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DESARROLLO DE MODELO MATEMTICO DE PROCESOS BIOLGICOS DE TRATAMIENTO

Formulacin del problema.

Las lagunas aireadas de mezcla completa son reactores de flujo de mezcla completa, con buenas condiciones de aireacin y agitacin, lo que conduce a

concentraciones homogneas de sustrato, biomasa y oxgeno. Este tipo de

lagunas requieren lagunas secundarias y terciarias para completar la remocin de

DBO y la sedimentacin de los slidos suspendidos. Este tipo de lagunas se

airean normalmente con turbinas superficiales. La Figura 1 muestra un esquema

de este tipo de lagunas, cuyo esquema de mezcla y flujo corresponde idealmente

a un reactor de flujo de mezcla completa (continuously stirred tank reactor, CSTR).

El volumen contenido de agua se considera constante [1].

Figura 1

En consecuencia, la composicin en el reactor y en efluente (que son la misma) son tambin variables en el tiempo. stas variables se determinan mediante los correspondientes balances de sustrato y biomasa, que dan lugar a las ecuaciones diferenciales que definen el modelo. Pero antes de plantear el balance se requiere conocer los procesos cinticos que afectan al sustrato y a la biomasa [1].

Cul es el modelo matemtico de los procesos biolgicos de tratamiento con biomasa suspendida y concentracin homognea de una laguna aireada de mezcla completa con tres componentes y tres procesos cinticos?

Delimitacin de las Variables o componentes del agua residual objeto del modelo.

Se: Sustrato o material orgnica biodegradable

XV: Biomasa (cultivo de microorganismos hetertrofos)

SO2: La concentracin de oxgeno disuelto en el reactor

Delimitacin de los parmetros.

V: Volumen del reactor aerobio de mezcla completa

mx: Tasa de crecimiento mxima que puede alcanzar el microorganismo

Y: Factor de rendimiento de la biomasa

Ks: Concentracin de sustrato a la que se alcanza una tasa de crecimiento igual a la media de la mxima

KO2: Concentracin de oxigeno a la que se alcanza una tasa de crecimiento igual a la media de la mxima

Kd: Coeficiente de muerte especifica

Paer: Potencia de aireacin aplicada

TE: Rendimiento de transferencia

a: Parmetro de utilizacin de oxgeno para la oxidacin de sustrato [2]

b: Parmetro de utilizacin de oxgeno utilizado en la respiracin endgena [2]

Valores de los parmetros que se van a utilizar

V = 1000 m3

mx = 0.0793 / dia

Y = 0.5 kg SSV / (kg DBO5)

Ks = 115.37 kg DBO5

KO2 = 0.5

Kd = 0.004166

Paer= 30 kW

TE= 10 (kg O2 / h) / KW

a = 0.302

b = 0.010079

Los datos de entrada.

S1: Sustrato en el afluente

XV,1: Biomasa en el afluente

So2,1 : La concentracin de oxgeno disuelto en el afluente

Q1: Caudal afluente

Valores de los datos de entrada que se van a utilizar

S1 = 100 (Kg DBO5 / m3)

XV,1 = 5 (Kg SSV / m3)

So2,1 = 100 ( Kg O2 / m3)

Q1 = 10 (m3 / s)

Los datos de salida.

S2: Sustrato en el efluente

XV,2: Biomasa en el efluente

So2,2 : La concentracin de oxgeno disuelto en el efluente

Q2: Caudal efluente

Fuente de los datos de entrada.

S1: Prueba de laboratorio

XV,1: Prueba de laboratorio

So2,1 : Prueba de laboratorio

Q1: Sensor de ultrasonido

Identificar las caractersticas especficas.

La composicin en el reactor y en el efluente es la misma y varia en el tiempo, porque las lagunas aireadas de mezcla completa son reactores de flujo de mezcla completa, con buenas condiciones de aireacin y agitacin, lo que conduce a concentraciones homogneas de sustrato, biomasa y oxgeno, por tanto:

S2=Se , XV,2 = XV,a , So2,2 = SO2 y Q2 = Q1

El crecimiento de los microorganismos es proporcional al consumo o gasto de los Sustratos (materia orgnica).

Al disminuir la cantidad de Sustrato (materia orgnica) se genera el proceso endgeno (muerte o consumo entre microorganismos)

Para que exista produccin continua de biomasa en el reactor se asume que en este hay una cantidad inicial de bacterias.

Al sistema aerbico se le inyecta oxigeno para que la biomasa permanezca viva.

El volumen del reactor permanece constante y se da en metros cbicos.

Tabla No. 1

Smbolo Unidades

Se Kg DBO5 / m3

XV Kg SSV / m3

SO2 Kg O2 / m3

V m3

mx 1/ d

Y kg SSV / (kg DBO5)

Ks kg DBO5

KO2 kg (DBO5)

Kd ----

Paer kW

TE (kg O2 / h) / KW

S1 Kg DBO5 / m3

XV,1 Kg SSV / m3

So2,1 Kg O2 / m3

Q1 m3 / s

Desarrollo propio

Idealizacin del sistema.

