BGU · DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las definen. Definición

Ba

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Bachillerato General Unificado

2.º BGUTEXTO DEL ESTUDIANTE

MATEMÁTICA

Prohibi

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MatemáticaTexto del alumno

BGU2

ADVERTENCIAUn objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español es posible <referirse a colectivos mixtos a través del género gramatical masculino>, y (b) es preferible aplicar <la ley lingüística de la economía expresiva> para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.

La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA

© Ministerio de Educación del EcuadorAv. Amazonas N34-451 y Av. Atahualpa

Quito-Ecuadorwww.educacion.gob.ec

PRESIDENTE DE LA REPÚBLICALenín Moreno Garcés

MINISTRA DE EDUCACIÓNMonserrat Creamer Guillén

Viceministra de EducaciónSusana Araujo Fiallos

Viceministro de Gestión EducativaVinicio Baquero Ordóñez

Subsecretaria de Fundamentos EducativosMaría Fernanda Crespo Cordovez

Subsecretario de Administración EscolarMariano Eduardo López

Directora Nacional de CurrículoGraciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja

Director Nacional de Recursos EducativosÁngel Gonzalo Núñez López

Directora Nacional de Operaciones y Logística

Carmen Guagua Gaspar

Primera impresiónMarzo 2020

Impreso por:

MAYA EDICIONES CÍA. LTDA.

Dirección generalPatricio Bustos PeñaherreraEdición generalJuan Páez SalcedoAutoríaGuillermo Benalcázar GómezCoordinación editorialSoledad Martínez RojasDirección de artePaulina Segovia LarreaDiseño y diagramaciónEquipo de diseño Maya EdicionesInvestigación gráficaFlavio Muñoz MejíaInvestigación TICFernando Bustos CabreraTerminación y acabadosSantiago Carvajal SulcaIlustracionesArchivo editorial y sitios web debidamente referidosFotografíasShutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos

Nº de derecho de autor QUI-057205de 13 de septiembre de 2019

ISBN: 978-9978-52-330-8

Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2017-00063-A, con fecha 18 de octubre de 2017.

© MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020Av. 6 de Diciembre N52-84 y José BarreiroTeléfono: 02 510 [email protected], Ecuador

ÍndiceUnidad 3Sucesiones reales y distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . 108Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Definición de sucesión numérica real . . . . . . 110Sucesiones definidas por recurrencia . . . . . . . 111Sucesiones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Suma de los n primeros términos de una progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Suma de los primeros términos de una progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 121Aplicación de progresiones en finanzas . . . . . 123Variables aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126Media, varianza y desviación estándar . . . . . . 130Solución de problemas cotidianos . . . . . . . 134Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 135TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . 138En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Unidad 4Derivadas de funciones polinomiales de grado ≤ 4 y de funciones racionales . . . 142Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . 145Interpretación geométrica del cociente incremental y de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 150Análisis de funciones polinomiales de grado ≤ 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151Interpretación física de la primera y segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Velocidad media e instantánea, aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Solución de problemas cotidianos . . . . . . . 160Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 161TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . 164En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Unidad 5Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 168Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Función seno, gráfico y características . . . . . . 170Función coseno, gráfico y características . . . . . . 171Transformaciones de las gráficas de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 172Funciones tangente y cotangente . . . . . . . . . . 176Funciones secante y cosecante . . . . . . . . . . . . . 180Aplicaciones de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181Solución de problemas cotidianos . . . . . . . 184Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 185TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . 188En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Unidad 6Composición de funciones reales y el espacio vectorial R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Tipos de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194Composición de funciones y funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199El conjunto R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Igualdad de elementos de R3 . . . . . . . . . . . . . . 202Sistemas de coordenadas espaciales . . . . . . . . 202Operaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Producto de escalares por elementos de R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210Interpretación geométrica de las operaciones en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211Solución de problemas cotidianos . . . . . . . 214Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . 215TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . 218En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Solucionario de evaluaciones sumativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

BC 1

BC 1

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BC 2

BC 1

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BC 3

BC 1 Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones

Bloque Curricular 2: Geometría y medida

Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad

Conoce tu libroApertura de unidadContiene: título de unidad, fotografía motivadora relacio-nada con los temas que se tratarán, texto introductorio, preguntas de comprensión y de lectura de imagen, obje-tivos de unidad .

Contenidos científicos y pedagógicosInician con la destreza con criterio de desempeño . Incluyen:

• Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo cono-cimiento con las experiencias previas del estudiante: su experiencia, su entorno .

• Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conocimientos que posee el estudiante y lo desestabiliza para que re-construya la información que posee .

Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos, diagramas, esquemas e ilustraciones .

La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de conteni-dos + 2 páginas para desarrollo de destrezas .

Taller prácticoDos páginas por tema (en la estructura de 2+2) . El taller ha sido diseñado para desarrollar las destrezas del currículo . Incluye actividades en las dimensiones concep-tual, procedimental o calculativa y de modelización . Estas invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de procesos y algoritmos, desarrollo de valores, y aplicación a la realidad .Cada pregunta inicia detallando la destreza con criterio de desempeño . Siempre existe un Trabajo colaborativo acompañado de un recuadro con Diversidad funcional en el aula, con recomendaciones para trabajar con estudiantes con discapacidades .

Secciones variables• Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la

matemática; hace referencia a conocimientos anteriores o prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que se está desarrollando .

• Conexiones con las TIC. Funciona como herramienta de investigación para que los estudiantes profundicen temas o aprendan de manera más ágil .

• Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con las demás ciencias matemática y arte, matemática e historia, etc .

• Eje transversal. Comprende diferentes temáticas como: interculturalidad, formación de una ciudadanía democrá-tica, protección del medioambiente, cuidado de la salud y los hábitos de recreación de los estudiantes y educación sexual en los jóvenes .

• Simbología matemática. Sintetiza los símbolos mate-máticos aprendidos en la lección .

Solución de problemas cotidianosEsta sección promueve en los estudiantes la capacidad de resolver problemas, modelándolos con lenguaje matemáti-co, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e inter-pretando su solución en su marco inicial . Aquí se pondrá un problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para resolverlo, y algunas recomendaciones .

Desafíos científicosEsta sección detalla con información que permite visuali-zar que los temas tratados en la unidad se relacionan con algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida .

La matemática y las profesionesEspacio para hablar sobre qué estudios universitarios o tecnologías se pueden estudiar y cómo es la carrera laboral .

TICGuía al estudiante, paso a paso, en la utilización de progra-mas informáticos o en el uso de calculadoras para graficar funciones, vectores, realizar simetrías, homotecias, gráficos de rectas paralelas, perpendiculares, etc .

Desafíos y proyectos matemáticosPermite reforzar el aprendizaje de la matemática, a través de su aplicación en la práctica .

Evaluación sumativaDos páginas al final de cada unidad con pregun-tas/actividades en función de los indicadores para la evaluación del criterio . Incluye Heteroevalua-ción, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar sobre cómo aprende, y a verificar sus logros y debilidades para retroalimentar su aprendizaje .

108

Observa y contesta

• Si es factible, cuenta el número de pétalos de una flor, de una margarita o de un girasol. Verás que alguno de ellos corresponde a algún número de la serie de Fibonacci.

• ¿Qué número sigue en la serie de Fi-bonacci?

Los girasoles y la matemática

¿

Quién no ha visto un girasol? Si bien es cierto que estas flores se caracterizan por su aceite lleno de nutrientes y el modo

en que sus pétalos siguen al Sol, lo más lla-mativo es el secreto matemático que guardan sus espirales.

El patrón de las semillas dentro de la cabeza del girasol sigue la secuencia de Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,… Cada número de la secuencia es la suma de los dos anteriores.

Sucesiones reales y distribuciones discretas

109

un idad3

Objetivos• O.G.M.2. Producir, comunicar y gene-

ralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimien-tos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras discipli-nas, entender las necesidades y potenciali-dades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.

• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-co, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del en-torno social, natural y cultural.

• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramien-tas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad na-cional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investiga-ción.

Ministerio de Educación, (2016).

Bloques curricularesÁlgebra y funcionesEstadística y probabilidad

Cuad

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enta

s, (2

020)

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ck, (

2020

). 27

1249

412

110

DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las definen.

Definición de sucesión numérica real

Definición. Sea 𝐼 N, 𝐼 ≠ Ø. Se llama sucesión numérica real a toda función a de I en R.

NotacionesSi a es una sucesión, a es la función a(n):

El conjunto 𝐼 se llama conjunto de índices y n 𝐼 se dice índice de la sucesión. Para cada n 𝐼, el número real a(n) se llama término general de la sucesión y se denota como a

n, es decir que a(n) = a

n. A

la sucesión real a se la denota (an)

n𝐼 o simplemente (a

n), siempre que

no haya peligro de confusión. Se dirá sucesión (an) o también suce-

sión real, cuyo término general es an. El conjunto a

n R | n 𝐼 es el

recorrido de la sucesión (an). Este conjunto puede ser finito.

El conjunto (n, an) R2 | n 𝐼 se llama grafo de la sucesión. Este

conjunto se representa gráficamente en el sistema de coordenadas rectangulares, y al resultado de esa gráfica se lo denomina gráfica de la sucesión (a

n).

Definición. Una sucesión (an)

n𝐼 se dice finita si el conjunto I de índi-

ces es finito. En el caso contrario, la sucesión se dice infinita. No se debe confundir una sucesión finita (𝐼 es finito) con una suce-sión que toma un número finito de valores, o sea, que su recorrido es finito.

Consideremos el siguiente ejemplo: (an) la sucesión real definida

como sigue: an = , n N. Si se escribe a

j = , j N,

ak = , k N, a

p = , p N, todas representan el

mismo término general de la sucesión (an) y se han utilizado tres tipos

de índices j, k, p del conjunto de índices N de la sucesión (an).

Definición. Sean 𝐼 N, con 𝐼 ≠ Ø. Diremos que las sucesiones reales (a

j)

j𝐼 y (b

n)

n𝐼 son iguales, y escribimos (a

j)

j𝐼 = (b

n)

n𝐼 si y solo si

aj = b

j , ∀j 𝐼.

Ejercicio resueltoConsideremos la sucesión (a

n) definida como a

n = , n Z+.

El término general de esta sucesión está definido como

an = , n Z+. Nota que el conjunto en el que está definida

la sucesión es 𝐼 = Z+.

𝐼 → R,n → a(n).

n + 1n2 + 1

j + 1j2 + 1

k + 1k2 + 1

p + 1p2 + 1

1n

1n

Saberes previos

¿Cuál es el conjunto de los números naturales?

Desequilibrio cognitivo

¿Cómo se expresa el tér-mino general de una sucesión?

Recuerda que…

Las sucesiones reales convergentes son una clase de funciones cuyo conjunto de salida es un subconjunto de los números naturales y el conjun-to de llegada es el conjunto de los números reales.

Simbología matemática

: subconjunto

an: sucesión real

N: el conjunto de los números naturales

R: el conjunto de los números reales

Glosario

recurrencia. Propiedad de aquellas secuencias en las que cualquier término se puede calcular conociendo los prece-dentes.

acb

111

A continuación, se indican los primeros cinco términos de la sucesión:

1, , , , , … . El recorrido de la sucesión es el conjunto

1, , … , , … , al que escribiremos también como | n Z+ .

Esta es una sucesión que tiene un número infinito de términos. En la Figura 3.1. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (a

n).

Ejercicio resueltoSea (v

n) la sucesión definida como v

n = (–1)n, n N. El conjunto de

salida es el conjunto de los números naturales. Los primeros cinco términos de la sucesión son: 1, –1, 1, –1, 1, … . El recorrido de la suce-sión es el conjunto (–1)n | n N = –1, 1. Este es un ejemplo de sucesión que tiene un número finito de términos.

En la Figura 3.2. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (v

n). Nota que cuando n es par, se tiene v

n = (–1)n = 1; y cuando n es

impar, resulta vn = (–1)n = –1.

Ejercicio resueltoConsidera la sucesión (u

p), definida como u

p = p + 1 + (–1)p, p N.

Para p = 0, se tiene u0 = 2; con p = 1, se tiene u

1 = 1. Si p = 2, resulta

u2 = 4; para p = 3, se obtiene u

3 = 3, y así sucesivamente. El recorrido

de esta sucesión es el conjunto p + 1 + (–1)p | p N = 2, 1, 4, 3, 6, …, p + 1 + (–1)p, ….

En la Figura 3.3. se muestra la gráfica de algunos puntos de la sucesión (u

p).

Sucesiones definidas por recurrenciaSea (a

n) una sucesión real. En muchas situaciones, el término general

de la sucesión (an) se define, por ejemplo, como a

n = αa

n–1 + β, donde

a0 R está fijado, α, β R constantes y n Z+. En tal caso se dice

que la sucesión (an) está definida por recurrencia.

Otras formas de sucesiones definidas por recurrencia se indican a continuación:

1. Si an ≠ 0, ∀n N, a

n = α + , donde a

0 ≠ 0 ha sido fijado

previamente, α, β R constantes y n Z+.

2. Si an ≠ 0, ∀n N, a

n+1 = αa

n + , donde a

0, a

1 R+ dados,

α, β R constantes y n Z+.

3. Si an+1

= αan + βa

n–1, donde a

0, a

1 R+ dados, α, β R

constantes y n Z+.

4. Si an > 0, ∀n N, a

n+1 = αa

n + donde a

0, a

1 R+ dados,

α, β R constantes y n Z+.

12

12

1n

1n

13

14

15

βa

n–1

βa

n–1

βa

n

p Figura 3.1.

p Figura 3.3.

p Figura 3.2.

0

0

0

1

6

5

4

3

2

1

1

–1

y

y

y

x

x

x

1

1

1 2 3 4

2

2

3

3

4

4

5

5

12

14

Glosario

infinito. Valor mayor que cualquier cantidad asignable.

acb

112


m) definida como sigue: a

0 = –1 y

am

= 2am–1

+ 1, m Z+. Determinemos, si es posible, el término general de esta sucesión. Tenemos para m = 1, m = 2, …

a1 = 2a

1–1 + 1 = 2a

0 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,

a2 = 2a

2–1 + 1 = 2a

1 + 1 = 2 × (–1) + 1 = –1,

am

= 2am–1

+ 1 = 2 × (–1) + 1 = –1.

Claramente, (am

) es una sucesión con término general constante e igual a –1, esto es, a

m = –1 ∀m Z+.


k), definida como sigue: a

0 = y

ak = 2a

k–1 + 1, k Z+. Determinemos, si es posible, el término general

de esta sucesión. Tenemos:

a1 = 2a

0 + 1 = 2 × + 1 = 2,

a2 = 2a

1 + 1 = 2 × 2 + 1 = 22 + 1 = 5,

a3 = 2a

2 + 1 = 2 × 5 + 1 = 2(22 + 1) + 1 = 23 + 2 + 1 = 11,

a4 = 2a

3 + 1 = 2 × 11 + 1 = 2(23 + 2 + 1) + 1 = 24 + 22 + 2 + 1 = 23,

ak = 2a

k–1 + 1 = 2k + 2k–2 + 2k–3 + … + 1 = 3 × 2k–1 – 1, k Z+ con k ≥ 1.

Ejercicio resueltoSea (t

j) la sucesión real definida como: t

0 = 1 y t

j =

j Z+.

Determinemos el término general de esta sucesión, siempre que sea posible. Tenemos:

t1 = – + 1 = – + 1 = 0, t

2 = –1,

t3 = – + 1 = – + 1 = 2, t

4 = – + 1 = – + 1 = ,

t5 = – + 1 = – + 1 = –1, t

6 = – + 1 = – + 1 = 2,

tj =

12

12

– + 1, si tj–1

≠ 0,

–1, si tj–1

= 0,

1t

j–1

1t

0

1t

2

1t

4

1t

3

1t

5

11

1–1

1

12

12

1–1

12

2, si j ≥ 3 es múltiplo de 3,

, si j es de la forma de 3k + 1, donde k N.

1, si j es de la forma de 3k + 2,

12

Interdisciplinariedad

Matemática e historiaLos números de Fibonacci (pu-blicados en la obra Liber Abaci, aproximadamente en 1202) están definidos como

u0 = 1, u

1 = 1,

u1 = u

n–1 + u

n–2, n = 2, 3, … .

Así se obtienen los primeros doce números:u

2 = u

1 + u

0 = 2,

u3 = u

2 + u

1 = 3,

u4 = u

3 + u

2 = 5,

u5 = u

4 + u

3 = 8,

u6 = 13,

u7 = 21,

u8 = 34,

u9 = 55,

u10

= 89,u

11 = 144,

u12

= 233, … .

En cursos superiores de geome-tría, aparecen estos números en muchos problemas aplicados.

Leon

ardo

de

Pisa

, ( 2

007)

. w

ww

.wik

imed

ia.o

rg

p Leonardo de Pisa.

Glosario

sucesión. Conjunto ordenado de terminos que cumplen una ley determinada.

acb

113

Ejercicio resueltoDado α R constante no nula, la sucesión definida

como

cinco de sus términos se describen a continuación:a

1 = αa

0, a

2 = αa

1 = a

0α2, a

3 = αa

2 = a

0α3 , a

4 = αa

3 = a

0α4,

an+1

= αan = a

0αn+1, n = 0, 1, … .

Sucesiones monótonasDefinición. Sea (a

n) una sucesión real.

i) Se dice que (an) es creciente si y solo si a

n ≤ a

n+1, ∀n 𝐼.

ii) Se dice que (an) es estrictamente creciente si y solo si a

n < a

n+1, ∀n 𝐼.

iii) Se dice que (an) es decreciente si y solo si a

n+1 ≤ a

n, ∀n 𝐼.

iv) Se dice que (an) es estrictamente decreciente si y solo si a

n+1 < a

n,

∀n 𝐼.v) Se dice que la sucesión (a

n) es monótona si es creciente o decre-

ciente. Ejercicio resueltosa) La sucesión (a

n), cuyo término general está definido como

an = , n Z+, es una sucesión estrictamente decreciente.

En efecto, si n Z+, entonces n < n + 1 y, en consecuencia,

< .

De la definición de (an) se concluye que a

n+1 ≤ a

n; o sea, (a

n) es

estrictamente decreciente.

b) La sucesión 1 – es estrictamente creciente, pues si n Z+,

entonces n < n + 1, y se tienen las siguientes equivalencias: < ⇔ – < – ⇔ 1 – < 1 – ⇔ a

n < a

n+1.

Recuerda que si a una desigualdad se la multiplica por –1, la desigualdad cambia de sentido. Además, si a una desigualdad se le suma en ambos miembros el mismo número real, la desigual-dad se conserva.

c) Considera la sucesión (up), definida como u

p = p + 1 + (–1)p, p N.

El recorrido de esta sucesión es el conjunto

p + 1 + (–1)p | p N = 2, 1, 4, 3, … , p + 1 + (–1)p, ….

Esta no es una sucesión creciente ni decreciente; simplemente es una sucesión real.

d) La sucesión (–n) es estrictamente decreciente, pues n < n + 1 ⇔ –(n + 1) < –n, ∀n N.


El estudio de sucesio-nes es ampliamente utilizado en biología para el análisis de la reproducción bacteriana, considerando que una bacteria se reproduce por bipartición. En condiciones muy favorables, la población de algunas bacterias puede llegar a doblarse cada 15 minutos, 4 duplicaciones por hora y 96 diarias. Por ello, el análisis del comportamiento de reproducción es importante para controlar su expansión.

Otras aplicaciones se dan en economía, en distintas ramas de la ingeniería, en medicina, en finanzas, etc.

Shut

ters

tock

, (20

20).

3677

1554

0

1n

1n

1n

1n

1n

1n

1n+1

1n+1

1n+1

1n+1

a0 R dado,

an+1

= αan, n = 0, 1, … ,

p Biofilm de bacterias.

Taller práctico

114

La sucesión (rn) está definida como

rn = 2 , n Z+.

Esta es una sucesión real infinita. El reco-rrido de esta sucesión es el conjunto de raíces n-ésimas de 2, esto es,

2 | n Z+ .

Calcula cuatro términos y el término 100 de la sucesión, y usa la calculadora para obtener los valores aproximados.

En cada ítem se define el término general de una sucesión (a

k). Calcula los prime-

ros cinco términos. A continuación, in-dica el recorrido de la sucesión y traza su representación gráfica.

En cada ítem se define el término gene-ral a

k de una sucesión real. Determina el

dominio de esta sucesión, esto es, deter-mina el más grande subconjunto no va-cío 𝐼 de N en el que a

k esté bien definido

para k 𝐼. Calcula los primeros térmi-nos a

k. Escribe el recorrido de la sucesión

e indica si es o no sucesión finita.

DCCD: M.5.1.53. Identificar sucesiones numéricas reales, sucesiones monótonas y sucesiones definidas por recurrencia a partir de las fórmulas que las definen.

1

2

3

a) r1 = 2 = 2.

a) ak = 1 + (–1)k, k N.

b) ak = (–1)k –2(–1)k, k N.

b) r2 = 2 = ___________________________.

c) r3 = 2 = ___________________________.

d) r4 = 2 = ___________________________.

e) r100

= 2 = _________________________.

1n

1n

11

12

13

14

1100

c) ak = (–1 + 3 × (–1)k), k N.1

2

a) ak = 10 – k , k N.

b) ak = 25 – 2k , k N.

c) ak = – 20 – k k , k N.

En cada ítem se define el término general de una sucesión real. Calcula los prime-ros cinco términos. A continuación, in-dica el recorrido de la sucesión.

4

115

Diversidad funcional en el aula

Si un estudiante tiene alguna discapacidad, es necesario realizar equipos heterogéneos donde se los integre y se enriquezca la socialización.

Trabajo colaborativo

Los cinco primeros términos de una su-cesión (u

n) se precisan a continuación:

u1 = – 1, u

2 = – , u

3 = – ,

u4 = – , u

5 = – .

Prueben que el término general de la su-cesión (u

n) está definido como:

un = – = , n Z+.

En cada ítem se define el término general a

k de una sucesión real. Calculen los pri-

meros cinco términos. A continuación demuestren que (a

k) es estrictamente

creciente en el subconjunto 𝐼 de N.

En cada ítem se define el término general de una sucesión real. Calculen los prime-ros cinco términos, y luego demuestren que (a

k) es estrictamente decreciente en

el subconjunto 𝐼 de N.

7

8

9

Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.

Se define la sucesión (vk) como: v

0 = 0,

y v1 = y v

k+1 = 2v

k – v

k–1, k Z+.

Determina algunos términos de esta sucesión, y comprueba que el término general es el que se muestra al final.

Se define la sucesión (an) como a

1 = 2,

a2 = 5, a

3 = 8, a

4 = 11, y así sucesivamen-

te. Prueba que an+1

= 3 + an, n Z+.

5

6

a) ak = , k Z+.

b) bm

= , m N.

c) um

= , m Z+ con m ≥ 2.

v2 = 2v

1 – v

0 = 2 × – 0 = 1,

v3 = 2v

2 – v

1 = 2 × 1 – = ,

v5 = 2v

4 – v

3 = 2 × 2 – = ,

El término general de esta sucesión está

definido como vk = , k Z+ con k ≥ 2,

y v0 = 0, v

1 = .

v4 = 2v

3 – v

2 = 2 × – 1 = 2,

(–1)k

k

mm2 + 1

m2 + 1m(m – 1)

12

12

12

32

12

k2

32

32

52

a) ak = 1 + k , k N.

b) ak = 25 + 2k, k N.

c) ak = 2 – , k N.

a) ak = , k Z+.

c) ak = – k – 2, k N.

b) ak = –2k, k N.

12

13

15

1n + 1

1n(n + 1)

1n

16

14

12

13

14

13

1k2

15k

13

116

Progresiones aritméticas

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica), conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas.

Definición. Una sucesión real (un) se llama progresión aritmética si

y solo si existe d R con d ≠ 0, tal que un+1

= un + d, ∀n N, con

u0 R dado.

Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando al tér-mino anterior la constante d. u

1 = u

0 + d, u

2 = u

1 + d = u

0 + 2d,

u3 = u

2 + d = u

0 + 2d + d = u

0 + 3d,

uk = u

k–1 + d = u

0 + (k – 1)d + d = u

0 + kd, k = 1, 2…

Así, el término general u

n de una progresión aritmética (u

n) está defi-

nido como un = u

0 + nd, n N. Además, el recorrido de la progresión

aritmética (un) es el conjunto u

0 + nd | n N.

Ejercicio resueltoSea (u

n) la sucesión definida como u

n = 3 + 4n, n N.

Tenemos u0 = 3. Por un lado, u

1 = 3 + 4 × 1 = 7, y por otro,

u1 = u

0 + d = 3 + d = 7. Luego, d = 4. Resulta

u2 = u

1 + d = 7 + 4 = 11, u

3 = u

2 + d = 11 + 4 = 15, así sucesivamente.

El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto

3 + 4n | n N = 3, 7, 11, 15, … 3 + 4n, …. Otra forma de obtener d es la siguiente: de la definición del término general de la sucesión u

n, se tiene

un+1

= un + d ⇔ 3 + 4(n + 1) = 3 + 4n + d ⇔ d = 4.

Y, por lo tanto, u

n+1 = u

n + 4, n N.

Se tiene un+1

– un = 4 > 0, ∀n N que muestra que (u

n) es una suce-

sión estrictamente creciente. Ejercicio resueltoLos cuatro primeros términos de una progresión aritmética son: 15; 12,5; 10; 7,5. Determinemos el término general de la progresión aritmética.

Ponemos u0 = 15, u

1 = 12,5.

Luego, u1 = u

0 + d ⇔ 12,5 = 15 + d ⇔ d = –2,5.

u2 = u

1 + d = 12,5 – 2,5 = 10,

u3 = u

2 + d = 10 – 2,5 = 7,5,

un+1

= un + d = u

0 + (n + 1)d = 15 – 2,5(n + 1), n N.

Como un+1

– un = –2,5 < 0, ∀n N, se sigue que (u

n) es una sucesión

estrictamente decreciente.El recorrido de esta sucesión es el conjunto 15 – 2,5n | n N.

Saberes previos

¿Cómo se forma el con-junto de los números pares?


¿Cuál es el conjunto de los diez primeros números múltiplos de 11, comenzando en 66?

Recuerda que…

Si u0 R está fijado y si

d = 0, entonces:

un+1

= un + d, ∀n N ⇔

un = u

0, ∀n N.

Es decir, se trata de una suce-sión constante que no tiene mayor interés.

Glosario

progresión. Sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante.

acb

117

Suma de los n primeros términos de una progresión aritméticaLa suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es,

Sn = u

0 + u

1 + … + u

n–2 + u

n–1, n = 1, 2, …

Observemos los siguientes resultados:

u0 + u

n–1 = u

0 + u

0 + (n – 1)d = 2u

0 + (n – 1)d,

u1 + u

n–2 = u

0 + d + u

0 + (n – 2)d = 2u

0 + (n – 1)d,

un–1

+ u0 = u

0 + (n – 1)d + u

0 = 2u

0 + (n – 1)d,

y de manera general, para 0 ≤ k ≤ n – 1 se tiene

un–1–k

+ uk = u

0 + (n – 1 – k)d + u

0 + kd = 2u

0 + (n – 1)d.

Luego, de la definición de S

n y de los resultados precedentes, tenemos

2Sn = 2(u

0 + u

1 + … + u

n–2 + u

n–1)

= (u0 + u

1 + … + u

n–2 + u

n–1) + (u

0 + u

1 + … + u

n–2 + u

n–1)

= (u0 + u

n–1) + (u

1 + u

n–2) + … + (u

n–1+ u

0)

= 2u0 + (n – 1)d + 2u

0 + (n – 1)d + … + 2u

0 + (n – 1)d

= n[2u0 + (n – 1)d], de donde

Sn = n(2u

0 + (n – 1)d).

Por otro lado, un–1

= u0+ (n – 1)d, entonces,

2u0 + (n – 1)d = u

0 + u

0 + (n – 1)d = u

0 + u

n. Luego,

Sn = n(2u

0 + (n – 1)d) = n(u

0 + u

n–1) = n .

Es decir que la suma de los n primeros términos u0, u

1, …, u

n–1 de la

progresión aritmética (un) es igual a n veces la media aritmética de u

0

y un–1

.

Particularmente, si d = 1 y u0 = 0, se tiene

Sn = 1 + 2 + … + n = n(n + 1), ∀n N, fórmula que se conoce

como suma de los n primeros números naturales.

Ejercicio resueltoHalla la suma de los 10 primeros términos de la progresión aritmética siguiente: 20, 17, 14, … .

Ponemos a0 = 20, a

1 = 17, entonces, a

1 = a

0 + d, con lo que

d = a1 – a

0 = 17 – 20 = –3.

Luego, para n = 10 se tiene

S10

= (2u0 + (n – 1)d) = (2 × 20 + 9 ×(–3)) = 65.

La suma de los 10 primeros términos es 65.

Recuerda que…

Definición. Sean

a, b R no nulos y c = (a + b).

Se dice que c es media aritméti-ca de a y b.

Sea (un) una progresión

aritmética. De la definición de progresión aritmética, existe d ≠ 0 tal que u

n+1 = u

n + d,

un = u

n–1 + d, n = 1, 2, …, de

donde d = un+1

– un

y d = un – u

n–1, con lo cual

un+1

– un = u

n – u

n–1 ⇔

un = u

n–1 + u

n+1 .

Por lo tanto, cualquier término de la progresión aritmética, exceptuando el primero, es media aritmética de dos de sus términos contiguos.

12

12

12

n2

102

12

u0 + un–1

2

12

12

Glosario

consistencia. Duración, estabilidad, solidez.

acb

Taller práctico

118

En cada ítem se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética (a

m). Halla el término general de dicha

progresión, verifica su resultado con el tercer término, y calcula el término a

m

que se indica.

Sean (um

) una progresión aritmética y

E = um

| m N el recorrido de dicha

progresión. Verifica la suma Sm

de los primeros términos que se indican.

Completa el proceso.En una progresión aritmética (v

n) con los

términos v3 = –5 y v

9 = 5, ¿cuántos tér-

minos se deben considerar para que su suma sea S = 0?

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritméti-ca o geométrica), conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y pro-blemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales fi-nitas de sucesiones numéricas.

1

2

3

a) 1, 5, 9, … , a10

=

b) –20, –15, –10, … , a15

=

c) 1 – 2 , 1, 1 + 2 , … , a8 =

a) Si (vn) es una progresión aritmética, existen

v0, d N, tal que v

n = v

0 + nd, n N.

Particularmente, v3 = v

0 + 3d = –5 y

v9 = v

0 + 9d = 5. Si tenemos el sistema de

ecuaciones

¿cuál es la solución del sistema?

S = vk + v

k+1 + … + v

k+m con k, m N y m ≥1.

Puesto que S = (m + 1) u0 + d(2k + m) ,

se sigue que

0 = (m + 1) –10 + (2k + m) ⇔

–10 + (2k + m) = 0 ⇔ 2k + m = 12,

d) , 1, , … , a20

=12

32

a) E = 2m – 1 | m N, S20

= 400.

b) E = 4m + 3 | m N, S11

= 297.

c) E = 80 – 3m | m N, S54

= –135.

v0 + 3d = –5,

v0 + 9d = 5,

12

565

6

119


A las personas con alguna necesidad especial es importante asignarles roles dentro del aula como por ejemplo entregar hojas de trabajo o llevar el registro de asistencia.

a) La suma de los n primeros términos está dada como

Sn = n(2a

0 + (n – 1) d), n Z+.

Entonces, para n = 5 y n = 10 se tiene S

5 = 10, S

10 = 40; luego,

10 = × 5(2a0 + 4d) ⇔

40 = × 10(2a0 + 9d) ⇔

Se formó, así, el siguiente sistema de ecua-ciones lineales

a0 + 2d = 2,

2a0 + 9d = 8,

donde a0 y d son las incógnitas.

¿Cuál es la solución del sistema?


De una progresión aritmética (vm

) se co-nocen el primer término v

0 y su suma S

n.

Determinen el término general vm

y comprueben su resultado sumando los n primeros términos.

De una progresión aritmética (bm

) se co-nocen dos términos b

r y b

q que se indi-

can con r < q. Hallen el término general y escriban los términos comprendidos entre b

r y b

q.

Hallen los resultados que se indican:

5

6

7


Completa el proceso.Una progresión aritmética (a

m) es tal que

la suma de los primeros 5 términos es 10, y la de los 10 primeros términos es 40. De-termina el término general a

m, m N.

Nota que am

= a0 + md m = 0, 1, …,

está bien definido si se conocen a0 y d.

Sea (am

) tal sucesión.

4

a) v0 = –80, S

10 = –575.

b) v0 = 1 200, S

8 = 9 376.

c) v0 = 0,25; S

11 = 8,7.

d) v0 = 1,52; S

9 = 62,28.

e) v0 = –2,3; S

7 = –68,6.

f) v0 = –15; S

11 = –341.

a) b5 = – , b

10 = – .

a) – – – … – =

b) b4 = 5,284, b

15 = 17,615.

c) b10

= 38,82, b15

= 32,57.

d) b7 = 201,4; b

12 = 177,4.

b) 0,8 + 1,921 + … + 143,615 =

c) 51,32 + 50,07 + … + 38,82 =

1912

13

712

1912

176

es decir que k y m están relacionados por la ecuación 2k + m = 12. Luego,

m = 12 – 2k k N. Como m ≥ 1, entonces: 12 – 2k ≥ 1 ⇔ ____________________________, con lo que si 0 ≤ k < 6, m = 12 – 2k. Por ejemplo: si k = 0, se tienen que considerar 12 términos. Si k = 1, se deben sumar m = 12 – 2 = 10

términos; si k = 5, entonces m = 2.

12

12

12

_______________________________________________

_______________________________________________

120

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o varios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y problemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas. M.5.1.55. Aplicar los conocimientos sobre progresiones aritméticas, progresiones geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas para resolver aplicaciones, en general y de manera especial en el ámbito financiero, de las sucesiones numéricas M.5.1.57. Reconocer las aplicaciones de las sucesiones numéricas reales en el ámbito financiero y resolver problemas, juzgar la validez de las soluciones obtenidas dentro del contexto del problema. M.5.1.58. Emplear progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales finitas de sucesiones numéricas en el planteamiento y resolución de problemas de diferentes ámbitos.

