a

függvénynek. A két függvény különbsége tehát az egész síkon, beleértve a ∞-t is reguláris, a Liouville Tétel

értelmében konstans. Mivel a ∞-beli értékük, 0 is közös,

H-ra szorítkozva a bal oldal primitív függvénye log f ' (z), f ' (z) ≠ 0 logaritmusának tetszőleges reguláris ága. z -

Ai logaritmusának reguláris ágával megadhatjuk a jobb oldal egy primitív függvényét is, és azt kapjuk, hogy

alkalmas a konstanssal



rögzített z0 ∈ H-ból tetszőleges H-ban haladó úton integrálva; b szintén integrációs konstans.

Az a feltételünk, hogy f (∞) D egyiik oldalának belső pontja legyen - bár könnyű teljesíteni - nem lényeges. Ha

az egyik Ai = ∞, akkor a képletünk még egyszerűsödik azzal, hogy az illető tényező kimarad a szorzatból.

Ezzel a Schwarz−Christoffel Formulával "kiszámítottuk" a leképező függvényt. A szépséghibája az, hogy az Ai-

ket nem ismerjük. Három pontot - mint tudjuk - akárhogyan előírhatunk a határon, háromszög esetén tehát

irányítástartó hasonlósági transzformációtól eltekintve valóban meghatároztuk a leképezést.

(Fordítva, képletünket tetszőleges Ai-kel és αi-kel felírva, könyen ki tudjuk azt terjeszteni a valós tengelyre,

aminek a képe αi szögben egymáshoz csatlakozó szakaszokból fog állni. Ha az αi-k valóban n csúcsú sokszög

szögei, akkor a sokszögvonal záródni is fog, és az Argumentum Elv segítségével

megmutatható, hogy H konform módon a sokszögtartományra képződik, feltéve, hogy a sokszögvonal nem

metszi át önmagát, például konvex szögek, 0 < αi < π esetén mindig.)

7. PICARD TÉTELE

Legyen D az egységkörbe írt szabályos, 0 szögű körháromszög, f (z) H-nak D-re való konform leképezése,

amelyet a valós tengelyre kiterjesztve A1 = 0, A2 = 1 és A3 = ∞ megy a háromszög csúcsaiba.

Az előző jelölésünknek megfelelően I a (-∞,0), (0,1) és (1, +∞) intervallumok bármelyike. Ezek képe körvonal,

de természetesen körvonalra is lehet "tükrözni", ami inverziót jelent, és ugyanúgy, mint a sokszög esetében, f

(z)-ből kapunk végtelen sok, egy H ∪ I ∪ H* alakú tartományban reguláris fj (z) függvényt. Mivel a

körháromszög oldalai merőlegesek az egvségkörvonalra, az egvségkörlap a rajtuk való tükrözéssel önmagába

megv, és ígv minden ∣ fj (z)∣ < 1.

Legyen F (z) olyan egészfüggvény, amelyre F (z) = 0, 1, tehát oda képez, ahol az {fj (z)} "többértékű függvény"

értelmezve van. Megmutatjuk, hogy {fj (F (z))}-nek van φ (z) reguláris ága. Bizonyításunk átmenetet képez a

logaritmus reguláris ágáról szóló Tételünk és majd a "Riemann-felületek" c. jegyzetben bizonyítandó általános

tétel között: egyszeresen összefüggő tartományban - pontatlanul fogalmazva - minden többértékű függvénynek

van reguláris ága.

Az általánosság megszorítása nélkül legyen F (0) ∈ H. 0 elég kis r0 sugarú környezetében tehát értelmezhetjük

mint

φ (z) ≝ f (F (z)) (∣ z∣ < r0).

Tegyük fel, hogy ez kiterjeszthető a {∣ z∣ < r} körben (r > r0) reguláris függvénnyé, éspedig az r sugarú körlap

minden pontjának kis környezetében φ (z) = fj (F (z)) alakban csak a környezettől függő j-vel. (Valójában nem

volna nehéz megmutatni, hogy eleve csak ilyen kiterjesztések jöhetnek szóba.)

Jelöljük R-rel az r-ek szuprémumát. Ezzel a teljes {∣ z∣ < R} körben kapunk egy ilyen kiterjesztést.

Ha R < ∞, akkor az R sugarú körvonal minden pontjának van olyan köralakú U környezete, amelyet F (z) egy H

∪ I ∪ H* alakú tartományba képez. U ∩ {∣ z∣ < R}-ben válasszunk z0 pontot az egyszerűség kedvéért úgy,

hogy F (z0) ne essen a valós tengelyre, tehát F (z0) ∈ H0, ahol H0 = H vagy H*.

Mint tudjuk, z0 kis környezetében φ (z) = fj (F (z)). Nem biztos, hogy ez az fj (z) a mi H ∪ I ∪ H*

tartományunkban van értelmezve, de H0-ra megszorítást I-re tükrözve már ilyen fj (z)-t kapunk. A φ; (z) ≝ fj (F

(z)) (z ∈ U) definícióval tehát φ (z)-t az R sugarú körvonal tetszőlegesen váasztott pontján át folytattuk.



Ahogyan a "Hatványsorba fejtés" c. fejezetben megbeszéltük, ezzel φ (z)-t a kívánt módon kiterjesztettük R-nél

nagyobb sugarú körbe. Az ellentmondás azt mutatja, hogy R = ∞.

φ (z) tehát egészfüggvény, és mivel ∣ φ (z)∣ < 1, a Liouville Tétel szerint konstans, de akkor F (z) is. A

feltevésünkben annak, hogy F (z) éppen a 0-t és az 1-et hagyja ki, persze nincs jeentősége, és bebizonyítottuk a

következő nevezetes eredményt.