En este modelo matemtico nicamente se van a trabajar tres procesos cinticos que son, procesos cinticos de la biomasa, proceso cintico del sustrato y proceso cintico del oxigeno.

Hiptesis

Se supone que no se desarrolla biomasa auttrofa en el reactor.

Se supone que los slidos suspendidos voltiles del afluente no sufren hidrlisis ni son degradados por la biomasa.

En este modelo, el nico proceso del sustrato es su consumo o utilizacin por la biomasa. La velocidad de utilizacin de sustrato es un proceso ligado al crecimiento de la biomasa.

En este modelo no se est profundizando sobre el tipo de bacteria y tipo de sustrato que se va a trabajar, nicamente se modela el comportamiento relacionado al crecimiento o velocidad de crecimiento.

Se puede modelar la produccin de lodos de un reactor aireado, con un caudal afluente constante y teniendo en cuenta nicamente materia orgnica (sustrato), microorganismos (biomasa) y oxigeno.

Aproximaciones

Las unidades se representan por el sistema MKS y los resultados tendrn una precisin de 4 cifras decimales.

Representacin Matemtica

PROCESOS CINTICOS EN LA LAGUNA

Procesos cinticos de la biomasa

a) Crecimiento de la biomasa (rg)

El crecimiento de la biomasa es proporcional a su concentracin y la velocidad especfica de crecimiento [1]:

La velocidad especfica de crecimiento de sustrato sigue la ecuacin de Monod [1]:

Sustituyendo la ecuacin (2) en la (1) queda la ecuacin tal como se emplea en el modelo [1]:

Este proceso cintico hace aumentar la concentracin de biomasa.

b) Metabolismo endgeno de la biomasa (muerte y autoconsumo) (rd)

Se considera independiente de la concentracin de sustrato, y proporcional a la concentracin de biomasa [1]:

Este proceso cintico hace disminuir la concentracin de biomasa.

Procesos cinticos del sustrato

En este modelo, el nico proceso del sustrato es su consumo o utilizacin por la biomasa. La velocidad de utilizacin de sustrato es un proceso ligado al crecimiento de la biomasa. De hecho, el segundo depende de la primera. Por cada kg de DBO5 consumida por la biomasa se producen Y kg de SSV (nueva biomasa). Este factor (Y) es un coeficiente estequiomtrico, y se conoce como factor de rendimiento de la biomasa, con un valor de 0,4-0,8 g SSV/g DBO5, tpicamente 0,6 g SSV/g DBO5 (WEF-ASCE, 1998) [1].

c) Utilizacin de sustrato (rSU)

La relacin entre el crecimiento de la biomasa y la utilizacin de sustrato suele expresarse [1]:

Es decir, la velocidad de utilizacin de sustrato se expresa como [1]:

O bien, sustituyendo la ecuacin (3) en la (6) [1]:

Como se observa en las ecuaciones (6) y (7), la utilizacin de sustrato no es un proceso independiente del crecimiento, por lo que slo se requiere uno de los dos y el factor Y. Por tanto, el conjunto de procesos cinticos puede definirse a travs del crecimiento (a) y el metabolismo endgeno (b) [1]. Procesos cinticos del oxgeno

d) consumo de oxgeno

El consumo de oxgeno est ligado a la utilizacin de sustrato y al metabolismo endgeno. La velocidad de consumo de oxgeno ligada a la utilizacin de sustrato se puede expresar como [1]:

Es decir:

Se deduce que el coeficiente estequiomtrico del oxgeno respecto al crecimiento celular es a/Y (el signo menos se debe a que el oxgeno se consume en el proceso [1]. La velocidad de consumo de oxgeno ligada al metabolismo endgeno se puede describir por la ecuacin [1]:

O bien, multiplicando y dividiendo por kd [1]:

En este caso, el coeficiente estequiomtrico del oxgeno respecto al metabolismo endgeno es b/kd, con signo tambin negativo, ya que este proceso es un consumo de oxgeno [1].

OBTENCIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MODELO: BALANCES DE SUSTRATO, BIOMASA Y OXIGENO

En este modelo de reactor, se considera el nivel de la laguna constante, por lo que no hay variaciones en el volumen de agua contenida en la laguna. No se requiere, por tanto, el balance total de agua residual [1].

La forma general del balance diferencial (condiciones no estacionarias) de un componente en el reactor biolgico es [1]:

Los flujos msicos de entrada suelen expresarse como el producto de un caudal volumtrico (m3/d) por una concentracin (g/m3). Los trminos cinticos se suman o se restan segn que el proceso afecte positivamente o negativamente. Un coeficiente estequiomtrico para cada proceso y componente determina el signo y la proporcin en que cada proceso contribuye al aumento o a la disminucin de cada componente [1]. El trmino de velocidad de acumulacin es la derivada respecto al tiempo de la cantidad acumulada. Por ejemplo, para el sustrato [1]:

Como en este caso el volumen es constante [1]:

Balance de sustrato (S)

Sustituyendo la expresin de rSU de la Ec. (7) [1].