Progresiones geométricasDefinición. Una sucesión real (u

n) se llama progresión geométrica

si y solo si existe d R con d ≠ 0, tal que un+1

= dun, ∀n N, con

u0 R dado.

De acuerdo con la definición de progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicándole al término anterior la constante d. Los k primeros términos se indican a continuación:

u1 = du

0, u

2 = du

1 = d(du

0) = u

0d2,

u3 = du

2 = d(u

0d2) = u

0d3, u

4 = du

3 = d(u

0d3) = u

0d4,

uk = du

k–1 = d(u

0dk–1) = u

0dk, k = 1, 2,…

Así, el término general u

n de una progresión geométrica (u

n) está de-

finido como un = u

0dn, n N. Además, el recorrido de la progresión

geométrica (un) es el conjunto u

0 dk | k N.

Ejercicio resueltoSea (u

n) la sucesión definida como u

n = 3 × 4–n, n N. De la defini-

ción de progresión geométrica, determinemos u0 y d. Tenemos u

0 = 3;

por un lado, u1 = 3 × 4–1 = , y por otro, u

1 = du

0 = 3d = .

Luego, d = .

Resulta u2 = du

1 = × = , u

3 = du

2 = × = .

El recorrido de esta sucesión está definido como el conjunto

| n N = 3, , , , … .

Se tiene un+1

– un = – 1 < 0, ∀n N que muestra

que (un) es una sucesión estrictamente decreciente.

Ejercicio resueltoLos 4 primeros términos de una progresión geométrica son: 3, 6, 12, 24. Determinemos el término general de la progresión geométrica. Ponemos u

0 = 3, u

1 = 6. Luego,

u1 = u

0d ⇔ 6 = 3d ⇔ d = 2. Por lo tanto,

u2 = u

1d = 6 × 2 = 12,

un+1

= und = u

0dn+1 = 3 × 2n+1, n N.

Como un+1

– un = 3 × 2n+1 – 3 × 2n = 3 × 2n > 0, ∀n N, se sigue

que (un) es una sucesión estrictamente creciente. El recorrido de esta

sucesión es el conjunto 3 × 2n | n N.

Saberes previos

¿Cómo se forma una progresión aritmética?


¿Qué es una progresión geométrica?

Recuerda que…

Si u0 R está fijado y si

d = 1, entonces

un+1

= dun = u

0, ∀n N.

Es decir, se trata de una suce-sión constante que no tiene mayor interés.

34

14

14

34

34

14

342

342

343

343

34n

34n

342

341

4

121

Suma de los primeros términos de una progresión geométricaSean a, d R no nulos y n N, la progresión geométrica (u

n) defi-

nida como un = adn, ∀n N. Consideramos la suma de los primeros

n + 1 términos de esta progresión:

Sn = u

0 + u

1 + … + u

n

= a + ad + ad2 + … + adn–1 + adn = a dk.

Si multiplicamos a Sn por d, tenemos

dSn = ad + ad2 + ad3 + … + adn + adn+1.

Luego, dSn – S

n = adn+1 – a = a(dn+1 – 1), o lo que es lo mismo,

(d – 1)Sn = a(dn+1 – 1).

Si d = 1, entonces (u

n) es la sucesión constante a, en cuyo caso

Sn = (n + 1)a. Si d ≠ 1, entonces

Sn = a dk = a = a .

Particularmente, si a = 1, obtenemos

Sn = 1 + d + d2 + … + dn = dj = , si d ≠ 1.

Ejercicios resueltos1. De una progresión geométrica (g

n) se conocen los términos

g2 = , y g

5 = .

Obtén el término general de esta progresión, así como la suma de los n primeros términos.

Se ha visto que el término general de una progresión geométrica (g

n) está definido como g

n = adn, n N. Con la información dada,

obtenemos las constantes a y d. Tenemos el siguiente par de ecua-ciones:

g2 = = ad2, g

5 = = ad5.

De la primera ecuación se obtiene a = , y se reemplaza en

la segunda ecuación, = d5 = d3,

de donde d3 = , y en consecuencia, d = . Calculamos a:

a = = = .

Así, el término general de la progresión geométrica está dado

como gn = , … n N.

Nota que esta sucesión es estrictamente creciente.

Conexiones con las TIC

Para reforzar el tema de sucesiones y, en forma particu-lar, de las progresiones geomé-tricas, puedes mirar el siguiente video:

bit.ly/2PENMfu

∑n

k=0

∑n

k=0

∑n

j=0

dn+1 – 1 d – 1

dn+1 – 1 d – 1

1 – dn+1 1 – d

98

98

98d2

98d2

98d2

9

8 32

32

12

98

278

32

12

24364

24364

24364

2

n

122

Calculamos la suma de los n primeros términos:

Sn = g

0 + g

1 + … + g

n–1

= + + … + = = – 1, n N.

2. Considera la fracción periódica u = 3,525252… . Se trata de

determinar un número racional r = con a, b Z+, tal que

r = 0,525252… . En primer lugar, al número r = 0,525252… lo expre-samos como

r = 0,525252 … = + + + … = 1 + + + … .

Ponemos d = . Se define: S = = = .

Para n Z+, la suma de los n + 1 primeros términos de la progresión geométrica de constante d está dada como:

Sn = 1 + d + d2 + … dn = = – .

Entonces, dn+1 = = .

La sucesión es positiva, estrictamente decreciente.

Para n suficientemente grande, es positivo y tiende o se

aproxima cada vez a 0, lo que se escribe → 0.Luego, para n suficientemente grande

= = → 0,

y en consecuencia, Sn = – → S,

siendo S = 1 + d + d2 + … + dn + … = .

Así, r = 1 + + + … = × =

es el número racional buscado. Por lo tanto,

u = 3,525252… = 3 + 0,525252… = 3 + = .

Para verificar este resultado, basta dividir 349 para 99.


Muchas veces nos hemos preguntado “¿para qué me va a servir tal o cual tema que aprendo en el aula?”. Analizando las cosas de forma diferente, podremos entender que, por ejemplo, la matemáti-ca nos sirve para lo más simple (saber cuánto dinero tenemos en el bolsillo) y también para lo más complejo (determinar el número de bacterias que se reproducen en un laboratorio). De forma particular, las progre-siones geométricas nos permi-ten determinar los intereses de nuestros ahorros, o el beneficio o utilidad de un capital inicial puesto a una tasa de interés durante un tiempo. He ahí la importancia de la matemática.

Shut

ters

tock

, (20

20).

1423

4433

4

12

12

12

12

32

32

32

ab

32

52102

1102

1102

1102(n+1)

1102(n+1)

1102(n+1)

199×102n

11 – d

dn+1 – 1d – 1

dn+1

1 – d

dn+1

1 – d1

1 – d

1

1104

52104

52106

10099

52102

3232

0 n–11 n

n

– 1

– 1

11021 –

1102

1102n

n+1

n→∞

n→∞

n→∞

11021 –

1102

n+1

11 – d

11 – d

dn+1

1 – d

5299

5299

52102

52102

10099

34999

1102

1104

p Cajero de banco.

123

Aplicación de progresiones en finanzasValor futuroDispongo de $ 100 que deposito en una cuenta de una entidad finan-ciera. Esta entidad paga el 5,2 % de interés cada año.

¿Cuánto tengo al final del primero, segundo, …, n-ésimo período? El período puede ser anual, semestral, quinquenal, etc.

Notaciones: VP designa el valor presente o capital; VP = $ 100, la tasa de interés anual que paga la entidad financiera r es r = 5,2 % = 0,052; el interés que se gana durante el año es Int. Para este ejemplo,

Int = VP × r = 100 × 0,052 = 0,52.

El número de períodos se designa con n; el valor futuro al final de n períodos es VF

n. En este ejemplo, en el primer año, n = 1, se tiene

VF1 = VP + Int = VP + Vp×r = VP(1 + r).

Con r = 0,052, VP = 100, se obtiene VF1 = 105,2.

Interesa calcular el valor futuro VFn al cabo de n períodos.

Se comienza el segundo año con la cantidad de $ 105,2, gana interés de r = 5,2 % = 0,052. Al final del segundo año, se tiene

VF2 = VF

1 + Int = VF

1 + VF

1 × r = VF

1(1 + r) = VP (1 + r)2.

Así,VF

2 = 100(1 + 0,052)2 = 100 × 1,106 704 = 110,670 4.

Razonando del mismo modo que el precedente, al final del tercer año se tiene

VF3 = VF

2 + Int = VF

2 + VF

2×r = VF

2(1 + r) = VP(1 + r)3.

VF3 = 100(1 + 0,052)3 = 100 × 1,164 252 608 = 116,425 260 8.

Por su parte, en el cuarto año se obtiene

VF4 = VF

3 + Int = VF

3 + VF

3×r = VF

3(1 + r) = VP(1 + r)4.

VF4 = 100(1 + 0,052)4 = 100 × 1,124 793 744 = 122,479 344.

De manera general, para n períodos se obtiene el siguiente resultado:

VFn = VF

n–1 + Int = VF

n–1(1 + r) = VP(1 + r)n, n = 0, 1, 2, … .

Nota que esta fórmula define una progresión geométrica de valor constante VP razón 1 + r. Además, en esta fórmula se tienen cuatro variables: n, r, VP, VF

n. Para calcular una de estas, se debe disponer de

tres datos restantes. Por ejemplo, si se conocen r, n, VFn, entonces de

la fórmula anterior se obtiene:

VP = ,

que en el medio financiero se conoce como ‘descuento’. Por ejemplo,

VP = = = 100,000 510 8 ≈ 100.


Matemática y finanzasEn la actualidad, cada dólar del que se dispone es más que un dólar. Efectivamente, si se dispone de una cantidad de dinero, esta se puede invertir, ganar interés y, así, es posible obtener una cantidad mayor de dinero en el futuro. La cantidad de dinero de la que se dispone actualmente se conoce como ‘valor presente’, y se nota VP. El proceso de convertir valores actuales en valores futuros se conoce como ‘valor futuro’, y se nota VF. Al proceso de determinar el valor de un flujo de caja o de sucesiones de flujo de caja, algunas veces en el futuro, cuando se aplica interés compuesto, se lo conoce como ‘composición’.

VFN

(1 + r)n

122,48(1,052)4

122,481,224 783 744

Shut

ters

tock

, (20

20).

3818

6749

0

p Dinero en efectivo.

Taller práctico

124

En cada ítem se define una progresión geométrica (p

n). Escribe la razón d de la pro-

gresión, y calcula los primeros 5 términos.

En cada ítem se define una progresión geométrica (a

n). Escribe la razón d de la

progresión, y prueba la afirmación que se indica.

En cada ítem se dan los tres primeros términos de una progresión geométrica (a


progresión, verifica su resultado con el quinto término, y calcula el término a

m

que se indica.

DCCD: M.5.1.54. Reconocer y calcular uno o va-rios parámetros de una progresión (aritmética o geométrica) conocidos otros parámetros. M.5.1.56. Resolver ejercicios numéricos y pro-blemas con la aplicación de las progresiones aritméticas, geométricas y sumas parciales fini-tas de sucesiones numéricas.

1

2

3

a) pn = 5–n, ∀n N.

b) pn = 2n, ∀n N.

a) an = 5–n, ∀n N, (estrictamente decreciente).

c) pn = , ∀n N.

d) pn = 5 – , ∀n N.

32

12

12

n

n

b) an = 2n, ∀n N, (estrictamente creciente).

c) an = , ∀n N, (estrictamente

creciente).

d) an = 5 – , ∀n N, (ni creciente

ni decreciente).

32

12

12

n

n

a) 3, 6, 12, …, a4 = 48, a

10 =

b) 1, , , …, a4 = , a

8 =2

349

1681

125


Al trabajar en equipo con niños y jóvenes con ne-cesidades educativas especiales es bueno utilizar música para crear un ambiente tranquilo y relajado.


Consideren las progresiones geométri-cas cuyos términos generales son

an = , b

n = , c

n = , ∀n N.

Se define Vn = a

n + b

n + c

n, ∀n N.

Consideren la fracción periódica0,213 213 213… . Determinen un número

racional r = , con a, b Z+,

tal que r = = 0,213213213… .

En cada ítem se da una fracción periódi-ca. Mediante la aplicación de progresio-nes geométricas, prueben que el resulta-do es el indicado.

5

6

7


En cada ítem se define una progresión geométrica (b

n). Prueba que la suma de

los n + 1 primeros términos es la que se indica.

4

c) 2 , – 2, 2 2 , …, a4 = 4 2 , …, a

11 =

d) 3, 3 , 1, …, a4 = , …, a

12 =1

3

a) bn = 5–n, S

n = (1 – 5–n–1), ∀n N.

a) Obtengan los 5 primeros términos de la sucesión (V

n).

b) Calculen la suma de los 5 primeros térmi-nos de las progresiones geométricas (a

n)., (b

n)., (c

n).,

c) Calculen la suma de los 5 primeros térmi-nos de la sucesión (V

n).

b) bn = , S

n = – 1, ∀n N.

c) bn = 5 – , S

n = 2 (–1)n + 1 , ∀n N.

54

32

32

32

32

12

n

n

n+1

n+1

23

34

45

n n n

ab

ab

a) u = = 1,666 666…

b) u = = 0,142 857 142 857…

c) u = = 0,111 1…

53

17

19

126

Variables aleatorias

DCCD: M.5.3.14. Reconocer variables aleatorias discretas, cuyo recorrido es un conjunto discreto, en ejemplos numéricos y experimentos, y la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta como una función real a partir del cálculo de probabilidades acumuladas definidas bajo ciertas condiciones dadas. M.5.3.16. Resolver y plantear problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas.

Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde a un resultado de un experimento aleatorio.

Definición. Se le llama variable aleatoria a cualquier función defini-da en un espacio muestral Ω con recorrido en un subconjunto finito o infinito de R.

Tenemos, entonces, la función X:

donde w es un evento y X es una variable aleatoria.

Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire tenemos dos eventos: que salga cara (C) o que salga sello (S). La variable aleatoria X se puede definir de la siguiente manera:

X(w) = 1 si “sale cara”; X(w) = 0 si “sale sello”.

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas. En este texto centraremos nuestro estudio en las primeras.

Variable aleatoria discretaDefinición. Una variable aleatoria discreta es aquella que solo puede tomar valores dentro de un conjunto finito o infinito numerable.

Función de probabilidadSea X la variable aleatoria discreta que toma los valores x

1, x

2 ,… x

n, se

define la función de probabilidad X como:

p(X = xi) = p

i; i ≥ 1.

Una vez que se han determinado las probabilidades asociadas a cada uno de los valores de una variable aleatoria discreta (v.a.d.), se orga-niza la información en una tabla con todos los posibles valores y las correspondientes probabilidades.

Ω → Rw → X(w)'

Variable aleatoria discreta xi

x1

x2

x3

… xn–1

xn

Probabilidad pi

p1

p2

p3

… pn–1

pn

Ejercicio resueltoSe define la variable aleatoria discreta X = “número de caras que se obtiene al lanzar una moneda dos veces”. ¿Cuál es la función de pro-babilidad? ¿Qué significa?

Efectuemos un diagrama de árbol para determinar la probabilidad del evento. Ver Figura 3.4.

C

C

S

→

→

C

S

S

→

→

p Figura 3.4.

Saberes previos

¿Qué aspectos de tu entorno puedes contar?


¿Qué es para ti una variable aleatoria?

Recuerda que…

Se utilizan letras ma-yúsculas (X, Y, …) para desig-nar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, …) para designar valores concretos de estas.

Glosario

aleatorio. Perteneciente o relativo al juego de azar.subconjunto. Conjunto de ele-mentos que pertenecen a otro conjunto.

acb

127

De acuerdo con el diagrama del árbol, podemos llenar nuestra fun-ción de probabilidad f(x).

La interpretación que damos a la función de probabilidad es la si-guiente:

p[x = 0] = 1/4; es la probabilidad de obtener cero caras.p[x = 1] = 1/2; es la probabilidad de obtener una cara.p[x = 2] = 1/4; es la probabilidad de obtener dos caras.

Función de distribuciónSea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x

1, x

2 ,… x

n,

se define la función de distribución de X como:

F(x) = p(X ≤ x) = p[X = xi].

Ejercicio resueltoEn el ejemplo que estamos tratando:

F(0) = p[X ≤ 0] = p[X = 0] = 1/4.F(1) = p[X ≤ 1] = p[X = 0] + p[X = 1] = 1/4 + 1/2 = 3/4.F(2) = p[X ≤ 2] = p[X = 0] + p[X = 1] + p[X = 2] = 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1. La función de distribución se puede expresar así:

F(x) =

Los gráficos de la función de probabilidad y de la función de distribu-ción se muestran a continuación.

Número de caras en el lanzamiento de una moneda dos veces

Valores de v.a.d xi

0 1 2Probabilidad P[X = xi] 1/4 1/2 1/4

∑xi<x

xi 0 1 2P[X = xi] 1/4 1/2 1/4

0, si x < 0,1/4, si 0 ≤ x < 1,3/4, si 1 ≤ x < 2,1, si x ≥ 2.

p Ilustración 1. Función de probabilidad p Ilustración 2. Función de distribución

Recuerda que…

Las propiedades de la función de probabilidad son:

p[X = xi] > 0

p[X = xi] = 1;

es decir,p[X = x

1] + p[X = x

2] +…

+ p[X = xn] = 1.

Las propiedades de la función de distribución son las siguientes:

• La función es creciente, con

lím F(x) = 0 y lím F(x) = 1

• p[a < x ≤ b] = p[x ≤ b] – p[x ≤ a]

• p[x > a] = 1 – p[x ≤ a].

∑n

i=1

x→–∞ x→∞

0,00 1 2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

x

y

1 2 30,8 1,8 2,80,6 1,6 2,60,4 1,4 2,40,2 1,2 2,2


En la vida cotidiana observamos varios fenómenos aleatorios, cuyos resultados se expresan mediante números. Por ejemplo, el número de personas en la sala de un cine, la velo-cidad de conexión a la red, el número de estudiantes aproba-dos o reprobados, el número de pacientes que se clasifican en ‘sanos’ y ‘enfermos’. En todas estas situaciones, de forma in-consciente, estamos trabajando con variables aleatorias discretas.

Taller práctico

128

De acuerdo con la función de probabili-dad analizada en los ejemplos anteriores:

Observa y completa el cálculo de las si-guientes probabilidades.

De acuerdo con las propiedades de la función de distribución, determina las siguientes probabilidades.

Analiza y responde. Se desea realizar un estudio sobre el número de crías en una camada. Se define la variable aleatoria dis-creta X = “número de crías de una cama-da”; x

i toma los valores 0, 1, 2, 3, con las pro-

babilidades que se muestran en la tabla.

DCCD: M.5.3.14. Reconocer variables aleatorias discre-tas, cuyo recorrido es un conjunto discreto, en ejem-plos numéricos y experimentos, y la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta como una función real a partir del cálculo de probabilidades acumuladas definidas bajo ciertas condiciones dadas. M.5.3.16. Resolver y plantear problemas que involu-cren el trabajo con probabilidades y variables alea-torias discretas.

1

2

3

a) p[x (0, 1)] = p[x = 0] = 1/4.

a) p[0 < x ≤ 1] =

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una cama-da tenga dos crías?

b) Efectúa el gráfico de la función de probabi-lidad.

d) Elabora el gráfico de la función de distribu-ción.

e) Determina la probabilidad de que el nú-mero de crías sea menor o igual a 2,2. F(2,2)

f) ¿Cuál es el número de crías que divide a la camada en dos partes iguales?

c) Completa la función de distribución.

0, si x < 0, 0,2 , si 0 ≤ x < 1, F(x) = ______, si 1 ≤ x < 2, _________, si _________________, ___________, si _________________.

b) p[x > 2] =

b) p[x (0,5; 2)] = ____________________________.

c) p[x (0,5; 2]] = ____________________________.

xi 0 1 2P[X = xi] 1/4 1/2 1/4

xi 0 1 2 3P[X = xi] 0,2 0,3 0,3 0,2

_______________________________________________

129

Una variable aleatoria X puede tomar los valores 30, 40, 50 y 60 con probabi-lidad de: 0,4; 0,2; 0,1 y 0,3. Representa en una tabla la función de probabilidad p(X = x), y la función de distribución de probabilidad F(X) = p(X ≤ x). Determi-nen las siguientes probabilidades:

Analicen y resuelvan.Se define la variable aleatoria discretaX = “número de caras que se obtiene al lanzar tres monedas al aire”.

Una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X está determi-nada por la siguiente tabla:

6

7

8


La función de distribución de una varia-ble aleatoria discreta X se define así:

0, si x < –4. 2/5, si –4 ≤ x < 0.

F(x) = 3/5, si 0 ≤ x < 4.

1, si x ≥ 4.

Elabora el gráfico de la función de dis-tribución.

5

a) p[x ≤ 25].b) p[x ≥ 60].c) p[x < 40].d) p[x > 40].e) p[30 ≤ x ≤ 60].f) p[30 ≤ x < 60].g) p[30 < x ≤ 60].h) p[30 < x < 60].

Dibujen los gráficos de la función de pro-babilidad y de la función de distribución.

a) Realicen un diagrama de árbol y determi-nen el espacio muestral.

b) ¿Cuál es la función de probabilidad? ¿Qué significa?

c) Realicen el gráfico de la función de proba-bilidad.

d) Determinen la función de distribución.e) Dibujen el diagrama de la función de dis-

tribución.

• ¿Cuál es el valor de p[x = 3]?

xi 1 2 3 4 5

pi 0,1 0,3 0,2 0,3

De acuerdo con el ejemplo anterior, ha-lla las siguientes probabilidades:

4

a) p[x ≤ 1] =

b) p[x < 1] =

c) p[1 < x ≤ 2] =


Al agrupar a los estudiantes es necesario que cada uno tenga una responsabilidad individual de tal manera que todos participen y valorar el trabajo que están realizando.


130

DCCD: M.5.3.15.Calcular e interpretar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta. M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas que involucren el trabajo con probabilidades y variables aleatorias discretas dentro del contexto del problema.

Media, varianza y desviación estándar Media o esperanza matemática E(X) de una variable aleatoria discretaDefinición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p

i, la media (µ) o esperanza E(X) de una variable aleato-

ria discreta X es:

µ = E(X) = xip

i.

Varianza de una variable aleatoria discretaDefinición. Sea X una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad p

i, y media (µ), la varianza indica qué tan alejados se

encuentran los valores de la media y se define como:

σ2 = xi2 p

i – µ2.

Desviación típica o estándar de una variable aleatoria discretaDefinición. La desviación típica o estándar de una variable aleatoria discreta es la raíz cuadrada de la varianza.

σ = xi2 p

i – µ2 .

Ejercicio resueltoSe lanzan al aire, varias veces, dos dados iguales y se define la variable aleatoria discreta X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”. El espacio muestral de este evento se detalla en la tabla.

Saberes previos

Explica con tus pala-bras, ¿qué entiendes por ‘valor esperado’?


¿Qué relación existe entre ‘valor esperado’, ‘varianza’ y ‘desviación típica’?

Recuerda que…

La esperanza matemá-tica tiene algunas propiedades que enunciamos a continua-ción:

1. La esperanza de una constan-te es el valor de la constante.

E(c) = c.

2. La esperanza de la suma de dos variables aleatorias inde-pendientes es igual a la suma de las esperanzas de los dos sumandos.

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

3. La esperanza del producto de dos variables aleatorias inde-pendientes es igual al producto de las esperanzas de los dos factores.

E(X Y) = E(X) E(Y).

∑n

i=1

∑n

i=1

∑n

i=1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Determina:

a) La media o esperanza matemáticab) La varianzac) La desviación típica o estándar

Segu

ndo

dado

Primer dado

Suma de puntos

131

Construimos la tabla de distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta, X = “suma de los puntos de las caras obtenidas”.

Recuerda que…

La varianza de una variable aleatoria X, Var(X) o σ2, es un número no negativo que también se puede calcular así:

Var(X) = E(X2) – (E(X))2.

Las propiedades de la varianza son:

1. La varianza de una constante es cero, es decir, para toda c:

Var(c) = 0.

2. Un valor constante c se puede sacar del símbolo de la varianza, elevándolo al cuadrado:

Var(cX) = c2Var(X).

3. La varianza de la suma de dos variables aleatorias indepen-dientes es igual a la suma de las varianzas de los dos sumandos:

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

Ejercicio resueltoLa variable aleatoria discreta X está definida mediante la si-guiente tabla:

Determina la esperanza y la varianza de: a) la variable aleatoria X; b) la variable aleatoria Y = 0,2X + 1.

a) Calculamos la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.

E(X) = xip

i = 2(0,3) + 3(0,5) + 4(0,2) = 2,9 µ2 .

E(X2)= 22(0,3) + 32(0,5) + 42(0,2) = 8,9. Var(X) = E(X2) – (E(X))2 = 8,9 – 2,92 = 0,49.

b) Para calcular la esperanza y la varianza de la variable aleatoria Y, aplicamos sus propiedades:

E(Y) = E(0,2X + 1) = E(0,2X) + E(1) = 0,2E(X) + 1 = 0,2(2,9) + 1 = 1,58,

Var(Y) = Var(0,2X + 1), Var(Y) = Var(0,2X) + Var(1). Var(Y) = 0,22Var(X) + 0, Var(Y) = 0,04(0,49) = 0,019 6.

Suma de las dos caras

ProbabilidadPara el cálculo de la media o

esperanza

Para el cálculo de la varianza y

desviación típicaxi pi xipi Pixi

2

2 1/36 2/36 4/363 2/36 6/36 18/364 3/36 12/36 48/365 4/36 20/36 100/366 5/36 30/36 180/367 6/36 42/36 294/368 5/36 40/36 320/369 4/36 36/36 324/36

10 3/36 30/36 300/3611 2/36 22/36 242/3612 1/36 12/36 224/36

Total 36/36 = 1 252/36 1974/36

Cálculo de la media o esperanza matemática:

µ = E(X) = xip

i.

µ = = 7.

Cálculo de la varianza:

σ2 = xi2 p

i – µ2.

σ2 = – 72.

σ2 = 5,8.

Cálculo de la desviación típica o estándar:

σ = xi2 p

i – µ2 .

σ = 5,8 = 2,4.

∑n

i=1∑

n

i=1

25236

1 97436

∑n

i=1

xi 2 3 4pi 0,3 0,5 0,2

∑n

i=1

Glosario

varianza. Media de las desviaciones cuadráticas de una variable aleatoria, referidas al valor medio de esta.

acb

Taller práctico

132

Sea la siguiente función de probabilidad:

Considera la variable aleatoria discreta X, cuya distribución de probabilidad es la siguiente:

Analiza y resuelve. Se define la variable aleatoria X como: X = “camiones que se usan para repartición de mercaderías en un día de trabajo”. La distribución de probabi-lidad para la empresa A y la empresa B es:

DCCD: M.5.3.15.Calcular e interpretar la media, la varianza y la desviación estándar de una variable aleatoria discreta. M.5.3.17. Juzgar la validez de las soluciones obtenidas en los problemas que involu-cren el trabajo con probabilidades y variables alea-torias discretas dentro del contexto del problema.

1

2

3

a) Escribe la función de distribución.c) Determina la esperanza matemática,

la varianza y la desviación típica.

b) Calcula p(X ≤ 5) y p(3 ≤ X ≤ 7).

c) Determina la media y la desviación típica.

a) Calcula el valor de c.

Empresa A

Empresa B

xi 1 3 5 7 9pi 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

xi 1 2 3pi c 0,36 c

xi 1 2 3pi 0,25 0,45 0,3

xi 0 1 2 3 4pi 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

b) Escribe la función de probabilidad y de distribución.

a) ¿Cuál es la media o esperanza matemática de cada distribución?

b) ¿Cuál de las dos empresas tiene mayor varianza?

133

Analiza y resuelve.Supón que la variable aleatoria X repre-senta el número de arandelas defectuo-sas que produce una máquina de una fábrica. Se obtiene una muestra de tres partes y se someten a prueba. Se obtiene la siguiente distribución de probabilidad:

4

Se toma el conjunto formado por los elementos 1, 2, 3, y se forman pares ordenados que son el resultado de las posibles combinaciones. Se obtiene el espacio muestral de 9 elementos de la siguiente forma:

S = (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3).

Se define la variable aleatoria X = “suma de los dos números”.

Considera la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad está dada por la siguiente tabla.

En un concurso de abrir puertas, se le en-tregan al participante 6 llaves, de las cua-les solo una corresponde a la cerradura de la puerta. El concursante va eligiendo al azar y probando abrir la puerta. Se de-fine la variable aleatoria discreta X = “número de llaves usadas”.

7

5

8

c) ¿Cuál de las dos empresas mantiene una me-jor organización en cuanto al uso del trans-porte para reparto de mercancías? ¿Por qué?

xi 0 1 2 3pi 0,32 0,24 0,30 0,14

xi –10 –5 0 5pi c 2c 3c 4c

a) ¿Cuál es la varianza de la distribución de probabilidad?

a) Determinen la función de distribución.b) Encuentren el valor esperado E(X).c) Calculen la Var(X) y la desviación típica.

a) ¿Cuál es el valor de c?b) Escriban la función de probabilidad.c) Determinen la función de distribución.d) Calculen la esperanza, la varianza y la des-

viación típica.

a) Determinen la función de probabilidad.b) Calculen la esperanza y la varianza del nú-

mero de intentos si el concursante separa la llave que probó anteriormente.

b) ¿La varianza puede ser un número negativo? ¿Por qué?

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________


El aprendizaje es más fácil y la atención de los grupos se mantiene cuando lo que se está aprendiendo es divertido, de interés y está rela-cionado con su entorno.


Una fundación realiza una rifa de soli-daridad. Para ello venden 500 boletos a un dólar cada uno. El primer premio es de $ 120; el segundo de $ 100; y hay tres premios más de $ 20 cada uno. Si una persona compra un boleto, ¿cuál es la es-peranza matemática de que gane?

6


134

Solución de problemas cotidianos

Contaminación ambiental

1. Se debe tratar agua que con-tiene algún contaminante. Para el efecto, se procede a pu-rificarla con un filtro de arena. Suponemos que los gra-nos de arena tienen for-ma de pequeños cubos. Además, se asume que la retención del contaminante es proporcional al área total de las superficies de cada uno de los cubos. Sea L > 0, L medido en metros o en centímetros, consi-deremos un cubo de lado L. El área de la superficie del cubo es A

0 = 6L2 y su volumen es V

0 = L3.

Dividamos el cubo en 8 partes iguales, como se muestra en la figura.

El volumen de cada cubo es V1 = = V

0,

y el área de la superficie de cada uno de los cubos resultantes es

A1 = 6 = (6L2) = A

0.

El área total de la superficie de todos los cubos es

la suma de las áreas de las superficies de cada uno de los cubos; esto es,

A1 = 8A

1 = 8 × A

0 = 2A

0;

mientras que el volumen total se mantiene cons-tante:

V1 = 8V

1 = 23 × V

0 = V

0.

Dividamos cada uno de los cubos resultantes en 8 cubos iguales. El área de la superficie de cada uno de los cubos es:

Â2 = 6 = 6 = A

0.

Se tienen 64 cubos. El área total de las superficies de todos los cubos contenidos es

Â2 = 64A

2 = 64 A

0 = 22 A

0.

El volumen de cada cubo es

V2 = = = V

0 = V

0,

y el volumen total de todos los cubos es

V2 = 64V

2 = 26 V

0 = V

0.

Continuando con este procedimiento, en la k-ési-ma etapa se obtienen las siguientes progresiones geométricas:

número total de cubos: (23)k, k = 0,1…

área de superficie de cada cubo:

Âk = A

0, k = 0,1…

área total de todos los cubos: Ak = 2kA

0, k = 0,1…

volumen de cada cubo: Vk = V

0, k = 0,1…

2. Una persona decide invertir una suma de dólares S a una tasa nominal 𝐼% anual, en un tiempo de años. El interés se capitaliza 4 veces al año.

a) Prueba que el monto compuesto al final del primer año es

M1 = S 1 + .

b) Supón que 𝐼 = 0,06 % y S = $ 1 000,00. Calcula M

1.

c) Supón que 𝐼 = 0,05 % y S = $ 8 000,00. Calcula M

1.

L2

L2

14

14

14

123

3

2

122k

123k

L4

1(22)2

1(22)2

L3

(22)31

(23)2126

126

2

2

L2

L2

22

2

Practica en tu cuaderno

𝐼4

4

123

p Figura 3.5.

L

L

L

L2

L2

L2

Shut

ters

tock

, (20

20).

5558

4218

5

Contaminación ambiental. p

135

Desafíos científicos

La matemática y las profesiones

Licenciatura en Ciencias de la Actividad Física, Deportes y RecreaciónLa carrera está orientada a formar profesionales capaces de fomentar la salud mediante la actividad física, el deporte formativo-competitivo y la recreación, así como también a formarlos en el ámbito técnico de-portivo, a fin de alcanzar un alto rendimiento deportivo de calidad.

Para optar por esta carrera, el aspirante debe tener afinidad con:

• Matemática básica, asignatura que recibirá en primer se-mestre de la carrera.

• Estadística descriptiva y los temas relacionados con medidas de tendencia central, medidas de posición y medidas de dis-persión.

Para optar por esta carrera puedes postular por una de las Universidades de nuestro país, legalmente reconocida por el Senescyt.

Los posibles escenarios de trabajo radican principalmente en empresas de-portivas y de actividad física, instituciones educativas, fundaciones y organiza-ciones no gubernamentales (ONG), empresas públicas y empresas privadas.

Tomado de: http://cafder.espe.edu.ec/campo-ocupacional/

Shut

ters

tock

, (20

20).

2907

0483

2Sh

utte

rsto

ck, (

2020

). 29

0626

610

p Rafael Nadal, Paris, 2015, Grand Slam Champion.

p Adolescentes de un equipo femenino de fútbol, practicando con su entrenador.

La matemática y deporte¿Qué tiene que ver la matemática con el deporte? Muchas personas pue-den pensar que una sucesión no tiene relación con el deporte. Sin embar-go, ese criterio cambia el momento en que se reconoce la utilidad de las sucesiones en un deporte muy conocido como es el tenis.

