Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Építészmérnöki Kar

Szilárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék

Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése

Tézisfüzet

Tamás Ther

Oklevele építészmérnök (2010)

Témavezető:

Kollár László Péter

Budapest, 2017.

Ther Tamás – Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése

1

Tartalomjegyzék

1 Bevezetés ..........................................................................................................2

2 Problémafelvetés ..............................................................................................3

3 Módszer és modellezés .....................................................................................6

Housner ütközési modelljének pontosítása............................................................6

Többelemű oszlopok modellezése .........................................................................9

4 Egyetlen gerjesztett elem felborulása ............................................................. 17

5 Többelemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma .................................. 20

6 Tervezési eljárás billegő oszlopok méretezéséhez .......................................... 21

7 Kitekintés ........................................................................................................ 26

8 Főbb publikációk ............................................................................................ 27

Köszönetnyilvánítás ................................................................................................ 28

Irodalmak ................................................................................................................ 29


2

1 Bevezetés

A történeti falazott szerkezetek sérülékenyek földrengési hatásra. Magyarországon

a 12-19. század között épült templomok falazott falakkal, ívekkel és oszlopokkal

épültek. Több közülük súlyos károkat szenvedett valamely mérsékelt földrengés

során. Példaként említhető az 1956. januárjában megsérült taksonyi Szent Anna

templom, melynek boltozatai beszakadtak az 5,6 magnitúdós dunaharaszti

földrengés során (Szeidovitz 1984). A korabeli képeken jól látható (1. ábra), hogy a

harántívek mozgása olyan nagy volt a rengés során, hogy a boltozati felületek

beszakadtak, az ívek azonban, − bár súlyos sérülések árán, − de állva maradtak.

Ezért falazott szerkezetek földrengésre való vizsgálata esetén mind a szerkezet

állékonysága, mind a gerjesztés közben lajátszódó mozgás vizsgálata szükséges.

Fontos megjegyezni, hogy ezen történeti szerkezeteket nem tervezték földrengésre,

azonban manapság vizsgálni kell őket a várható szeizmikus eseményre.

1. ábra Az összedőlt Szent Anna templom az 1956. január 12-én kipattant

Dunaharaszti földrengés után (Historia Domus 1956)

A kő vagy tégla szerkezetek vizsgálata széleskörben kutatott téma, amelynek alapja

legtöbb esetben a nyomásvonal analízis (lásd Heyman (1966) alapvető írását a

témában). Földrengésre való tervezés esetén azonban az eltolásvizsgálat (Pushover)

nem alkalmazható falazott szerkezeteknél, mivel ezek dinamikai terhelésre

mérethatást mutatnak: minél kisebb a szerkezet, annál sérülékenyebb. Ezt a hatást a

statikai vizsgálat nem tudja figyelembe venni (Housner 1963).


3

Közismert, hogy a rugalmas-képlékeny szerkezetek esetén alkalmazott

válaszspektrum analízis, sem a szerkezet időtörténeti vizsgálata nem alkalmazható

falazott szerkezeteknél, ahol az elemek billegése (az elemek közötti repedések

nyílása és záródása) fontos szerepet játszik a szerkezet nemlineáris mozgása során

(Makris and Konstantinidis 2003), így a szerkezetnek nincs jellemző periódusideje.

Megállapíthatjuk, hogy nincs általánosan elfogadott módszer falazott szerkezetek

dinamikai vizsgálatához.

Értekezésemben három fontos lépést tettem, hogy tervezési eljárást alkossak:

- egyetlen elem billegésének modellezése földrengésre,

- többelemű, merev blokkokból álló oszlop modellezése földrengésre és

- tervezési eljárás fejlesztése billegő szerkezetek vizsgálatához.

2 Problémafelvetés

Egyetlen billegő elem vizsgálata

Housner (1963) több mint fél évszázaddal ezelőtt publikálta klasszikus modelljét

billegő blokk mozgásának modellezésével kapcsolatban. (2. ábra). Meghatározta az

ütközés utáni szögsebesség értékét, ωa-t (2.c ábra) a geometria és az ütközés előtti

szögsebesség értékének, ωb-nek alapján (2.a ábra):

𝜔a = 𝜇Hous𝜔b, 𝜇Hous =2ℎ2 − 𝑏2

2ℎ2 + 2𝑏2

(1)

ahol h és b a vizsgált blokk magasságának és szélességének a fele (2. ábra), μHous a

szögsebességek aránya.

2. ábra Housner billegő blokk modellje

Az egyetlen billegő elem viselkedését számos kutató vizsgálta kísérletek során

(Aslam et al. 1980; Lipscombe and Pellegrino 1993; Anooshehpoor and Brune

2002; Prieto-Castrillo 2007; Ma 2010). Jószerivel minden esetben azt találták, hogy

a kísérletek során az elem kevesebb energiát emészt el az ütközések közben, mint

azt Housner modellje jósolta (2. ábra). Egy saját eredményt mutat be a 3. ábra.


4

3. ábra A billegő elem egy jellemző idő-elfordulás görbéje. A szaggatott jel a

Housner által jósolt mozgás, a folytonos egy kísérleti eredmény.

A fent bemutatott pontatlanság ellenére Housner ütközési modelljét széles körben

alkalmazzák, mivel egyszerű és fizikailag tiszta megoldás. Az ütközési modell

fontos eleme lehet összetettebb szerkezetek földrengési vizsgálatának, ahol a

repedések megnyílhatnak és ütközhetnek a gerjesztés során. Ilyen összetettebb

szerkezetek például a téglából vagy kőből falazott oszlopok, falak és ívek.

Kutatók eltérő magyarázatokat adtak a kísérleti és elméleti eredmények közötti

eltérésre, azonban ésszerű fizikai magyarázat nem született.

Célunk, hogy fizikai magyarázatot adjunk arra, miért becsüli túl Housner modellje

az energiadisszipáció mértékét, valamint, hogy javasoljunk egy új fizikai modellt,

amely jobban igazodik a kísérleti eredményekhez.

Többelemű, merev blokkokból álló oszlop modellezése

A falazott oszlopok fontos szerkezeti elemei a történeti épületeknek. Modellezésük

során figyelembe kell venni a blokkok között lévő hézagok (repedések)

megnyílását és záródását, amelyhez ütközési modell alkalmazása szükséges.

