Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Biostatistik, Sommer 2017Folgen, Summen, Exponentialfunktion, Lambert-Beer
Prof. Dr. Achim Klenke
http://www.aklenke.de
2. Vorlesung: 28.04.2017
1/32
Inhalt1 Folgen
BegriffsbildungGrenzwerte
2 Summen und ProdukteSummenzeichenProduktzeichen
3 ExponentialfunktionExponentialfunktionenLogarithmusLambert-Beer Gesetz
2/32
Folgen Begriffsbildung
Eine Folge von Zahlen ist...eine Folge von Zahlen a1,a2,a3, . . ..
Beispiele fur Folgen1 1, 1, 1, . . ., an = 1 fur jedes n2 1, −2,4,−8, . . ., an = (−2)n−1 fur jedes n3 1,1,2,3,5,8,13, . . ., a1 = a2 = 1, an+1 = an−1 + an
(Fibonacci Zahlen)4 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . an ist die n-te Primzahl,5 6,3,5,2,3,2,6,1,4,6,5,4, . . .. Wurfelergebnisse
Ein Bildungsgesetz...kann manchmal explizit angegeben werden (1), (2)kann manchmal rekursiv angegeben werden (3)ist manchmal sehr komplex (4)gibt es manchmal nicht (5)
3/32
Folgen Grenzwerte
GrenzwerteWir schreiben a = limn→∞ an, falls sich an fur großes n immer weiteran a annahert.
Beispiele
limn→∞
1n= 0
limn→∞
n2 =∞
limn→∞
2 + 1/n2
3 + 1/n=
23
limn→∞
(−1)n existiert nicht
limn→∞
(1 + 1/n)n = 2.71828 . . . = e (Euler’sche Zahl)
limn→∞
(1 + 3/n)−n =1
limm→∞
(1 + 1/m)3m =1
limm→∞
((1 + 1/m)m)3 =
1/e3 = 0.04978 . . . (mit 3m = n); vergleiche Stausee
4/32
Summen und Produkte Summenzeichen
Summenzeichen
Wir definierenn∑
i=1
ai = a1 + a2 + . . .+ an.
5/32
Summen und Produkte Summenzeichen
Beispiel: Arithmetische Summe10∑
i=1
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.
100∑i=1
i = 1 + 2 + 3 + . . .+ 99 + 100
= (1 + 100) + (2 + 99) + . . .+ (50 + 51)= 50 · 101 = 5050.
Allgemein fur n = 1,2,3, . . .
n∑i=1
i =n(n + 1)
2
6/32
Summen und Produkte Summenzeichen
Beispiel: Geometrische Summe/Reihe9∑
i=0
2i = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29
= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512
= 1023 = 210 − 1.
Allgemein istn∑
i=0
ai =an+1 − 1
a− 1.
Fur −1 < a < 1 ist
∞∑i=0
ai =1
1− a.
7/32
Summen und Produkte Produktzeichen
Produktzeichen
Wir definierenn∏
i=1
ai = a1 · a2 · · · an.
Beispiel
1
5∏i=1
(2 + i) = 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 2520
2 n! =n∏
i=1
i = 1 · 2 · 3 · · · n (sprich: ”n Fakultat“)
8/32
Summen und Produkte Produktzeichen
Beispiel: GeburtstagsproblemWie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafur, dass von 23 Leutenmindestens zwei am selben Tag Geburtstag feiern?
1− p = 1 · 364365· 363
365· · · 365− 22
365.
Also ist
p = 1−22∏
i=0
365− i365
.
Taschenrechner:p = 0.5073.
Die Wahrscheinlichkeit dafur, dass mindestens zwei Personenam selben Tag Geburtstag feiern, betragt 50.73%.
9/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Definition der Exponentialfunktionen
Fur a > 0 seifa(x) = ax fur x ∈ R.
