Sóng tuyến tính

Lý thuyết tuyến tính (còn gọi là lý thuyết Ariry) dựa trên phương trình cân bằng khối lượng và phương trình cân bằng động lượng

Lý thuyết tuyến tính sóng trọng lực bề mặt là cơ sở được bắt nguồn từ các đặc tính vật lý của sóng gió. Lý thuyết tuyến tính bổ sung tốt cho các khái niệm phổ sóng. Với các điều kiện được xét đến: nước có độ sâu không đổi; không có chướng ngại vật; dòng, đường bờ, biên độ sóng không đổi theo không gian và thời gian; bỏ qua các tác động của gió, sự tiêu tán và các hiệu ứng phi tuyến khác.[w.p8]

Sự mô tả sóng biển ngẫu nhiên dựa trên khái niệm tổng hợp nhiều sóng điều hòa độc lập. do đó, việc tìm hiểu các sóng ngẫu nhiên tương ứng với sự hiểu biết về các sóng điều hòa độc lập.

Có thể áp dụng lý thuyết sóng tuyến tính cho sóng trọng lực bề mặt khi nó được mô tả chỉ tiết như sóng điều hòa. Lý thuyết này dựa trên hai phương trình cơ bản và một số điều kiện biên để mô tả khía cạnh động học và động năng của sóng, và chỉ áp dụng cho các sóng có biên độ nhỏ (chiều dài sóng nhỏ hơn độ sâu mực nước) [w.p109]

Giả thiết: nước là chất lỏng không nén, chuyển động sóng là chuyển động không xoáy (do lực đàn hồi chính gây ra chuyển động sóng là lực thế trọng trường).Phương trình Navier-Stokes:

(1)

(2)Trong đó: V(X,t) =(u,v,w) là véc tơ vận tốc ; p(X,t) là áp suất; g là gia tốc trọng trường; X=(x,y,z) là toạ độ không gian; ν là hệ số nhớt động học;

Trong chuyển động sóng, giá trị của ν trong nước khá nhỏ cỡ 10-2cm2/s, do đó một cách xấp xỉ ta bỏ qua thành phần cuối trong phương trình (1) và viết lại:

(3)

Do chuyển động sóng xét là chuyển động không xoáy nên ta có thể biểu diễn vận tốc V theo các giá trị Gradient của thế vận tốc Φ dưới dạng:

(4)

(5)

Thế (4) vào (2) ta được:

(5)

Và theo giải tích vector :

(6)

Khi đó, phương trình (1) và (2) được viết lại:

(1.7)

(1.8)

Nhận thấy biểu thức trong ngoặc là một hàm theo thời gian nên pt (1.8) được viết lại:

(1.9)

Đặt Φ1= Φ - khi đó, 9 được viết lại:

(1.10)

Tương tự, thay Φ1 vào phương trình Laplace ta có: (1.11)

hằng số C(1.t) bị hấp phụ hoàn toàn vào trong hàm thế vận tốc mà dạng của các phương trình liên tục và phương trình chuyển động không thay đổi. Ta đổi Φ cho Φ1 và như thế ta có dạng tổng quát của hai phương trình trên như sau:

(1.12)

(1.13)

Các điều kiện biên:

điều kiện biên tại mặt biển:

Hình minh họa biên động học

gọi ζ : độ chuyển dịch mực nước

phương trình biểu diễn bề mặt:

(1.13)

Tại z= ζ , ta có :

(14)

Gọi q là tốc độ tại một điểm trên mặt biên

Sau một khoảng thời gian dt thì phương trình bề mặt được mô tả như sau:

(15)

Với O(dt)2 ≈ 0, ta có xấp xỉ:

(16)

Với giả thiết hạt nước trên biên chuyển động không bứt ra khỏi mặt biên nên tốc độ của hạt nước phải bằng với tốc độ của mặt biên, V=q. Ta có:

(17)

Thay biểu thức bề mặt biên vào phương trình (17) ta được:

(18)

Phương trình (18) chính là điều kiện biên động học tại mặt biển

Giả thiết mặt phân cách biển – khí quyển không có khối lượng, sức căng của bề mặt nhỏ có thể bỏ qua. Khi đó áp suất từ hai phía của mặt phân cách nước - không khí phải cân bằng và bằng áp suất khí quyển Pa. Sử dụng phương trình Bernoulli (12) tại mặt ζ = z ta có:

(19)

Phương trình (19) là điều kiện biên động lực học tại mặt biển

Điều kiện biên tại đáy:

Với điều kiện biên không thấm ta có:

(20)

phương trình biểu diễn mặt biên tại đáy z = -h có dạng:

(21)

Phương trình trên biên :

(22)

Thay (21/0 vào (20) ta có:

(23)

Các phương trình (12), (13), (18), (19) và (23) cho phép mô tả chuyển động của sóng thế trên bề mặt chất lỏng không nén. Ta thấy chúng đều là các phương trình phi tuyến nên việc giải hệ các phương trình nói trên thực tế là rất khó khăn. Để có thể thu được nghiệm dễ dàng hơn người ta xem xét lý thuyết sóng biên độ nhỏ hay còn gọi là lý thuyết sóng tuyến tính cũng với việc sử dụng giả thiết và phép xấp xỉ cho các phương trình trên biên để đơn giản bớt cho các điều kiện biên này.