PlCARD TÉTELE. Nemkonstcms egészfüggvény legfeljebb egy kivétellel minden értéket felvesz.

A Tétel más bizonyításaira, általánosításaira ebben a jegyzetben és a sorozat más jegyzeteiben is még

visszatérünk.


7. fejezet - EGÉSZFÜGGVÉNYEK

1. FÜGGVÉNY RENDJE

Mint az exponenciális függvény példája mutatja, a Picard Tételben egy kivétel valóban előfordulhat, éspedig

pontosan az

f (z) = eφ(z

) (φ (z) egészfüggvény)

alakú egészfüggvények hagyják ki a 0 értéket; ez a logaritmus reguláris ágáról szóló, a "Konform leképezések"

c. fejezetben bizonyított eredményünk speciális esete.

Ha polinom φ (z) esetét akarjuk jellemezni, akkor - emlékezve a maximum modulus

jelölésére - természetes a következő

DEFINÍCIÓ (FÜGGVÉNY RENDJE). A

ρ (f) ≝ inf {α ≥ 0 : ∃ r0, M (r,f) < erα (r ≥ ∞)}

mennyiséget az f (z) egészfüggvény rendjének nevezzük, üres halni az infimumán ∞-t értve.

ρ (f) a függvény nagyságrendjének egy mérőszáma. (Könnyű belátni, hogy

TÉTEL (VÉGES RENDŰ GYÖKMENTES FÜGGVÉNY). Az f (z) ≠ 0 (z ∈ ℂ ) egészfüggvény akkor és csak

akkor véges rendű, ha

f (z) = eφ(z

), φ(z) polinom.

Ekkor ρ (f) = grad φ, a polinom foka.

BIZONYÍTÁS.

∣ f (z)∣ = ∣ eφ(z

)∣ = eℜφ(z

).

Ha ρ(z) polinom, akkor a "Hatványsorba fejtés" c. fejezetben a polinomokat jellemző Tételünk bizonyítása

alapján

ℜ φ (z) ≤ ∣ φ (z)∣ < rα (∣ z∣ = r ≥ r0)

α > grad φ és tőle függően elég nagy r0 esetén. Innen

M (r,f) < erα (r ≥ r0),

és a rend definíciója szerint ρ(f) ≤ α. Mivel ez minden α > grad φ esetén fennáll, ρ(f) ≤ grad φ.

Fordítva, tudjuk, hogy f (z) = eφ(z

), ahol φ(z) egészfüggvény, és a polinomokat jellemző Tétel alkalmazásához

∣ φ(z)∣ -et kellene megbecsülni ∣ f (z)∣ , tehát ℜφ(z) segítségével. Ezt majd az alábbi Segédtételben tesszük

meg.

Eltekintve a konstans f (z) triviális esetétől, a Maximum Elv alapján

∣ f (z)∣ = eℜφ(z

) < M (2r,f), ℜφ(z) - ℜφ(0) < log M (2r,f) - ℜφ(0) (∣ z∣ < 2r).

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


A - z = 0 helyettesítéssel láthatóan - pozitív jobb oldallal osztva és a 2r sugarú kört az egységkörbe

transzformálva a

függvény kielégíti a Segédtétel feltételeit.

Állítása, ∣ g (z)∣ ≤ 2 (∣ z∣ ≤ 1/2) azt jelenti, hogy

ahonnan

A rend definíciója szerint

M (r,φ) < 2(2r)α + 3∣ φ(0)∣ < rα+ε (α < ρ(f), r ≥ r0)

r 0-t szükség szerint ε > 0-tól függően megnövelve. φ(z) tehát valóban polinom, grad φ ≤ α + ε minden α > ρ(f)

és ε > 0 mellett. Innen grad φ ≤ ρ(f), és a Tétel bizonyítását befejeztük.

SEGÉDTÉTEL (SZUBORDINÁCIÓ). Legyen g(z) reguláris, ℜg(z) ≤ 1 (∣ z∣ < 1), g(0) = 0. Ekkor

BIZONYÍTÁS. g(z) értékei a {ℜw ≤ 1} félsíkba esnek. Ha tehát például az

törtfüggvénnyel a félsíkot az egységkörre képezzük, akkor S(g(z)) kielégíti a Schwarz Lemma feltételeit, ezért

ahol S (w) inverze,

az 1/2 sugarú körlapot a szimmetria miatt a [-2, 2/3] szakasz mint átmérő fölé rajzolt körlapra képezi. Ezen

utóbbi pontjainak az origótól vett legnagyobb távolsága 2, innen az állítás.

(Ha g(z) reguláris, G(z) konform az egységkörben, g(∣ z∣ < 1) ⊂ G(∣ z∣ < 1), és g(0) = G(0), akkor ugyanezzel

a módszerrel adódik, hogy g(∣ z∣ < r) ⊂ G(∣ z∣ < r), speciálisan

M (r,g) ≤ M (r,G) (r < 1).

A konform leképezésnek ez a - sok más vonatkozásban is érvényes - extremális tulajdonsága az úgynevezett

szubordináció legegyszerűbb esete.)

