Bölüm 7 SinüsoidalKalıcı Durumee.tek.firat.edu.tr/sites/ee.tek.firat.edu.tr/files/Devre Analizi-II.pdf · Devre Analizi 7.1 Sinüsoidal kaynaklar 7.2 Ortalama ve Etkin Değer

Bölüm 7

Sinüsoidal Kalıcı DurumDevre Analizi

7.1 Sinüsoidal kaynaklar7.2 Ortalama ve Etkin Değer7.3 Karmaşık Sayılar7.4 Sinüsoidallerin Fazör Gösterimi7.5 Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları7.7 Çevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.7.8 Thevenin ve Norton Teoremleri.7.9. Manyetik Kuplaj Elemanı

1F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT

7.1 Sinüsoidal Kaynaklar

)wt(CosX)t(xyada)wt(SinX)t(xmm

Xm ?

w ?

?

T ?

f ?

Zaman/Açı ekseni


Örnek 7.1. verilen gerilim kaynağının açısal frekansını (Rad/s -

Derece/s), peryodunu ve faz açısını bulunuz.

)).t(

(Cos)t(v6

5010

Çözüm:

w=

f=

T=

30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

t(s)

v(t)

F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT

Örnek 7.2. Maximum genliği 20 A ve peryodu T=0.5 s olan sinüzoidal akımın t=0’nındaki değeri 10 A ise Cos fonksiyonu ile bu sinyali tanımlayınız?

Çözüm:

)t(Cos)t(i3

420


Örnek 7.3. Verilen fonksiyonu Cos fonksiyonu cinsinden yazınız? )30(10)( wtSintv

)60wt(Cos10)t(v

Çözüm:

)2

x(Cos)x(Sinyada)2

x(Sin)x(Cos

NOT:


7.2 Ortalama ve Etkin Değerler

Peryodu T olan peryodik bir x(t) fonksiyonunun,

Ortalama değeri, Etkin değeri

dt)t(xT

1X

Tto

to

ort

dt)t(xT

1XX

Tto

to

2

rmseff

Örnek 7.4.a Verilen kare dalga gerilimin ortalama ve etkin değerlerini bulunuz.

6

t(s)

v(t)

T3T/4

0

A

Sonuç= Ortalama Alan:

4

A3

T

4

T3A

dt........T

1V

..

..

ort


7

Örnek 7.4.b Verilen testere dişi gerilimlerin ortalama ve etkin değerlerini bulunuz.

t(s)

v(t)

T3T/4

0

A

t(s)

v(t)

2TT

0

A

tT

A tT3

A4

Sonuç = Ortalama Alan:

2

A

T

2

TA

dt........T

1V

..

..

ort


)wt(Cos.Vmv Örnek 7.4.c Verilen sinüsoidal gerilimin ortalama ve etkin değerini bulunuz.

Çözüm:

Etkin değeri,

8

)wt(Sinw.

T

Vmdt)wtcos(Vm

TVort

TT

o 0

11

000020 )](Sin)(Sin[wT

Vm)](Sin)wT(Sin[

wT

VmVort

T

dt)]}wt([Cos{(T

Vmdt)wt(CosVm

TVrms

0

2

2221

2

1

0022

1

22

2

1

2

2

0

2

))wT((Sinw

T{T

Vm)}wt({Sin

wt{

T

VmVrms

T

Vm./Vm}T{T

VmVrms 707020

2

2


7.3 Karmaşık Sayılar

)2j2/()1j3)(1j1(c)4

)4j3/()2j2(c)3

)3j1)(1j1(c)2

jbac)1

Verilen karmaşık sayı işlemlerini yapınız/kutupsala çeviriniz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.


7.4 Sinüsoidallerin Fazör GösterimiFazör, bir sinüzoidal fonksiyonun genlik ve faz bilgisini ihtiva eden karmaşık bir değerdir.

