BÀI TẬP TOÁN III-ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH · Bài tập toán III -2012-2013 5 1.7 Tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ 1 2

1

Page |

1

BÀI TẬP TOÁN III-ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Một số yêu cầu môn học:

Tên môn học: Toán III: Đại số tuyến tính.

Số tín chỉ: 3

Số tiết: 45=30 (tiết) lý thuyết+15 (tiết) bài tập

Tài liệu: Nhập môn đại số tuyến tính-ĐẠI HỌC THỦY LỢI-2010

Tham khảo: Toán cao cấp tập 1 (Lý thuyết và bài tập)-ĐẠI SỐ-Nguyễn Đình Trí.

Điểm học phần=40% x điểm quá trình+60% x điểm thi kết thúc học phần

Điểm quá trình= 30% điểm chuyên cần+30%điểm bài tập+40% điểm thi giữa kỳ

Cấu trúc giữa kỳ:

Câu 1 (3,5 điểm) Giải hệ phương trình.

+ Phương pháp khử Gauss.

+ Dùng định thức.

Câu 2 (3,5 điểm) Ma trận và định thức

+ Các phép toán ma trận.

+ Ma trận nghịch đảo.

+ Các tính chất định thức và tính định thức.

Câu 3 (3,0 điểm) Không gian véc tơ và không gian con.

+ Không gian véc tơ.

+ Hạng của ma trận.

+ Nghiệm đặc biệt và nghiệm đầy đủ của Ax = 0,

+ Nghiệm riêng và nghiệm đầy đủ của Ax = b.

Cấu trúc đề thi cuối kỳ

Câu 1 (2 điểm) Bao gồm các vấn đề

+ Hệ phương trình tuyến tính (từ 3 ẩn đến 5 ẩn)

+ Giải và biện luận theo tham số bằng qui tắc khử Gauss hoặc Cramer hoặc bằng ma trận nghịch đảo.

+ Nghiệm đầy đủ của hệ Ax = b


+ Định thức, tính định thức cấp 3, cấp 4

+ Các phép toán ma trận. Tìm hạng của ma trận

+ Tìm các giá trị riêng, véc tơ riêng của ma trận (cấp 3)


+ Kiểm tra không gian là không gian véc tơ, không gian con của không gian véc tơ

Vũ Mạnh Tới, Email: [email protected]

2

+ Kiểm tra 1 hệ véc tơ là cơ sở của không gian. Tìm cơ sở của 1 số không gian véc tơ quan trọng, cơ sở của không

gian con.

+ 4 không gian con C(A), C(AT), N(A), N(AT)

+ Trực giao hoá Gram - Smith


+ Phép biến đổi tuyến tính

+ Ma trận trên cơ sở chính tắc của phép biến đổi tuyến tính

+ Ma trận chuyển


+ Các phương pháp lặp đểgiải gần đúng hệ Đại số tuyến tính (3 ẩn)

+ Phương pháp bình phương tối thiểu

+ Quy hoạch tuyến tính (các bài toán đơn giản

MỘT SỐ ĐỀ THI GIỮA KỲ THAM KHẢO

ĐỀ SỐ 1

Câu 1 (3.5 đ). Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

2x x x 2x 3x 2

6x 3x 2x 4x 5x 3

6x 3x 4x 8x 13x 9

4x 2x x x 2x 1

Câu 2 (3.5 đ). Cho ma trận A có det A=4 và det(6A)= 20104.6 .

Tìm cấp của ma trận A và tính 1det(( 2 ) )A

Câu 3 (3.0 đ). Tính hạng của ma trận sau theo tham số .

1 -1 2

2 -1 1 5

10 -6 1

ĐỀ SỐ 2

Câu 1 (3.5 đ). Giải và biện luận theo hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 3

21 2 3

(1 ) 1

(1 )

(1 )

x x x

x x x

x x x

Câu 2 (3.5 đ). Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau

Bài tập toán III -2012-2013

3

2 -1 2 3 -1 4

2 -3 3 1 0 3

1 3 0 7 6 -3

X

Câu 3 (3 đ). Tìm cơ sở, chiều của không gian ngiệm N(A) của ma trận sau

5 6 -2 7 4

2 3 -1 4 2A

7 9 -3 5 6

5 9 -3 1 6

ĐỀ SỐ 3

Câu 1 (3.5 đ). Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2 2

6 3 2 4 3

6 3 4 8 9

x x x x

x x x x

x x x x

Câu 2 (3.5 đ). Tính định thức sau

2010 2 2 2

2 2010 2 2

2 2 2010 2

2 2 2 2010

a b b b

b a b b; ,

b b a b

b b b b

a b

Câu 2 (3 đ). Tìm ma trận A thỏa mãn hệ phưong trình sau

2

2

1

Ax

có nghiệm tổng quát là 1 2 1 2

1 1 0

2 3 0 ; ,

1 0 2

x c c c c

.

ĐỀ SỐ 4

Câu 1 (3.5 đ). Giải và biện luận theo hệ phương trình sau

21 2 3

1 2 3

1 2 3

(2 )

(2 )

(2 ) 1

x x x

x x x

x x x

Câu 2 (3.5 đ). Tìm ma trận A biết N(A) chứa

0

1

1

, A có cột 1 là

3

3

1

và C(A) không chứa

2

1

2

.

Câu 3 (3 đ). Tìm cơ sở, số chiều của bốn không gian con của ma trận

1 1 -1 2 4

-2 -2 2 -4 -8

1 10 -6 1 3

A


4

BUỔI THỨ 1

TUẦN LÝ THUYẾT 1 + TUẦN LÝ THUYẾT 2

+ Giới thiệu vectơ + Hệ phương trình đại số tuyến tính + Phương pháp khử Gauss-Jordan

+ Khái niệm ma trận+ Các phép toán ma trận+ Ma trận nghịch đảo

1. Bài tập cho Tuần 1

Các bài tập trong giáo trình:

+ Trang 20: Bài 5, 26;

+ Trang 46: Bài 10, 12, 13, 14, 15, 16;

+ Trang 58: Bài 4, 11, 12,18, 21, 22, 28.

+ Trang 73: Bài 24, 25.

1.1 a. Tính u + v , u + v + w và u + 2v - 3w khi

3

2

1

u ,

2

1

3

v ,

1

3

2

w .

b. Tìm một tổ hợp tuyến tính giữa 𝑢, 𝑣, và 𝑤 .

1.2 Tính Ax theo hai cách: lấy tích vô hướng của các hàng với vectơ cột hoặc lấy tổ hợp tuyến tính của các cột

(a)

3

2

2

214

132

421

Ax (b)

2

1

1

1

0100

1210

0121

0012

Ax

1.3 Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss:

2 3 8

4 7 5 20

2 2 0

x y z

x y z

y z

1.4 Số q nào làm cho hệ sau suy biến (tức là số trụ ít hơn số biến)? Với số q đó, tìm giá trị t để hệ có vô số nghiệm và

tìm nghiệm có z = 1.

4 2 1

7 6 6

3

x y z

x y z

y qz t

1.5 Áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan cho ma trận [A|b] chứng tỏ hệ sau vô nghiệm. Hãy thay vào số 6 một số để

hệ sau có nghiệm. Tìm nghiệm của hệ khi đó.