Többelemű oszlopok ütközéséhez az irodalomban csak kevés mechanikai modell

található. Housner bemutatja az egyetlen elem billegését, Psycharis (1990) ezt

kiterjesztve egy kételemű rendszer mozgását írja le. Azonban több mint két

blokkból álló rendszer vizsgálatára vonatkozó modell az irodalomban nem

található.

A többelemű merev blokkokból álló rendszer mozgásának leírására alkalmazható a

Diszkrét elemes módszer (DEM) (Winkler et al. 1995; Psycharis et al. 2000;

Komodromos et al. 2008; DeJong 2009; Tóth et al. 2009; Dimitri et al. 2011;

Lengyel and Bagi 2015). Ez képes kezelni az elemek közötti megnyílást és az

ütközés hatását a felülethez rendelt csillapítási és súrlódási paraméterek megfelelő

beállítása esetén. Ezen módszer alkalmazásával azt a megfigyelést tették, hogy

többelemű oszlopok kevésbé sérülékenyek felborulással szemben, mint az egyetlen

elemből álló oszlopok (Psycharis et al. 2000; Dimitri et al. 2011).


5

Az elérhető végeselemes programok (pl. ANSYS, OpenSees, stb.) alkalmasak

lehetnek a mozgás számítására a deformációk és a nagy geometriai nemlinearitás

figyelembevételével is, azonban ezekhez nem érhető el ütközési és megnyílási

modell.

Célunk, hogy fejlesszünk egy, a merev elemeket kevés szabadságfokkal leíró, stabil

számítási modellt, amely többelemű oszlopok mozgását számolja földrengési

gerjesztés esetén.

Tervezési eljárás billegő szerkezetek vizsgálatához

Adott elem felborulással szembeni biztonságának értékeléséhez a felborulási görbét

(Overturning Curve – OC) Housner (1963) mutatta be egy fél szinusz és egyetlen

négyszögjelre. Később további kutatók további jelek esetére (Ishiyama 1982;

Augusti and Sinopoli 1992; Anooshehpoor et al. 1999; Makris and Vassiliou 2012;

Dimitrakopoulos and DeJong 2012; Voyagaki et al. 2013) valamint harmonikus

gerjesztésre (Spanos and Koh 1985; Hogan 1992) is meghatározták a felborulási

görbéket. Vizsgálták az elemek felborulását földrengési gerjesztés esetén is

(Ishiyama 1982; Makris and Konstantinidis 2003; Peña et al. 2006; Peña et al.

2007; DeJong 2012; Makris and Vassiliou 2012; Voyagaki et al. 2013). Makris és

Vassiliou (2012) megmutatta, hogy a törésvonalhoz közeli (Near Field – NF)

földrengések hatása helyettesíthető egy megfelelő hosszúságú impulzusjellel. Ther

és Kollár (2017a) megmutatta, hogy a gerjesztő jel kitöltöttsége és a fő impulzust

követő jelnek nagy szrepe van a felborulási görbe alakjában.

4. ábra A billegő elem geometriája (az elem karcsúsága: H/B=cotδ, az elem

tehetetlenségi nyomatéka a sarokpont körül 𝛩 =4

3𝑅2𝑚, ahol m a teljes tömeg)

Adott elemre és adott gerjesztő jelre (pl. fél szinusz jel) a felborulási görbe úgy

definiálható, mint a biztonságos és nem biztonságos területek határának görbéje az

ap, tp koordináta rendszerben, ahol ap a gyorsulási jel maximális amplitúdója, tp a jel

időtartama (5.a ábra). Ha ap<ap,min az elem nem mozdul meg, ahol (4. ábra)

𝑎p,min = 𝑔 tan 𝛿 (2)


6

és g a nehézségi gyorsulás. Teljes szinusz jel esetére és három fél szinuszból álló

jel esetére mutat példát az 5.b-c ábra (tp a fél szinusz időtartama).Mindhárom ábrán

látható, hogy adott elemnél mind a rövid, de nagy intenzitású, mind a hosszú és

kicsiny intenzitású jel okozhat felborulást.

5. ábra Egyetlen elem felborulási görbéi fél szinusz jel (a), teljes szinusz jel (b) és három

fél szinusz jel esetén (c).

Tervezési eljárást kívánunk alkotni billegő oszlopok földrengési biztonságának

meghatározásához. Meg szeretnénk határozni azokat a tervezési paramétereket

(vagy görbéket) amelyek segítségével a billegő oszlop felborulása vagy állva

maradása megjósolható. Javaslatot szeretnénk adni a földrengés hatásának kevés

paraméterrel való jellemzésére billegő szerkezetek esetén olyan módon, hogy a

billegő oszlop időtörténeti vizsgálatának eredménye és a javasolt módszer

egymással jó egyezést adjon a biztonság javára.

3 Módszer és modellezés

Housner ütközési modelljének pontosítása

Első lépésként Housner ütközési modelljén egy egyszerű változtatást hajtunk végre.

Feltételezve, hogy a blokk vagy az alap felülete nem tökéletesen sima, egy

közbenső ütközési pontot (egy közbenső szemcsét) tételezünk fel a záródó felületek

között (6.a ábra). Ebben az esetben a billenés során két egymást követő ütközés

játszódik le. Az A pont körül forduló elem először C pontban, majd egy második

ütközésként az ellentétes sarokponton (B) ütközik.

Amennyiben a felület kiszögellése (a szemcse) kicsiny, a két ütközés között eltelt

idő is kicsi, azonban az ütközések után az elem szögsebessége nagyobb, mint amit

Housner modellje jósol.


7

Amennyiben két közbenső kiszögellés van (6.b ábra), a billenés során három

ütközés történik, ha n kiszögellés (amelyek konvex felületet adnak), a billenés

során n+1 ütközés zajlik le (6.c ábra). Amennyiben a kiszögellések száma végtelen,

az elem „gördül” és a billenés közben elemésztett energia nulla.

6. ábra Billegő elemek: egyetlen kiszögellés középen (a), két kiszögellés (b),

számos kiszögellés (c)

Azt feltételezzük, hogy Housner modellje azért jósol nagyobb energiaveszteséget,

mert a valóságban a billegő elem nem tisztán a sarkain ütközik (7.b ábra), hanem a

felület egyenetlenségei miatt közbenső kiszögelléseken is (7.c ábra).

7. ábra Housner modelljének és a feltételezett viselkedés modelljének

összehasonlítása.

Hogy a fenti feltételezést igazoljuk, laborkísérleteket hajtottunk végre. Két

különböző karcsúságú gránit hasábot készíttettünk, ahogy a 8. ábra mutatja.

