República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del poder popular para la educación universitaria

Universidad Nacional Experimental

De los llanos occidentales

Ezequiel Zamora

Barinas-Barinas

Calculo II (módulo IV)

Profesor: Bachiller:

Montilla Luis

C.I 25.075.781

Ambiente el molino

Sección: F-04

Barinas, febrero de 2015

1

ContenidoSeries numéricas y sucesiones:....................................................................................................4

Sucesiones numéricas:.................................................................................................................4

Sucesiones Acotadas....................................................................................................................5

Sucesiones Convergentes.............................................................................................................5

Unicidad del límite de una Sucesión.............................................................................................5

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente..........................5

Sucesión finita..............................................................................................................................6

Sucesión constante......................................................................................................................6

Sucesión creciente.......................................................................................................................6

Sucesión decreciente...................................................................................................................7

Sucesión alternada.......................................................................................................................7

Según el término general.............................................................................................................7

Convergencia:..............................................................................................................................8

Convergencia de series................................................................................................................9

Tipos de series:...........................................................................................................................10

Serie Geométrica:.......................................................................................................................10

Criterios para la serie:................................................................................................................10

Serie Armónica:..........................................................................................................................11

Teorema de la Convergencia......................................................................................................12

Criterio de la divergencia:..........................................................................................................12

Serie Telescópica o desplegable.................................................................................................13

Serie de términos positivos y no necesariamente positivos:......................................................14

Criterios de convergencia...........................................................................................................14

Criterios de comparación...........................................................................................................15

Criterio de comparación de la mayorante..................................................................................15

Comparación con paso al límite.................................................................................................17

Series de Potencias y sus propiedades:......................................................................................19

Propiedades:..............................................................................................................................20

Teorema de Taylor:....................................................................................................................20

Calculo de una variable:.............................................................................................................21

Demostración.............................................................................................................................22

Caso de varias variables:............................................................................................................22

Aproximación de funciones con N decimales exactos:...............................................................23

2

Fórmula de Taylor:.....................................................................................................................23

Fórmulas de diferencias finitas:.................................................................................................25

Diferencias finitas centradas y laterales:....................................................................................26

Relación con las derivadas:........................................................................................................26

Cálculo de diferencias finitas:.....................................................................................................27

Derivadas de órdenes mayores:.................................................................................................28

Métodos de diferencias finitas:..................................................................................................28

3

Series numéricas y sucesiones:

Sucesiones numéricas: 

Es una secuencia lógica de números ya que puede ser creciente o decreciente. Las hay en progresión aritmética o progresión geométrica, la diferencia básica es que en la aritmética la razón de cambio entre un miembro y otro es la suma o resta de la misa razón, es decir:0,1,1,2,3,5,8,13, es la serie o sucesión de Fibonacci, que se logra sumando los dos números anteriores, 0+1= 1, 1+1=2, 1+2=3, etc.

En la sucesión geométrica el número siguiente de la sucesión se logra por multiplicar o dividir la razón de cambio.En cualquier caso la razón de cambio es constante y no puede variar, a menos que el cambio de la razón también corresponda a una sucesión, así podríamos tener una sucesión dentro de otra sucesión.Una sucesión numérica se formaliza como una aplicación de los naturales en los reales, es decir:

Que escribiremos simplemente como o, si se da por entendido que los subíndices son enteros, también vale .El nombre que recibe la sucesión también puede hacer referencia a los valores que toma sobre los reales, así, si la imagen de fuesen los

racionales, es decir fracciones enteras del tipo , podemos llamarla sucesión de números racionales, y lo mismo para los irracionales, naturales, enteros, algebraicos, trascendentes, ... .Una sucesión en es una enumeración de números reales, es decir una aplicación de en .

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Sucesiones Acotadas: Una sucesión , está acotada cuando,

Sucesiones Convergentes: Una sucesión , converge a o tiene por límite (cuando ), y se escribe,

Unicidad del límite de una Sucesión:

Si una sucesión converge, entonces él es único.

Relación entre el concepto de sucesión acotada y el de sucesión convergente:Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.Notas y ejemplos básicos

Para definir término a término la sucesión, se indica para cada término el valor que le corresponde directamente:

El primero es a por ejemplo 3, el segundo es a por ejemplo -10, el tercero es a por ejemplo 9, y así sucesivamente. Para indicar, si hace falta, el comportamiento del resto de los

valores, se usa el término general y se escribe acompañado como a por ejemplo número al azar,....Los puntos suspensivos dan por entendido que los valores de la sucesión se omiten ya que estos quedan claramente determinados hasta el infinito, siendo el n-ésimo valor, , el portador del método para generar el valor de cada término, y el nombre puede ser cambiado, si hace falta, por , , , , ... .

