Bhaskara (1114 – 1185)

Vida y obra por

Sabrina Dechima

También es conocido como Bhaskara II; su

nombre significa Maestro, nació en Vijayapura,

y murió en Ujjain. Ambas ciudades de la India

Fue jefe del observatorio astronómico de Ujjain, uno de los centros del renacimiento de la Matemática hindú durante la Edad Media

Representó un hito en elconocimiento matemáticodel siglo XII

Alcanzó un conocimiento

de los sistemas de numeración y resolución de

ecuaciones al que no se había arribado en

Europa en muchos siglos. Su principal obra es

Lilavati (la hermosa), que es sobre Álgebra (fue

traducida al inglés en 1816 por James Taylor)

Lilavati El libro posee elnombre de su hija de 12años

Lo hizo con la idea deconfrontarla ante unproblema que ellatenía.

Veamos el relato

Esta es la Historia

Los astrólogos habían detectado que había un solo momento en toda la vida de Lilavati en el cual podía casarse en forma segura y ese era el día en el que cumpliera 12 años. Así Bhaskara arregló la boda para ese día.

Los hindúes median eltiempo con la ayuda dela copa hindú, la cual seintroduce en una vasijacon agua y por unpequeño orificio en labase de la copa, está seva llenando.

El momento propiciopara la boda es aquel enel cual la copa se hundepor completo.

A todo esto, la hijaobservaba atentamentela copa que flotaba en lavasija cerca de ella.Cuando todo estaba listoLilavati se inclinó sobrela vasija y una perla sedesprendió de su vestidocayó en la copa y tapo elagujero. La hora indicadapasó y la copa no sehundió, por lo tanto laboda nunca se realizó.

Lilavati nunca se pudocasar

Para que el nombre de su hija perdurara en el tiempo mucho más de lo que pudieran haber perdurado los hijos que no iba a tener y mitigar el dolor que había causado el no haberse podido casar, Bhaskara le prometió escribir un libro al que pondría su nombre. De esta forma está niña se hizo famosa. (No hay certeza de que

esta historia sea cierta)

Teniendo en cuenta que fue seguidor de Brahmagupta, no sorprende que entendiera sobre el cero y los números negativos. Pero se dio cuenta de los problemas que había con la división por cero.

Sin embargo sus conocimientos fueron más halla

Para dar algunos ejemplos

• Supo que posee dos soluciones

• En Lilavati, dio dos métodos para multiplicar y como muchos de los

matemáticos hindúes

consideró a los cuadrados

como casos especiales

de la multiplicación

• En el capitulo 12 se plantea un método pararesolver ecuaciones indeterminadas

“Digan rápido matemáticos: qué número se obtiene si a un número se lo multiplica por 221, se le suma 65 y a la suma se la divide por 195”

Equivale a plantear 221x + 65 = 195 y

Obtiene las infinitas soluciones (x ; y)

(6;5) (23;20) (40;35) y así sucesivamente

En su primer libro, Bijaganita (“El arte de

contar semillas”), trata entre otros, los

siguientes temas: números positivos y negativos, el cero,

ecuaciones simples y

cuadráticas, además, ecuaciones con más de

una incógnita

• En este libro, plantea la división por cero:

“Una cantidad dividida por cero se transforma en una fracción de denominador cero. Esta

fracción es una cantidad infinita”

Así trata de resolver el problema escribiendo:

El error que se comete es afirmar que,

sería cualquier número n, lo cual no es cierto.

Con lo cual todos los números serían iguales.

Los matemáticos hindúes no pudieron admitir

que no se puede dividir por cero

Ejemplo de una ecuación de segundo grado

“Dentro de un bosque, un número de gorilas igual al cuadrado del octavo del total están

jugando. Los doce restantes, que están en una actitud seria, están en una colina cercana.

¿Cuántos gorilas hay en total?”

El problema conduce a una ecuación cuyas soluciones son 16 y 48

• El método de Kutaca (“pulverizador”, método basado en el algoritmo de Euclides) se aplica a ecuaciones con 3 incógnitas. El problema es encontrar soluciones naturales a una ecuación de la forma: ax+by+cz=d. Un ejemplo es

“Los caballos que pertenecen a cuatro hombres son, 5,3,6 y 8. Los camellos son: 2,7,4 y 1. Las mulas: 8, 2, 1 y 3. Mientras que la cantidad de bueyes: 7,1,2 y 1. Los cuatro hombres tienen la

misma fortuna. Decidme rápido cuales el precio de cada caballo, camello, mula y buey”

Bhaskara haya la solución mínima: 85 caballos,

76 camellos, 31 mulas y 4 bueyes. Ya que no

posee solución única.

Otro problema que se plantea en Lilavati es:

“La quinta parte de un enjambre de abejas se posó en la flor de Kadamba, la tercera parte en la flor de Silinda, el triple de la diferencia entre dos números voló sobre una flor de Krutaja, y una abeja quedó sola en el aire, atraída por el pefume de un jazmín y de un pandnus. Dime, bella niña, cuál es el número de abejas que forman el enjambre”.

Otra obra es Sindhanta Siromani.

Es su obra más importante, en la que trata cuestiones de Aritmética, Álgebra, Trigonometría y Matemática Astronómica

En este libro, se resume el trabajo de antiguos matemáticos hindúes.

Se encuentran tablas de senos y otras relaciones trigonométricas, como la conocida fórmula de la suma y diferencia de ángulos

También se le atribuye a Bhaskara la conocida fórmula resolvente para la ecuación de 2°grado

Hay una demostración del Teorema de Pitágoras llamada demostración hindú realizada por Bhaskara.

Divide al cuadrado de la Fig. 1 y los reubica de la forma que se indica en la Fig. 2

Como las áreas de los dos cuadrados de la fig. 1 equivalen al cuadrado de la fig. 2, resulta que él área del cuadrado de la fig. 2 debe ser igual a las sumas de las áreas de los cuadrados de la fig. 1

La más larga

caminata comienza

con un paso

Proverbio Hindú

Gracias por su atención

Sabrina Dechima

Biografía Consultada

Los Matemáticos que

hicieron la historia

Autor: Alejandro Garcia VenturiniEditorial: Ediciones Cooperativas

Segunda Edición. Año: 2004