BGL?=J:EG?LJ:GKNHJF:PB3? · 2019. 11. 27. · aco k2 1:dhkmiheZag_dhg_p_gljZpb _o_fb kdbo\jklZ 3 04 mol a dm, 3 00 mol b dm b 3 00 mol c dm, h^j_^blb nmgdpbhgZegmaZ\bkghkldhgp_gljZpb

$Page 1: BGL?=J:EG?LJ:GKNHJF:PB3? · 2019. 11. 27. · aco k2 1:dhkmiheZag_dhg_p_gljZpb _o_fb kdbo\jklZ 3 04 mol a dm, 3 00 mol b dm b 3 00 mol c dm, h^j_^blb nmgdpbhgZegmaZ\bkghkldhgp_gljZpb$
Вежбе: Математичке методе у физичкој хемији 3. колоквијум

Александра Ракић 1

ПОГЛАВЉЕ 10:

ИНТЕГРАЛНЕ ТРАНСФОРМАЦИЈЕ Задаци

Извршите Лапласова трансформације без коришћења таблица: Задатак 1

Задатак 2

Задатак 3

1 0 1

1 1 2

0 2

t

f t t

t

Задатак 4

0

0 0 0

0

0

2 2

0 2

t t t

f t t t t t t

t t

Задатак 5

Задатак 6

4( ) 5 th t e

Задатак 7

23 tf t e

Задатак 8

54 2 tf t t e

Задатак 9

1f t t

Задатак 10

51 3 tt e

Задатак 11

22 tf t t e



Разложите разломак Задатак 12

6111

34

sss

s.

Задатак 13

1

6971122

23

xxx

xxxx

Задатак 14

13

12

2

xx

x

Извршите Лапласове трансформације Задатак 15

2 77 cos 3 2 sin 5t te t e t

Задатак 16

48 6 sin 5 9 cos 5t t t

Задатак 17

tettty

22 723 Задатак 18

3 53 1 tt t e

Задатак 19

2 5cos 2 sin 2

2

te t t

Задатак 20

1 3 2 t te e t

Задатак 21

tettty

22 723

Задатак 22

tettty

53 23sin3

Задатак 23

Задатак 24



Задатак 25

3 2

3

3 2 7

sin 2

8 cos2

t

f t t t

g t e t

th t

Задатак 26

2 7

2 5

7 cos 3 2 sin 5

3 sin 2

2

t t

t

f t e t e t

g t t t

h t t e

Извршите инверзне Лапласове трансформације Задатак 27

2 6 14

s

s s

Задатак 28

2

3

6 25

s

s s

Задатак 29

4 2

1

9s s

Задатак 30

2

6

4 20 24s s

Задатак 31

2

2

3 4

s

s s

Задатак 32

2

1

2

s

s s

Задатак 33

32

5

1 s s

Задатак 34

2

2

9

s

s

Задатак 35

25

1822

s

ssY

Задатак 36

22 3

7

s

ssY

Задатак 37



1)

13

2

a

s

2

3)

4b

s

2

1)

4c

s

3

1 2)

sd

s

4 2

1)

9e

s s

Задатак 38

4

3)

2a

s

3

)2

bs s

Задатак 39

Задатак 40

Решите диференцијалну једначину Задатак 41

2'' 2 ' 3 ty y t e

'0 0 0y y

Задатак 42 '' '2 t

y y y e 0 0y и ' 0 0y

Задатак 43

'' ' 30 cos 3y y t '0 0 0y y .

Задатак 44

2cost+2 =y + 'y' y’(0) = 0 и y (0) = 0.

Задатак 45

3) ' 0 1ta y t y t e y

Решите систем диференцијалних једначина: Задатак 46

' 2 1y z '2 2y z t

0 0y и 0 1z .

