Biologia computazionale A.A. 2010-2011 semestre II U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Docente: Giorgio Valentini Istruttore: Matteo Re 5 Evoluzione e filogenesi

Biologia computazionale

A.A. 2010-2011 semestre II

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANODocente: Giorgio Valentini

Istruttore: Matteo Re

5 Evoluzione e filogenesi - 2

C.d.l. Biotecnologie Industriali e Ambientali

Metodi basati su:

• Distanza• Massima parsimonia (minima evoluzione)• Massima verosimiglianza

Abbiamo già discusso un medoto basato su distanze:

UPGMA

Costruzione di alberi filogenetici:Classi di metodi disponibiliBio CS

Abbiamo già discusso un medoto basato su distanze:

UPGMA

Costruzione di alberi filogenetici:Classi di metodi disponibiliBio CS

Abbiamobisogno di altri metodi?

Cosa non va in UPGMA? (rivediamo l’esempio…)

Costruzione di alberi filogenetici:problemi con UPGMA…Bio CS

A B C D

A 0 6 6 7

B 0 4 5

C 0 3

D 0 A B C D

Quest’albero … implica che la distanza tra B e C ha lo stesso valore della distanza tra B e D?

Ma la matrice delle distanze non conteneva valori diversi?

?


• UPGMA calcola la media delle due distanze e pone sia C che D alla medesima distanza (1.5) da B …

• Cosa succede se le velocità evolutive dopo la divergenza sono diverse?

A B C D

A B C D

A 0 7 6 7

B 0 4 5

C 0 3

D 0

4

.5.5

1 22.5

NB: è un effetto dell’ipotesi dell’orologio molecolare!


TAXA MOLTO SIMILI

• Velocità evolutive differenti (non contemplate dall’ipotesi dell’orologio molecolare) possono causare problemi a UPGMA

• Specialmente nel caso di taxa molto simili (distanze molto piccole)!

A B C

A 0 4 3

B 0 3

C 0

A B C

1

2 11

Questo albero

Produce questa matrice..che produce quest’albero

BCA

… e i due alberi sono DIVERSI !

Costruzione di alberi filogenetici:CronogrammiBio CS

Alberi ultrametrici( cronogrammi)

Le distanze (nei cronogrammi) devono obbedire a 4 regole:

Non-negatività: d(a,b) ≥ 0Distinguibilità: d(a,b) = 0 if and only if a = bSimmetria: d(a,b) = d(b,a)Disug. triangolare: d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)

Inoltre devono anche soddisfare la:Condizione dei tre punti: d(a,b) ≤ max( d(a,c), d(b,c) )

1 1 1 12

31

1

13

a b c

10.4 2

1

a c b

Costruzione di alberi filogenetici:CronogrammiBio CS

Alberi ultrametrici( cronogrammi)

Le distanze (nei cronogrammi) devono obbedire a 4 regole:

Non-negatività: d(a,b) ≥ 0Distinguibilità: d(a,b) = 0 if and only if a = bSimmetria: d(a,b) = d(b,a)Disug. triangolare: d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c)

Inoltre devono anche soddisfare la:Condizione dei tre punti: d(a,b) ≤ max( d(a,c), d(b,c) )

1 1 1 12

31

1

13

a b c

10.4 2

1

a c b

Costruzione di alberi filogenetici:Motivi dei problemi di UPGMABio CS

• UPGMA è molto sensibile alla presenza di velocità evolutive differenti (assume che esse siano uguali su tutti i rami).

• Il clustering funziona SOLO SE i dati sono ultrametrici • Le distanze sono ultrametriche SE soddisfano la ‘condizione dei tre

punti'.

A B C

Per ogni combinazione di tre taxa, le due distanze maggiori devono essere uguali.

Condizione dei tre punti:

A B C

Costruzione di alberi filogenetici:Esempio di errore di UPGMABio CS

A B C D E

B 5

C 4 7

D 7 10 7

E 6 9 6 5

F 8 11 8 9 8

Velocità evolutive non costanti

TOPOLOGIA ERRATA

Costruzione di alberi filogenetici:Esempio di errore di UPGMABio CS

A B C D E

B 5

C 4 7

D 7 10 7

E 6 9 6 5

F 8 11 8 9 8

Velocità evolutive non costanti

TOPOLOGIA ERRATA

Esiste un metodo chiamato Neighbor Joining che avrebbe ricostruito la

topologia dell’albero in modo corretto.

