BILANGAN KOMPLEKS

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

x2 1 = 0mempunyai penyelesaian dengan x Rx2 + 1 = 0 x2 = -1Tidak mempunyai penyelesaian jikax RSehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan x2 + 1 = 0 sehingga mempunyai penyelesaian

A. BILANGAN KHAYALBilangan khayal/imajiner didefinisikan sebagai bilangan yang merupakan akar kuadrat dari suatu bilangan negatifMisal : ,

Didefinisikan bahwai =

Bentuk i dinamakan imajinerMaka = . = i

CATATAN : i2 = ( )2 = -1 Sehingga: i5 = i2.i2.i = (-1).(-1).i

B. BILANGAN KOMPLEKS

Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: x + yi atau x + iy, x dan y bilangan real dan i2 = 1.

NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

C. NEGATIF DAN KONJUGAT BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks z :-z (negatif dari z/ lawan dari z)

jika z = x + yi maka -z = - x yi

(bilangan kompleks sekawan dari z)

jika z = x + yi maka = x - yi

D. BIDANG KOMPLEKSBilangan kompleks merupakan pasangan berurut(x,y), sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks z = x + iy = (x, y) juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik (x, y).Contoh : z = 3 2i

xy

z = 3 2i

Negatif dari Bilangan KompleksNilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennyaKonjugat Bilangan KompleksKonjugat dari suatu bilangan kompleks z memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

E. OPERASI ALJABAR

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan KompleksHasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

CONTOH:Diketahui

Perkalian Bilangan KompleksPerkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponenCONTOH:CONTOH:

Pembagian Bilangan Kompleks Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1CONTOH:

Contoh :

KOORDINAT KUTUB

satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskandisebut argumendisebut modulus

Nilai argumen dari z (arg z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2 (sesuai dengan kuadran dimana titik z berada). Sedangkan, nilai utama (principal value) dari arg z ditulis Arg z adalah tunggal. Jadi arg z = Arg z + 2k

Contoh :Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !Jawab :z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45= Jadi z = (cos + i sin ) = cis *

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan PemangkatanTelah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] *

*Cos(1+ 2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2 sin(1+ 2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z z = zn ? *

Jika diketahui:z1 = r1(cos 1 + i sin 1)z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 zn = r1 r2 rn[cos (1 + 2++n) + i sin (1 + 2++n)] . Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.*

Pembagian:Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagaiberikut:Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengansekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), makadiperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 arg z2.*

*Cos(1+ 2)=cos 1cos 2-sin 1sin 2 sin(1+ 2)=sin 1cos 2+cos 1sin 2