Binomická věta - I. část

Binomick vta - I. st

Autorem materilu a vech jeho st, nen-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlk

Obchodn akademie a Stedn odborn kola logistick, Opava, pspvkov organizace.

Materil byl vytvoen v rmci projektu OP VK 1.5 EU penze stednm kolm,

registran slo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Binomick vta - I. st

26. nora 2013 VY_32_INOVACE_110214_Binomicka_veta_-_I.cast_DUM

1

Pascalv trojhelnk

Nkter vlastnosti kombinanch sel lze demonstrovat na schmatu, v jeho dcch jsou postupn pro seazena kombinan sla od do . Toto schma se nazv Pascalv trojhelnk . Meme ho zapsat pomoc kombinanch sel nebo pomoc sel pirozench.

Autorem Pascalova trojhelnku byl francouzsk matematik Blaise Pascal (1623-1662).

Blaise Pascal

Chci se dozvdt vce

obr. 1

Pascalv trojhelnk zapsan pomoc sel kombinanch:

Pascalv trojhelnk

obr. 1

Pascalv trojhelnk zapsan pomoc sel pirozench:

Pascalv trojhelnk

obr. 1

1) Sob rovn sla jsou rozmstna symetricky podle svisl pmky prochzejc vrcholem trojhelnku. Je to tm, e podle tto pmky jsou symetricky umstna sla a . Tato sla se podle 1. vlastnosti kombinanch sel sob rovnaj:

2) Souet dvou libovolnch dvou sousednch sel v kadm dku Pascalova trojhelnku je roven slu, kter se nachz pod jejich stedem v dku nsledujcm. Vyplv to z toho, e pro vechna cel nezporn sla plat (2. vlastnost kombinanch sel):

Vlastnosti kombinanch sel plynouc z Pascalova trojhelnku

obr. 1

Pro kad sla a pro kad plat:

Kombinan sla se nazvaj binomick koeficienty (binomit initel) a jsou uvedeny v matematicko-fyziklnch tabulkch. Rovnaj se kombinanm slm odpovdajcho dku Pascalova trojhelnku pro dan .

Binomick rozvoj m len.

Binomick vta

obr. 2

Praktick st vukovho materilu Binomick vta I. st se ve tyech lohch zaobr umocovnm dvojlenu podle binomick vty a zpisem ukonenho binomickho rozvoje.

Binomick vta praktick st

obr. 2

Nabdka loh a jejich een

loha 1

een lohy 3

loha 3

loha 2

een lohy 2

een lohy 4

een lohy 1

loha 4

Shrnut

loha 1

Umocnte dvojlen podle binomick vty:

zpt do nabdky loh

obr. 3

een lohy 1

zpt do nabdky loh

Dvojlen v zvorce upravme a dle umocujeme podle binomick vty. Binomick koeficienty odpovdaj kombinanm slm pro 5. dek Pascalova trojhelnku. Nslednmi pravami binomick rozvoj zjednodume:

obr. 3


loha 2

zpt do nabdky loh

obr. 4

een lohy 2

zpt do nabdky loh

Podle binomick vty dvojlen umocujeme. Binomick koeficienty odpovdaj kombinanm slm pro 4. dek Pascalova trojhelnku. Binomick rozvoj dle upravujeme, po seten jednotlivch len pak dostaneme vsledek:

obr. 4


loha 3

zpt do nabdky loh

obr. 5

een lohy 3

zpt do nabdky loh

Dvojlen v zvorce upravme, pot opt umocujeme podle binomick vty. Binomick koeficienty odpovdaj kombinanm slm pro 5. dek Pascalova trojhelnku . Po nslednch pravch vetn seten jednotlivch len binomickho rozvoje dostaneme vsledek:

obr. 5

Umocnte podle binomick vty:

loha 4

zpt do nabdky loh

obr. 6

Vraz si nahradme dvojlenem .