2. KONVERGENCIAEXPONENS

Megengedve ezután, hogy az f (z) egészfüggvényünk eltűnhet, nullhelyeit is kapcsolatba tudjuk hozni a

nagyságrendjével. Ennek alapja a következő

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


SEGÉDTÉTEL (GYÖKSZÁM BECSLÉSE). Legyen g(z) reguláris, ∣ g(z)∣ ≤ 1 (∣ z∣ < 1), g(0) ≠ 0. n-nel

jelölve a {∣ z∣ ≤ 1/2} körbe eső gyökeinek számát a multiplicitás figyelembevételével,

BIZONYÍTÁS. Jelöljük zi-vel (i = 1,...,n) a szóbanforgó gyököket multiplicitással számolva, amin azt értjük,

hogy mindegyiket annyiszor szerepeltetjük a sorozatban, amennyi a multiplicitása. A

függvénynek a nevező gyökhelyein, a zi pontokban is csak megszüntethető szingularitása van.

Alkalmazható hát rá a Maximum Elv. Mivel a nevező minden egyes tényezője abszolút értékben 1-hez tart az

egységkörvonalon - ez volt az értelme annak, hogy ilyen bonyolult gyöktényezővel osztottunk le -,

Itt

ami átrendezve a Segédtétel állítását adja.

(zi-kel véges gyököt jelölve, pusztán a ∣ g(z)∣ ≤ 1 feltevést használva, a Maximum Elvet nemcsak z = 0-ra

felírva tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy

ami a Schwarz Lemma általánosítása; egyenlőség ismét csak a jobb oldalon levő úgynevezett Blaschke-szorzat 1

abszolút értékű konstanszorosára állhat.)

Legyen {zk} (k =1,...) nemtorlódó pontsorozat a síkon; más szóval vagy véges sok tagja van, vagy zk → ∞.

"Sűrűségét" az

számosságfüggvényével mérjük, vagy egyetlen számmal, a

μ ≝ inf {β ≥ 0 : ∃ r0, n(r) < rβ (r ≥ r0)}

konvergenciaexponensével. (Megint csak megemlítjük, hogy ugyanez más alakban

Minél "sűrűbb" a sorozat, annál nagyobb a konvergenciaexponense.

Ha {zk} az f (z) ≢ 0 egészfüggvény gyökei multiplicitássál, akkor n(r)-et n(r,f)-fel, μ-t μ(f)-fel jelöljük. Ha

f (z) = amzm + ...,

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


ahol am ≠ 0, azaz m ≥ 0 az origóbeli gyökhely multiplicitása, akkor ismét a 2r sugarú kört az egységkörré

transzformálva

kielégíti az előző Segédtétel feltételeit, éspedig

g(z)-nek az 1/2 sugarú körben ugyanannyi gyöke van, mint f (z)-nek az r sugarú körben, eltekintve a 0-beli m-

től:

Ha pedig f (z) véges rendű, α > ρ(f), akkor a jobb oldal

ha kisebb nagyságrendű mennyiségeket, mint például konstansokat mind beolvasztunk rε-ba, r0 értékét szükség

szerint ε-tól függően megnövelve. Ez pedig azt jelenti, hogy f (z) gyökeinek konvergenciaexponense, μ(f) ≤ α +

ε, és mivel α > ρ(f), ε > 0 tetszőleges:

TÉTEL (REND ÉS KONVERGENCIAEXPONENS). μ ≤ ρ(f).

A Tétel azt fejezi ki, hogy ha a függvény nem "nagy", akkor nem lehet "sok" gyöke. Hogy lássuk, mennyire éles

az egyenlőtlenség, konstruálunk egészfüggvényeket.

3. FÜGGVÉNY ELŐÍRT GYÖKÖKKEL

MITTAG−LEFFLER-FELADAT (FÜGGVÉNY ELŐÍRT SZINGULARITÁSOKKAL). {zk} adott

nemtorlódó pontsorozat a síkon, zk ≠ zl (k ≠ l), és minden zk-hoz tartozzon tetszőleges Hk(w) egészfüggvény.

Ekkor létezik a zk pontoktól eltekintve az egész síkon reguláris h(z) függvény, amelynek zk-beli szinguláris része

Hk(1/(z - zk)), vagyis

reguláris zk-ban minden k-ra.

h(z) persze nem egyértelmű, tetszőleges egészfüggvényt hozzáadhatunk.

BIZONYÍTÁS. A szinguláris rész zk kivételével mindenőtt reguláris, véges sorozatra tehát az összegük

megfelel. Végtelen sorozat esetén

alakkal próbálkozunk, ahol a pk(z) egészfüggvény - polinom lesz! - hivatott a konvergenciát biztosítani.

Például - zk ≠ 0 esetén - Hk(1/(z - zk)) Taylor-sora a {∣ z∣ ≤ ∣ zk∣ /2} körben biztosan egyenletesen konvergens,

és elég hosszú szeletével közelítve elérhető, hogy akár

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


Rögzített R mellett bontsuk fel a sort két részre:

A {∣ z∣ < R} körben a második összeg minden tagja reguláris, és ∣ z∣ < R ≤ ∣ zk∣ /2 miatt 2-k-val majorálható.

A Weierstrass Majoráns Kritérium szerint a sor egyenletesen konvergens, és Weierstrass Tétele szerint reguláris

függvényt állít elő. Az első, véges összegnek pedig, mint megjegyeztük, ott és olyan szingularitása van, ahol és

amilyent elvárunk tőle. Mivel ez minden rögzített R sugarú körben így van, a Mittag−Leffler-feladatot

megoldottuk.

Megjegyzés. A konvergencia sebességét előírni néha luxus. Természetesen elegendő, ha minden rögzített R

mellett.

a ∣ z∣ ≤ R körben egyenletesen konvergens.