Costruzione di alberi filogenetici:NeighborJoining (NJ)Bio CS

A

B

C

D

a

b

xc

d

A e B sono neighbors (“vicini”) poichè sono connessi da un singolo nodo interno.

Anche C e D sono vicini, ma A e D non lo sono.

Neighbor Joining e costruzione di alberi additivi (filogrammi, lunghezza rami proporzionale a distanze genetiche)

Costruzione di alberi filogenetici:Alberi additiviBio CS

Condizione dei 4 punti

A

B

C

D

dAC + dBD = dAD + dBC = a + b + c + d + 2x = dAB + dCD + 2x

a

b

xc

d

dAB + dCD < dAC + dBD

dAB + dCD < dAD + dBC

Se l’albero è additivo, allora deve essere rispettata la:

vicini non-vicini

Fondamentalmente dice che la distanza tra i vicini è minore di quella tra i non-vicini.

Condizione dei 4 punti

Costruzione di alberi filogenetici:Neighbor Joining (NJ)Bio CS

A

B

C

D

Partiamo da una struttura a stella (nessuna struttura gerarchica)

Lunghezza dell’albero Distanze pair-wise

Numero di taxa

NJ: costruzione dell’albero più corto


(Saitou and Nei, 1987)

N

i

N

jiij

N

i iY

XX

DN

D

DLL

33

1221

1)3(

1

Possiamo utilizzare queste formule per calcolare la lunghezza del nuovo albero:

N

iiYXX

N

kkkXY LLLNDD

NL

321

321 2))(2()(

)2(2

1



Ad ogni passo tutte le coppie di vicini vengono esaminate e viene scelta quella che produce l’albero più corto (criterio di minima evoluzione).



Come nel caso di UPGMA ad ogni ciclo viene aggiunto un ramo interno … ma adesso è sempre il ramo più corto possibile !



Come nel caso di UPGMA ad ogni ciclo viene aggiunto un ramo interno … ma adesso è sempre il ramo più corto possibile !

Albero non radicato

Costruzione di alberi filogenetici:Massima parsimoniaBio CS

Massima parsimonia

• Definizione:

parsimònia s. f. [dal lat. parsimonia, der. di parcĕre «risparmiare» (supino parsum)]. – La qualità di chi è parco; moderazione, giusta misura nell’uso del denaro o di altri beni, per un senso di doverosa economia o per abituale frugalità di vita: avere, usare p.; …

Principio, o legge, della p.: uno dei modi con cui viene denominato il principio (altrimenti detto legge di economia, o principio del minimo sforzo, o del minimo mezzo, o del minimo lavoro) così enunciato da G. Galilei nel «Dialogo sopra i due massimi sistemi» (Giornata seconda): la natura ... non opera con l’intervento di molte cose quel che si può fare col mez(z)o di poche, volendo significare che ogni fenomeno naturale si realizza sempre con il minimo dispendio sia di materia sia di energia.

http://www.treccani.it/vocabolario/parsimonia/


E’ possibile applicare il concetto di parsimonia alla costruzione di alberi filogenetici?

In fondo gli alberi filogenetici sono IPOTESI evolutive (come gli allineamenti utilizzati per definire le distanze tra i membri di un set di sequenze…). Quindi tra tutte le possibili ipotesi (alberi) vorremmo scegliere quella che spiega le sequenze con il minor numero di eventi evolutivi (da qui il termine parsimonia).

Tra tutte le possibili ipotesi in grado di spiegare i dati

(sequenze) vogliamo scegliere la più SEMPLICE

RASOIO DI OCCAM


Massima parsimonia:

• Osserviamo ogni colonna di un allineamento multiplo e costruiamo un albero che la “descriva”

• Costruiamo un albero consenso

atgccgca-actgccgcaggagatcaggactttcatgaatatcatcatgcgtggga-ttcagacctccatacgtgccccaggagatctggactttcacc---tggatcatgcgaccgtacctact-atgg-t-cgtgccgcaggagatcaggactttca-gt--g-aatcatctgg-cgc--c-aat--tcgt-ac-tgccccaggagatctggactttcaaa---ca-atcatgcgcc-g-tc-tataattccgtacgtgccgcaggagatcaggactttcag-t--a-tatcatctgtc-ggc--tag


Massima parsimonia:

• Cosa intendiamo quando ci riferiamo ad un albero in grado di “descrivere” (spiegare) una colonna del multiallineamento?