Задатак 46 ' 0x y

' 0y x

Задатак 47

I једначина '' ''' 2t

x y y x e



II једначина '' '2 '' 2x y x y t

' '0 0 0 0 0 x y x y

Задатак 48

Реакција се одвија по следећем механизму:

ka b

Ако су полазне конецентрације хемијских врста 30 4

mola

dm и 3

0 0mol

bdm

, одредити

функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 49

Нађите зависност концентрација појединачних компоненти у реакцији од времена, за почетне услове 5k , 0 2a , 0 1b и 0 0c :

A B C Задатак 50

Реакција се одвија по следећем механизму: 1 2k

a b

2 1ka c


mola

dm , 3

0 0mol

bdm

и 30 0

molc

dm , одредити

функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 51


1 21 2k kc a b


mola

dm, 3

0 0mol

bdm

, 30 1

molc

dmодредити

функционалну зависност концентрације компонената од времена. Задатак 52 Реакција се одвија по следећем механизму:

1k

CA 2k

CB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=Б0 и С=0, одредити њихову

функционалну зависност од температуре.

Задатак 53


1k

BA 2k

AB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=0 и С=0, одредити њихову

функционалну зависност од температуре.



Задатак 54


1k

BA +Ц 2k

CB Ако су полазне конецентрације хемијских врста А=А0 , В=0 и С=0, одредити њихову функционалну зависност концентрација компонената А и В од времена.

Решења Извршите Лапласова трансформације без коришћења таблица:

Задатак 1

Задатак 2

1 2 1 2

2

0 10 1 2

1 1 11 1 0 | | 1 2s t s t s t s t s t s s

e dt e dt e dt e e e es s s

Задатак 3

1 2

2 2

2 2 2

0 1 2

1 1 2 12 0s t s t s t s s s

t e dt t e dt e dt e e es s s s

Задатак 4

0 0

0 0

0 0

2

20 2

0 2

12 0 1 2

t t

s t s ts t s t s t

t t

t e dt t t e dt e dt e es

Задатак 5 0

0

00

0t

s ts t s t

t

ce dt c e dt e

s

Задатак 6

000

)4(5

)4(545)( dt

stedt

stedt

ste

tesF

Задатак 7

2 22 2

0 00 0 0 0 0

3 13 3 3 | |

2

3

s t s tt st st t st st st

s

F s e e dt e dt e e dt e dt e dt e es s

es

020 1

2

sse e

s

02 0

2

3 1 6 2

2 2

s se

s s s s

Задатак 8

55

0 0 0

4 2 4 2s tt s t s t

F s t e e dt t e dt e dt

u t

du dt

1 s t

s t

v es

dv e dt



5 0

20 0 0

0

5 5 0

2

1 1 1 1 14 | 4 2 | 4 0 4 |

5

1 12 4

5

s ts t s t s s s t

s s t

F s t e e dt e e e es s s s s

e e es s

2

0

2 2 3

1 1 1 2 4 202 4 2

5 5 5t s s

es s s s s

Задатак 9

0 0 0

1 s t s t s tF s t e dt t e dt e dt

u t

du dt

1 s t

s t

v es

dv e dt

0

0 0

1 1 1|s t s t s t s

F s t e e dt e dt es s s

0

0

20 0

2

1 10 | |

1

s s t s t

s

e e es s

es

00 1s s

e es

00

2

1 1se

s s

Задатак 10

5 55 5 5

0 0 0 0 0

1 3 3 3s t s tt s t t s t t s t

t e e dt e e dt t e e dt e dt t e dt

5

51

5

s t

s t

u t dv e dt

du dt v es

5 5 5

0 00

1 1 1| 3 |

5 5 5

s t s t s te t e e dt

s s s

51

5

se

s

05 0 51 1

35 5

s se e

s s

0

5 0 5

20

1 10 |

5 5

s s te e

s s

5

2

1 13

5 5

se

s s

0

5 0

2 2 2

1 1 1 23

55 5 5

s se

ss s s

Задатак 11

2 2

0 0 0

2 2

1

t st st t st

s t s t

F s t e e dt t e dt e e dt

смена u t du dt

dv e dt v es

2 2

20 0 0

0 0

2

1 1 1 2| 2 | |

2

1 2

2

s t s ts t s t s tF s t e e dt e dt e e

s s s s

s s

Разложите разломак

Задатак 12

611

1

10

33

15

1

2

1

sss.