WEIERSTRASS TÉTELE (EGÉSZSÉGFÜGGVÉNY ELŐÍRT GYÖKÖKKEL). {zk} adott nemtorlódó

pontsorozat a síkon, zk ≠ zl (k ≠ l), és minden zk-hoz tartozzon tetszőleges mk természetes szám. Ekkor létezik Π(z)

egészfüggvény, amelyre

Π(z) ≠ 0 (z ≠ zk), Π(zk) = 0

mk multiplicitással.

mk-szoros gyökből a logaritmikus deriválás elsőrendű pólust csinál mk rezidummal, így lehet a feladatot az

előzőre visszavezetni.

BIZONYÍTÁS. A Mittag−Leffler-feladatot a Hk(w) = mkw esetben megoldva olyan, a zk pontokkal kipontozott

síkon reguláris h(z) függvényt kapunkk, amelynek mk/(z - zk) a szinguláris része zk-ban.

Itt z0 az összes zk-tól különböző rögzített pont. A nem jelölt integrációs útról csak annyit teszünk fel, hogy

elkerüli a zk pontokat. Az integrál függ az úttól: két úton vett integrál különbsége egy z0-ból induló és oda befutó

zárt γ görbén vett integrál, a Reziduum Tétel szerint

2πi egész számú többszöröse. Π(z) maga tehát már egyértelműen definiált.

Adott z ≠ zk pont környezetében az integrált is értelmezhetjük egyértelműen például azzal, hogy lerögzítünk egy

z0-ból z-be vezető görbét, és onnan már csak a környezeten belül megyünk el a környezet pontjaiba. h(z) egy

primitív függvényét kapjuk, ami reguláris a környezetben. Így Π(z) = 0 is reguláris a zk-któl eltekintve.

ugyanolyan függvény, mint h(z) maga, azzal a különbséggel, hogy rá nézve zk pont. Az előbbiek szerint tehát

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


ahol gk(z) reguláris és ≠ 0 zk-ban.

Mint az "Integráltételek" c. fejezetben az index vizsgálatakor megjegyeztük,

alkalmas logaritmusokkal. Innen

ami arra utal, hogy Π(z)-nek zk-ban megszüntethető szingularitása van, éspedig pontosan mk-szoros gyöke. Ezzel

a Weierstrass-féle feladatot teljesen megoldottuk.

4. WEIERSTRASS-SZORZAT

Π(z)-t megadhatjuk explicit formában. Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hogy zk ≠ 0, és válasszuk z0-t 0-nak.

Az mk jelölést is megtakaríthatjuk, ha a multiplicitás figyelembevéteelével ismét megengedjük, hogy a zk-k

között azonosak is lehessenek.

A Mittag−Leffler Tétel bizonyításának jelölésével

a zk-beli reziduum így valóban annyi, ahányszor zk szerepel a sorozatban.

és alkalmas (elég nagy) n = nk mellett a jobb oldal első n tagjának összegét választottuk pk(z)-nek. h(z) sorának

tagjait így kétféleképpen is megoldhatjuk:

Az első alakot használva és az egyenletes konvergenciának köszönhetően tagonként integrálva

alkalmas logaritmusokkal,

ez az úgynevezett Weierstrass kanonikus szorzat, polinomok gyöktényezős alakjának általánosítása.

Emlékeztetünk a végtelen szorzat fogalmára. Akkor mondjuk, hogy

konvergens, ha ak ≠ 0 elég nagy k ≥ k0-ra, és létezik a

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


határérték; a végtelen szorzat értéke,

tehát csak úgy lehet 0, ha valamelyik tényező eltűnik. A szorzat konvergenciájának szükséges feltétele, hogy ak

→ 1 (k → ∞), míg szükséges és elégséges, hogy

konvergens a logaritmusok alkalmas - a legkisebb abszolút értékű - értékével.

Nekünk éppen ebben az utóbbi értelemben adódott a Weierstrass-szorzat konvergenciája. Sőt a Π(z)

előállításában, e kitevőjében szereplő összeg zk-ban is konvergens véges sok tag elhagyása után, a szorzat tehát

még zk-ban is konvergens, és mindenütt megegyezik Π(z)-vel.

Mindennek az volt a feltétele, hogy tetszőleges R mellett

∣ z∣ ≤ R-re egyenletesen konvergens. A tagok második alakját használva

tehát a Weierstrass Majoráns Kritérium szerint az egyenletes konvergenciához elegendő, hogy

minden R-re.

Persze itt nk-t minél kisebbnek szeretnénk venni. Mikor lehet nk = nk-tól független egész? Ekkor Rnk is független

k-tól, feltételünk tehát így néz ki:

A ∣ zk∣ ≤ r pontok számát n(r)-rel jelöltük. n(r) így a ∣ zk∣ helyek között konstans, r = ∣ zk∣ -ban pedig akkorát

ugrik, ahány zk van az r sugarú körvonalon. Az (improprius) Riemann−Stieltjes-integrál értelmezése szerint

ezért általában

A zk ≠ 0 kikötésünk követkéztében n(r) = 0 elég kis r-re. Másfelől, ha a {zk} sorozat μ konvergenciaexponense <

∞, akkor definíciója szerint α > μ esetén létezik β < α úgy, hogy n(r) < rβ (r ≥ r0). E két tény alapján az

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


parciális integrálásban - pontosabban először [0,T]-re, majd a T → ∞ határátmenettel - a kiintegrált rész 0, és a

jobb oldali integrál < ∞.

