Embed Size (px)
Citation preview
BÀI TẬP
1.1. Cho ba biến cố A, B và C. Hãy viết thành biểu thức theo A, B và C các biến cố sau:
(a) cả A, B và C ñều xảy ra; (b) ít nhất một trong các biến cố A, B hoặc C xảy ra; (c) chỉ có A xảy ra;
(d) chỉ có một trong ba biến cố A, B hoặc C xảy ra.
Giải:
(a) ABC
(b) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC+ + + + + + A B C= ∪ ∪
(c) ABC
(d) ABC ABC ABC+ + 1.2. Kiểm tra lần lượt 4 sản phẩm. Mỗi sản phẩm thuộc một trong hai loại: Chính
phẩm hoặc phế phẩm. Đặt Ak : “Sản phẩm ñược kiểm tra lần thứ k là phế phẩm” (k ∈ 1, 2,
3, 4). Hãy biểu diễn các biến cố sau ñây qua các Ak:
(a) cả 4 sản phẩm ñều là phế phẩm, (b) cả 4 sản phẩm ñều là chính phẩm; (c) có ít nhất một sản phẩm là phế phẩm; (d) chỉ có một chính phẩm. Giải:
a) 1 2 3 4A A A A A=
b) 1 2 3 4B A A A A=
c) 1 2 3 4C B A A A A= Ω − = ∪ ∪ ∪
d) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4A A A A A A A A A A A A A A A A+ + +
1.3. Có 3 bình. Mỗi bình chứa một số viên bi xanh và viên bi ñỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Đặt Xi : “lấy ñược viên bi xanh từ bình thứ i”, (i ∈ 1,2,3). Hãy
biểu diễn các biến cố sau ñây qua các Xi:
(a) Lấy ñược 3 bi cùng màu; (b) Lấy ñược 2 bi xanh; (c) Lấy ñược ít nhất một bi ñỏ. Giải: (a) Gọi A là biến cố “lấy ñược 3 viên bi cùng màu”. Ta có:
1 2 3 1 2 3A X X X X X X= +
(b) Gọi B là biến cố “lấy ñược 2 bi xanh” 1 2 3 1 2 3 1 2 3B X X X X X X X X X= + +
(c) Gọi C là biến cố “ Lấy ñược ít nhất một bi ñỏ”. 1 2 3C X X X= ∪ ∪
1.4. Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với
58
( )P A = , 12
( )P B = và 14
( )P AB = .
Tính:
(a) P(A ∪ B);
(b) P( A B∪ );
(c) P(cả A và B ñều không xảy ra); (d) P(A và B không xảy ra ñồng thời); (e) P(chỉ có A xảy ra); (f) P(chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra). Giải:
a) Từ 58
( )P A = ta có ( )3
8P A = . Theo công thức cộng xác suất ta có:
( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 5
8 2 4 8P A B P A P B P AB∪ = + − = + − = .
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 1 1 1 3
8 2 2 4 4P A B P A P B P AB P A P AB∪ = + − = + − − = + = .
c) Đặt C : “Cả A và B ñều không xảy ra”. C AB A B= = ∪ nên
( ) ( )5 3
1 18 8
P C P A B= − ∪ = − = .
d) Gọi D là biến cố “A và B không xảy ra ñồng thời” ta có D AB=
Suy ra ( ) ( )1 3
1 14 4
P D P AB= − = − = .
e) Gọi E là biến cố “Chỉ có A xảy ra”. Thì
( ) ( ) ( ) ( )3 1 1
8 4 8E AB P E P AB P A P AB= ⇒ = = − = − = .
f) Biến cố “chỉ có một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra” chính là biến cố G AB AB= +
( ) ( ) ( )1 1 1
2 4 4P AB P B P AB= − = − = . Vậy, ( )
1 1 3
8 4 8P G = + =
1.5. Một hệ thống bơm trong sản xuất nông nghiệp sẽ ngừng hoạt ñộng khi máy bơm bị hỏng hoặc các chỗ nối bị rò rỉ. Có hai hệ thống bơm A và B ñược chào hàng với các thông số kỹ thuật ñược cho trong bảng sau:
Hệ thống Xác suất hỏng bơm Xác suất rò rỉ Xác suất hỏng bơm và rò rỉ A
B 0,07
0,09
0,10
0,12
0,00
0,06
Theo ý bạn, nên chọn hệ thống nào ñể việc sản xuất ít bị gián ñoạn hơn? Nếu lắp ñặt cả hai hệ thống A và B và chúng hoạt ñộng ñộc lập, thì xác suất ñể cả hai cùng ngưng hoạt ñộng là bao nhiêu?
Giải: Gọi 1 2, ,A A A , 1 2, ,B B B lần lượt là biến cố “Hệ thống A ngưng hoạt ñộng”, “Bị hỏng bơm”,
“Bị rò rỉ”, tương ứng. Tương tự: gọi, 1 2, ,B B B lần lượt là biến cố “Hệ thống B ngưng hoạt
ñộng”, “Bị hỏng bơm”, “Bị rò rỉ”, tương ứng. Ta có 1 2A A A= ∪ và 1 2B B B= ∪
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0,07 0,10 0,00 0,17P A P A A P A P A P A A= ∪ = + − = + + =
Và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 0,09 0,12 0,06 0,15P B P B B P B P B P B B= ∪ = + − = + − =
Vậy hệ thống B ít bị gián ñoạn hơn. Xác suất cả hai hệ thống ngưng hoạt ñộng là: ( ) ( ) ( ) 0,17.0,15 0,0255P AB P A P B= = =
1.6. Cho A và B là hai biến cố trong cùng một không gian xác suất, với
P(A) = 13
, P(B) = 14
và P(A ∪ B) = 12
.
Tính xác suất ñể
a) A xảy ra, biết rằng B ñã xảy ra;
b) B xảy ra, biết rằng A ñã xảy ra;
c) cả A và B ñều không xảy ra;
d) chỉ có A xảy ra;
e) B không xảy ra, biết rằng A không xảy ra. Giải:
a) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
1/ 4 1/ 3 1/ 2 1/
1/ 4 3
P AB P A P B P A BP A B
P B P B
+ − ∪ + −= = = =
b) ( )( )
( )
1/12 1/
1/ 3 4
P ABP B A
P A= = =
c) ( ) ( ) ( )1
12
P AB P A B P A B= ∪ = − ∪ =
d) ( ) ( ) ( )1 1 1
3 12 4P AB P A P AB= − = − =
e) ( )( )( )
( )( )
( )1 1/ 2 3/
1 2 / 3 2 / 3 4
P A BP AB P A BP B A
P AP A
∪ − ∪= = = = =
−
1.7. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 8 người, gồm 5 nam và 3 nữ nạp ñơn xin dự tuyển, và mỗi người ñều có cơ hội ñược tuyển như nhau. Tính xác suất ñể trong 4 người ñược tuyển,
(a) có duy nhất một nam; (b) có ít nhất một nữ; (c) có không quá hai nam; (d) có ba nữ, biết rằng có ít nhất một nữ ñã ñược tuyển. Giải: Gọi , ,A B C và D lần lượt là các biến cố “trong 4 người ñược chọn có duy nhất một
nam; có ít nhất một nữ; có không quá hai nam và có ba nữ ñược tuyển”.
a) ( )1 35 3
48
5 1
70 14
C CP A
C= = =
b) Ta có B là biến cố “không có nữ nào ñược tuyển”: ( )4548
5 1
70 14
CP B
C= = =
Vậy ( ) ( )13
114
P B P B= − = .
c) Gọi 1C : “Có một nam ñược tuyển”, ( )1 35 3
1 48
C CP C
C=
2 :C “Có hai nam ñược tuyển”, ( )2 25 3
2 48
C CP C
C=
Từ ñó. ( ) ( ) ( )1 3 2 25 3 5 3
1 2 48
C C C CP C P C P C
C
+= + =
d) Vì D B⊂ ( D - “chọn ñược 3 nữ” là một trường hợp trong B - “có ít nhất một nữ ñược chọn”) nên DB D= . Xác suất cần tính:
( )( )
( )
( )
( )1
/13
P DB P DP D B
P D P B= = = .
1.8. Một cửa hàng sách ước lượng rằng: Trong tổng số các khách hàng ñến cửa hàng, có 30% khách cần hỏi nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách thực hiện cả hai ñiều trên. Gặp ngẫu nhiên một khách trong nhà sách. Tính xác suất ñể người này (a) không thực hiện cả hai ñiều trên; (b) không mua sách, biết rằng người này ñã hỏi nhân viên bán hàng.
Giải: Gọi ,A B lần lượt là các biến cố : “Khách mua sách”, “Khách hỏi nhân viên bán
hàng”. Ta có ( ) ( ) ( )0,2; 0,3; 0,15P A P B P AB= = = .
a) Biến cố “Khách không thực hiện hai ñiều trên” là: AB A B= ∪
Xác suất cần tìm là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,3 0,2 0,15 0,65P AB P A B P A P B P A B= − ∪ = − − + ∩ = − − + = .
b) ( )( )( )
( ) ( )
( )0,3 0,15 1
/0,3 2
P AB P B P ABP A B
P B P B
− −= = = =
1.9. Cho ba biến cố A, B và C trong cùng một không gian xác suất, có xác suất tương ứng: P(A) = 0,7; P(B) = 0,6; P(C) = 0,5; P(AB) = 0,4; P(BC) = 0,2; P(AC) = 0,3 và P(ABC) = 0,1. Tính xác suất ñể
(a) cả 3 biến cố A, B và C ñều không xảy ra; (b) có ñúng hai trong 3 biến cố A, B và C xảy ra; (c) có ñúng một trong 3 biến cố A, B và C xảy ra. Giải: a) ABC là biến cố: “cả 3 biến cố A, B và C ñều không xảy ra” Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
1
1
1 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 2 0,1 0
P ABC P A B C
P A P B P C P AB P AC P BC P ABC
= − ∪ ∪
= − + + − − − +
= − + + − − − + =
b) ( )P ABC ABC ABC+ + =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )3
0,4 0,2 0,3 3.0,1 0,6
P ABC P ABC P ABC
P AB P ABC P AC P ABC P BC P ABC
P AB P BC P AC P ABC
= + +
= − + − + −
= + + −
= + + − =
c)
( ) ( ) ( ) ( )1
1 0,6 0,1 0 0,3
P ABC ABC ABC P ABC ABC ABC P ABC P ABC+ + = − + + − −
= − − − =
Hoặc: ( ) ( ) ( ) ( )P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC+ + = + +
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,7 0,4 0,3 0,1 0,1
P ABC P A B C P A P A B C P A P AB AC
P A P AB P AC P ABC
= ∪ = − ∪ = − ∪
= − + − = − + − =
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,6 0,4 0,2 0,1 0,1
P ABC P B A C P B P B A C P B P AB BC
P B P AB P BC P ABC
= ∪ = − ∪ = − ∪
= − + − = − + − =
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,5 0,3 0,2 0,1 0,1
P ABC P C A C P C P C A B P C P AC BC
P C P AC P BC P ABC
= ∪ = − ∪ = − ∪
= − + − = − + − =
Suy ra: ( ) 0,3P ABC ABC ABC+ + =
1.10. Một cuộc ñiều tra cho thấy, ở một thành phố, có 20,7% dân số dùng loại sản phẩm X, 50% dùng loại sản phẩm Y và trong số những người dùng Y, có 36,5% dùng X. Phỏng vấn ngẫu nhiên một người dân trong thành phố ñó, tính xác suất ñể người ấy
(a) dùng cả X và Y; (b) không dùng X, cũng không dùng Y; (c) dùng Y, biết rằng người ấy không dùng X. Giải: Gọi ,X Y lần lượt là các biến cố “Người ñược phỏng vấn dùng sản phẩm X”, “Người
ñược phỏng vấn dùng sản phẩm Y”. Theo ñề bài ta có: ( ) 0,207P X = ; ( ) 0,5P Y = ;
( )/ 0,365P X Y = .