Y, despejando la derivada se obtiene la ecuacin diferencial de la variable de estado Se [1]:

Balance de biomasa (XV)

Y, despejando la derivada, se obtiene la ecuacin diferencial de la variable de estado XV,a [1]:

Las ecuaciones (18) y (21) son las dos ecuaciones diferenciales ordinarias que constituyen el ncleo del modelo matemtico de la laguna aireada [1]. Balance de oxgeno en la laguna A los trminos habituales considerados en los balances de sustrato y biomasa se agrega el trmino de transferencia de oxgeno [1].

Donde:

La ecuacin diferencial de la variable de estado oxgeno disuelto es [1]:

Las ecuaciones diferenciales del sustrato Ec. (18) y la biomasa Ec. (21), se modificadas con el factor de Monod del oxgeno disuelto [1]:

El conjunto de ecuaciones diferenciales del modelo es ahora el formado por la Ec. (25), Ec. (26) y Ec. (27) [1].

Modelo matemtico del sistema (simplificacin)

Tenemos un sistema de tres ecuaciones diferenciales con tres incgnitas, debemos llevarlo a la forma Ax=b para resolverlo analticamente, pero como aparecen en las tres ecuaciones diferenciales productos de la forma Se * SO2 * XV,A (que son las variables de estado), no se pueden separar y por lo tanto no se puede llegar a dicha forma. Se concluye que la solucin debe obtenerse por un mtodo numrico.

Uno de los mtodos ms utilizados para resolver numricamente problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones inciales es el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeo margen de error con respecto a la solucin real del problema y es fcilmente programable en un software para realizar las iteraciones necesarias. Hay variaciones en el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden pero el ms utilizado es el mtodo en el cual se elige un tamao de paso y un nmero mximo de iteraciones N tal que [5]

Para k = 0,, N-1. La solucin se da a lo largo del intervalo (to, (to+t) * N)

Grafica No. 2

Desarrollo propio

Esta grafica muestra el consumo del sustrato, se aprecia que en el tiempo 0

segundos el sustrato es de 100 Kg DBO5 / m3 que es justo la condicin inicial, para

un tiempo de 150 segundos el sustrato presente en el reactor alcanza un valor de

19 Kg DBO5 / m3,que es el mnimo debido a que el consumo de sustrato por la

biomasa fue lineal, a partir de 150 segundos se incrementa un poco el sustrato

estabilizndose en 21 Kg DBO5 / m3 porque la biomasa muere, y permite que la

materia orgnica se acumule hasta lograr un equilibrio.

Grafica No. 3

Desarrollo propio

Esta grafica muestra el crecimiento de la biomasa, se aprecia que en el tiempo 0

segundos el sustrato es de 10 Kg SSV / m3 que es justo la condicin inicial, para

un tiempo de 100 segundos la biomasa en el reactor alcanza un valor de 35 Kg

SSV / m3, que es el mximo debido a que la disponibilidad de sustrato permita el

crecimiento, a partir de 100 segundos se muere la biomasa, estabilizndose a los

400 segundos en 27.7 Kg SSV / m3 porque el sustrato de entrada y el oxigeno que

se inyecta solamente pueden sostener esta cantidad de biomasa.

Grafica No. 4

Desarrollo propio

Esta grafica muestra el oxigeno disuelto, se aprecia que en el tiempo 0 segundos el oxigeno disuelto es de 100 Kg 02 / m

3 que es justo la condicin inicial, para el intervalo de tiempo de 0 a 400 segundos el comportamiento es de la forma logartmica y luego se estabiliza en 251 Kg 02 / m

3, que es lo que necesitan la biomasa para mantenerse con vida.

Resultados:

Tiempo (Segundos) Sustrato Kg DBO5 / m3 Biomasa Kg SSV / m3 Oxigeno Kg 02 / m3

0 100.0000 10.0000 100.0000

1 99.1630 10.2772 101.6761

2 98.3173 10.5590 103.3275

3 97.4630 10.8453 104.9546

4 96.6002 11.1360 106.5574

5 95.7288 11.4313 108.1362

6 94.8489 11.7310 109.6911

7 93.9605 12.0350 111.2223

8 93.0638 12.3434 112.7301

9 92.1589 12.6559 114.2145

10 91.2458 12.9727 115.6759

11 90.3246 13.2936 117.1143

12 89.3955 13.6184 118.5301

13 88.4587 13.9472 119.9233

14 87.5144 14.2797 121.2943

15 86.5626 14.6160 122.6432

16 85.6038 14.9558 123.9703

17 84.6380 15.2990 125.2758

18 83.6656 15.6456 126.5599

19 82.6868 15.9952 127.8230

20 81.7019 16.3479 129.0651

21 80.7113 16.7033 130.2867

22 79.7152 17.0614 131.4879

23 78.7140 17.4219 132.6690

24 77.7082 17.7847 133.8304

25 76.6980 18.1495 134.9722

26 75.6839 18.5162 136.0947

JHCASello