Végeredményben minden α > μ esetén

(Más szóval

ahol valójában egyenlőség áll, és ez megmagyarázza a konvergenciaexponens elnevezést.) Ha tehát n + 1 > μ - a

továbbiakban mint a legkisebb ilyen egész legyen

n ≝ [μ],

μ egészrésze, amikor is n ≤ μ < n + 1 -, akkor kérdésünkre azt a választ adhatjuk, hogy a Weierstrass-szorzarban

k-tól függetlenül választhatjuk ezt az n-et.

TÉTEL (WEIERSTRASS-SZORZAT BECSLÉSE). α > μ esetén létezik olyan r0, hogy

∣ Π(z)∣ < erα (∣ z∣ = r ≥ r0),

és minden ilyen r-re létezik olyan t ∈ [r,2r], hogy

∣ Π(z)∣ > e-rα (∣ z∣ = t.

A felső becslés azt jelenti, hogy ρ(Π) ≤ μ = μ(Π). A fordított irányú egyenlőtlenség viszont minden

egészfüggvényre érvényes: a Weierstrass-szorzattal az előírt helyeken eltűnő lehető legkisebb függvényt

konstruáltuk meg, ρ(Π) = μ = μ(Π).

BIZONYÍTÁS. Először azt nézzük meg, hogy a

függvény

területi integrálja mikor lesz véges.

A z = zkw helyettesítéssel

Az utolsó integrálnak három kritikus pontja van:

Az origó környezetében

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


ha n - α - 1 < -2.

1 környezetében

ha -1 > -2.

∞ környezetében.

ha n - α - 2 < -2.

A síkból még megmaradó kompakt halmazon a folytonos integrandusnak mindig véges az integrálja.

Összefoglalva,

ahol K és a késöbbiekben K1,... α-tól és - mint itt is n-en keresztül - magától a {zk} sorozattól is függő véges

konstans,

a sor α > μ esetére korábban igazolt konvergenciája miatt.

A kikötéseinket összegyűjtve, n ≤ μ < α < n + 1. Csak az utolsó egyenlőtlenséggel tettünk a Tételben

foglaltakhoz képest további megszorítást, ezt viszont nyugodtan megtehetjük, hiszen α növelésével a Tétel

állításai csak gyengülnek.

Az integrálból csak a 2r sugarú kör adalékát megtartva és polárkoordinátákra térve

(Biztosan létezik minimum?) Van tehát olyan ϑ, amelyre az utolsó integrál, a valós tengellyel ϑ szöget bezáró

sugáron az ívhossz szerinti integrál,

Hasonlóan, ezúttal csak körgyűrűt megtartva és a kettős integrált fordított sorrendbe írva

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


Van tehát olyan t ∈ [r, 2r], amelyre az utolsó integrál, a t sugarú körvonalon az ívhossz szerinti integrál,

Ha egyelőre t-t ezen t sugarú körvonalra korlátozzuk, akkor az origóból a kiválasztott ϑ irányú sugáron, majd t

sugarú köríven elérve

Π(z) definíciójában azonban közömbös, hogy milyen úton integrálunk:

A felső becslés - és csak az! - a Maximum Elv értelmében a ∣ z∣ = r ≤ t körvonalon is fennáll:

∣ Π(z)∣ ≤ eK4rα (∣ z∣ = r).

Mind a felső, mind az alsó becslésben akármilyen kicsit megnövelt α elég nagy r-re a K4 konstanst is magába

foglalja, és a Tételt bebizonyítottuk.

5. KANONIKUS ALAK

Legyen ezután f (z) ≢ 0 tetszőleges véges rendű egészfüggvény a 0-ban m-szeres (m ≥ 0) gyökkel, és jelöljük zk-

val a többi gyökét multiplicitással. Készítsük el ezen gyökök Π(z) Weierstrass-szorzatát. f (z) és zmΠ(z) gyökei a

multiplicitásukkal együtt megegyeznek, és így

sehol sem eltűnő egészfüggvény.

ρ(Π) = μ(Π) = μ(f) ≤ ρ(f).

Az első egyenlőséget éppen most bizonyítottuk. A második triviális, hiszen véges sok - esetünkben m - tagban

való eltérés a sorozatok konvergenciaexponensére nincs hatással. A konvergenciaexponens és a rend közötti

egyenlőtlenség korábbi általános Tételünk.

Ha tehát α > ρ(f), akkor ezen utóbbi definíciója szerint és a Weierstrass-szorzat alsó becslésének

felhasználásával

r ≥ r0 ≥ 1 esetén alkalmas t ∈ [r, 2r] mellett. A Maximum Elv szerint ez az r ≤ t sugarú körvonalon is fennáll:

∣ f1 (z)∣ ≤ e(2α+l)rα < erα+ε (∣ z∣ = r > r0),

azaz ρ(f1) ≤ α + ε, ρ(f1) ≤ ρ(f).

A végesrendű gyökmentes függvényt jellemző Tételünk alapján ezért

f 1 (z) = eφ(z

),

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


ahol a φ(z) polinom foka, grad φ = ρ(f1) ≤ ρ(f).

TÉTEL (VÉGES RENDŰ FÜGGVÉNY KANONIKUS ALAKJA). Véges rendű, nem azonosan eltűnő f(z)

egészfüggvény felírható

f (z) = zmΠ(z)eφ(z

)

alakban, ahol m ≥ 0 egész, Π(z) az f (z) 0-tól különböző gyökeinek Weierstrass-szorzata, ρ(Π) = μ(Π) = μ(f), és

φ(z) polinom, ρ(eφ) = grad φ,

max(ρ(Π), ρ(eφ)) = ρ(f).