Mindkét hasáb billegő mozgását vizsgáltuk négy különböző kísérleti beállításban.

Az egyszerű billegő mozgáson túl (9.a ábra), a hasábokhoz erősített drótokon való

billegést is vizsgáltuk (9.b-d ábra).

A b és d beállításban két ütközés játszódik le a billenés során, míg a c beállításban a

drótok biztosítják, hogy pontosan egyetlen ütközés történhessen.


8

8. ábra A kísérleti hasábok képe és méretei

9. ábra Az alkalmazott kísérleti beállítások

A kísérleti eredmények egy jellemző eredménye látható a 10. ábrán. Az a

beállításnál látható, hogy az eredeti Housner modell túlbecsüli az ütközések során

elnyelt energiát, míg egy közbenső ütközési pontot feltételezve a megoldás a

biztonság javára tévedve alábecsüli azt (10. ábra).

10. ábra Egy kísérleti eredmény az a beállítás esetén. A blokk karcsúsága 3.7

A feltételezést az irodalomban fellelhető egyéb kísérleti eredményekkel is

összevetettük (Ogawa (1977); Aslam et al. (1980) and Prieto-Castrillo (2007)). A

11. ábra mutatja ezen eredményeket: a szaggatott vonal az általunk javasolt

modellhez tartozó görbe, amikor egy plusz ütközés játszódik le a felület közepén.


9

11. ábra Az irodalomban megtalálható kísérleti eredmények összehasonlítása a

klasszikus Housner modellel és az általunk javasolt modellel.

1. Tézis Fizikai magyarázatot adtam a Housner által közölt modell és

a kísérleti eredmények ellentmondására: az ütközés nem tisztán az

elem sarkain történik, hanem a felületi egyenetlenségekből

következően több ütközésként játszódik le. [1,2,3]

1.1 A feltételezést gránit blokkokon elvégzett kísérletekkel

igazoltam. Abban az esetben, amikor az elemre ragasztott két

drót meghatározta az ütközések helyét, a kísérleti eredmények jó

egyezést adtak Housner modelljével, és kisebb disszipációt

eredményeztek három drót esetén, vagy drótok nélkül. [2]

1.2 Számításokhoz javasoltam az ütközési modell módosítását két

egymást követő ütközés figyelembevételével, ahol az első

ütközés a keresztmetszet közepén, a második a keresztmetszet

szélén következik be. Ez a modell jó egyezést mutat az

irodalomban közölt kísérleti eredményekkel (Ogawa 1977;

Aslam et al. 1980; Prieto-Castrillo 2007). [2]

Többelemű oszlopok modellezése

Feltételezzük, hogy az oszlop merev blokkokból áll és a rendszer mozgását az

egyes hézagoknál létrejövő elfordulások adják. A következőkben új ütközési és

megnyílási modellt mutatunk be.


10

A mechanikai modell

A merev blokkokból álló oszlop mozgása a hézagoknál létrejövő elfordulásokból

adódik. Két szomszédos elem közötti hézag lehet zárt (12.a ábra, a blokkok együtt

mozognak), vagy lehet nyitott az óramutató járásával megegyező (12.b ábra) és

azzal ellentétes irányban (12.c ábra).

12. ábra Egy hézag lehetséges állapotai (zárt (a), nyitva az óramutató járásával

megegyező (b) és azzal ellentétes irányban (c))

Mivel az állapotok közül egyszerre csak az egyik jöhet létre, a rendszer minden

lehetséges állapotát figyelembe kell venni. Modellünk egyik kulcs eleme, hogy a

két elem közötti zárt repedéseknél mind az óramutató járásával megegyező, mind

az azzal ellentétes elfordulások figyelembe vannak véve, ugyanakkor a következő

geometriai kényszereknek teljesülniük kell:

�̌�i ≤ 0, �̂�i ≥ 0.

(3)

Ütközések és megnyílások között a mozgás során a három lehetséges állapot közül

(12. ábra) minden hézag csak az egyik állapotban lehet, így minden �̌�i – �̂�i pár

közül legfeljebb az egyik lehet nemnulla (13.c ábra).

A rendszer mozgási egyenletei a következő módon írható fel:

𝐌c�̈� = 𝐦, (4)

ahol �̈� az elfordulások vektorának idő szerinti második deriváltja, m a tehervektor

Mc a rendszer tömegmátrixa.

A többelemű rendszer földrengési válaszának meghatározásához a következő

három feladatot kell megoldani:

1) (4) egyenlet megoldása adott megnyílási alakra,

2) egy repedés záródásakor az ütközés figyelembevétele és

3) a rendszer megnyílásainak meghatározása.


11

13. ábra A rendszer szabadságfokai. Egy három elemű oszlop lehetséges

megnyílási alakja (a), az elvileg lehetséges megnyílások (b) és a nulla és nemnulla

elfordulások (c)

Az ütközési modell

Amikor egy repedés záródik, ütközés következik be. Egy példát mutat be a 14.

ábra, ahol az ütközés a harmadik hézagnál jön létre. Tegyük fel, hogy az első

repedés zárva marad az ütközés után, míg a harmadik és negyedik megnyílik. A

repedések szögsebesség-változása a következő módon írható fel:

{

∆�̇̌�2�̇̌�3�̇̂�4∆�̇̂�5}

= [

𝑚2,2 𝑚2,3 𝑚2,9 𝑚2,10

𝑚3,2 𝑚3,3 𝑚3,9 𝑚3,10

𝑚9,2 𝑚9,3 𝑚9,9 𝑚8,10

𝑚10,2 𝑚10,3 𝑚10,9 𝑚10,10

]

−1

{

𝑚2,8

𝑚3,8

𝑚9,8

𝑚10,8

} (−)�̇̂�3. (5)

ahol mij az Mc tömegmátrix elemei.

14. ábra A rendszer megnyílási alakja az ütközés előtt (a), az ütközés során (b) és

az ütközést követően (c).


12

A 3. és a 4. repedés újként nyílik meg, így ezeknél a szögsebesség változása az új

szögsebességgel lesz egyenlő, míg a 2. és 5. repedések - amelyek az ütközés előtt

és után is nyitva vannak - szögsebességeinek változását az (5) egyenlet adja meg.

A valóban létrejövő megnyílási alak meghatározása nem egyszerű feladat. Több

esetben azt találtuk, hogy a triviálisnak tűnő megnyílási alak fizikailag lehetetlen

megoldást ad. Ezért az összes lehetséges megnyílási alak vizsgálatát el kell

végezni.

