BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM DINAMIK

SKRIPSI

Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta untuk memenuhi sebagian persyaratan

guna memperoleh gelar Sarjana Sains

Disusun oleh :

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2012

Nama : Avienta Ika Pratiwi

NIM : 05305144016

ii

iii

iv

v

MOTTO

۵ - ٦ ﴾ شراح : فإن مع العسر يسرا • إن مع العسر يسرا ﴿ االن

Artinya : “Karena sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan,

Sesungguhnya bersama setiap kesulitan ada kemudahan.”

مع كل كان أولئك وال تقف ما ليس لك إن علم به والفؤاد والبصر الس

سراء : ٣٦) عنه مسئوال( اإل

Artinya : “ Dan Allah tidak menjadikan pemberian bala bantuan itu melainkan

sebagai kabar gembira bagi kemenanganmu, dan agar tentram hatimu karenanya.

Dan kemenanganmu itu hanyalah dari Allah

vi

PERSEMBAHAN

بسم هللا ا لر حمه الر حيم

االحمد هلل رب العا لميه اشهد ان ال اله اال هللا وحده ال شريك له و اشهد ان محمدا

عبده ورسى له اللهم صل وسلم على سيد وا محمد وعلى اله و صحبه اجمعيه اما

بعد

Karya ini ku persembahkan untuk :

1. Ayahanda Agung Suharso dan Ibunda Yuliarti tercinta, yang selalu dan tak henti-

hentinya memberikan do’a dan telah berjuang dengan segala kemampuan baik berupa

materiil maupun spiritual untuk kelancaran studi.

2. Adikku tersayang Dilla atas perhatian dan kasih sayangnya selama ini.

3. Sahabat terbaik Asmah Syahromi, Wuri Widyastuti dan Tri Rahayu, yang telah

memberikan supportnya dengan tulus ikhlas, baik berupa pemikiran dan tenaga yang tak

henti-hentinya membantu tanpa kenal lelah dan sudi menyediakan waktunya untuk

bertukar fikiran selama awal kuliah hingga tersusunnya skripsi ini.

4. teman-temanku, Mardria, Tri Sihono, Nurul Mukti, Septianti nur, Sri Rahayu, Sulastri

Fardani, Ipung HP, dan sahabat-sahabat yang tak mampu saya sebutkan satu-persatu

yang telah membantu saya dalam penyusunan skripsi ini dalam bentuk apapun.

5. Teman-teman seangkatan Jurusan Matematika 2005 yang memberikan support dan

semangatnya.

vii

6. Rochmat Susanto yang telah memberi dukungan dengan tulus ikhlas dan sabar, serta

motivasi-motivasi-nya yang mampu memompa kepercayaan diri untuk terus semagat

dalam menyusun skripsi ini.

7. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu

penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

Mudah-mudahan Allah membalas segalanya yang terbaik dan semoga Allah selalu

melimpahkan kasih-sayangnya terhadap kita semua. Amin.

viii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan

baik. Skripsi dengan judul “Bifurkasi Saddle-Node pada Sistem Dinamik” ini

disusun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (S.Si)

Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta.

Berhasilnya usaha penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari bantuan

berbagai pihak, baik secara moril maupun secara materiil. Untuk itu, sebagai rasa

hormat maka penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada:

1. Bapak Dr. Hartono, selaku Dekan FMIPA UNY yang telah memberikan

kesempatan dan berbagai kemudahan sehingga penulis dapat menyusun

skripsi ini.

2. Bapak Dr. Sugiman, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA

UNY yang telah memberikan ijin dan berbagai kemudahan dalam

penyusunan skripsi ini.

3. Bapak Dr. Agus Maman, selaku Koordinator Progam Studi Matematika

FMIPA UNY yang telah memberikan ijin dan berbagai kemudahan dalam

penyusunan skripsi ini.

4. Bapak Kus Prihantoso, M.Si., selaku Penasehat Akademik dan Pembimbing

Skripsi, yang telah banyak memberikan pengarahan, bimbingan serta

ix

berbagai kemudahan selama menjalani masa kuliah di FMIPA UNY dan

dalam menyusun skripsi ini.

5. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika yang telah memberikan

ilmu-ilmunya kepada penulis.

Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini tidak lepas dari

kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, kritik dan saran dari pembaca sangat

penulis harapkan untuk perbaikan dan penyempurnaan di masa yang akan datang.

Harapan akhir semoga skripsi ini memberikan manfaat bagi penulis sendiri

maupun para pembaca, khususnya mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

Yogyakarta, 03 Agustus 2012

Penulis

Avienta Ika Pratiwi

(05305144016)

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL …………………………………………………... i

HALAMAN PERSETUJUAN ………………………………………… ii

HALAMAN PERNYATAAN …………………………………………. iii

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………… iv

HALAMAN MOTTO ………………………………………….……… v

HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………... vi

KATA PENGANTAR ……………………………………………….. viii

DAFTAR ISI ……………………………………………………...…… x

DAFTAR GAMBAR……………………………………………...…… xii

ABSTRAK………………………………………………..…………… xiii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah ………………………………..……… 1

B. Rumusan Masalah ……………………………………………… 4

C. Tujuan Penulisan ……………………………………………….. 4

D. Manfaat Penulisan ……………………………………………… 4

BAB II LANDASAN TEORI

A. Titik Ekuilibrium ……………………………………………..... 5

B. Pembagian Sistem Dinamik ……………………………………. 6

1. Sistem Dinamik Linear ……………………...………….... 6

a. Nilai Eigen Real dan Berbeda ………………………… 8

b. Nilai Eigen Komplek ………………………………...... 17

xi

LAMPIRAN............................................................................................. 77

c. Nilai Eigen Real Kembar …………………….........…... 28

2. SistemDinamik Non-Linear ………………………........... 32

D. Kestabilan …………………………………………………......... 37

E. Bifurkasi …………………………………………………........... 41

BAB III PEMBAHASAN

A. Bifurkasi pada Sistem Dinamik Orde Satu …............................. 43

B. Bifurkasi Saddle-node pada Sistem Dinamik Dimensi Satu

secara Umum ............................................................……...........