Euler bağıntısı:

x(jSin)x(Cose

)x(jSin)x(Cose

Jx

Jx

)( wtVmCosv

Euler’e göre Cos(x), in reel kısmıdır. Buna göre,Jxe

).Re(.)Re()( jjwtwtj

eeVmeVmV

jwte

j2

ee)x(Sin

2

ee)x(Cos

JxJx

JxJx

Yazılabilir. Burada, frekansın ( ) dışında kalan terimler yani,

ifadesi, verilen sinüsoidalin fazör gösterimidir.

j

meV


Vmyadae.Vm

j

)( wtVmCosv

Sonuç olarak, verilen bir sinüsoidal fonksiyon (akımya da gerilim), Fazör adı verilen aşağıdaki gibi komplexbir değer ile gösterilebilir.

Buradan, denklemi ile Cosinüsfonksiyonu olarak tanımlanan geriliminin Fazörü V ile gösterilir fazörü, pozitif reel eksen referans alınmak üzere karmaşık düzlemde aşağıdaki gibi çizilir.

VmVyadae.VmV

j

11

)( wtVmCosv

V V

Örnek 7.5. Verilen sinüsoidal gerilim ya da akımların fazörünü

yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.

)60t100(Sin100i)d

)t20(VmSinv)c

)30wt(Cos20i)b

)t500(Cos10v)a

Çözüm:


Örnek 7.6. Verilen sinüsoidallerin toplamını fazörleryardımıyla bulunuz. Karmaşık düzlemde gösteriniz.

bulunuzvvv

ise)wt(Cosv),wt(Sinv)b

bulunuziii

ise)wt(BSini),wt(ACosi)a

21

21

21

21

45

64

Çözüm


7.5. Devrelerin Sinüzoidal Kalıcı Durum Cevabı

7.5.1. Geçici durum, Kalıcı durum cevabı ve Tam cevap

)wt(CosVv ms

Devrelerin tam cevabı (geçici durum+ kalıcı durum), diğer kaynaklarda yapıldığı gibi sinüsoidal girişler için de devrenin diferansiyel denklemi yazılıp çözülerek elde edilir.

)wt(CosL.wR

Vme).(Cos.

L.wR

Vm)t(i

222

tL

R

222

Çözüm: Tam cevap


Örnek 7.7 Şekildeki devrede verilen giriş akımı için kondansatör

gerilimini bularak geçici ve kalıcı cevabını belirleyiniz.

)t100(Sin10)t(i 0)0(v

)t100(CosK)t100(SinKeK)t(v32

t5.2

1

Çözüm: Tam cevap


7.6 Devrelerin Frekans Bölgesi Karşılıkları

• Önceki örneklerde incelendiği gibi sinüsoidal kaynak da dahil her hangi bir giriş kaynağı için devrenin geçicive kalıcı cevap bileşenleri ile birlikte tam cevabı belirlenebilir.

• Ancak, sinüsoidal kaynaklı devrelerin, geçici cevap bileşeni yerine daha çok kalıcı durum cevabı ile ilgilenilir. Buradan da sinüsoidal kaynağın frekansının, bir devre ya da devre elemanları üzerindeki etkisi incelenmeye çalışılır.

• Bu amaçla öncelikle bu bölümde, temel devre elemanları olan direnç, bobin ve kondansatörün sinüsoidalkaynaklardaki davranışları belirlenecek ve akım-gerilim fazörleri çizilerek R-L-C devre elemanlarının sinüsoidal kaynağın frekansı ile ilişkileri elde edilecektir.

• Böylece, bir devrenin frekans bölgesi tanımı (karşılığı) belirlenecektir. 16


17

Direnç (R) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.

)( wtCosIi m

Bobin (L) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.

)wt(CosImi

Kondansatör (C) : Devrenin frekans bölgesi karşılığını bulunuz. Akım ve gerilimin fazörlerini yazarak karmaşık düzlemde gösteriniz.

)( wtCosVv m


Örnek 7.8 Şekildeki seri RL devresine sinüsoidal akım kaynağı bağlanmıştır. Devrenin frekans bölgesi karşılığını çizerek fazörlerle Devre gerilimi v(t) yibulunuz.

18

b-) R=4 L=0.5H ve için sayısal değerlerle inceleyiniz.

)4/t20(Sin10)t(i

)wt(SinIm)t(i


Örnek 7.9 Şekildeki seri RL devresinin frekans bölgesi karşılığını çizerek devre akımı i(t) yi fazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktansilişkilerini gösteriniz. R=8, L=0.02HSayısal değerler için tekrarlayınız.

