Formler till nationellt prov i matematik, kurs 1

© Skolverket

Formler till nationellt prov i matematik, kurs 1 PREFIX

Beteckning T G M k h d c m µ n p Namn tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko Tiopotens 1012 109 106 103 102 10!1 10!2 10!3 10!6 10!9 10!12 POTENSER För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller axa y = ax+ y ax

a y= ax! y

ax

bx= ab

!"#

$%&

x

a! x = 1

ax

ax( )y = ax y axbx = ab( )x a

1n = an

a0 =1

FUNKTIONS- LÄRA

Linjär funktion y = k x +m om y = k x är y proportionell mot x Exponentialfunktion y =Cax där C och a är konstanter a > 0 och a ! 1 Potensfunktion y =Cxa där C och a är konstanter

GEOMETRI Pythagoras sats a2 + b2 = c2

Triangel area = bh

2

Parallellogram area = bh

Parallelltrapets area =

h a + b( )2

Cirkel area = ! r2 = ! d 2

4

omkrets = 2! r = ! d

Cirkelsektor bågen b = !

360!2" r

area = !360

!" r2 = b r2

© Skolverket

Prisma volym = Bh

Cylinder Rak cirkulär cylinder volym = ! r2h mantelarea = 2! r h

Pyramid volym = Bh

3

Kon Rak cirkulär kon

volym = ! r2h3

mantelarea = ! r s

Klot volym = 4! r3

3

area = 4! r2

Skala areaskala = (längdskala)2

volymskala = (längdskala)3

TRIGONOMETRI Rätvinklig triangel

Definitioner cos v = a

c sin v = b

c tan v = b

a

Enhetscirkel OP är radie i en enhetscirkel. Koordinaterna för P är ( x1, y1 )

Definitioner cos v = x1 sin v = y1 tan v =y1x1

1(4)

17-02-03 © Skolverket

Formelblad matematik 2

Algebra

Regler Andragradsekvationer

222 2)( bababa 222 2)( bababa 22))(( bababa

02 qpxx 02 cbxax

qppx

2

22

aacb

abx

24

2

2

Aritmetik

Prefix

T G M k h d c m n p

tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko

1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

Potenser

yxyx aaa yxy

xa

aa xyyx aa )( x

x

aa 1

xxx abba )(

x

x

x

ba

ba

nn aa

1

10 a

Logaritmer

yxy x lg10

xyyx lglglg yxyx lglglg

xpx p lglg

2(4)


Funktioner

Räta linjen Andragradsfunktioner

mkxy 12

12xxyyk

cbxaxy 2 0a

0 cbyax , där inte både a och b är noll

Potensfunktioner Exponentialfunktioner

axCy xaCy 0a och 1a

Geometri

Triangel

Parallellogram

2

bhA bhA

Parallelltrapets

Cirkel

2

)( bahA

4ππ

22 drA

drO ππ2

Cirkelsektor

Prisma

rvb π2

360

2π

3602 brrvA

BhV

Cylinder

Pyramid

hrV 2π

Mantelarea

rhA π2

3

BhV

3(4)


Kon

Klot

3π 2hrV

Mantelarea

rsA π

3π4 3rV

2π4 rA

Likformighet Skala

Trianglarna ABC och DEF är likformiga.

fc

eb

da

Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3

Topptriangel- och transversalsatsen

Bisektrissatsen

Om DE är parallell med AB gäller

BCCE

ACCD

ABDE

och

BECE

ADCD

BCAC

BDAD

Vinklar

180vu Sidovinklar

vw Vertikalvinklar

L1 skär två parallella linjer L2 och L3

wv Likbelägna vinklar

wu Alternatvinklar

4(4)


Kordasatsen

Randvinkelsatsen

cdab vu 2

Pythagoras sats

Trigonometri

222 cba

cav sin

cbv cos

bav tan

Avståndsformeln Mittpunktsformeln

212

212 )()( yyxxd

2och

22121 yyyxxx mm

Statistik och sannolikhet

Standardavvikelse för ett stickprov

1)(...)()( 22

22

1

nxxxxxxs n

Lådagram

Normalfördelning

1(6)