En una competencia de tenis, siempre existe el jugador o jugadora que, lue-go de varias competiciones, llega a la fase final; es decir, son dos las personas que juegan la final y una de ellas es la ganadora. Para determinar quién gana el torneo, en la semifinal participan 4 jugadores. En la etapa anterior a esta, compiten 8 tenistas, y así sucesivamente, en cada etapa de la competición siempre se clasifica la mitad para la siguiente etapa. Es decir, el número de tenistas en cada etapa es la mitad de la etapa anterior, ya que en cada par-tido se elimina a uno de los contrincantes.

Como puedes apreciar, en un torneo de tenis se aplican las progresio-nes geométricas de razón ½.

Adaptado de: http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u5/M3_U5_contenidos/4_progresiones_cotidianas.html

136

TIC

Notas• Las cantidades en miles deben ingresarse con el punto cada tres períodos.• Para el símbolo de dólares vas a formato de celda, moneda, símbolo y

seleccionas: $ Español (Ecuador).• Para no modificar un valor, seleccionas la celda y oprimes F4.

Préstamo con cuotas crecientes en progresión aritméticaUn préstamo en cuota creciente en progresión aritmética determina una cuota igual a la anterior, más una cantidad fija determinada.

Vamos a utilizar una hoja de cálculo (en este caso, una hoja Excel) para resolver el siguiente problema.

Se trata de determinar cuál es la cuota anual que debe pagar una perso-na por un préstamo de $ 50 000, con una cuota creciente en progresión aritmética de $ 500 durante 10 años, y un préstamo postpagable (es de-cir que la persona debe ir pagando al final del período).

1. Ingresa los datos en una hoja de cálculo.

2. Determina los parámetros que se calcularán.

3. En la columna Capital Vivo se coloca el valor del préstamo. Da clic en C7, escribe =. Da clic en B1 y aparecerá el valor del préstamo.

4. El período 1 es el final del período 0 que es igual al capital vivo + capital vivo por el interés, menos el valor de la cuota. Da clic en C8, escribe:

= C7 + (C7*$B$2) – B8 y opri-me el botón Enter. Aparece en el período 2 el capital vivo. Arrastra hasta el período 10.

137

7. Como puedes apreciar en el período 10, el Capital Vivo debería ser 0, pero no lo es. Por ello, corregimos el último valor de la siguiente manera:

6. El cálculo de la cuota 2 es la cuota anterior más $ 500 fijos.

Da clic en B9, escribe: = B8 + $B$3. Luego, oprime

el botón Enter. Aparecerá la cuota 2. Arrastra con el cursor hasta el período 10.

5. Para el caso del período 1, suponemos una cuota de $ 1.

8. Ingresa a Datos, Análisis y si. Luego, da clic en Buscar objetivo.

10. La hoja de cálculo te da el estado de búsqueda y la solución.

11. Aparece la hoja de cálculo, en la cual la cuota está en progre-sión aritmética con crecimien-to constante de $ 500.

9. En Buscar objetivo, selecciona la celda de Capital Vivo que corresponde al período 10. En Definir la celda escribe $C$17, en Con el valor va cero (0) y Para cambiar la celda, selecciona aquella en la que se colocó el valor supuesto (en este caso, 1 en la celda B8). Da clic en Aceptar.

138

Desafíos y proyectos matemáticosTema: Simulación de préstamos bancarios con progresiones aritméticas

JustificaciónCuando una persona quiere comprar un bien inmueble (como, por ejemplo, una casa o un terreno), muchas veces accede a los bancos para adquirir un préstamo. En ocasiones, se utilizan progresiones aritméticas para calcular las cuotas, las cuales pueden ser crecientes en razón de una cantidad fija que se incrementa en cada anualidad o período de liquidación. Esto hace que la cuota no solo varíe en función del tipo de interés devengado en cada momento, sino que, además, año a año su importe se incremente en función de la diferencia de la progresión.

Objetivos

• Utilizar una hoja de cálculo para realizar simulaciones de présta-mos bancarios y de préstamos con cuotas crecientes en progresio-nes aritméticas.

Actividades

• Grupos de 2 o 3 personas.• Organizar una feria de bienes inmuebles, donde los estudiantes

puedan simular la compra de casas, departamentos o terrenos.• Averiguar, en los diarios impresos o en las inmobiliarias, los costos

de las viviendas y los terrenos para así trabajar con datos reales. • Adicionalmente, averiguar en las entidades bancarias el porcentaje

de interés anual que cobran por los préstamos que realizan.• Los estudiantes deben tener una hoja de cálculo en una tablet o

en una computadora, como la que se desarrolló en la sección TIC de este libro.

• Invitar a otros estudiantes y a padres de familia a la feria de bienes inmuebles. Cada grupo de la inmobiliaria estará en capacidad de calcular la cuota creciente en progresión aritmética por el valor otorgado. Para ello, deben utilizar la hoja de cálculo desarrollada anteriormente.

ConclusionesCoevaluar y autoevaluar la ejecución de esta actividad.

Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyecto por parte de los estudiantes, y cómo se sintieron con la ejecución de este. Por ello, al término de la actividad, se puede establecer un diálogo para conversar acerca de cómo se sintieron al realizar este proyecto.

Recursos• Sala de computación o

tablets con el paquete de Excel

• Espacio físico para desa-rrollar la feria de bienes inmuebles

Shut

ters

tock

, (20

20).

4002

4666

3

Servicios bancarios. p

138

Desafíos y proyectos matemáticos

139

En síntesis

Álgebr

a y fu

ncione

s

Estadí

stica y

proba

bilidad

Prob

abili

dade

s

Varia

bles

ale

ator

ias

Varia

ble

alea

toria

disc

reta

Suce

sione

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nida

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r rec

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onas

Func

ión

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roba

bilid

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Func

ión

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n

Prog

resio

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ritm

étic

as

Cál

culo

de

térm

inos

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una

prog

resió

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Sum

a de

n té

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Prog

resio

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as

Cál

culo

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prog

resió

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Sum

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térm

inos

Med

ia, v

aria

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Shutterstock, (2020). 95036140

Shutterstock, (2020). 604850642

Apl

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Suce

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a re

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Din

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pp

Jueg

os d

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ar.

Evaluación sumativa

140

Considera la sucesión (pm

) definida como

pm

= 1 024 –2m , m N. Calcula los tres primeros términos de esta sucesión finita y el conjunto en el que está bien definida..

Se toma el conjunto formado por los elementos 4, 5, 6 y se forman pares ordenados que son el resultado de las posibles combinaciones. Se obtiene el espacio muestral de 9 elementos de la siguiente forma:

S = (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Se define la variable aleatoria X = “suma de los dos números”.

En cada ítem se define el término general de una sucesión (a

k). Calcula los prime-

ros 5 términos. A continuación, indica el recorrido de la sucesión y traza su gráfica.

En cada ítem se dan los tres primeros términos de una progresión geométrica (a


progresión, verifica su resultado con el quinto término y calcula el término a

m

que se indica.

La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7 651. ¿Cuáles son el primero y el séptimo término?

¿Qué cantidad de dinero se obtiene si se colocan en una cuenta $ 5 000 al 6 % de interés anual compuesto, durante 10 años? Recuerda que para determinar la razón utilizas: r = 1 + i/100, donde i es el interés y r es la razón.

En cada ítem se dan los tres primeros términos de una progresión aritmética (a


progresión, verifica su resultado con el tercer término, y calcula el término a

m

que se indica.

Sean (um

) una progresión aritmética y E = u

m | m N el recorrido de dicha

progresión, verifica la suma Sm

de los primeros términos que se indican.

M.5.4.1. Identifica las sucesiones según sus caracterís-ticas y halla los parámetros desconocidos; aplica pro-gresiones en situaciones cotidianas, y analiza el sistema financiero local, apreciando la importancia de estos co-nocimientos para la toma de decisiones asertivas. (J.2.)

I.M.5.10.2. Identifica variables aleatorias discre-tas y halla la media, varianza y desviación típica, para emplearlas en la resolución de problemas cotidianos y en el cálculo de probabilidades; realiza gráficos con el apoyo de las TIC. (I.3.)

1

8

2

5

6

7

3

4

Heteroevaluación

a) ak = , k N.

a) – , 0, , …, a30

=

a) E = + m | m N , S100

= .a) Determina la función de distribución.b) Encuentra el valor esperado E(X).c) Calcula la Var(X).d) Obtén la desviación típica.b) E = 1 – m 2 | m N , S

8 = 4(2 – 7 2 ).

b) –2, –7, –12, …, a15 =

c) 0,1; 0,4; 0,7; …; a25

=

b) ak = , k Z+.

c) ak = 1 +(–1)k + 2(–1)k + 1, k N.

d) ak = 1 – 2(–1)k + 3(–1)k – 4(–1)k – 1, k N.

32 + (–1)k

23

23

15

3 1703

23

1 + (–1)k

2k

a) 4, 12, 36,… a10

=

c) 8, 4, 2, 1, , … a10

=

b) 1, , ,… a8 =3

212

94

141

a) ¿En qué situaciones reales utilizas progresiones? ____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Para qué te sirve el cálculo de probabilidades? ____________________________________________________________________________________________________

Autoevaluación

Coevaluación

Siempre A veces Nunca

Identifico las sucesiones según sus características.

Aplico progresiones para resolver situaciones cotidianas.

Utilizo progresiones para resolver problemas financieros.

Empleo variables aleatorias discretas para el cálculo de probabilidades.


Al trabajar en equipo todos aportamos con ideas para solucionar problemas.

Trabajar en equipo no permitió conocernos mejor y socializar nuestras ideas.

Metacognición

Considera la sucesión (pm

) definida como p

m = 1 024 –2m . Determina el dominio

o conjunto de salida I de esta sucesión.

¿Cuál es la suma de los números impares comprendidos entre 100 y 200?

¿Cuál es la fracción generatriz de 0,181 818…?

¿Cuál es el valor de a para que los tér-minos a + 2, 3a + 2, 9a – 2 formen una progresión geométrica?

Se define el término general de una suce-sión real. Los primeros cuatro términos de la sucesión

tm

= , m Z+, m ≥ 4

son:

9

11

13

12

10

Resuelve cada ejercicio y selecciona la res-puesta correcta.

a) 7 000.b) 7 500.

c) 7 400.d) 7 600.

a) 0.b) 1.

c) 2.d) 3.

a) .

b) .

c) .

d) .

a) 𝐼 = m N | 0 ≤ m ≤ 10.b) 𝐼 = m N | 2 ≤ m ≤ 10.c) 𝐼 = m N | 0 ≤ m ≤ 8.d) 𝐼 = m N | 2 ≤ m ≤ 12.

a) 5, 20, 45, 80

b) , , 3 ,

c) 40, 125, 3, 49

d) , , ,

5m2

(m – 1)(m – 2)(m – 3)

403

403

35

4924

496

12524

254

181009

50

2111890

142

Observa y contesta

• ¿Qué cálculos matemáticos se requieren para la construcción de una represa?

• ¿Será posible el logro de megaconstruc-ciones sin cálculos matemáticos especí-ficos como del cálculo diferencial?

Dos problemas básicos del cálculo diferencial e integral

E

l cálculo diferencial surgió de las ideas del matemático francés Pierre Fermat que trató de resolver el problema del cálculo

de los valores extremos (máximos y mínimos) de una función. Los esfuerzos realizados por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) son los que permitieron ligar los problemas del cálculo del área bajo una curva y de la tangente a la gráfica de una curva en un punto dado de esta, dando lugar al cálculo diferencial e integral. En la actualidad, el cálculo diferencial e inte-gral no solo constituye un instrumento de cál-culo en las ciencias y la técnica, es también un conjunto de ideas y problemas que han sido objeto de estudio como parte del pensamien-to humano. Forman parte del lenguaje con el que muchas leyes y principios se expresan en forma matemática. Son la base para el desa-rrollo de otras áreas de la matemática, de la física, la química, la biología, las ciencias eco-nómicas y sociales, y las distintas ramas de la ingeniería y de la industria.

Tomado de Iniciación al Cálculo Diferencial e Integral, (Benalcázar, 2017)

Derivadas de funciones polinomiales de grado ≤ 4 y de funciones racionales

143

un idad4

Objetivos• O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a

situaciones concretas de la realidad nacio-nal y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estra-tegias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto.

• O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, sim-bólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar de-cisiones con responsabilidad social.

• O.G.M.3. Desarrollar estrategias individua-les y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.

• O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra-zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali-dez de los resultados.


Bloques curricularesÁlgebra y funciones

Flav

io M

uñoz

M., (

2011

). Co

lecc

ion

Rally

San

golq

uíCe

ntra

l Hid

roel

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Coca

Cod

o Si

ncla

ir, (2

020)

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w.fl

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ergi

aecu

ador

144

DCCD: M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de grado ≤ 4 a partir del cociente incremental.

Cociente incrementalAsumimos, sin demostración, que las funciones polinomiales de gra-do ≤ 4 son funciones continuas. Con esta premisa, las nociones que introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que se dan en el cálculo diferencial.

Definición. Sea x, y R. La distancia de x a y se denota d(x, y), y se lee “distancia de x a y”. Se define como d(x, y) = |x – y|. De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números reales, tenemos:

d(x, y) = x – y, si x ≥ y,d(x, y) = y – x, si x < y.

A la distancia entre dos números reales arriba definida la denomina-remos métrica usual en R, y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales. Sea 0 < δ < 1, x, y R, se dice que y es próximo a x respecto de δ si y solo si se verifica

d(x, y) = |x – y| < δ.

En primer año de BGU se estudió, de forma intuitiva, la derivada de funciones cuadráticas, llamadas también funciones polinomiales de grado ≤ 2. En esta sección, continuamos con la metodología ahí establecida para funciones polinomiales de la forma:

p(x) = a0 + a

1x + a

2x2 + a

3x3 + a

4x4, ∀x R,

donde a

0, a

1, a

2, a

3 R fijos. El conjunto de todas las funciones poli-

nomiales de grado ≤ 4 con coeficientes reales se denota con P4[R]. Se

tiene la siguiente equivalencia:

p P4 [R] ∃a

0, a

1, a

2, a

3, a

4 R,

tal que p(x) = a0 + a

1x + a

2x2 + a

3x3 + a

4x4, ∀x R.

Recordemos que P

4[R], con las operaciones habituales de adición y

producto de polinomios por números reales, es un espacio vectorial real.

Definición. Sean p P4 [R], a

R fijo, h

R, tal que h ≠ 0. El co-

ciente incremental de la función polinomial p en el punto a se denota Q(h) y se define como sigue:

Q(h) = .

En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños; esto es, si 0 < δ < 1, 0 < |h| < δ. Este cociente incremental tiene muchas aplicaciones, y es un paso previo al cálculo de la derivada de una función.

Saberes previos

¿Cómo explicas qué es una función continua?


¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del cociente incre-mental?

Recuerda que…

Los conceptos de límite y continuidad son la base del estudio del cálculo diferencial del que aquí se dan los primeros pasos. Comencemos primera-mente observando el significa-do más próximo al matemático de la palabra “límite”, según el diccionario de la lengua españo-la. Encontramos, entonces, los siguientes: “término”, “fin”, “ex-tremo”, “confinante”, “ aledaño”, “línea que separa dos terrenos contiguos”, “punto del cual no se puede extender una acción, una influencia, un estado”.

De la palabra “continuo”, encontramos los siguientes significados: “sin interrupción en el tiempo o en el espacio”, “que se hace o se extiende sin interrupción”, “todo compues-to de partes unidas entre sí”, “incesante”.

En cuanto a la palabra “con-tinuidad”, se tiene el siguiente significado: “calidad o condición de las funciones o transforma-ciones continuas”.

Intuitivamente, la palabra “límite” en matemática debe ser asociada a las ideas de proximidad, ten-dencia, aproximación y esta, a su vez, debe asociarse a la idea de cercanía a un punto, a un valor numérico, o también de tenden-cia a alejarse como se quiera.

p(a + h) – p(a)h

145

Derivada de la función cuadrática Sean a, b, c R con a ≠ 0. La función cuadrática está definida como:

f(x) = ax2 + bx + c, x R.

Calculemos (x) o f '(x). Para el efecto, estudiemos el límite del

cociente incremental. Para x R y h ≠ 0, de la definición de la fun-ción f, se tiene:

f(x + h) = a(x + h)2 + b(x + h) + c = a(x2 + 2xh + h2) + b(x + h) + c = ax2 + 2axh + ah2 + bx + bh + c = ax2 + bx + c + h(2ax + b + ah) = f(x) + h(2ax + b + ah).

Luego, = = 2ax + b + ah.

Como a es constante, es claro que para |h| suficientemente pequeño, ah también lo es. Entonces,

lím = lím = 2ax + b,

Así, f'(x) = lím = 2ax + b.

Conclusión: f(x) = ax2 + bx + c, ∀x R, f'(x) = 2ax + b.

Ejercicios resueltos

1. Para f(x) = x2, ∀x R, (x) = 2x. Para x = –1, se tiene f '(–1) = 2.

2. Para f(x) = 10x2 – 3x + 1, ∀x R, (x) = 20x – 3.

Para x = 0,4, (0,4) = 5.

3. f(x) = –7x2 + 9, ∀x R, (x) = –14x, (0) = 0.

4. f(x) = – x2 + 0,1x, (x) = –5x + 0,1, = 0.

Recuerda que…

Recuerda que…

De la función polinomial tenemos, entre otros, estos tres tipos:

Lineal, definida porf(x) = mx + b, x R.

Cuadrática, definida porf(x) = ax2 + bx + c, x R.

Cúbica, definida porf(x) = x3 + bx + c, x R.

De la derivada primera obtenemos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y los posibles máximos y mínimos relativos.

El límitelím ,

se usa para definir la derivada de una función de f en x. Si el límite existe,

este y se denota con f'(x) o también con (x). Esto se lee "f prima de x".

f'(x) = lím .


Visita esta página para conocer más sobre el cálculo de funciones derivadas:

bit.ly/2XUMlfV


Sean x, y R. La distan-cia de x a y se denota d(x, y), y se lee “distancia de x a y".

El conjunto de todas las fun-ciones polinomiales de grado ≤ 4 con coeficientes reales se denota con P

4[R].

El cociente incremental de la función polinomial p en el pun-to a se denota Q(h). Cuando p P

4[R], a R fijo, h R, tal

que h ≠ 0.

dfdx

f(x + h) – f(x)h

f(x + h) – f(x)h

f(x + h) – f(x)h

h(2ax + b + ah)h

h(2ax + b + ah)h

h→0

h→0

h→0

dfdx

dfdx

dfdx

dfdx

dfdx

dfdx

dfdx

dfdx

52

150

f(x + h) – f(x)h

f(x + h) – f(x)h

h→0

h→0

146

Cociente incrementalSea p la función polinomial definida como p(x) = 2x3 – 1 con x R. Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, se tiene

p(–2) = 2 · (–2)3 – 1 = –17,

p(–2 + h) = 2(–2 + h)3 – 1 = –17 + 24h – 12h2 + 2h3.

El cociente incremental está definido como

Q(h) = = =

24 – 12h + 2h2, h ≠ 0.

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 24. Calculemos la distancia de 24 a Q(h), esto es, d(24, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene

d(24, Q(h)) = |24 – Q(h)| = |24 – (24 – 12h + 2h2)| = |12h – 2h2|.

Por la desigualdad triangular, se tiene

d(24, Q(h)) = |12h – 2h2| ≤ 12|h| + 2h2.

Notemos que si 0 < |h| < 1, entonces 0 < h2 ≤ |h| < 1. Luego,

0 < 12|h| + 2h2 < 1 siempre que 0 < |h| < . Así

d(24, Q(h)) = |12h – 2h2| ≤ 12|h| + 2h2 < 1 siempre que 0 < |h| < 1,es decir, d(24, Q(h)) puede hacerse tan pequeño como se quiera, to-mando valores de |h| cada vez más cercanos a 0. En estas condiciones, se dice que Q(h) se aproxima tanto como se quiera a 24. Se escribe

lím Q(h) = lím = lím(24 – 12h + 2h2) = 24,

que se lee “límite del cociente incremental igual a 24 cuando h tiende a 0”. A este valor se le llama derivada de la función p en el punto

x = –2, y se escribe (–2) = 24, o también, p'(–2) = 24.

Ejercicio resuelto1. Sean c R con c ≠ 0 y p la función polinomial definida por p(x) = cx4 + 2x – 5, ∀x R. Sea a R, calculemos el cociente

incremental Q(h) para h R, tal que h ≠ 0.

Q(h) = =

=

=

= c(4a3 + 6a2h + 4ah2 + h3) + 2, h ≠ 0.

Para c = y a = 2, se tiene

Q(h) = = (32 + 24h + 8h2 + h3) + 2, h ≠ 0.

Recuerda que…

Dada una función f definida en un subconjunto A de R, esta es derivable en x A si y solo si existe

lím .

En tal caso, este límite es notado

(x), f'(x) llamado derivada

de f en x.

El proceso de cálculo de la derivada consiste en formar el cociente incremental:

,

donde x A, h R con h ≠ 0, x + h A.

A continuación, se realizan los cálculos pertinentes en el cociente incremental, para simplificar. Luego se hace |h| suficientemente pequeño, y se calcula

lím .

Al cociente incremental se le denomina también tasa de variación de la función f en x.

El análisis de la función, el cálcu-lo de su derivada, la aplicación de la derivada al trazado de su gráfica, la aplicación al cálculo de valores extremos, entre otros, se estudian en el cálculo diferencial.


Las notaciones que se usan más comúnmente para denotar la derivada de una función son:

, y', [f(x)] , ,

Dxf, D

xy, f'(x).

Y se lee como “derivada de la función y con respecto a x".

p(–2 + h) – p(–2)h

p(a + h) – p(a)h

–17 + 24h – 12h2 + 2h3 + 17h

c(a + h)4 + 2(a + h) – 5 – (ca4 + 2a – 5)h

c(a4 + 4a3h + 6a2h2 + 4ah3 + h4) + 2a + 2h – 5 – ca4 – 2a + 5h

ch(4a3 + 6a2h + 4ah2 + h3) + 2hh

114

p(–2 + h) – p(–2)hh→0 h→0 h→0

dpdx

dydx

ddx

df(x)dx

f(x + h) – f(x)h

f(x + h) – f(x)h

f(x + h) – f(x)h

h→0

h→0

dfdx

14

14

p(2 + h) – p(2)h

147

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 10. Calculemos la distancia de 10 a Q(h), esto es, d(10, Q(h)), h ≠ 0. Se tiene

d(10, Q(h)) = |Q(h) – 10| = | (32 + 24h + 8h2 + h3) + 2 – 10| =

|6h + 2h2 + h3| , h ≠ 0.

Observamos que para |h| no nulo y suficientemente pequeño,

|h| < 1, d(10, Q(h)) = |6h + 2h2 + h3 | es también suficientemente

pequeño. En efecto, sea ε > 0. Entonces, como 0 < |h3| < h2 ≤ |h|, y por la desigualdad triangular, se tiene

d(10, Q(h)) = |6h + 2h2 + h3| ≤ 6|h| + 2h2 + |h|3 < |h| < ε,

de donde 0 < |h| < . Así, 0 < |h| < d(10, Q(h)) < ε, que significa que

lím = lím (32 + 24h + 8h2 + h3) + 2 = 10.

A este número real se le llama derivada de la función p en el punto

x = 2. Se escribe (2) = 10.

2. Sea p la función polinomial definida como p(x) = 12 – x4, ∀x R. Calculemos el cociente incremental Q(h) con h R \ 0 y encon-

tremos la derivada en a = 2.

Sea a R, calculemos el cociente incremental Q(h) para h R, tal que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del cociente incremental se tiene

Q(h) = =

= = –4a3 – 6a2h – 4ah2 – h3; h ≠ 0.

Para a = 2, se tiene:

Q(h) = = –4(2)3 – 6(2)2h – 4(2)h2 – h3, h ≠ 0.

Para valores de |h| no nulos y cada vez más próximos a = 2, el cociente incremental se aproxima cada vez a –32.

lím Q(h) = lím =

lím(–4(2)3 – 6(2)2h – 4(2)h2 – h3) = –32,

que se lee "límite del cociente incremental igual a –32 cuando h tiende a 0". Es decir, la derivada de la función p en el punto x = 2

que se escribe (2) = –32.


Matemática e HistoriaEl concepto de derivada de una función real contiene la exis-tencia del límite del cociente incremental y sus aplicaciones. Una de las primeras fue hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una curva en un punto asignado.

Los primeros trabajos en esta dirección fueron realizados por Fermat, Newton, Leibniz entre otros, pero, fue Fermat quién obtuvo un método para hallar la ecuación de la recta tangente a una curva definida por una función polinomial mediante el análisis del cociente incre-mental.

El modelo de la derivada de una función real de una sola variable real, como límite de la tasa de variación, no ha sido superado hasta la actualidad a pesar de los grandes esfuerzos realizados por muchos matemáticos en el estudio de funciones.

En la actualidad el cálculo dife-rencial tiene gran importancia en aplicaciones prácticas como en procesos cognitivos y desa-rrollo de las ciencias en forma transversal.

14

14

14

14

14

334

4ε33

4ε33

p(2 + h) – p(2)hh→0 h→0

14

dpdx

p(a + h) – p(a)h

p(a + h) – p(a)h

p(–2 + h) – p(–2)h

12 – (a + h)4 – (12 – a4)h

h(–4a3 – 6a2h – 4ah2 – h3)h

h→0 h→0

h→0

dpdx

Glosario

derivada. Valor límite de la relación entre el incremento del valor de una función y el incremento de la variable inde-pendiente, cuando estetiende a cero.

acb

Taller práctico

148

Para los valores de h, tal que | h | ≤ 0,2, calculap = –2 – | h |, q = –2 + 4h2,r = –2 – h + 10h3.

2

a) Para h suficientemente pequeño, ¿son

h2 y h2 – h suficientemente pequeños?

Justifica tu respuesta.

a) Para h suficientemente pequeño, ¿a qué número real tiende –2h2? Analiza de modo similar para 4h3.

b) Calcula las distancias d(0, –2h2), d(0, 4h3) y muestra los resultados en una tabla.

¿Qué puedes decir acerca de los resultados?

a) Para h < 0 y que se aproxima a cero, calcula p = –2 – |h|, q = –2 + 4h2,

r = –2 – h + 10h3. ¿Tienden todos a –2?

b) Calcula las distancias d(–2, p), d(–2, q) y d(–2, r). Muestra los resultados en una tabla. ¿Qué puedes decir acerca de los resultados?

Estos ejercicios requieren el uso de una cal-culadora científica.

Completa la siguiente tabla:

DCCD. M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de gra-do ≤ 4 a partir del cociente incremental.

1

h h2 h2 – h

0,2

0,1

0,012

0,001 2

0,000 03

12

h –2h2 4h3

0,1

–0,04

0,004

–0,000 4

0,000 04

–0,000 004

h – 1 – 2h2 – 1 + 4h2

0,1

–0,05

0,005

–0,000 2

0,000 03

–0,000 001

h p = –2 –|h| q = –2 +4h2 r = –2 – h + 10h3

–0,2

–0,015

–0,002 2

–0,000 33

–0,000 002

12

Para los valores de h, tal que |h| ≤ 0,1, calcula –2h2, 4h3.

Para los valores de h, tal que |h| ≤ 0,1, calcula – 1 – 2h2, – 1 + 4h3.

3

4

149


Al trabajar con estudiantes que tienen dificulta-des de comunicación se debe crear situaciones en las que pueda practicar el nuevo vocabulario que se va empleando.


Calcula tres números reales A, B, C sobre [–0,3; 0,3]. Para valores |h| ≤ 0,3 que se dan en la tabla.

7


Considera que ε = 0,05, h R. En cada ítem se define un número real S. Mues-tra que se satisface la desigualdad |S| < ε cuando |h| satisface la desigualdad que se indica; o sea, |h| es pequeño, entonces |S| es también pequeño respecto de ε. Ten presente que si 0 < t < 1, entonces t4 < t3 < t2 < t.

Considera la función polinomial p defi-nida como p(x) = –3 – x3, ∀x R.

Calcula el cociente incremental Q(h), con h R \ 0.

56

a) ¿Qué puedes decir acerca de los resultados?

a) Calculen: A = 0,5 – h2, B = 0,5 + h2, C = 0,5 – h2.

b) Calculen las distancias d = (0, 5, A), d = (0, 5, B), d = (0, 5, C) y muestren los

resultados en la tabla.

c) Analicen y respondan. ¿A qué número real tiende A = 0,5 – h2, B = 0,5 + h2,

C = 0,5 – h2?

¿Qué pueden decir de los resultados?

b) Para |h| suficientemente pequeño, ¿a qué número real tiende – 1 – 2h2, – 1 + 4h3? Calcula y justifica tu respuesta en térmi-nos de d(–1, –1 – 2h2) y de d(–1, –1 + 4h3).

a) S = 2h, |h| ≤ 0,012 5.

b) S = h2, |h| ≤ 0,05 , también |h| < 0,05.

c) S = 0,5h2, |h| ≤ 2 0,025 , también |h| < 0,05.

d) S = h3, |h| ≤ 0,025 , también |h| < 0,05.

h A = 0,5 – h2 B = 0,5 + h2 C = 0,5 – h2

0,3

–0,025

0,001 5

–0,000 05

–0,000 002

14

12

14

150

Interpretación geométrica del cociente incremental y de la derivada

DCCD: M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC.M.5.1.51. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones racionales cuyos numeradores y denominadores sean polinomios de grado ≤2, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets). M.5.1.52. Resolver aplicaciones reales o hipotéticas con ayuda de las derivadas de funciones polinomiales de grado ≤4 y de funciones racionales cuyos numeradores y denominadores sean polinomios de grado ≤2, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

Saberes previos

¿Cuál es la ecuación cartesiana de la recta a partir de dos puntos dados? ¿Cuál es la pendiente de dicha recta?


¿Cómo interpretas geométricamente a la derivada?


En ocasiones en la vida nos enfrentamos a problemas que requieren un mejor modo de realizar las cosas. Por ejem-plo un agricultor siempre trata de escoger la mejor mezcla de cultivos de tal manera que sea la más apropiada para aprove-char el suelo. Algunas veces un problema de esta naturaleza implica el uso de la derivada para su solución.

Min

ister

io d

e A

gric

ultu

ra y

Gan

ader

ia E

cuad

or, (

202

0). w

ww

.flirc

k.co

m

Sean f P4[R], a R, fijo y h R, tal que h ≠ 0. El grafo de la fun-

ción f es el conjunto definido como G(f) = (x, f(x)) | x R. Consideramos dos puntos del grafo de f: P

0 = (a, f(a)), al que lo mante-

nemos fijo, y P = (a + h, f(a + h)), que variará conforme |h| tienda (se aproxime) a cero. Determinemos la ecuación cartesiana de la recta L

h

que pasa por estos dos puntos. La ecuación cartesiana de la recta que pasa por los puntos P

0 = (a, f(a)) y P = (a + h, f(a + h)) está definida

como el conjunto de puntos que satisfacen la condición: (x, y) R2, tales que y – f(a) = Q(h)(x – a), con h ≠ 0.

Observamos que la pendiente de la recta es el cociente incremental

Q(h) que se define como: Q(h) = , h ≠ 0.

Luego, la ecuación cartesiana de la recta Lh se escribe como (x, y) R2,

tal que y – f(a) = (x – a), con h ≠ 0.

En la Figura 4.1. se muestran las posiciones de los puntos P

1, P

2,

P3, P

4, …, que corresponden a

valores de h > 0 que tienden o se aproximan a 0. También se muestran las posiciones de las rectas L

h(1), L

h(2), L

h(3), …, que pasan

por el punto P0 y por cada uno

de los puntos P2, P

3, P

4, …, res-

pectivamente, y la recta tangen-te L a la gráfica de la función f.

Para |h| que tiende a 0, los puntos P1, P

2, P

3, P

4, … se aproximan cada

vez más a P0 = (a, f(a)), y las pendientes de las rectas L

h(1), L

h(2), L

h(3), …

se aproximan cada vez más a la pendiente m de la recta L. En tal caso se escribe

m = lím Q(h) = lím = .

Así, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función

polinomial f en el punto x = a es (a). La ecuación cartesiana de la

recta tangente a la gráfica de la función f está definida como:

(x, y) R2, tal que y – f(a) = (x – a).

f(a + h) – f(a)h

f(a + h) – f(a)h

h→0 h→0

f(a + h) – f(a)h

df(a)dx

df(a)dx

dfdx

0

y

x

f(a)

a+h1

a+h4

P0

P1

L

L(3)h

L(2)h

L(1)h

Lh

P2

P3

P4

f(a+h4)

f(a+h1)

p Figura 4.1.

151

Análisis de funciones polinomiales de grado ≤ 4Definición. Sean p P

4[R].

i) Se dice que p es par, si y solo si se verifica la condición:

p(–x) = p(x), ∀x R.

ii) Se dice que p es impar, si y solo si se verifica la condición:

p(–x) = –p(x), ∀x R.

Ejercicios resueltos1. La función p, definida como p(x) = –x4 + 5x2 –1, ∀x R, es una

función par. En efecto, p(–x) = –(–x)4 + 5(–x)2 – 1 = –x4 + 5x2 – 1 = p(x), ∀x R.

2. La función u, definida como u(x) = x3 – 2x, ∀x R, es una fun-ción impar. En efecto,

u(–x) = (–x)3 – 2(–x) = –(x3 – 2x) = –u(x), ∀x R.

Definición. Sean p P4[R], A R, no vacío.

i) Se dice que p es estrictamente creciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v A, u < v ⇒ p(u) < p(v).

ii) Se dice que p es creciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v A, u < v ⇒ p(u) ≤ p(v).

iii) Se dice que p es estrictamente decreciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v A, u < v ⇒ p(u) > p(v).

iv) Se dice que p es decreciente en el conjunto A, si y solo si se verifica la condición:

∀u, v A, u < v ⇒ p(u) ≥ p(v).

v) Se dice que p es monótona en el conjunto A, si allí p es creciente o decreciente.

En cursos más avanzados se demuestra que una función p es estric-

tamente creciente en el conjunto A, si y solo si > 0, ∀x A.

De manera similar, p es estrictamente decreciente en el conjunto A,

si y solo si < 0, ∀x A.