Feltételezzük, hogy a rendszerben a zárt repedések száma az ütközés előtt nzárt.

Közülük mindegyik maradhat zárt, vagy megnyílhat az óramutató járásával

megegyező vagy ellentétes irányba az ütközés pillanata után. Ez alapján az összes

lehetséges megnyílási alak száma

2 × 3𝑛zárt . (6)

15. ábra Egy rendszer lehetséges megnyílási alakjai ütközés után (nzárt=1)

A következő megoldási stratégiát javasoljuk:

- minden lehetséges megnyílási alak esetében meg kell határozni az ütközés utáni

szögsebesség-változásokat,

- kidobni azokat a megnyílási alakokat, ahol az elmozdulások fizikailag

lehetetlen megoldást adnak ((3) egyenlet),

- amennyiben több, mint egy fizikailag lehetséges megoldás van, azt választjuk,

ahol a rendszer mozgási energiája a legnagyobb (𝐸kin =1

2�̇�T𝐌c�̇�), vagyis,

ahol az ütközés során elemésztett energia a legkisebb.


13

Az ütközési modellünket Psycharis (1990) kételemű modelljének eredményeivel

verifikáltuk.

Megnyílási modell

Amikor egy, vagy több hézagnál az erő külpontossága eléri a keresztmetszet szélét,

a repedés megnyílik. A megnyílt repedéssel megváltozik a rendszer megnyílási

alakja, így az új geometriával kell a rendszer mozgásait számolni ((4) egyenlet).

Jó stratégiának tűnhet, hogy azt a repedést nyitjuk meg, ahol a külpontosság a

legnagyobb, vagy minden olyan repedést megnyitunk, ahol a külpontosság eléri a

keresztmetszet szélét. Numerikus vizsgálataink közben azt találtuk, hogy ez a

stratégia hibás eredményre vezethet. A 16. ábra egy megnyílási probléma 8

lehetséges kimenetelét ábrázolja, amelyek közül azonban a 16.e ábra szerinti

megnyílás jön létre.

16. ábra Egy kételemű oszlop lehetséges megnyílásai.

Amikor a zárt repedések száma (nzárt) nem nagy, a megnyílási probléma

megoldására a következő stratégiát alkalmazzuk:

- meghatározzuk az összes lehetséges megnyílási módot (3𝑛zárt − 1),

- kiválasztjuk azokat, amelyeknél az elmozdulások az első időlépésben a

geometriával kompatibilisek és

- amennyiben több kinematikailag lehetséges megoldás adódik, azt választjuk,

ahol a mozgási energia a legnagyobb.

Többelemű oszlop dinamikai modellje

Számos megbízható numerikus módszer van a (4) egyenlet megoldására, itt a

Wilson-féle módszert alkalmazzuk (Chopra 1995). Az időtörténeti vizsgálat

minden egyes időlépésében három feltételt vizsgálunk:


14

- minden zárt repedésnél a normálerő külpontossága a keresztmetszeten belül

kell, hogy legyen,

- minden megnyílt repedésnél teljesülnie kell a (3) feltételeknek,

- minden repedésnél az N normálerő nyomás kell, hogy legyen és 𝜇𝑁 ≥ |𝑉|, ahol

𝜇 a tapadási súrlódási együttható és V a fellépő nyíróerő.

Ha ezek közül bármelyik nem teljesül, az időtörténeti vizsgálat leáll. Első esetben

egy (vagy több) zárt repedésnek kell megnyílnia, a második esetben ütközés

következik be, míg a harmadik esetben az oszlop elemei szétválnak és a teljes

számítás leáll.

Az ütközési és megnyílási modell kísérleti igazolása

Két gránitból készült hasábot helyeztünk egymásra (17. ábra). A felső elemet egy

kilendített nyugalmi helyzetből elindítottuk és az egyes elemek elfordulásait x-IMU

szenzorokkal rögzítettük. A mért és szimulált elfordulásokat mutatja a 18. ábra.

17. ábra A kilendített kísérleti rendszer


15

18. ábra A kételemű rendszer mért (a) és szimulált (b) elfordulásai.

A mért és a számított elfordulások igen közel vannak egymáshoz. Továbbá a

megfigyelt és szimulált megnyílási alakok és ütközési kimenetelek egymással

megegyeznek a mozgás során.

Gerjesztett többelemű rendszer

Egy három gránit hasábból álló oszlop gerjesztett mozgását vizsgáltuk (19. ábra).

A rendszert a rázóasztalon egy 0.6 s periódusidejű és 45 mm amlitúdójú sinus jellel

gerjesztettük. Az egyes elemek és a rázóasztal mozgását Full HD kamerával

rögzítettük. Az elemek elfordulásait és a gerjesztő gyorsulást egy általunk

fejlesztett képfelismerő algoritmus segítségével határoztuk meg. Egy jellemző

kísérleti eredményt mutat a 20.a ábra.

A 20.b ábra mutatja a háromelemű rendszer számított elfordulásait. A kísérletivel

egyező megnyílási alakokat figyelhetünk meg a mozgások során. A kísérleti és

numerikus eredmények elfogadható egyezést mutatnak.


16

19. ábra Háromelemű kísérleti elrendezés

20. ábra A gerjesztett rendszer kísérleti (a) és numerikus (b) eredményei


17

2. Tézis Új ütközési modellt fejlesztettem, amelynek segítségével

számítható 2D-s, többelemű oszlopok ütközése során az elemek

szögsebességének változása. A probléma felírásának kulcsa, hogy a két

elem közötti zárt repedéseknél mind az óramutató járásával

megegyező, mind az azzal ellentétes elfordulások figyelembe vannak

véve, annak ellenére, hogy ezen mozgások kizárják egymást. Egy és

két elem esetén a modell visszaadja Housner (1963) és Psycharis

(1990) modelljeit. [1,4]

3. Tézis Modellt alkottam ütközés során lehetségesen létrejövő

megnyílási módok vizsgálatára. A kinematikailag lehetséges

megnyílási mód kiválasztása az ütközés utáni szögsebességek előjele

alapján történik. Több lehetséges megnyílási mód esetén azt a módot

választjuk, ahol az ütközés utáni mozgási energia a legmagasabb (az

energiaveszteség a legkisebb). A modell helyességét kísérletekkel

igazoltam. [4]