Formelblad matematik 3 Algebra

Regler 222 2)( bababa 222 2)( bababa

22))(( bababa

32233 33)( babbaaba 32233 33)( babbaaba

))(( 2233 babababa ))(( 2233 babababa

Andragradsekvationer 02 qpxx

qppx

2

22

02 cbxax

aacb

abx

24

2

2

Aritmetik

Prefix

T G M k h d c m n p


1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12

Potenser yxyx aaa yxy

xa

aa xyyx aa )( x

x

aa 1

xxx abba )(

x

x

x

ba

ba

nn aa

1

10 a

Geometrisk summa 1där

1)1( ... 12

kkkaakakaka

nn

Logaritmer yxy x lg10

yxy x lne


xpx p lglg

Absolutbelopp

0om0om

aaaa

a

2(6)


Funktioner


mkxy 12

12xxyyk

cbxaxy 2 0a



axCy xaCy 0a och 1a



1)(...)()( 22

22

1

nxxxxxxs n

Lådagram

Normalfördelning

3(6)


Differential- och integralkalkyl

Derivatans definition ax

afxfh

afhafafaxh

)()(lim)()(lim)(0

Derivator Funktion Derivata

nx där n är ett reellt tal 1nnx

xa ( 0>a ) aax ln

xe xe

kxe kxk e

x1

21x

)(xfk )(xfk

)()( xgxf )()( xgxf

Primitiva funktioner

Funktion Primitiva funktioner

k Ckx

)1( nxn C

nxn

1

1

xe Cx e

kxe C

k

kx

e

)1,0( aaa x C

aa x

ln

4(6)


Geometri

Triangel

Parallellogram

2bhA

bhA

Parallelltrapets

Cirkel

2

)( bahA

4ππ

22 drA

drO ππ2

Cirkelsektor

Prisma

rvb π2360

2π

3602 brrvA

BhV

Cylinder

Pyramid

hrV 2π

Mantelarea

rhA π2

3

BhV

Kon

Klot

3π 2hrV

Mantelarea

rsA π

3π4 3rV

2π4 rA

Likformighet

Skala


fc

eb

da


5(6)



Bisektrissatsen


BCCE

ACCD

ABDE

och

BECE

ADCD

BCAC

BDAD

Vinklar

180vu Sidovinklar

vw Vertikalvinklar



wu Alternatvinklar

Kordasatsen

Randvinkelsatsen

cdab vu 2

Pythagoras sats

222 cba


212

212 )()( yyxxd

2och

22121 yyyxxx mm

6(6)


Trigonometri

Definitioner cav sin

cbv cos

bav tan

Enhetscirkeln

yv sin

xv cos

xyv tan

Sinussatsen c

Cb

Ba

A sinsinsin

Cosinussatsen Abccba cos2222

Areasatsen 2sin CabT

Cirkelns ekvation 222 )()( rbyax

Exakta värden

Vinkel v 0 30 45 60 90 120 135 150 180

vsin 0 21

21

23

1 23

21

21 0

vcos 1 23

21

21 0

21

2

1

23

1

vtan 0 3

1 1 3 Ej def. 3 1 3

1 0

1(8)




22))(( bababa




qppx

2

22

02 cbxax

aacb

abx

24

2

2

Aritmetik

Prefix

T G M k h d c m n p


1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12


xa

aa xyyx aa )( x

x

aa 1

xxx abba )(

x

x

x

ba

ba

nn aa

1

10 a

Geometrisk summa 1där

1)1( ... 12

kkkaakakaka

nn


yxy x lne


xpx p lglg

Absolutbelopp

0om0om

aaaa

a

2(8)


Funktioner


mkxy 12

12xxyyk

cbxaxy 2 0a



axCy xaCy 0a och 1a



1)(...)()( 22

22

1

nxxxxxxs n

Lådagram

Normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

2

21

e2

1)(

x

xf

3(8)