La función p es creciente en el conjunto A, si y solo si

≥ 0, ∀x A; y, p es decreciente en el conjunto A, si y solo si

≤ 0, ∀x A.


Matemática y físicaPara resolver diversos proble-mas vinculados al movimien-to de los cuerpos, así como problemas de tipo geométrico en el ámbito de la óptica, utili-zamos el cálculo de derivadas y los valores máximos y mínimos de una función.

La derivada de una función puede interpretarse geométri-camente como la pendiente de una curva, y físicamente, como una razón instantánea de cambio.

Recuerda que…

Uno de los temas de interés del cálculo diferencial de funciones reales de una sola variable es el análisis de la varia-ción de la función. Esto significa que con cada función se debe realizar el estudio de la determi-nación de los subconjuntos del conjunto de salida en los que la función es creciente, decre-ciente, así como los valores extremos de la función, es decir, la existencia de los máximos o mínimos locales, máximos o mínimos globales, paridad de la función, e intersección de la gráfica de la función con los ejes coordenados.

df(x)dx

df(x)dx

df(x)dx

df(x)dx

Shut

ters

tock

, (20

20).

3779

8613

2

p Lente de cámara.

152

Definición. Sean p P4[R], c R. Se dice que c es un punto

crítico de la función p, si = 0.

La búsqueda de puntos críticos de una función p conduce a resolver

ecuaciones de la forma = 0.

Estos puntos tienen mucho interés en las aplicaciones.

Definición. Sean p P4[R], A R, no vacío, c A.

i) Se dice que p(c) es un mínimo local de la función p, si y solo si p(c) ≤ p(x), ∀x A.ii) Se dice que p(c) es un máximo local de la función p, si y solo si p(c) ≥ p(x), ∀x A.iii) Se dice que p(c) es un valor extremo local, si y solo si este es máxi-

mo o mínimo local en el conjunto A.

La determinación de extremos locales conduce a la resolución de ecuaciones e inecuaciones.

Definición. Sean p P4[R], c R.

i) Se dice que p(c) es un mínimo global de la función p, si y solo si p(c) ≤ p(x), ∀x R.ii) Se dice que p(c) es un máximo global de la función p, si y solo si p(c) ≥ p(x), ∀x R.

Ejercicio resueltoSea p la función polinomial definida por

p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1, ∀x R.

Analicemos esta función, es decir, determinemos los intervalos en los que la función es monótona, así como la determinación de los valores extremos locales y globales, y la paridad de la función. Para el efecto, sea x R, calculemos el cociente incremental Q(h) para h R, tal que h ≠ 0. De la definición de la función polinomial p y del cociente incremental, se tiene:

Q(h) = =

=

=

=

= 6x2 + 6x – 36 + 6xh + 2h2 + 3h, h ≠ 0.

Recuerda que…

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática.

Así, sea p la función polinomial definida por

p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1, ∀x R.

La derivada primera es

= p'(x) = 6x2 + 6x – 36,

∀x R.

Si la función p tiene un mínimo global, se escribe

p(c) = mín p(x),

lo que se lee “mínimo de la función p cuando x recorre todo R". Se tiene la siguiente equivalencia:

p(c) = mín p(x) ⇔

p(c) ≤ p(x), ∀x R.

De manera similar, si la función p tiene un máximo global, se escribe

p(c) = máx p(x),

lo que se lee “máximo de la función p cuando x recorre todo R". Se tiene la siguiente equivalencia:

p(c) = máx p(x) ⇔

p(c) ≥ p(x), ∀x R.

dpdx

df(c)dx

df(c)dx

x R

x R

x R

x R

p(x + h) – p(x)h

2(x + h)3 + 3(x + h)2 – 36x + 1 –(2x3 + 3x2 – 6x + 1)h

2(x3 + 3x2h + 3xh2 + h3) + 3(x2 + 2xh + h2) – 36(x + h) + 1 – (2x3 + 3x2 – 36x + 1)h

2h(3x2 + 3xh + h2) – 3h(2x + h) – 36hh

153

Luego,

= lím Q(h) = lím

= lím (6x2 + 6x – 36 + 6xh + 2h2 + 3h) = 6x2 + 6x – 36, ∀x R.

En primer lugar, determinamos los puntos x R en los que = 0.

Se tiene

= 0 ⇔ 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x = –3 ∨ x = 2.

La función p es estrictamente creciente, si y solo si > 0.

Entonces, > 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) > 0 ⇔ x ]–∞, –3[ ]2, ∞[,

y la función es estrictamente decreciente, si y solo si < 0, luego

< 0 ⇔ 6(x + 3)(x – 2) < 0 ⇔ x ]–3, 2[.

Estos resultados se resumen a continuación:

p estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, –3[ ]2, ∞[, p estrictamente decreciente en el intervalo ]–3, 2[.

En el punto x = –3, la función p tiene un máximo local, mientras que en x = 2, la función tiene un mínimo local. Determinemos si este es mínimo global. Para ello, escribimos p(x) como sigue:

p(x) = 2x3 + 3x2 – 36x + 1 = x3 2 + – + , ∀x R.

Para x > 0 suficientemente grande, se tiene que x3 > 0 es mucho más

grande, mientras que , y son positivos y tienden a cero.

Con estas características, decimos que p(x) → ∞, lo que se lee “p(x) tiende a infinito cuando x tiende a infinito”. En forma similar, para x < 0, tal que | x | suficientemente grande, se tiene x3 → –∞

(| x |3 es suficientemente grande), mientras que , y tienden

a cero. Resulta así que p(x) → –∞. En el punto x = 2, la función p tiene un mínimo local, y en el punto x = –3 la función p tiene un máximo local.

Por otro lado, p(0) = 1, es decir que la gráfica de la función p corta al eje y en el punto (0, 1). Para hallar los puntos de corte de la gráfica de p con el eje x, se debe resolver la ecuación en el conjunto R:

p(x) = 0 ⇔ 2x3 + 3x2 – 36x + 1 = 0,

lo cual no es tarea fácil.

La función p no es par, pues p(–x) ≠ p(x), ∀x R; tampoco es impar, ya que p(–x) ≠ –p(x), ∀x R.


Para conocer más sobre derivadas, visita esta página:

bit.ly/2V8Nfsv

dp(a)dx

dp(a)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

h→0 h→0

p(a + h) – p(a)h

3x

3x

3x

1x3

1x3

1x3

36x2

36x2

36x2


Matemática e historiaA través de la historia se reconoce que a finales del siglo XVII y principios del XVIII se dio origen al cálculo diferencial a partir de algunos problemas, por ejemplo, el trazado de la tangente a una curva y las con-diciones para obtener máximos y mínimos, la velocidad de los cuerpos en movimiento, entre otros.

Flav

io M

uñoz

M., (

2020

). Co

lecc

ión

Rally

p Auto de rally.

Glosario

diferencial. Diferencia infinitamente pequeña de una variable.

acb

Taller práctico

154

En cada ítem se indica el valor del límite. Justifica la respuesta en términos de la distancia entre el valor del límite L que se indica, y el que figura dentro del símbolo de límite, que es la función real a la que notamos con S(h).

Esto es, d(S(h), L) = |S(h) – L| < 0,000 1 (*) siempre que |h| < δ , donde 0 < δ < 1 se escoge en forma apropiada de (*). Por ejemplo, lím(5 – 3h + 0,1h2) = 5, pues si

S(h) = 5 – 3h + 0,1h2 para h R, entonces

d(5, S(h)) = |5 – 3h + 0,1h2 – 5| =|–3h + 0,1h2| ≤ 3|h| + 0,1h2 ≤3|h| + 0,1|h| ≤ 3,1|h| < 0,000 1.

De la desigualdadd(5, S(h)) ≤ 3,1|h| ≤ 0,000 1 se obtiene

|h| < = δ. Notemos que |h| < 1.

Así, |h| < = δ ⇒ d(5, S(h)) < 0,000 1,

o sea que si |h| es suficientemente pe-queño, entonces d(5, S(h)) también lo es.

DCCD. M.5.1.48. Interpretar de manera geomé-trica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones po-linomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC.

1

a) lím (–1 + h2) = –1.

b) lím (–2 + h3) = –2.

c) lím (1 – h2) = 1.

a) lím (–1 – h).

b) lím (2 – 2h).

c) lím h2.

d) lím h3.

Encuentra el límite que se indica. Justifi-ca la respuesta en términos de la distancia entre el valor del límite L y el término que figura dentro del símbolo de límite, que es la función real a la que notamos con g(h). Esto es, d(g(h), L) = |g(h) – L| < ε(*) siempre que |h| < δ, donde 0 < δ se esco-ge en forma apropiada de (*).

2

h→0

h→0

h→0

h→0

h→0

h→0

h→0h→0

15

0,000 13,10,000 1

3,1

12541

5

d) lím h3 = 0.h→0

155


Cuando en el aula existen estudiantes con difi-cultades de aprendizaje es conveniente revisar en clase en forma oral las respuestas de las actividades planteadas.

a) lím (0,3 + h2) = 0,3.

a) S(h) = 2h3 – h4, |h| < 0,1.

b) S(h) = –5 h2 + h4 , |h| < 0,02.

b) lím (0,1 – 2h2) = 0,1.

a) Calculen el cociente incremental Q(h) con h R \ 0 y prueben que la derivada es

= –3x2, ∀x R.

Para ello, justifiquen que la distancia

d Q(h)), es suficientemente

pequeña para |h| suficientemente pequeño.

b) Prueben que la función es decreciente y la función no es par o impar.

c) Demuestren que la función es biyectiva.


Consideren la función polinomial p defi-nida como p(x) = –5 – x3, ∀x R.

5


h→0

h→0

Encuentra el límite que se indica y justi-fica la respuesta.

Supón que ɛ = 0,05, h R. En cada ítem se define una función real S. Muestra que se satisface la desigualdad |S(h)| < ɛ cuando |h| satisface la desigualdad que se indica (pueden darse muchas otras desigualdades); o sea, |h| es pequeño, entonces |S(h)| es también pequeño res-pecto de ɛ. Ten presente que si 0 < t < 1, entonces t4 < t3 < t2 < t.

3

4

dp(x)dx

dp(x)dx

710

14

12

c) S(h) = h – 0,4h3, |h| < 0,55.

d) S(h) = 0,1h – 5h2 + h3, |h| < 0,002.

12

12

156

DCCD: M.5.1.49. Interpretar de manera geométrica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC. M.5.1.50. Interpretar de manera física la segunda derivada (aceleración media, aceleración instantánea) de una función polinomial de grado ≤4, para analizar la monotonía, determinar los máximos y mínimos de estas funciones y graficarlas con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).

Interpretación física de la primera y segunda derivadaVelocidad media e instantánea, aceleraciónEn física, en el estudio de la cinemática de un cuerpo, una de las apli-caciones de las derivadas de funciones reales es el cálculo de la velo-cidad y de la aceleración de cuerpos.

Consideremos un automóvil que se mueve en una vía que supone-mos horizontal y recta. El conductor observa un obstáculo en la vía y frena. La función de desplazamiento de este automóvil, medido en metros, está definida como

S(t) = 3 + 15t – 0,5t2 – 0,025t4, t > 0.

Calculamos los desplazamientos en los cinco primeros segundos:

S(1) = 17,475 m, S(2) = 30,6 m, S(3) = 41,475 m, S(4) = 48,6 m, S(5) = 49,875 m.

Calculamos la velocidad v(t) en cada uno de estos instantes. Para el efecto, calculamos la derivada de la función S. Se tiene

v(t) = lím = 15 – t – 0,1t3, t > 0.

Desde el punto de vista físico, la velocidad mide el cambio de despla-zamiento instantáneo. Notemos que la velocidad se mide en

, lo que se abrevia (también en , que se

escribe ). En los automotores se tiene un dispositivo que mide

la velocidad, llamado velocímetro. En el panel de los automotores, la

velocidad a la que este se mueve se marca en . Calculamos

algunos valores de velocidades v(1) = 13,9 , v(2) = 12,2 ,

v(3) = 9,3 , v(4) = 4,6 , v(5) = 2,5 .

Observamos que la velocidad decrece, y que, en casi cinco segundos, el automóvil se detiene, habiendo recorrido aproximadamente 49 m.

La aceleración se denota con a(t) y se define como

a(t) = (t) = lím .

Desde el punto de vista físico, la aceleración mide el cambio de velo-cidad instantáneo. Dado que

v(t) = lím , tenemos que a(t) = (t).

S(t + h) – S(t)h

S(t + h) – S(t)h

v(t + h) – v(t)h

metrossegundos

kilómetroshoras

ms

ms

ms

ms

ms

ms

kmh

kmh

d2Sdt2

dvdt

h→0

h→0

h→0

Saberes previos

¿Cómo calculas la pri-mera derivada de una función polinomial de grado ≤4?


¿Qué aplicaciones tiene la derivada de una función polinomial ≤4?

Recuerda que…

Para funciones polino-miales de grado 2, la derivada de esta función se aplicó a la obtención de la pendiente de la recta tangente a la gráfica del polinomio en un punto asigna-do, al cálculo de velocidades, aceleraciones de cuerpos así, si p es un polinomio de grado 2, a R, se tiene:

m = (a) pendiente,

v(t) = (t) velocidad,

a(t) = (t) aceleración.

Nota que:

a(t) = (v(t))

= = .

dpdxdpdt

ddtddt

dpdt

d2pdt2

d2pdt2

157

La aceleración se mide en , lo que se abrevia .

Para la función de desplazamiento S, se tiene

a(t) = lím

= lím

= lím (–1 – –0,03t2 – 0,3ht – 0,1h2)

= –1 – 0,3t2, t > 0.

Calculamos la aceleración en los primeros cinco segundos:

a(1) = –1,3 , a(2) = –2,2 , a(3) = –3,7 , a(4) = –5,8 ,

a(5) = –8,5 . El signo negativo de la aceleración significa que la velocidad decrece.

Ejercicios resueltosEste ejercicio requiere el uso de una calculadora científica.

1. En una pista larga y recta, un automóvil parte del reposo.

Su velocidad, en , está dada por:

V(t) =

a) Calculamos la velocidad y la aceleración en t = 5 s. Para calcular la velocidad en t = 5 s, reemplazamos este valor en la

primera función.

V(5) = t2;

V(5) = (5)2 = = 12,5 .

Determinamos la aceleración en t = 5 s.

La función V(t) = t2, t ≤ 8 es una función polinómica; por lo

tanto, es derivable en t = 5s.

a(t) = (t) = lím , a(t) = lím

a(t) = lím ; a(t) = t; a(5) = 5 .

b) Constatamos si existe aceleración al instante t = 8. Para ello, se verifica si la función es continua y derivable en 8. Se

comprueba, entonces, que en t = 8 la función es continua pero no derivable.

ms

ms

(metro/segundo)segundo

ms2

v(t + h) – v(t)h

15 – (t + h) – 0,1(t + h)3 – (15 – t – 0,1t3)h

h→0

h→0

h→0

ms2

ms2

ms2

ms2

ms2

t2, si t ≤ 8,

33,6 – 0,2t, si t > 8.

12

1212

12

12

12

252

dvdt

v(t + h) – v(t)h

(t + h)2 – t2

h

t2 + 2th + h2 – t2

h

h→0 h→0

h→0

ms2

Shut

ters

tock

, (20

20).

4583

2513

6

p Nave espacial.


Matemática y fenóme-nos físicosMuchos fenómenos físicos que implican cantidades variables (por ejemplo, la velocidad de un cohete, la devaluación de la moneda por la inflación, el nú-mero de bacterias de un cultivo, la intensidad de un movimien-to telúrico, el voltaje de una señal eléctrica, entre otras) son estudiados en la asignatura de Física y en otras áreas mediante derivadas.

Taller práctico

158

Sea p la función polinomial definida comop(x) = –8x2 + x4, ∀x R.

Sea p la función polinomial definida comop(x) = 100x3 – 3x4, ∀x R.

En cada ítem se define un polinomio p de grado ≤ 4. Calcula el cociente incre-mental Q(h) con h R \ 0, y prueba que la derivada es la que se precisa. Estudia en cada caso la monotonía de la función y la existencia de máximos o mínimos locales y globales. Discute si la función es par o impar.

DCCD. M.5.1.49. Interpretar de manera geomé-trica y física la primera derivada (pendiente de la tangente, velocidad instantánea) de funciones polinomiales de grado ≤4, con apoyo de las TIC.

1

2

3

a) Calcula el cociente incremental y prueba que

= –16x + 4x3, ∀x R.

b) Mediante el cálculo del cociente incremen-tal, prueba que

= –16 + 12x2, ∀x R.

c) Procediendo como en el caso anterior,

muestra que = 24x, ∀x R.

a) Calcula el cociente incremental y prueba que

= 300x2 – 12x3, ∀x R.

b) Mediante el cálculo del cociente incremental,

prueba que = 600x – 36x2, ∀x R.

Estos ejercicios requieren el uso de una cal-culadora científica.

dp(x)dx

dp(x)dx

d2p(x)dx2

d2p(x)dx2

d3p(x)dx3

c) Procediendo como en el caso anterior,

muestra que = 600x – 72x, ∀x R.d3p(x)dx3

a) p(x) = –2x2 + 3x4, ∀x R.

= –4x + 12x3, ∀x R.

b) p(x) = 5x – x4, ∀x R.

= 5 – 4x3, ∀x R.

c) p(x) = 3 – 2x – x3, ∀x R.

= –2 – 3x2, ∀x R.

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

159


Al trabajar en equipo con compañeros con necesidades educativas especiales es necesario explicar con claridad la actividad de aprendizaje y la integración grupal que se persigue.


Sea p la función polinomial definida como p(x) = ax + bx3 + cx5, ∀x R, donde a, b, c R fijos y no todos nulos.

6


Una pista de un aeropuerto tiene una lon-gitud de 3 000 m. Para despegar, un tipo de avión debe alcanzar una velocidad de

al menos 280 en los 30 primeros segundos.

La función de posición viene dada por S(t) = 2t + 0,95t2 + 0,11t3, t [0,60],medida en metros.

En el mismo aeropuerto del ejercicio anterior, un avión de carga debe alcanzar

una velocidad mínima de 216 .

La función de posición está dada por S(t) = 0,05t + 0,2t2 + 0,008t3, t [0, 60],medida en metros.

4

5

a) Prueben que p es una función impar.

b) Demuestren que

= a + 3bx2 + 5cx4, ∀x R.

c) Supongan a > 0, b > 0, c > 0. Prueben que p es estrictamente creciente en todo R.

d) Demuestren que = 6bx + 20cx3, ∀x R.

a) Calcula el tiempo t en el que el avión alcanza la velocidad de 216 .

b) Calcula la distancia recorrida en ese tiem-po y su aceleración.

c) Calcula la distancia recorrida, y la velocidad y aceleración alcanzada al instante t = 60 s.

a) En 30 segundos, ¿alcanza el avión la veloci-dad mínima requerida?

c) ¿Qué aceleración alcanza el avión en 30 segundos?

d) En 40 segundos, ¿qué distancia ha recorri-do? ¿Qué velocidad tiene el avión?

e) ¿A qué distancia del extremo del aeropuer-to se encuentra el avión al minuto de haber iniciado el despegue?

b) Calcula la distancia recorrida en 30 segundos.

kmh

kmh

kmh

dp(x)dx

d2p(x)dx2

160


Aplicación de la regla de la cadena1. El volumen de un cubo de lado l (medido en cm)

está definido como V = l3 en cm3. El área lateral de la superficie del cubo es S = 6 l2 en cm2, donde l > 0 designa la longitud del lado. Se definen dos funciones: una del área de la superficie lateral del cubo y la función volumen del cubo. Las dos fun-ciones son estrictamente crecientes.

S: , V: .

Supongamos que la longitud del lado del cubo es una función del tiempo, esto es,

l : , donde t denota el tiempo.

Se asume que esta función es derivable en cada

t ]0, T[, esto es, (t) = lím .

Nos interesa calcular las tasas de variación (co-cientes incrementales) de las funciones S, y V, así como sus derivadas

(t) = (t), de modo que, conociendo una

de estas tres derivadas, puedan calcularse las otras dos. Es claro que podemos definir las funciones compuestas (Sol)(t), (Vol)(t) como sigue:

S(t) = (Sol)(t) = S(l(t)) = 6l2(t), ∀t [0, T], V(t) = (Vol)(t) = V(l(t)) = l3(t), ∀t [0, T].

i. Calculamos los cocientes incrementales de las funciones S y V.

Sea t [0, T], h R con h ≠ 0, tal que x + h [0, T].

Como la función l es derivable, entonces l(t + h) – l(t) → 0.

Ponemos k = l(t + h) – l(t) ≠ 0, luego l(t + h) = k + l(t),

=

=

=

= 6

= 6

= 6[k + 2l(t)] .

Así, = 6[k + 2l(t)] ,

h ≠ 0.

De manera similar con la función V

=

= [k2 + 3kl(t) + 3l2(t)] , h ≠ 0.

ii. Calculamos la derivada de la función S. Toman-do límites en el cociente incremental, se tiene

= lím

= lím 6[k + 2l(t)] =

= 12l(t) .

Nota que la existencia de una derivada implica la existencia de la otra. Calculamos la derivada de la función V.

= lím

= lím[k2 + 3kl(t) + 3l2(t)]

= 3l2(t) = .

Las relaciones buscadas son

= 12l(t) , ∀t [0, T],

= 3l2(t) , ∀t [0, T]. Supón que el volumen del cubo está aumentando

a razón de 10 cm3/s cuando l(t) = 20 cm. Calcula-mos la razón de cambio del área de la super-

ficie del cubo. Se tiene = 10 , entonces:

10 = 3 × (202) = ,

= 12l(t) = 12 × 20 × = 2 .

Este es un ejemplo de derivación de funciones compuestas, conocido como regla de la cadena.

]0, ∞[ → ]0, ∞[l → S(t) = 6l2

[0, T] → [0, ∞[t → l(t)

]0, ∞[ → ]0, ∞[l → V(t) = l3

dldt

dSdt

dVdt

l(t + h) – l(t)hh→0

h→0

S(t + h) – S(t)h

S(l(t + h)) – S(l(t))h

S(k + l(t)) – S(l(t))h

S(k + l(t))2 – 6l2(t))h

k2 + 2kl(t)k

l(t + h) – l(t)h

kh

S(t + h) – S(t)h

V(t + h) – V(t)h

V(l(t + h)) – V(l(t))h

l(t + h) – l(t)h

l(t + h) – l(t)h

S(t + h) – S(t)h

V(t + h) – V(t)h

l(t + h) – l(t)h

l(t + h) – l(t)h

dS(t)dt

dV(t)dt

dl(t)dt

dS(t)dt

dV(t)dt

dl(t)dt

dl(t)dt

dl(t)dt

dl(t)dt

dVdt

cm3

s

cm2

s

1120

1120

cms

dl(t)dt

h→0

h→0

h→0

h→0

k2 + 2kl(t) + l2(t) – l2(t)h

kk

dS(t)dt

dl(t)dt

161



La matemática en la Ingeriería CivilUn ingeniero o ingeniera civil debe tener dominio de los conceptos que sustentan la resistencia de materiales y los modelos matemáticos del cálculo diferencial para analizar y precisar el comportamiento de los materiales utilizados en la construcción.

El campo de acción de un profesional en Ingeniería Civil es la cons-trucción, la administración de ambientes urbanos, el mantenimiento, control y operación de obras, planificación, diseño, construcción, con-servación y operación de obras civiles, manejo de recursos hídricos y, en general, la organización territorial en lo que respecta a obras civiles.

El entorno de trabajo de un ingeniero o ingeniera civil son las institu-ciones públicas y privadas, donde se desempeñan funciones encami-nadas a atender las necesidades del desarrollo social en términos de planificación, organización, elaboración de proyectos, diseño, cons-trucción y mantenimiento de la infraestructura física requerida en los sectores de comunicación, salud, educación, recreación, turismo e industria, entre otros.

Adaptado de: http://www.epn.edu.ec/wp-content/uploads/2014/07/Catálo-go-de-la-Facultad-de-Ingenier%C3%ADa-Civil-y-Ambiental.pdf

Shut

ters

tock

, (20

20).

2155

6923

4Sh

utte

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ck, (

2020

). 29

1609

950

p Cálculo en la ingeniería.

La matemática y la física¿Qué tiene que ver la matemática con velocidad y tiempo tratados en física?

En física, las derivadas se aplican en aquellos casos en los que es ne-cesario medir velocidades, no solo de un cuerpo sino también de crecimiento, de decrecimiento, de enfriamiento y de separación de fluidos. En general, se puede calcular la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Uno de los múltiples casos es la velocidad instantánea. El concep-to de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo es la deri-vada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto.

Por ejemplo, si la posición de un objeto, en función del tiempo, está dada por la ecuación

x(t) = 2t – 4, su velocidad es la primera derivada x' (t) = 2.

Si la posición de un objeto está determinada por la ecuación

x(t) = –16t2 + 16t + 32, entonces su velocidad es la primera derivada x' (t) = –32t + 16.

p Persona corriendo y medición del tiempo.

162

TICGeoGebra para graficar la derivada de una función ≤ 4GeoGebra es un software dinámico de uso libre. Para comprobar que la derivada de una función es correcta, podemos graficarla con la ayuda de GeoGebra.

Gráfica de funcionesIngresamos la función en la barra de Entrada.

Toma en cuenta la manera de digitar la función. Por ejem-plo, a: f(x)=x3 – 1 deberás digitarla como se observa en la barra de Entrada.

Haces clic y el programa automáticamente muestra la función, tanto en la Vista Algebraica como en la Vista Gráfica.

Revisa la relación de los ejes p. Para ello, haz doble clic sobre la cuadrícula y elige Eje X : Eje Y. La relación es 1:1.

Ahora, define el máximo por mostrar que se evidenciará en los ejes. Haz doble clic sobre la cuadrícula y elige Vista Gráfica.

Para x elige, por ejemplo, Min –1 y Máx 3.Para y elige, por ejemplo, Min –1,5 y Máx 3.

Introduce un punto P, que tenga de coordenadas P = , – .

Para ello, ingresamos las coordenadas en la barra de Entrada.

Ahora, traza la recta tangente a la función en el punto P. Elige la ventana de rectas y selecciona Tangentes. Luego, haz clic sobre la gráfica de la función, en el punto P.

23

78

163

Gráfica de la derivada de una función ≤ 4Ubica otro punto sobre la gráfica de la función. Elige la segunda ventana y selecciona Punto. Luego, haz clic sobre la gráfica de la función. Será el punto A.

Traza rectas paralelas a los ejes x y y, que pasen por los puntos P y A.

Elige la segunda ventana de rectas y selecciona Recta Para-lela. Luego, haz clic sobre cada eje y el respectivo punto.

Encuentra el punto de intersección de las rectas paralelas a los ejes x y y. Será el punto C.

Traza los segmentos PC y AC. Elige la ventana de segmentos y selecciona Segmento. Luego, haz clic sobre los puntos P y C y luego, sobre los puntos A y C. Elige el estilo de los seg-mentos;, puedes colocarlos con línea cortada para identificarlos mejor.

Ahora realiza la razón de cambio, introduce en la barra

de Entrada la razón = .

Traza la secante que pase por los puntos P y A. Esta es la recta secante a la función f(x) = x3 – 1.

Elige la ventana de segmentos y selecciona Recta. Luego, haz clic sobre los puntos P y A.

Al deslizar el punto A sobre la función delta x varía el valor, aproximándose cada vez a cero.

delta xdelta y

164

Desafíos y proyectos matemáticosTema: Cálculo de la resistencia de una viga y cálculo diferencial

JustificaciónEl estudio del cálculo diferencial es muy útil en Ingeniería Civil y en otras áreas. El cálculo de máximos y mínimos a través de la derivada permite conocer las dimensiones de una viga que debe soportar un determinado peso.

Objetivos

• Calcular la máxima resistencia de una viga de madera, en función de sus dimensiones (espesor, ancho, largo).

Actividades

• Formar equipos de trabajo, con no más de tres estudiantes por grupo.• Consultar el concepto de viga —a partir del conocimiento que se

tiene en Ingeniería y Arquitectura— como un elemento estructu-ral lineal que trabaja principalmente a flexión.

• Revisar los elementos y ecuaciones de la elipse.• Calcular la resistencia de una viga de madera, conociendo que está

determinada por la relación directamente proporcional entre su ancho y el cuadrado del espesor. Aplicar el cálculo de máximos y mínimos a partir de la primera derivada.

Toma en cuenta que la viga puede cortarse de un tronco cuya sec-ción transversal es una elipse de semiejes a (mayor) y b (menor).

1. + = 1.

2. R = (2x)(2x)2 = 8xy2, siendo R resistencia, 2x ancho de la viga (a), 2y espesor de la viga (b).

3. b2x2 + a2y2 = a2b2. Multiplicamos la ecuación (1) por a2b2.

4. y2 = b2 – . Despejamos y2 de la ecuación (4).

R = 8xy2 = 8x b2 – . Introducimos ecuación (4) en ecuación (2).

5. R = 8 xb2 – . Introducimos la variable x dentro del paréntesis.

6. = 8 b2 – e igualamos a cero.

Despejamos x de esta ecuación: x = (c).

7. Remplazamos x, y2 = b2 – = b2 y obtenemos y = b (d).

Resultados Ancho de la viga: 2x = 2 . Espesor de la viga: 2y = 2b .

RecomendaciónConsultar más información sobre el uso de derivadas en el cálculo de resistencia de vigas de acero, de madera en estructuras.

Adaptado de: http://es.slideshare.net/michaelpradomacias/ proyecto-clculo-i-definitivo

Recursos• Diseños de la sección

transversal de un tronco de madera.

x2

a2y2

b2

b2x2

a2

b2x2

a2

b2x3

a2

3b2x2

a2dRdx

b2

323

a3

a3

23

23

2y

2yb

2x

barra

2x

k

I

F

x

x

x2

a2y2

b2 + = 1

164


165

En síntesis

Álgebra y funciones

Shut

ters

tock

, (20

20).

2506

0639

3

Cociente incremental de una función polinomial de grado ≤4 . Definición

Obtención intuitiva de la derivada

Derivada de las funciones constante, lineal y cuadrática

Análisis de funciones polinomiales de grado menor o igual a 4:

• Paridad• Monotonía• Máximos y mínimos absolutos y relativos

Interpretación física de la primera y segunda derivadas

Interpretación geométrica del cociente incremental

Análisis de funciones polinomiales de grado ≤4

p Gráficas de funciones.

Derivadas de funciones polinomiales de grado ≤ 4 y de funciones racionales


166

Considera que ε = 0,05 para h R. En cada ítem se define un número real S. Muestra que se satisface la desigualdad cuando | S | < ε y cuando | h | satisface la desigualdad que se indica. O sea, | h | es pequeño, entonces | S | es también pe-queño respecto de ε. Ten presente que si 0 < t < 1, entonces t4 < t3 < t2 < t.

Sea p la función polinomial definida como p(x) = a + bx2 + cx4, ∀ x R,donde a, b, c R fijos y no todos nulos.

Sea p la función polinomial definida

como p(x) = 4 + x – x4, ∀x R.Un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s(t) = 2t2 – 6t + 4, t ≥ 0, donde s(t) representa el desplaza-miento del objeto medido en metros, y t es el tiempo medido en segundos.

Se observa el movimiento que describe una partícula determinada por la expre-sión S(t) = 2t3 – 6t2 + 28t – 10, donde S(t) representa la distancia recorrida por la partícula medida en metros, y t represen-ta el tiempo transcurrido en segundos.

Calcula la primera derivada de las siguientes funciones polinómicas de grado ≤ 4.

M.5.1.47. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones polinomiales de gra-do ≤ 4 a partir del cociente incremental.

M.5.1.48. Interpretar de manera geométrica (pendiente de la secante) y física el cociente incremental (velocidad media) de funciones polinomiales de grado ≤ 4, con apoyo de las TIC.

14

2

5

6

3

a) S = 5h3, | h | < 0,01.

b) S = 2h – h2, | h | < .

c) S = –h – h2, | h | < 0,025.

a) Prueba que p es una función par.

c) Supón b > 0, c > 0. Prueba que p es estrictamente decreciente en ]–∞, 0[ y estrictamente creciente en ]0, ∞[. Además, demuestra que p(0) es mínimo global.

d) Muestra que = 2b + 12cx2, ∀x R.

e) Mediante cálculo del cociente incremental,

obtén = 24cx, ∀x R.

b) Muestra que = 2bx + 4cx3, ∀ x R.

a) Calcula el cociente incremental Q(h) con h R \ 0, y prueba que la derivada

es (x) = 1 – x3, ∀x R.

Para ello, muestra que la distancia

d(Q(h), es suficientemente pequeña

para | h | suficientemente pequeño.

b) Prueba que la función es decreciente en el intervalo ]1, ∞[ y creciente en el intervalo ]–∞, 1[.

c) Muestra que máx p(x) = .

d) Prueba que la función no es par ni impar.

a) ¿Cuál es la velocidad del objeto al cabo de 2s y 5s?

b) ¿En qué instante el objeto se encuentra en reposo?

c) ¿Cuál es la aceleración del objeto al cabo de 2s y 5s?

a) Determina la posición, velocidad y ace-leración de la partícula en los siguientes instantes: t = 0s, t = 1s, t = 5s, t = 10s.

b) Usa una calculadora gráfica o un software y representa gráficamente v – t y a – t.

a) f(x) = 4 – 5x2 + 7x3, x R.

b) f(x) = –x + 3x2, x R.

c) f(x) = –5x + 2, x R.

d) f(x) = x4 – 2x + 4, x R.

Heteroevaluación

dpd(x)

dp(x)dx

dp(x)dx

d2p(x)dx2

d3p(x)dx3

0,052

14

194

167

a) p'(x) = 4x4 + 4.b) p'(x) = 3x4 + 4.c) p'(x) = 3x4.d) p'(x) = 4x3.

a) p''(x) = 14x3, ∀x R.b) p''(x) = 12x3, ∀x R.c) p''(x) = 14x2, ∀x R.d) p''(x) = 12x2, ∀x R.

a) p'''(x) = 24x4, ∀x R.b) p'''(x) = 24x3, ∀x R.c) p'''(x) = 24x2, ∀x R.d) p'''(x) = 24x, ∀x R.

a) f'(x) = 6x3 – 1.b) f'(x) = 6x2 – 1.

c) f'(x) = 6x – 1.d) f'(x) = 6x.

a) f'(x) = 12x2 + 5.b) f'(x) = 12x2 – 1.

c) f'(x) = 12x – 5.d) f'(x) = 12x + 5.

a) ¿Qué es lo que más te llamó la atención en esta unidad? ____________________________________________________________________________________________________

b) ¿De qué manera el uso de las Tics aportaron al conocimiento de esta unidad? ____________________________________________________________________________________________________

Sea p(x) = x4, ∀x R. Entonces,

(x) = lím .