BIZONYÍTÁS BEFEJEZÉSE. Az alábbi Tételnek a szorzat rendjére vonatkozó triviális (ii) egyenlőtlenségét

felhasználva

ρ(f) ≤ max(ρ(zm), ρ(Π), ρ(eφ)) = max(ρ(Π), ρ(eφ)),

hiszen polinom rendje 0.

KÖVETKEZMÉNY. Tetszőleges α > ρ(f) és r ≥ r0 esetén létezik t ∈ [r, 2r] úgy, hogy

∣ f (z)∣ > e-rα (∣ z∣ = t).

Valóban,

∣ eφ(z

)∣ = eℜφ(z

) ≥ e-∣ φ(z

)∣ > e-tα (∣ z∣ = t)

minden elég nagy t-re, és így arra a t ∈ [r, 2r]-re, amelyre Π(z) alsó becslése érvényes,

∣ f (z)∣ > e-rαe-

tα ≥ e-(1+2α)rα (∣ z∣ = t),

ha r ≥ r0 ≥ 1. r kitevőjét ezután a szokásos módon kicsit növeljük meg.

TÉTEL (MŰVELETEK ÉS REND). Legyen f (z) és g(z) két egészfüggvény.

(f ' (z) és f (z) rendje valójában megegyezik.)

BIZONYÍTÁS. Ha α > max(ρ(f), ρ(g)), akkor ∣ z∣ = r ≥ r0 esetén

∣ f (z)∣ < erα, ∣ g(z)∣ < erα

a rend definíciója szerint, míg az előbbi Következmény szerint alkalmas t ∈ [r, 2r] mellett

∣ g(z)∣ > e-rα (∣ z∣ = t)

Innen

a nevezőben az alsó becslést használva először ∣ z∣ = t-re, majd a Maximum Elvvel ∣ z∣ = r-re is.

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


A deriváltat a Cauchy Formula segítségével becsülhetjük:

hacsak α > ρ(f).

Mind a négy esetben α-t kicsit megnövelve rα-t írhatunk a kitevőbe, és ezzel a Tételt bebizonyítottuk.

6. BOREL-FÉLE KIVÉTELES ÉRTÉKEK

A Tétel (i) pontja szerint ρ(f - a) = ρ(f), ahol a tetszőleges konstans. A rendet és a konvergenciaexponenst

összekapcsoló Tételünk szerint tehát ∣ μ(f - a) ≤ ρ(f): véges rendű egészfüggvény egyetlen a értéket sem vehet

fel "túl sokszor".

Polinom foka csak egész szám lehet, és ha ρ(f) nem egész, akkor a kanonikus alak Tételében szükségképpen μ(f)

= ρ(f), vagy általánosabban - (f (z) - a)-ra alkalmazva - μ(f - a) = ρ(f): véges, de nem egész rendű egészfüggvény

minden értéket olyan "sokszor" vesz fel, amilyen "sokszor" csak teheti. Megkötés nélkül érvényes

BOREL TÉTELE. Ha f (z) nemkonstans egészfüggvény, és ρ(f) < ∞, akkor μ(f - a) = ρ(f) legfeljebb egy a érték

kivételével.

(Nem bizonyítjuk be, de ez végtelen rendű függvényre is igaz, ami Picard Tételének messzemenő kvantitatív

általánosítása, ha még figyelembe vesszük, hogy 0-adrendű transzcendens egészfüggvény is minden a értéket

végtelen sokszor felvesz, hiszen f (z) - a kanonikus alakjában az exponenciális faktor konstans.)

BIZONYÍTÁS. Ha például a = 0 kivételes érték, akkor

f (z)= Q1(z)eφ(z

)

kanonikus alakjában, ahol

Q 1(z) ≝ zmΠ(z),

ρ(Q1) = ρ(Π) = μ(f) < ρ(f), ρ(eφ) = ρ(f).

Q 1(z)-vel (i = 1,...) a továbbiakban is ρ(f)-nél határozottan kisebb rendű egészfüggvényeket fogunk jelölni.

Indirekt bizonyításunkban az általánosság megszorítása nélkül feltehető, hogy a = 1 egy másik kivétel:

f (z) - 1 = Q2(z)eψ(z

),

ahol, mint φ(z), ψ(z) is polinom.

Ekkor

Q 1(z)eφ(z

) - 1 = Q2(z)eφ(z

).

Differenciálva

(Q'1(z) + Q1(z) φ' (z))eφ(z

) = (Q'2(z) + Q2(z) ψ' (z))eψ(z

)

Mindkét oldalt Q2(z)-vel beszorozva az előző azonosság felhasználásával kiküszöbölhetjük eψ(z

)-t. A

műveleteknek a rendre való hatásáról szóló Tételünk tanúsága szerint az összeadás, szorzás, differenciálás nem

vezet ki a ρ(f)-nél kisebb rendű függvények köréből, és így

Q 3(z)eφ(z

) = Q4(z) (Q1(z)eφ(z

) - 1)

alakú azonossághoz jutunk, ahol

Q 3(z) ≝ (Q'1(z) + Q1(z) φ'(z))Q2(z), Q4(z) ≝ (Q'2(z) + Q2(z) ψ' (z))

EGÉSZFÜGGVÉNYEK


konkrét alakja érdektelen, de fontos, hogy

f '(z) = Q4(z)eψ(z

)

alapján Q4(z) ≢ 0.

Ennek köszönhetően, eφ(z

)-re megoldva,

Q 5(z) ≝ Q4(z)Q1(z) - Q3(z).

az idézett Tétel (iii) pontjában azt is megmutattuk, hogy az osztás sem veze ki a körből, feltéve, hogy a

hányados egészfüggvény:

ρ(eφ) < φ(f),

holott még a bizonyítás elején megállapítottuk, hogy e két rend megegyezik. Az ellentmondással Borel Tételét

bebizonyítottuk.