6

2

1

753

432

321

z

y

x

Ax


5

1.7 Tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ 1

2

và 3

1

sinh ra vectơ 14

8

?

1.9 Viết phương trình: 2x − 3y + z + 5t = 8 dưới dạng tích của một ma trận A với một vectơ cột x = (x, y, z, t) để sinh ra b

= 8. Ma trận A có bao nhiêu hàng, bao nhiêu cột?

1.10 Cho hệ

0

02

0

zy

zyx

byx

(a) Tìm số b để khi dùng phép biến đổi Gauss đối với hệ sau thì ta phải dùng phép đổi chỗ hai hàng.

(b) Tìm số b để hệ có một trụ bằng 0. Trong trường hợp này hãy tìm một nghiệm(𝑥; 𝑦; 𝑧) ≠ 0 của hệ.

ĐS: a) Khi 𝑏 = −2; b) Khi 𝑏 = −1.

1.11 Áp dụng phép khử cho ma trận mở rộng 23, [A b] để đưa hệ về dạng hệ tam giác CUx sau đó tìm nghiệm của

hệ.

17

1

14

32

2

1

x

xAx

1.12 Tìm các điều kiện của a, b, c, d để hệ sau

(a) không có nghiệm

(b) có vô số nghiệm

cd

b

a

bA

00

540

321

Số nào trong các số a, b, c, d không ảnh hưởng đến việc giải và biện luận hệ trên.

1.13 Giải hệ sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

3 3 2 4 2

4 3 5

5 7 4 6 4

x x x x

x x x x

x x x x

ĐS: (24

9−

4

3𝑥4; −3 + 𝑥4; −

16

9+

2

3𝑥4) ; 𝒙𝟒 ∈ ℝ

1.14 Tìm điều kiện của tham số thực a,b,c để hệ sau có nghiệm:

2

2

2

x y z a

x y z b

x y z c

ĐS: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝟎

1.15 Giải và biện luận hệ sau theo tham số a

1 2 3

1 2 3

2

1 2 3

1ax x x

x ax x a

x x ax a

ĐS: 𝑎 = 1 vô số nghiệm (1 − 𝑥2 − 𝑥3; 𝑥2; 𝑥3)

𝑎 = −2 hệ vô nghiệm

𝑎 ≠ 1; −2 hệ có nghiệm duy nhất (–𝑎+1

𝑎+2;

1

𝑎+2;

(𝑎+1)2

𝑎+2)


6

1.16 Giải và biện luận hệ phương trình

2 2 2 2

1

a +by+cz=d

a

x y z

x

x b y c z d



Trang 72: B12; Trang 74: B28;Trang 85: B3, B4, B5, B6; Trang 88: B21, B22;Trang 90: B36;

Trang 100: B1, B10, B22, B24, B25, B27, B28, B29, B30; Trang 131: B1.

2.1 Hãy chứng minh 2)( BA khác với 22 2 BABA , khi

00

21A và

03

01B

Hãy viết quy tắc đúng cho 22 _______))(( BABABA .

2.2 Tính 432 ,, AAA và vAvAvAAv 432 ,,, cho

0000

2000

0200

0020

A và

t

z

y

x

v

2.3

(a) Nếu A khả nghịch và ACAB , CMR CB .

(b) Nếu

11

11A , tìm hai ma trận B, C sao cho CB và ACAB .

2.4

a) Tìm ma trận nghịch đảo 1A của A bằng cách thực hiện các phép toán hàng trên các ma trận sau:

[A I]=

1072

0131 và [A I]=

1093

0141

b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

0 0 0 2

0 0 3 0

0 4 0 0

5 0 0 0

B

.

2.5

a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A bằng cách thực hiện biến đổi Gauss – Jordan trên ma trận [A I]:

100

312

001

A

b) Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình

1 2 3

1 2 0

1 0 0

AX

2.6 Tìm các lũy thừa: 2A , 3A ,…, 𝐴𝑛, và ( )AB , 2( )AB , với


7

5,05,0

5,05,0A và

10

01B

2.7 Tìm ma trận khác ma trận khác không A vuông cấp 2 sao cho 02 A .

2.8 Cho 1 1 2

0 1 0A

. Chứng tỏ rằng phương trình 2AX I có nghiệm nhưng phương trình 3YA I vô nghiệm.

2.10 Các mệnh đề sau đúng hay sai (giải thích nếu đúng và cho phản ví dụ nếu sai):

(a) Một ma trận 4 4 có một hàng toàn số 0 thì không khả nghịch.

(b) Nếu A khả nghịch thì 1A cũng khả nghịch.

(c) Nếu A khả nghịch thì 2A cũng khả nghịch.

2.11 Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông thỏa mãn 2 3 0A A I thì ma trận A khả nghịch và 1 3A I A .

2.13 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

6700

5600

0034

0023

B .

2.14 Sử dụng phép khử Gauss- Jordan trên [A I] để tìm 1A . Với

1

0 1

0 0 1

a b

A c

2.15

a) Tìm ma trận nghịch đảo các ma trận A bằng cách thực hiện biến đổi Gauss – Jordan trên ma trận [A I]:

.

321

221

111

A

b) Tìm ma trận Y thỏa mãn phương trình

1 2 3

0 2 3

0 0 3

YA

2.16 Tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴, với 2 1

3 4A

.

BUỔI THỨ 2


+ Khái niệm & tính chất của định thứ + Các cách tính định thức + Ứng dụng của định thức

+ Kiểm tra các tính chất của một không gian véctơ

+ Kiểm tra một tập hợp cùng với các phép toán cộng và nhân đã cho có phải là một không gian con hay không?

+ Bốn không gian con chủ yếu của một ma trận: C(A), N(A), C(AT), N(AT).


8



Trang 292-296: 1- 4, 7, 9-16, 18,19, 22,23, 25, 26,34.

Trang 307-310: 1-3, 7, 12, 13, 15, 17, 18, 20.

Trang 326- 328: 1, 2, 4, 6-10, 12, 13.

3.1 Khi một ma trận cỡ 44 có detA = 2

1, hãy tìm det(2A), det(−A), det(A2) và det(A−1); det(𝑎𝐴) 𝑣ớ𝑖 𝑎 ∈ ℝ?

3.2 Hãy tính các định thức của A, B, C bằng cách tính tổng của sáu phần tử.

A =

123

213

321

B =

765

444

321

C =

001

011

111

.

3.3. Tính định thức theo 2 cách (biến đổi hàng và công thức phần phụ đại số)

a)

0 0 1

0 2 5

4 0 4

b)

3.4 Sử dụng các phép toán hàng để chỉ ra rằng "định thức Vandermonde" bằng:

))()((

1

1

1

det2

2

2

accbba

cc

bb

aa

3.5 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A sử dụng công thức phần phụ đại số

0 1 2

A= 2 3 3

4 4 4

3.6 Các khẳng định sau đúng hay sai? Hãy giải thích nếu đúng và nêu phản ví dụ nếu sai:

(a) Định thức của I + A bằng 1 + detA.

(b) Định thức của ABC bằng |A||B||C|.

(c) Định thức của 4A bằng 4|A|.