Nach den Rechenregeln fur Potenzen ist
fa(0) = 1fa(1) = a
fa(x + y) = fa(x) · fa(y) fur alle x , y ∈ R.
Diese drei Eigenschaften legen die Funktion fa eindeutig fest.
10/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Asymptotik der Exponentialfunktionen
Fur a > 1 gilt a < a2 < a3 < . . . und
limn→∞
an =∞.
Alsolim
x→∞fa(x) =∞ falls a > 1.
Wegen fa(−x) · fa(x) = fa(−x + x) = fa(0) = 1 istfa(−x) = 1/fa(x). Also gilt
limx→−∞
fa(x) = 0 falls a > 1.
11/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen fa mit a > 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
810
1.5x
2x
3x
12/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Asymptotik der Exponentialfunktionen
Fur a < 1 gilt a > a2 > a3 > . . . und
limn→∞
an = 0.
Alsolim
x→∞fa(x) = 0 falls a < 1.
Wie oben gilt
limx→−∞
fa(x) =∞ falls a < 1.
Dies folgt auch aus fa(x) = ax = (1/a)−x = f1/a(−x).
13/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen fa mit a < 1
−3 −2 −1 0 1 2 3
02
46
810
0.2x
0.5x
0.8x
14/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Zusammenfassung Exponentialfunktionenfa(x) = ax fur a > 0 und x ∈ R.
Satz (Rechenregeln)fa(0) = 1, fa(1) = afa(x + y) = fa(x) · fa(y)fa(x) = f1/a(−x)
Satz (Asymptotik)Fur a > 1 ist fa monoton wachsend und
limx→∞
fa(x) =∞ und limx→−∞
fa(x) = 0.
Fur a < 1 ist fa monoton fallend und
limx→∞
fa(x) = 0 und limx→−∞
fa(x) =∞.15/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Euler’sche Zahl
Die Euler’sche Zahl e ist
e =∞∑
n=0
1n!
= 2.718 . . .
Man pruft leicht, z.B. mit dem Taschenrechner, dass
5∑n=0
1n!
=10!
+11!
+12!
+13!
+14!
+15!
= 1 + 1 +12+
16+
124
+1
120= 2.7167.
16/32
Exponentialfunktion Exponentialfunktionen
Naturliche Exponentialfunktion
Mitexp(x) = ex
bezeichnen wir die naturliche Exponentialfunktion oder kurz dieExponentialfunktion.Wir werden noch sehen, was an dieser Wahl ”naturlich“ ist.
17/32
Exponentialfunktion Logarithmus
Definition des LogarithmusSei a > 1 und y > 0. Wir wollen
fa(x) = ax = y (∗)
nach x auflosen. Wir wissen: ax → 0, falls x → −∞ undax →∞, falls x →∞. Also gibt es eine Losung von (∗).Wir nennen x den Logarithmus von y zur Basis a und schreiben
x = loga(y).
Es gilt alsoaloga(y) = y fur jedes y > 0.
Andererseits ist
loga(ax) = loga(y) = x fur jedes x ∈ R.
Wir sagen, dass loga die Umkehrfunktion von fa ist.18/32
Exponentialfunktion Logarithmus
Charakteristische Gleichung
Fur ax = y und ax ′= y ′ ist
loga(y · y ′) = loga(ax · ax ′
)
= loga(ax+x ′
)
= x + x ′
= loga(y) + loga(y′).
Analog wird loga fur 0 < a < 1 definiert.
19/32
Exponentialfunktion Logarithmus
Naturlicher Logarithmus
Fur a = e = 2.718 . . . die Euler’sche Zahl nennen wir
ln = log = loge
den naturlichen Logarithmus. Dies ist die Umkehrfunktion zurnaturlichen Exponentialfunktion exp.