Ipotesi di lavoro: Costruiamo tutti i possibili alberi per una colonna del multiallineamento e poi scegliamo il migliore

PROBLEMI:

• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?• Come riconosciamo l’albero migliore?


Massima parsimonia:

• Come costruiamo tutti i possibili alberi per una data colonna?

• Come riconosciamo l’albero migliore?

Ad ogni nodo interno dell’albero possiamo mettere A oppure G. Alle foglie, invece, dobbiamo rispettare le proporzioni osservate (3A, 1G).

AGCTAACTAACTAACT

Topologie possibili : 1

A A A G

? (A or G)

? (A or G)

? (A or G)

Al posto dei TAXA abbiamo i nucleotidi (osservati)


Massima parsimonia:


Consideriamo il nucleotide più frequente (A) come ancestor …

AGCTAACTAACTAACT

Alberi possibili : 1

A A A G

A or G

00

A

A or G

0 if A1 if G 0 if A

0 if A 1 if A

Al posto dei TAXA abbiamo nt

scelta: A


Massima parsimonia:


Scegliamo i nucleotidi ai nodi interni in modo da spiegare i taxa (nt osservati) minimizzando il numero totale di sostituzioni!

AGCTAACTAACTAACT

Alberi possibili : 1

A A A G

A

A

A

1 if ATotale sostituzioni : 1(non male…)


Come determinare tutti i possibili alberi?

• Quando gli organismi sono 2 esiste un unico albero possibile:

A B



• Se gli organismi fossero 3• Il terzo potrebbe posizionarsi …

A B



E se gli organismi fossero 4 ? Per ognuno dei tre possibli alberi precedenti potremmo aggiungere

il quarto organismo ad ognuno dei loro 4 rami (o potremmo usarlo come una nuova radice)

Il numero di possibili alberi con 4 organismi è quindi: 3*5=15

A B

Se partissimo da quest’albero con 3 organismi


Numero dei possibili alberi:

Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i * 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)

+ 1 a causa della potenziale nuova radice

N2= 1 B2=2

Taxa Rami Alberi

2 2 1

3 4 3

4 6 15

5 8 105

6 10 945

7 12 10,395

8 14 135,135

9 16 2,027,025

10 18 34,459,425

11 20 654,729,075



Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i x 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)


N2= 1 B2=2

Taxa Rami Alberi

2 2 1

3 4 3

4 6 15

5 8 105

6 10 945

7 12 10,395

8 14 135,135

9 16 2,027,025

10 18 34,459,425

11 20 654,729,075

A cosa assomiglia questo tasso di

crescita?

A cosa assomiglia questo tasso di

crescita?



Ni : n. di alberi dati i taxa Bi : n. di rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i x 2-2 Ni=Ni-1*(Bi-1+1)


N2= 1 B2=2

Taxa Rami Alberi

2 2 1

3 4 3

4 6 15

5 8 105

6 10 945

7 12 10,395

8 14 135,135

9 16 2,027,025

10 18 34,459,425

11 20 654,729,075

E’ definito da una relazione di ricorrenza, quindi …

Giusto… come al solito, esponenziale

E’ definito da una relazione di ricorrenza, quindi …

Giusto… come al solito, esponenziale


Possiamo “risparmiare” qualche albero rinunciando alla radice:

• Alberi radicati e non radicati• Ovunque sia la radice “appiattitela”


Regole per alberi non radicati:

• Sono anch’essi biforcati• Non è possibile che 3 rami partano da uno stesso nodo

A

B C

D


Possibili alberi non radicati per 4 taxa:

• Tre alberi possibili

A

B C

D

A

D C

B

A

C B

D

Esistono altre combinazioni?