a) ( ) ( ) ( )/ 0,5.0,365 0,1825P XY P Y P X Y= = = .
b) Biến cố “Không dùng X cũng không dùng Y” là XY .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
1 1
1 0, 207 0,5 0,1825 0,4755
P XY P X Y P X P Y P XY= − ∪ = − + −
= − + − =
c) Dùng Y biết rằng không dùng X là biến cố: /Y X
Ta có ( )( )( )
( ) ( )
( )( )/ 1 / 1 0,365 0,635
P XY P Y P XYP X Y P X Y
P Y P Y
−= = = − = − =
( )( )( )
( ) ( )( )
/ 0,635 0,5.0,635/ 0, 4004
1 1 0,207 0,793
P YX P Y P X YP Y X
P XP X= = = = =
− −
1.11. Cho hai biến cố A và B có xác suất dương và xung khắc. A và B có ñộc lập không? Tại sao?
Giải: Do A và B xung khắc nên ta có:
( ) ( ) 0P AB P= ∅ =
Trong khi ñó ( ) ( ). 0P A P B > . Vậy, ,A B không ñộc lập.
1.12. Theo một cuộc ñiều tra thì xác suất ñể một hộ gia ñình có máy vi tính nếu thu nhập hàng năm trên 20 triệu (VNĐ) là 0,75. Trong số các hộ ñược ñiều tra thì 60% có thu nhập trên 20 triệu và 52% có máy vi tính. Tính xác suất ñể một hộ gia ñình ñược chọn ngẫu nhiên
(a) có máy vi tính và có thu nhập hàng năm trên 20 triệu;
(b) có máy vi tính, nhưng không có thu nhập trên 20 triệu; (c) có thu nhập hàng năm trên 20 triệu, biết rằng hộ ñó không có máy vi tính. Giải: Gọi A à biến cố: “Hộ ñược chọn có thu nhập trên 20 triệu” Gọi B là biến cố: “Hộ ñược chọn có máy vi tính”. Ta có: ( ) 0,6P A =
( ) 0,52P B = còn
( )/ 0,75P B A =
a) ( ) ( ) ( )/ 0,6.0,75 0,45P AB P A P B A= = =
b) ( ) ( ) ( ) 0,52 0, 45 0,07P BA P B P AB= − = − =
c) ( )( )( )
( ) ( )
( )0,6 0, 45
/ 0,31251 1 0,52
P AB P A P ABP A B
P BP B
− −= = = =
− −
1.13. Trong một ñội tuyển có hai vận ñộng viên A và B thi ñấu. A thi ñấu trước và có hy vọng 80% thắng trận. Do ảnh hưởng tinh thần, nếu A thắng trận thì có 60% khả năng B thắng trận, còn nếu A thua thì khả năng này của B chỉ còn 30%. Tính xác suất của các biến cố sau:
(a) Đội tuyển thắng hai trận; (b) B thắng trận; (c) Đội tuyển thắng ít nhất một trận; (d) Đội tuyển chỉ thắng có một trận. Giải: Gọi ,A B lần lượt là các biến cố: “A, B thắng trận”
Ta có ( ) 0,8P A = ; ( ) ( )/ 0,6; / 0,3P B A P B A= =
a) Xác suất ñội tuyển tháng hai trận là:
( ) ( ) ( )/ 0,8.0,6 0, 48P AB P A P B A= = =
b) Xác suất B thắng trận là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ). / . / 0,8.0,6 0, 2.0,3 0, 48 0,06 0,54P B P A P B A P A P B A= + = + = + =
c) Xác suất ñội tuyển thắng ít nhất một trận: Biến cố thắng ít nhất một trận là biến cố hoặc A thắng hoặc B thắng: A B∪
( ) ( ) ( ) ( ) 0,8 0,54 0,48 0,86P A B P A P B P AB∪ = + − = + − =
d) Đội tuyển chỉ thắng có một trận: A thắng B thua hoặc B thắng A thua: AB AB+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / 0,8. 1 0,6 0,06 0,38P AB AB P A P B A P A P B A+ = + = − + = .
1.14. Để thành lập ñội tuyển quốc gia về một môn học, người ta tổ chức một cuộc thi tuyển gồm 3 vòng. Vòng thứ nhất lấy 80% thí sinh; vòng thứ hai lấy 70% thí sinh ñã qua vòng thứ nhất và vòng thứ ba lấy 45% thí sinh ñã qua vòng thứ hai. Để vào ñược ñội tuyển, thí sinh phải vượt qua ñược cả 3 vòng thi Tính xác suất ñể một thí sinh bất kỳ
(a) ñược vào ñội tuyển; (b) bị loại ở vòng thứ ba; (c) bị loại ở vòng thứ hai, biết rằng thí sinh này bị loại. Giải: Gọi 1A , 2 3,A A lần lượt là biến cố: “Một thí sinh vượt qua vòng một, vòng 2, vòng
3”. Ta có ( )1 80%P A = . ( )2P A ; ( )3P A chưa biết.
a) Xác suất một thí sinh vào ñược ñội tuyển là:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2/ / 0,8.0,7.0, 45 0, 252P AAA P A P A A P A AA= = =
b) Xác suất thí sinh bị loại ở vòng thi thứ 3 là:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2/ / 0,8.0,7.0,55 0,308P AAA P A P A A P A AA= = =
c) Gọi B là biến cố sinh viên bị loại: Ta có 1 1 2 1 2 3B A AA AAA= + +
Xác suất bị loại là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 1 2 1 2 3 1 1 2 1 2 3
0,2 0,8.0,3 0,308 0,748
P B P A AA AAA P A P AA P AAA= + + = + +
= + + =
Xác suất thí sinh bị loại ở vòng 2 với ñiều kiện thí sinh này bị loại là:
( )( )( )
1 2
1 2
0,24/ 0,3209
0,748
P AAP AA B
P B= = = .
1.15. Một lô hàng có 9 sản phẩm giống nhau. Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm; kiểm tra xong trả sản phẩm lại lô hàng. Tính xác suất ñể sau 3 lần kiểm tra, 9 sản phẩm ñều ñược kiểm tra.
Giải: Kí hiệu iM là biến cố: “Lần thứ i kiểm tra ñược toàn sản phẩm mới”,
1 1, 2,3= Ta Ta có ( )1 1P M = . Xác suất cần tìm là xác suất của biến cố: 1 2 3M M M :
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )3 36 3
1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 39 9
5/ / 1. .
1764
C CP M M M P M P M M P M M M
C C= = =
1.16. Một lớp học của Trường Đại học AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là nữ sinh viên. Số sinh viên quê ở An Giang chiếm tỉ lệ 40% trong nữ sinh viên, và chiếm tỉ lệ 60% trong nam sinh viên.
(a) Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể chọn ñược một sinh viên quê ở An Giang. Nếu biết rằng sinh viên vừa chọn quê ở An Giang thì xác suất ñể sinh viên ñó là nam bằng bao nhiêu?
(b) Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại hai sinh viên của lớp. Tính xác suất ñể có ít nhất một sinh viên quê ở An Giang, biết rằng lớp học có 60 sinh viên.
Giải: Gọi A là biến cố “Chọn ñược sinh viên quê An Giang”, B là biến cố “Chọn ñược sinh
viên nam”. Ta có ( )/ 0, 4P A B = ; ( )/ 0,6P A B = .
a) Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 8
/ / .0,6 .0,43 3 15
P A P B P A B P B P A B= + = + =
( )( )
( )
( ) ( )
( )
/ 2 / 3 0,6 3/
8 /15 4
P AB P B P A BP B A
P A P A
×= = = = .
b) Lớp học có 60 sinh viên, mà tỷ lệ sinh viên quê ở An Giang là 8
15. Như vậy số sinh
viên quê ở An Giang là 8
60 3215× = . Như vậy, trong lớp 60 sinh viên sẽ có 32 sinh
viên quê An Giang. Nếu chọn hai sinh viên thì xác suất ñể có ít nhất một sinh viên ở An Giang là:
228260
2321
295
C
C− = .
1.17. Có ba hộp A, B và C ñựng các lọ thuốc. Hộp A có 10 lọ tốt và 5 lọ hỏng, hộp B có 6 lọ tốt và 4 lọ hỏng, hộp C có 5 lọ tốt và 5 lọ hỏng
(a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra một lọ thuốc, tính xác suất ñể ñược 3 lọ cùng loại.
(b) Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp ñó lấy ra 3 lọ thuốc thì ñược 1 lọ tốt và 2 lọ hỏng. Tính xác suất ñể hộp A ñã ñược chọn.
(c) Lấy ngẫu nhiên hai lọ thuốc từ hộp B bỏ vào hộp C, rồi tiếp theo lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc từ hộp C thì ñược lọ hỏng. Tính xác suất ñể (i) lọ hỏng ñó là của hộp B bỏ sang; (ii) hai lọ thuốc bỏ từ hộp B vào hộp C ñều là lọ hỏng. Giải:
a) Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố “lấy ñược lọ tốt trong hộp A, B, C tương ứng”.
Biến cố ba lọ cùng loại là: ABC ABC+
( ) ( ) ( )10 6 5 5 4 5 4
. . . .15 10 10 15 10 10 15
P ABC ABC P ABC P ABC+ = + = + = .
b) Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố lấy ñược hộp A, B, C tương ứng. Gọi D là biến cố có 2 lọ hỏng và một lọ tốt trong ba hộp lấy ra. Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 210 5 6 4 5 5
3 3 315 10 10
/ / /
1 1 1 20 1 5 5113. . .
3 3 3 273 10 36 16380
P D P A P D A P B P D B P C P D C
C C C C C C
C C C
= + +
= + + = + + =
Xác suất cần tìm là:
( )( ) ( )
( )
1 2 310 5 15
/ 1/ 3 / 1200/ 0, 2347
5113/16380 5113
P A P D A C C CP A D
P D
×= = = =
c) Gọi 0 1 2; ;H H H lần lượt là các biến cố: “Có 0, 1, 2 lọ hỏng trong hai lọ bỏ từ hộp B
sang hộp C”. 0 1 2; ;H H H lập thành hệ ñầy ñủ các biến cố.
Gọi C là biến cố lấy ñược lọ hỏng từ hộp C.
Ta có: ( ) ( ) ( )2 0 1 1 0 26 4 6 4 6 4
0 1 22 2 210 10 10
1 8 2; ;
3 15 15
C C C C C CP H P H P H
C C C= = = = = = .