C. Bifurkasi Saddle-node pada Sistem Persamaan Dimensi Dua ....

50

56

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan …………….......…………………………………... 74

B. Saran …………………........……………………………………. 76

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………… 77

xii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Koordinat Kutub …………………….....……….....…….. 21

Gambar 2.2 (a) Titik Ekuilibrium Stabil .................................................

(b) Titik Ekuilibrium Stabil Asimtotik….............................

38

39

Gambar 3.1 Diagram Titik Ekuilibrium Sistem …………. 44

Gambar 3.2 Diagram Bifurkasi …………………………... 47

Gambar 3.3Diagram yang dibatasi titik ekuilibrium ……. 47

Gambar 3.4 Diagram Bifurkasi menggunakan sifat

differensial……………......................................................

49

Gambar 3.5 Diagram Kestabilan Sistem dengan Tiga Nilai Parameter 58

xiii

BIFURKASI SADDLE-NODE PADA SISTEM DINAMIK

oleh

Avienta Ika Pratiwi

05305144016

ABSTRAK

Kestabilan sistem dinamik 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝜇) dengan 𝑥 ∈ ℝ𝑛 dan 𝜇 ∈ ℝ𝑚 ,

mengalami bifurkasi saat bagian real nilai eigen dari Matriks Jacobian 𝐽𝑓 𝑥 bernilai nol. Salah satu contoh bifurkasi adalah bifurkasi saddle-node. Parameter

yang berubah mempunyai pengaruh terhadap keadaan kestabilan sistem dinamik

yang menyebabkan bifurkasi saddle-node dan tidak semua sistem dinamik dapat

mengalami bifurkasi saddle-node.

Pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem dinamik yang

menyebabkan bifurkasi saddle-node dapat diketahui dari bagian real nilai eigen

dari Matriks Jacobian 𝐽𝑓 𝑥 sistem 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 yang menyebabkan perubahan

kestabilan titik ekuilibrium.

Hasil pembahasan menunjukkan bahwa pengaruh perubahan parameter

terhadap keadaan sistem dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node

adalah pada saat 𝜇 > 0. Pengaruh perubahan parameter terhadap keadaan sistem

dinamik yang menyebabkan bifurkasi saddle-node adalah bertambahnya dua titik

ekuilibrium pada sistem jika terdapat titik ekuilibrium sebelum terjadi bifurkasi,

maka sifat kestabilan titik ekuilibrium tersebut tidak berubah setelah terjadi

bifurkasi. Bentuk sistem yang dapat mengalami bifurkasi saddle-node adalah

a) 𝑥 = 𝜇 + 𝑥2 yang memenuhi 𝜕𝑓

𝜕𝜇 0,0 ≠ 0 serta

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2 0,0 ≠ 0 .

b) 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝜇 , 𝑥 ∈ 𝑅1, 𝜇 ∈ 𝑅1

𝑦 = 𝑔 𝑦 , 𝑦 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑔 ∈ 𝐸 ⊆ 𝑅𝑛

Sistem 𝑥 memenuhi syarat poin (a) serta matriks Jacobian dari sistem

𝑦 = 𝑔 𝑦 mempunyai 𝑅𝑒 𝜆𝑖 < 0,∀𝑖. c) 𝑥 = 𝑝2 𝑥, 𝑦 − 𝜇

𝑦 = 𝑦 ± 𝜇 + 𝑞2(𝑥, 𝑦, 𝜇)

memenuhi syarat saat 𝜇 = 0, 𝑦 = ∅(𝑥, 𝜇) merupakan solusi dari persamaan

𝑦 ± 𝜇 + 𝑞2 𝑥,𝑦, 𝜇 = 0 di daerah sekitar titik asal, 𝜓 𝑥 = 𝑝2 𝑥,∅(𝑥) =𝑎𝑚𝑥𝑚 + ⋯ ± 𝜇 dimana 𝑚 ≥ 2 dan 𝑎𝑚 ≠ 0, untuk 𝑚 bilangan genap serta

memenuhi : jika banyaknya titik ekuilibrium saat 𝜇 < 0 adalah 𝑘, dan saat

𝜇 > 0 adalah 𝑙, maka 𝑘 − 𝑙 = 2 dan tidak ada titik ekuilibrium yang

mengalami perubahan kestabilan.

d) 𝑥1 = 𝑓1 𝑥, 𝑦, 𝜇 𝑥2 = 𝑓2 𝑥, 𝑦, 𝜇 Sistem 𝑥1 memenuhi syarat poin (b) dan serta matriks Jacobian dari sistem 𝑥2 mempunyai 𝑅𝑒 𝜆𝑖 < 0, ∀𝑖.