(d) Định thức của BAAB bằng không (Thử cho một ví dụ.)

3.7 Tính


9

det

7020

3001

1662

0321

và det

2100

1210

0121

0012

.

3.8 Tìm định thức của U, 1U và 2U : (a)

300

520

641

U (b)

d

baU

0

3.9 Tính định thức của các ma trận sau

63

12A

007

654

321

B .

3.10 Tìm ma trận nghịch đảo của

210

121

012

A ,

321

242

123

4

1B .

3.11 Tính định thức của ma trận sử dụng công thức phần phụ đại số

404

6203

5030

121

b

a

A

3.12 Tính định thức của ma trận (sử dụng các tính chất của định thức)

1 1 3 5

3

2 1 3 5

2 7 0

a x bA

y

3.13 Sử dụng các phép toán hàng để đơn giản hoá và tính những định thức sau:

det

303203103

302202102

301201101

và det

1

1

1

2

2

tt

tt

tt

.

3.14

a) Cho ma trận A thỏa mãn: 3 2

33 3A A A I . Chứng minh ma trận A khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của

A?

b) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

2 5 1

B= 1 0 2

1 3 4


10

3.15 Tính các định thức: 2

1( ) det

1 1

a aD a

a

3

1 0

( ) det 1 1

0 1 1

a a

D a a a

a

;

1 0 ... 0

1 1 ... 0

( ) det 0 1 1 ... 0

... .... .... ... ...

0 .... .... ... 1

n

a a

a a

D a a

a

ĐS: Dùng khai triển Laplace ta có công thức truy hồi 𝐷𝑛(𝑎) = (𝑎 + 1)𝐷𝑛−1(𝑎) − 𝑎𝐷𝑛−2(𝑎). Từ đó ta có

𝐷𝑛(𝑎) − 𝐷𝑛−1(𝑎) = 𝑎(𝐷𝑛−1(𝑎) − 𝐷𝑛−2(𝑎)) = 𝑎2(𝐷𝑛−2(𝑎) − 𝐷𝑛−3(𝑎)) = ⋯

= 𝑎𝑛−3(𝐷3(𝑎) − 𝐷2(𝑎)) = 𝑎𝑛

Vậy 𝐷𝑛(𝑎) = 𝑎𝑛 + 𝐷𝑛−1(𝑎) = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝐷𝑛−2(𝑎) = ⋯ = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 𝑎 + 1

3.16 Cho biết |𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑞

| = 10, hãy tính

a) |2𝑎 2 𝑏 2 𝑐

𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑞

| b) |

𝑎 + 𝑑 𝑏 + 𝑒 𝑐 + 𝑓𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑞

|

c) |

2𝑎 + 𝑑 2 𝑏 + 𝑒 2 𝑐 + 𝑓𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑞

| d) |

𝑎 𝑏 𝑐 + 3𝑏𝑑 𝑒 𝑓 + 3𝑒𝑔 ℎ 𝑞 + 3𝑞

|



Trang 147-152: 1- 8, 10-13, 17-29.

Trang 163-167: 21-28 .

4.1 Kiểm tra bằng định nghĩa xem đâu là không gian véc tơ

4.2 Tập hợp con nào sau đây của 3 cùng với các phép toán cộng và nhân thông thường trong 3 là không gian con của 3 ?

(a) Mặt phẳng chứa các vectơ 𝑣 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) sao cho 𝑏1 = 𝑏3

(b) Mặt phẳng chứa các vectơ 𝑣 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) sao cho 𝑏3 = 0

(c) Mặt phẳng chứa các vectơ 𝑣 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) mà 𝑏1𝑏2 = 0

(d) Tất cả các tổ hợp tuyến tính của v = (1, 4, 0) và w = (2, 2, 2)

(e) Tất cả các vectơ 𝑣 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) thỏa mãn 0321 bbb

(f) Tất cả các vectơ 𝑣 = (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) thỏa mãn 321 bbb

4.3. Kí hiệu M( 2 2, ) là tập các ma trận vuông cấp 2 thực, G là tập các ma trận khả nghịch của M( 2 2, ). Chứng

minh rằng G không phải là không gian con của M( 2 2, ).

4.4 Hãy mô tả các không gian cột (đường thẳng hoặc mặt phẳng ) của các ma trận sau

(a)

00

00

21

A (b)

00

20

01

B (c)

00

02

01

C

ĐS: (a) Là một đường thẳng…., (b) Là một mặt phẳng…., (c) Là một đường thẳng…


11

4.5 Tìm các nghiệm đặc biệt của phương trình Ax = 0 và Bx = 0, từ đó suy ra nghiệm của các phương trình đó, với

1062

531A ,

762

531B

4.6 Tìm điều kiện của vế phải để các hệ sau có nghiệm?

(a)

3

2

1

3

2

1

241

482

241

b

b

b

x

x

x

(b)

3

2

1

2

1

41

92

41

b

b

b

x

x

ĐS: a) (𝑏1; 𝑏2; 𝑏3) = 𝑘(1; 2; −1) b) 𝑏3 = −𝑏1

4.7 Hãy rút gọn các ma trận sau về dạng bậc thang:

(a)

32100

96321

64221

A (b)

880

440

242

B

Những biến nào là biến tự do? Những biến nào là biến trụ?

4.8 Với các ma trận trong Bài 4.7, hãy tìm các nghiệm đặc biệt của hệ 𝐴𝑥 = 0

4.9 Cho

1 2 3

2 4 6

1 4 6

A

Với giá trị nào của a,b,c thì 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) thuộc không gian 𝐶(𝐴)

Với giá trị nào của a,b,c thì 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) thuộc không gian 𝑁(𝐴)

4.12 Hãy chỉ ra 1 không con của không gian các ma trận 22 chứa ma trận 1 0

0 0A

và

0

0B

4.13 Chứng minh rằng không gian W= ,a

aa

không là không gian con của 2,M .

4.13 Xây dựng 1 ma trận mà không gian cột chứa véc tơ (1,1,5) và (0,3,1) còn không gian nghiệm chứa véc tơ (1,1,2)

4.15 Mô tả 4 không gian con của ma trận

880

440

242

B

BUỔI THỨ 3


+ Hạng và dạng rút gọn theo hàng

+ Nghiệm đầy đủ (nghiệm tổng quát) của Ax = 0 và Ax = b.


12

+ Hệ vectơ độc lập tuyến tính + Hệ vectơ cơ sở + Chiều của bốn không gian con cơ bản.



Trang 163-167: 1-21 . Trang 175-179: 1-3; 7-10

Trang 189-194: 1-8;10-13; 18 -31

5.1 Tìm dạng thu gọn R và hạng của các ma trận sau đây:

(a) Ma trận cấp 34 có tất cả các phần tử đều bằng 1.

(b) Ma trận cấp 34 với 1 jiaij

(c) Ma trận cấp 34 với j

ija )1( .

5.2 Chọn số q sao cho hạng của ma trận A là

(a) 1 (b) 2 (c) 3

q

A

69

123

246

5.3 Tìm dạng thu gọn R và hạng của ma trận A. Các cột nào là cột trụ của ma trận A? Các biến nào là biến tự do? Tìm các

nghiệm đặc biệt và nghiệm tổng quát của phương trình Ax = 0.