Khi 0H xảy ra thì hộp C có 12 lọ thuốc trong ñó có 5 lọ hỏng nên: ( )05
/12
P H H =
Khi 1H xảy ra thì hộp C có 12 lọ thuốc trong ñó có 6 lọ hỏng nên: ( )06
/12
P H H =
Khi 2H xảy ra thì hộp C có 12 lọ thuốc trong ñó có 7 lọ hỏng nên: ( )07
/12
P H H =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2/ / /
1 5 8 6 2 7 29. . .
3 12 15 12 15 12 60
P H P H P H H P H P H H P H P H H= + +
= + + =
i) Gọi ,B C lần lượt là các biến cố lấy ñược lọ của hộp B, hộp C sau khi bỏ hai lọ thuốc từ hộp B sang hộp C.
Ta có ( )2 1
12 6P B = = ; ( )
10 5
12 6P C = = .
Xác suất lọ hỏng của hộp B bỏ sang, áp dụng công thức Bayes:
( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
5 1./ 25 46 2/ 1 / 1 1 1 1
29 29 2960
P CH P C P H CP B H P C H
P H P H= − = − = − = − = − =
ii) Áp dung công thức Bayes:
( )( ) ( )
( )2 2
2
/ 2 7 60 14/ . .
15 12 29 87
P H P H HP H H
P H= = =
1.18. Trong một ñội tuyển có 3 vận ñộng viên A, B và C thi ñấu với xác suất chiến thắng lần lượt là 0,6; 0,7 và 0,8. Giả sử mỗi người thi ñấu một trận ñộc lập nhau. Tính xác suất ñể:
(a) ñội tuyển thắng ít nhất một trận, (b) ñội tuyển thắng 2 trận, (c) A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng 2 trận. Giải: , ,A B C lần lượt là các biến cố A, B, C thắng trận. a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận là biến cố: A B C∪ ∪ . Xác suất cần tìm là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,4.0,3.0,2 0,976P A B C P ABC P A P B P C∪ ∪ = − = − = − =
b) Gọi D là biến cố: “Đội tuyển thắng hai trận”:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,4.0,7.0,8 0,6.0,3.0,8 0,6.0,7.0,2
0,452
P D
P ABC ABC ABC
P A P B P C P A P B P C P A P B P C
=
= + +
= + +
= + +
=
c) A thua trong trường hợp ñội tuyển thắng hai trận:
( )( )( )
0,4.0,7.0,8/ 0, 4956
0,452
P ABCP A D
P D= = = .
1.19. Trong năm học vừa qua, ở trường ñại học XYZ, tỉ lệ sinh viên thi trượt môn Toán là 34% , thi trượt môn Tâm lý là 20,5%, và trong số các sinh viên trượt môn Toán, có 50% sinh viên trượt môn Tâm lý.
(a) Gặp ngẫu nhiên một sinh viên của trường XYZ. Tính xác suất ñể anh ta trượt cả hai môn Toán và Tâm lý; ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý. Nếu biết rằng sinh viên này trượt môn Tâm lý thì xác suất ñể anh ta ñậu môn Toán là bao nhiêu?
(b) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên của trường XYZ. Nhiều khả năng nhất là sẽ có bao nhiêu sinh viên thi trượt cả hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác suất tương ứng.
(c) Phải chọn bao nhiêu sinh viên của trường XYZ sao cho, với xác suất không bé hơn 99%, trong số ñó có ít nhất một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý.
Giải: Gọi ,A B là biến cố “Sinh viên thi trượt môn Toán, Tâm lý” tương ứng.
( ) 0,34P A = ; ( ) 0,205P B = . ( )/ 0,5P B A =
a) Xác suất sinh viên ñó trượt cả hai môn: Toán và Tâm lý ( ) ( ) ( )/ 0,34.0,5 0,17P AB P A P B A= = =
Xác suất ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0,34 0,205 0,17 0,625P AB P A B P A P B P AB= − ∪ = − − + = − − + =
Xác suất sinh viên ñó ñậu môn Toán với ñiều kiện anh ta trượt Tâm lý là:
( )( )( )
( ) ( )
( )0,17 7
/ 10,205 41
P AB P B P ABP A B
P B P B
−= = = − =
b) Xác suất một sinh viên trượt cả hai môn Toán và Tâm lý là: 0,17p=
Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên coi như tiến hành 12 phép thử Bernoulli với xác suất thành công (sinh viên thi trượt) là 0,17p= . Ta có quá trình Bernoulli: ( )12;B p
Số sinh viên thi trượt nhiều khả năng nhất (Số lần thành công nhiều khả năng nhất) là:
( ) ( )[ 1 ] [ 12 1 0,17] 2x n p= + = + = (sinh viên).
Xác suất tương ứng:
( ) 2 2 1012 122 0,17 .0,87 0,296P C= = .
c) Xác suất ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý: 0,625p= .
Gọi n là số sinh viên cần chọn ta có quá trình Bernoulli ( ),B n p
Xác suất có ít nhất một sinh viên ñậu cả hai môn Toán và Tâm lý:
( ) ( )1 1 1 0,625 1 0,375n n
nP ≥ = − − = − .
Theo ñề bài ta phải có:
( )1 0,99 1 0,375 0,99
ln 0,010,375 0,01 ln 0,375 ln 0,01 4,69
ln 0,375
n
n
n
P
n n
≥ ≥ ⇔ − ≥
⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≥ ≈
Vậy phải chọn ít nhất 5 sinh viên. 1.20. Ba máy A, B và C của một xí nghiệp sản xuất, theo thứ tự, 60%, 30% và 10%
tổng số sản phẩm của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra phế phẩm của các máy trên, theo thứ tự, là 2%, 3% và 4%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của xí nghiệp, trong ñó ñể lẫn lộn các sản phẩm do 3 máy sản xuất.
(a) Tính xác suất ñể sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Ý nghĩa của xác suất ñó ñối với lô hàng là gì?
(b) Nếu sản phẩm lấy ñược là phế phẩm, thì nhiều khả năng nhất là do máy nào sản xuất?
Giải: Gọi , ,A B C lần lượt là biến cố “Sản phẩm lấy ra do máy A, B, C tương ứng sản
xuất ra”. Ta có ( ) ( ) ( )0,6; 0,3; 0,1P A P B P C= = = . Gọi T là biến cố “sản phẩm
lấy ra là sản phẩm tốt”. Ta có ( ) ( ) ( )/ 0,98; / 0,97; / 0,96P T A P T B P T C= = =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / /
0,6.0,98 0,3.0,97 0,1.0,96 0,975
P T P A P T A P B P T B P C P T C= + +
= + + =
Ý nghĩa ñó là tỷ lệ sản phẩm tốt của lô hàng. b) Theo công thức Bayes ta có:
( )( ) ( )( )
/ 0,6.0,02/ 0, 48
0,025
P A P T AP A T
P T= = =
( )( ) ( )( )
/ 0,3.0,03/ 0,36
0,025
P B P T BP B T
P T= = =
( )( ) ( )( )
/ 0,1.0,04/ 0,16
0,025
P C P T CP C T
P T= = =
Vậy nhiều khả năng nhất do máy A sản xuất. 1.21. Chia ngẫu nhiên 9 tấm vé số, trong ñó có 3 vé trúng thưởng, ñều cho 3 người
(mỗi người 3 tấm). Tính xác suất ñể cả 3 người ñều ñược trúng thưởng. Giải: Gọi A là biến cố “Cả ba người trúng thưởng”.
Gọi 1 2 3, ,A A A lần lượt là các biến cố “Ba tấm ñầu, ba tấm giữa, ba tấm cuối có 1 tấm
trúng thưởng”. Ta có 1 2 3A AAA=
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2
2 1 2 16 3 4 2
3 39 6
/ /
9. .1 0,321
28
P A P A P A A P A AA
C C C C
C C
=
= = =
1.22. Trong số các bệnh nhân ñang ñược ñiều trị tại một bệnh viện, có 50% ñiều trị bệnh A, 30% ñiều trị bệnh B và 20% ñiều trị bệnh C. Tại bệnh viện này, xác suất ñể chữa khỏi các bệnh A, B và C, theo thứ tự, là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính tỉ lệ bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân ñã ñược chữa khỏi bệnh trong bệnh viện.
Giải: Gọi D là biến cố “Bệnh nhân bất kỳ khỏi bệnh”. Gọi , ,A B C tương ứng là các biến cố:
“Bệnh nhân bị bệnh A, B, C”. Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / /
0,5.0,7 0,3.0,8 0,2.0,9 0,77
p P D P A P D A P B P D B P C P D C= = + +
= + + =
Tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh A trong tổng số bệnh nhân ñược chữa khỏi bệnh chính là xác suất một người chữa khỏi bệnh là bệnh A.
( )( ) ( )
( )
/ 0,5.0,7/ 0,455
0,77
P A P D AP A D
P D= = =
1.23. Có hai bình như sau: Bình A chứa 5 bi ñỏ, 3 bi trắng và 8 bi xanh; bình B chứa 3 bi ñỏ và 5 bi trắng.
(a) Gieo một con xúc xắc vô tư: Nếu mặt 3 hoặc mặt 5 xuất hiện thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình B; các trường hợp khác thì chọn ngẫu nhiên một bi từ bình A. Tính xác suất ñể chọn ñược viên bi ñỏ. Nếu viên bi trắng ñược chọn, tính xác suất ñể mặt 5 của con xúc xắc xuất hiện.
(b) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ bình A bỏ vào bình B, rồi từ bình B lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì ñược bi ñỏ. Nhiều khả năng nhất, viên bi ñó vốn thuộc bình nào?
Giải: a) Gọi A là biến cố: “Gieo xúc xắc ñược mặt 3 hoặc 5”. B là biến cố: “Lấy ñược bi
màu ñỏ”.
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 2 5 1
/ / . .3 8 3 16 3
P B P A P B A P A P B A= + = + =
Gọi T là biến cố: “Chọn ñược bi màu trắng”
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 5 2 3 1
/ / . .3 8 3 16 3
P T P A P T A P A P T A= + = + =
Xác suất mặt 5 xuất hiện (biến cố 5M ) khi bi màu trắng ñược chọn:
( )( ) ( )
( )5
5
/ 5 1/ 6.5 / 8 5/
1/ 3 16
P M P TP M T
P T= = =
b) Gọi ,A B lần lượt là các biến cố: “Viên bi lấy ra sau cùng thuộc bình A, B”.
Ta có ( )3
11P A = ; ( )
8
11P B =
Gọi iD : “Có i bi ñỏ trong 3 viên bi lấy từ hộp A bỏ sang hộp B”, 0,1, 2,3i =
Ta có ( )3
5 11316
., 0,1, 2,3
i i
i
C CP D i
C
−
= =
Gọi D : “Viên bi lấy ra sau từ hộp B là màu ñỏ”.
Ta có ( )3
/ , 0,1, 2,311i
iP D D i
+= =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( )33 3
5 113
0 0 16
. 3 63/ .