7.6.1 Empedans, Direnç, Reaktans

Sinüsoidal kalıcı durum / frekans bölgesi karşılığı ile gösterilen bir devrede empedans Z ile gösterilir ve Z=V/I oranıdır. Birimi ohm olan karmaşık bir sayıdır. Empedansın reel bileşeni direnç (R ) ve sanal bileşeni ise Reaktans (X) olarak söylenir. Yani, Z=R+jX

)wt(SinV)t(vm

19

)3/t10(Sin100)t(v


Örnek 7.10 Şekildeki paralel RC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz. R=10, C=0.1F

)wt(CosI)t(im

20

)t50(Sin5)t(i


Örnek 7.11 Şekildeki seri RLC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre akımı i(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve empedans-direnç-reaktans ilişkilerini gösteriniz.

)()( wtCosVtv m

21

)6/t10(Cos20)t(v b-) R=2 L=0.5H C=1/30F sayısal değerleri için çözünüz.


7.6.2 Admitans, Kondüktans ve Suseptans

Özellikle paralel devrelerde empedans tanımı yerine empedansın tersi olan ve Y ile gösterilen admitans(Y=1/Z=I/V) tanımından yararlanarak özellikle paralel devrelerin analizinde kolaylık sağlanabilir. Admitansınreel kısmı kondüktans (G), sanal kısmı ise suseptans(B) bileşenleridir. Yani, Y=G+jB

Örnek 7.12 Şekildeki paralel RL devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.

)()( wtCosIti m


)()( wtCosIti m

Örnek 7.13 Şekildeki paralel RLC devresinin sinüsoidalkalıcı durum eşdeğerini çizerek devre gerilimi v(t) yifazörlerle bulunuz. Akım ve gerilimlerin fazörlerini ve admitans, kondüktans , süseptans ilişkilerini gösteriniz.

23

b-) R=0.5 L=0.2H C=4F sayısal değerleri için hesaplayınız

)30/t(Cos10)t(i


Örnek 7.14. Örnek 8.11 de incelenen seri RLC devresinin admitansını bulunuz.

25.0j25.0Z

1Y

Çözüm


7.6.3 Karışık Devreler

Karışık devrelerin sinüsoidal kalıcı durum analizinde,yukarıda tanımlanan genel ilkeye uygun olarak serikollarda empedans, paralel kollarda ise admitanstanımını kullanmak kolaylık sağlayabilir. Ancak, sadeceempedans ya da sadece admitans tanımları kullanılarakda çözülebilir.

Örnek 7.12 Şekildeki devrenin empedansını, devre akımını ve

paralel kol gerilimini bulunuz.


Örnek 7.12 Şekildeki karışık devrenin empedansını,

devre akımını ve paralel kol gerilimini bulunuz.

23.377.523.3333.17

30100

Z

VI

48.47967.40Z.IV31


7.7 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre AnalizindeÇevre Akımları ve Düğüm Gerilimleri Yöntemleri.

Örnek 7.14 Şekilde verilen devreyi,a-) çevre akımları yöntemi ileb-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek içingerekli denklemleri yazınız.


Örnek 7.15 Şekilde verilen devreyi,a-) çevre akımları yöntemi ileb-) düğüm gerilimleri yöntemi ile çözebilmek içingerekli denklemleri yazınız.


Örnek 7.16 Şekilde verilen devrenin Thevenin ve Norton eşdeğerini bulunuz.

7.8 Sinüsoidal Kalıcı Durum Devre AnalizindeThevenin ve Norton Teoremleri.

29

04012

120

60

040120

10

j

VabVxVxVx

j

VxVabVxVab

17.2022.835288784 jVVab TH

Çözüm:


04012

120

60

040120

10

j

VxVxVx

Ij

VxVxN

392.043.8 jI N

4.382.91 jI

VZ

N

THTH


7.9. Manyetik Kuplaj Elemanları

Manyetik kuplaj elemanının sinüsoidal kalıcı durumdakieşdeğeri, ikinci taraftaki bir yükle birlikte şekildeverilmiştir.