1 1 2 21 2

2 2 4 4 ;0 2

1 2 2

cA A

cc

5.4 Tìm nghiệm tổng quát của hệ

1

3

1

4200

8462

2131

t

z

y

x

5.5 Tìm điều kiện đối với b1, b2, b3 để hệ sau có nghiệm? (Cho thêm cột b vào cột thứ tư trong quá trình khử). Tìm tất cả

các nghiệm khi có điều kiện đó.

3

2

1

894

452

22

bzyx

bzyx

bzyx


13

5.6 Cho hệ phương trình

bxxx

axxx

axxx

321

321

321

32

23

32

(a) Xác định a và b để hệ có nghiệm duy nhất. (b) Xác định a và b để hệ có vô số nghiệm.

5.7 Thu gọn tới dạng cUx (dùng phương pháp khử Gauss-Jordan) và sau đó là dRx .

b

x

x

x

x

Ax

4

3

2

1

10

5

2

9402

0231

3201

Tìm một nghiệm riêng xp và tất cả các nghiệm thuần nhất xn. Từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ.

5.8 Tìm các ma trận A, B thỏa mãn điều kiện sau đây.

(a) Nghiệm duy nhất của

3

2

1

Ax là

1

0x . (b) Nghiệm duy nhất đối với

1

0Bx là

3

2

1

x .

5.9 Biết nghiệm tổng quát đối với

3

1Ax là

1

0

0

1cx . Hãy tìm ma trận A.

5.10 Tìm hạng của ma trận sau bằng phương pháp khử

1 4 0

2 11 5

1 2 10

A

1 0 1

1 1 2

1 1

B

q

5.11 Tìm hạng của ma trận , ,T TA A A AA

a) 1 1 5

1 0 1A

b)

2 0

1A

5.12 Tìm nghiệm tổng quát dưới dạng p nx x đối với những hệ sau

a) 4x y z b)4

4

x y z

x y z

5.13 Tìm 1 nghiệm riêng và tất cả các nghiệm thuần nhất, từ đó tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình sau:

1

2

3

4

2 3 5 7 1

4 6 2 3 2

2 3 11 15 1

x

x

x

x


14

5.14 Tìm nghiệm đặc biệt, từ đó suy ra nghiệm tổng quát của hệ Ax = b với

3 2 1

5 3 0

0 1 5

A

, biết rằng hệ trên có một

nghiệm riêng (0,1,1)px .



Trang207-213: 1-32 ; 37-42.

Trang 222-226: 1-27

6.1 Chỉ ra rằng v1, v2, v3 là hệ độc lập tuyến tính nhưng v1, v2, v3, v4 lại phụ thuộc tuyến tính:

4

3

2

;

1

1

1

;

0

1

1

;

0

0

1

4321 vvvv .

6.2 Nếu w1, w2, w3 là các vectơ độc lập tuyến tính, chỉ ra rằng các vectơ 321 wwv , 312 wwv , 213 wwv cũng độc lập

tuyến tính. (Viết c1v1+c2v2+c3v3 = 0 dưới dạng tổng của các vectơ wi. Giải phương trình với các biến ci).

6.3 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3?

(a) (1, 2, 0) và (0, 1, −1)

(b) (1, 1, −1) và (2, 3, 4 ) và (4, 1, −1) và (0, 1, −1)

(c) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 0)

(d) (1, 2, 2); (−1, 2, 1); (0, 8, 6)

6.4 Tìm một cơ sở cho mỗi không gian con sau đây của R4:

(a) Tất cả các vectơ mà các thành phần của chúng đều bằng nhau

(b) Tất cả các vectơ mà tổng các thành phần của chúng bằng 0

(c) Tất cả các vectơ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ (1, 1, 0, 0) và (1, 0, 1, 1)

(d) Không gian cột (trong R2) và không gian nghiệm (trong R5) cuả ma trận

01010

10101U

6.5 Tìm một cơ sở cho mỗi không gian trong bốn không gian con liên kết với A

0 1 2 3 4

0 1 2 4 6

0 0 0 1 2

A

6.6 Kiểm tra tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của

a) (1,3,2); (2,1,3); (3,2,1) b) (1,-3,2); (2,1,-3); (-32,1)


15

6.7 Chứng minh rằng nếu hệ véc tơ 1 2{ , ,..., }nv v v độc lập tuyến tính thì hệ véc tơ 1 1 2 1 2 3 1 2{ , , ,..., ... }nv v v v v v v v v

cũng độc lập tuyến tính

6.8 Tìm 𝑡 để véc tơ w = (1,0,t) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ a =(1,1,0), b=(0,1,0), c=(1,0,1)

6.9 (a) Nếu A là một ma trận cấp 79 có hạng bằng 5 thì chiều của bốn không gian con sẽ bằng bao nhiêu? Tổng của các chiều của

bốn không gian này bằng bao nhiêu?

(b) Cho A là một ma trận cấp 34 có hạng bằng 3, hãy tìm không gian cột và không gian nghiệm trái của nó.

6.10 Chiều của bốn không gian con của các ma trận A, B, C bằng bao nhiêu nếu I là ma trận đơn vị cấp 3, O là ma trận không cấp 3

2?

OCOO

IIBOIA

TT

6.11 Cho các vectơ v1 = (2, 1, 3), v2 = (3, -1, 4), v3 = (2, 6, 4). Ký hiệu W là không gian con của ℝ3 gồm tất cả những tổ hợp tuyến

tính của v1, v2, v3. Tính dimW.

6.12 Cho tập 𝑈 = {𝑣 = (𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑡) ∈ ℝ4| 𝑥 − 𝑡 = 𝑚}

a) Tìm 𝑚 để 𝑈 là không gian véc tơ con của ℝ4.

b) Khi nó là không gian con, hãy tìm dim 𝑈.

6.13 a)Tìm một cơ sở của không gian các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3, 𝑃3[𝑥].

b) Cho 𝛼1 = 1 + 𝑥 + 𝑥2; 𝛼2 = 1 + 𝑥; 𝛼3 = 1 là các phần tử trong 𝑃2[𝑥]. Hãy xét xem {𝛼1; 𝛼2; 𝛼3} có là cơ sở của 𝑃2[𝑥] không?

Tìm một phân tích của 𝛼 = 4 + 𝑥 + 7𝑥2 qua các véc tơ 𝛼1; 𝛼2; 𝛼3đó.

6.14 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận

1 2 4

2 4 8A

1 2 4

2 8B

6.15 Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận

A =

250155

16162

5031

.

ĐS: r(A) = 2. Không gian hàng và không gian cột có số chiều bằng 2; không gian nghiệm có số chiều bằng 5-2=3;

Không gian nghiệm bên trái có số chiều bằng: 3-2 = 1.

Cơ sở không gian cột: (1, 1, 0) và (3, 4, 1); Cơ sở không gian hàng: (0, 1, 2, ,3, 4) và (0, 1, 2, 4, 6); cơ sở không gian

nghiệm: (1, 0, 0, 0, 0) ; (0, -2, 1, 0, 0) ; (0, 2, 0, -2, 1); cơ sở không gian nghiệm bên trái: (1, -1, 1)

BUỔI THỨ 4


+ Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng + Chéo hoá ma trận

+ Ứng dụng của chéo hóa ma trận trong việc tính lũy thừa ma trận.