11 176
i i
i i
i i
C C iP D P D P D D
C
−
= =
+= = =∑ ∑
Xác suất viên bi thuộc bình B với ñiều kiện nó màu ñỏ:
( )( ) ( )
( )
/ 8 /11 3/8 16/
63/176 21
P B P D BP B D
P D
×= = =
Xác suất viên bi thuộc bình A với ñiều kiện nó màu ñỏ:
( ) ( )16 5
/ 1 / 121 21
P A D P B D= − = − =
Như vậy viên bi màu ñỏ nhiều khả năng của hộp B. 1.24. Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng thứ nhất có 1 con thỏ trắng và 5 con thỏ nâu;
chuồng thứ hai có 9 con thỏ trắng và 1 con thỏ nâu. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con ñể nghiên cứu. Các con thỏ còn lại ñược dồn vào một chuồng thứ ba. Từ chuồng thứ ba này lại bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Tính xác suất ñể con thỏ bắt ra sau cùng là một con thỏ nâu.
Giải: Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố: “Lần thứ nhất bắt ñược hai thỏ trắng, 1 trắng
1 nâu và hai thỏ nâu”. Ta có ( )1 9 3
. 0,156 10 20
P A = = = ; ( )1 1 5 9 23
. . 0,7676 10 6 10 30
P B = + = = ;
( )5 1 1
. 0,0836 10 12
P C = = = . Gọi N là biến cố “bắt ñược từ chuồng thứ 3 ñược thỏ nâu”.
Vì hệ , ,A B C lập thành hệ ñầy ñủ các biến cố và N phụ thuộc vào , ,A B C . Nếu A xảy ra thì chuồng thứ 3 có 8 thỏ trắng và 6 thỏ nâu; nếu B xảy ra thì chuồng 3 có 9 thỏ trắng và 5 thỏ nâu; nếu C xảy ra thì chuồng 3 có 10 thỏ trắng và 4 thỏ nâu. Cho nên
( ) ( ) ( )6 5 4
/ ; / ; /14 14 14
P N A P N B P N C= = = .
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / /
6 5 4 380,15. 0,767. 0,083. 0,362
14 14 14 105
P N P A P N A P B P N B P C P N C= + +
= + + = =
1.25. Đàng nào dễ thắng cuộc hơn, nếu ñánh cuộc ñược ít nhất một mặt 6 khi gieo một lần 4 con xúc xắc vô tư, hay ñánh cuộc ñược cặp (6, 6) ít nhất một lần khi gieo 24 lần một cặp xúc xắc vô tư?
(Bài toán này do hiệp sĩ De Méré ñặt ra cho nhà toán học Pascal). Giải: Khi gieo 4 con xúc xắc coi như tiến hành 4 phép thử Bernoulli, xác suất xuất hiện mặt 6
là 1
6. Ta ñược quá trình
14;
6B
. Xác suất ít nhất một mặt 6 xuất hiện là:
( )4
4
5 6711 1 0,5177
6 1296P
≥ = − = =
Khi ñánh cuộc ñược cặp (6;6) ít nhất một lần khi gieo 24 lần một cặp xúc xắc. Tức là có
ít nhất 1 lần thành công khi tiến hành quá trình 1
24;36
B
.
( )24
24
351 1 0, 4914
36P
≥ = − =
Như vậy trường hợp ñầu dễ thắng cuộc hơn. 1.26. (Bài toán của Samuel Pepys) Biến cố nào trong các biến cố sau ñây có xác suất
lớn nhất?
(a) Có ít nhất một mặt 6 xuất hiện khi gieo 6 con xúc xắc vô tư; (b) Có ít nhất hai mặt 6 xuất hiện khi gieo 12 con xúc xắc vô tư; (c) Có ít nhất ba mặt 6 xuất hiện khi gieo 18 con xúc xắc vô tư;
Giải: Đặt , ,A B C tương ứng là các biến cố cho ở câu (a), (b), (c).
a) Quá trình 1
6;6
B
: Xác suất có ít nhất một lần thành công:
( )6
51 0,665
6P A
= − =
b) Quá trình 1
12;6
B
: Xác suất có ít nhất hai lần thành công:
( )12 11
112
5 1 51 0,619
6 6 6P B C
= − − =
c) Quá trình 1
18;6
B
: Xác suất có ít nhất ba lần thành công:
( )18 17 2 16
1 218 18
5 1 5 1 51 0,597
6 6 6 6 6P C C C
= − − − = .
Vậy, biến cố A có xác suất lớn nhất. 1.27. Ban giám ñốc một công ty liên doanh với nước ngoài ñang xem xét khả năng ñình
công của công nhân ñể ñòi tăng lương ở hai nhà máy A và B. Kinh nghiệm cho họ biết cuộc ñình công ở nhà máy A và B xảy ra lần lượt với xác suất 0,75 và 0,65. Ngoài ra, họ cũng biết rằng nếu công nhân ở nhà máy B ñình công thì có 90% khả năng ñể công nhân ở nhà máy A ñình công ủng hộ.
(a) Tính xác suất ñể công nhân ở cả hai nhà máy ñình công. (b) Nếu công nhân ở nhà máy A ñình công thì xác suất ñể công nhân ở nhà máy B ñình
công ñể ủng hộ bằng bao nhiêu? Giải: a) Gọi A và B lần lượt là các biến cố: “Công nhân nhà máy A ñình công” và “Công nhân nhà máy B ñình công”. Theo ñề bài ta có: ( ) ( ) ( )0,75; 0,65; / 0,9P A P B P A B= = =
Xác suất ñể công nhân cả hai nhà máy ñình công là: ( ) ( ) ( )/ 0,65.0,9 0,585P AB P B P A B= = =
b) Từ công thức ( )( )
( )0,585
/ 0,780,75
P ABP B A
P A= = = .
1.28. Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% các bản cân ñối thu chi chứa các sai lầm. Trong các bản chứa sai lầm, 60% ñược xem là các giá trị bất thường so với các số xuất phát từ gốc. Trong tất cả các bản cân ñối thu chi thì 20% là những giá trị bất thường. Nếu một con số ở một bảng cân ñối tỏ ra bất thường thì xác suất ñể số ấy là một sai lầm là bao nhiêu?
Giải:
Gọi A là biến cố: “Các bản cân ñối thu chi có sai lầm”. B là biến cố: “Các bản cân ñối thu chi có giá trị bất thường”. Ta có ( ) 0,15P A = , ( )/ 0,6P B A = và ( ) 0,2P B = . Ta cần
tính ( )( )
( )
( ) ( )
( )
/ 0,15.0,6/ 0, 45.
0,2
P AB P A P B AP A B
P B P B= = = =
1.29. Một hãng sản xuất một loại tủ lạnh X ước tính rằng khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có ñọc quảng cáo tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người ñọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không ñọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất ñể một người tiêu dùng ñã mua loại tủ lạnh X mà có ñọc quảng cáo.
Giải: Gọi A là biến cố: “Người dùng ñọc quảng cáo”, B là biến cố “Người tiêu dùng
mua tủ lạnh”. ( ) 0,8P A = ; ( )/ 0,3P B A = ; ( )/ 0,1P B A = .
Ta cần tính: ( )/ ?P A B =
Theo công thức Bayes ta có:
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )/ 0,8.0,3 12
/ 0,923.0,8.0,3 0,2.0,1 13/ /
P A P B AP A B
P A P B A P A P B A= = = =
++
1.30. Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng ñèn ñộc lập. Hệ thống I gồm 4 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 3 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng trong 18 giờ thắp sáng liên tục là 0,1. Việc hỏng của mỗi bóng của mỗi hệ thống ñược xem như ñộc lập.
Tính xác suất ñể (a) hệ thống I bị hỏng; (b) hệ thống II không bị hỏng; (c) cả hai hệ thống bị hỏng; (d) chỉ có một hệ thống bị hỏng. Giải: Gọi 1 :A “Hệ thống I bị hỏng”, và 2A : “Hệ thống II bị hỏng”.
a) Hệ thống I bị hỏng nếu như ít nhất một trong 4 bóng của hệ thống bị hỏng. Xác suất xảy ra là ( ) 4
1 1 0,9 0,3439P A = − = .
b) Hệ thống 2 không bị hỏng khi ít nhất một bóng của hệ II không bị hỏng. Xác suất cần tìm là:
( ) 32 1 0,1 0,999P A = − =
c) Xác suất cả hai hệ thống bị hỏng:
( ) ( ) ( ) 31 2 1 1 0,3439.0,001 0,3439.10P AA P A P A −= = =
d) Chỉ có một hệ thống bị hỏng là: 1 2 1 2AA AA+ Xác suất tương ứng là:
( )1 2 1 2 0,6561.0,001 0,3439.0,999 0,3442P AA AA+ = + = .
1.31. Một lô hàng gồm rất nhiều bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn xấu. Một người ñến mua hàng với quy ñịnh: Chọn ngẫu nhiên 10 bóng ñèn ñem kiểm tra và nếu có nhiều hơn một bóng ñèn xấu thì không nhận lô hàng. Tính xác suất ñể lô hàng ñược chấp nhận.
Giải: Xem việc kiểm tra một bóng ñèn là một phép thử Bernoull với xác suất bóng ñược kiểm
tra là bóng xấu là: 0,08p = . Khi kiểm tra 10 bóng, ta có quá trình Bernoulli:
( )10,B p . Lô hàng ñược chấp nhận khi có không quá 1 bóng xấu:
( ) ( ) 10 1 910 10 100 1 0,92 .0,08.0,92 0,812P P C+ = + = .
1.32. Một nhóm nghiên cứu ñang nghiên cứu về nguy cơ một sự cố tại một nhà máy ñiện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Nhóm nghiên cứu nhận thấy các loại sự cố chỉ có thể là: hoả hoạn, sự gãy ñổ của vật liệu hoặc sai lầm của con người, và 2 hay nhiều hơn 2 sự cố không bao giờ cùng xảy ra.
Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự gãy ñổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần, và nếu có sự sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu cũng tìm ñược xác suất ñể:
Hoả hoạn và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0010, gãy ñổ vật liệu và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015, sai lầm của con người và sự rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0012. Tìm xác suất ñể: (a) có hoả hoạn; có gãy ñổ vật liệu và có sai lầm của con người; (b) có một sự rò rỉ phóng xạ; (c) một sự rò rỉ phóng xạ ñược gây ra bởi sự sai lầm của con người. Giải: a) Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố: “Xảy ra các sự cố hỏa hoạn, sự gãy ñổ của vật
liệu, do sai lầm của con người”. D là biến cố: “Xảy ra sự rò rỉ phóng xạ”. Ta có , ,A B C là
hệ từng ñôi xung khắc và ( ) ( ) ( )/ 0,2; / 0,5; / 0,1P D A P D B P D C= = = . Ngoài ra,
( ) ( ) ( )0,001; 0,0015; 0,0012P AD P BD P CD= = =
Theo công thức xác suất ñiều kiện ta có:
( )( )
( )( )
( )
( )0,001 0,0015
0,005; 0,003/ 0,2 / 0,5
P AD P BDP A P B
P D A P D B= = = = = =
( )( )
( )0,0012
0,012/ 0,1
P CDP C
P D C= = =
b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,001 0,0015 0,0012 0,0037P D P AD P BD P CD= + + = + + = .
c) ( )( )
( )0,0012 12
/0,0037 37
P CDP C D
P D= = = .