Dle umocujeme podle binomick vty, dosazujeme za binomick koeficienty kombinan sla ze 6. dku Pascalova trojhelnku :

Pklad ukazuje, e v praxi je mon v binomickm rozvoji dvojlenu , kde je mal slo, zanedbat vechny leny krom prvnch dvou. Pitom plat vzorec:

een lohy 4

zpt do nabdky loh

francouzsk matematik, fyzik a filosof

spolu s P. Fermatem poloil zklady potu pravdpodobnosti

zabval se tak hydrostatikou (Pascalv zkon)

vynalezl a zkonstruoval prvn mechanick stac stroj

Blaise Pascal (1623 1662)

zpt

obr. 1

Vukov materil Binomick vta I. st pojednv o uplatnn tto vty pi umocovn dvojlenu na pirozen slo . Pitom se vyuvaj jako binomick koeficienty kombinan sla , kter odpovdaj kombinanm slm z uritho dku Pascalova trojhelnku pro dan .

Ve vukovm materilu Binomick vta II. st budeme urovat podle vzorce len binomickho rozvoje a jeho koeficient.

Shrnut

obr. 2

Pouit literatura:

1) HUDCOV, Milada a Libue KUBIKOV. Sbrka loh z matematiky pro

stedn odborn koly, stedn odborn uilit a nstavbov studium.

Havlkv Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 208.

ISBN 80-7196-165-5.

2) CALDA, Emil. Matematika pro netechnick obory SO a SOU, 3. dl.

Havlkv Brod: Prometheus, spol. s r. o., 2000, s. 191-193, 198.

ISBN 80-7196-109-4.

CITACE ZDROJ

Pouit obrzky:

1) File:Blaise pascal.jpg - Wikimedia Commons [online]. 3 July 2005

[cit. 2013-02-26]. Dostupn pod licenc Creative Commons z:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Blaise_pascal.jpg

2) File:Math.png - Wikimedia Commons [online]. 19 April 2008 [cit. 2013-02-26].

Dostupn pod licenc Creative Commons z:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Math.png

3) SOHL, Mat. File:US Navy 031006-N-2280S-001 Electronics Tecnichian 1st Class Chris

Wright checks the work of a group of eighth-grade math students .jpg Wikimedia

Commons [online]. 6 October 2003 [cit. 2013-02-26].

Dostupn pod licenc Creative Commons z:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:US_Navy_031006-N-2280S-001_Electronics_Tecnichian_1st_Class_Chris_Wright_checks_the_work_of_a_group_of_eighth-grade_math_students_.jpg

CITACE ZDROJ

Pouit obrzky:

4) File:Flickr - Official U.S. Navy Imagery - A Sailor explains math concepts and formulas to

a student from Jose Rios Middle School during the Saturday Scholars tutoring

program..jpg - Wikimedia Commons [online]. 19 May 2012 [cit. 2013-02-26].

Dostupn pod licenc Creative Commons z: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Flickr_-_Official_U.S._Navy_Imagery_-_A_Sailor_explains_math_concepts_and_formulas_to_a_student_from_Jose_Rios_Middle_School_during_the_Saturday_Scholars_tutoring_program..jpg

5) File:USMC-110421-M-9652C-002.jpg - Wikimedia Commons [online]. 21 April 2011

[cit. 2013-02-26]. Dostupn pod licenc Creative Commons z:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:USMC-110421-M-9652C-002.jpg

6) OSBORNE, Jacob D. File:USMC-101019-M-4756O-028.jpg - Wikimedia Commons

[online]. 19 October 2010 [cit. 2013-02-26]. Dostupn pod licenc Creative Commons z:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:USMC-101019-M-4756O-028.jpg

Vechny pravy psanho textu byly provdny v programu MS PowerPoint.

CITACE ZDROJ

Konec prezentace. Dkuji Vm za pozornost.

Mgr. Daniel Hanzlk

Documents

Binomická věta - I. část