4. Tézis Megmutattam, hogy ha az alapján nyitjuk meg a repedést, ahol

a nyomásvonal kilóg a keresztmetszetből, numerikusan instabil

megoldást is kaphatunk. Modellt alkottam, amely megvizsgálja a

többelemű oszlop egyes megnyílási módjait. A kinematikailag

lehetséges megnyílási mód a megnyílás utáni szögsebességek előjele

alapján történik. A modell helyességét kísérletekkel igazoltam. [4]

5. Tézis Új modellt fejlesztettem többelemű, billegő mozgást végző,

merev blokkokból álló oszlopok számítására, amely tartalmazza az új

ütközési és megnyílási modellt, valamint az 1.2 altézisben ismertetett

továbbfejlesztett Housner modellt. [1,4]

5.1 A modell helyességét kísérletekkel igazoltam.

4 Egyetlen gerjesztett elem felborulása

Felborulási gyorsulási spektrum

Egyetlen fél szinusz jellel gerjesztett, adott karcsúságú elem normált felborulási

görbéjét (Housner 1963) mutatja a 21.a ábra. Mindkét tengely dimenziótlan: a

függőleges tengelyt ap,min-nel ((2) egyenlet), míg a vízszintes tengelyt az un.

frekvencia paraméterrel, amelyet Housner (1963) a következő módon definiált:


18

𝑝 = √𝑚𝑅𝑔

𝛩= √

𝑔

𝛼𝑅, 𝛼 =

4

3,

(7)

ahol Θ a blokk tehetetlenségi nyomatéka egy sarokpontja körül (4. ábra), m az elem

teljes tömege, R a forgópont és a tömegközéppont távolsága és g a nehézségi

gyorsulás.

21. ábra Egyetlen elem fél sinussal való gerjesztéséhez tartozó normált

felborulási görbe (a). A felborulási görbe (b) mutatja a jel hosszának hatását, míg

a felborulási gyorsulási spektrum mutatja az elem méretének hatását (c).

A 21.c ábra elnevezése felborulási gyorsulási spektrum (Overturning Acceleration

Spectra - OAS), ahol a vízszintes tengelyen csak az elem méretének hatása jelenik

meg, a gerjesztő jel periódusideje nem.

Egyetlen elem felborulási gyorsulási spektruma földrengési gerjesztés esetén

Földrengési jelekre a felborulási gyorsulási spektrum az a görbe, amely elválasztja

egymástól a biztonságos és nem biztonságos területeket az 𝑎p/𝑎p,min, p

koordinátarendszerben (adott csúcsgyorsulású földrengésre adott méretű elem

felborul-e, vagy sem). Egy példát mutat a 22.a ábra. A földrengési jelek

összetettsége számos „öblöt” és „félszigetet” eredményez a spektrumon a nem

biztonságos zónán belül. A vízszintes tengely dimenziója 1/sec.

A transzformált OAS-t úgy definiáljuk, hogy a felborulási gyorsulási spektrum

(23.a ábra) vízszintes koordinátáit ap/ap,min-nel megszorozzuk. Egy földrengési jel

esetén az eredményt a 23.b ábra mutatja, ahol


19

𝑓 = 𝑝

𝑎𝑝

𝑎𝑝,min . (8)

22. ábra Egyetlen elem felborulási gyorsulási spektruma (a felborulást pöttyök

jelölik) (a) az 1994-es Northridge-i földrengés NORTHR/MUL009 rekordjára (b)

23. ábra Az OAS (a) és a transzformált OAS (b) egy földrengési jel esetén

(Northridge – 1994, North/MUL009 komponens)


20

5 Többelemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma

A fentebb ismertetett dinamikai program segítségével vizsgáltuk 2 és 3 elemű

oszlopok viselkedését is. Egy H=12 m magas, B=1 m széles, szinusz jellel

gerjesztett oszlop eredményeit mutatja a 24. ábra. Az ábrákon a szerkezet

felborulását az ap-tp síkon ábrázoltuk. Látható, hogy a többelemű oszlopok jó

közelítéssel kevésbé sérülékenyek, mint az egyetlen elemből álló oszlop.

24. ábra Az 1, 2 és 3 elemből álló oszlop (H=12 m, B=1 m) felborulási térképe teljes sinus

jellel való gerjesztés esetén. A felborulást pöttyök jelölik.

Földrengési gerjesztés esetén az energiaelnyelés hatását mutatja a 25. ábra. Három

eltérő esetet vizsgálunk:

1) 1 ütközés, amely azonos a Housner által javasolt modellel (7.b ábra),

2) 2 ütközés a záródás közben, amely az általunk javasolt modell (7.c ábra),

3) 10 ütközés a záródás közben, amely praktikusan nem jár energiaveszteséggel,

így az elemek „gördülnek” egymáson.

Fontos megjegyezni, hogy az 1, 2 és 10 ütközés is pillanatszerűen játszódik le.


21

25. ábra Az 1, 2 és 3 elemű oszlopok felborulási gyorsulási spektruma eltérő

energiaelnyelés esetén. A gerjesztő jel az 1992-es Erzican földrengés NS

komponense.

Megállapíthatjuk, hogy minél kisebb az energiaveszteség, annál sérülékenyebb a

szerkezet.

Megfigyelhetjük, hogy minél több elemből áll a szerkezet, az energiaelnyelés

mértékének annál nagyobb hatása van. Ennek magyarázata, hogy a zömökebb

alkotóelemek energiavesztesége az ütközések során nagyobb, mint a karcsúbb

elemeké (Housner 1963). Az is világosan látható, hogy az energiadisszipáció hatása

földrengési jeleknél sokkal nagyobb jelentőséggel bír, mint egyszerű jelekkel való

gerjesztés esetén. A földrengési gerjesztés ugyanis jóval hosszabb, így több

ütközést eredményez, mint az egyszerű jelek.

5.2 Oszlopok impulzus-szerű jelekre és földrengési gerjesztésre való

vizsgálata alapján megállapítottam, hogy a monolitikus (egy

elemből álló) oszlopok sérülékenyebbek a felborulási

tönkremenetellel szemben, mint a többelemű oszlopok. [4]

5.3 Úgy találtam, hogy monolitikus oszlopokkal szemben a

többelemű oszlopok esetén az ütközések során elemésztett energia

mértéke még karcsú oszlopok esetén is fontos hatásként

jelentkezik. [4]

6 Tervezési eljárás billegő oszlopok méretezéséhez

Egyetlen elemből álló (monolitikus) oszlopot vizsgálunk, mivel a fentiekben

ismertetett módon a többelemű oszlopok kevésbé sérülékenyek felborulással

szemben.