1.33. Một ñịa phương có tỉ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%. Biết rằng tỉ lệ người bị viêm họng trong số người nghiện thuốc lá là 60%, còn tỉ lệ ñó trong số người không nghiện thuốc lá là 40%. Chọn ngẫu nhiên một người từ ñịa phương trên.
(a) Nếu người ñó bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện thuốc lá. (b) Nếu người ñó không bị viêm họng, tính xác suất ñể người ñó nghiện thuốc lá. Giải: Gọi A : “Người ñược chọn nghiện thuốc lá”. Gọi B : “Người ñược chọn bị viêm họng”
Ta có: ( ) 0,3P A = . ( )/ 0,6P B A = ; ( )/ 0, 4P B A =
Xác suất người ñược chọn bị viêm họng:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / 0,3.0,6 0,7.0,4 0,46P B P A P B A P A P B A= + = + =
a) Xác suất người viêm họng có nghiện thuốc lá là:
( )( ) ( )
( )
/ 0,18 9/
0,46 23
P A P B AP A B
P B= = = .
b) Nếu người ñó không bị viêm họng thì xác suất nghiện thuốc lá là:
( )( ) ( )( )
/ 0,3.0,4 2/
0,54 9
P A P B AP A B
P B= = = .
1.34. Một nhà xuất bản gửi bảng giới thiệu sách mới ñến 80% giảng viên của một trường ñại học. Sau một thời gian, nhà xuất bản nhận thấy: Có 30% giảng viên mua sách trong số những người nhận ñược bảng giới thiệu, và trong số những giảng viên không nhận ñược bảng giới thiệu, có 10% mua sách. Tìm tỉ lệ những giảng viên nhận ñược bảng giới thiệu trong số những người mua sách.
Giải: Gọi A : “Giảng viên bất kỳ mua sách” Gọi B : “Giảng viên bất kỳ nhận bảng giới thiệu”
( ) 0,8P B = ; ( ) ( )/ 0,3; / 0,1P A B P A B= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ /
0,8.0,3 0,2.0,1 0, 24 0,02 0,26.
P A P B P A B P B P A B= +
= + = + =
Tỷ lệ những giảng viên nhận bảng giới thiệu trong số các giảng viên mua sách:
( )( ) ( )
( )
/ 0,24 12/ 92,31%
0,26 13
P B P A BP B A
P A= = = = .
1.35. Ba lô thuốc A, B và C chứa rất nhiều chai thuốc. Tỉ lệ chai thuốc hỏng ở mỗi lô, theo thứ tự, là 0,1, 0,08 và 0,05.
(a) Lấy từ mỗi lô ra một chai thuốc. Tính xác suất ñể ñược 2 chai tốt và 1 chai hỏng. (b) Chọn ngẫu nhiên một trong 3 lô rồi từ ñó lấy ra 3 chai. Tính xác suất ñể ñược 2 chai
tốt và 1 chai hỏng. (c) Lấy ngẫu nhiên 10 chai thuốc từ lô A thì nhiều khả năng nhất là có bao nhiêu chai
hỏng? Tính xác suất ñể có nhiều nhất hai chai hỏng. (d) Kiểm tra từng chai thuốc ở lô B cho ñến khi phát hiện ñược 2 lọ hỏng thì dừng.
Tính xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lần lấy thứ 10. Giải: a) Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố: “Lấy ñược từ lô A, B, C ñược chai tốt”. Xác suất có 2 chai tốt một chai hỏng:
( ) ( ) ( )0,9.0,92.0,05 0,9.0,08.0,95 0,1.0,92.0,95
0,1972
P ABC P ABC P ABC+ +
= + +
=
b) Gọi A : “Lấy ñược lô A” B : “Lấy ñược lô B” C : “Lấy ñược lô C” Gọi D là biến cố lấy ñược hai chai tốt một chai hỏng: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / /P D P A P D A P C P D B P C P D C= + +
2 2 2 2 2 23 3 3
1 1 1. 0,9 .0,1 . 0,92 .0,08 . 0,95 .0,05 0,194
3 3 3C C C= + + =
c) Ta có quá trình ( )10;0,1B .
Số chai hỏng nhiều khả năng nhất: ( ) [ ]0 1 11.0,1 1k n p = + = =
Xác suất có nhiều nhất hai chai hỏng:
( ) ( ) ( ) ( )10
10 1 9 2 2 810 10
2 0 1 2
0,9 .0,1.0,9 0,1 .0,9 0,9298
P P X P X P X
C C
≤ = = + = + =
= + + =
d) Gọi iY là có i chai ñược kiểm tra khi gặp hai chai hỏng. Biến cố cần tính xác suất
10Y xảy ra khi chín chai ñầu có một chai hỏng và chai thứ 10 phải là chai hỏng. Ta
có ( ) 1 810 9 0,08.0,92 0,08 0,0296P Y C= × = .
1.36. (a) Xác suất ñể loại vi trùng S kháng mỗi loại thuốc A, B và C, theo thứ tự, là 5%, 10%
và 20%. Nếu dùng cả 3 loại thuốc trên ñể diệt vi trùng S thì S sẽ bị diệt với xác suất là bao nhiêu? (giả sử tác dụng của 3 loại thuốc trên ñộc lập nhau).
(b) Nếu dùng riêng rẽ 3 loại thuốc A, B và C ñể ñiều trị loại bệnh K thì tỉ lệ khỏi bệnh, theo thứ tự, là 90%, 80% và 70%. Nếu dùng phối hợp cả 3 loại thuốc trên thì khả năng khỏi bệnh là bao nhiêu? (bỏ qua sự tương tác giữa các loại thuốc).
Giải: a) Gọi S : “Vi trùng S bị tiêu diệt”. Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố: “Thuốc A, B, C
có tác dụng”. S xảy ra khi ít nhất một biến cố A hoặc B hoặc C xảy ra.
( ) ( ) ( )1 1 0,05.0,1.0,2 0,999P S P A B C P ABC= ∪ ∪ = − = − = .
b) Gọi , ,A B C theo thứ tự là biến cố: “ Thuốc A, B, C trị khỏi bệnh K”. Xác suất khỏi bệnh K khi dùng phối hợp ba loại thuốc A, B, C là:
( ) ( )1 1 0,1.0,2.0,3 0,994P A B C P ABC∪ ∪ = − = − = .
1.37. Một công ty dự ñịnh tung vào thị trường một sản phẩm mới. Theo ước tính ban ñầu của ban quản trị thì thị trường sẽ tốt với xác suất 0,55. Để có thêm thông tin, ban giám ñốc thuê một công ty tư vấn nghiên cứu thị trường. Được biết, thành tích của công ty tư vấn này là: Cho kết quả ñúng với thị trường tốt là 80%, và kết quả ñúng với thị trường xấu là 85%. Vậy, xác suất ñể thị trường tốt, thị trường xấu sau khi thuê nghiên cứu là bao nhiêu?
Giải: Đặt A là biến cố: “Thị trường là tốt” và B là biến cố: “Thị trường ñược công ty tư vấn
kết luận là tốt”. Theo ñề bài ta có: ( ) 0,55P A = ; ( )/ 0,8;P B A = ( )/ 0,15;P B A =
( )/ 0, 2;P B A = ( )/ 0,85P B A =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / 0,55.0,8 0,45.0,15 0,5075P B P A P B A P A P B A= + = + =
Từ ñó xác suất ñể thị trường tốt khi công ty tư vấn kết luận tốt là:
( )( ) ( )
( )
/ 0,55.0,8/ 0,867
0,5075
P A P B AP A B
P B= = =
Xác suất thị trường xấu khi công ty tư vấn tuyên bố tốt là:
( )( ) ( )( )
/ 0,45.0,15/ 0,133
0,5075
P A P B AP A B
P B= = =
Xác suất ñể thị trường tốt khi công ty tư vấn kết luận xấu là:
( )( ) ( )( )
/ 0,55.0,2/ 0,223
1 0,5075
P A P B AP A B
P B= = =
−
Xác suất ñể thị trường xấu khi công ty tư vấn kết luận xấu là:
( )( ) ( )( )
/ 0,45.0,85/ 0,777
1 0,5075
P A P B AP A B
P B= = =
−
1.38. Nhà trường muốn chọn một số học sinh từ một tổ gồm 7 nam sinh và 6 nữ.sinh. Lần ñầu chọn ngẫu nhiên 2 học sinh; sau ñó, chọn tiếp 1 học sinh nữa.
(a) Tính xác suất ñể học sinh ñược chọn lần sau là nam sinh. (b) Biết rằng học sinh ñược chọn lần sau là nữ sinh, tính xác suất ñể cả hai học sinh
ñược chọn lần ñầu ñều là nam sinh. Giải: Gọi
iA là biến cố: “Lần ñầu chọn ñược i nam sinh”, 0,1,2i = . Gọi A là biến cố: “học
sinh chọn sau cùng là nam sinh”.
Ta có: ( )2
7 62
13
.i i
i
C CP A
C
−
= ; ( )7
/11i
iP A A
−=
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( )22 2
7 62
0 0 13
. 7 7/ .
11 13
i i
i i
i i
C C iP A P A P A A
C
−
= =
−= = =∑ ∑
b) Xác suất hai học sinh ñầu tiên là nam với ñiều kiện học sinh sau cùng là nữ:
( )( ) ( )
( )
272
2 2 132
6./ 11 7
/ .6 22
13
C
P A P A A CP A A
P A= = =
1.39. Số liệu thống kê về bệnh lao phổi tại một ñịa phương cho biết: Có 15% số người làm nghề ñục ñá (LNĐĐ) và bị lao phổi; có 50% số người không LNĐĐ và không bị lao phổi; có 25% số người LNĐĐ nhưng không bị lao phổi. Ngoài ra, tỉ lệ những người không LNĐĐ nhưng bị lao phổi là 10%. Chúng ta có thể kết luận gì về mối quan hệ giữa nghề ñục ñá và bệnh lao phổi?
Giải: Gọi A là biến cố: “Người ñược gặp ngẫu nhiên bị lao phổi”. Gọi B là biến cố: “Người ñược gặp ngẫu nhiên làm nghề ñập ñá”.
Theo ñề bài: ( ) 0,15P AB = ; ( ) 0,5P AB = ; ( ) 0, 25P AB = ; ( ) 0,1P AB = .
Ta có: ( ) ( )1 1 0,5 0,5P A B P AB∪ = − = − = hay
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,5 0,5 0,15 0,65P A P B P AB P A P B+ − = ⇒ + = + =
Ngoài ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 0,1 0, 25P AB P A P AB P A P AB= − = ⇒ = + =
Suy ra: ( ) 0, 4P B =
Từ ñó: Tỷ lệ những người LNĐĐ bị lao phổi là:
( )( )
( )0,15 3
/ 0,3750,4 8
P ABP A B
P B= = = =
Tỷ lệ người bị lao phổi trong số những người không LNĐĐ là:
( )( )( )
0,1 1/ 0,167
0,6 6
P ABP A B
P B= = = = .
Kết luận: Tỷ lệ những người bị lao phổi trong số những người làm nghề ñập ñá cao hơn tỷ lệ người bị lao phổi nói chung.