1222

2111

)(0

)(

jwMIIZjwLR

jwMIIjwLRV

L

S


)jwLR(Zve)jwLR(Z 222111

VsMwZZZ

ZZI

L

L

2221

21

)(

Bu denklemler düzenlenerek Kuplaj elemanın birtarafındaki empedansın diğer tarafa nasıldönüştürüleceği gösterilebilir.

LZZ

MwZ

I

VsZg

2

22

1

1

Yazılarak I2 yok edilirse,

1222

2111

)(0

)(

jwMIIZjwLR

jwMIIjwLRV

L

S

Buna göre, bir manyetik kuplaj elemanın bir tarafındaki empedans değeri, diğer tarafa ile dönüştürülür.

22Mw

11

22

21

22

22

12Z

MwZ

Z

MwZ


Örnek 7.17 Şekildeki devrede I1 ve I2 akımlarını bulunuz.

45001500900900

)1200(3700700

2

2

22

1 jj

jZZ

MwZZg

L

Çözüm:

06.002.045001500

03001 j

jZg

VsI

43.63597.00534.00267.0)06.002.0(900900

12001

2

2

jjj

jI

ZZ

jwMI

L33


Örnek 7.18 Örnek 7.17 deki devreyi Theveninteoremini kullanarak çözünüz.


Çözüm:

Bu durumda I2=0 olacağına göre,

mAjZ

VsIIZVs 29.7967.79

3700700

0300

1

111

VjjwMIVVab TH 71.106.95)29.7967.79)(1200(1


Çözüm: ab uçlarına göre Thevenin direncini bulmak için kaynaklar devre dışı bırakılırsa,

370070011 jZ

12741713700700

)1200(1600100

2

11

22

2 jj

jZ

MwZZZab TH

4.630596.02500800

2

jZ

VI

TH

TH


İdeal Transformatör

İdeal trafoda, kuplaj katsayısı k=1 ve öz endüktanslaralınır. Dolayısıyla bobinlerin sadece N1 ve

N2 sarım sayıları vardır.

21 LL

Şekildeki kuplaj elemanının ideal şartlarda gerilimler arasıilişkisi çıkarılırsa, sarım sayıları ile orantılı aşağıdaki ilişki eldeedilir.

2

1

2

1

N

N

V

V

12 jwMV1

11

jwL

V

İdeal şartlarda

37

Akımlar arası ilişkiyi bulmak için 2. sargı uçları kısa devre yapılırsa, İdeal şartlarda sarım sayıları ile orantılı aşağıdaki ilişki elde edilir.

1220 jwMjwL

1

2

2

1

N

N

İdeal şartlarda

1

2

2

1

2

1

I

I

N

N

V

VSonuç:


Polarite tespiti: İdeal trafolarda da manyetik kuplajelemanında olduğu gibi akım ve gerilim dönüşümlerinde polariteye dikkat edilmelidir. Kural:

• Her iki tarafta da gerilimlerin polaritesi noktalı uçlarda pozitif ya da negatif ise o ideal trafonun gerilimdönüşümü pozitif işaretlidir aksi halde negatif işaretlidir.

• Her iki tarafta da akımların yönü noktalı uçlardangiriyor ya da çıkıyorsa akım dönüşümü negatif işaretliaksi halde pozitif işaretlidir.

2

1

1

2

2

1

2

1

N

N

I

I

N

N

V

V

2

1

1

2

2

1

2

1

N

N

I

I

N

N

V

V

2

1

5

11

N

N

n

39

Örnek 7.19 Şekilde verilen ideal trafo devresindedeğerlerini bulunuz )(2500)( wtCostvs 2211 ,,, VV

.

11)225,0(02500 Vj

22 )05,02375,0( jV

21 10VV

12 10

26,161001

37,427,24V1

26,1610002

37,47,242V2


Bölüm 8

Sinüsoidal Kaynaklı Devrelerde Güç

8.1 Sinüsoidal Devrelerde Ani Güç: Güç Katsayısı

Aktif, Reaktif ve Görünür Güç

8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı

8.3 Güç Katsayısını Düzeltme

8.4 Maksimum Güç Transferi


8.1 Sinüsoidal Devrelerde Güç

• Şekildeki gibi bir gerilim kaynağına bir empedansın bağlandığını

ve empedansın faz açısının ise olduğunu kabul edelim,

• Bir elektrik devresinde güç, p=v.i olduğuna göre sinüsoidal

kaynaklı devrelerde p=v.i gücü, zamanla sinüsoidal olarak

değişeceğinden bu güce ani güç denir.