Giả thiết sóng có biên độ nhỏ so chiều dài sóng:

<<1

L: độ dài sóng

ω : tần số góc

A: biên độ dao động sóng

Sử dụng các đại lượng đặc trưng:

L/2π :đặc trưng cho độ dài (x, y, z, h)

ω-1 =T/2π : đặc trưng cho thời gian t

A : đặc trưng cho dao động mực nước ζ

Khi đó:

Ký hiệu các biến thứ nguyên và phi thứ nguyên như sau:

đặc trưng (24)

Thế (24) vào các phương trình điều kiện biên (17), (18) ta được:

(25)

(26)

Với : do đó phương trình (25), (26) xấp xỉ:

(27)

(28)

Thay các giá trị (24) vào (27), (28) ta được:

(29)

(30)

Kết hợp phương trình (29) và (30) với các phương trình (12), (13) và điều kiện biên đáy (23) ta có hệ các phương trình mô tả chuyển động sóng theo lý thuyết sóng tuyến tính.

Xét sóng phẳng hai chiều chuyển động trong mặt phẳng xoz vận tốc và áp suất không phụ thuộc vào toạ độ trục oy. Ta sẽ tìm các thế vận tốc trên hướng truyền sóng ox

Do ta xét chuyển động sóng không chịu tác động của áp suất khí quyển nên ta tìm hàm thế vận tốc ứng với Pa=0. Hệ phương trình mô tả chuyển động sóng theo lý thuyết sóng tuyến tính :

∇2 Φ =0 -h<z<0 (31)z=-h (32)z=0 (33)

z=0 (34)Giả sử dao động mực nước dạng:

ζ= A.cos k(x-Ct) (35)

nghiệm của phương trình (31) có dạng:

(35)

Đặt :số sóng

Thế (35) vào (31) ta có:

(36)

Suy ra: (37)

Phương trình (37) có nghiệm dạng:

(38)

Trong đó C1, C2 là các hằng số tuỳ ý cần xác định bằng các điều kiện biên.

Từ điều kiện biên:

, z=-h (39)

Giả sử độ sâu biến đổi theo phương ngang không đáng kể, ta được:

, z=-h (40)

Từ phương trình (38) và (38) ta có:

(41)

=> (42)

Hàm thế vận tốc:

(43)

Biểu thức của hàm thế này phải thõa mãn điều kiện (34)

(44)

(45)

Vậy nghiệm thu được:

(46)

Thay (46) và (35) vào (33) :

(47)

Các thành phần vận tốc chuyển động:

(48)

(49)

Gọi điểm (xo,zo) là điểm mà hạt nước ở trạng thái chưa bị kích thích chuyển động sóng, ta có:

(50)

(51)

Ta lại có:

Suy ra:

Bỏ qua các thành phần bậc cao:

Lấy tích phân theo t ta được:

Bình phương hai vế của biểu thức rồi cộng lại, thay ta được:

(52)

Như vậy chuyển động sóng của các sóng có biên độ nhỏ trong biển sâu hữu hạn h, các quĩ đạo chuyển động của hạt nước có dạng elip

với bán trục ngang là :

bán kính trục đứng là :

Khi tăng z theo độ sâu thì trục đứng giảm nhanh và tại đáy z0=-h thì shk(z0+h)=0 và hạt nước chỉ chuyển động theo phương nằm ngang

Trong trường hợp biển sâu vô hạn thì phương trình (4.41) trở thành:

(53)

Phương trình (53) cho ta thấy bán kính r = ekzo giảm theo độ sâu theo qui luật hàm mũ, quĩ đạo của chuyển động là những đường tròn.

Hình 2: chuyển động cuae hạt nước theo độ sâu

Mối quan hệ phân tán:

Đối với nước sâu:

kh →∞, tanhkh→1khi đó:

đối với nước nông:

kh →0, tanhkh→kh khi đó:

vận tóc nhóm sóng:

gọi Cg: vận tốc nhóm sóng, tỷ số

ta có: →

thay

Tại biển sâu

kh>>1

Tại vùng nước nông:

kh<<1