1.40. Giả sử một xét nghiệm X cho kết quả dương tính (+) ñối với những người nhiễm HIV với xác suất 95% và cho kết quả (+) ñối với những người không nhiễm HIV với xác suất
1%. Một người ñến từ ñịa phương có tỉ lệ nhiễm HIV là 1% ñược làm xét nghiệm X và cho kết quả (+). Tính xác suất ñể người này thực sự nhiễm HIV.
Giải: Gọi H là biến cố: “Người ñến từ ñịa phương bị nhiễm HIV”, D là biến cố:
“Người ñến từ ñịa phương ñó có kết quả xét nghiệm X dương tính”. Ta có ( ) ( ) ( )0,01; / 0,95; / 0,01P H P D H P D H= = =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ /
0,01.0,95 0,99.0,01 0,0194
P D P H P D H P H P D H= +
+ =
Xác suất người có xét nghiệm dương tính thật sự bị nhiễm HIV là:
( )( ) ( )
( )
/ 0,01.0,95 95/ 0,49.
0,0194 194
P H P D HP H D
P D= = = =
1.41. Có hai lô sản phẩm. Lô thứ nhất có tỉ lệ sản phẩm loại 1 là 90%, lô thứ hai có tỉ lệ sản phẩm loại 1 là 70%. Chọn ngẫu nhiên một lô rồi từ lô ñó lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm thì ñược sản phẩm loại 1. Trả lại sản phẩm ñó vào lô ñã chọn, rồi cũng từ lô ñó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất ñể sản phẩm lấy lần thứ hai là loại 1.
Giải: Gọi A là biến cố: “lần ñầu lấy ñược sản phẩm loại 1”. B là biến cố: “lần thứ lấy ñược
sản phẩm loại 1”. 1 2,L L lần lượt là các biến cố sản phẩm lấy ra lần ñầu thuộc lô thứ nhất, thứ
hai tương ứng. ( ) ( )1 2
1
2P L P L= = .
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2
1/ / 0,9 0,7 0,8
2P A P L P A L P L P A L= + = + = .
Theo công thức Bayes, xác suất lô 1 ñược chọn khi sản phẩm ñó loại 1 là”
( )( ) ( )
( )1 1
1
/ 1/ 2.0,9 9/
0,8 16
P L P A LP L A
P A= = = ;
Và xác suất lô 2 ñược chọn khi sản phẩm ñó loại 1 là:
( )( ) ( )
( )2 2
2
/ 1/ 2.0,9 7/
0,8 16
P L P A LP L A
P A= = =
Biến cố B phụ thuộc vào các biến cố 1 /L A ; 2 /L A hơn nữa hai biến cố này lập thành hệ ñầy
ñủ các biến cố và ( )( ) ( )( )1 2/ / 0,9; / / 0,7P B L A P B L A= = . Từ ñó áp dụng công thức xác
suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1 2 2
9 7/ . / / / . / / .0,9 .0,7 0,8125.
16 16P B P L A P B L A P L A P B L A= + = + =
1.42. Quan sát 3 kiện hàng, mỗi kiện chứa 10 sản phẩm. Kiện thứ nhất có 9 sản phẩm loại 1, kiện thứ hai có 8 sản phẩm loại 1 và kiện thứ ba có 6 sản phẩm loại 1.
(a) Từ mỗi kiện lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm ñể kiểm tra. Nếu cả 2 sản phẩm lấy ra ñều là loại 1 thì mua kiện hàng ñó. Tính xác suất ñể có ít nhất một kiện hàng ñược mua.
(b) Chọn ngẫu nhiên một kiện hàng rồi từ kiện hàng ñã chọn, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 2 sản phẩm thì ñược 2 sản phẩm loại 1. Nếu cũng từ kiện ñó, lấy tiếp một sản phẩm thì xác suất ñể lấy ñược sản phẩm loại 1 là bao nhiêu?
Giải:
a) Gọi , ,A B C lần lượt là các biến cố: “Có hai sản phẩm loại 1 trong hai sản phẩm lấy ra kiểm tra từ hộp A, B, C tương ứng”. Biến cố có ít nhất một kiện ñược mua xảy ra khi A B C∪ ∪ xảy ra. Do ñó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 29 8 62 2 2
10 10 10
1 1
6411 1 1 1
675
P A B C P ABC P A P B P C
C C C
C C C
∪ ∪ = − = −
= − − − − =
b) Gọi T là biến cố lấy ñược hai sản phẩm loại 1. Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( )2 2 2
9 8 6
2 2 2
10 10 10
1 1 1 1. . . 0,8 0,62 0,33 0,585
3 3 3 3
C C CP T
C C C= + + = + + =
Theo công thức Bayes, hai sản phẩm loại 1 thuộc kiện 1,2,3 lần lượt là:
( ) ( )
( )
1 / 3 0,8 36 1 / 3 0,62 28/ 0,456; / 0,354;
0,583 79 0,583 79
1 / 3 0,33 15/ 0,189
0,583 79
P A T P B T
P C T
× ×= = = = = =
×= = =
Gọi G là biến cố sản phẩm lấy tiếp theo là sản phẩm loại 1. G phụ thuộc vào các biến cố / ; / ; /A T B T C T và ba biến cố này là hệ ñầy ñủ các biến cố. Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / / / / / / / /
36 7 28 6 15 4 60. . .
79 8 79 8 79 8 79
P G P A T P G A T P B T P G B T P C T P G C T= + +
= + + =
1.43. Một hộp chứa 15 lọ thuốc, trong ñó có 6 lọ hỏng. Lấy lần lượt từng lọ không hoàn lại ñể kiểm tra, cho ñến khi gặp 3 lọ hỏng thì dừng.
(a) Tính xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ ba; ở lọ thứ sáu (b) Nếu việc kiểm tra dừng lại ở lọ thứ sáu, tính xác suất ñể lọ ñược kiểm ra ñầu tiên là
lọ hỏng. Giải: Gọi
iL là biến cố: “Lọ kiểm tra ở lần thứ i là lọ hỏng”, 1,15i = .
Gọi iB là biến cố: “Trong i lọ ñầu tiên kiểm tra có 2 lọ hỏng”, 3,11j = .
Gọi kD là biến cố: “Việc kiểm tra dừng ở lần thứ k ”. Ta có: 1k k kD B L−
= .
a) Xác suất việc kiểm tra dừng ở lần thứ k :
( ) ( ) ( ) ( )2 36 9
1 1 1 115
4/ .
15 1
k
k k k k k k k
C CP D P B L P B P L B
C k
−
− − − −= = =
− +
Với 3k = :
( ) ( ) ( ) ( )26
3 2 3 2 3 2 215
4 4/ .
15 2 91
CP D P B L P B P L B
C= = = =
−
Với 6k = :
( )2 36 9
6 515
4 24.10 143
C CP D
C= =
b) Xác suất cần tính:
( )( )
( )
( ) ( )
( )
1 35 9
41 6 1 6 1 14
1 66 6
.6 4. .
/ 15 10/ 0, 4
24143
C C
P L D P L P D L CP L D
P D P D= = = =
1.44. Từ một lô hàng có rất nhiều quyển vở với tỉ lệ vở hỏng là 5%, người ta chọn ngẫu nhiên từng quyển vở ñể kiểm tra.
(a) Hỏi phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu quyển vở ñể xác suất có ít nhất một quyển vở hỏng không bé hơn 90% ?
(b) Giả sử việc kiểm tra sẽ dừng lại khi phát hiện 3 quyển vở hỏng. Tính xác suất ñể việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 10.
Giải: a) Gọi n là số quyển vở kiểm tra. Ta có quá trình ( ),B n p với 0,05p = .
Xác suất có ít nhất một quyển hỏng: 1 0,9nq− ≥
Từ ñó: 0,1 log 0,1 44,89 ( 1 0,95)n
qq n q p≤ ⇔ ≥ = = − =
Vậy, cần kiểm tra ít nhất 45 quyển vở. b) Gọi
iA là biến cố: “Lần thứ i gặp vở hỏng” và jB là biến cố: “Đến lần kiểm tra thứ
j ñã gặp 2 quyển vở hỏng”. Xác suất việc kiểm tra dừng ở lần thứ 10:
( ) ( ) ( ) 2 2 79 10 9 10 9 0,05 .0,95 .0,05 0,00314P B A P B P A C= = = .
1.45. Một hộp có 10 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp lúc ñầu ñều ñồng khả năng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm (không hoàn lại) thì thấy cả 3 ñều tốt. Nếu lấy tiếp một sản phẩm nữa thì theo ý bạn sẽ ñược sản phẩm tốt hay xấu? Tại sao?
Giải:
Gọi iB là biến cố có i sản phẩm tốt trong hộp”, 0,10i = . Theo ñề bài: ( )1
,11iP B i= ∀ .
Gọi A là biến cố: “Ba sản phẩm lấy ra là 3 sản phẩm tốt”.
Ta có: ( )/ 0iP A B = với 0,1,2i = và ( )3
310
/ , 3,10ii
CP A B i
C= =
Theo công thức xác suất ñâ ñủ:
( ) ( ) ( )310 10
30 3 10
1 1/
11 4i
i i
i i
CP A P B P A B
C= =
= = =∑ ∑ .
Gọi T là biến cố: “Sản phẩm lấy ra tiếp theo là sản phẩm tốt”. AT là biến cố “4 sản phẩm lấy ra lần ñầu là tốt”.
( ) ( ) ( )410 10
40 4 10
1 1/
11 5i
i i
i i
CP AT P B P AT B
C= =
= = =∑ ∑ .
Theo công thức xác suất ñiều kiện:
( )( )
( )
1/ 5/ 0,8
1/ 4
P ATP T A
P A= = =
Suy ra, ( )/ 0, 2P T A = .
Vậy, nhiều khả năng nhất sản phẩm lấy tiếp theo là sản phẩm tốt. 1.46. Một người mua một thùng hàng gồm 6 sản phẩm. Giả sử rằng người ñó hoàn toàn
không biết thông tin nào về chất lượng của các sản phẩm trong thùng. Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong thùng ñều ñồng khả năng. Sau khi lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm trong thùng ñể kiểm tra thì thấy cả 3 sản phẩm ñều tốt. Anh ta không kiểm tra nữa, vì tin rằng các sản
phẩm còn lại ñều là sản phẩm tốt. Bạn hãy dùng kiến thức về lý thuyết xác suất ñể chứng tỏ niềm tin của anh ta là có cơ sở.
Giải:
Đặt kT : “ban ñầu, trong thùng có k sản phẩm tốt”, 0,1, 2,3, 4,5,6k ∈
A : “lấy ngẫu nhiên ñược 3 sản phẩm tốt”. Ta có:
( )/ 0kP A T = nếu 0,1,2k = và ( )3
36
/ kk
CP A T
C= nếu 3,6k =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ: ( ) ( ) ( )36 6
30 3 6
1 1/ .
7 4k
k k
k k
CP A P T P A T
C= =
= = =∑ ∑ .
Theo công thức Bayes ta có: ( )( ) ( )
( )
// 0k k
k
P T P A TP T A
P A= = nếu 0,1,2k = và
( )( ) ( )
( )
3
36
/ 1/ 4. .
7k k k
k
P T P A T CP T A
P A C= = nếu 3,6k = .