La primera derivada es igual a:

Sea f(x) = 3x2 – x + 5, ∀x R. Entonces, la primera derivada es igual a:

Sea f(x) = 6x2 + 5x – 6 ∀x R. Entonces, la primera derivada es igual a:

La segunda derivada del

polinomio anterior, (x), es:

La tercera derivada del polinomio anterior, (x), es:

7

10

11

8

9

Autoevaluación

Coevaluación


Calculo fácilmente el cociente incremental.

Determino de forma intuitiva la derivada de una función.

Aplico el concepto de derivada para determinar la velocidad y la aceleración de un objeto.

Interpreto de manera geométrica la pendiente de la secante de una función.


Al trabajar en equipo demostramos unidad de criterios para establecer solu-ciones valederas.

Cuando trabajamos en equipo todos aportamos con nuestras ideas.

Metacognición


dp(x)dx

d2pdx2

d3pdx3

(x + h)4 – x4

hh→0

168

Observa y contesta

• ¿Qué observas en las imágenes?• ¿Cómo describes el gráfico de la acti-

vidad cardíaca?• ¿Qué forma tienen las gráficas de los

fenómenos descritos en las imágenes?

Matemática y fenómenos periódicos

L

as funciones trigonométricas son la he-rramienta matemática más adecuada para describir fenómenos periódicos

tan diversos como la actividad cardíaca, el movimiento de los planetas, la variación de presión que produce en el aire la propaga-ción de un sonido, el movimiento del pén-dulo de un reloj, la vibración de un puente por el peso de un vehículo, entre otros.

Funciones trigonométricas

169

un idad5

Objetivos• O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para

realizar cálculos y resolver, de manera ra-zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali-dez de los resultados.

• O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pen-samiento crítico, creativo, reflexivo y lógi-co, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del en-torno social, natural y cultural.

• O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramien-tas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad na-cional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investiga-ción


Bloques curricularesÁlgebra y funciones

Shut

ters

tock

, (20

20).

2088

4601

2Sh

utte

rsto

ck, (

2020

). 28

9820

669

170

Funciones trigonométricas

DCCD: M.5.1.70. Definir las funciones seno y coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares. M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas determinando el período y amplitud de estas, su dominio y recorrido, monotonía y paridad.

En este capítulo definiremos las funciones trigonométricas: seno, co-seno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Se observarán algu-nas propiedades, como, por ejemplo, la periodicidad, y se construirán funciones trigonométricas.

Funciones periódicasIniciamos el estudio con una clase de funciones denominadas perió-dicas, cuya definición se da a continuación. Definición. Sean T > 0 y f una función real definida en todo R. Se dice que f es periódica de período 2T, si y solo si f verifica la siguiente condición:

f(x + 2T) = f(x), ∀x R. En la Figura 5.1. se representa una función periódica de período 2T.

La característica fundamental de las funciones periódicas es que bas-ta conocer la función en un intervalo de longitud 2T, por ejemplo [–T, T], y luego reproducir esta porción de función del lado positi-vo de los números reales a intervalos de la formas [T, 3T], [3T, 5T], [5T, 7T] y así sucesivamente, a continuación del lado negativo a in-tervalos de la formas [–3T, –T], [–5T, –3T], y así sucesivamente. La gráfica de la función periódica en el intervalo [–T, T] se reproduce sucesivamente a cada uno de los intervalos de los tipos antes indica-dos. Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

Función seno, gráfico y característicasEsta función se designa con Sen y se define como sigue:

Sen: .

Observa que sen(x) R denota el valor de la función sen en x R. Se tiene así, Dom(Sen) = R.

He aquí algunos valores típicos de sen(x) para x R que han sido obtenidos como relación trigonométrica en el círculo trigonométrico:

sen(0) = 0, sen = , sen = , sen = , sen = 1,

sen – = – , sen – = – , sen – = – , sen – = –1.

R → R,x → sen(x)

π6

π6

π4

π3

π2

π4

π2

π3

12

12

22

22

32

32

p Figura 5.1.

y

x0–T–2T–3T T 2T 3T 4T 5T

y = f(x)

Saberes previos

¿Qué es una función periódica?


Si en una función periódica conoces la forma de gráfica en un intervalo 2T, ¿cómo reproduces la gráfica de la función al lado positivo y al lado negativo de los números reales?

Recuerda que…

Basta conocer la gráfica de la función en el intervalo [–π, π] y luego reproducir en forma idéntica al lado izquierdo y al lado derecho en intervalos de longitud 2π.

Glosario

amplitud. Distancia o valor máximo de una cantidad variable, de su valor medio o valor base, o la mitad del valor máximo pico a pico de una función periódica, como un movimiento armónico simple.periódicos. Dicho de un fenó-meno de fases que se repiten con regularidad.

acb

171

Además, de las relaciones trigonométricas se sabe quesen(x) [–1, 1], ∀x R, por lo tanto, Rec(Sen) = [–1, 1].

La función seno es periódica de período 2π, esto es, sen(x + 2π) = sen(x), ∀x R.

La función seno es impar, es decir, sen(–x) = –sen(x), ∀x R.

El grafo de la función seno está definido como el conjunto

G(Sen) = (x, sen(x)) R2 | x R .

Una porción de la gráfica de esta función se indica en la Figura 5.2.

Función coseno, gráfico y característicasEsta función se designa con Cos y se define como sigue:

Cos: .

Observa que cos(x) R denota el valor de la función cos en x R. Se tiene Dom(Cos) = R. Tal como en el caso de la función seno, de las relaciones trigonométricas en el círculo trigonométrico se sabe que Rec(Cos) = [–1, 1]. He aquí algunos valores típicos de cos(x):

cos(0) = 1, cos = , cos = , cos = , cos = 0,

cos – = , cos – = , cos – = , cos – = 0.

La función coseno es periódica de período 2π, es decir, esta función es par: cos(–x) = cos(x), ∀x R.

El grafo de la función coseno es el conjunto G(f) definido como

G(f) = (x, cos(x)) | x R ,

cuya porción de gráfica se muestra en la Figura 5.3.

Recuerda que…

Las características de la función seno son:

1. Dominio: Dom(Sen) = R.

2. Recorrido: Rec(Sen) = [–1, 1].

3. El período es 2π.

4. La función seno es impar.

5. La gráfica de y = sen(x) inter-cepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son x = nπ para todo número entero n.

6. El valor máximo de sen(x) es 1, y el valor mínimo es –1.

7. La amplitud (A) de la fun-ción y = sen(x) es 1.

R → R,x → cos (x)

π6

π6

π4

π3

π2

π4

π2

π3

12

12

22

22

32

32

p Figura 5.2.

p Figura 5.3.

Recuerda que…

Las características de la función coseno son:

1. Dominio: Dom(Cos) = R.

2. Recorrido: Rec(Cos) = [–1, 1].

3. El período es 2π.

4. La función coseno es par.

5 . La gráfica de y = cos(x) inter-cepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son

x = + nπ

para todo número entero n.

6. El valor máximo de cos(x) es 1, y el valor mínimo es –1.

7. La amplitud (A) de la función y = cos(x) es 1.

π2

y

x

1

–1

y = sen(x)

–2π –π π 2π 3π–3π4

– π2

π2

3π2

x

y

1

0

–1

y = cos(x)

–2π –π π 2π–3π4 –π

2π2

3π2

172

Transformaciones de las gráficas de funciones trigonométricasFunciones sinusoidalesSean A, B, C, D R con A ≠ 0, B ≠ 0 funciones reales definidas como:

y = Asen(Bx + C) + D; y = Acos(Bx + C) + D, ∀x R.

CaracterísticasAmplitud |A|, con A ≠ 0, es el promedio entre los valores máximo y mínimo de la función. Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. La amplitud es 3.

• Si A > 1 o si A < –1, la función sufre un proceso de dilatación.• Si –1 < A < 1, la función se contrae.

Período (T). Establece cuánto se requiere del dominio para que

la función describa un ciclo completo, T = .

Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. T = π. Hasta π se completa un ciclo.

Frecuencia. Se relaciona con las veces que se repite el ciclo. Está de-terminada por el valor de B.

Ejemplo: y = 3cos(2x) + 1. Como B es 2, el ciclo se repite 2 veces.

Desplazamiento vertical. Traslación vertical en D unidades.

• Si D > 0, la gráfica se desplaza hacia arriba D unidades.• Si D < 0, la gráfica se desplaza hacia abajo D unidades.

Desfase: , desplazamiento horizontal de unidades a

la derecha o a la izquierda, según si C es negativo o positivo.

Ejemplo: y = 4sen x – ; la gráfica de la función se desplaza π/2

unidades a la derecha con relación al sen(x).

Ejercicio resueltoGrafiquemos la función f(x) = –3sen 2x – , ∀x R.

Amplitud = |A| = |–3| = 3. Período = T = = = π.

Desfase = = = . Vamos a graficar cada función.

2πB

–CB

–CB

π2

π3

2πB

2π2

–CB 2

π6

π3

– –

p Figura 5.4. y = sen(x) p Figura 5.5. y = sen(2x)

Eje transversal

SaludLas funciones trigonométricas son un grupo de funciones reales muy importantes en ma-temática. Estas tienen muchas aplicaciones en física, química, economía, en las distintas ramas de la ingeniería, entre otras áreas.

Por ejemplo las funciones trigo-nométricas son muy utilizadas en la lectura de electrocardio-gramas.

Shut

ters

tock

, (20

20).

1804

4416

7

2

1

0

–1

–2

π–π–2π–3π 2π 3π

2

1

0

–1

–2


173

El dominio de la función f, es definida como

f(x) = –3sen 2x – , ∀x R.

El recorrido es [–3, 3], el período es π, la amplitud es 3, la gráfica de la función se refleja sobre el eje de las x, y tiene un desplazamiento horizontal hacia la derecha de π/6 unidades.

Ejercicio resueltoGrafiquemos la función f, definida como

f(x) = 2cos(2x) + 1, ∀x R.

El dominio de esta función es R.

El recorrido es [–1, 3], el período es π, la amplitud es 2, y la gráfica de la función se desplazó una unidad hacia arriba del eje de las x.


Matemática y otras cienciasLa relación de la trigonometría y en particular de las funcio-nes trigonométricas con otras ciencias permite resolver varios problemas en áreas como las que se citan a conti-nuación.

• En física, per-mite resolver problemas de mecá-nica clásica, óptica, vibracio-nes y ondas en sólidos y fluidos, electricidad y electromagnetismos.

• En informática, sirve en la construcción de juegos com-putarizados, para simular procesos naturales o físicos.

• La teoría de la señal, en el procesamiento digital de imágenes, tiene como fundamento las series de Fourier que se expresan como senos y cosenos. Una de estas aplicaciones se da en la música.

π3

p Figura 5.6. y = sen(2x – π/3)

p Figura 5.8. y = –3sen(2x – π/3)

p Figura 5.9. y = –3sen(2x – π/3)

p Figura 5.7. y = 3sen(2x – π/3)

Shut

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, (20

20).

6070

7813

0Sh

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2020

). 60

1019

018

2

4

0

–π – π 2ππ2

π2

3π2

–1

–2

–3

1

2

3

0

–π–2π–3π π 2π 3π

2

1

0

–1

–2


2

3

1

0

–1

–2


Engranajes. p

Estudio de grabación. p

Taller práctico

174

Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función seno que se define para el efecto. Obtén algunos valores de la función.

DCCD: M.5.1.70. Definir las funciones seno, coseno a partir de las relaciones trigonométricas en el círculo trigo-nométrico (unidad) e identificar sus respectivas gráficas a partir del análisis de sus características particulares. M.5.1.71. Reconocer y graficar funciones periódicas, determinando el período y amplitud de estas, su dominio y recorrido, monotonía, paridad.

1

a) f(x) = sen (2x), ∀x R.

b) f(x) = 2 sen (3x), ∀x R.

c) f(x) = 2 sen (x + π), ∀x R.

Amplitud Período Frecuencia Recorrido de f(x)Función par

o impar

Amplitud Período Frecuencia Recorrido de f(x)Función par

o impar

Amplitud Período Desfase FrecuenciaRecorrido de

f(x)Función par

o impar

175


Es conveniente en un mismo grupo incluir alum-nos con diferentes capacidades de comunicación por ejemplo los parlanchines y los muy tranquilos.


Estudien la función real que se define en cada caso. Tracen la gráfica de la función.

Determinen el subconjunto de R que se define en cada ítem.3

4Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.

Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función coseno que se define para el efecto. Obtén algunos valores de la función.

2

a) f(x) = cos (2x) + 1, ∀x R.

a) f(x) = cos (4x), ∀x R.

c) h(x) = |sen (x)|, ∀x R.

a) x R | sen (x) = 0.

b) x R | sen (x) = 1.

b) f(x) = –cos x + 3, ∀x R.

d) f(x) = 2 sen x – 1, ∀x R.

13

13

Amplitud PeríodoDesplazamiento

verticalFrecuencia

Recorrido de f(x)

Función par o impar

b) f(x) = 3 cos x – , ∀x R.12

π2

Amplitud Período Desfase FrecuenciaRecorrido de

f(x)Función par

o impar

176

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas, tangente, cotangente, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).

Funciones tangente y cotangenteFunción tangenteEsta función se denota con Tan y el valor numérico en x R en el que está definida se designa con tan(x) que, a su vez, se define como

tan(x) = , cos(x) ≠ 0.

Para determinar el dominio de la función tangente, resolvemos la ecuación x R, tal que cos(x) = 0, cuya solución es

x = + kπ, k Z.

Por lo tanto, x R | cos(x) = 0 = + kπ | k Z ,

de donde Dom(Tan) = R \ + kπ | k Z .

Mostremos que Rec(Tan) = R. En efecto, sea y R. Supongamos

y = tan(x) = , para algún x ≠ + kπ.

Entonces, y2 = , y de la relación sen2(x) + cos2(x) = 1 se sigue que

y2cos2(x) = sen2(x) ⇔ y2(1 – sen2(x)) = sen2(x) ⇔ sen2(x) = .

Como 0 ≤ ≤ 1, la ecuación x R, tal que sen(x) = ,

tiene solución en R. Es decir, existe x R \ + kπ | k Z ,

tal que sen(x) = .

Nota que no estamos interesados en el valor numérico de la ecua-ción, sino en la existencia de soluciones.

La función tangente está definida como sigue:

Tan: .

La función tangente es periódica de período π, esto es,

tan(x + π) = tan(x), ∀x Dom(Tan).

Además, esta función es impar, pues

tan(–x) = = = – = –tan(x), ∀x Dom(Tan).

El grafo de Tan esta definido como:G(Tan) = (x, tan(x)) | x Dom(Tan).

En la Figura 5.10. se muestra la gráfica de la función tangente:

sen(x)cos(x)

π2

π2

π2

π2

π2

sen(x)cos(x)

sen2(x)cos2(x)

y2

1 + y2

y2

1 + y2y

1 + y2

y 1 + y2

Dom(Tan) → R,

x → tan(x) = sen(x)cos(x)

sen(x)cos(x)

–sen(x)cos(x)

sen(–x)cos(–x)

Saberes previos

¿Cómo se define la función tangente?


¿Cuál es el recorrido de la función tangente?

Recuerda que…

Algunas identidades trigonométricas fundamentales son:

• tan(x) = , siempre que

cos(x) ≠ 0.

• cot(x) = , siempre que

sen(x) ≠ 0.

• sen2(x) + cos2(x) = 1.

1 + tan2(x) = sec2(x), cos(x) ≠ 0.

1 + cot2(x) = csc2(x), sen(x) ≠ 0.

sen(x)cos(x)

cos(x)sen(x)

p Figura 5.10.

x

y

y = tan(x)

π0 3π2

5π2

2ππ2

π2

3π2

5π2

–π–2π –––

177

Función cotangenteLa función cotangente se denota con Cot y se define como sigue:

cot(x) = ; sen(x) ≠ 0.

Para determinar el dominio de la función cotangente, resolvemos la ecuación siguiente: x R, tal que sen(x) = 0. La solución de esta ecuación es x = kπ, k Z. Por lo tanto,

x R | sen(x) = 0 = kπ | k Z,

de donde Dom(Cot) = R \ kπ | k Z.

Determinemos el recorrido de la función cotangente.

Obviamente, por definición, Rec(Cot) = cot(x) | sen(x) ≠ 0 R.

Mostremos que Rec(Cot) = R, es decir que R Rec(Cot).Sea y R, consideramos la ecuación x R \ kπ | k Z, tal que cot(x) = y.

Tenemos y = , de donde y2 = .

De la relación sen2(x) + cos2(x) = 1 se sigue que

y2sen2(y) = cos2(x) ⇔ y2sen2(x) = 1 – sen2(x) ⇔ y2sen2(x) + sen2(x) = 1

⇔ (y2 + 1)sen2(x) = 1 ⇔ sen2(x) = . Como 0 ≤ sen2(x) ≤ 1, ∀x R, 0 ≤ ≤ 1, ∀y R, se sigue

que la ecuación sen2(x) = tiene solución en R \ kπ | k Z.

De todos estos resultados, la función cotangente está definida como sigue:

Cot: .

Verifiquemos que es periódica de período π.Tenemos cos(x + π) = –cos(x), sen(x + π) = –sen(x), ∀x R. Luego,

cot(x + π) = = = = cot(x),

x R \ kπ | k Z. La función cotangente es impar. En efecto,

cot(–x) = = = – = –cot(x), x R \ kπ | k Z.

En la Figura 5.11. se muestra el gráfico de la función cotangente y su grafo se define como sigue:

G(Cot) = (x, cot(x)) R2 | x R\kπ | k Z.

Recuerda que…

Las características de la función tangente son:

1. Dominio: Dom(Tan) =

2. Recorrido: Rec(Tan) = R.

3. El período es π.

4. La función tangente es impar.

5. El período de la función tangente y = Atan(Bx) es la distancia entre dos asíntotas verticales.

T = .

Las características de la función cotangente son:

1. Dominio: Dom(Cot) =

2. Recorrido: Rec(Cot) = R.

3. El período es π.

4. La función cotangente es impar.

cos(x)sen(x)

cos(x)sen(x)

cos2(x)sen2(x)

1y2 + 1

1y2 + 1

1y2 + 1

R \ kπ | k Z → R,

x → cot(x) = cos(x)sen(x)

cos(x)sen(x)

–cos(x)–sen(x)

cos(x + π)sen(x + π)

cos(x)sen(x)

cos(x)–sen(x)

cos(–x)sen(–x)

R \ + kπ | k Z .π2

R \ kπ | k Z .

π|B|

p Figura 5.11.

x

y

y = cot(x)

π0 3π2

5π2

2π 3ππ2

π2

3π2

–π–2π ––

Taller práctico

178

Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, traza la gráfica de la función que se define para el efecto. Obtén el dominio de la función f que se nota con A, esto es, Dom(f) = A. Luego, calcula algunos valores de la función y el período.

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas, tangente, cotangente, sus propiedades y las relaciones existen-tes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC (calculadora gráfica, software, applets).

1

a) f(x) = tan (2x), x A.

b) f(x) = tan x , x A.

c) f(x) = tan(x) + 2, x A.

Dominio Período Frecuencia Recorrido de f(x)Función par

o impar


o impar


o impar

12

179


Cuando hay dificultades de aprendizaje es con-veniente incluir en un mismo grupo alumnos con diferentes habilidades para obtener el equili-brio y que todos puedan completar la tarea.


Determinen el subconjunto de R que se define en cada ítem.

Determinen el subconjunto de R que se define en cada ítem.

Estudien la función real que se define en cada caso. Determinen el dominio cuyo recorrido se nota con A. Tracen la gráfica de la función.

Determinen el dominio que se nota con A, y el recorrido de la función real que se define en cada caso. Tracen la gráfica.

3

5

4

6


Para cada función f que se define, determina Dom(f) = A. Traza la gráfica de la función.Para el efecto, primeramente obtén algunos valores de la función y el período.

2

a) f(x) = cot (2x), x A.

b) f(x) = cot x , x A.12

a) x R | tan (x) = 0.

a) x R | cot (x) = 0.

a) u(x) = cot2(x), x A.

b) h(t) = 3 – cot(2t), t A.

a) u(x) = tan2(x), x A.

b) v(x) = tan3(x), x A.

c) w(x) = tan2(2x), x A.

d) f(x) = tan2 x , x A.

b) x R | tan (x) = 1.

b) x R | cot (x) = 1.

c) x R | tan (x) = 3 .

c) x R | cot (x) = 3 .

12

180

Funciones secante y cosecante

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas secante y cosecante, sus propiedades y las relaciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC. M.5.1.73. Reconocer y resolver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, problemas o situaciones reales o hipotéticas que pueden ser modelizados con funciones trigonométricas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

Función secanteLa función secante se denota como Sec, para x R en el que está definida Sec(x). Se suele notar y definir como

sec(x) = , cos(x) ≠ 0.

Determinemos el subconjunto de R en el que cos(x) = 0.

Tenemos cos(x) = 0 ⇔ x = + kπ, k Z, luego,

x R | cos(x) = 0 = + kπ | k Z .

Por lo tanto, la función secante queda definida como sigue:

Sec:

Determinemos el recorrido de esta función, esto es,

Rec (Sec) = sec(x) | x R \ + kπ | k Z .

Rec (Sec) = ]–∞, –1] [1, ∞[.

La función secante es periódica de período 2π.La función secante es par. En efecto, como cos(–x) = cos(x), ∀x R, se sigue que:

sec (–x) = = = sec(x), ∀x R \ + kπ | k Z .

Por otro lado, el grafo de la función secante se nota G(sec) y se define como el conjunto.

G(sec) = (x, sec(x)) R2 | x R \ + kπ | k Z .

Función cosecanteLa función cosecante se designa con Csc y se define como

csc(x) = , sen(x) ≠ 0.

Determinemos el subconjunto de R en el que sen(x) = 0. Tenemos

sen(x) = 0 ⇔ x = kπ, k Z,con lo que

x R | sen(x) = 0 = kπ | k Z.

De este resultado, la función cosecante queda definida como se indica:

Saberes previos

¿Cómo se define la función secante?


¿Cuál es el recorrido de la función secante y cosecante?

En la Figura 5.12. se muestra el gráfico del conjunto G(sec) al que lo denominamos repre-sentación gráfica de la función secante.

1cos(x)

1sen(x)

π2

π2

R \ + kπ | k Z → R.

x → sec (x) = .

π2

π2

π2

π2

1cos(x)

1cos(–x)

1cos(x)

p Figura 5.12.

x011–1

–1

–2–3–4–5 2 3 4 5 6

y

π2

π2

3π2

3π2

5π2

π–π–2π –– 2π 3π

y = sec(x) = .1cos(x)

181

Csc:

Determinemos el recorrido de esta función:

Rec (Csc) = csc(x) | x R \ kπ | k Z .

Rec (Csc) = ]–∞, –1] [1, ∞[.

La función cosecante es periódica de período π.La función cosecante es impar, pues

csc (–x) = = = –csc(x), ∀x R \ kπ | k Z .

El grafo de la función cosecante se define así:

G(Csc) = (x, csc(x)) R2 | x R \ kπ | k Z .

Aplicaciones de las funciones trigonométricasEjercicio resueltoEl movimiento de un objeto sobre un resorte vertical puede describirse mediante la función coseno modificada. Una masa suspendida en el re-sorte está en su punto de equilibrio cuando el resorte está en reposo. Si se comprime el resorte una cierta longitud sobre el punto de equilibrio y se suelta, la masa oscila hacia abajo y hacia arriba del punto de equi-librio. El tiempo que tarda la masa en oscilar desde el punto más alto hasta el punto más bajo y de regreso al punto más alto es su período.

La ecuación y = 3,5 cos t describe el desplazamiento vertical

del objeto para cualquier tiempo t, al comprimirse 3,5 cm. Se tiene que k es la constante del resorte y m es la masa del objeto.

a) Si k = 19,6 y m = 1,99 g, ¿cuál es el desplazamiento vertical después de 0,9 segundos y de 1,7 segundos?

b) ¿Cuánto estará el objeto en el punto de equilibrio por primera vez?

De acuerdo con los datos y la ecuación que describe el movimiento.a) Sustituyamos los valores de los datos.

y = (0,9) = 3,5 cos 0,9 = –3,33 cm;

y(1,7) = 3,5 cos 1,7 = 2,04 cm.

b) En el punto de equilibrio, y = 0, 0 = 3,5 cos t t = cos–1(0) = 1,5708, t = = 0,5 s.

Cuando t = 0,5 segundos, el objeto está en el punto de equilibrio.

Recuerda que…

La calculadora debe estar en modo de radianes para resolver problemas que impliquen uso de funciones trigo-nométricas.


Existen softwares libres, como por ejemplo GeoGebra, que permiten realizar las gráfi-cas de las funciones trigonomé-tricas de forma precisa, ágil e interactiva.

Más adelante en la página 181 te indicaremos el trazo de estas gráficas con el uso de GeoGebra.

Shut

ters

tock

, (20

20).

5988

2675

0

En la Figura 5.13. se muestra una parte del gráfico del con-junto G(Csc) al que lo denomi-namos representación gráfica de la función cosecante.

R \ kπ | k Z → R.

x → csc (x) = .1sen(x)

1sen(–x)

1–sen(x)

km

km

19,61,99

19,61,99

1,57083,1384

km

p Figura 5.13.

x

1

1–1

yy = csc(x).

π2

π2

2π2

π–π–2π 2π 3π3π2

3π2

––

Calculadora científica. u

Taller práctico

182

Completa la tabla que se presenta en cada ejercicio. Luego, para cada función f que se indica, determina Dom(f) = A, Rec(f). Traza la gráfica de la función. Para el efecto, primeramente obtén algunos valores de la función y el período.

DCCD: M.5.1.72. Reconocer las funciones trigonométricas secante y cosecante, sus propiedades y las rela-ciones existentes entre estas funciones, y representarlas de manera gráfica con apoyo de las TIC. M.5.1.73. Reconocer y resolver (con apoyo de las TIC) aplicaciones, problemas o situaciones reales o hi-potéticas que pueden ser modelizados con funciones trigonométricas, identificando las variables signifi-cativas presentes y las relaciones entre ellas, y juzgar la validez y pertinencia de los resultados obtenidos.

1

a) f(x) = sec (2x), x A.

b) f(x) = sec x , x A.

c) f(x) = csc(2x), x A.


o impar


o impar


o impar

12

183


Cada persona tiene diferentes capacidades por ello no se debe aislar a ningún compañero por el contrario si alguien no tiene equipo, se debe dialogar con el grupo para que todos los inte-grantes sean aceptados.


Para cada función f que se indica, deter-minen Dom(f) = A, Rec(f). Tracen la grá-fica de la función. Para el efecto, prime-ramente obtengan algunos valores de la función y el período.

Resuelvan el siguiente problema.

La ecuación P = 100 + 20 sen(2πt) repre-senta la presión sanguínea P de una perso-na en milímetros de mercurio. En esta ecua-ción, t es el tiempo en segundos. La presión sanguínea oscila 20 milímetros por arriba y por abajo de 100 milímetros, lo cual signifi-ca que la presión sanguínea de la persona es de 120 sobre 80. Esta función tiene un pe-ríodo de 1 segundo; es decir que el corazón de la persona late 60 veces por minuto.

4

5


Determina el subconjunto de R que se define en cada ítem.

2

a) f(x) = csc(3x), x A.

a) x R | sec (x) = 2 .

b) x R | sec (x) = 1.

c) x R | sec (x) = 2.

d) x R | csc (x) = 2 .

e) x R | csc (x) = 1.

c) f(x) = csc(4x), x A.

b) f(x) = csc x , x A.

d) f(x) = csc x , x A.

12

13

a) Encuentra la presión sanguínea en t = 0, t = 0,25, t = 0,5, t = 0,75 y t = 1 segundos.

b) Durante el primer segundo, ¿cuándo estuvo la presión sanguínea en un máximo?

c) Durante el primer segundo, ¿cuándo estuvo la presión sanguínea en un mínimo?

Para cada función que se da, determina el dominio (al que se lo denota con A) y el recorrido. Estudia la función y traza su gráfica. Utiliza un software libre.

3

a) u(x) = sec2(x), x A.

b) v(x) = sec3(x), x A.

c) w(x) = sec2(2x), x A.

184


Aplicaciones de funciones trigonométricas

1. Las funciones trigonométricas se aplican con fre-cuencia para simular la variación de temperatura. La siguiente función se usa para tal efecto:

F(t) = 23 + 7 sen (t – 8); 0 ≤ t ≤ 24,

donde F es la temperatura en grados Celsius a t horas después de la medianoche de cierto día.

a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.? ¿Y a las 12 p. m.?

b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C?c) ¿Cuál es el gráfico de la función?d) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y míni-

ma? ¿A qué hora se alcanzaron?

Analiza la información proporcionada y completa.• ¿Cuál es la función para simular la variación de

temperatura? _______________________________________________

Responde las preguntas.a) ¿Cuál es la temperatura a las 8 a. m.?

F(8) = 23 + 7sen (8 – 8);

F(8) = ________________________________________

¿Y a las 12 p. m.? _______________________________________________

_______________________________________________

A las 8 a. m. la temperatura es de ____________, y a las 12 p. m. es de ____________.

b) ¿A qué hora la temperatura es de 23 °C? Toma en cuenta el resultado anterior para ob-

tener tu respuesta. _______________________________________________

c) ¿Cuál es el gráfico de la función? Utiliza un software como GeoGebra. La gráfi-

ca que obtendrás es:

d) ¿Cuál es la temperatura máxima? ¿A qué hora se alcanzó?

_______________________________________________

_______________________________________________

e) ¿Cuál es la temperatura mínima? ¿A qué hora se alcanzó?

_______________________________________________

_______________________________________________

2. En un punto del océano, el cambio vertical en el agua, de-bido a la acción de las ondas, está dado por

y = 8 cos (t – 6), 0 ≤ t ≤ 72,

donde y está en metros y t es el tiempo en segun-dos. ¿Cuál es la amplitud, el período y el desplaza-miento de la fase? Traza la gráfica de la función.

3. Un adulto que está sentado aspira y expira casi 0,80 litros de aire cada 4 segundos. El volumen de aire V en los pulmones (en litros) y t en segundos, des-pués de la exhalación, está ex-presado aproximadamente por

V(t) = 0,45 – 0,4cos , 0 ≤ t ≤ 8.

a) ¿Cuál es la cantidad máxima y mínima de aire en los pulmones? Explica cómo obtienes estas cifras.

b) ¿Cuál es el período de la respiración?c) ¿Cuántas respiraciones se hacen por minuto?d) Traza la gráfica V(t).

Shut

ters

tock

, (20

20).

5506

2247

6


π2

π2

π6

πt2

Shut

ters

tock

, (20

20).

6056

8805

3Sh

utte

rsto

ck, (

2020

). 60

6858

788

p Variación de temperatura en un día.

Olas del mar. p

Persona inhalando. p

185



Médico con especialidad en CardiologíaLas escuelas de Medicina forman médicos líderes en el campo de la salud, en cualquier escenario, con habilidades y destrezas en promoción de sa-lud, prevención y tratamiento de enfermedades, con el fin de generar una mejor calidad de vida en las personas.

Durante los primeros años de formación, el estudiante de Medici-na debe tomar asignaturas básicas, relacionadas con el campo de la matemática. Entre ellas se encuentran:

• Matemáticas en Ciencias de la Salud• Economía y estadística.• Informática

Una cardióloga o cardiólogo se encarga del estudio del corazón y de los problemas circulatorios referentes a él. Para optar por esta especialidad, se debe tener el título de médico general, y cursar al menos seis semestres en una de las universidades que acrediten esta especialidad.

El especialista en Cardiología egresado del programa puede desempeñar-se en:

• Atención directa del paciente adulto con factores de riesgo cardio-vascular, hospitalización de cardiología, servicios de urgencias, cuida-dos intensivos, consulta externa, entre otras áreas.

Adaptado de: http://www.javeriana.edu.co/especializacion-cardiologia

Gra

ficos

ele

ctro

, (20

20).

ww

w.p

rezi.

com

Shut

ters

tock

, (20

20).

5192

2327

6

p Electrocardiograma gráfico donde se regis-tran los movimientos del corazón.

p Médico especialista en Cardiología.

La trigonometría y los electrocardiogramas¿Qué tiene que ver la matemática con los electrocar-diogramas? Pues en realidad, mucho. Los gráficos de las funciones trigonométricas se encuentran presentes en medicina. Un caso particular es el electrocardiograma, procedimiento de diagnóstico médico con el que se obtiene un registro gráfico de la actividad eléctrica del corazón en función del tiempo. En un electrocardiogra-ma se estudian las ondas mecánicas periódicas, apare-cen funciones trigonométricas como el seno y el coseno. En este caso, el período es la longitud de la onda y la amplitud es la intensidad de la onda.

Para el estudio y análisis del electrocardiograma, se aplican funciones tri-gonométricas como, por ejemplo, las series de Fourier, que usan como base las funciones seno y coseno.

Adaptado de: https://prezi.com/lszoi5vfkyir/funciones-trig-en-un-ecg/; http://danielwend.blogspot.com/

Glosario

serie. Expresión de la suma de los infinitos términos de una sucesión.

acb

186

TICUso de GeoGebra para representar funciones trigonométricas1) Vamos a graficar paso a paso la función y = 2cos(3x + π) – 1.

a) Vamos a graficar la función y = cos(x), y sobre este mismo gráfico, la función con amplitud 2, y = 2cos(x).

b) Graficamos la función y =2cos(3x + π), con amplitud 2, período 2π/3 y desfase –π/3.

Gráfica de la función coseno con amplitud 2 y período 2π/3.

En Entrada escribe y = cos. Ense-guida aparece el recuadro con la función. Selecciónala.