+ Tính trực giao của bốn không gian tuyến tính.

+ Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn và phương pháp trực giao hoá Gram-Schmidt.


16


Bài tập trong giáo trình

Trang344-349: 2-6; 8-10; 12; 19-21; 25-30 .

Trang 361-366: 1-9; 15; 18; 22-24; 29; 30; 34.

7.1 Cho ma trận 1 4

2 3A

a) Hãy tìm các giá trị riêng và các vectơ riêng của ma trận :

b) Tìm các giá trị riêng của ma trận 𝐴100 − 2𝐴2 + 𝐴 − 2𝐼

7.2 Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B và A + B :

1 0

1 1A

, 1 1

0 1B

và 2 1

1 2A B

.

Giá trị riêng của A + B (bằng) (không bằng) giá trị riêng của A cộng với giá trị riêng của B.

7.3 Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của

1 2 3

0 4 5

0 0 6

A

7.4 Kiểm tra tính chéo hóa của ma trận sau

2 2 2

2 2 2

2 2 2

C

7.5 Chéo hoá ma trận A và tính 2011A

2 1

1 2A

7.6 Cho ma trận 2 4

1 5A

Phân tích A thành 1S S

7.7 Tìm các giá trị riêng của các ma trận A, B, AB và BA:

1 0

1 1A

, 1 1

0 1B

, 1 1

1 2AB

và 2 1

1 2BA

.

7.8 Dùng Ax = x để chứng minh

(a) 2 là giá trị riêng của

2A . (b) 1 là giá trị riêng của

1A.

(c) + 1 là giá trị riêng của A + I.


17

7.9 Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của

0 0 1

0 2 0

3 0 0

B

7.10 Biết rằng tổng của các phần tử trên đường chéo của một ma trận (vết) bằng tổng các giá trị riêng của ma trận đó. Hỏi nếu A

có hai giá trị riêng là 1 3 và 2 4 thì det(A - I)………………..?

Gợi ý: a b

Ac d

có 2det( ) ( ) 0.A I a d ad bc

7.11 Biết rằng ma trận 3×3 B có các giá trị riêng là 0, 1, 2. Thông tin này là đủ để xác định ba trong bốn thông tin nào dưới đây

(a) hạng của B. (b) định thức của B B .

(c) các giá trị riêng của B B . (d) các giá trị riêng của 1

B I

.

7.12 Hãy xác định hàng thứ hai của 0 1

* *A

sao cho A có các giá trị riêng là 4 và 7.

7.13 Hãy chọn a, b, c trong

0 1 0

0 0 1A

a b c

sao cho det 39A I . Khi đó hãy tìm các giá trị riêng của ma trận A.

7.14 Phân tích mỗi ma trận sau thành dạng 1A S S :

1 2

0 3A

và 1 1

2 2A

.

7.15 Hãy mô tả tất cả các ma trận S, mà chéo hoá ma trận A sau :

4 0

1 2A

.

Sau đó mô tả tất cả các ma trận mà chéo hoá A-1.

7.16. Cho ma trận

A = 1 1

2 2

. Tìm tất cả các vectơ riêng của ma trận A100 + A + 2I .

7.17 Xét xem ma trận nào sau đây chéo hóa được

(a) A =

11

11.

(b) B là ma trận thực cỡ 22 có detB = -1.


18

7.18 Chéo hoá ma trận B và tính 1kS S để chứng minh công thức tính kB sau đây

3 1

0 2B

có 3 3 2

0 2

k k k

k

kB

.

Kết quả

1 1 3 0 1 1 3 3 2

0 1 0 2 0 1 0 2

k k k k

k

kB

.



Trang 234-238: 3-6; 9-12; 16-24; 28; 30.

Trang 278- 283:1-2; 5-6; 11-18; 22; 24; 31.

8.1 Hãy xây dựng một ma trận có tính chất mong muốn hoặc cho biết tại sao điều ấy là không thể:

(a) Không gian cột chứa

3

2

1

và

5

3

2

, không gian nghiệm chứa

1

1

1

(b) Không gian hàng chứa

3

2

1

và

5

3

2

, không gian nghiệm chứa

1

1

1

(c)

1

1

1

Ax có một nghiệm duy nhất và AT

1

1

1

=

0

0

0

(d) Mọi cột là vuông góc với mọi hàng (A không phải là ma trận không)

(e) Các cột cộng lại trở thành một cột toàn số không, các hàng cộng lại được một hàng toàn số 1.

8.2 Theo kết quả cùa định lý cơ bản 2, mỗi vectơ x đều tách được thành tổng duy nhất của một vectơ xr thuộc không gian C(AT)

và một vectơ xn trong không gian nghiệm N(A). Hãy tìm các thành phần xr và xn của x với

A =

00

00

11

và x =

0

2.

8.3

a) Cho S là không gian con của R3 chỉ chứa vectơ không, hãy tìm S.

b) Cho S là không gian con được sinh bởi (1, 1, 1), hãy tìm S.

c) Cho S là không gian con được sinh bởi (2, 0, 0) và (0, 0, 3), hãy tìm S.

8.4

Hãy tìm các vectơ trực giao A, B, C bằng phương pháp Gram-Schmidt từ a, b , c:


19

a = (1, -1, 0, 0) b = (0, 1, -1, 0) c = (0, 0, 1, -1).

8.5

(a) Hãy tìm một cơ sở của không gian con S trong R4 sinh bởi tất cả các nghiệm của

x1 + x2 + x3 – x4 = 0.

(b) Hãy tìm một cơ sở của phần bù trực giao S.

(c) Hãy tìm b1 trong S và b2 trong S sao cho b1 + b2 = (1, 1, 1, 1).

8.6 Tìm số chiều và cơ sở của không gian nghiệm S của hệ sau:

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 0

2 3 0

x x x x

x x x x

Từ đó tìm 1 cơ sở của không gian bù trực giao S ?

Phân tích véc tơ 1,6, 2,3v thành 1 2v v với 1 2( ), ( )Tv C A v N A

8.7 Hãy tìm cơ sở trực chuẩn cho không gian cột của A =

31

11

01

21

8.8 Giả sử P là không gian nghiệm của phương trình x – 3y – 4z = 0.

(a) Tìm một cơ sở của P.

(b) Tìm một vectơ a P và một vectơ b P sao cho a + b = (6, 4, 5)

8.9 Cho các vectơ v1 = (1, 0, -2, 1), v2 = (0, 1, 3, -2). Ký hiệu W là không gian con của R4 gồm tất cả những tổ hợp tuyến tính của v1,

v2.

(a) Hãy tìm W.

(b) Tính số chiều của W.

8.10 Cho các vectơ v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (2, 1, 0, 0), v3 = (3, 2, 1, 0)

(a) Chứng minh rằng v1, v2, v3 độc lập tuyến tính.

b) Dùng phương pháp trực giao hóa Gram- Schmidt xây dựng tập trực giao {u1, u2, u3} từ {v1, v2, v3}.