Cụ thể: ( )3
1/
35P T A = ; ( )4
4/
35P T A = ; ( )5
10/
35P T A = và ( )6
20/
35P T A = .
Vì xác suất ñể trong thùng có 6 sản phẩm tốt là cao nhất. 1.47. Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm loại B; hộp thứ hai có 5 sản
phẩm loại A và 3 sản phẩm loại B. (a) Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. (i) Tính xác suất ñể ñược 3 sản phẩm loại A;
(ii) Giả sử lấy ñược một sản phẩm loại B và 3 sản phẩm loại A. Nhiều khả năng là sản phẩm loại B thuộc hộp nào? Tại sao?
(b) Lấy ngẫu nhiên một hộp, rồi lấy ngẫu nhiên từ ñó ra 4 sản phẩm. Tính lại các câu (i) và (ii) ở phần (a).
Giải:
a) i)Gọi iA là biến cố: “Có i sản phẩm loại A trong hai sản phẩm lấy ở hộp thứ nhất”,
0,1, 2i ∈
Gọi jB là biến cố: “Có j sản phẩm loại A trong hai sản phẩm lấy ở hộp thứ hai”,
0,1,2j ∈
Gọi A là biến cố “Lấy ñược 3 sản phẩm loại A”.
Xác suất lấy ñược 3 sản phẩm loại A:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 2 1
1 1 2 2 1 18 2 5 8 5 3
2 2 2 210 8 10 8
29. .
63
P A P A B P A B P A P B P A P B
C C C C C C
C C C C
= + = + =
= + =
ii) Giả sử lấy ñược 3 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B. Biến cố sản phẩm loại B ở hộp thứ nhất là biến cố 1 2A B .
Ta có: ( )( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 28 2 5
2 21 2 1 2 10 8
1 2
.8
/29 2963
C C C
P A B P A P B C CP A B A
P A P A= = = =
Suy ra ( )2 1
21/
29P A B A = .
Vậy nhiều khả năng sản phẩm loại B ở hộp thứ hai.
b) Gọi iH : “Lấy ñược hộp thứ i ”, 1,2i = .
Gọi A là biến cố: “Lấy ñược 3 sản phẩm loại A”.
( ) ( )3 1 3 18 2 5 3
1 24 410 8
8 3/ ; /
15 7
C C C CP A H P A H
C C= = = =
i) Xác suất lấy ñược 3 sản phẩm loại A:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2/ /
1 8 1 3 101. .
2 15 2 7 210
P A P H P A H P H P A H= +
= + =
ii) Theo công thức Bayes, xác suất sản phẩm loại B ở hộp thứ nhất là:
( )( ) ( )
( )1 1
1
/ 56/
101
P H P A HP H A
P A= =
Suy ra xác suất ñể sản phẩm loại B ở hộp 2 là:
( ) ( )2 1
45/ 1 /
101P H A P H A= − = .
Vậy, nhiều khả năng sản phẩm loại B là ở hộp thứ nhất. 1.48. Một nhà máy sản xuất linh kiện ñiện tử với 96% sản phẩm có chất lượng cao.
Một qui trình kiểm tra chất lượng sản phẩm có ñặc ñiểm: 2% sản phẩm có chất lượng cao lại không ñược công nhận và 5% sản phẩm không có chất lượng cao lại ñược công nhận. Hãy tính xác suất ñể sau khi kiểm tra, một sản phẩm ñược công nhận có chất lượng cao ñúng là sản phẩm có chất lượng cao.
Giải: Gọi C là biến cố: “Một sản phẩm ngẫu nhiên có chất lượng cao”. Gọi R là biến cố: “Một sản phẩm ngẫu nhiên ñược quy trình công nhận là có chất
lượng cao”.
Theo ñề bài ta có: ( ) 0,96P C = , ( )/ 0,02P R C = và ( )/ 0,05P R C = .
Xác suất cần tính là: ( )/P C R .
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
/ /
0,96. 1 0,02 0,04.0,05 0,9428
P R P C P R C P C P R C= +
= − + =
Theo công thức Bayes ta có:
( )( ) ( )
( )
/ 0,96.0,98 2352/ 0,9979
0,9428 2357
P C P R CP C R
P R= = = = .
1.49. Một chiếc máy ñược cấu tạo bởi 3 loại linh kiện. Linh kiện loại 1 chiếm 35%, loại 2 chiểm 25% và loại 3 chiếm 40% tổng số linh kiện của máy. Xác suất hư hỏng của các loại linh kiện 1, 2 và 3 sau một tháng hoạt ñộng lần lượt là 15%, 25% và 5%. Máy ñang làm việc bỗng dừng lại. Hãy tính xác suất ñể từng loại linh kiện bị hỏng, biết rằng máy dừng lại vì có linh kiện bị hỏng, và các loại linh kiện không cùng hỏng ñồng thời.
Giải: Gọi H là biến cố: “Một linh kiện bất kỳ bị hỏng”
iL là biến cố “Linh kiện bất kỳ thuộc loại i ”, 1,2,3i = .
Theo ñề bài ta có: ( ) ( )1 20,35; 0,25P L P L= = và ( )3 0,4P L = .
( ) ( )1 2/ 0,15; / 0, 25P H L P H L= = và ( )3/ 0,05P H L = .
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( )3
1
/ 0,35.0,15 0,25.0,25 0,4.0,05 0,135i i
i
P H P L P H L=
= = + + =∑
Theo công thức Bayes: Xác suất linh kiện bị hỏng thuộc loại 1:
( )( ) ( )
( )1 1
1
/ 0,35.0,15 7/
0,135 18
P L P H LP L H
P H= = = ;
Xác suất linh kiện bị hỏng thuộc loại 2:
( )( ) ( )
( )2 2
2
/ 0,25.0, 25 25/
0,135 54
P L P H LP L H
P H= = =
Xác suất linh kiện bị hỏng thuộc loại 3:
( )( ) ( )
( )3 3
3
/ 0,35.0,15 4/
0,135 27
P L P H LP L H
P H= = = .
1.50. Một xưởng (bên A) ký kết hợp ñồng với một công ty thương mại (bên B) sản xuất viết cho học sinh. Viết ñược xuất xưởng dưới dạng ñóng gói thành từng hộp, mỗi hộp chứa 100 cây. Hộp nào có không quá một cây viết hỏng ñược coi là hộp tốt. Khi giao hàng, bên B sẽ mở từng hộp và lấy ngẫu nhiên trong mỗi hộp 5 cây viết ñể kiểm tra; nếu tất cả 5 cây ñó ñều tốt thì cả hộp ñược nhận, ngược lại, cả hộp bị trả lại. Tính xác suất ñể
(a) bên B bác bỏ nhầm một hộp tốt; (b) bên B nhận nhầm một hộp không tốt trong ñó có 2 cây viết hỏng. Giải: a) Gói A là biến cố: “Bên B bỏ nhầm một hộp tốt”. A xảy ra khi hộp tốt ñó có 1 cây
viết hỏng và cây viết ñó có trong số 5 cây lấy ra kiểm tra. Do ñó xác suất ñể bên B bỏ nhầm một hộp tốt là:
( )4 199 1
5100
0,05C C
P AC
= =
b) Gọi B là biến cố: “Bên B nhận nhầm một hộp không tốt có hai cây viết hỏng”. B xảy ra khi hộp ñó có hai cây viết hỏng nhưng trong 5 cây lấy ra kiểm tra không có cây nào
hỏng. Tức là: ( )5985100
8930,902
990
CP B
C= = ≈
1.51. Một cặp trẻ sinh ñôi có thể là một cặp sinh ñôi thật, do cùng một trứng sinh ra; trong trường hợp này, xảy ra với xác suất là p (0 < p < 1), chúng bao giờ cũng có cùng giới tính. Nếu chúng do các trứng khác nhau sinh ra thì xác suất ñể chúng có cùng giới tính là 0,5. Bây giờ, nếu gặp ngẫu nhiên một cặp sinh ñôi có cùng giới tính thì xác suất ñể chúng là một cặp sinh ñôi thật là bao nhiêu?
Giải: Gọi T là biến cố: “Cặp sinh ñôi gặp ngẫu nhiên là sinh ñôi cùng trứng” G là biến cố: “Cặp sinh ñôi cùng giới tính”.
Ta có: ( )P T p= , ( )/ 1P G T = và ( )/ 0,5P G T =
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
/ / .1 1 .0,52
pP G P T P G T P T P G T p p
+= + = + − =
Xác suất cặp sinh ñôi cùng giới là sinh ñôi cùng trứng:
( )( ) ( )
( )
/ .1 2/
1 12
P T P G T p pP T G
pP G p= = =
+ +.
1.52. Một công ty bột giặt ñưa ra loại bột giặt X. Sau một thời gian theo dõi thị trường, kết quả là: trong số những người ñã dùng bột giặt X ñược một tháng thì có 75% tiếp tục dùng trong tháng kế tiếp, còn trong số những người dùng các loại bột giặt khác thì có 35% chuyển sang dùng bột giặt X trong tháng kế tiếp.
Hiện tại có 50% số người dùng bột giặt ñang dùng bột giặt X. Tính xem sau 2 tháng sẽ có bao nhiêu phần trăm số người dùng bột giặt sử dụng bột giặt X.
Giải: Gọi 0 1 2, ,A A A lần lượt là các biến cố “một người ñược gặp ngẫu nhiên dùng bột giặt X ở
hiện tại, sau 1 tháng và sau 2 tháng”. Theo ñề bài ta có:
( ) ( )0 0 0,5P A P A= = ; ( ) ( ) ( ) ( )1 0 2 1 1 0 2 1/ / 0,75; / / 0,35P A A P A A P A A P A A= = = = ;
Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 1 0 0 1 0/ / 0,5 0,75 0,35 0,55P A P A P A A P A P A A= + = + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 2 1/ / 0,55.0,75 0,45.0,35 0,57P A P A P A A P A P A A= + = + =
Vậy, sau hai tháng có 57% người dùng bột giặt X. 1.53. Giả sử bạn ñem giao một lô hàng, rất nhiều sản phẩm, mà bạn biết rằng nó có tỉ
lệ phế phẩm là 10%. Người nhận hàng ñề nghị lấy ngẫu nhiên 6 sản phẩm ñể kiểm tra, và nếu có quá k phế phẩm thì không nhận lô hàng. Bạn ñề nghị k bằng bao nhiêu ñể vừa thuyết phục ñược người nhận, vừa hy vọng khả năng lô hàng không bị từ chối ít nhất là 95%?
Giải: Ta có quá trình Bernoulli ( );B n p . Trong ñó, 6n = và 0,1p = (xác suất lấy ñược phế
phẩm) và ( ) 66 6.0,1.0,9 , 0,6i i iP i C i−
= =
Gọi N : “Người nhận nhận lô hàng”. Theo ñề bài ta có:
( ) ( ) 66 6
0 0
0,1.0,9 0,95k k
i i i
i i
P N P i C−
= =
= = ≥∑ ∑
Với 0k = , ( ) 0,53P N =
Với ( )1; 0,886k P N= =
Với ( )2; 0,984 0,95k P N= = >
Vậy, chọn 2k = .