Aparece el gráfico de la función coseno.

Da clic en Vista Gráfica, luego en Eje X y cambia la distancia en el eje horizontal a π/2.

Ingresa la función y = 2cos(x). Puedes ver el cambio con la función original.

Gráfica de la función coseno con amplitud 2, período 2π/3 y desfase –π/3.

187

Practica la representación gráfica de estas funciones trigonométricas en GeoGebraa) y = 3sen(x + π) + 1,5.b) y = –cos(2x) + 2.c) y = –0,5 tan(x – π/2).

c) Graficamos la función y =2cos(3x + π) – 1, con amplitud 2, período 2π/3, desfase –π/3 y desplazamiento vertical –1.

2) Vamos a realizar, en un solo plano, la gráfica de la función

y = sen x + + 1.12

π4

Gráfica de la función sen(x). Gráfica de la función sen(x) con amplitud 0,5.

Gráfica de la función sen(x) con amplitud 0,5 y desfase –π/4.

Gráfica de la función coseno con amplitud 2, período 2π/3, desfase –π/3 y desplazamiento vertical –1.

Gráfica de la función sen(x) con amplitud 0,5, desfase –π/4 y desplazamiento vertical +1.

Gráfica de la función coseno con amplitud 2, período 2π/3 y desfase –π/3.

188

Desafíos y proyectos matemáticosTema: Las mareas en los océanos

JustificaciónEn los océanos, se observan fenómenos naturales denominados ma-reas, que pueden ser altas o bajas. La marea sube durante seis horas (marea alta) y desciende durante seis horas siguientes (marea baja). Este fenómeno se repite aproximadamente dos veces al día.

Objetivos• Analizar el comportamiento de las mareas mediante el análisis de

la información acerca de la altura del agua sobre el nivel del mar. Graficar los datos y determinar si existe una función cíclica.

Actividades• Formen grupos de 2 o 3 personas.• Analicen la siguiente información:

Se puede decir que la altura cero es aquella a la que está el agua en la marea baja, y que la marea alta alcanza 6 m de altura.

• Llenen la tabla con la altura de las aguas sobre el nivel de lo que se considera como marea baja.

• Grafiquen los datos obtenidos.• Definan la gráfica para un día completo de 24 horas de marea.• Determinen la amplitud y el período lo de la gráfica obtenida.

ConclusionesExisten situaciones reales en las que se aplican los gráficos de las fun-ciones trigonométricas. Una de ellas es el estudio de las mareas.

Expongan los resultados que obtuvieron con este proyecto y expli-quen cómo se sintieron al realizarlo. Consulten o cambien los datos para determinar si se obtienen funciones cíclicas.

Proyecto adaptado de: http://fractus.uson.mx/CV/ courses/PM/document/Materiales_del_Curso/MaterialesSeccion8.pdf

Recursos• Sala de computación con

suficientes computadoras para cada estudiante

• Software libre GeoGebra, instalado en las computa-doras que se van a utilizar

p Cambio de período del nivel del mar o de las mareas.

De la marea altaEn la primera hora, el nivel de agua sube 1/12 de su altura total.En segunda hora, el nivel de agua sube 2/12 de su altura total.En la tercera hora, el nivel de agua sube 3/12 de su altura total.

En la cuarta hora, el nivel de agua sube 3/12 de su altura total.En la quinta hora, el nivel de agua sube 2/12 de su altura total.En la sexta hora, el nivel de agua sube 1/12 de su altura total.

De la marea bajaEn la primera hora, el agua desciende 1/12 de su altura total.En segunda hora, el agua desciende 2/12 de su altura total.En la tercera hora, el agua desciende 3/12 de su altura total.

En la cuarta hora, el agua desciende 3/12 de su altura total.En la quinta hora, el agua desciende 2/12 de su altura total.En la sexta hora, el agua desciende 1/12 de su altura total.

Horas después de la marea baja

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Altura del agua (m)

0 0,5 1,5 6

Shut

ters

tock

, (20

20).

5188

6828

6

Glosario

mareas. Movimiento pe-riódico y alternativo de ascenso y descenso de las aguas del mar, producido por la atracción del Sol y de la Luna.

acb

188


189

En síntesisÁlg

ebra y

funci

ones

Funcio

nes tr

igono

métri

cas

Gráfica

sShutterstock, (2020). 118853278

Shutterstock, (2020). 330206678

y =

sen(

x)y

= co

s(x)

y =

tan(

x)y

= co

t(x)

y =

sec(

x)y

= cs

c(x)

Las c

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terís

ticas

: 1.

Dom

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) = R

2. R

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en) =

[–1,

1]

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es 2

π4.

La

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17.

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π 2

π |B|π 2

π 2

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p P

éndu

lo d

e re

loj.


190

Construye el gráfico de la función

f(x) = sen x , x R,

y luego determina:

Analiza la Figura 5.14.

M.5.3.4. Halla gráfica y analíticamente el domi-nio, recorrido, monotonía, periodicidad, despla-zamientos, máximos y mínimos de funciones trigonométricas para modelar movimientos cir-culares y comportamientos de fenómenos na-turales, y discute su pertinencia; emplea la tec-nología para corroborar sus resultados. (J.3., I.2.)

1

2

a) La amplitud,b) El recorrido,c) El período,d) Los valores máximos y mínimos.

Determina:

a) La amplitud,b) El recorrido,c) El desfase,d) El desplazamiento,e) La función que representa.

a) ¿Cuál es el máximo desplazamiento del cuerpo?b) ¿Qué tiempo se requiere para que el cuer-

po tenga una vibración completa?c) ¿Cuál es la gráfica de la función?

a)

Heteroevaluación

En la Figura 5.15. se muestra la gráfica de la función coseno. Escribe verdadero (V) o falso (F) de acuerdo con cada enunciado.

Considerando la Figura 5.16. determina: la amplitud, el período, la desfase, el des-plazamiento vertical y la ecuación que representa.

3

5

12

a) El punto A tiene de coordenadas (π, 1). __________________________

c) La función es decreciente en el intervalo [0, π]. _________________________

e) La función tiene una amplitud de 1. _______________________________

f) El menor valor que toma la función es y = –1. _________________________

g) La función se anula en el valor de π/2. ___________________________

b) La abscisa del punto B es cero. ______________

d) La ordenada del punto C es cero. ___________

Analiza y resuelve.

Un cuerpo está vibrando verticalmente de acuerdo con la función

f(t) = 8 cos t , t ≥ 0,

donde f(t) es el desplazamiento desde su posición en centímetros es la distancia di-rigida del cuerpo desde su posición central (el origen) a los t segundos, considerando ‘hacia arriba’ como sentido positivo.

4

π3

p Figura 5.14.

p Figura 5.15. p Figura 5.16.

0A B D

–1

1

π/2 π 2π 3π3π/2 5π/2

0

1

2

3

4

π/2 π 2π3π/2

0

y

x1

–1

2

3

5

4

π/2–π/2–π π

C

191

a) ¿Cómo son las gráficas de las funciones seno y coseno? ____________________________________________________________________________________________________

b) ¿De qué manera el uso de las tic aportó para la comprensión de este tema? ____________________________________________________________________________________________________

Autoevaluación

Coevaluación


Utilizo las Tics para graficar funciones trigonométricas.

Determino el dominio y el recorrido de las funciones trigonométricas.

Resuelvo problemas que impliquen el uso de funciones trigonométricas.

Identifico la amplitud de las funciones seno y coseno.


Al trabajar en equipo aprendo de mis compañeros.

Todos los integrantes del grupo aportamos con ideas y estrategias para resol-ver las tareas planteadas.

Metacognición

Analiza la siguiente gráfica y responde.

¿Cuál es la expresión analítica que repre-senta la Figura 5.17.?

A la Figura 5.18. le corresponde una expresión analítica. ¿Cuál es?

6

9


a) y = 3 – sen(x).b) y = 3 – cos(x).

c) y = 3 + cos(x).d) y = 3 + sen(x).

a) y = tan(x).

b) y = tan x + .

c) y = tan(x + π).

d) y = tan x + .

a) Todos los núme-ros reales.

b) [–2π, 2π].

c) [0, 4].d) [0, 2π].

a) 2π.b) π.

c) π/2.d) No es periódica.

¿Cuál es el dominio de la función?

¿Cuál es el período?

7

8

π4

π2

p Figura 5.18.

p Figura 5.17.

0

1

2

3

4

x

y

–π π 2π–2π

0

2

–2

y

x–π

2π2– 3π

23π2

192

Observa y contesta

• ¿Qué observas en las imágenes?• ¿Qué elementos matemáticos inter-

vienen en la construcción de juegos para computadoras?

• ¿Te gusta algún juego de computado-ra? ¿Cuál?

Aplicaciones en la vida diaria de elementos en R3

U

no de los ejemplos más recientes (que utilizó la aplicación de elementos de R3) es el eclipse, ocurrido en septiembre de

2015. Las personas especializadas en este tipo de fenómenos físicos utilizaron planos con tres ejes de coordenadas para visualizar en qué parte del espacio quedaría la Luna exac-tamente y, mediante cálculos exactos, llega-ron a la conclusión de la hora a la que iba a ocurrir dicho fenómeno y en qué posición se iba a situar la Luna.

Otras aplicaciones de los elementos en R3 son realizadas por los arquitectos al momento de diseñar los edificios y operar con simuladores. De igual manera, en el caso de construcción de juegos para consolas u ordenadores, todo se representa geométricamente en la pantalla para simular procesos naturales o físicos.

Composición de funciones reales y el espacio vectorial R3

193

un idad6

Objetivos• O.G.M.2. Producir, comunicar y gene-

ralizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimien-tos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras discipli-nas, entender las necesidades y potenciali-dades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.

• O.G.M.3. Desarrollar estrategias individua-les y grupales que permitan un cálculo mental y escrito, exacto o estimado; y la capacidad de interpretación y solución de situaciones problémicas del medio.

• O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera ra-zonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la vali-dez de los resultados.


Bloques curricularesÁlgebra y funcionesGeometría y medida

Flig

ht si

mul

ator

( 20

20) .

ww

w.st

ore.s

team

pow

ered

.com

Shut

ters

tock

, (20

20).

3426

1038

8

194

Tipos de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas) comprobando con la composición de funciones.

Función inyectivaDefinición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Se dice que una aplicación f de A en B es inyectiva, o uno a uno, si y solo si se verifica la siguiente condición:

∀x1, x

2 A, x

1 ≠ x

2 ⇒ f(x

1) ≠ f(x

2).

En forma equivalente, f es inyectiva si y solo si se verifica:

∀x1, x

2 A, f(x

1) = f(x

2) ⇒ x

1 = x

2.

Esto se lee como: "f es inyectiva si a cada par de elementos distintos de A asocia imágenes distintas". La negación se lee: "la función f no es inyectiva si y solo si existen x

1, x

2 A, tal que x

1 ≠ x

2, pero f(x

1) = f(x

2)".

Ejercicios resueltos1. Sean A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4 y h la función de A en B definida

como sigue:

h(a) = 3, h(b) = 1, h(c) = 4, h(d) = 2.

Primeramente, observamos que h define una función de A en B. Esta función es inyectiva, pues a cada par de elementos distintos del conjunto A, asocia imágenes distintas. Por ejemplo, a ≠ b y h(a) = 3 ≠ h(b) = 1.

2. Nuevamente, consideremos los conjuntos A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4 y u la función de A en B definida como se indica:

u(a) = 2, u(b) = 3, u(c) = 2, u(d) = 4.

Esta función no es inyectiva ya que a ≠ c, pero u(a) = u(c) = 2.

Función sobreyectivaDefinición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una fun-ción f de A en B es sobreyectiva si y solo si Rec(f) = B.

La igualdad de los conjuntos Rec(f) = B significa las dos inclusiones siguientes: Rec(f) B y B Rec(f). De la definición del conjunto reco-rrido de f, se tiene Rec(f) B. De la inclusión B Rec(f), se sigue que y B ⇒ y Rec(f), y por la definición del conjunto Rec(f), se tiene la equivalencia siguiente:

y Rec(f) ⇔ ∃x A tal que y = f(x).

Por lo tanto, la sobreyectividad de la función f puede ser expresada con la siguiente equivalencia:

Rec(f) = B ⇔ ∀y B, ∃x A tal que y = f(x).

Saberes previos

¿Qué es una función?


¿Cuál es la diferenciaentre función inyectiva ysobreyectiva?

Recuerda que…

Una de las primeras ta-reas en el estudio de funciones es el reconocimiento del tipo de función que corresponde; es decir, distinguir si la función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. En este último caso, es posible determinar o definir la función inversa.

195

Si una función f de A en B es tal que Rec(f) es un subconjunto propio de B, f no es sobreyectiva.

Ejercicios resueltos1. Sean A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4 y f la función de A en B definida

como f(a) = 3, f(b) = 2, f(c) = 1, f(d) = 4. Se tiene Rec(f) = B = 1, 2, 3, 4 = B, es decir, f es función sobreyec-

tiva.2. Consideremos los conjuntos A = –1, 0, 1, 2, B = 5, 10, 15, 20

y g la función de A en B definida como: g(–1) = 20, g(0) = 10, g(1) = 20, g(2) = 10. Entonces, Rec(g) = 10, 20 ≠ B, por lo que g no es sobreyectiva.

Función biyectivaDefinición. Sean A y B dos conjuntos no vacíos cualesquiera. Una función o aplicación f de A en B es biyectiva si y solo si f es inyectiva y sobreyectiva. La negación de la biyectividad de una función se expresa como sigue: una función f de A en B no es biyectiva si y solo si f no es inyectiva o f no es sobreyectiva.

Ejercicios resueltos1. Sea A = –1, 0, 1, 2, B = 5, 10, 15, 20. Se define la función v de A en B como sigue:

v(–1) = 5, v(0) = 10, v(1) = 15, v(2) = 20.

La función v es inyectiva. Como Rec(v) = B, la función v es sobre-yectiva. Luego v es una función biyectiva.

2. Se define una función u. Demuestra o refuta que u es biyectiva.

u:

a) Inyectividad ∀x

1, x

2 R; x

1 ≠ x

2 ⇒ f(x

1) ≠ f(x

2).

Supongamos f(x1) = f(x

2), entonces se tiene que:

–(x1) + 1 = –(x

2) + 1. Por la ley cancelativa: x

1 = x

2.

Se comprueba que f(x1) = f(x

2) ⇒ x

1 = x

2. Por lo tanto, la función u

es inyectiva.

b) Sobreyectiva Rec(u) = R. Sean z R, entonces z Rec(u), luego z = u(x), o sea z = –x + 1, x = 1 – z. Resulta u(x) = –(1 – z) + 1 = z, se concluye que u es sobreyectiva.

Por los literales a y b se ha demostrado que la función u:

es inyectiva y sobreyectiva, por lo tanto, es biyectiva.


En forma general, las funciones (sean estas inyectivas, sobreyectivas o biyectivas) son muy utilizadas para resolver problemas de la vida real. Por ejemplo, en la geología, a fin de determinar la intensidad de un sismo, se utiliza una función denominada escala de Richter.

Shut

ters

tock

, (20

20).

7349

7187

R → R,x → u(x) = –x + 1.

R → R,x → u(x) = –x + 1

p Tarjeta de sismología.

Taller práctico

196

Sean A = a, b, c, B = 1, 2, 3, 4. En cada ítem se define una correspondencia f de A en B. Indica si es función. Justifica tu respuesta. En caso de ser función, halla Rec(f) e indica si es inyectiva.

Sean A = 1, 2, 3, 4, B = x, y, z. En cada ítem se define una correspondencia v de A en B. Indica si es función. En caso de serlo, halla Rec(v) e identifica si es una función sobreyectiva.

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyecti-vas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas), com-probando con la composición de funciones.

1

2

a) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 3.

b) f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 4.

c) f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(a) = 3.

a) v(1) = x, v(2) = z, v(3) = x, v(4) = z.

b) v(1) = x, v(2) = x, v(3) = y, v(4) = y.

c) v(1) = z, v(2) = x, v(3) = z.

d) v(1) = x, v(2) = x, v(3) = x.

Sean A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4. Indi-ca cuáles de las siguientes son funciones biyectivas.

3

a) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1, f(d) = 1.

b) f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3, f(d) = 4.

c) f(a) = 2, f(b) = 2, f(c) = 2, f(d) = 2.

a) u(5) = 10, u(10) = 20, u(15) = 50, u(20) = 30, u(25) = 40.

Sean A = 5, 10, 15, 20, 25,B = 10, 20, 30, 40, 50. En cada ítem se define una función u de A en B. Indica si u es biyectiva.

4

197


Es importante organizar los equipos de trabajo y la duración de los mismos de tal manera que todos trabajen con todos a lo largo del año escolar.


Escriban todas las funciones sobreyecti-vas f de A en B.

Escriban todas las funciones biyectivas f de A en B.

En cada ítem se define una función u. De-muestren o refuten que u es biyectiva.

6

7

8


En cada ítem se define una función u. Demuestra o refuta que u es biyectiva.

5

b) u(5) = 50, u(10) = 40, u(15) = 10, u(20) = 20, u(25) = 50.

c) u(5) = 30, u(10) = 10, u(15) = 30, u(20) = 40, u(25) = 50. a) A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4.

a) A = a, b, B = 1, 2.

a) u:

b) u:

d) u:

e) u:

c) u:

b) A = a, b, c, B = 1, 2, 3.

c) A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4.

b) A = a, b, c, B = 1, 2.

c) A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3.

R → R,t → u(t) = –t + t2.

R → R,t → u(t) = t – .

Q → Q,a → u(a) = – a2.

Q → Q,r → u(r) = r + (r – 1)2.

Q → Q,y → u(y) = + 1.

t2

20

a5

76

15

–y + 1y2 + 4

a) u:

b) u:

R → R,x → u(x) = 3x + 2.

R → R,t → u(t) = t3.

c) u:R → R,p → u(p) = – p3 – 1.1

8

198

Composición de funciones y funciones inversas

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas), comprobándola mediante la composición de funciones. M.5.1.24. Resolver y plantear aplicaciones de la composición de funciones reales en problemas reales o hipotéticos.

Definición. Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B, g una función de B en C. La composición de la fun-ción g con la de f, que se nota g f, es la función de A en C definida como:

(g f)(x) = (g(f(x)), ∀x A.

De la definición se tiene g f:

Ejercicios resueltos1. Sean A = –30, –25, –20, –15, B = 0, 1, 2, 3, 4, C = 10, 20, 30, 40, 50, f y g son las funciones que se muestran en

los siguientes diagramas de Venn-Euler:

La función g f está definida del modo que se indica a continuación:

g f(–30) = g(f(–30)) = g(4) = 20, g f(–25) = g(f(–25)) = g(2) = 60, g f(–20) = g(f(–20)) = g(0) = 40, g f(–15) = g(f(–15)) = g(3) = 30.

En la Figura 6.1. se muestran los resultados de la función g f.

Ejercicios resueltos2. Sean A = 1, 2, 3, 4, B = C = A. Consideremos las funciones f, g

definidas como sigue: f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4, f(4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 4, g(3) = 1, g(4) = 2.

Claramente, las funciones f, g son inyectivas, sobreyectivas, biyec-tivas. Determinemos la función g f. Tenemos:

(g f)(1) = g(f(1)) = g(2) = 4, (g f)(2) = g(f(2)) = g(3) = 1, (g f)(3) = g(f(3)) = g(4) = 2, (g f)(4) = g(f(4)) = g(1) = 3.

Observamos que g f es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. ¿Cómo está definida la función compuesta f g?, ¿es f g = g f?

3. Sean u, v las funciones definidas de Q en Q que se especifican

a continuación: u(x) = x2 + 1, v(x) = – – 1, ∀x Q.

Determinemos las funciones compuestas v u y u v.

Saberes previos

¿Qué es una función biyectiva?


¿Cómo representas en un diagrama de Venn la com-posición de funciones?

Recuerda que…

Teorema. Sean A, B, C tres conjuntos no vacíos, f una función de A en B, g una fun-ción de B en C. Entonces,

i. Si f, g son inyectivas, g f es inyectiva.

ii. Si f, g son sobreyectivas, g f es sobreyectiva.

iii. Si f, g son biyectivas, g f es biyectiva.

iv. Si g f es inyectiva, f es inyectiva.

v. Si g f es sobreyectiva, g es sobreyectiva.

A → C,x → (g f)(x) = g(f(x)).

–30–25–20–15

01234

01234

102030405060

x3

A BB Cf f

–30–25–20–15

102030405060

A Cg f

p Figura 6.1.

199

De la definición de las funciones u y v se tiene:

(v u)(x) = v(u(x)) = v(x2 + 1) = – – 1 = – – , ∀x Q,

(u v)(x) = u(v(x)) = u – – 1 = – – 1 2

+1 = + 1 2

+ 1, ∀x Q.

Observa que, en general, (u v)(x) ≠ (v u)(x).

Función inversaSean A, B dos conjuntos no vacíos cualesquiera, f una función de A en B con f biyectiva. Por ser f sobreyectiva, para cada y B existe x A, tal que y = f(x). Supongamos que existen x

1, x

2 A, tales que

y = f(x1), y = f(x

2). Como f es inyectiva, de la igualdad f(x

1) = f(x

2) se

sigue que x1 = x

2. Así, para cada y B, existe un único x A, tal que

y = f(x). Este hecho permite definir la función inversa.

Definición. Sean A, B dos conjuntos no vacíos, f una función biyec-tiva de A en B. Se define la función inversa f–1 de B en A mediante la siguiente relación:

x A, y B, y = f(x) ⇔ x = f–1(y).

Ejercicios resueltos1. Sea A = a, b, c, B = 0, 1, 2. y f la función de A en B definida como

f(a) = 0, f(b) = 1, f(c) = 2. Obviamente f es biyectiva. Determinemos f–1. Tenemos: 0 = f(a) ⇔ a = f–1(0), 1 = f(b) ⇔ b = f–1(1), 2 = f(c) ⇔ c = f–1(2).

La función f–1 de B en A está definida como f–1(0) = a, f–1(1) = b, f–1(2) = c.

2. Sean A = a, b, c, d, B = 1, 2, 3, 4, C = i, j, k, m. Consideramos las funciones f y g definidas como se indica a continuación:

f(a) = 2, f(b) = 4, f(c) = 1, f(d) = 3, g(1) = k, g(2) = m, g(3) = j, g(4) = i.

Claramente, las funciones f y g son biyectivas. Las funciones inver-sas f–1 y g–1 se definen a continuación:

f–1(1) = c, f–1(2) = a, f–1(3) = d, f–1(4) = b, g–1(i) = 4, g–1( j) = 3, g–1(k) = 1, g–1(m) = 2.

Entonces, la función f–1 g–1 se define como sigue: (f–1 g–1)(i) = f–1(g–1(i)) = f–1(4) = b, (f–1 g–1)( j) = f–1(g–1( j)) = f–1(3) = d (f–1 g–1)(k) = f–1(g–1(k)) = f–1(1) = c, (f–1 g–1)(m) = f–1(g–1(m)) = f–1(2) = a, y la función (g f)–1 se obtiene del modo siguiente:

(g f)(a) = g(f(a)) = g(2) = m ⇒ (g f)–1(m) = a, (g f)(b) = g(f(b)) = g(4) = i ⇒ (g f)–1(i) = b, (g f)(c) = g(f(c)) = g(1) = k ⇒ (g f)–1(k) = c, (g f)(d) = g(f(d)) = g(3) = j ⇒ (g f)–1(j) = d.

Comparando los resultados, se concluye que (g f)–1 = f–1 g–1.

Recuerda que…

Teorema. Sean A, B, C, D conjuntos no vacíos f: A → B, g: B → C, h: C → D tres aplica-ciones, entonces:

(h g) f = h (g f).

Teorema. Sean A, B dos con-juntos no vacíos, f una función biyectiva de A en B, entonces:

i. f–1 es biyectiva.

ii. f f–1 = IB.

iii. f–1 f = IA.

iv. IB f = f.

v. f IA = f.

Teorema. Sean A, B, C conjun-tos no vacíos, f una función de A en B, g una función de B en C con f y g funciones biyectivas, entonces:

(g f)–1 = f–1 g–1.

x2 + 13

x2

343

x3

x3

x3

Taller práctico

200

Sean A = a, b, c, d, B = –3, –2, –1,C = 10, 20, f la función de A en B defi-nida como f(a) = –1, f(b) = –2, f(c) = –3, f(d) = –1, g la función de B en C, dada como se indica a continuación:g(–1) = 10, g(–2) = 20, g(–3) = 10.

Determina la función compuesta g f. Completa el proceso.

Sean A = –1, 0, 1, 2, u, v la función de A en A definidas a continuación:u(–1) = 0, u(0) = 2, u(1) = 1, u(2) = –1,v(–1) = 0, v(0) = 1, v(1) = 2, v(2) = –1.

Determina las funciones v u.

En cada ítem se definen las funciones u y v. Determina las funciones compuestas u v y v u. Calcula algunos valores de estas dos funciones compuestas y com-prueba que, en general, u v ≠ v u.

Sean A = –1, 0, 1, 2, u, v, w tres funciones de A en A definidas a continuación: u(–1) = 0, u(0) = 2, u(1) = 1, u(2) = –1,v(–1) = 0, v(0) = 1, v(1) = 2, v(2) = –1,w(–1) = 0, w(0) = –1, w(1) = 2, w(2) = 1.

Determina w (v u), (w v) u, y verifi-ca que w (v u) = (w v) u.

DCCD: M.5.1.24. Resolver y plantear apli-caciones de la composición de funciones reales en problemas reales o hipotéticos.

1

2

4

3

a) (g f)(a) = g(f(a)) = g(–1) = 10,

b) (g f)(b) = g(f(b)) = g(–2) = _______,

c) (g f)(c) = g(f(c)) = ________________,

d) (g f)(d) = g(f(d)) = ________________.

La función g f de A en B está definida como

e) (g f)(a) = 10, (g f)(b) = ___________,

f) (g f)(c) = _______, (g f)(d) = _______.

Determina u v.

¿Qué conclusión obtienes?

_______________________________________________

_______________________________________________

Z → Z,n → u(n) = 1.

Z → Z,m → u(m) = m – 5.

Z → Z,n → v(n) = 3n.

Z → Z,m → v(m) = –m2 + 5.

a) u:

c) Resuelve en tu cuaderno:

u:

v:

v:

Z → Z,n → u(n) = –n + 5.

Z → Z,n → v(n) = n(n – 1).

b) u:

v: 12

201


Es importante juntar a los alumnos que tienen al-guna discapacidad grave con aquellos más atentos para asegurar la participación total del equipo.


En cada ítem se definen las funciones u y v. Determinen las funciones compues-tas u v y v u.

7

Considera los conjuntosA = –2, –1, 0, 1, 2, B = 4, 8, 12, 16, 20,C = 15, 18, 21, 24, 27, u la función de Aen B, v la función de B en C que en cada caso se definen. Halla v u. En el caso en que u y u sean biyectivas, halla u–1 v–1 y (v u)–1 y compara los resultados.

6

Sean A = 5, 10, 15, 20, 25,B = 10, 20, 30, 40, 50. En cada ítem se define una función u de A en B. Indica si u es biyectiva. En caso de serlo, define la función inversa u–1.

DCCD: M.5.1.23. Reconocer funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas para calcular la función inversa (de funciones biyectivas), comprobándo-la mediante la composición de funciones.

5

a) u(5) = 10, u(10) = 20, u(15) = 50, u(20) = 30, u(25) = 40.

b) u(5) = 50, u(10) = 40, u(15) = 10, u(20) = 20, u(25) = 50.

a) u(–2) = 4, u(–1) = 8, u(0) = 12, u(1) = 8, u(2) = 4, v(4) = 15, v(8) = 18, v(12) = 24, v(16) = 27, v(20) = 15.

b) u(–2) = 20, u(–1) = 16, u(0) = 12, u(1) = 8, u(2) = 4, v(4) = 27, v(8) = 24, v(12) = 21, v(16) = 18, v(20) = 15.

Z → Z,m → u(m) = m + 5.

Q → Q,x → f(x) = –x + 1.

Z → Z,m → v(m) = –m2 + 5.

Q → Q,x → g(x) = 3x + .

Q → Q,x → u(x) = 4x – 3.

Q → Q,x → u(t) = 125t3.

a) u:

b) u:

a) u:

b) u:

v:

v: 15

Consideren los conjuntosA = –2, –1, 0, 1, 2, B = –4, 0, 4, 8, 12,u la función de A en B, definida como si-gue: u(–2) = –4, u(–1) = 8, u(9) = 0,u(1) = 12, u(2) = 4.

Comprueben que la función u es biyecti-va y determinen las funciones u–1 y (u–1)–1. Comparen los resultados de (u–1)–1 con los de la función u y concluyan.

En cada ítem se define una función u. Demuestren o refuten que u es biyec-tiva y, en caso de serlo, hallen su inversa.

8

9


202

El conjunto R3

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de R3 y de producto por un número escalar de manera geométrica y analítica, aplicando propiedades de los números reales; y reconocer los vectores como elementos geométricos de R3.

Los elementos del espacio vectorial R3 se identifican con los vectores en el plano. Las ecuaciones vectoriales recta y de planos, así como sus representaciones gráficas, constituyen otros elementos importantes en las aplicaciones.

Se designa con R3 al producto cartesiano R × R × R, esto es,R3 = (x, y, z) | x, y, z R. Los elementos de R3 son ternas ordenadas.Si (x, y, z) R3, x R se denomina primera componente o abscisa, y R se denomina segunda componente u ordenada, z se llama tercera componente. A los elementos de R3 los representamos con las letras mayúsculas del alfabeto y a sus componentes, siempre con letras minúsculas del alfabeto, con o sin subíndices. Así, escribiremos U = (x, y, z) R3. También escribiremos A R3. En este último caso, quedará sobreentendido que A es una terna ordenada, esto es, que existen a, b, c R, tal que A = (a, b, c). Se tiene, entonces, la siguiente equivalencia:

A R3 ⇔ ∃a, b, c R tal que A = (a, b, c).

Ejercicio resueltoLos siguientes son elementos de R3: A = (0, 1, 5), B = –8, – , 2 ,

C = (0, 0, –3), D = (2, 0, 0), M = (0, 1, 0), N = (– 2 , – 2, 2 ),

0 = (0, 0, 0). El elemento 0 = (0, 0, 0) se llama elemento nulo de R3.

Igualdad de elementos de R3

Definición. Sean A = (a, b, c), B = (x, y, z) R3. Diremos que A es igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x, b = y, c = z.

De la definición de igualdad de ternas ordenadas, tenemos la siguien-te equivalencia:

A = B ⇔ (a = x ∧ b = y ∧ c = z),

donde ∧ denota el conectivo lógico conjunción. La definición expresa que dos elementos de R3 son iguales si y solo si sus respectivos com-ponentes son iguales. De la definición de igualdad se desprende in-mediatamente su negación: si A = (a, b, c), B = (x, y, z) R3, entonces A ≠ B ⇔ (a ≠ x ∨ b ≠ y ∨ c ≠ z), donde ∨ denota el conectivo lógico disyunción.

Sistemas de coordenadas espacialesPrimeramente establecemos una correspondencia biunívoca (biyec-ción) entre los puntos del espacio y las ternas ordenadas (a, b, c) R3. Denotamos con E

3 el conjunto de puntos del espacio.

5 4

52

Saberes previos

¿Cómo son los elemen-tos de R2?


¿Cuántos elementos tie-ne una terna elemento de R3?


Matemática y físicaMuchas de las aplicaciones en el campo de la física y, en estos últimos años, en la computa-ción gráfica, como, por ejemplo, el diseño asistido por computa-dora y la simulación numérica, requieren del conocimiento matemático de los espacios vectoriales.

Así, por ejemplo, en física, el movimiento de una partícula o de un cuerpo se determina por el vector de posición, la veloci-dad, la aceleración, las fuerzas que obran sobre dicho movi-miento, entre otros elementos.

Dise

ño C

AD

D, (

2020

). w

ww

.esqu

emat

.es

p Torre Eiffel.

203

En la Figura 6.2. se muestran tres rectas del espacio L1, L

2, L

3, que se cor-

tan en el punto O y L1 L

2, L

1 L

3, L

2 L

3, A L

1, B L

2, C L

3. El

símbolo colocado en los ejes indica que el ángulo formado es recto. Al punto O le asociamos el elemento nulo (0, 0, 0) de R3. Las longitu-des de los segmentos OA, OB, OC son 1.

A la recta L1 con la graduación OA la denominamos eje x; a la recta L

2

con la graduación OB la denominamos eje y; a la recta L3 con su gra-

duación OC la denominamos eje z. Estos ejes no necesariamente son ortogonales. A estos tres ejes los denominamos sistema de referencia del espacio o sistema de coordenadas espaciales.

Cuando los ejes son ortogonales, llamaremos sistema de referencia ortogonal y, si no hay peligro de confusión, simplemente diremos sis-tema de coordenadas espaciales xyz.

En las Figuras 6.3. y 6.4. se muestran tres sistemas de coordenadas es-paciales xyz y el punto (2, –3, 3) R3, así como el punto (3, 5, 2) R3.

Recuerda que…

Un sistema de coor-denadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X y Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P = (x, y, z).

Los ejes de coordenadas deter-minan tres planos coordena-dos: XY, XZ y YZ. Estos planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones llamadas oc-tantes. En el primer octante, las tres coordenadas son positivas.

p Figura 6.2.

p Figura 6.3.

p Figura 6.4.

p Figura 6.5.

L3

L2

L1

C

O

B

A1

1

1

+Z

+X

3

+Y

02

ZOYXOZ

XOY 4

1

5

68

Taller práctico

204

Para cada ejercicio en el sistema de coor-denadas tridimensionales x, y, z, repre-senta los siguientes puntos de R3.

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de R3 y de producto por un núme-ro escalar de manera geométrica y analítica, apli-cando propiedades de los números reales; y recono-cer los vectores como elementos geométricos de R3.

1

a) (–2, 1, 4).

e) (–4, –3, –5).

b) (3, –1, 2).

f) (0, 2, 3).

c) (2, 4, 3).

g) (–3, 2, 0).

d) (–3, –2, 4).

Identifica los signos de las ternas ordena-das en cada octante. Observa la figura.