22

A módszerünk alkalmazhatóságát numerikus időtörténeti vizsgálatokkal

támasztottuk alá. Gerjesztő jelként 56 törésvonalhoz közeli (Near Field - NF) és 44

törésvonaltól távoli (Far Field - FF) rekordot használtunk a FEMA P695 (2009)

ajánlása alapján. Összesen négy eltérő karcsúságú elemet vizsgáltunk (H/B=3, 5, 8

és 12), 80 különböző mértékű csúcsgyorsulású jelre (ap,min-től az ap,min tízszereséig)

és 120 különböző elemméretre (Rmax=1000 m-től Rmin=0.1 m-ig). A vizsgálatok

során a legnagyobb, még állva maradó elemméretet kerestük adott

csúcsgyorsuláshoz.

Karakterisztikus felborulási gyorsulási spektrum

Adott földrajzi helyen meghatározhatunk tetszőleges számú földrengési rekordból

származó OAS-t (26. ábra) és a görbesereg statisztikai kiértékeléséből adott

túllépési valószínűséghez meghatározható a karakterisztikus OAS. Ezen görbe

meghatározása nem témája a dolgozatnak, csak elméleti görbét ábrázol a 26. ábra.

Itt, és a későbbiekben is megfelelően nagy karcsúságú elemek (H/B=12)

földrengési válaszából határozzuk meg a görbéket, így az eredmények a zömökebb

elemekre is alkalmazhatók.

26. ábra Adott helyen meghatározott OAS-ok és a karakterisztikus OAS

Egyszerűsített felborulási gyorsulási spektrum


23

Célunk olyan OAS előállítása, amely kevés paraméterrel meghatározható. Ehhez

tekintsük a transzformált OAS-t (23.b ábra). Valós földrengésekhez a vizsgált

esetekben egy fmin-nél meghúzott függőleges vonal jó közelítésnek bizonyul. Ezt

mutatja a 23.b ábra.

Javaslatunk szerint a transzformált OAS jól helyettesíthető egy függőleges és egy

vízszintes egyenessel, ezt nevezzük egyszerűsített transzformált OAS-nak. (27.b

ábra, piros szaggatott vonal). A függőleges egyenes helyét a normált kritikus

impulzus függvényeként kapjuk:

𝑓𝑚𝑖𝑛 =𝑖cr𝑡I=1

𝑡I√

2

1 + cos 𝛿≈1

𝑡I,

(9)

ahol tI a helyettesítő impulzus időtartam. Értékét minden egyes földrengéhez

numerikusan kell meghatározni.

27. ábra A Northridge földrengéshez tartozó OAS (a) és a transzformált OAS (b)

összehasonlítása a javasolt egyszerűsített görbékkel (tI=0.27, tI' =0.40, β=2.39)

Közelíthetjük a transzformált OAS-t függőleges egyenes helyett egy ferde

egyenessel, amely definiálásához két paraméter szükséges: tI' és az egyenes

meredeksége, β.

tI alkalmazásával az egyszerűsített OAS a következő módon számítható (Eq. (8)):

𝑎𝑝

𝑎𝑝,min= max {

𝑖cr𝑡I

1

𝑝, 1} ≈ max {

1

𝑡I

1

𝑝, 1}. (10)


24

Jobb burkoláshoz alkalmazhatjuk a függőleges egyenes és a ferde egyenes

burkolóját:

𝑎𝑝

𝑎𝑝,𝑚𝑖𝑛= max {

1

𝑡I

1

𝑝;1

𝑡′I

1

𝑝 − 1/𝛽; 1}. (11)

Javaslatunk szerint billegő oszlopok vizsgálatánál a földrengések két paraméterrel

jellemezhetők: ap és tI.

A vizsgált 100 földrengés esetére meghatároztuk tI, tI’ és β értékeit.

A helyettesítő impulzus időtartam

Érdemes a fent ismertetett helyettesítő impulzus időtartam értékét összevetni a

földrengési jel fő impulzusának időtartamával. Ehhez a földrengések gyorsulási

rekordjait vizsgáltuk meg az alábbiak szerint.

A felborulást vagy a nagy gyorsulás (amax) vagy nagy impulzus okozza (Imax). A

földrengési rekord maximális értékekhez tartozó impulzusait a 28.a ábra kitöltött

részei mutatják. (A két maximális értékhez tartozó rész egybeeshet.) Hogy mindkét

hatást figyelembe tudjuk venni, meghatározunk egy fél sinus jelet ezen amax és Imax

alapján (28.b ábra). A jel kitöltöttsége legyen F=0.64, és időtartama:

28. ábra Egy földrengési gyorsulás rekordnál az amax és Imax értelme (a), és a

származtatott fél sinus jel (b). A rekord: 1979, Imperial Valley – Bonds

Corner/140 (NF-3)

Megvizsgáltuk a tI és tp közötti korrelációt (29. ábra), és magas korrelációt találtunk

mind NF, mind FF rekordok esetén. Érdekes módon lineáris regresszió becslése

során 𝑡I ≈ (0.8 ÷ 1)𝑡𝑝.

𝑡𝑝 =

𝐼𝑚𝑎𝑥𝐹𝑎𝑚𝑎𝑥

. (12)


25

29. ábra Az összetartozó tI és tp értékek FF (a) és NF (b) rekordoknál. A

korrelációs együtthatók 0.72 és 0.90

6. Tézis A felborulási görbét kiterjesztettem földrengési jelek esetére

és bevezettem a felborulási gyorsulási spektrumot. Adott földrajzi

helyre, billegő szerkezetek számos földrengési jelre végrehajtott

időtörténeti vizsgálata alapján statisztikailag meghatározható egy

karakterisztikus felborulási-gyorsulási spektrum. [3,5]

6.1 100 eltérő földrengési jel vizsgálata alapján azt találtam, hogy a

földrengések felborulási-gyorsulási spektruma jól jellemezhető

egyetlen paraméterrel, a helyettesítő impulzus időtartammal.

Megmutattam, hogy a helyettesítő impulzus időtartam és a

földrengési jel legnagyobb impulzusának időtartama közötti

korreláció magas. [5]

6.2 Egyszerű tervezési egyenletet ajánlottam földrengéssel gerjesztett

billegő szerkezetek felborulással szembeni biztonságának

meghatározására. [5]


26

7 Kitekintés

Modellünk kiterjesztéseként többelemű, 2D ívek vizsgálatát szeretnénk elvégezni.