8. fejezet - HARMONIKUS FÜGGVÉNYEK

DEFINÍCIÓ (HARMONIKUS FÜGGVÉNY). Tartományon értelmezett u(z) függvényt harmonikusnak

nevezünk, ha minden pontnak van olyan környezete és a környezetben olyan f (z) reguláris függvény, hogy ℜf

(z)= u(z) a környezetben.

A lokális definíció értelmét log példája mutatja, ami így harmonikus az origóban kipontozott síkon, de

globálisan nincs egyértelmű, log ∣ z∣ valós részű reguláris függvény.

1. LAPLACE-EGYENLET

Legyen a lokálisan értelmezett f (z) = u(z) + iv(z). A "Reguláris függvény" c. fejezetből tudjuk, hogy u(z) és v(z)

valós értelemben (totálisan) differenciálható, és

Innen indukcióval következik, hogy u(z) és v(z) valós értelemben akárhányszor differenciálható, és a

Cauchy−Riemann-egyenletek x, illetve z szerinti deriválásával

A kettőt összeadva a Young Tétel miatt u(z) kielégíti a

Laplace-egyenletet.

TÉTEL (LAPLACE-EGYENLET) Tartományban értelmezett valós értékű u(z) függvény akkor és csak akkor

harmonikus, ha valós értelemben kétszer differenciálható, és ∆u = 0.

(A Laplace-egyenlettel kettőnél több változóban is lehet harmonikus függvényeket értelmezni, amelyeknek

fontos szerepük van a parciális differenciálegyenletek elméletében. A kétváltozós eset specialitása, a reguláris

függvényekkel való kapcsolat gyakran más jellegű eredményekhez és elegánsabb bizonyításokhoz vezet.)

ELÉGSÉGESSÉG BIZONYÍTÁSA. Legyen

ami a keresett reguláris függvény deriváltja akar lenni.

Valós és képzetes része a feltevésünk szerint totálisan differenciálható, és kielégíti a Cauchy−Riemann-

egyenleteket,

a Laplace-egyenlet, illetve Young Tétele alapján. Mint a "Reguláris függvény" c. fejezetben megmutattuk, f1 (z)

ekkor reguláris.

HARMONIKUS FÜGGVÉNYEK


Az "Integráltételek" c. fejezetből pedig tudjuk, hogy akkor minden pont alkalmas környezetében van primitív

függvénye,

f 0 (z) ≝ u0 (z) + iv0 (z), f '0 (z) = f1 (z).

Az utolsó egyenlőség részletesen kiírva

u 0(z) és u(z) parciálisai tehát megegyeznek, u(z) = u0(z) + c konstans c-vel, és így az

f (z) ≝ f0 (z)+ c

reguláris függvényre ℜf (z) = u(z), amit bizonyítani kellett.

A bizonyításból látjuk, hogy a lokálisan értelmezett f (z) függvények deriváltja, f1 (z) már globálisan is

értelmezhető a tartományban, és hogy u(z) valós részű f (z) minden egyszeresn összefüggő résztartományban is

megadható, nem csak pontok elég kis környezetében, mint ahogy a Definícióban meg van fogalmazva.

2. POISSON FORMULA

Tegyük fel, hogy a ∣ z∣ ≤ ρ körlap része annak a tartománynak, ahol u(z) harmonikus. Az utolsó

megjegyzésünk szerint még kicsit nagyobb körlapon is értelmezhető az f (z) függvény. Írjuk fel a Cauchy

Integrál Formulát:

A valós rész,

Annak, hogy origó körüli körről beszéltünk, nyilván nincs jelentősége, és ezt az úgynevezett középérték-

tulajdonságot szavakban megfogalmazva: harmonikus függvény értéke megegyezik a pont körüli kis

körvonalon vett értékeinek átlagával.

Ebből a tulajdonságból levezetjük, hogy harmonikus függvény körvonalon felvett értékei nem csak a

középpontban határozzák meg a függvényt, hanem a körvonal teljes belsejében is. Az egyszerűség kedvéért

legyen ρ = 1.

Rögzített ∣ z∣ < 1 mellett

a {∣ w∣ ≤ 1} egységkört önmagára, 0-t z-be képezi, és w ugyancsak harmonikus

függvényének a középérték-tulajdonsága:

Az integrálban vezessük be az



helyettesítést:

ugyanis a φ-ben való 2π szerinti periodicitás miatt mindegy, hogy melyik 2π hosszú intervallumon integrálunk.

Elemi számolással

Hasznos alakban kapjuk meg, ha közös nevezőre hozunk: a z = reiϑ jelöléssel

ahol

az úgynevezett Poisson-magfüggvény,

Másik hasznos előállítást kapunk, ha dt/dφ eredeti képletét így alakítjuk át:

Az

képlettel tehát egy olyan - az alábbi Segédtétel tanúsága szerint - reguláris függvényt is megadtunk, amelynek

u(z) a valós része. A többi persze ettől csak tisztán képzetes konstansban tér el.

SEGÉDTÉTEL (PARAMÉTERES INTEGRÁL REGULARITÁSA). Ha a h(φ,z) függvény folytonos az [a,

b] × D direktszorzaton, és minden rögzített φ-re reguláris a D tartományon, akkor

is reguláris.

BIZONYÍTÁS. A paraméteres integrál z folytonos függvénye. Folytonos függvény regularitásának megint azt a

kritériumát kényelmes használni, hogy környezetben - mint egyszeresen összefüggő tartományban - haladó zárt

töröttvonal mentén eltűnik az integrálja:



hiszen a belső integrál minden φ-re 0, és készen vagyunk.