2

0

–1

–2

1

2

3

4 z

–3

–4

11–1 –2

–3 –4 –5

x 234

–1–2

–3–4

–5

23

45

6y

0

0

–1

–1

–2

–2

1

1

2

2

3

3

4

4

–3

–3

–4

–4

1

1

1

1

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

2

2

3

3

4

4

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0

0

–1

–1

–2

–2

1

12

23

34

4

5

6

7

–3

–3

–4

–4

–5

1

1

1

1

–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

2

2

3

3

4

4–1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

0

0

0

–1

–1

–1

–2

–2

–2

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

–3

–3

–3

–4

–4

–4

1

1

1

1

1

1

–1

–1

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–4

–4

–4

–5

–5

–5

2

2

2

3

3

3

4

4

4

–1

–1

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

–4

–4

–4

–5

–5

–5

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

x

x

x

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y

z

z

z

z

z

z

z

x

x

x

205


Cuando en un equipo hay miembros con alguna discapacidad, es importante enseñar a los alum-nos a trabajar con todos los miembros del equi-po y aprender sobre ellos mismos y los demás.


En el sistema de coordenadas espaciales xyz, representen los siguientes puntos de R3.

Sea z = x2 + y2. Completen la siguiente tabla, grafiquen los puntos en el plano tridimensional, y luego unan los puntos.

Analicen el siguiente gráfico y respon-dan las preguntas.

4

5

6


Sea z = x2 + y2. Completa la siguiente ta-bla, grafica los puntos en el plano tridi-mensional, y luego une los puntos.

3

x y z0 01 02 03 00 10 20 3

x y z0 0

–1 0–2 0–3 00 –10 –20 –3

a) I octante (+, +, +)

b) II octante _____________________________

c) ________________________________________

d) ________________________________________

e) ________________________________________

f) ________________________________________

g) ________________________________________

h) ________________________________________

a) (0, 0, 2).b) (0, 0, –3).

c) (–2, 0, 0).d) (2, 0, 0).

e) (0, 3, 0).f) (0, –3, 0).

a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A?

b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A1?

c) ¿Cuáles son las coordenadas del punto A3?

d) ¿Dónde está localizado el punto (8, 5, 6)?

e) ¿Cuántos puntos podrías colocar en la cuadrícula del dibujo?

0

1

2

3

5

6

7

8

9

10

11234

23

4y

z

x

x

z

y

0

A3

A2

A1(3, 4, 0)

A(3, 4, 6)

(3, 0, 0)

B

206


Operaciones en R3

Tal como en el estudio del espacio vectorial R2, definiremos en R3 las operaciones de adición “+”, y de producto de números reales por ele-mentos de R3. Con estas dos operaciones, obtendremos la estructura de espacio vectorial al que lo denominaremos espacio vectorial R3, o simplemente espacio R3.

Adición en R3

Definición. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z) dos elementos de R3. Se define la suma de u con v, que se escribe u + v, como sigue:

u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z). La definición expresa que la adición de dos elementos de R3 se realiza sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemen-to de R3.

Ejercicios resueltos1. Sean u = (–5, 8, 10), v = (3; –5,5; –4). Entonces, u + v = (–5, 8, 10) + (3; –5,5; –4) = (–5 + 3; 8 – 5,5; –10 –4) = (–2; 2,5; –14).

2. Dado a R, se definen u = (a, –a, a), v = (–a, a, –a) R3. Entonces, u + v = (a, –a, a) + (–a, a, –a) = (a – a, –a + a, a – a) = (0, 0, 0) = 0.

La definición de suma de elementos de R3 muestra que la suma de dos elementos de R3 es otro elemento de R3. Más aún, la ope-ración adición en R3 es una ley de composición interna, esto es, “+” es una función de R3 × R3 en R3 definida como sigue:

+:

donde u + v está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausu-rativa que se expresa del modo siguiente:

∀u, v R3 ⇒ u + v R3.

Teorema. La operación “+” en R3 satisface las siguientes propiedades:

i. Conmutativa: para todo u, v R3, u + v = v + u.

ii. Asociativa: para todo u, v, w R3, u + (v + w) = (u + v) + w .

iii. Existencia del elemento neutro: existe 0 R3 tal que para todo u R3, u + 0 = 0 + u = u.

iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada u R3, existe v R3 tal que u + v = 0.

Saberes previos

¿Qué operaciones se pueden efectuar en R3?


¿Las propiedades de la adición de los números reales se cumplen para R3?

Recuerda que…

Estas son las propieda-des de la adición de números reales:

• Conmutativa: para todo x, y R, x + y = y + x.

• Asociativa: para todo x, y, z R, x + (y + z) = (x + y) + z.

• Existencia de elemento neutro: existe 0 R, tal que para todo x R, x + 0 = 0 + x = x.

• Existencia de opuestos aditi-vos: para cada x R, existe –x R, tal que x + (–x) = 0.

R3 × R3 → R3,(u, v) → u + v,

207

Demostración. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z), w = (p, q, r) tres elemen-tos arbitrarios de R3.

i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en R3 se tiene u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z).

Además, v + u = (x, y, z) + (a, b, c) = (x + a, y + b, z + c), y por la propiedad conmutativa de la operación adición “+” en R,

obtenemos v + u = (a + x, b + y, c + z). Por la definición de igual-dad de elementos en R3 se tiene

u + v = v + u = (a + x, b + y, c + z). Conclusión: u + v = v + u.

ii. Existencia del elemento neutro. El elemento 0 = (0, 0, 0) pertene-ce a R3, donde 0 R es el elemento neutro. Entonces

u + 0 = (a, b, c) + (0, 0, 0) = (a + 0, b + 0, c + 0). Como a + 0 = a, b + 0 = b, c + 0 = c, se sigue que u + 0 = (a + 0, b + 0, c + 0) = (a, b, c) = u. Conclusión: 0 R3 es tal que para todo u R3, u + 0 = u.

iii. Existencia de opuestos aditivos. Dado u = (a, b, c) R3 y como a, b, c R, por la existencia de opuestos aditivos en R, existen –a, –b, –c R, tales que a +(–a) = 0, b +(–b) = 0, c +(–c) = 0. Definimos v = (–a, –b, –c) R3. Entonces,

u + v = (a, b, c) + (–a, –b, –c) = (a + (–a), b + (–b), c + (–c)) = (0, 0, 0) = 0.

Conclusión: dado u = (a, b, c) R3, existe v = (–a, –b, –c) R3, tal que u + v = 0.

Ejercicios resueltos1. El opuesto aditivo de u = (0, –8, 10) es –u = (0, 8, –10). Nota que u + (–u) = (0, –8, 10) + (0, 8, –10) = (0 – 0, –8 + 8, 10 – 10) = (0, 0, 0) = 0.

2. El opuesto aditivo de A = –2, – , – es –A = 2, , .

Se tiene A + (–A) = –2, – , – + 2, , =

2 – 2, – + , – + = (0, 0, 0) = 0. Resta en R3

Definición. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z) R3. Se define u – v como sigue: u – v = u +(–v) = (a – x, b – y, c – z).

Observa que el opuesto aditivo de v = (x, y, z) R3 es–v = (–x, –y, –z) R3, u – v, que se opera como la suma de u con el opuesto aditivo de v.

Ejercicio resuelto1. Sean A = (5, –2, 3), B = (15, 3, –8). Entonces –B = (–15, –3, 8), y A – B = A +(–B) = (5, –2, 3) + (15, –3, 8) = (5 – 15, –2 – 3, 3 + 8) = (–10, –5, 11).

Recuerda que…

Grupo conmutativo (R3, +)El conjunto R3 en el que se ha definido la igualdad de elementos de R3 junto con la operación adición “+” tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo; esto es, la operación adición “+” es cerrada en R3 y satisface las pro-piedades i) a iv) del teorema de la página 206.

Teorema.Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z)dos elementos de R3. Entonces,

–(u + v) = (–u) + (– v).

Teorema. Ley cancelativa.Para todo A , B , C R3,

A + B = A + C ⇔ B = C.

Teorema. i. El elemento 0 de R3 es único.ii. Dado u R3, el opuesto

aditivo –u R3 es único.

12

12

12

12

12

23

23

23

23

23

12

23

Taller práctico

208

Escribe el opuesto aditivo de cada ele-mento p de R3 que se da, y verifica que p + (–p) = 0 .

Con los vectores A , B de R3 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B .

Sean A = (4, –2, 3), B = –2, – , 1 ,

C = 21, 4, – . Realiza las sumas que

se proponen en cada caso.

Sea u = , – , 1 , v = – , , –2 ,

w = – , – , – . Verifica la igualdad

que se propone en cada caso. Para el efecto, realiza los cálculos en el lado izquierdo de la igualdad, luego en el lado derecho, y compara los resultados.

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de R3 y de producto por un nú-mero escalar de manera geométrica y analítica, apli-cando propiedades de los números reales; y recono-cer los vectores como elementos geométricos de R3.

1

2

3

4

a) p = , 2, 2 .

d) p = – 5 , – , – .

b) p = , , – .

c) p = , – , – .

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

a) A + B + C .

b) A – B + C .

a) A = (–3, 8, –5), B = , –2, 20 .

b) A = (–1, 4, 1), B = (–5, –3, –4).

c) A = (3 2 , 2 3 , 5 5 ),

B = – 2 , – 3 , – 5 .

c) –A –(–B + C ).

a) u – (v + w) = u – v – w.

b) –(u + v) = –u – v.

14

2231

312

32

59

13

35

25

514

15

32

23

53

12

13

13

23

53

14

12

310

25

209


Una forma de evaluación cuando se trabaja con estudiantes con necesidades educativas es recompensar al grupo por establecer estrategias para ayudarse mutuamente.

Completa el proceso de demostración de la propiedad asociativa.

5


Sea u R3. Prueben que: 6


Sean u, v, w R3. Demuestren las igual-dades siguientes:

Sea u R3. Prueben que el opuesto adi-tivo de u es único. Para el efecto, asuman que existe otro opuesto aditivo distinto al opuesto de u, y obtengan una contra-dicción.

Exhiban ejemplos que muestren que la operación resta en R3 no es ni conmuta-tiva ni asociativa.

Sean A1 = (a

1, b

1, c

1), A

2 = (a

2, b

2, c

2),

A3 = (a

3, b

3, c

3), A

4 = (a

4, b

4, c

4) cuatro

elementos de R3. Demuestren que se tiene la siguiente igualdad:

7

8

9

10

c) –(u + v + w) = –u – v + w.

d) u – (v – w) = u – v + w.

• Demostración. Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z), w = (p, q, r) tres elementos arbi-

trarios de R3. Por la definición de la adición “+” en R3, se

tiene v + w = (x, y, z) + (p, q, r) = = _____________________________________________

Luego, u + (v + w) = (a, b, c) + (x + p, y + q, z + r) = _______________________________________________

_______________________________________________

y debido a la propiedad asociativa de la adi-ción en R, resulta a + (x + p) = a + x + p,

b + (y + q) = _____________________________, c + (z + r) = _____________________________,

con lo cual u + (v + w) = (a + x + p, b + y + q, c + z + r).

Por otro lado, u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = ___________________________________________.

Luego, (u + v) + w = (a + x, b + y, c + z) + (p, q, r) = = ___________________________________________.

Por la misma propiedad asociativa de la adi-ción en R, se obtiene:

(u + v) + w = (a + x + p, b + y + q, c + z + r).

De la definición de igualdad de elementos de R3, se concluye que

u + (v + w) = (u + v) + w .

a) –(–u) = u.

b) –(–(–u)) = –u.

a) u – (v – w) = u – v + w.

b) –(u – v + w) = –u – v – w.

c) –(u – (v – w) = –u + v – w.

d) –(–u – (v – w) = u + v – w.

• A1 + A

2 + A

3 + A

4 = A

1 + A

2 + A

3 + A

4.

210


Producto de escalares por elementos de R3

En lo sucesivo, a los elementos de R los denominamos escalares.

Definición. Sean a R y u = (x, y, z) R3. Se define el producto de a por u, que se escribe a ∙ u, como sigue: a ∙ u = a ∙ (x, y, z) = (ax, ay, az).

De la definición se sigue que el producto de un número real por un vector de R3 es otro elemento de R3, cuyos componentes son los pro-ductos del número real por los respectivos componentes del vector.

El producto de escalares (números reales) por vectores de R3 es una operación que notamos “∙” y es una función de R × R3 en R3, definida como sigue:

∙ : ,

con a ∙ u arriba definido. Además, se asume quea ∙ u = u ∙ a = (ax, ay, az), donde a R, u = (x, y, z) R3.

Ejercicios resueltos

1. Para a = –2 y u = – , , –5 , se tiene au = –2 – , , –5

= (–2) – , (–2) , –2(–5) = , – , 10 .

2. Sean A = (5, 2, –1), B = –1, , – . Entonces,

3A – 20B = 3(5, 2, –1) – 20 –1, , –

= (15, 6, –3) – (–20, 8, –5) = (35, –2, 2). Propiedades del producto de escalares por elementos de R3

Teorema. Para todo a, b R y para todo u, v R3, se verifican las siguientes propiedades:

i. a(bu) = (ab)u = b(au).ii. (a + b)u = au + bu.iii. a(u + v) = au + av.iv. 1 ∙ v = v.

Demostración de iv. Notemos que 1 R, v = (x, y, z) R3, es el elemento unidad para el producto de números reales. Se tiene

1 ∙ v = 1 ∙ (x, y, z) = (1 × x, 1 × y, 1 × z) = (x, y, z) = v.

Conclusión: 1 ∙ v = v.

R × R3 → R3,(a, u) → a ∙ u

215

215

215

25

25

14

14

419

419

419

415

819

Saberes previos

¿Son los escalares ele-mentos de R?


¿Es el producto escalar por elementos de R3 una ope-ración de composición interna?

Recuerda que…

Algunas propiedades del producto “ ∙ ” de números reales son:

• Conmutativa: para todo x, y R, x ∙ y = y ∙ x.

• Asociativa: para todo x, y, z R, x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z.

• Existencia de elemento unidad: existe 1 R, tal que para todo x R, 1 ∙ x = x.

• Existencia de opuestos multi-plicativos: para cada x R, x ≠ 0, existe

x–1 = R, tal que xx–1 = 1.

Al conjunto R provisto de la operación producto “ ∙ ”, y que verifica las propiedades i) a iv) precedentes, lo de-nominamos grupo conmu-tativo para el producto, y lo denotamos como (R – 0, ∙).

x, y, z R.

• La adición y el producto de números reales están ligados por la propiedad distributiva: para todo x, y, z R,

x(y + z) = xy + xz.

1x

211

Teorema. Sean a, b R, u, v R3. Se verifican las propiedades siguientes: i. (–a)v = –av; ii. a(–v) = –av; iii. (–a)(–v) = av;iv. (a – b)v = av – bv; v. a(u – v) = au – av

Demostración. v. Por la definición de resta en R3, u – v = u +(–v). Luego,

a(u – v) = a[u + (–v)] = au + a(–v) = au – av.

Conclusión: a(u – v) = au – av.

Ejercicio resuelto1. Sean a, b R, u, v R3 y A = (a + b)(u – v) – (a – b)(u + v).

Simplificamos la escritura de A, aplicamos las propiedades de la adi-ción en R3 y del producto de números reales por elementos de R3. A = (a + b)(u – v) – (a – b)(u + v)

= (a + b)u – (a + b)v – (a – b)u – (a – b)v = (a + b)u – (a – b)u – (a + b)v – (a – b)v = (a + b – a + b)u – (a + b + a – b)v = 2bu – 2av = 2(bu – 2av). Luego, A = 2(bu – av).

Interpretación geométrica de las operaciones en R3

Consideremos el sistema de coordenadas ortogonales xyz; y denote-mos con O el punto de intersección de los tres ejes. SeaA = (a, b, c) R3. Tal como procedimos en el caso bidimensional, trazamos el vector geométrico OA. Se establece una identificación entre cada punto A R3 con el respectivo vector geométrico OA. En la Figura 6.6. se muestra este vector OA.

Sean u = (a, b, c), v = (x, y, z) dos elementos de R3. De la definición de suma de elementos de R3 se tiene

u + v = (a, b, c) + (x, y, z) = (a + x, b + y, c + z). Interpretemos geométricamente este resultado. Primeramente, los puntos (a, b, c), (x, y, z) R3 se identifican con los vectores geométri-cos notados u, v respectivamente. Representamos el vector geomé-trico u + v que se identifica con el punto (a + x, b + y, c + z) R3. En la Figura 6.7. se muestra esta representación.

Recuerda que…

Nota. Sean a R,u R3. Los resultados i), ii), iii) del teorema se conocen como regla de los signos que a conti-nuación repetimos:

(–a)v = –av,a(–v) = –av,

(–a)(–v) = av.


Para representar grá-ficamente puntos y vectores en el espacio, puedes utilizar software libre, como GeoGebra, tal como se indica al final de esta unidad en la página 216.

t Figura 6.7.

p Figura 6.6.

0

z

x

y

c + z

c

zy

b

b + y

a x a + x

u

u

v

v

u + v

c

a

b

A

0

z

y

x

OA

Taller práctico

212

Con el escalar a R y el vector v R3 que se dan en cada ítem, obtén el pro-ducto av.

Dados los vectores A = (–5, –3, 1),B = (–1, 2, 2), C = (2, 0, 3), obtén el vec-tor u que se define en cada caso.

DCCD: M.5.2.18. Realizar las operaciones de adición entre elementos de R3 y de producto por un núme-ro escalar de manera geométrica y analítica, apli-cando propiedades de los números reales; y recono-cer los vectores como elementos geométricos de R3.

1

2

a) a = –5, v = (2, 3, 4).

d) a = –5, v = (0, –3, –8).

e) a = 40, v = – , 0, – .

b) a = 100, v = (2,85; 3,22; 5,56).

c) a = –1, v = (–2 5 ; – 2 ; 3 ).

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

75

34

a) u = 2A + B + C .

c) u = –3A – 10B – 20C .

b) u = –A + 5B + C .b) –3x + (–1, 5, 1) = x – (–2, 2, 3).

13 11

1525

13

Con los vectores A , B , C que se dan en cada caso, halla x, y R, tal quexA + yB = C.

3

a) A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (–3, –58, 0).

b) A = (0, 2, –1), B = (0, –1, 3), C = (0, 1, 7).

c) A = (0, 0, –2), B = (4, 0, 1), C = (20, 0, 11).

Halla x R3 solución de la ecuación que se da en cada caso.

4

a) 3x – (10, 20, 30) = (0, 0, 0).

Completa las siguientes demostraciones.5

a) Sean a, b R, u, v R3. Verifica (–a)v = –av.

213


Es importante proporcionar a todos los alumnos ayuda para que todos lleguen al éxito, identificar los errores y ayudarlos a que los corrijan paulati-namente.


Sean a R, u R3. Prueben que:7


Representa gráficamente en el plano xyz la suma de: A = (1, 2, 2) y B = (3, 2, 4).

6

a) –(–au) = au.

a) a(u + v + w) = au + av + aw.

a) A = a(u – v + w) – a(u + v – w).

b) A = (a + b)(u – v) – (a – b)u + av.

c) A = a(u + v) + (b – a)u – b(u – v).

d) A = 2a(u + v) + (2b – 3a)u – 2b(u – v).

e) a(u + v – w) = au + av – aw.

b) (a + b + c)u = au + bu + cu.

f) (a + b – c)u = au + bu – cu.

c) c(au + bv) = (ac)u + (bc)v.

d) c(au – bv) = (ac)u – (bc)v.

b) –a(–a(u)) = –au.

c) u + u = 2u.

d) u + u + u = 3u.

Sean a, b, c R, u, v, w R3. En cada ítem, demuestren que se verifica la igualdad. Para el efecto, partan del lado izquierdo y obtengan el lado derecho.

Sean a, b R, u, v, w R3. En cada ítem, simplifiquen la escritura de A justifican-do cada operación que se realiza.

Sean a R, u, v R3. Si a ≠ 0 y au = av, prueben que u = v.

Sean a, b R, u R3. Si u ≠ 0 y au = bu, prueben que a = b.

8

9

10

11

i) El opuesto aditivo de av es _________________.

Probemos que el opuesto aditivo de (–a)v es –av y, en consecuencia, (–a)v = –av.

En efecto, (–a)v + av = [(–a) + _________ ]v

= 0 × _______ = _______.

Luego, por la unicidad del opuesto aditivo, se tiene (–a)v = ________________________ .

Por la parte i), se tiene –v = –1 ∙ v = (–1)v, entonces

(–a)(–v) = (–a)[(–1) × v] = [(–a)(–1)]v = _____________________________________________ .

Conclusión: (–a)(–v) = ____________________ .

b) Sean a, b R, u, v R3. Verifica (–a)(–v) = av.

12

34

56

123456y

z

x0

1

2

3

4

5

6

214


Evaporación del agua1. Un charco circular de

agua se está evapo-rando y disminuye lentamente su ta-maño. Después de t minutos, el radio del charco mide

centímetros,

es decir, el radio es una función del tiempo. El área del charco está dada por A = πr2, es decir, el área es una función del radio.

Responde las preguntas

a) ¿Cómo expresarías el área como una función del tiempo?

b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 mi-nutos?

Escribe las funciones que intervienen

• El radio en función del tiempo se puede expresar así:

R(t) = .

• El área en función del radio se expresa así: A = πr2. Establece la composición de funciones

a) ¿Cómo expresarías el área como una función del tiempo?

(AoR)(t)

= A(Rt).

A(R(t)

) = π 2

.

b) ¿Cuál es el área del charco después de 10 mi-nutos?

Reemplaza el valor de 10 en la anterior expre-sión.

A(R(10)

) = π 2

.

A(R(t)

) = 1,9 cm2. ConclusiónEl área de charco después de 10 minutos es de 1,9 cm2.

2. Los defensores del medio ambiente han estimado que el nivel promedio de mo-nóxido de carbono en el aire es

M(m) = (1 + 0,6 m) partes por millón cuando el número de personas es m-miles . Si la población en mi-les en el momento t es P(t) = 400 + 30t + 0,5t2, entonces:

a) Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.

b) Calcula el nivel de monóxido de carbono en t = 5.

3. Se conoce que la población de ranas R, calculada en miles en una determinada región, depende de la población de insectos m en millones. La pobla-ción de insectos I a su vez varía con la cantidad de lluvia c dada en centímetros. Si la población de ranas es

R(m) = 65 +

y la población de insectos es I(c) = 43c + 7,5, en-tonces:

a) Expresa la población de ranas como una fun-ción de la lluvia.

b) Estima la población de ranas cuando la lluvia es de 1,5 centímetros.

4. Después de muchas investigaciones, una compa-ñía farmacéutica determinó que la concentración de una droga en la corriente sanguínea puede cal-cularse de la siguiente manera: concentración igual a dos veces el tiempo transcurrido desde la inyec-ción, dividido entre el tiempo transcurrido al cubo.

a) Encuentra la ecuación de la concentración con respecto al tiempo.

b) Encuentra el dominio, el rango y la gráfica de la función.

Problemas adaptados de: http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/Problemario_Funciones.pdf


Shut

ters

tock

, (20

20).

3641

1662

0

Shut

ters

tock

, (20

20).

6428

9836

1812t + 3

1812t + 3

1812t + 3

1812(10) + 3

m8

Charco de agua. p

Pila de humo. p

215



Ingeniería en Ciencias de la ComputaciónLa carrera en Ingeniería en Ciencias de la Computación está comprome-tida en formar futuros líderes y emprendedores en el área de producción audiovisual animada, desde la idea original hasta el producto terminado, en el cálculo científico desarrollo de sotware.

Desde el principio de la carrera, los estudiantes desarrollan y aprenden nuevas técnicas y, a la par, aprenden a utilizar herramientas computacio-nales para crear sus obras, elaborar programas computacionales, para rea-lizar simulaciones virtuales

Para optar por esta carrera, es necesario que el aspirante haya desarrolla-do en el bachillerato competencias básicas, y tenga afinidad con:

• Matemática básica.• Geometría y geometría computacional.• Informática, navegación en Internet y búsqueda de información.

Si quieres optar por la carrera de Animación Digital puedes postular en una de las universidades reconocidas por el Senescyt.

El campo ocupacional de un profesional en Ciencias de la Computación está en productoras de televisión, estudios de postproducción, estudios de desarrollo de videojuegos, simulaciones en la industria.

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ters

tock

, (20

20).

1009

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20).

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w.te

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y.net

p Animación en 3D.

p Animación digital.

Matemática y deporte¿Qué tiene que ver la matemática con la animación en 3D y los video-juegos? Pues, en realidad, mucho. Para realizar un juego de mesa o más aún para realizar juegos de computadoras y animaciones, es necesa-rio desarrollar un pensamiento estructural, un pensamiento lógico y, sobre todo, descubrir cómo ciertos conceptos matemáticos de álgebra y geometría se pueden aplicar en el desarrollo de videojue-gos en 3D. Cualquier videojuego en 3D del mercado, sea de un ce-lular, de la PC o de una consola, hace uso exhaustivo de los cálculos matemáticos que se enseñan en el bachillerato.

En la tercera dimensión o 3D lo que se hace fundamentalmente es simular volumen. Esto se logra cuando en un plano X, Y, se incorporan valores numéricos en Z. Estos valores sirven para formar polígonos me-diante algoritmos que permiten modelar en 3D.

Adaptado de: http://www.digitalacb.com/explicacion.html

216

TICGráfico de vectores en R3 con GeoGebraVamos a utilizar GeoGebra para representar los vectores:

p = (–5, 5, 9); r = (2, 5, 7); u = (–4, –7, 5).

1. Como primer paso, ingresa a Vista y selecciona Gráficas en 3D. Aparecerá el plano en tres dimensiones, con la orientación de los ejes x, y, z.

2. En la parte de Entrada, ingre-sa cada uno de los vectores.

3. Ingresa cada vector con una letra minúscula, seguida del signo igual, y entre paréntesis la coordenada.

4. En Vista Algebraica aparece-rán, en forma de matriz, las coordenadas de cada vector con su respectivo color.

217

• Practica el trazo del gráfico de vectores y las operaciones de suma y producto de un escalar por vectores en R3 con otros vectores.

Suma de vectores en R3

Sumamos los vectores p = (–5, 5, 9) y q = (–4, –7, 5).

Producto de un escalar por elementos de R3

En el gráfico de los vectores p = (–5, 5, 9) y q = (–4, –7, 5), vamos a di-bujar los vectores m = –0,5p y n = 1,5q.

1. Ingresa en Entrada los dos vectores p y q.

1. Ingresa los vectores origina-les, p y q.

2. Escribe una letra minúscula y la operación. Así: m = –0,5p y n = 1,5q. Aparecerá el gráfico del producto de un escalar por un vector.

2. En Entrada escribe otra letra minúscula y la operación. r = p + q. Aparece el nuevo vector.

218

Desafíos y proyectos matemáticosTema: Crear con la técnica de stop motion

JustificaciónStop motion es una técnica de rodaje ba-sada en continuas tomas fotográficas, en las que cada plano varía ligeramen-te del anterior, creando así la ilusión de una animación (como seguramen-te lo has visto en los dibujos animados y en los cortos con muñecos de plasti-lina o materiales moldeables).

Objetivos

• Crear una animación de stop motion utilizando un software de fácil acceso, y de manera cómoda y rápida.

Actividades

• Formar grupos de 2 o 3 personas.• Instalar un software de stop motion. Existen programas con perío-

do de prueba que se pueden usar para este fin.• Redactar, en cada grupo, un breve guion de la escena que se desea

animar.• Buscar objetos y figuras que se puedan usar en el proyecto (plas-

tilina, alambre, legos o figuras similares para armar los personajes y la escenografía).

• Organizar la escena de tal manera que con una cámara se puedan tomar las fotografías necesarias. Por lo general, se puede utilizar una cámara web para asociarla con el software.

• Tomar fotos de objetos o figuras en la posición inicial. Luego, se mueven poco a poco las figuras y se toman fotografías después de cada movimiento.

• Revisar el software. Cada vez que se haya tomado una foto, debe aparecer un cuadro de stop motion.

• Convertir el proyecto en un archivo de video y compartirlo con la clase.

En este enlace, hay más información sobre el tema: http://cedec.educalab.es/luciole-stopmotion-en-dos-pasos/

ConclusionesPrepare un documento que permita la coevaluación y la autoevalua-ción de la ejecución de esta actividad.

Es importante conocer cuál fue el grado de aceptación del proyec-to por parte de los estudiantes y cómo se sintieron con la ejecución de este. Por ello, establezca un diálogo con los jóvenes y pregúnteles cómo se sintieron al realizar este proyecto.

Recursos• Sala de computación o

tablets con cámara web incorporada

• Espacio físico con buena iluminación para tomar la secuencia de fotografías

• Plastilina, legos, alambres y material que sirva para construir personajes

Stop

mot

ion

ex, (

2020

). w

ww

.uni

at.co

m

Stop motion. p

218


219

En síntesis

Álgebra y funciones

Geometría y medida

Funciones El conjunto R3

Inyectivas Igualdad de elementos en R3

Adición en R3

Propiedades

Resta en R3

BiyectivasOperaciones en R3

Composición de funciones

Funciones inversas

Sobreyectivas Sistema de coordenadas espaciales

Producto de escalares por elementos de R3

Propiedades

Interpretación geométrica de

las operaciones en R3

Ani

mac

ion

3D, (

2020

). w

ww

.latin

oam

eric

a.au

tode

sk.co

m

Shut

ters

tock

, (20

20).

4174

9821

1

Medicinas varias. p p Animación 3D.


220

Sean A = a, b, c, B = 1, 2, 3, 4. Indica si es función. Justifica tu respuesta. En caso de ser función, halla Rec(f) e indica si es inyectiva.

Localiza los siguientes puntos en el siste-ma de coordenadas espaciales.

Sean A = 5, 10, 15, 20, 25,B = 10, 20, 30, 40, 50.En cada ítem se define una función u de A en B. Indica si u es biyectiva.

Se define la función f. Demuestra o re-futa que u es biyectiva. Grafica la fun-ción.

Resuelve el siguiente problema de com-posición de funciones. Si se infla un glo-bo, su radio varía en función del tiempo durante el cual se ha soplado. Si el radio aumenta a razón de 2 mm por segundo, se tiene la funciónR(t) = 2t + r

0, donde r

0 es el radio inicial.

¿Cuál es la función del volumen del glo-bo en función del tiempo?

M.5.3.1. Reconoce si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva; realiza operaciones con funciones aplicando las propiedades de los núme-ros reales en problemas reales e hipotéticos. (I.4.)

I.M.5.7.1. Opera analítica, geométrica y grá-ficamente, con vectores en el espacio. (I.2.)1

5

2

3

4

a) f(a) = 4, f(b) = 3, f(c) = 2, f(b) = 1.b) f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 1.c) f(a) = f(b) = f(c) = 1, f(c) = 4.

a) (2, 3, 5).b) (–1, 0, –6).

c) (4, –4, –4).

a) A = – , – , – , B = , , .

a) A = – , – , 0 , B = 2, , 0 ,

b) A = (0, 3, 2), B = 0, – , – ,

c) A = (–5, –3, 1), B = (–1, 2, 2),

C = (–11, –3, 0).

C = (0, 6, 5).

C = (–15, 4, 12).

b) A = – , , , B = , – , – .a) u(5) = 20, u(10) = 10, u(15) = 50, u(20) = 40, u(25) = 30.

b) u(5) = 40, u(10) = 50, u(15) = 30, u(20) = 10, u(25) = 20.

a) f(x) = x – , x R.

b) f(x) = x2 – 1, x R.

Heteroevaluación

1212

c) f(x) = x3 – 1, x R.

d) f(x) = x2 – x + , x R.54

12

Con los vectores A , B de R3 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B.

Sean A = (4, –2, 3), B = –2, – , 1 ,

C = 21, 4, – . Realiza las sumas que se

proponen en cada caso.

Con los vectores A , B , C que se dan en cada caso, halla x, y R, tal que

xA + yB = C.

6

7

8

125

14

425

18

12

75

58

14

15

16

57

15

73

12

13

13

13

12

13

a) –A + B – C .

b) –A – B – C .

c) A – (B – C).

d) –A –(–B + C).

Recuerda que el volumen de la esfera es:

V = πr3.43

221

a) ¿Qué aprendiste en esta unidad? ____________________________________________________________________________________________________

b) ¿Qué tema te causo mayor dificultad? ____________________________________________________________________________________________________

Autoevaluación

Coevaluación


Reconozco si una función es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

Resuelvo problemas de composición de funciones.

Opero analíticamente con vectores en el espacio.

Determino el producto de un escalar por un vector en el espacio.


Cuando trabajamos en equipo aprendemos más y mejor porque todos apor-tamos con ideas.

En equipo no comunicamos de manera respetuosa para logra el objetivo propuesto.

Metacognición

Sean A = a, b, c, B = 1, 2, 3, 4, C = m, n, o, p. Considera las funciones ude A en B y v de B en C definidas a conti-nuación:

u(a) = 2, u(b) = 4, u(c) = 1,v(1) = p, v(2) = o, v(3) = n, v(4) = m.

Entonces, vu es la función de A en C. ¿Cuál de los siguientes literales es correcto?

Con el escalar a R y el vector v R que se dan en cada ítem, determina el producto av; a = –5, v = (2, 3, 4).

Dados los vectores, A = (–5, –3, 1),B = (–1, 2, 2), C = (2, 0, 3), obtén el vec-tor u que se define así:

u = 10A – 8B + 4C .

9 11

12


a) (vu)(a) = v(u(a)) = v(2) = o.b) (vu)(b) = v(u(b)) = v(4) = b.c) (vu)(c) = v(u(c)) = v(1) = 2.d) (vu)(0) = v(u(c)) = v(1) = b.

a) av = (–10, –15, 4).b) av = (–3, –2, –1).c) av = (–10, –15, –20).d) av = (–10, 15, 20).

a) u = (–14, –46, 6).b) u = (–24, –56, 16).c) u = (–34, –46, 6).d) u = (34, –46, 16).