Az irodalomban az ív viselkedését jellemzően négycsuklós mechanizmusként

(egyszabadságfokú rendszerként) vizsgálják impulzus szerű jelekre és földrengési

rekordokra (De Lorenzis 2007; DeJong et al. 2008; DeJong 2009).

Előszámításaink alapján ugyanakkor ívek földrengési gerjesztése során mozgó

ívnél a megnyíló repedések helye változik, és ez nagyban befolyásolja a szerkezet

válaszát. Ezt a kérdést szeretnénk a továbbiakban körül járni és ívek esetében is

meghatározni a felborulási gyorsulási spektrumokat.


27

8 Főbb publikációk

A tézisek témájában íródott publikációk

[1] Ther T, Kollár LP. Response of Masonry Columns and Arches Subjected

To Base Excitation. In: Ansal A, editor. Second European Conference on

Earthquake Engineering and Seismology, Istanbul: 2014. DOI:

10.13140/2.1.3314.2086.

[2] Ther T, Kollár LP. Refinement of Housner’s model on rocking blocks.

Bulletin of Earthquake Engineering 2017; 15(5): 2305–2319. DOI:

10.1007/s10518-016-0048-8.

[3] Ther T, Kollár LP. Refinement of Housner’s model and its application for

the overturning acceleration spectra. 16th World Conference on Earthquake

Engineering, Santiago, Chile: 2017.

[4] Ther T, Kollár LP. Model for Multi-Block Columns Subjected to Base

Excitation. Earthquake Engineering & Structural Dynamics 2017. DOI:

10.1002/eqe.2957 (megjelenés alatt)

[5] Ther T, Kollár LP. Overturning of rigid blocks for earthquake excitation.

Bulletin of Earthquake Engineering 2017. (bírálat alatt)

Egyéb publikációk

[6] Ther T, Sajtos I, Armuth M, Strommer L. Ribbed vaults of the

Nagyvázsony monastery church – Geometrical factor of safety highlights the

secret. Periodica Polytechnica Architecture 2010; 41(1): 3. DOI:

10.3311/pp.ar.2010-1.01.

[7] Ther T, Sajtos I. Horizontal Load Resistance of Ruined Walls, Case Study

of a Hungarian Castle with the Aid of Laser Scanning Technology. CAADence in

Architecture, Back to command, 2016. DOI: 10.3311/CAADence.1639.

[8] Kollár LP, Csuka B, Ther T. Simplified design of concentrically loaded

reinforced concrete columns. Structural Engineer 2014; 92(7): 48–58.

[9] Ther T, Kollár LP. Ívhatás vasbeton gerendákban (in Hungarian),

Vasbetonépítés: A FIB Magyar Tagozat Lapja 2011; 13(3): 69–71.

[10] Visnovitz G, Erdélyi T, Ther T. Földrengés vagy szélvihar: melyik a

mértékadó? (in Hungarian), Vasbetonépítés: A FIB Magyar Tagozat Lapja 2009;

11(4): 124–128.


28

Köszönetnyilvánítás

Hálásan köszönöm témavezetőm, Kollár László kitartó, türelmes és higgadt

vezetését, hogy a zsákutcákból mindig kijutottunk és mindig megtaláltuk a közös

hangot a folytatáshoz.

Köszönöm feleségemnek, Zsuzsinak, hogy támogatott, bátorított és elviselt, mikor

már inkább hagytam volna az egészet. Ugyanígy köszönöm szüleimnek, és

testvéreimnek is a mellettem állást.

Köszönöm tanszéki munkatársaimnak, különösen is Sipos Andrásnak, Sajtos

Istvánnak, Várkonyi Péternek és Baranyai Tamásnak, hogy mindig fordulhattam

Hozzájuk, akár ostoba kérdésekkel is.

Köszönöm az OTKA-s kutatócsoportunk tagjainak, Pap Zsuzsinak, Joó Attilának és

Zsarnóczay Ádámnak az építő kritikát és támogatást. Ádámnak külön köszönöm a

türelmes okítást, amellyel segített belepillantanom valamelyest az OpenSees

programozásába és Superman világába, valamint sok segítségét az elkészült cikkek

átnézésében.

Köszönöm Sebestyén Ottó sokszori segítségét, hogy közösen életet leheltünk a

rázóasztalba és Juhász Károly Péternek a laborkísérletek végrehajtásához nyújtott

támogatását.

Köszönöm Barsi Árpád segítségét a képfelismerő algoritmus megalkotásához.

Végül, de nem utolsó sorban, köszönöm Armuth Miklósnak és Hegyi Dezsőnek,

hogy a hosszúra nyúlt doktorandusz lét ideje alatt szakértési és tervezési feladatok

révén segítettek, hogy családomat eltarthattam.

A szerző hálásan köszöni az Országos Tudományos Kutatási Alapprogramok -

OTKA 115673 pályázat - támogatását és a TÁMOP - 4.2.2.B-10/1- 2010-0009

projekt támogatását a BME Szuperszámítógépének használatáért.


29

Irodalmak

Anooshehpoor A, Brune JN (2002) Verification of precarious rock methodology using shake

table tests of rock models. Soil Dyn Earthq Eng 22:917–922. doi: 10.1016/S0267-

7261(02)00115-X

Anooshehpoor A, Heaton TH, Shi B, Brune JN (1999) Estimates of the ground accelerations

at Point Reyes Station during the 1906 San Francisco earthquake. Bull Seismol Soc

Am 89:845–853.

Aslam M, Godden WG, Scalise DT (1980) Earthquake Rocking Response of Rigid Bodies. J

Struct Div 106:377–392.

Augusti G, Sinopoli A (1992) Modelling the dynamics of large block structures. Meccanica

27:195–211. doi: 10.1007/BF00430045

Chopra AK (1995) Dynamics of Structures. „Theory and applications to earthquake

engeneering”. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey

De Lorenzis L (2007) Failure of masonry arches under impulse base motion. Earthq Eng

Struct Dyn 36:2119–2136. doi: 10.1002/eqe

DeJong M (2009) Seismic assessment strategies for masonry structures.