20/32
Exponentialfunktion Logarithmus
Rechenregeln des Logarithmus
SatzFur x ∈ R und y , z > 0 sowie 0 < a < 1 oder a > 1 gilt
loga(ax) = x, aloga(y) = y
loga(yz) = loga(y) + loga(z)
loga(y) =log(y)log(a)
=ln(y)ln(a)
loga(1) = 0, loga(a) = 1
Fur y ↓ 0 gilt ln(y) ↓ −∞.Fur y →∞ gilt ln(y)→∞.
21/32
Exponentialfunktion Logarithmus
Naturlicher Logarithmus ln
−1 0 1 2 3 4
−4
−2
02
4
y
ln((y
))
22/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Lambert-Beer Gesetz
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L
I1I0
Kuvette mit Konzentration c, Breite L.Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht I1 = I1(c,L).Anteil:
α(c,L) = I1(c,L)/I0.Wie groß ist α(c,L)? 23/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Breite
��������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L/2L/2
I1I0
Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht I1 = I0 · α(c,L/2) · α(c,L/2).Anteil:
α(c,L) = α(c,L/2)2.
24/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Breite
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
���������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
L/4 L/4 L/4 L/4
I1I0
Einfallendes Licht I0 (Lux).Ausfallendes Licht
I1 = I0 · α(c,L/4) · α(c,L/4) · α(c,L/4) · α(c,L/4)Anteil:
α(c,L) = α(c,L/4)4.25/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Breite
Allgemein fur x > 0:
α(c,L) = α(c,L/x)x .
Fur x = Lα(c,L) = α(c,1)L.
26/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Konzentration
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L
I1I0
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L
I1I0
Kuvette mit Konzentration c, Breite L.Anteil: α(c,L) = I1/I0.Linke Kuvette mit Konzentration 2c, Breite L/2.Rechte Kuvette mit Konzentration 0, Breite L/2.
27/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Konzentration
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
L/2 L/2
I1I0
Linke Kuvette mit Konzentration 2c, Breite L/2.Rechte Kuvette mit Konzentration 0, Breite L/2.
I1 = I0 · α(2c,L/2) · α(0,L/2) = I0 · α(c,L).Also
α(2c,L/2) = α(c,L).28/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Abhangigkeit von der Konzentration
Allgemein fur x > 0:
α(cx ,L/x) = α(c,L).
Mit x = 1/c folgt
α(c,L) = α(cx ,L/x) = α(1, cL) = α(1,1)c L.
α(1,1) =Anteil des Lichtes, der bei einer Dicke von L = 1m undeiner Konzentration c = 1mol/l durchkommt. Setzeε := − log10 α(1,1) ”dekadischer Extinktionskoeffizient“.Dann ist α(1,1) = 10−ε, also
α(c,L) = α(1,1)c L = 10−ε c L.
29/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
I0 = Starke einfallendes LichtI1 = Starke ausfallendes LichtL = Breite der Kuvettec = Konzentration der Losungε = dekadischer Extinktionskoeffizient (Tabelle).
Satz (Lambert-Beer’sches Gesetz)Es gilt
I1 = I0 · 10−εcL.
Oft wird mitE = log10
I0I1
die Extinktion bezeichnet. Es gilt also
E = εcL.
30/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Photometrie, Beispiel: Tryptophan
Bei einer Wellenlange von 280 nm (UV)absorbiert die aromatische AminosaureTryptophan (Trp). Wir messen die Extinktion
E = log10I0I1
= 0.05.
Kuvettenbreite: L = 1cm.
Wie hoch ist die Trp-Konzentration?
31/32
Exponentialfunktion Lambert-Beer Gesetz
Photometrie, Beispiel: Tryptophan
Bei einer Wellenlange von 280 nm (ultraviolett) wird eineExtinktion
E = log10I0I1
= 0.05
gemessen.Tabelle:
ε = 5600l
mol cm.
Also ist
c =EεL
=0.05
5600 · 1cmmol cm
l= 8.93 · 10−6mol
l= 8.93µmol/l.
32/32