8.11 Cho S là không gian sinh bởi 2 véc tơ (1,2,3) và (0,1,2). Tìm cơ sở và số chiều của không gian S

8.12 Cho ma trận 1 2 3

0 1 2A

, với x = (2,0,4), hãy phân tích , ( ), ( )T

r n r nx x x x C A x N A

8.13 S là không gian nghiệm của phương trình:

1 2 3 42 0x x x x

a) Tìm một cơ sở của S?

Dùng phương pháp Gram – Schmidt xây dựng cơ sở trực giao từ cơ sở đó.


20

b) Tìm một cơ sở của phần bù trực giao S ?

8.14 Tìm 1 cơ sở trực chuẩn của không gian cột của ma trận A

1 2

0A

BUỔI THỨ 5


+ Khái niệm biến đổi tuyến tính; ảnh, nhân của biến đổi tuyến tính.

+ Ma trận của phép biến đổi tuyến tính: cách xây dựng và các tính chất của nó.

+ Thế nào là ma trận chuyển cơ sở? Cách tìm ma trận chuyển cơ sở.

+ Mối liên hệ tọa độ của một vectơ trong hai cơ sở khác nhau.

+ Mối liên hệ giữa các ma trận của cùng một phép biến đổi tuyến tính trong hai cơ sở khác nhau

+ Ma trận đồng dạng.



Trang 447 -449: 1-20.

Trang 462- :1, 2, 5, 6, 7, 11.

9.1 Đâu không là biến đổi tuyến tính:

(a) v

vvT )( (b) 321)( vvvvT

(c) )3,2,()( 321 vvvvT (d) T(v) = toạ độ lớn nhất của v.

9.2 Những biến đổi nào sau đây không là biến đổi tuyến tính, với v = (x,y)

(a) T(v) = (y,x) (b) T(v) = (x,x)

(c) T(v) = (0,x) (d) T(v) = (0,1)

9.3 Cho phép biến đổi T: R2 → R3 xác định như sau T(v) = xu1 + yu2 +(x + y)u3, trong đó

v = (x, y), u1 =(1, 0, 0), u2 =(1, 1, 0), u3 =( 1, 1, 1).

Chứng minh rằng T là một biến đổi tuyến tính. Tìm ma trận chính tắc của T.

9.4 Cho {e1, e2} là cơ sở chính tắc của R2. Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R2 vào R2 thoả điều kiện

T(e1 + e2) = (1, 1), T(2e1 + e2) = (0, 1)


21

(a) Tìm ma trận chính tắc của T.

(b) Chứng minh rằng T khả nghịch và tìm ma trận chính tắc của T-1.

(c) Tìm vectơ uR2 sao cho T(u) = (2, -1).

9.5 Cho cơ sở E = {v1, v2, v3} của R3 với

v1 =

1

1

1

, v2 =

0

1

1

, v3 =

0

0

1

.

Cho T là phép biến đổi tuyến tính từ R3 vào R3 xác định bởi

T( x1v1 + x2v2 + x3v3) = (x1+ x2 + x3)v1 + (2x1 + x3)v2 – (2x2 + x3)v3


(b) Với v = (1, 1, -1), tìm T(v).

(c) T có khả nghịch không?

9.6 Kiểm tra xem các ánh xạ sau có phải biến đổi tuyến tính không

3 3

1 2 3 1 2 2 3 3 1

:

( , , ) ( , , )

T

v v v v v v v v v

và

2 2

2

1 2 1 1 2

:

( , ) ( , )v v v v v

9.7. M là ma trận vuông cấp 2 và

43

21A .

Biến đổi T được định nghĩa bởi T(M) = AM. Hãy chỉ ra rằng T là biến đổi tuyến tính?

9.8 Cho phép biến đổi tuyến tính

2 2

1 2 1 2 1 2

:

( , ) (2 3 ,3 2 )

T

v v v v v v

Xác định ma trận chính tắc của T và 1T

9.9 Giả sử T là phép biến đổi tuyến tính biến (1,1) thành (2,2), biến (2,0) thành (0,0). Tìm T(v) với

a) v = (2,2) b) v = (3,1)

c) v = (-1,1) d) v = (a,b)

9.10 Biến đổi S, từ không gian các đa thức có bậc không quá 3 tới chính nó, là phép lấy đạo hàm cấp 2. Biết các cơ sở 4321 ,,, vvvv

và 4321 ,,, wwww của không gian nguồn và đích đều là .,,,1 32 xxx Tính 4321 ,,, SvSvSvSv và tìm ma trận cấp 44 B của S đối với

cặp cơ sở trên.

9.11 Cho phép biến đổi 2 3:T R R xác định như sau 1 2 3( ) ( ) 2T v x y u xu yu

Trong đó 1 2 3

1 1 1

1 , 1 , 0

1 0 0

u u u

,x

vy

.

Chứng minh T là phép biến đổi tuyến tính.


22

Tìm ma trận chính tắc của T.

9.12 Cho 1 2 3{ , , }e e e là cơ sở chính tắc của

3R , T là phép biến đổi tuyến tính từ 3R vào

3R , thoả mãn điều kiện:

1 2 3 1 2 3

3 4 1

3 , 2 1 , 2

3 4 0

T e e e T e e T e

a) Tìm ma trận chính tắc của T?

b) Với

1

2

3

v

thì ( ) ?T v

c) T có khả nghịch không? Nếu có hãy tìm ma trận chính tắc của 1T ?



Trang 462- 465; Trang 471- 472.

10. 1

(a) Tìm ma trận biến (1,0) thành (2,5) và (0,1) thành (1,3).

(b) Tìm ma trận biến (2,5) thành (1,0) và (1,3) thành (0,1).

(c) Tại sao không có ma trận biến (2,6) thành (1,0) và (1,3) thành (0,1).

10.2 Cho E = {(1, 2); (2, 3)} và F = {(1, 1); (2, 1)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E.

Biết tọa độ của vectơ v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F.

10.3 Trong không gian ℝ2 cho hai cơ sở :

4

3,

1

2'',

3

2,

2

12121 uuBuuB

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’

(b) Cho w = 3u1 – 5u2. Tính tọa độ của w trong cơ sở B’.

10.4 Tìm ma trận đường chéo đồng dạng với ma trận A4 + 2I, trong đó A =

22

11.

10.5 Cho phép biến đổi tuyến tính 2 2:T R R

T có ma trận trong cơ sở 1 2

1 2,

1 1E u u

là

1

0A

.


23

Tìm ma trận B của T trong cơ sở 1 2

1 0,

2 1F v v

?

10. 6 Nếu ta giữ nguyên cơ sở nhưng sắp chúng theo một trật tự khác thì ma trận chuyển cơ sở M là một ma trận ______

Nếu giữ nguyên thứ tự các vectơ trong cơ sở nhưng thay đổi độ dài của chúng thì M là ma trận ___


2 2

1 2 1 2 2

:

( , ) ( 2 ,3 )

T R R

x x x x x

a) Tìm ma trận chính tắc của T b) Tìm ma trận của T trong cơ sở 1 2

1 0,

1 1F v v

10.8 Trong không gian P1 cho hai cơ sở

xppBxpxpB 23',2'';210,36 2121

(a) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B.