Задатак 13

xx

x

x

x 6

1

2

1

32

Задатак 14

1

1

3

1

2

12

xx

x

Извршите Лапласове трансформације

Задатак 15 1

2

3 3

1

e

s s s

Задатак 16

5 2

192 30 9

25

s

s s

Задатак 17

4 3

18 4 7 1Y(s)=

2s s s s

Задатак 18

3 5 4 3 53 1 3 3t tf t t t e t t e

5 4 5 4

4! 3! 1 72 18 13 3

5 5F s

s s s s s s

Задатак 19

2 2 2

2 2

5 5 2 5 2cos 2 sin 2 cos 2 sin 2

2 2 22 4 2 4

t t t s

e t t e t e ts s

Задатак 20

2

1 1 2 3

1 2s s s s

Задатак 21

2

1741832

ssss

Задатак 22

5

2

3

31824

sss

Задатак 23

2

3

9+(1+s)

Задатак 24

3 2

2 3 2 - +

(-2+s) (-2+s) (-2+s)

Задатак 25

4 3 3 2 22

18 4 7 1 2 8 sF(s)= - + ; G(s)= + ; H(s)=- +

1s s s e s 2+s s +s4

Задатак 26



2 2 2

7 (-2+s) 140 e sF(s)= - ;

9+(-2+s) (25+s )

2 2

12sG(s)=

(4+s ); 4 2

-6 2H s =-5 e +

s s

Извршите инверзне Лапласове трансформације

Задатак 27

315 cos 5 3 5 sin 5

5t

e t t

Задатак 28

. .3

2 22 2

3 3 3cos 4

6 25 3 16 3 4

L Pts s s

e ts s s s

Задатак 29

4 2 22 2

1 1

9 3 39

A B C D

s s s s s ss s

2 2

22 2

19

3 39

A B C Ds s

s s s ss s

2 2 2 21 9 9 3 3A s s B s C s s D s s

3 2 3 2 2 3 21 9 9 3 3A s s B s C s s D s s s

3

2

: 0

: 3 3 0

: 9 0

: 9 1

s A C D

s B C D

s A

const B

1 1 10

9 54 54A B C D

4 2 22 2

1 1 1 1 1

9 9 54 3 54 39

B C D

s s s s ss s

3 31 1 1

9 54 54t t

t e e

Задатак 30

2 2 2

6 6 3 3 1

4 20 24 2 2 3 24 5 6 2 2 3 6

3 1

2 2 3

s s s s ss s s s s

s s

3 1 32 3

2 2 3 2 2 3

A Bs s

s s s s

3 33 2

2 2A s B s

1 :s 0A B 0 :s 3 2 1A B

1A 1B

. .

2 3

2

6 3 1 1 3

4 20 24 2 2 3 2

L Pt t

e es s s s



Задатак 31

2

2 21 4

1 4 1 43 4

s s A Bs s

s s s ss s

2 4 1s A s B s 1 :s 1A B 0 :s 4 2A B

1

5A

6

5B

41 6

5 5t t

f t e e

Задатак 32

22

1 1cosh

2 1 1

ts se t

s s s

Задатак 33

2

3 3 222

5 5 15 5 10 155 15 5 10 15

11 1 1

t t t

t t e t e es s ss s s s

Задатак 34

2 2 2

2 2 2cos3 cos3

9 9 9 3

s s

t ts s s

Задатак 35

182 cos 5 sin 5

5t t

Задатак 36

tt 3sin6

37

Задатак 37

а) 62 te ; б)3/2 Sin[2t] ;ц) 2 41

14

t te e ; д)

2

22

tt ; е) -3 t 3 t1/54 e e /54 /9 t

Задатак 38

а) 2 31

2t

e t ; б) 2 t1/ 2 -1+e

Задатак 39

a) 1/2 t Sin[t] ; б)1/2(-t Cos[t]+Sin[t])