Sea f(x) = 2x + 1, la función inversa de f(x) es:

10

a) f–1(x) = x – .12

12

c) f–1(x) = 2x – . d) f–1(x) = x – 2.12

b) f–1(x) = x – .12

222

Respuestas a las evaluaciones sumativasUnidad 1 (páginas 50 y 51)1. x = 1, y = 5, z = 9.2. a) x = y = z = 3. b) x = y = z = 0. c) No tiene solución.3. Respuestas varias a) x = 1, z = 2 – y, y R. x = 1, y = 1, z = 1. x = 1, y = 2, z = 0.

x = – z, y = + z, z R.

b) para z = 1, x = – , y = .

para z = , x = 0, y = .

4. a) x = 3, y = –2. b) No tiene solución.5. 24.6. 126.

7. a) ≈ 0,83, H: hombre,

M: mujer. P(M|alto) = .

b) ≈ 0,375, P(H|no alto) = .

8. a) 9. d) 10. a) 11. a)

Unidad 2 (páginas 106 y 107)1. a) Dom(k) = R – 0. Asíntotas: V = (0, y) | y R H = (x, 1) | x R. Gráfico

b) Dom(I) = R – –5. Asíntotas: V = (–5, y) | y R H = (x, –3) | x R. Gráfico

c) Dom(r) = R – 1. Asíntotas: V = (1, y) | y R H = (x, 5) | x R. Gráfico

2. Dom(u) = R – –4, –1. Asíntotas: V

1 = (–4, y) | y R,

V2 = (–1, y) | y R,

H = (x, 0) | x R. Gráfico

3. a) =

+ + , x ≠ 0, –2, 3.

b) =

+ + , x ≠ –4, 1, 2.

c) = + + ,

x ≠ –2, 0, .

4. (x, y) R2 tal que 2x + 5 y + 9 = 0.5. Vértice: V = (–1, 3),

Foco: F , 3 , ecuación del eje

y = 3. Gráfico.

6. Pendiente m = – = .

7. x = 2, y = –4.9. a) 10. b) 11. a)

Unidad 3 (páginas 140 y 145)1. A = 0, 1, …, 10, u0

= 32, u

1 = 1 022 , u

2 = 1 020 .

2. a) a0 = 1, a

1 = 3, a

2 = 1, a

3 = 3, a

4 = 1, …

Rec(ak) = 1, 3.

b) a1 = 0, a

2 = 1/2, a

3 = 0,

a4 = 1/4, a

5 = 0, …

Rec(ak) = 0 |k = 1, 2, 3,…

c) a0 = 6, a

1 = 1, a

2 = 6, a

3 = 1, a

4 = 6, …

Rec(ak) = 1, 6.

d) a0 = 1, a

1 = 37/48, a

2 = 1,

a3 = 37/48, a

4 = 1, …

Rec(ak) = 1, .

3. a) d = , am

= (–1 + m),

m = 0, 1, 2, …, a30

= .

b) d = –5, am

= –2 – 5m, m = 0, 1, 2, …, a

15 = –77.

c) d = 0,3, am

= (1 + 3m),

m = 0, 1, 2, …, a25

= 7,6.

4. a) Correcta. b) Correcta.5. a) d = 3, a

n = 4 × 3n, n N;

a10

= 236 196.

b) d = , an = , n N; a

8 = .

c) d = , an = 8 × , n N; a

10 = .

6. a = , gn = × 3n, n N;

g7 = .

7. VF(10) = 895 4,24.8. a)

b) E(x) = 10.

110

110

1310

910

115

65

56

38

38

56

–2x2 – 11x + 6x(x + 2)(x – 3)

x2 + 6x + 9(x – 1)(x – 2)(x + 4)

Ax

Bx + 2

Cx – 3

Ax – 1

Bx – 2

Cx + 4

1 2 3 4 5 6 7 8

1

0

2

3

4

y

x

12k

0 1–1

–2

–3

–2–3–4–5–6–7 2 3 4

12345

y

x

h: x = 0

g: y = 1

f(x) = 1 – 1x

0 2 4 6 8–2–4–6–8–10–12–2

2

4

10

12

14y

x

h: x = 1

g: y = 5 6

8

f(x) = 5 – 4x – 1

0 1 2 3 4–1

–2

–3–4–5

–2–3–4–5–6–7–8–9

12345y

x

h: x = –4 i: x = –1

g: y = 0

f(x) = – 2(x + 4)(x + 1)

x2 + 2x – 1x(2x – 1)(x + 2)

Ax

B2x – 1

Cx + 2

12

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7

0,5

0

1

y

x

0 1–1

–2

–3–4–5

–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11–12–13

12345y

x

h: x = –5

g: y = –3

f(x) = –3 – 2x + 5

12

0 1–1–2–3 2 3 4 5 6

1

–1

2

3

4

5

y

x

c: = –y2 + 2x + 6y = 7

1 2 3 4 5 6 7 8

2

0

4

6y

x

3748

23

293

23

110

32

32

2

ba

3 32

x0

y0

2

12

1128

12n

6 561256

7 6513 280

7 6513 280

167 327 373 280

0, si x < 8,

, si 8 ≤ x < 9,

, si 9 ≤ x < 10,

, si 10 ≤ x < 11,

=, si 11 ≤ x < 12,

1, si x ≥ 12.

F(x) =

19132389

223

c) Var

(x) = 4/3.

d) d = Var

(x) = .

9. a) 10. b) 11. c) 12. c) 13. c)

Unidad 4 (páginas 166 y 167)1. a) |S| = 5|h|3 ≤ 5|h| ≤ 0,05, |h| < 0,01 b) |S| = |2h – h2|≤ 2|h| + h2 <

3|h| < 0,05, |h| < .

c) |S| = |–h – h2| ≤ |h| + h2 < 2|h| < 0,05, |h| < 0,25.

2. a) Q(h) = 1 – x3 – x2h – xh2 – , h ≠ 0.

= 1 – x3, ∀x R.

d Q(h), ≤

x2 + |x| + 1 |h|, h → 0

b) = (1 – x)(x2 + x + 1),

> 0 ⇔ 1 – x > 0 ⇔ x < 1.

< 0 ⇔ 1 – x < 0 ⇔ x > 1.

c) p(1) = pues = 0 y

p creciente en ]–∞, 1[, decreciente en ]1, ∞[.

d) p(–x) = 4 – x – (–x)4 =

4 – x – x4 ≠ 0 p(x) y

p(–x) = p(x), ∀x R.

3. a) (x) = –10 + 21x2, ∀x R.

b) (x) = –1 + 6x, ∀x R.

c) (x) = –5, ∀x R.

d) (x) = 4x3 – 2, ∀x R.

4. a) p(–x) = a + b(–x)2 + c(–x)4 = p(x), ∀x R.

b) = 2bx + 4cx3 = p(x), ∀x R.

c) = x(2b + 4cx2) con b > 0, c > 0,

> 0 para x ]0, ∞[, p creciente,

< 0 para x ]–∞, 0[,

p decreciente.

d) = lím

= 2b + 12cx2, ∀x R.

e) Q(h) = =

24cx + 12ch, h ≠ 0.

= lím Q(h) = 24cx, ∀x R.

5. a) v(t) = = 4t – 6, t > 0.

v(2) = 2 m/s, v(5) = 14 m/s. b) v(t) = 0 ⇔ 2t2 – 6t + 4 = 0 ⇔ (t = 1 ∨ t = 2).

c) a(t) = = 4, t > 0,

aceleración constante. a(2) = 4, a(5) = 4.6. a) Posición: s(0) = –10 m, s(1) = 14 m,

s(5) = 230 m, s(10) = 1 670 m.

velocidad: v(t) = =

6t2 – 12t + 28, t > 0. v(0) = 28 m/s, v(1) = 22 m/s, v(5) = 118 m/s, v(10) = 22 m/s.

aceleración: a(t) = =

= 12t – 12, t > 0.

a(0) = –12 m/s2, a(1) = 0, a(5) = 48 m/s2, a(10) = 108 m/s2.7. d) 8. d) 9. d) 10. c) 11. d)

Unidad 5 (páginas 190 y 191)1. a) A = 1. b) [–1, 1]. c) T = 4π. d) mín f(x) = –1, máx f(x) = 1.2. a) A = 3. b) [–1, 5]. c) π/2. d) f(t) = 2 + 3 sen(3t + π), t R.3. a) F d) F g) V b) V e) V c) V f) V4. a) máx f(t) = 8 cm. b) T ≥ 0. c) El gráfico es:

5. a) A = 2. b) T = 2π. c) 0. d) [0, 4]. e) f(t) = 2 + 2cos(t + π), t R.6. b) 7. a) 8. a) 9. d)

Unidad 6 (páginas 220 y 221)1. a) No, f(b) = 3, f(b) = 1. b) Rec(f) = 1, 2, 3, f inyectiva. c) No, f(c) = 1, f(c) = 4.2. a) Biyectiva. b) Biyectiva.3. a) Biyectiva.

b) No es biyectiva.

c) No es biyectiva.

d) No es biyectiva.

4. V(t) = π(2t + r0), t ≥ 0.

6. a) A + B = , , 2 .

A – B = – , – , – .

b) A + B = , , – .

A – B = – , – , .

7. a) –A + B – C = –27, – , – .

b) –A – B – C = –23, – , – .

c) A – (B – C) = 27, , .

d) –A – (B + C) = –A + B – C =

–27, – , – .

8. a) x = 6, y = –4. b) x = 0, y = –30. c) x = 2, y = 5.9. a) 10. a) 11. c) 12. c) 13. c)

2 32

0,053

32

h3

2dp(x)

dx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(1)dx

dp(x)dx

32

194

14

14

dfdx

d2S(t)d(t)

dS(t)d(t)

dv(t)dt

d2S(t)dt2

0 1 2 3 4–1–2–3–4–1

1

2

3

4

y

x

f(x) = 0,5x2 – 1

0 1 2 3 4–1–2–3–4–1

–2

–3

1

2

y

x

f(x) = x3 – 1

dfdxdfdxdfdx

dp(x)dx

dp(x)dx

dp(x)dx

0 2 4 6 8 10–2

–4

–6

–8

–2

2

4

6

8

y

x

0 1 2 3 4–1–2–3–4–1

1

2

3

4

5

y

x

f(x) = x2 – x + 54

43

325

120

920

16

56

2435

7435

12

15

34

83

dp(x)dx

d2p(x)dx2 h

dpdx

dpdx

(x + h) – (x)

h→0

d3p(x)dx3

dS(t)dt

h

d2pdx2

d2pdx2

(x + h) – (x)

h→00,5–0,5–1–1,5–2–2,5–3 1 1,5

0,5

–1

–1,5

–0,5

–2

0

y

x

f(x) = 0,5x – 0,5

53113

5232

52

53

52

53

, (20

20).1

4681

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3Sh

utte

rsto

ck

Shut

ters

tock

, (20

20).1

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3

, (20

20).1

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utte

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ck

Shut

ters

tock

, (20

20).1

4681

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3

224

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Matemática

Bachillerato General UnificadoSegundo curso

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El ladrón de naranjasAnónimo

Un ladrón un cesto de naranjasdel mercado robóy por entre los huertos escapó;al saltar una valla,la mitad más media perdió;perseguido por un perro,la mitad menos media abandonó;tropezó en una cuerda,la mitad más media desparramó;en su guarida, dos docenas guardó.Vosotros,los que buscáis la sabiduría,decidnos:¿cuántas naranjas robó el ladrón?

Tomado de https://bit.ly/2KitI3J (31/10/2018)

FractalesJosé García Velázquez

No dejan de sorprenderte, si miras con inocencia, los secretos de la mente y de la naturaleza…

Como en un caleidoscopio de figuras naturales, destacan con brillo propio las formas de los fractales:

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si los descubres podrás ir de sorpresa en sorpresa y admirado quedarás al descubrir su belleza.

¡Disfruta la variedad y la serena armonía en el mundo del fractal, mundo de la simetría!

Tomado de https://bit.ly/2I6qPRz (01/03/2018)

José García Velásquez. Divulgador de la matemática en obras literarias.

Más veloz que un trenAline Guevara

En este instante viajo en metro, por la calzada de Tlalpan. Voy sentada y veo por la ventana que un coche va a la par de mi va-gón. En relación con el metro, ni el coche ni yo nos movemos, pues los trenes nos desplazamos a la misma velocidad; en otras pala-bras, con respecto al metro, el auto y yo llevamos velocidad cero.

Si me levanto y camino hacia una de las salidas, con respecto al vagón y al coche iré apenas a un kilómetro por hora, aproxima-damente... Si ustedes estuvieran parados en una vereda y desde ahí me vieran, aunque yo vaya sentada en el vagón del metro, para ustedes yo habría pasado como un bólido. Con respecto a ustedes, mi velocidad sería de unos 90 km/h, la misma del coche que va a la par del tren. Pero si me levanto y camino a 1 km/h, en

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la misma dirección en la que avanza el metro, mi velocidad con relación a ustedes sería de 91 km/h. Iría, en cierto sentido, más rápido que el tren.

Lo anterior nos sirve para afirmar lo siguiente: solo podemos de-cir que algo se mueve y a qué velocidad con respecto a un pun-to de vista. Y los puntos de vista funcionan, en este caso, como sistemas de referencia a partir de los cuales se puede medir el movimiento. El vagón del metro es un sistema de referencia que el coche y yo compartimos; la vereda desde la que ustedes me hubieran visto pasar es otro sistema de referencia. Pero todavía queda otro modo de ver esta situación. Ustedes, que observan desde la vereda, pueden afirmar que me han visto pasar a 90 km/h porque decidieron que su sistema de referencia es su propio estado de reposo. Pero, ¿qué tal si yo decido que el metro, el coche y yo somos lo fijo, y ustedes los que pasan rápidamente? Con respecto a mi sistema de referencia eso es posible, y si el me-tro tuviera un movimiento inercial, no habría manera de confir-mar quién se desplaza: si ustedes, que me ven desde la banqueta, o yo, que voy en el metro. La decisión sobre cuál sistema de refe-rencia se encuentra en reposo y cuál en movimiento es arbitraria y, generalmente, se toma por conveniencia.

Por ejemplo, cuando los astrónomos estudian el Sistema Solar, les conviene considerar que el Sol se encuentra en reposo y los pla-netas en movimiento. En cambio, el Sol puede ser el que está en movimiento si lo que quieren estudiar es la Vía Láctea. Para los fines prácticos, casi todos hemos decidido que la Tierra está fija (aunque sepamos que está en movimiento). Es posible escoger un sistema de referencia en lugar de otro sin enfrentar consecuen-cias, gracias a que las leyes de la física funcionan igual en todos

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los casos. Lo que se cumple en un sistema, se cumple en el otro. Einstein dijo esto más o menos así: las leyes de la física deben ser las mismas para todos los observadores que se muevan en siste-mas de referencia inerciales.

En suma, nosotros podemos afirmar que no hay un sistema de referencia privilegiado… Hacer una cita con alguien, o indicar en qué momento pasó algo, implica siempre la idea de simultaneidad.

Tomado de Guevara Villegas, A. (2005). Un viaje especial. Mexico: Ediciones Castillo.

Aline Guevara Villegas (1974). Científica mexicana especialista en comunicación visual de la ciencia. Escribe textos y artículos, participa en programas de radio, y en el desarrollo de acciones para llevar el saber científico y tecnológico a grandes sectores de la población.

TrigonometríaAdonai Jaramillo Garrido

Egipcios y babilonios me iniciaronLos Griegos me comenzaron a elaborarHiparlo de Nicea entre quienes estudiaronLo que hoy podemos mostrar.

De mí surgió el AlmagestoPtolomeo así lo concibióCon la astronomía se trabajó estoEn la India también se escribió.

Con los triángulos me relacionanCon Pitágoras realizo acciónA los triángulos solucionanLas trigonométricas como función.

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A una seno y a otra tangenteEn el triángulo rectángulo me definenEn el mundo sirve a mucha genteSituaciones diferentes me asignen

Tengo ecuaciones e identidadesOjalá busques mis diferenciasAunque ambas somos igualdadesAl cerebro damos experiencias.

Mi origen estuvo en la astronomíaAsí lo confirman datos históricosMe llamaron trigonometríaGracias le damos a los retóricos

Tomado de https://bit.ly/2UprhB5 (09/03/2019)

El hombre que calculaba (fragmento)Malba Tahan

—Quiero ahora —prosiguió, volviéndose a Beremís— que nuestro calculista nos diga cuántos camellos hay en el patio, delante de nosotros.

Esperé aprensivo el resultado. Los camellos eran muchos y se confundían en medio de la agitación en que se hallaban. Si mi amigo, en un descuido, errase el cálculo, terminaría nuestra visita, en consecuencia, con el más grande de los fracasos.Después de dar un vistazo a todos los camellos, el inteligente Be-remís dijo:

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—Señor visir, creo que se encuentran, ahora en el patio, 257 ca-mellos.—Es verdad —confirmó el visir, ha acertado. El total es ese, pre-cisamente: 257. —¿Cómo llegó al resultado con tanta rapidez y precisión? —pre-guntó con grandísima curiosidad el poeta Iezid.—Muy simplemente —explicó Beremís—. Contar los camellos uno por uno, sería, a mi modo de ver, tarea sin importancia, una ba-gatela. Para hacer más interesante el problema, procedí de la si-guiente manera: conté primero todas las patas y después todas las orejas, hallando de ese modo un total de 1.541. A ese resultado sumé una unidad y dividí por 6. Hecha esa división, hallé como cociente exacto, 257.

—¡Por el nombre del profeta! —exclamó el visir—. Todo esto es ori-ginalísimo, admirable. ¡Quién iba a imaginar que este calculista, para hacer más interesante el problema, fuese capaz de contar todas las patas y orejas de 257 camellos! ¡Por la gloria de Maho-ma!—Debo decir, señor ministro —retrucó Beremís—, que los cálculos se vuelven a veces complicados y difíciles como consecuencia de un descuido o de la falta de habilidad del propio calculista. Cierta vez en Khói, en Persia, cuando vigilaba el rebaño de mi amo, pasó por el cielo una bandada de mariposas. Me preguntó un pastor, si podía contarlas. “Son ochocientas cincuenta y seis” —respondí.—¡Ochocientas cincuenta y seis! —respondió mi compañero, como si hubiese exagerado el total—. Fue entonces que noté que por descuido había contado, no las mariposas, sino sus alas. Después de dividir por 2, le dije el resultado verdadero.

Al oír el relato de ese caso, lanzó el visir estrepitosa carcajada, que sonó en mis oídos como si fuera una música deliciosa.

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—Hay, sin embargo —insistió muy serio el poeta Iezid— una par-ticularidad que escapa a mi raciocinio. Dividir por 6 es aceptable, ya que cada camello tiene 4 patas y 2 orejas, cuya suma (4+2) es igual a 621. No obstante, no comprendo por qué razón antes de dividir sumó una unidad al total.—Nada más simple —respondió Beremís—. Al contar las orejas noté que uno de los camellos era defectuoso (sólo tenía una ore-ja). Para que la cuenta fuese exacta era, pues, necesario aumentar uno al total obtenido.Y volviéndose hacia el visir, preguntó: —¿Sería indiscreción o imprudencia de mi parte preguntaros, señor, ¿cuál es la edad de aquella que tiene la ventura de ser vuestra novia?—De ningún modo —respondió sonriente el ministro—. Asir tiene 16 años.Y añadió, subrayando las palabras con un ligero tono de descon-fianza:—Pero no veo relación alguna, señor calculista, entre la edad de mi novia y los camellos que voy a ofrecer como presente a mi futuro suegro. —Deseo apenas —refutó Beremís— haceros una pequeña suges-tión. Si retiraseis del conjunto, el camello defectuoso (sin oreja), el total sería 256. Ahora bien: 256 es el cuadrado de 16, o sea, 16 veces 16. El presente ofrecido al padre de la encantadora Asir tomará, de ese modo, alto significado matemático. El número de camellos que forman la dote será igual al cuadrado de la edad de la novia. Además, el número 256 es potencia exacta del número 2 (que para los antiguos era número simbólico), mientras que 257 es primo. Esas relaciones entre los números cuadrados son buen augurio para los enamorados. Cuéntase que el rey Salomón, para asegurar la base de su felicidad, dio a la reina de Saba —la famo-sa Balkis— una caja con 529 perlas.

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Es precisamente 529 el cuadrado de 23, que era la edad de la reina. El número 526 presenta, no obstante, gran ventaja sobre el 529. Si sumamos los guarismos de 256 obtenemos 13, que eleva-do al cuadrado da 169; la suma de las cifras de ese número es 16, cuyo cuadrado nos reproduce precisamente, 256. Por ese motivo los calculistas llaman reversible al número 256. Existe, pues, en-tre los números 13 y 16 curiosa relación, que podría ser llamada “amistad cuadrática”. Realmente, si los números hablasen podría-mos oír la siguiente conversación: El dieciséis diría al trece:“Quiero ofrecerte mi homenaje, amigo.Mi cuadrado es 256, cuya suma de guarismos es 13.”Y el trece respondería:“Agradezco tu bondad y quiero retribuirla en la misma forma. Mi cuadrado es 169, cuya suma de guarismos es 16.”El calculista agregó: —Creo haber justificado plenamente la preferencia que debe ser otorgada al número 256, que excede en propiedades al 257. —Su idea es bastante curiosa —acordó prontamente el visir— y voy a adoptarla, aunque caiga sobre mí la acusación de plagiario, del rey Salomón.Y dirigiéndose al poeta Iezid, concluyó: —Veo que la inteligencia de este calculista no es menos que su habilidad para descubrir analogías e inventar leyendas. Estuve muy acertado en el momento en que decidí ofrecerle ser mi se-cretario.

Tomado de Malba Tahan. (1945). El hombre que calculaba. Quito: Casa Editorial Medina.

Malba Tahan (1895-1974). Fue un profesor y escritor brasileño, conocido por sus libros sobre las ciencias matemáticas, en particular por El hombre que calculaba.Prohibi

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Un crononauta en BrooklynRoberto Montero

Paul Auster, en uno de los pasajes de su novela La noche del orá-culo, nos propone la posibilidad de viajar en el tiempo. El asunto se le presenta a su protagonista cuando acepta el encargo de escribir un guion cinematográfico para adaptar la famosa nove-la de H. G. Wells, La máquina del tiempo; una historia de ciencia ficción donde un científico de finales del siglo XIX consigue des-plazarse hasta el año 802.701.

El protagonista de la novela de Auster piensa que, si alguien tu-viese capacidad para inventar una máquina que nos llevase al futuro, con esa misma lógica, la gente del futuro podría hacer lo mismo, inventando una máquina para desplazarse al pasado. En sus cavilaciones, llega a pensar que si la gente pudiera ir hacia delante y hacia atrás a través de los siglos, tanto el pasado como el futuro estarían llenos de personas fuera de su época.

Cada vez que leemos una novela donde el viaje en el tiempo es el tema central, como ocurre en el relato de H. G. Wells, nos pregun-tamos qué hay de cierto en todo ello. ¿Son ocurrencias de nove-listas y de personas con un exceso de imaginación o realmente podemos viajar en el tiempo?

Vamos a intentar desvelarlo, porque después de que Einstein for-mulase su teoría de la relatividad especial, nuestra comprensión del espacio y del tiempo se verá modificada y, con ello, también los viajes a través del tiempo. Sin duda, la teoría de la relatividad formulada por Einstein nos va a dar la clave para hacer el viaje a través del tiempo, ya que dicho viaje está condicionado por la luz y por el espacio. Por tanto, para viajar al pasado hay que adelan-tar a un rayo de luz, y para viajar al futuro hay que perseguirlo.

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Según esta teoría, el paso del tiempo no es inmutable ni absoluto, depende del movimiento. En pocas palabras, la teoría de la relati-vidad especial viene a decir que se puede viajar al futuro y, para ello, basta con salir de viaje y regresar después de un tiempo. Esto ha sido comprobado experimentalmente con un reloj atómico que, después de dar la vuelta al mundo en un avión, fue comparado con otro con el que anteriormente había sido sincronizado.

Einstein, para desarrollar la teoría de la relatividad especial, pro-puso el ejemplo de los dos gemelos. El primero de ellos se intro-duce en una nave espacial y hace un largo viaje a velocidades cercanas a la velocidad de la luz, mientras el otro gemelo se que-da en la Tierra. A la vuelta, el gemelo que regresa del viaje es más joven que el gemelo que espera en la Tierra. En este caso, el tiempo del gemelo que viaja ha pasado de manera más lenta que el tiempo del gemelo terrestre por lo cual, este último, envejece más rápido.

Debido a esto, y con ayuda de la tecnología actual, podemos via-jar a un futuro tan próximo que solo se encuentra a unas centési-mas de segundo de nuestro presente, de tal manera que podemos conocer el resultado de un partido de fútbol poco antes de que termine, pero, con un margen tan pequeño de tiempo que no nos permite su acierto en la quiniela. Lo de viajar al pasado es más complejo y solo es posible con la mente, pero nunca con el cuer-po. De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, el envejecimiento es irreversible, aunque en el espacio existan sen-deros que conduzcan al pasado, “atajos espaciales” por los que podamos adelantar a un rayo de luz.

Tal y como apunta Paul Auster en su novela, si una persona pu-diera viajar a través del tiempo, el tiempo dejaría de existir como entidad propia. Con tal asunto, Auster nos lleva hasta el lugar co-mún del principio antrópico, el mismo principio que propone que si existiera un universo que permitiese desplazarse en el tiempo, estaríamos ante un universo donde la inteligencia no evoluciona-ría debido a que sería confuso, por no decir imposible, registrar los sucesos acontecidos o por acontecer.

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“Una vez que la gente del futuro hiciera sentir su influencia en los hechos del pasado y la gente del pasado empezara a influir en los acontecimientos del futuro, la naturaleza del tiempo se modi-ficaría”, escribe Paul Auster en La noche del oráculo, llevándonos a los terrenos de la ficción científica hasta hacernos comprender que, con un futuro que supiese regresar al pasado y con un pasa-do que supiera alcanzar el futuro, el tiempo, tal y como lo cono-cemos, dejaría de existir.

Tomado de https://bit.ly/2I9c6Fr (13/03/2019)

Roberto Montero González (1965). Escritor español.

Oda al número ceroEnrique Morón

Redonda negación, la nada existe encerrada en tu círculo profundo y ruedas derrotado por el mundo que te dio la verdad que no quisiste.

Como una luna llena es tu figura grabada en el papel a tinta y sueño. Dueño de ti te niegas a ser dueño de toda la extensión de la blancura.

Tu corazón inmóvil y vacío ha perdido la sangre que no tuvo. Es inútil segar donde no hubo más que un cuerpo en el cuerpo sin baldío.

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Redonda negación, redonda esencia que no ha podido ser ni ha pretendido. Solo la nada sueña no haber sido porque no ser es ser en tu existencia.

Tomado de https://bit.ly/2WWHXN3 (01/01/2018)

Enrique Morón (1942). Poeta y dramaturgo español. Catedrático universitario. Entre sus obras tenemos Poemas, Romancero alpujarreño y El alma gris.

MedirBernardo Recamán

Hombres y mujeres aprendieron a medir por la misma necesi-dad y curiosidad que tuvieron para aprender a contar, cuando finalmente dejaron su vida de nómadas, empezaron a construir viviendas y se dedicaron al pastoreo y la agricultura. Incluso mu-cho antes el hombre había necesitado arroparse con las pieles de los animales que cazaba. Todo ello requirió que aprendiera a me-dir, y en un principio lo hizo de una forma tan rudimentaria como había comenzado a contar, es decir, utilizando las partes de su cuerpo. Las grandes distancias las medía contando los días que ocupaba para cubrirlas, las distancias más cortas contando los pasos que daba, el tamaño de sus prendas y el de los materiales que usaba para construir sus viviendas los medía con las partes de su cuerpo.

Poco a poco el proceso de medir se volvió más sofisticado, ade-más de que surgieron nuevos y variados fenómenos susceptibles de ser medidos, tales como la extensión o el área de un terreno; el espacio que ocupan los objetos sólidos, es decir, su volumen; el peso que tienen; el transcurso del tiempo; las temperaturas; la in-clinación del sol. La medición de todos estos fenómenos necesitó nociones e instrumentos cada vez más complicados. Comenzó así

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el matrimonio largo y feliz de las matemáticas con la mecánica y la tecnología, el concurso de relojeros, astrónomos, mecánicos y matemáticos.

En parte, la geometría, y posteriormente la trigonometría, tuvo sus orígenes en las numerosas preguntas y problemas acerca de la medición que surgieron cuando los hombres examinaron a fon-do el terreno y el espacio que los rodeaba, e indagaron sobre las diversas figuras, formas y sólidos que veían. ¿Cuál es el camino más corto ente dos puntos? ¿Cuántas reses caben en un campo determinado? ¿Qué cantidad de agua cabe en una vasija? ¿Cuán-tos granos pueden almacenarse en un espacio dado? ¿A qué al-tura se encuentra la cima de una montaña inaccesible?

Cuando se intentó sistematizar y organizar las respuestas a estas y muchas otras preguntas, apareció la geometría formal. Unas preguntas condujeron a otras, y ya no eran asuntos que surgían de problemas prácticos, sino cuestiones puramente teóricas. Aun-que la geometría compartía con la aritmética el uso de los núme-ros y la necesidad de buscar formas eficientes de representarlos y operar con ellos, su objeto de estudio era bien diferente, ya no tanto la capacidad, sino el espacio.

Los conocimientos aritméticos y físicos, pero en especial los geométricos, acumulados a lo largo de los años, debieron ser for-midables para hacer posible la construcción de las pirámides de Gizeh hacia el año 2 000 a.C. Ciertamente, para ese entonces los egipcios conocían fórmulas para hallar el área de rectángulos y triángulos, e incluso trapezoides.

Sin embargo, son los griegos quienes convirtieron la geometría en una verdadera ciencia, y no simplemente un método para en-contrar respuestas a los problemas de medición. Los geómetras griegos no se concentraban en resolver problemas numéricos, sino que exigían además la demostración de que eran correctos. Aparecieron así los primeros teoremas, verdades demostradas categóricamente a partir de unos conceptos y principios elemen-tales e incontrovertibles.

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El primer gran geómetra de quien se tenga noticia fue Tales de Mileto, que vivió en los siglos VII y VI a.C. Entre los logros que se atribuyen a Tales está el de haber predicho el eclipse solar de 585 a.C., y el de utilizar las propiedades de los triángulos para medir la distancia de un barco en el mar. A él también se le atribuye haber descubierto y demostrado, entre otros, el teorema sobre la igualdad de ángulos de la base de un triángulo isósceles, el cual afirma que el diámetro de un círculo lo divide en dos partes iguales.Pitágoras, quizá el matemático más nombrado y conocido de toda la historia, fue un estudioso tanto de la aritmética como de la geometría. El teorema que lleva su nombre y que permite calcular la longitud de cualquier lado de un triángulo rectángulo si se co-noce la longitud de los otros dos, en realidad existía desde mucho antes. Pitágoras reunió a su alrededor a un grupo de discípulos, denominados los pitagóricos, en quienes inculcó un gran amor por el estudio de los números y sus propiedades, en general por todo lo que entonces ya podía reconocerse como matemáticas.

No obstante, es otro matemático griego, Euclides, el que más in-fluyó en la historia de la naciente ciencia, no tanto por sus con-tribuciones originales como por la recopilación que hiciera de todos los conocimientos geométricos y aritméticos acumulados hasta su época. Los trece libros de los Elementos son, en efecto, el compendio de prácticamente toda la sabiduría adquirida por el hombre contando y midiendo en unos ocho mil años.

La aritmética, pero sobre todo la geometría, que nació de la nece-sidad de medir distancias grandes y pequeñas, se había converti-do en trece gruesos volúmenes repletos de símbolos y dibujos que a primera vista nada tenían que ver con las tareas que les dieron origen. Tal es la importancia de los Elementos, que durante más de dos mil años sirvió de texto para la enseñanza de la aritmética y la geometría.

Tomado de Recamán, B. (2004). Ciencia Explicada: Matemáticas. Bogotá: Stilo Impresores Ltda.

Bernardo Recamán Santos (1954). Matemático de origen colombiano, muy conocido por sus libros Póngame un problema y Los números, una historia para contar.

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Lisa Simpson, reina de las mates y de los bates (fragmento)Simon Singh

Veamos en acción ese don para las matemáticas en “El club de los patteos muertos” (1990), un episodio en el que Homero y Bart desafían a Ned y Todd Flanders, sus santurrones vecinos, a un torneo de minigolf. En la concentración previa a la gran partida, Bart intenta mejorar su técnica de putting, de modo que se dirige a Lisa para que le aconseje. Ella tendría que haber sugerido a Bart que cambiase la forma de empuñar el palo, porque es zurdo, y a lo largo de todo el episodio adopta la postura de un diestro.

Sin embargo, Lisa se concentra en la geometría como clave para el putting, porque usa esa parte de las matemáticas para calcular la trayectoria ideal de la bola y garantiza a Bart un hoyo en uno, en cada ocasión. En una sesión práctica, enseña a Bart a hacer rebotar la pelota en cinco paredes y meterla en el hoyo, y Bart acaba diciendo: “No puedo creerlo, ¡le has encontrado una utilidad práctica a la geometría!”.

Es una broma, claro, pero los guionistas usan el personaje de Lisa para explorar ideas matemáticas más profundas en “Estadistic-Bart” (2010). En la primera escena de este episodio, la glamorosa Dhalia Brinkley vuelve a la Escuela Primaria de Springfield tras ser la única estudiante que ha conseguido asistir a una universi-dad de élite. No resulta sorprendente que el director Skinner y el superintendente Chalmers intenten congraciarse con la señorita Brinkley, igual que algunos de los estudiantes, incluyendo al ig-norante de Nelson Muntz, que intenta impresionar a la alumna de más éxito de Springfield fingiendo ser amigo de Lisa. Simulando que le interesan las aptitudes matemáticas de Lisa, la anima a demostrar sus habilidades ante la señorita Brinkley:

–Hace operaciones de mates de las que tienen letras. ¡Mira! ¿Qué es, Lisa?–Bueno, depende.–Lo siento. Ayer lo supo.

Tomado de Singh, S. (2013). Los Simpson y las matemáticas. Barcelona: Planeta.

Simon Singh (1964). Físico inglés. Escribe sobre matemáticas y ciencia para un público diverso. Entre sus libros destacan Los códigos secretos y El enigma de Fermat.

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MATEMÁTICA

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QUÍMICA


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