(b) Cho p = -4 + x. Tính tọa độ của p theo cơ sở B rồi suy ra tọa độ của p theo cơ sở B’.

(c) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B’ sang cơ sở B.

10.9 Cho biến đổi tuyến tính 11: PPT có ma trận trong cơ sở xpxpB 1,1 211 là

52

411A . Tìm ma trận A2

của T trong cơ sở xqxqB 42,3 212

10.10 Cho hai phép biến đổi tuyến tính 2222 :,: RRgRRf .

Biết f có ma trận trong cơ sở

3

2,

2

1211 vvB là

34

531A .

Biết g có ma trận trong cơ sở

2

4,

1

3212 wwB là

96

642A .

Tìm ma trận của f+g và f.g trong cơ sở B2.


21

11

22

2)(

2

:

xx

xvT

x

xv

RRT


(b) Tìm ma trận của T theo cơ sở F = {w1 = (1, 2), w2 = (2, 3)}.

(c) Cho phép biến đổi tuyến tính


24

1

21

21

2

1

32

2

)(

;

x

xx

xx

vTx

xv

RRS

.

Tìm ma trận chính tắc của ST và tìm 𝑆𝑇(𝑣) với 𝑣 = (1; 1).

BUỔI THỨ 6

TUẦN LÝ THUYẾT 11 + TUẦN LÝ THUYẾT 12 + Phép chiếu + Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu

+ Quy hoạch tuyến tính



Trang 248-252; Trang 264 -267.

11.1 Hãy chiếu vectơ b lên đường thẳng đi qua a.

Hãy kiểm tra rằng e vuông góc với a:

(a)

2

2

1

b và

1

1

1

a (b)

1

3

1

b và

1

3

1

a .

11.2 Hãy chiếu b lên không gian cột của A bằng cách giải ATA x̂ = ATb và p = A x̂ .

Hãy tìm e = b – p. Hãy tính những ma trận chiếu lên các không gian cột. Với 𝐴, b cho bởi

(a)

00

10

11

A và

4

3

2

b (b)

10

11

11

A và

6

4

4

b .

11.3 Với b = 0, 8, 8, 20 tại t = 0, 1, 3, 4, thiết lập và giải các phương trình chuẩn ATA x̂ = ATb đối với đường tốt nhất b

= C + Dt, tìm bốn độ cao pi và bốn sai số ei của nó. Tính giá trị cực tiểu của E = 2

4

2

3

2

2

2

1 eeee

11.4 Cho dữ liệu

T 0 1 2 3

B 2 3 5 7

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm đường thẳng b = C + Dt gần tập hợp điểm này nhất.

11.5 Hãy tìm parabol tốt nhất để căng b = 4, 2, -1, 0, 0 tại thời điểm t = 0, 1, 2, 3, 4

11.6 (a) Hãy tính những ma trận chiếu aaT/aTa lên các đường thẳng đi qua a1 = (–1, 2, 2) và a2 = (2,2,–1).

11.7 (Bắt buộc và nhanh) Cho ma trận 43 A tạo thành từ ma trận đơn vị 44 có cột cuối bị xoá đi. Hãy chiếu b = (1,


25

2, 3, 4) lên không gian cột của A. Dạng của ma trận chiếu P thế nào và p như thế nào?

11.8 Khi P2 = P hãy chỉ ra rằng (I−P)2 = I−P. Khi P chiếu lên không gian cột của A, I − P chiếu lên ____ .

11.9. Cho dữ liệu

t -2 -1 0 1 2

b 4 2 -1 0 0

Dùng phương pháp bình phương tối thiểu

a. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C + Dt

b. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = C

c. Tìm đường thẳng tốt nhất dạng b = Dt

d. Tìm parabol tốt nhất dạng b = C + Dt + Et2

e. Tìm parabol tốt nhất dạng b = Dt + Et2

11.10 Hãy mô tả ba phương trình đối với đường b = C + Dt đi qua b = 7 tại t = −1, b = 7 tại t = 1, và b=21 tại t = 2.

Hãy tìm nghiệm bình phương tối thiểu x̂ =(C, D) và vẽ đường gần nhất.



Trang 524.

LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC

12.1 Bài toán xác định khẩu phần ăn:

Giả sử yêu cầu tối thiểu mỗi ngày về chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho một loại gia súc tương ứng là 90g, 130g,

10g. Cho biết hàm lượng các chất dinh dưỡng trên có trong 1 gam thức ăn A, B, C và giá mua 1 kg thức ăn mỗi loại trong

bảng sau:

Chất dinh dưỡng Loại thức ăn

A B C

Đạm 0,1 g 0,2 g 0,3 g

Đường 0,3 g 0,4 g 0,2 g

Khoág 0,02 g 0,01 g 0,03 g

Giá mua 3000 đ 4000 đ 5000 đ

Hãy lập mô hình toán học của bài toán xác định khối lượng thức ăn mỗi loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua

thức ăn ít nhất nhưng đáp ứng được nhu câud dinh dưỡng tối thiểu mỗi ngày.

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

12.2 Tìm min33 4321 xxxxZ

với hệ ràng buộc

6

93362

22

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

và điều kiện tất yếu 4,3,2,1,0 ixi

LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QHTT

12.3 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau


26

1 3 42 3 minZ x x x

2 3 4

1 3 4

3 5

4 3 4

0,( 1,.., 4)j

x x x

x x x

x j

12.4 Giải bài toán qui hoạch tuyến tính sau

1 32 3 minZ x x

1 3

1 2 3

4 2

2 6

0,( 1,..,3)j

x x

x x x

x j

LẬP MÔ HÌNH TOÁN HỌC

12.5 Bài toán vận tải:

Một công ty lương thực cần vận chuyển gọi từ các kho A1, A2 với khối lượng lần lượt là 100 tấn, 150 tấn đến các đại lý

B1, B2, B3 với nhu cầu cần nhập hàng là 70 tấn, 110 tấn, 90 tấn. Cho biết chi phí vấn chuyển gạo (nghìn đ/tấn) từ kho đến

các đại lý trong bảng sau:

Đại lý

Kho

B1 B2 B3

A1 100 70 30

A2 50 90 60

Hãy lập mô hình toán học của bài toán lập kế hoạc vận chuyển gạo từ các kho đến các đại lý sao cho tổng chi phí vận

chuyển nhỏ nhất.

ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

12.6 Tìm max582 4321 xxxxZ

với hệ ràng buộc

432

333

52

4321

4321

531

xxxx

xxxx

xxx

và điều kiện tất yếu 4,3,2,1,0 ixi , 05 x

LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH


với

09

557

242

43

432

54321

xx

xxx

xxxxx

và 5,4,3,2,1,0 ixi


với

10423

23

30232

54321

5432

4321

xxxxx

xxxx

xxxx

và 5,4,3,2,1,0 ixi


27

12.9 Tìm 1 2 3 42 3 minZ x x x x

với

1 2 3

1 3 4

1 3 5

2 3

3 5

2 3 4

x x x

x x x

x x x

và 5,4,3,2,1,0 ixi

BUỔI THỨ 7

TUẦN LÝ THUYẾT 13+ÔN TẬP

+ Các phương pháp lặp để giải gần đúng

+ Hệ phương trình tuyến tính

1. Các khái niệm cơ bản. 2. Phương pháp lặp đơn. 3. Phương pháp Seidel.



Trang 564 .