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY

DeJong MJ (2012) Amplification of Rocking Due to Horizontal Ground Motion. Earthq

Spectra 28:1405–1421. doi: 10.1193/1.4000085

DeJong MJ, De Lorenzis L, Adams S, Ochsendorf JA (2008) Rocking stability of masonry

arches in seismic regions. Earthq Spectra 24:847–865. doi: 10.1193/1.2985763

Dimitrakopoulos EG, DeJong MJ (2012) Revisiting the rocking block: closed-form solutions

and similarity laws. Proc R Soc A Math Phys Eng Sci 468:2294–2318. doi:

10.1098/rspa.2012.0026

Dimitri R, Lorenzis L De, Zavarise G (2011) Numerical study on the dynamic behavior of

masonry columns and arches on buttresses with the discrete element method. Eng

Struct 33:3172–3188. doi: 10.1016/j.engstruct.2011.08.018

Elgawady M, Ma Q, Butterworth JW, Ingham J (2011) Effects of interface material on the

performance of free rocking blocks. Earthq Eng Struct Dyn 40:375–392. doi:

10.1002/eqe.1025

FEMA (2009) Quantification of building seismic performance factors. Federal Emergency

Management Agency

Heyman J (1966) The stone skeleton. Int J Solids Struct 2:249–279. doi: 10.1016/0020-

7683(66)90018-7

Hogan SJ (1992) On the Motion of a Rigid Block, Tethered at One Corner, under Harmonic

Forcing. Proc R Soc A Math Phys Eng Sci 439:35–45. doi: 10.1098/rspa.1992.0132

Housner G (1963) The behavior of inverted pendulum structures during earthquakes. Bull

Seismol Soc Am 53:403–417.

Ishiyama Y (1982) Motions of Rigid Bodies and Criteria for Overturning By Earthquake

Excitations. Earthq Eng Struct Dyn 10:635–650. doi: 10.1002/eqe.4290100502

Komodromos P, Papaloizou L, Polycarpou P (2008) Simulation of the response of ancient

columns under harmonic and earthquake excitations. Eng Struct 30:2154–2164. doi:

10.1016/j.engstruct.2007.11.004

Kounadis AN (2015) On the rocking-sliding instability of rigid blocks under ground

excitation: some new findings. Soil Dyn Earthq Eng 75:246–258. doi:


30

10.1016/j.soildyn.2015.03.026

Lengyel G, Bagi K (2015) Numerical analysis of the mechanical role of the ribs in groin

vaults. Comput Struct 158:42–60. doi: 10.1016/j.compstruc.2015.05.032

Lipscombe PR, Pellegrino S (1993) Free Rocking of Prismatic Blocks. J Eng Mech

119:1387–1410. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1993)119:7(1387)

Ma QTM (2010) The mechanics of rocking structures subjected to ground motion. The

University of Auckland, New Zealand

Makris N, Konstantinidis D (2003) The rocking spectrum and the limitations of practical

design methodologies. Earthq Eng Struct Dyn 32:265–289. doi: 10.1002/eqe.223

Makris N, Vassiliou MF (2012) Sizing the slenderness of free-standing rocking columns to

withstand earthquake shaking. Arch Appl Mech 82:1497–1511. doi: 10.1007/s00419-

012-0681-x

Ogawa N (1977) A study on Rocking and Overturning of Rectangular Column." Report of

the National Research Center for disaster Prevention(18), 14.

Peña F, Prieto F, Lourenço PB, et al (2007) On the dynamics of rocking motion of single

rigid-block structures. Earthq Eng Struct Dyn 36:2383–2399. doi: 10.1002/eqe.739

Peña F, Prieto F, Lourenço PB, Campos-Costa A (2006) Dynamical Behaviour of Rigid

Block Structures Subjected to Earthquake Motion. Struct Anal Hist Constr 707–714.

doi: 10.13140/2.1.2648.4166

Priestley MJN, Evision RJ, Carr a. J (1978) Seismic response of structures free to rock on

their foundations. Bull New Zeal Soc Earthq Eng 11:141–150.

Prieto-Castrillo F (2007) On the dynamics of rigid-block structures applications to SDOF

masonry collapse mechanisms. GUIMARÃES. Portugal: University of Minho

Prieto F, Lourenço PB, Oliveira CS (2004) Impulsive Dirac-delta forces in the rocking

motion. Earthq Eng Struct Dyn 33:839–857. doi: 10.1002/eqe.381

Psycharis IN (1990) Dynamic behaviour of rocking two-block assemblies. Earthq Eng Struct

Dyn 19:555–575. doi: 10.1002/eqe.4290190407

Psycharis IN, Papastamatiou DY, Alexandris AP (2000) Parametric investigation of the

stability of classic al columns under harmonic and earthquake excitations. Earthq Eng

Struct Dyn 29:1093–1109. doi: 10.1002/1096-9845(200008)29:8<1093::AID-

EQE953>3.0.CO;2-S

Spanos PD, Koh A-S (1985) Rocking of Rigid Blocks Due to Harmonic Shaking. J Eng

Mech 110:1627–1642. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1984)110:11(1627)

Spanos PD, Roussis PC, Politis NP a. (2001) Dynamic analysis of stacked rigid blocks. Soil

Dyn Earthq Eng 21:559–578. doi: 10.1016/S0267-7261(01)00038-0

Szeidovitz G (1984) The Dunaharaszti Earthquake January 12, 1956. Acta Geod Geophys

Mont Hung 21:109–125.

Ther T, Kollár LP (2017) Refinement of Housner’s model and its application for the

overturning acceleration spectra. In: 16th World Conference on Earthquake

Engineering,. Santiago, Chile,

Tóth A, Orbán Z, Bagi K (2009) Discrete element analysis of a stone masonry arch. Mech

Res Commun 36:469–480. doi: 10.1016/j.mechrescom.2009.01.001

Voyagaki E, Psycharis IN, Mylonakis G (2013) Complex Response of a Rocking Block to a

Full-Cycle Pulse. J Eng Mech 4014024. doi: 10.1061/(ASCE)EM.1943-7889.0000712

Winkler T, Meguro K, Yamazaki F (1995) RESPONSE OF RIGID-BODY ASSEMBLIES


31

TO DYNAMIC EXCITATION. Earthq Eng Struct Dyn 24:1389–1408. doi:

10.1002/eqe.4290241008

Yim C-S, Chopra AK, Penzien J (1980) Rocking Response of Rigid Blocks to Earthquakes.

Earthq. Eng. Struct. Dyn. 8:565–587.

(1956) Historia Domus, Taksony.

Documents

Billegő szerkezetek vizsgálata és tervezése