Derivatans definition ax

afxfh

afhafafaxh

)()(lim)()(lim)(0



xa ( 0>a ) aax ln

xln ( 0x )

x1

xe xe

kxe kxk e

x1

21x

xsin xcos

xcos xsin

xtan

xx 2

2

cos1tan1

)(xfk )(xfk

f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( )

)()( xgxf )()()()( xgxfxgxf

)()(

xgxf )0)(( xg 2))((

)()()()(xg

xgxfxgxf

Kedjeregeln Om )(och )( xgzzfy är två deriverbara funktioner så gäller för ))(( xgfy att

)())(( xgxgfy eller xz

zy

xy

dd

dd

dd

4(8)




k Ckx

)1( nxn Cnxn

1

1

x1 Cx ln )0( x

xe Cx e

kxe C

k

kx

e

)1,0( aaa x C

aa x

ln

xsin Cx cos

xcos Cx sin

Komplexa tal

Representation )sini(cosei i vvrryxz v där 1i2

Argument vz arg xyv tan

Absolutbelopp 22 yxrz

Konjugat Om yxzyxz isåi

Räknelagar ))sin(i)(cos( 21212121 vvvvrrzz

))sin(i)(cos( 21212

1

2

1 vvvvrr

zz

de Moivres formel )sini(cos))sini(cos( nvnvrvvrz nnn

5(8)


Geometri

Triangel

Parallellogram

2bhA bhA

Parallelltrapets

Cirkel

2

)( bahA

4ππ

22 drA

drO ππ2

Cirkelsektor

Prisma

rvb π2360

2π

3602 brrvA

BhV

Cylinder

Pyramid

hrV 2π

Mantelarea

rhA π2

3

BhV

Kon

Klot

3π 2hrV

Mantelarea

rsA π

3π4 3rV

2π4 rA

Likformighet

Skala


fc

eb

da


6(8)



Bisektrissatsen


BCCE

ACCD

ABDE

och

BECE

ADCD

BCAC

BDAD

Vinklar

180vu Sidovinklar

vw Vertikalvinklar



wu Alternatvinklar

Kordasatsen

Randvinkelsatsen

cdab vu 2

Pythagoras sats

222 cba


212

212 )()( yyxxd

2och

22121 yyyxxx mm

7(8)


Trigonometri

Definitioner cav sin

cbv cos

bav tan

Enhetscirkeln

yv sin

xv cos

xyv tan

Sinussatsen c

Cb

Ba

A sinsinsin



Trigonometriska formler 1cossin 22 vv

uvuvuv sincoscossin)sin(

uvuvuv sincoscossin)sin(

uvuvuv sinsincoscos)cos(

uvuvuv sinsincoscos)cos(

vvv cossin22sin

(3) sin21

(2) 1cos2

(1) sincos

2cos2

2

22

v

v

vv

v

)sin(cossin vxcxbxa där 22 bac och abv tan

Cirkelns ekvation

222 )()( rbyax

8(8)


Exakta värden

Vinkel v

(grader) 0 30 45 60 90 120 135 150 180

(radianer) 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

vsin 0

21

21

23 1

23 2

1 21 0

vcos 1

23 2

1 21 0

21

2

1

23

1

vtan 0

31 1 3

Ej def. 3 1

31

0

1(8)




22))(( bababa




qppx

2

22

02 cbxax

aacb

abx

24

2

2

Binomialsatsen

n

k

nnnnkknn bnn

ban

ban

an

bakn

ba0

221 ...210

)(

Aritmetik

Prefix

T G M k h d c m n p


1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12


xa

aa xyyx aa )( x

x

aa 1

xxx abba )(

x

x

x

ba

ba

nn aa

1

10 a


yxy x lne


xpx p lglg

Absolutbelopp

0om0om

aaaa

a

2(8)


Funktioner


mkxy 12

12xxyyk

cbxaxy 2 0a



axCy xaCy 0a och 1a



1)(...)()( 22

22

1

nxxxxxxs n

Lådagram

Normalfördelning

Täthetsfunktion för normalfördelning

2

21

e2

1)(

x

xf

3(8)