Задатак 40

а) -3t 27/2 e t ; б) -t 5 t1/5 e 1 6 e

Решите диференцијалну једначину

Задатак 41

2 0s Y s s y 0

' 0y 0

2 2 0s Y s y 0

2

1 13 3

2s s

2

2

1 12 3 3

2Y s s s

s s

2

1 12 3

2Y s s s

s s



2

3 1 1

2 2Y s

s s s s

23

1 13

2 2Y s

s s s s

3

2 33

12

22

A B C Ds s

s s s ss s

2 31 2 2 2A s s B s s C s D s

3 21 2 2 2s A D s B A s C B C

3

2

1

0

: 0

: 2 0

: 2 0

: 2 1

s A D

s B A

s C B

s C

1

8A

1

4B

1

2C

1

8D

3 2 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 8 4 2 8 2s s s s s s

2

2 2

12

22 2

E F Gs s

s ss s s

21 2 2E s F s s G s

21 4 2 4s E F s E F G E

2

1

0

: 0

: 4 2 0

: 4 1

s E F

s E F G

s E

1

4E

1

4F

1

2G

2 2

1 1 1 1 1 1 1

4 4 2 22 2s ss s s

22 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13

8 4 2 8 2 4 4 2 2 2Y s

s s s s s s s

2 2 2 21 1 1 1 1 1 13

8 4 4 8 4 4 2t t t

y t t t e e t e

Задатак 42

2 0s Y s s y 0

' 0y 0

2 0s Y s y 0 1

1Y s

s

3 3

1 2 1

21 1Y s

s s



21

2t

y t t e

Задатак 43 2 0s Y s s y

0' 0y

0

0s Y s y 0

230

9

s

s

21 30

9

ss s Y s

s

1Y s

s

30

1

s

s

2 9s

2

22

301 9

9 11 9

A s B Cs s

s ss s

230 1 9A s B s C s

2 230 9A s C s A s B s B C 2 :s 0A C 1 :s 0A B 0 :s 9 0B C

3A 3B 3C

2 2 2

3 3 3 3 3 3

1 9 1 9 9

s sY s

s s s s s

3 3 cos 3 sin 3ty t e t t

Задатак 44

2 2 cos siny t t t t

Задатак 45

a) 2

2

3 e+s

(-1+s)s

;

t-3 e+e (1+3 e)-3 e t ; б) 1/(-1+s) ; te ; ц)

3

2 2

(1+s+s )

(1+s ) (4+s );

1/6 (6 Cos[2 t]+2 Sin[t]-Sin[2 t])

Решите систем диференцијалних једначина: Задатак 46

I једначина 2 1dy

zdt

10 2s Y s y Z s

s

II једначина 2 2dz

y tdt

2

12 0 2Y s s Z s z

s

I једначина 12 2s Y s Z s

s

II једначина 2

12 1 2Y s s Z s s

s


s

II једначина 2 22 s Y s s Z s s

s


s



I II једначина 2 4s Z s Z s s


s

I II једначина 2 4

sZ s

s

I једначина 2

22 4

4

ss Y s

s s

I II једначина 2 4

sZ s

s

I једначина 2 2

1 2

4Y s

s s

sin 2y t t t

I II једначина cos 2z t t

Задатак 47

Након извршених Лапласових трансформација над диференцијалним једначинама добијају се две алгебарске једначине: I једначина

'' ''' 2tx y y x e

II једначина '' '2 '' 2x y x y t

------------------------------------------------------------------------------------------------

I једначина 2 2 1 2

1s X s s Y s s Y s X s

s s

II једначина 2 2

2

12 2s X s s Y s s X s Y s

s

-------------------------------------------


1 1 11

X s s s Y s s ss s


12 1 1 1X s s s Y s s s

s

-------------------------------------------

I једначина

1 1 21

1 1 1 1

Y s s sX s s

s s s s s

II једначина

2

1 1 2 12 1 1

1 1 1 1

Y s s ss Y s s s

s s s s s s

-------------------------------------------

Сређивањем 2. једначине дбиће се Y s

2

2

2 12 4 12 1 1

1 1 1 1

s ss sY s s s

s s s s s s

Најмањи заједнчки за леву страну је 21 1s s s , а за десну 1s .

3 2 2

2

2 4 1 1

1 1

s s s s

s s s

2 21 1 2 1

1

s s s sY s

s 1s

3 3 2 2

2 2

22

2 4 4 11 2

1

s s s sY s s s

s s



3 2 2

2 2

22

2 4 12 1 2

1

s s sY s s s s

s s

2

2

22

1 2 1 1 2 1 22 1

1

s s s sY s s s

s s

2

2

22

1 2 1 22 1

1

s s sY s s s

s s

2

1 2 1 2s s sY s

22 2

1

1 2 1s s s s

22

2 1

1

sY s

s s

22

2 222

2 11

11 1

s A B C Ds s

s s ss s s

2 2 2 22 1 1 1 1s A s s B s C s s D s

3 2 2 3 2 22 1 2 2 1s A s s s B s s C s s D s

3 0x A C 2 2 0x A B C D 1 2 2x A B 0 1x B

0 1 0 1A B C D

22

1 1

1Y s

s s

Након извршене инверзне Лапласове трансформације, добија се: ty t t t e

У једначину

1 1 21

1 1 1 1

Y s s sX s s

s s s s s

заменимо вредност за Y s :