Materialmente seria: 3, -10, 9, 7, ... , número al azar, ... .

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Sucesión finita: Diremos que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:

Genéricamente: , donde sería el término general si hiciese falta.

Ejemplo: 100, 99, 98, ... , 1, 0.

Sucesión constante: Diremos que una sucesión es constante si todos los términos valen un mismo valor, , es decir, un mismo número real cualquiera, ejemplo:

Genéricamente.

Ejemplo: si queda como 1, 1, 1, 1, ... ,1 ,... , es decir, que todos los valores son el mismo, 1.

Sucesión creciente: Si imponemos al término general, de una sucesión numérica, la condición que , es decir, que el siguiente término, , siempre sea mayor estricto que su predecesor, , se llaman sucesiones estrictamente crecientes:

Para naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... .

Para enteros: -10, -9, -8, -7, -6, ... .

Para reales: .

Si imponemos , es decir, una desigualdad no estricta, entonces se pueden incluir, entre otras, las sucesiones constantes.

Sucesión decreciente:Al igual que las crecientes tenemos, según el término general, que:

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si es estrictamente decreciente. si entonces la sucesión es decreciente,

Sucesión alternada: Intuitivamente se llama sucesión alternada cuando alterna valores de

signo opuesto, como que nos genera la sucesión: a0=1, -1, 1, -1, 1, -1, ... . Utilizada por las series llamadas series alternadas.

Según el término general El término general de la sucesión queda definido de forma explícita si su valor está en función del valor del subíndice, es decir, si donde es una función cualquiera como por ejemplos:

que daría la sucesión de naturales sucesivos, es decir, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

que daría todos los números pares incluido el cero, es decir, 0, 2, 4, 6, 8, ... .

que daría la sucesión de cuadrados siguiente, 0, 1, 4, 9, 16, ... .

Dada una función , llamaremos extensión en los reales de a una función cuyos valores coinciden en el dominio de , es decir, .

Series Numéricas:

Sumas parcialesLa sucesión de sumas parciales asociada a una sucesión está definida para cada como la suma de la sucesión desde hasta :

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.

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Convergencia:

Por definición, la serie converge al límite si y solo si la sucesión de sumas parciales asociada converge a . Esta definición suele escribirse como

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1:

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La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

, con = .

Convergencia de series: Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Si todos los an son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

Tiene como representación decimal, la serie

.

Dado que estas series siempre convergen en los números reales, no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y 1/9; o bien 1=0,9999..

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Tipos de series:

Serie Geométrica:Es aquella serie cuyo término de formación es:

dónde:a es una constante,

r es la base

Criterios para la serie:

Si |r| < 1 la serie converge, entonces se aplica la siguiente fórmula para determinar el valor de la convergencia.

Si |r| > 1 la serie diverge.

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Serie Armónica:Es aquella serie cuyo término de formación es:

Siempre diverge

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Serie P:Es aquella serie cuyo término de formación es:

Si p >1 la serie es convergente

Si p < 1 la serie es divergente

Propiedades  de las series:

Si las series A=∑an y B=∑bn convergen a las sumas indicadas y c es una constante, entonces las series ∑an +bn = A+B y ∑can tambien convergen, como sumas.

1.- ∑can= c∑an

2.- ∑an +bn=∑an+∑bn

3.- ∑an -bn=∑an-∑bn

Teorema de la Convergencia:

Si la serie es convergente, entonces el limite en el infinito es igual a cero.

Criterio de la divergencia:

Si el limite no existe o distinto de cero, entonces la serie es divergente. Este criterio esta basado en el teorema de la convergencia. Si el limite llegara a dar cero el criterio no es concluyente puesto que el teorema dice

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que las series convergente siempre dan cero mas no lo contrario. Hay algunas series divergentes que su limite en el infinito es igual a cero, como es el caso de las serie armónica.

Serie Telescópica o desplegable::Es aquella serie cuyo término de formación se puede representar por de la siguiente manera:

De una ecuación compleja en el denominador se lleva a dos más sencillas, por varios métodos:Si es un polinomio por el proceso de fracción simple, si una función logarítmica por sus propiedades.