1.54. Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất ñể người thứ nhất và thứ hai làm ra chính phẩm bằng 0,9; còn xác suất ñể người thứ ba làm ra chính phẩm bằng 0,8. Một người trong số ñó làm ra 8 sản phẩm, thấy có 2 phế phẩm. Tìm xác suất ñể trong 8 sản phẩm tiếp theo, cũng do người ñó sản xuất ra, có 6 chính phẩm. Giải: Gọi iA : “Người sản xuất là người thứ i ”, 1,2,3i = .
Gọi B là biến cố: “ Trong 8 sản phẩm sản xuất ra có 2 phế phẩm”. Theo công thức xác suất ñầy ñủ ta có:
( ) ( ) ( ) ( )3
6 6 2 6 6 28 8
1
1/ 2 .0,9 .0,1 .0,8 .0, 2 0,19707
3i i
i
P B P A P B A C C=
= = + =∑ .
Gọi /i iB A B=
Theo công thức Bayes ta có:
( ) ( )( ) ( )
( )
6 6 21 1 8
1 2
/ 1/ 3. .0,9 .0,10,2517
0,19707
P A P B A CP B P B
P B= = = =
( )( ) ( )
( )
6 6 23 3 8
3
/ 1/ 3. .0,8 .0,20,4966
0,19707
P A P B A CP B
P B= = = .
Xác suất người ñó sản xuất ra 8 sản phẩm tiếp có 6 chính phẩm:
( ) ( ) ( )3
6 6 2 6 6 28 8
1
/ 0, 2517.2. .0,9 .0,1 0,4966. .0,8 .0,2 0, 2207s i s i
i
P B P B P B B C C=
= = + =∑ .
1.55. Có hai lô sản phẩm: Lô 1: Có a chính phẩm và b phế phẩm (a > 0 và b > 0); lô 2: Có c chính phẩm và d phế phẩm (c > 0 và d > 0) Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1 bỏ sang lô 2, sau ñó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
từ lô 2 bỏ sang lô 1, sau cùng lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô 1. Tính xác suất ñể sản phẩm lấy ra sau cùng là chính phẩm.
Giải: Gọi 1A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra từ lô 1 bỏ sang lô 2 là chính phẩm”.
2A là biến cố: “Sản phẩm lấy ra từ lô 2 bỏ vào lô 1 là chính phẩm”.
A là biến cố: “sản phẩm lấy ra sau cùng từ lô 1 là chính phẩm”.
Ta có: ( )1
aP A
a b=
+ và ( )1
bP A
a b=
+
Theo công thức xác suất ñầy ñủ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )( )
2 1 2 1 1 2 1
2
1/ / . .
1 1
1 1
a c b cP A P A P A A P A P A A
a b c d a b c d
ac a bc ad bd bP A
a b c d a b c d
+= + = +
+ + + + + +
+ + + += ⇒ =
+ + + + + +
Lại theo công thức xác suất ñầy ñủ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2 1
2 1 2 1 1 2 1
2 2
/ /
/ / / /
/ / / /
1 1. . . .
1 1
P A P A P A A P A P A A
P A P A P A A A P A P A A A
P A P A P A A A P A P A A A
ac a bc a a b a ad bd b a a b a
a b c d a b a b a b a b a b c d a b a b a b a b
ac a bc a ba b ad bd b a a ba
a
= +
= +
+ +
+ + + + + − = + + + + + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + − + =
+( ) ( )
( ) (
( ) ( )
( ) (
( ) ( )
3
3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
3
3 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2
3
1
1
1
b c d
a c a bc abc a a b b c a bc b ac b c a d a d a bd a bd abd ab d a b a
a b c d
a c a bc abc a a b b c a bc b ac b c a d a d a bd a bd abd ab d a b a
a b c d
+ +
+ + + + + + + + + − + + − + + − +=
+ + +
+ + + + + + + + + − + + − + + − +=
+ + +
2( ) ( 1)
bc adaa b a b c d
−
+ + + ++
1.56. Trong một kho rượu, số lượng rượu loại A và rựơu loại B bằng nhau. Người ta chọn ngẫu nhiên một chai rượu trong kho và ñưa cho 5 người sành rượu nếm thử ñể xác ñịnh xem ñây là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng ñoán ñúng là 75%. Có 4 người kết luận chai rượu thuộc loại A và 1 người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy, chai rượu ñược chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
Đáp số: 27/28 1.57. Có 10 cặp vợ chồng ngồi chờ trong phòng ñợi. Chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất ñể trong số ñó (a) không có cặp vợ chồng nào; (b) có ñúng hai cặp vợ chồng.
Đáp số:
a) 66
10620
2 . C
C
b) 2 2 2
10 8620
C . C . 2
C
1.58. Một lô hàng, ban ñầu, có m sản phẩm tốt và n sản phẩm xấu. Một sản phẩm bị mất mà không biết là loại tốt hay loại xấu. Bây giờ, người ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của lô hàng thì ñược sản phẩm tốt. Tính khả năng sản phẩm bị mất cũng là sản phẩm tốt.
Đáp số: 1
1m
m n
−
+ −
1.59. Có ba hộp phấn. Hộp thứ nhất có 5 viên phấn trắng và 5 viên phấn vàng, hộp thứ hai có 5 viên phấn ñỏ và 5 viên phấn vàng, và hộp thứ ba có 10 viên phấn trắng. Chọn ngẫu nhiên một viên phấn ở hộp thứ nhất, bỏ vào hộp thứ hai, sau ñó, chọn ngẫu nhiên một viên ở
hộp thứ hai, bỏ vào hộp thứ ba. Sau cùng, chọn ngẫu nhiên một viên ở hộp thứ ba, bỏ vào hộp thứ nhất.
Tính xác suất ñể sau khi bỏ xong viên phấn vào hộp thứ nhất, thì hộp thứ nhất vẫn còn 5 viên phấn trắng và 5 viên phấn vàng.
Đáp số: 117/242 1.60. Một nhà máy có hai phân xưởng PX1 và PX2. Tỉ lệ phế phẩm của PX1 là 1%,
của PX2 là 2%. Từ một lô sản phẩm gồm 40% sản phẩm của PX1 và 60% sản phẩm của PX2, người ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm ñể kiểm tra.
(a) Tính xác suất ñể trong hai sản phẩm lấy ra, có ít nhất một sản phẩm tốt. (b) Giả sử 2 sản phẩm ñược kiểm tra ñều là sản phẩm tốt. Nếu lấy tiếp 2 sản phẩm nữa
từ lô hàng thì xác suất lấy ñược 2 sản phẩm tốt là bao nhiêu? Đáp số: (a) 0,99974; (b) 0,96826 1.61. Biết rằng một người có nhóm máu AB có thể nhận máu của bất kỳ nhóm
nào.Nếu người ñó có nhóm máu còn lại (A hoặc B hoặc O) thì chỉ có thể nhận máu của người cùng nhóm máu với mình hoặc người có nhóm máu O.
Cho biết tỉ lệ người có nhóm máu A, B, AB và O, theo thứ tự, là 37,5%, 20,9%, 7,9% và 33,7%.
(a) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và một người cho máu. Tính xác suất ñể sự truyền máu thực hiện ñược.
(b) Chọn ngẫu nhiên một người cần tiếp máu và hai người cho máu. Tính xác suất ñể sự truyền máu thực hiện ñược.
Đáp số:
a) 0,5737
b) 0,7777 1.62. Một người từ một ñịa phương có tỉ lệ bệnh B là 0,001 ñền khám bệnh. Cho
người này làm xét nghiệm T1, kết quả dương tính; cho làm tiếp xét nghiệm T2, cũng thấy kết
quả dương tính. (T1 dùng ñể sàng lọc người có nguy cơ bị bệnh B; T2 dùng ñể chẩn ñoán
bệnh này trên những người mà T1 cho kết quả dương tính).Tính khả năng người này mắc
bệnh B. Biết rằng T1 có khả năng cho kết quả dương tính ñối với người mắc bệnh là 93% và
cho kết quả sai 5% ñối với người không mắc bệnh; T2 khả năng chẩn ñoán ñúng 95% ñối với
người mắc bệnh và có 7% người không có bệnh lại cho kết quả dương tính. Đáp số: 0,2017 1.63. Một người bệnh ñược xác ñịnh là mắc một trong hai bệnh A hoặc B. số liệu
thống kê cho thấy xác suất mắc bệnh A cao gấp ñôi xác suất mắc bệnh B. Bệnh viện cho người bệnh làm hai xét nghiệm T1 và T2 ñộc lập nhau. Biết rằng nếu có bệnh A thì T1 cho kết
quả dương tính với xác suất 0,9, còn T2 cho kết quả dương tính với xác suất 0,75. Nếu có
bệnh B thì T1 cho kết quả dương tính với xác suất 0,05, còn T2 cho kết quả dương tính với
xác suất 0,1. Giả sử cả hai xét nghiệm T1 và T2 ñều cho kết quả dương tính. Tính xác suất ñể người
bệnh mắc bệnh A. Đáp số: 0,996 1.64. Một người nghi ngờ bị bệnh B, với P(B) = 0,3, cho làm xét nghiệm T. Xét
nghiệm T sẽ trả về hoặc dương tính (T+) hoặc âm tính (T−). Trong số những người (T+) chỉ
có 80% là bị bệnh B; còn trong số những người (T−) có 90% không bị bệnh này.
(a) Tính khả năng báo dương tính ñối với người bị bệnh B và khả năng báo âm tính ñối với người không bị bệnh B của xét nghiệm T.
(b) Khả năng kết quả xét nghiệm là (T+) của người này là bao nhiêu? Đáp số:
76,19%; 91,84%
27
1.65. Phân phối ña thức Giả sử một không gian xác suất ñược phân hoạch bởi các biến cố A1, A2, . . ., Ar, với
các xác suất tương ứng là p1, p2, . . ., pr. (dĩ nhiên p1 + p2 + . . . + pr = 1). Chứng minh rằng trong một dãy n phép thử ñộc lập tương ứng với không gian xác suất trên, xác suất p ñể A1
xảy ra k1 lần, A2 xảy ra k2 lần, . . ., và Ar xảy ra kr lần, ñược tính bởi:
!. . . .
! ! . . . != 1 2
1 21 2
rk k kr
r
np p p p
k k k
trong ñó k1 + k2 + . . . + kr = n. Mô hình trên ñược gọi là mô hình Phân phối xác suất ña thức. (i) Một con xúc xắc vô tư ñược gieo 8 lần. Tính xác suất ñể mặt 5 và mặt 6 xuất hiện
mỗi mặt 2 lần, và các mặt còn lại xuất hiện mỗi mặt 1 lần. (ii) Một hộp chứa 5 viên bi ñỏ, 4 viên bi trắng và 6 viên bi xanh. Một viên bi ñược
chọn ngẫu nhiên từ hộp, xem là bi màu gì, trả lại hộp, rồi lại chọn ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất ñể trong 7 viên bi ñược chọn theo cách trên, có 2 bi màu ñỏ, 3 bi màu trắng và 2 bi màu xanh.
Đáp số:
(i) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5832
3561
61
61
612
612
61
1111228
=!!!!!!
!
(ii) ( ) ( ) ( ) 2
1563
1542
31
2327!!!
!
