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OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ-ETAPA JUDETEANA- 07.03.2009

Subiecte- Cl! I"-

#. Tt$l %i &iul u '()*eu+$ ,, e +i. C+ &iul /e +i1 tt$l /e 33 e +i.A&li /*!tele l* '+ )*e4e+t. Pe!te ci +i1 /*!t tt$lui / &i ublul /*!tei&iului5

6.M. +*. # 2009

2. U+ +u($* ($*it cu !e '+(ule%te cu ,. 8e4ulttul !e (ic%*e4$ e #0 *i .

Dc$ i+ +ul *e4ultt !e !ce 31 !e bi+e 2. A&li +u($*ul.

P*&. 8(+ Ce*!el

cl 6e+. : Mi;i E(i+e!cu : N$!$u

3. Su( +u(e*el* 1b1c1 e!te 2 2 *e.  ?iec*e !ubiect e!te +tt cu 7 )u+cte.  Nu !e c*$ )u+cte i+ &iciu.

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Subiecte- Cl! "-

#@ O ele/$1 &ii+ '+t*ebt$ ce /*!t$ *e1 *$!)u+e> B+ u*($ cu i +i e*( e t*ei*i (i '+ /*!t$ ect &*tele (eu1 i* +ul /iit* /i /e ublul /*!tei lui. Ce/*!t$ *e ele/ cu(5 D* &*tele ei5

P*&. I+ Duicu

2@ I()$*i+ )t*u +u(e*e +tu*le )*i+ cel%i +u($* +tu*l +e+ul !e bi+*e!tu*ile # 2 3 *e!)ecti/ < %i ctu*ile +u(e*e +tu*le c+!ecuti/e.A&li +u(e*ele %tii+ c$ !u( l* e!te =2=.

P*&. D*el C!ic- ISJN

3@ De(+!t*i c$ (uli(ile>A F G+2 H + %i F G,+ 2 H +

!u+t i!Ku+cte.6. M. +*. #2 200

NOTĂ . Ti() e luc*u u)$ )*i(i*e !ubiectel* > 2 *e

  ?iec*e !ubiect e!te +tt cu 7 )u+cte  Nu !e c*$ )u+cte i+ &iciu

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Subiecte- Cl! "I-

1) S$ !e &le +u(e*ele ab !i cd   %tii+ c$ /e*i&ic$ *eli>( )   21971   +=+   cd cd ab  

)*&. D*el C!ic- ISJN

2.Clculi (ei *it(etic$ +u(e*el* %i b1 u+e>

17...1717

14...1414...

171717

141414

1717

1414

17

14++++=a

'+ ulti( &*cie *u)ele #< %i #7 )* e cte #7 *i &iec*e@.2002200120022001200220012002

  234 ⋅−⋅−⋅−=b

6.M. N8. # 2009

3. B+ Ku*ul )u+ctului O !e &*(e4$ u+;iu*ile   AO E  E O D DOC C O B BO A   ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ 1u+e [OA  %i [OD !u+t !e(i*e)te )u!e1 i* C O B   ˆ  e!te u+ u+;i *e)t.@tii+ c$ bi!ect*e lui C O B   ˆ  &*(e4$ cu [OA  u+ u+;i e 701 !$ !e &le($!u* u+;iului AO %i u+;iului COD.b@Dc$ ($!u*ile u+;iu*il* DOE %i EOA !u+t i*ect )*)*i+le cu 7 %i , 1 !$ !e&le ($!u*ile cel* u$ u+;iu*i.

P*&. M$*iuc Sb$u- Sc. 6e+. N*. # i!t*i

Oli()i Nti+l e Mte(tic- et) Kuete+- 07.03.2009

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Cl! I"-

  Soluţie şi barem de notare:

1. a+b = 55 1pa-b = 25 1pa=40; b=15 2p2(15+x)=40+x 2px=10 (peste 10 ani) 1p

  2. [(x+8)·5:10-3=2...............................................1p

  [(x+8)·5:10=2+3............................................1p

  (x+8)·5=5·10...................................................1p

  (x+8)=50:5........................................................1p  x+8=10..............................................................1p

  x=10-8................................................................1p

  x=2......................................................................1p

3. a +b+! =249 """"""""""""""1pa = 3(b+!) +5 """""""""""""..1p b= 4!+#""""""""""""""""1pa= 15!+23"""""""""""""""1p15!+23+4!+#+!=249""""""""""..1p

20!= 220, != 11""""""""""""..1p b= 50, a= 188"""""""""""""..1p

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Cl! "-  Soluţie şi barem de notare:

#@$n %&' !% 2 ani: 3 2)(inia !*ntin%)

bse&' ! a! 'ai a%' a /&sta ie!&%ia !/t * pa&te se *bine sit%aiae peste %n an (inia p%n!tat pe esen) #)e!i: 2 + 1 = 3 (* pa&te) #)$n %&' !% *i ani: biat% aea 3 ani, ia& ata 9 ani. #)$n p&eent: biat% a&e 5 ani, ia& ata 11 ani. 2) (t %stii!a&e !*&e!t 6i !*'pet: 5p.)

2@ ie n i'pa&tit*&%, a; b; !; n%'e&ee; +1; +2; +3 !at%&ie

ent&% a = n+1 b = n(+1) +2! = n(+2) +3 = n(+3) +4 , n 'ai 'a&e e!at 4 #)

""""""""""..4n+#n +10= #2#2n(2+3) = #1#n(2+3) = 308 #)n(2 +3) =4·7·11 #)

%' 2+3 este i'pa&, s%nt p*sibie !a%&ie:

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  Soluţie şi barem de notare:

#) ab (cd  +1)= cd  + 1+ 219# #)(cd  +1)( ab - 1)= 219# #)(cd  + 1)(ab -1)= 2·3·#1 #)

%' cd  +1 6i ab - 1 s%nt n%'e&e e 2 !i&e ie!a&e, ae' %&'at*a&ee p*sibiiti:cd  +1= 3#ab - 1= #1, &e%ta cd   = 35 si ab = #2 #)sa%cd   +1= #1ab - 1= 3#, &e%ta cd   = #0 si ab = 37 #)eeate !a%&i n% !*nin. #)inaia&e >= ?( cd   =35, ab =#2);( cd   =#0, ab =37)@ #)

2.  141717

141...111

17

14

17

=⋅=   

  

 ++++=

termeni

a ; a = 14 3)

   b = 20023(2002 2001) - 2001·20022  2001·2002 #)  b = 20022(2002 2001) - 2001·2002 #)  b = 2002(2002 2001) = 2002; b = 2002 #)

  '   a  =   10082

200214

2=

+=

+ ba#)

3. ) esen #)'   C O B   ˆ =90A,'   BO A   ˆ =25A #)'   DO A   ˆ =180A, '   DOC   ˆ =#5A #)

b@ k  AOmE  E OmD ==5

ˆ

7

ˆ  #)

'  E O D   ˆ

=7 '   AO E   ˆ =5,'   E O D   ˆ +'   AO E   ˆ =180A #)

=15A #)'   E O D   ˆ =105A, '   AO E   ˆ =75A #)