A harmonicitásnak a középérték-tulajdonság egy ilyen kényelmes integrálkritériuma.

TÉTEL (KÖZÉPÉRTÉK-TULAJDONSÁG). A D tartományban folytonos u(z) függvény akkor és csak akkor

harmonikus, ha

minden, z-től függően elég kis ρ > 0-ra.

ELÉGSÉGESSÉG BIZONYÍTÁSA. A lokális Definíciónk ellenőrzésére az általánosság megszorítása nélkül

feltehetjük, hogy {∣ z∣ ≤ 1} ⊂ D, és elég megmutatnunk, hogy u(z) harmonikus {∣ z∣ < 1}-ben.

mint a Segédtétel szerint harmonikus függvény rendelkezik a középérték-tulajdonsággal, u(z)-ről ugyanezt

mondhatjuk a feltévésünk szerint, és így ez a

h(z) ≝ ± (u0(z) - u(z)) (∣ z∣ < 1)

függvényekre is áll. Első lépésként ilyen tulajdonságú függvényekre is igazoljuk a Maximum Elvet pontosan

abban a formában, mint reguláris függvények abszolút értékére. Speciálisan

Második lépésként megmutatjuk, hogy r → 1 - 0 esetén u0(reiϑ) a ϑ változóban egyenletesen tart az őt definiáló

u(reiϑ)-hez. u(z) (∣ z∣ ≤ 1) egyenletes folytonossága miatt ugyanez érvényes u(rei

ϑ)-ra is, ezért a kettő

különbsége,

u 0(z) - u(z) → 0 (∣ z∣ → 1 - 0)

akárhogyan is tart z az egységkörvonalhoz.

A Maximum Elv jobb oldalán szereplő limszup tehát mindkét h(z) függványünkre 0. Innen u(z) = u0(z) (∣ z∣

< 1), ami így harmonikus, és készen leszünk.

3. MAXIMUM ELV

MAXIMUM ELV: Ha h(z) olyan folytonos függvény D-ben, hogy

minden, z-től függően elég kis ρ > 0-ra, akkor h(z) nem veszi fel a maximumát D-ben, kivéve, ha konstans, és

Az ilyen középérték-egyenlőtlenséget kielégítő függvényeket szubharmonikusnak hívják.

BIZONYÍTÁS. Ha volna z0 ∈ D maximumhely, akkor arra felírva az egyenlőtlenséget

azaz



De az integrandus nemnegatív, ami csak úgy lehet, hogy ≡ 0,

h(z) = M (∣ z - z0∣ < ρ0)

D = {z : h(z) = M} ∪ {z : h(z) < M}

diszjunkt felbontás. Az első halmazról éppen most mutattuk ki, hogy nyílt, a másik a folytonosság miatt az.

Feltettük, hogy az első ≠ ∅ , ezért az egész D-t kiteszi, mint állítottuk.

A Maximum Elv másik állítása ugyanúgy következik a most bebizonyítottból, mint a reguláris függvényeknél.

4. DIRICHLET-FELADAT

TÉTEL (POISSON-INTEGRÁL HATÁRÉRTÉKE). Legyen U(ϑ) 2π szerint periodikus folytonos függvény.

Ekkor

ϑ-ban egyenletesen, midőn r → 1 - 0.

Azért vezettük be a korábbi u(eiϑ)) helyett az U (ϑ) jelölést, hogy jelezz ük: itt U (ϑ) tetszőleges. A Tétel így az

egységkörre megoldja az úgynevezett Dirichlet-feladatot: a kerületen tetszőleges folytonos u0(eiϑ)) = U (ϑ)

függvényt előírva, az beterjeszthető a zárt körlapon folytonos, a nyílton harmonikus u0(z) függvénnyé. A

konform leképezések Riemann Alaptételének felhasználásával a tartományt az egységkörre képezve, a

leképezést a Caratheodory Tétellel a határra kiterjesztve a feladatot általános Jordan-tartományról vissza tudjuk

vezetni a kör esetére. A megoldás egyértelműségét a Maximum Elv biztosítja.

BIZONYÍTÁS. A Poisson-magfüggvény három tulajdonsága lényeges:

P (r,φ) > 0 (0 ≤ r < 1, -∞ < φ < ∞).

A teljes integrál,

ami nem más, mint a harmonikus függvényekre talált előállításunk az ≡ 1 függvényre felírva. Az integrálban a

ϑ-tól (mod 2π) "távoli" φ-k adaléka,

figyelembe véve, hogy

0-hoz tart rögzített δ és r → 1 - 0 mellett.

A megbecslendő különbséget I1 felhasználásával így is írhatjuk:

ϑ-tól "távol"



segítségével beesülünk:

ha 1 - r < δ1 ≝ εδ2/(16M).

U(φ) egyenletes folytonossága alapján

∣ U(φ) - U(ϑ)∣ < ha ∣ eiφ - ei

ϑ∣ < δ = δ(ε),

Megmutattuk, hogy

∣ u0(reiϑ) - U(ϑ)∣ < 2ε,

ha, 1 - r < δ1; ahol δ-n keresztül végül is δ1-et pusztán ε függvényében adtuk meg. Éppen ez jelenti az állított

egyenletes konvergenciát.

Documents

Bevezető komplex függvénytan - tankonyvtar.huregi.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_halasz_komplex...[cos(φ + φ 0) + i sin(φ + φ 0)] r 0-val való nyújtásnak