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Serie de términos positivos y no necesariamente positivos:Definición: Se dice quen1

Σxn es deTérminos positivos (o no negativos) si

xn ≥ 0, ∀n ∈ ℕ.- Las series de términos negativos se tratan de forma análoga a la de términos positivos.

- Se pueden considerar y tratar como serie de términos positivos aquellas para

Las que xn ≥ 0, ∀n N0.Teorema: Una serie de términos positivos, o es convergente o divergente,no puede ser oscilante.

Criterios de convergencia:Definición: Dadas dos series de términos positivosn1

Σxn yn1

Σyn, diremos quen1

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Σxn es mayorante den1

Σyn, si ∃n0 ∈ ℕtal que xn ≥ yn, ∀n ≥ n0.n1

Σxn es minorante den1

Σyn, si ∃n0 ∈ ℕtal que xn ≤ yn, ∀n ≥ n0.

Criterios de comparación:

Criterio de comparación de la mayorante.Seann1

Σxn yn1

Σyn series de términos positivos.

i Sin1

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Σxn es mayorante den1

Σyn yn1

Σxnes convergente n1

Σyn es convergente.

ii Sin1

Σxn es minorante den1

Σyn yn1

Σxnes divergente n1

Σyn es divergente.

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Comparación con paso al límite:Seann1

Σxn yn1

Σyn dos series de términos positivos conn→

lim xn yn l ∈ 0, .i Si l ≠ 0 y l ≠ , las dos series tienen el mismo carácter, es decir, convergen o divergen simultáneamente.

ii Si l 0 yn1

Σyn es convergente n1

Σxn es convergente.

Si l 0 yn1

Σxn es divergente n1

Σ17

yn es divergente.

iii Si l yn1

Σyn es divergenten1

Σxnes divergente.

Si l yn1

Σxn es convergenten1

ΣYn es convergente.

Series de Potencias y sus propiedades: Se denomina serie de potencias. El número real an es el coeficiente n-esimo y el punto x0 es el centro del desarrollo. Por comodidad, dado que un cambio de variable lo permite, casi siempre se trabaja con x0 = 0 con lo cual las series de potencias tienen este aspecto.

Una expresión de la forma

a 0+a1( x−c )+a2( x−c )2+. ..+an( x−c )+. . .=∑n=0

+∞

an( x−c )n

Recibe el nombre de serie de potencias centrada en c.

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Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x

f ( x )=∑n=0

+∞

an( X−c )n

Cuyo dominio es el conjunto de los x 2 R para los que la serie es convergente y el valor de f(x) es, precisamente, la suma de la serie en ese punto x.

Las series de potencias, vistas como funciones, tienen un comportamiento bueno, en el sentido de que son funciones continuas y derivables de cualquier orden. Más aun, su función derivada es, otra vez, una serie de potencias. Desde un punto de vista más práctico, las series de potencias aproximan a su función suma. Es decir, la suma parcial de orden n, que no es más que un polinomio de grado n a lo sumo, representa una aproximación a la función suma en su dominio de convergencia.

Propiedades:

Hemos visto que una serie de potencias define una función en un intervalo.Veremos ahora que propiedades cumple esta función.

Sea f(x) la función definida como una serie de potencias

f ( x )=∑n=0

+∞

an( x−c )n

Con radio de convergencia R > 0 entonces,

1. f es continua en todo punto interior del sistema de convergencia.

2. f es derivable en todo punto interior del intervalo de convergencia y, además,

f ( x )=∑n=1

+∞

nan( x−c )n−1

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Teniendo esta última serie radio de convergencia R (derivación termino a término).3. f es integrable en el intervalo de convergencia y, además,

∫ f ( x )dx=∑n=0

+∞

∫(an ( x−c )n)dx=∑n=0

+∞ an

n+1( x−c )n+1+c

Teniendo esta última serie radio de convergencia R (integración término a término).

Teorema de Taylor:

En cálculo, el teorema de Taylor, recibe su nombre del matemático británico Brook Taylor, quien lo enunció con mayor generalidad en1712, aunque previamente James Gregory lo había descubierto en 1671. Este teorema permite obtener aproximaciones polinómicas de una función en un entorno de cierto punto en que la función sea diferenciable. Además el teorema permite acotar el error obtenido mediante dicha estimación.

Calculo de una variable:

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a Є (a, d) mediante un polinomiocuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y +1 veces en el intervalo abierto (, ), entonces se cumple que:1

(1a)

O en forma compacta

(1b)

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Donde denota el factorial de , y es el resto, término que depende de y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionan a continuación:

(2a)

Donde y , pertenecen a los números reales, a los enteros y es un número real entre y :2

(2b)

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.

Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas.

El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

Demostración

La demostración de la fórmula (1a), con el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función:

Un cálculo rutinario permite ver que la derivada de esta función cumple que:

Se define ahora la función G como:

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Es evidente que esta función cumple , y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:

Y como:

Se obtiene finalmente que:

Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula (1a) con la forma del resto (2a).

Caso de varias variables:

El teorema de Taylor anterior (1) puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en RN centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura cuyas derivadas parciales de orden n+1 son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor establece que para cualquier :

Donde la suma se extiende sobre los multi-índices α (esta fórmula usa la notación multi-índice). El resto satisface la desigualdad:

Para todo α con |α|=n+1. Tal como sucede en el caso de una variable, el resto puede expresarse explícitamente en términos de derivadas superiores.

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Aproximación de funciones con N decimales exactos:

Fórmula de Taylor:

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.

El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.

Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.

Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1

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El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.

La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.

Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.

La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista práctico.

La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.

En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se va "tapando" con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.

Aproximación de la función y = sen (x)

Aproximación de la función y = cos (x)

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Aproximación de la función y = ex

Aproximación de la función y = ln (1+x)

Fórmulas de diferencias finitas: Una diferencia finita es una expresión matemática de la forma f(x + b) − f(x +a). Si una diferencia finita se divide por b − a se obtiene una expresión similar al cociente diferencial, que difiere en que se emplean cantidades finitas en lugar de infinitesimales. La aproximación de las derivadas por diferencias finitas desempeña un papel central en los métodos de diferencias finitas del análisis numérico para la resolución de ecuaciones diferenciales.

Diferencias finitas centradas y laterales:

Sólo se consideran normalmente tres formas: la anterior, la posterior y la central.

Una diferencia progresiva, adelantada o posterior es una expresión de la forma

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Dependiendo de la aplicación, el espaciado h se mantiene constante o se toma el límite h → 0.

Una diferencia regresiva, atrasada o anterior es de la forma

Finalmente, la diferencia central es la media de las diferencias anteriores y posteriores. Viene dada por

Relación con las derivadas:

La derivada de la función f en un punto x está definida por el límite

Si h tiene un valor fijado no nulo, en lugar de aproximarse a cero, el término de la derecha se convierte en

Por lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor. Asumiendo que f es continuamente diferenciable, el error es:

La misma fórmula es válida en la diferencia anterior:

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Sin embargo, la diferencia central lleva a una aproximación más ajustada. Su error es proporcional al cuadrado del espaciado (si f es dos veces continuamente diferenciable).

Cálculo de diferencias finitas:

La diferencia anterior puede considerarse un operador diferencial que hace corresponder la función f con Δf. El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula

Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder con su derivada , es decir,

Formalmente, invirtiendo la exponencial,

Esta fórmula sigue siendo válida en el sentido de que ambos operadores dan el mismo resultado cuando se aplican a un polinomio. Incluso para funciones analíticas, las series de la derecha no convergen con seguridad, sino que puede tratarse de una serie asintótica. Sin embargo, pueden emplearse para obtener aproximaciones más precisas de la derivada. Por ejemplo, Los dos primeros términos de la serie llevan a:

El error de la aproximación es del orden de h2.

Las fórmulas análogas para los operadores posterior y central son

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Derivadas de órdenes mayores:

De forma análoga se pueden obtener aproximaciones en diferencias finitas para derivadas de orden mayor y operadores diferenciales. Por ejemplo usando la fórmula de la diferencia central mostrada anteriormente con un espaciado de para y y aplicando la fórmula de diferencia central a la derivada de en x, obtenemos la aproximación de la diferencia central de la segunda derivada de f:

Métodos de diferencias finitas: Otro aspecto importante es que las diferencias finitas aproximan cocientes diferenciales a medida que h se acerca a cero. Así que se pueden usar diferencias finitas para aproximar derivadas. Esta técnica se emplea a menudo en análisis numérico, especialmente en ecuaciones diferenciales numéricas ordinarias, ecuaciones en diferencias y ecuación en derivadas parciales. Los métodos resultantes reciben el nombre de métodos de diferencias finitas.

Las aplicaciones habituales de los métodos de diferencias finitas son en los campos de la computación y áreas de la ingeniería como ingeniería térmica o mecánica de fluidos.

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