Possibili alberi non radicati per 5 taxa:

• Per ognuno dei tre alberi (da 4 taxa) possiamo aggiungere un ramo ad ognuno dei 5 rami disponibili

• 3*5=15 alberi

A

B C

D


“Radicare” un albero:

• Outgroup• Includere un organismo che sappiamo a priori essere più

distante evolutivamente da ogni taxa rispetto ad ogni distanza tra i taxa appartenenti all’albero da radicare

A

B C

D

se outgroup si posiziona qui …

outgroup A B C D


Numero di alberi non radicati:

Ni : num. alberi dati i taxa Bi : num. rami in un albero dati i taxa Bi=Bi-1+2, e anche i * 2-3 Ni=Ni-1*(Bi-1)

non serve il +1 per l’eventuale nuova radice … qui non ci sono radici

N2= 1 B2=2

Taxa Rami Alberi

3 3 1

4 5 3

5 7 15

6 9 105

7 11 945

8 13 10,395

9 15 135,135

10 17 2,027,025

11 19 34,459,425

12 21 654,729,075


Comparazione (alberi non radicati vs radicati):

• Riduzione consistente del numero di alberi

• … e nonstante questo abbiamo guadagnato un solo taxa (in termini di relazione tra num. alberi e num. taxa)

Taxa Alb. non radicati Alb. radicati

3 1 3

4 3 15

5 15 105

6 105 945

7 945 10,395

8 10,395 135,135

9 135,135 2,027,025

10 2,027,025 34,459,425

11 34,459,425 654,729,075

12 654,729,075 13,749,310,575


Come possiamo ridurre la complessità del problema?

Non possiamo utilizzare la programmazione dinamica … Il problema non è composto da

sottoproblemi ripetitivi Ogni sottoproblema è un albero …

e ogni albero è unico …

La complessità è ancora

esponenziale…

La complessità è ancora

esponenziale…

EURISTICHE

Costruzione di alberi filogenetici:Euristiche che evitano l’enumerazione di

tutti gli alberi

Bio CS

• Ignorare larghi subset di possibili soluzioni

• Utilizzare euristiche o metodi di predizione

Ignorare questacombinazione di rami

Costruzione di alberi filogenetici:euristica Branch and Bound

Bio CS

Poniamo un limite superiore ragionevole alla lunghezza complessiva dell’albero utilizzando un algoritmo veloce (ad es. UPGMA)

Poi esploriamo le possibili soluzioni purchè non superino la lunghezza stimata inizialmente

B & B dipende molto dalla qualità dei dati … e non garantisce di trovare la soluzione ottimale

Costruzione di alberi filogenetici:euristica Branch and Bound

Bio CS

Branch and Bound ci fa “perdere” taxa nella soluzione finale? NO

Ci fa perdere alcune “topologie” tra le possibili soluzioni? SI (è proprio questo il suo obiettivo … ma tra di esse potrebbe esserci la soluzione ottimale)

A

B C

DXX

X

Non preoccupiamoci di questi possibili modi di ramificare … vanno oltre la soglia di lunghezza

Torniamo all’algoritmo di Massima parsimonia

Bio CS

In alcune colonne i simboli sono tutti uguali Non forniscono nessuna informazione Tutti gli alberi hanno costo minimo

In alcune colonne i simboli sono tutti diversi Anche queste sono inutili

Colonne informative devono contenere almeno due simboli diversi ed almeno uno di essi deve essere ripetuto almeno due volte

AGCTAACTAACTACCT

A A A A

A

00

A

A00

0 0

Massima Parsimonia: l’albero consenso

Bio CS

• Ogni colonna genera un albero• Se le topologie coincidono l’algoritmo

finisce qui• Se esistono topologie differenti

utilizziamo un criterio di “maggioranza”• Se il campione (numero di sequenze) è

troppo piccolo eseguiamo un bootstrapping :• Estraiamo casualmente sequenze dal

multiallineamento• Generiamo più alberi• Etichettiamo i rami con la percentuale

di occorrenze in cui compaiono in un albero

• Queste informazioni vengono utilizzate come misura di “ripetibilità” (più un ramo è frequente e più lo consideriamo supportato dai dati)

Metodi per costruire alberi filogeneticiBio CS

Metodi basati su:

• Distanza• Massima parsimonia• Massima verosimiglianza

Questi li abbiamo visti…

Il seguito nella prossima puntata …

Documents

Biologia computazionale A.A. 2010-2011 semestre II U NIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO Docente: Giorgio Valentini Istruttore: Matteo Re 5 Evoluzione e filogenesi