2

2 11

sX s s

s 2

1ss 1s

1 2

1 1 1 1s s s s s

2 sX s

1 2s s 2

2 1

1 1

s

s s s

2

1 1s s s 21

1s s

2

2 2

11

11 1

A B Cs s

s ss s s

2 21 2 1A s s B s s C s

2 0 x A B 1 2 0 x A B C 0 1x A

1 1 1 A B C



2

1 1 1

1 1X s

s s s

Након извршене инверзне Лапласове трансформације, добија се: 1

t tx t e t e

Задатак 48

I једначина dak a

dt

II једначина dbk a

dt

Након Лапласове трансформације добијамо:

I једначина 0s A s a 4

k A s

II једначина 0s B s b 0

k A s

I једначина 4A s

s k

II једначина k A sB s

s

I једначина 4 kta t e

II једначина 4k

B ss s k

II једначина 4k

4ks s k

M Ns s k

s s k

1 M s k N s

0

: 0

:1

s M N

s M k

1 1

M Nk k

4 1 1 1 1

4k

B s ks s k k s k s k

4 1 k tb t e

Задатак 49

----------------------------------------------

1 0s X s Y s



0s Y s X s

----------------------------------------------

1 0s X s Y s

X s s Y s

--------------------------------------------

2

1

1Y s

s

2 1

sX s

s

----------------------------

sin siny t t t

cosx t t

da tk a t

dt

0s A s a k A s

2 5s A s A s

5 2s A s A s

5 2s A s

2

5A s

s

52 ta t e

db tk a t

dt

0s B s b k A s

21 5

5s B s

s

101

5s B s

s

1 10 1 1 1

25 5

B ss s s s s s

53 2 tb t e

dc tk a t

dt

0s C s c k A s

25

5s C s

s

10 1 1 1

25 5

C ss s s s s



52 1 tc t e

Задатак 50


dak a k a

dt 1 20s A s a k A s k A s


dbk a

dt 10s B s b k A s

III једначина 2

dck a

dt 20s C s c k A s

I једначина 4 2 1s A s A s A s

II једначина 1s B s k A s

III једначина 2s C s k A s


3A s

s

II једначина 2 8 8 1 8 1

3 3 3 3B s A s

s s s s s

III једначина 1 4 4 1 4 1

3 3 3 3C s A s

s s s s s

I једначина 34 ta t e


3 3t

b t e

III једначина 34 4

3 3t

c t e

Задатак 51


dck c

dt


dak c k a

dt

III једначина 1

dbk a

dt

Након Лапласове трансформације добијамо:

I једначина 0s C s c 1

1k C s C s

II једначина 0s A s a 0

1 2 2k C s k A s C s A s

III једначина 0s B s b 0

2k A s


1C s

s k




1 1

1 2A s

s k s k s s

III једначина 1 2

1 2

2

1 2

k kB s

s s k s k s s s

2 1

1 2

1 2 1

1 2

k kB s

s s k s k s s s

2t ta t e e

21 2 t tb t e e

tc t e

Задатак 52

А(т)= tk

eA 1

0

В(т)= tk

eB 2

0

Ц(т)= tktkeBeA 21 11 00

Задатак 53

А(т)= tkk

ekkkk

A21

12

21

0

В(т)= tkk

ekk

kA211

21

10

Задатак 54

1

0k t

a t A e 1 20 1

2 1

k t k tA kb t e e

k k

Documents

BGL?=J:EG?LJ:GKNHJF:PB3? · 2019. 11. 27. · aco k2 1:dhkmiheZag_dhg_p_gljZpb _o_fb kdbo\jklZ 3 04 mol a dm, 3 00 mol b dm b 3 00 mol c dm, h^j_^blb nmgdpbhgZegmaZ\bkghkldhgp_gljZpb