Derivatans definition

axafxf

hafhafaf

axh

)()(lim)()(lim)(0



xa ( 0>a ) aa x ln

xln ( 0x )

x1

xe xe

kxe kxk e

x1

21x

xsin xcos

xcos xsin

xtan

xx 2

2

cos1tan1

)(xfk )(xfk

f x g x( ) ( ) f x g x( ) ( )

)()( xgxf )()()()( xgxfxgxf

)()(

xgxf )0)(( xg 2))((

)()()()(xg

xgxfxgxf

Kedjeregeln Om )(och )( xgzzfy är två deriverbara funktioner så gäller för ))(( xgfy att

)())(( xgxgfy eller xz

zy

xy

dd

dd

dd

4(8)




k Ckx

)1( nxn Cnxn

1

1

x1 Cx ln )0( x

xe Cx e

kxe C

k

kx

e

)1,0( aaa x C

aa x

ln

xsin Cx cos

xcos Cx sin

Komplexa tal

Representation )sini(cosei i vvrryxz v där 1i2

Argument vz arg xyv tan

Absolutbelopp 22 yxrz

Konjugat Om yxzyxz isåi

Räknelagar ))sin(i)(cos( 21212121 vvvvrrzz

))sin(i)(cos( 21212

1

2

1 vvvvrr

zz

de Moivres formel )sini(cos))sini(cos( nvnvrvvrz nnn

5(8)


Geometri

Triangel

Parallellogram

2

bhA bhA

Parallelltrapets

Cirkel

2

)( bahA

4ππ

22 drA

drO ππ2

Cirkelsektor

Prisma

rvb π2360

2π

3602 brrvA

BhV

Cylinder

Pyramid

hrV 2π

Mantelarea

rhA π2

3

BhV

Kon

Klot

3π 2hrV

Mantelarea

rsA π

3π4 3rV

2π4 rA

Likformighet

Skala


fc

eb

da


6(8)



Bisektrissatsen


BCCE

ACCD

ABDE

och

BECE

ADCD

BCAC

BDAD

Vinklar

180vu Sidovinklar

vw Vertikalvinklar



wu Alternatvinklar

Kordasatsen

Randvinkelsatsen

cdab vu 2

Pythagoras sats

222 cba


212

212 )()( yyxxd

2och

22121 yyyxxx mm

7(8)


Trigonometri

Definitioner

cav sin

cbv cos

bav tan

Enhetscirkeln

yv sin

xv cos

xyv tan

Sinussatsen c

Cb

Ba

A sinsinsin



Trigonometriska formler 1cossin 22 vv

vuvuvu sincoscossin)sin(

vuvuvu sincoscossin)sin(

vuvuvu sinsincoscos)cos(

vuvuvu sinsincoscos)cos(

vvv cossin22sin

(3) sin21

(2) 1cos2

(1) sincos

2cos2

2

22

v

v

vv

v

)sin(cossin vxcxbxa där 22 bac och abv tan

Cirkelns ekvation

222 )()( rbyax

8(8)


Exakta värden

Vinkel v (grader) 0 30 45 60 90 120 135 150 180

(radianer) 0 6π

4π

3π

2π

3π2

4π3

6π5 π

vsin 0

21

21

23

1 23

21

21 0

vcos 1

23

21

21 0

21

2

1

23

1

vtan 0

31

1 3 Ej def. 3 1 3

1 0

Mängdlära

BxAxxBA och BxAxxBA eller

A \ BxAxxB och AxGxxAC och Talteori

Kongruens )(mod cba om differensen ba är delbar med c

Om )(mod11 cba och )(mod22 cba gäller att

1. )(mod2121 cbbaa 2. )(mod2121 cbbaa Om )(mod cba gäller att 3. )(mod cbmam för alla heltal m

4. )(modcba nn för alla heltal 0n

Aritmetisk summa 2

1 nn

aans där dnaan )1(1

Geometrisk summa 1

11

kkas

n

n där 11

nn kaa

Kombinatorik

Permutationer ! )(

! )1(...)2()1(),(kn

nknnnnknP

där nk 0

Kombinationer !)(!

!!

),(),(knk

nk

knPkn

knC

där nk 0

Documents

Formler till nationellt prov i matematik, kurs 1