Biomatematika 1Parciális deriváltak 2Grádiens

Dr. Bugyi Beáta2019

Parciális derivált - szemléltetése, hőmérséklet eloszlás egy szobában

Melyik irányban változik a legnagyobb mértékben (növekszik, csökken) a hőmérséklet?Mekkora ez a változás?

T ( X, y ) = 20T 2X they PARCIA 'Ll 's DERNA

'

LT

I fcxiy )=

O

(201-2×+49)=2oxOx

y Y

Offx. y )=

d(20t2xt4y )= yOY

x OY x

2 2y=A 'LL ANDO

'

4 21-4=6 TELJES DIFFERENCIA 't

4

dfcx ,y)=df(" Y ) dxtdflxis ) dy .

oxy OY x

= Zdxt 4dg

X= A' LLANDO'

Irány, egységvektorok

azi

, j ,k : EGYSEG VIKTOR

!q hossza = IEGYSEG ↳

eghatarozottiranybai

,X Ii 1=1

, Ij 1=1,

1h14 mutat

j i : X TENG ELY

j : y TENGE LY

k : 2 TENG ELY

"

Ya z 3 3i

I I

717 X

3 i :3EGYSEGET HALA DOK X IRA'

NYBAN →x ) .

, - g- 3 i : - 3 EGYSEGET HALA DOK X IRA

'

NYBAN ←

2J

2x3it2j

:3EGYSEGET HALA DOK AZ X IRA'

NNYAL

ELLEN TETE SEN ←v IRA

'

NYA

Y tana = 23 2=33.70Zj : 2 EGYSEGET HALA DOK tf IRA

'

NYBAN INAGYSA

'

G ( PITAGORASZTETELE )Ji t 2J g2= 32+22 → g

- 3.6

SETTE 'SELT AZ

IRA'

NYT2 - KE RE SEM

4

<

Melyik irányban változik a legnagyobb mértékben (növekszik, csökken) a hőmérséklet?Mekkora ez a változás?INTUITÍV MÓDON

f ( x ,y ) -- 201-2×+4 y dfcx, y ) dfcxiy )

= 2 = 4f ( 4,51=201-2.41-4 - 5=48 d X

ydy ×

X IRAINYBAN ( i )" Y )

= 2 EGYSEGGEL NO"

→ Zi

y IRAINYBAN ( y ) doff " Y )= 4 EGYSEGGEL NO

"→ 4J

y

SETTE 'S : LEGNAGYOBB MERTEK "U N'OVEKEDES : Zit 4J RAINY BAN

V At LTO 2A 'sIRA '

NYA

tana =

42

4=63.430

VA'

LTO 2A 's

MERT E KE

52 53 54

Zi BECSLES

52 - 54 KOZOIT>

•52¥g! 2 't 4

'

g g = 4.

47

481-4.47=52.5

4J v 2 it 4J

f- ( x ,y)=20t2xt4y

f- ( 4,51=201-2.4+4 - 5=48

LEGNAGYOBB MERTEK "U N'OVEKEDES : Zit 4J RAINY BAN

dfcx.gl/bdfCxiy)

oxy OY x

At LTALAINOSAN

Off"Ytyitdffy" 't) ,

j-gradfcxiyl-tlfcx.gl/RA'NYMEfNTllRA'NYMtENTlGRAIDIENS DIEL

operatorDERNA 'LT DERNA 'LT

VEKTOR !

( i :X IRA 'NY ) ( j .

- Y IRA 'NY )

Gradiens, grad f(x,y,z)vektor = irány és nagyságiránya: az f(x,y,z) függvény legnagyobb változásának iránya egy adott P(x,y,z) pontbannagysága: az f(x,y,z) változásának mértéke ebben az irányban

grad fl x , y , 2) =

Off " Yi 2) it 0741912 )y+dfcxiy , 2) qOx Oy02

IRAINYMENTI IRAINYMENTI IRAINYMENTIDERNA

'LT DERNA

'LT DERIV A' LT

i :X IRA'

NY j i Y IRA'

NY k : 21RAINY

A domborzati viszonyokat az alábbi függvény írja le. Egy adott pontból (P) melyik irányban kell elindulni, hogy a legmeredekebb úton haladjuk? Mekkora ebben az irányban a szintemelkedés? Ha a pontban (P) egy labdát leejtünk melyik irányban fog gurulni? Mekkora ebben az irányban a lejtés?