13.1 Tìm chuẩn của các ma trận sau:

20

05,0A ,

1 2 3

5 6 7

2

B

13.2 Cho hệ phương trình Ax = b với

20123

12032

21101

32110

A ,

15

10

5

0

b

Tìm số phép lặp k để tìm được nghiệm với độ chính xác = 0.3.Khi đó tìm nghiệm xấp xỉ x(k)

13.3 Cho hệ phương trình

342

324

135

321

321

321

xxx

xxx

xxx

(a) Giải hệ bằng phương pháp khử Gauss.

(b) Giải hệ bằng phương pháp lặp với độ chính xác 1 25 , .

(c) Giải hệ bằng phương pháp lặp Seidel, tính lặp 4 lần.

13.5 Giải hệ sau bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel, tính lặp 3 lần

312532

24102042

36210

16510

4321

4321

4321

321

xxxx

xxxx

xxxx

xxx


28

Với )2,1;1,1;8,0;9,0()0( x .

Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES,…để giải hệ phương trình tuyến tính

bằng phương pháp lặp Gauss-Seidel.

Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn sau:

{

7𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 32𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 4

−𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 4

…Dãy lặp Gauss-Seidel với giá trị ban đầu (0) (0) (0) (0)

0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x

( 1) ( ) ( )

1 2 3

( 1) ( 1) ( )

2 1 3

( 1) ( 1) ( 1)

3 1 2

2 3 3 (1)

7 7 7

2 1 4 (2)

9 9 9

1 1 1 (3)

8 2 2

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

+)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: (0) 0 0 0

0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x

0 Shift Sto A

0 Shift Sto B

0 Shift Sto C

+) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp:

Nhập biểu thức 1 :

0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 x Alpha C + 3/7

Shift Sto A

Nhập biểu thức 2:

(-) 2/9 X Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9

Shift Sto B

(1)

2 0.349206x

Nhập biểu thức 3

(1)

1 0.428571x


29

1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 X Alpha C + ½

Shift Sto C

(1)

3 0.378968x

+) Bước 3:

Rồi ấn phím = (2)

1 0.365929x


2 0.321019x


3 0.385232x

(*)Tiếp tục như bước 3 ta được 2x ,… Và ta được bảng kết quả

K ( )

1

kx ( )

2

kx ( )

3

kx

0

1

2

3

4

5

0

0.428571

0.365929

0.355192

0.356612

0.356500

0

0.349206

0.321019

0.322709

0.322636

0.322638

0

0.378968

0.385232

0.383044

0.383258

0.383243

Nghiệm 𝑥∗ ≈ 𝑥(5) = (0.356500; 0.322638; 0.383243)

Chú ý: +) Được kết quả nào thì phải ghi luôn vào bảng kết quả.

+)Nếu hệ n phương trình n ẩn thì ta làm tương tự như trên nhưng phải dùng một bộ n biến

nhớ, và phải nhập n biểu thức đồng thời ở bước 3 phải ấn n-1 lần để quay trở lại biểu thức ban đầu

Ấn 2

lần

Ấn 2

lần

Ấn 2

lần

Ấn n-1

lần


30

+)Lặp đơn thì phức tạp hơn và phải dùng đến 2 bộ nhớ.

Hướng dẫn ấn máy tính 500MS; 500ES; 570MS; 570ES,…để giải hệ phương trình tuyến tính

bằng phương pháp lặp đơn.

Ví dụ với hệ 3 phương trình 3 ẩn:

{

7𝑥1 − 2𝑥2 + 3𝑥3 = 32𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 4

−𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 = 4

…Dãy lặp đơn với giá trị ban đầu (0) 0 0 0

0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x

( 1) ( ) ( )

1 2 3

( 1) ( ) ( )

2 1 3

( 1) ( ) ( )

3 1 2

2 3 3 (1)

7 7 7

2 1 4 (2)

9 9 9

1 1 1 (3)

8 2 2

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

+)Bước 1: Nhập và lưu giá trị ban đầu: (0) 0 0 0

0 1 2 3( ; ; ) (0;0;0)x x x x

0 Shift Sto A

0 Shift Sto B

0 Shift Sto C

+) Bước 2: Nhập các biểu thức của dãy lặp:

Nhập biểu thức thứ nhất :

0 x Alpha A + 2/7 x Alpha B - 3/7 x Alpha C + 3/7

Shift Sto D

Nhập biểu thức thứ 2:

(-) 2/9 x Alpha A + 0 x Alpha B - 1/9 x Alpha C + 4/9

Shift Sto X

(1)

1 0.428571x


31

(1)

2 0.444444x

Nhập biểu thức thứ 3

1/8 x Alpha A - 1/2 x Alpha B + 0 x Alpha C + 1/2

Shift Sto Y

(1)

3 0.500000x

Bước tiếp theo ta làm lại bước 2 nhưng phải dùng trên bộ nhớ D, X, Y.

Nhập biểu thức thứ nhất :

0 x Alpha D + 2/7 x Alpha X - 3/7 x Alpha Y + 3/7

Shift Sto A

Nhập biểu thức thứ 2:

(-) 2/9 x Alpha D + 0 x Alpha X - 1/9 x Alpha Y + 4/9

Shift Sto B

(2)

2 0.293651x

Nhập biểu thức thứ 3

1/8 x Alpha D - 1/2 x Alpha X + 0 x Alpha Y + 1/2

Shift Sto C

(2)

3 0.331349x

+) Để tính tiếp 𝒙(𝟑) ta làm như sau: ẤN bàn phím REPLAY ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim

REPLAY sang trái 1 lần và ấn DEL rồi ấn = thì ta được 𝑥1(3)

=0.370465

Tương tự lại ẤN bàn phím REPLAY ngược lên 5 lần, sau đó ấn phim REPLAY sang trái 1 lần và ấn

DEL rồi ấn = thì ta được 𝑥2(3)

=0.331790

Cứ thế ta được bảng sau:

K ( )

1

kx ( )

2

kx ( )

3

kx

0

1

2

3

0

0.428571

0.341270

0.370465

0

0.444444

0.293651

0.331790

0

0.500000

0.331349

0.395833

(2)

1 0.341270x


32

4

5

0.353725

0.356434

0.318137

0.323571

0.380413

0.385147

6 0.355957 0.322443 0.382768

7 0.356654 0.322813 0.383088

Nghiệm 𝒙∗ ≈ 𝒙(𝟕) = (0.356654; 0.322813; 0.383088)

Chú ý: MÁY ES thì có đủ bộ số trên máy nên có làm phương pháp lặp đơn như hướng dẫn trên.

Còn máy MS không đủ bộ số nên để tính với k=3 thì ta lại quay lại bước 2.

14. Ôn tập+Đọc điểm quá trình

Documents

BÀI TẬP TOÁN III-ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH · Bài tập toán III -2012-2013 5 1.7 Tổ hợp tuyến tính nào của các vectơ 1 2