2 3

fcxiy ) = Xy-

Xy

# P( 2,1 ) fl2,17=271

- 2.13=2

dflxiy)=2×y - y's OFCXIY)=×2 - 3xy

'

ox Oy

Off 2111=2.21- 13=3 OFCXIY )= 22-3.212=-2

ox Oy

IRAINYMENTI DERNA 'lT

X : 3iy : -2J

GRADIENT

gradfcx , y ) = grad f ( 2,1 )=3i - 2J LEGNAGYOBBEMELKEDES

#

LABDA LEGNAGYOBB LEITE 'S

LEGNAGYOBBEMELKEDES

gradfcx , y ) = grad f- ( 2,1 )=3i - 2J

LEGNAGYOBB LEITE 'S

- gradfcx , y )= - grad f ( 2, 1) = -Di -2j)= - 3it2j

LEGNAGYOBBEMELKEDES

grad FC 2,1 )=3i - 2g. tante } 9=33.70

-2g.-2 g2=22t5g= 3.6 ( m )

- 11

- 3i a) 233inI I I > X3

I1,2J2

y'

- grad fc2.tl ) - - 3it2j

LEGNAGYOBB LEITE 'S

Ji

- 2J 4

# PC 1,2) fcxiy ) -12.2-1.23=-6

Off,YiY)=2×y - y's OFCXIY)=×2 - 3xy

'

Oy

Off

2111=2.1. z - 23

076141=12-3.1-22=-11

ox Oy

IRAINYMENTI DERNA 'lT

x :- 4i

y : - MjGRADIENS

gradfcxiy ) = gradfu

,

2)= - 4i - Mj

11

gradfcl , 2) = - 4i -

Mj tuna = 4=7004

→ ,g

-= 4 't 11

"

g= in 7 ( m )

'

,

- Mj/

I

I

I

I

s

I

I

K '

I I I I g X- 4

- 4i>

y

A baktériumok esetén a kemotaxis fontos a tápanyagok fellelésében (pl. glükóz). A kemotaxis során a baktériumok mindig a koncentráció legnagyobb változásának irányában mozognak. A glükóz koncentrációját az alábbi függvény írja le. Milyen irányban indul el a baktérium? Ebben az irányban mekkora a koncentráció változása?

C ( x ,y)= Xl y- xy Play )=P(

3,2)

( 0¥)y=2xy

-

y -_2-3.2-2=10do XL -

x=32-3=6 6J > y

( Ty )x=j

ygradccxiy )

p a )g

gradccx ,y)= doit Gj i

tantto

Aoi6

4=590s

×

g2= 62+10"

g= 11.66 ( mm )

Diffúzió

FICK I.

TORVENYEGRA

"

DIENSSEL ELLEN TES IRA' NYU ANYAGDKAMLA's

ANYAGAKAM silk"usEGg

,

On f KONCENTR At GO

F = ) GRA 'D LENSOA Ot

F =-DOC

(mole

)OX

m2 's [DIFF 'u2lO'sEGYIIITHATO

'

OA OA

.

-.

.

. of . .

.

-.

.'

. X .

GRA'

DIENS ANYAG A' RAMLA 'S

FICK I.

TORVENYE

AD CC x )

dux )F = - D i

ox

3D ccxiy , 2)

F = - Dgradccxiy , 2) = - D 0%41912) it %×yHMj +04×1812)q02

FICK Il.

TORVENYE C ( x, Y ,2 ,

t )

ID C ( x ,t )

g2

.DERNA 'LT

dccxit ) 02Gt )=DOt 0×2F I

A KONCENTRAICIO'

GRA 'D LENS

AKONCENTRA'

CIO"

MEGVAILTOZA 'S At NAK SEBESSEGEID BELI VALTOZA 'S A

3D CC x , y , a,

t )2 2 2

OCCXIY 121T)

=D02cg,y,z , f) =D

dclxiyiz ,t ) dccxiyiz ,

t )+

dccxiyiz ,t )

Ot 0×2t

Oyl Ozz

A kálium ionok koncentrációját az alábbi függvény (c(x,y)) írja le, számítsa ki az x és az y irányú valamint az eredő koncentrációgrádienst egy adott P pontban.

- x'

D= 1. 95.10512C ( x ,y)=3y

'te

s

PC 1,3 )

do - x'

do

(a) y-- Ot I YC

- 2x ) = - 2xe ( Oy)× =3 . 2y=6y-12

= - 2.1 . C = - 0.74 = 6.3=18

IRAINYMENM DERNA 'LT

X : -0.74 i y= 18J

GRADI ENS

gradccxiy ) - -0.74 it 18J

- y- 0.74in

a XI I 18

µ tank = 87.6400.74

g2=( 0.74 ) 't ( 1812

gradccxiy ) -

- no

g- 18.021mm )

= -0.74in -118J18J

- 20

v Y