• Sinüsoidal devrelerde ani güç yerine kalıcı durum güçleri

çok daha önemlidir ve bu güçler de empedansın faz açısı

ile yakından ilgilidir.

jXRZ


8.1.1 Güç Katsayısı

Devrenin faz açısı

)(Cos

mm IIVV

m

Vm

m

Vm

I

VZ

Güç katsayısı

Güç katsayısı 0–1 arasında değişir. Cos

ise)(Cos, 10

isearas ıve 0900

isearas ıve 0900

Cos

43

Omik yük

Endüktif yük ve geri güç katsayısı

Kapasitif yük ve ileri güç katsayısı


Örnek 8.1: Şekildeki devrenin a-) XL=4 b-) XL=8 c) XL=2 ohm için faz açılarını ve güç katsayılarını hesaplayınız. Devrenin niteliğini (omik-endüktif-kapasitif) belirleyiniz.


8.1.2 Ani Güç: )(Im wtCosi

)wt(Cos).wt(Cos.Im.Vmi.vp

Trigonometrik işlemlerle,

)2(.2

.)2(.

22

Im.wtSinSin

mVmwtCosCos

mVmCos

Vmp

)(. wtCosVmv

)wt2(Sin.Sin.ef.Vef)wt2(Cos.Cos.ef.VefCos.ef.Vefp

İlk terim, güç katsayısına bağlı ortalama sabit bir güçtür. ikinci ve

üçüncü terimler ise sinüsoidal değişen ani güç bileşenleridir.

Etkin değerlerle,

Endüktif yük

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)

cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B



Ortalama ya da aktif (gerçek) güç (Watt)

Ani güç ifadesi yorumlanırsa,• Ani gücün ortalaması yani ortalama güç,

• Devredeki yük omik ise güç katsayısı 1 dir Bu durumdaki ani gücün de (Q=0)ortalaması olur. Kısaca bu güç, sinüsoidal devrelerde harcanan enerjiye neden olan güçtür, Etkin ya da aktif güç olarak da söylenir ve P ile gösterilir.

Cos.ef.VefP

8.1.3 Aktif, Reaktif ve Görünür Güç

)2(.)2(. wtSinQwtCosPPp

)0Sin,1Cos(

Cos.ef.VefPort

Cos.ef.VefPort


)(.. SineffVeffQ

Reaktif (sanal) güçtür (VAR, Volt-Amper-Reaktif)

• Devre saf endüktif ya da saf kapasitif ise güç katsayısı sıfırdır ve dolayısıyla devrede ortalama (aktif) güç de sıfır olur. Bu durumda geriye kalan güç ifadesi,

olacağından bu güç, bobin/kondansatörün depo edilen ve geri verilen güç olur. Bu güç ise aktif bir güç bileşeni olmadığından Reaktif ya da sanal güç olarak ifade edilir.


)2(.)2(. wtSinQwtCosPPp

)1Sin,0Cos(

(Sin.Ief.VefQburada)wt2(Sin.Qp


Karmaşık ya da Görünür güç ( VA, Volt-Amper)

Aktif ve reaktif güçlerin arasında 90 derecelik faz farkı olduğu da

görülür. Bu durumda, bu iki gücün toplamını gösteren güç ise karmaşık

güç olarak söylenir ve genellikle (S) ile gösterilir.

JQPS SS S

)wt2(Sin.Q)}wt2(Cos1{Pp

görünür güç

Güç üçgenleri

Endüktif yük Kapasitif yük


effeff

effeff

II

VV

Jeff

Jeff

Jeffeff

effeff

eIeVS

eIVS

IVS

...

..

.

)(

*. effeff IVS

Akım ve gerilim fazörleri cinsinden karmaşık güç

Bu ifadedeki akım ve gerilim fazördür ve

I*, Akım fazörünün eşleniğidir.

49

j

effeffeffeffeffeffeIV)(SinIjV)(CosIVJQPS

Etkin Akım ve gerilim değerleri cinsinden karmaşık güç

effeff IVS Bu ifadedeki akım ve gerilim fazör

değildir, sadece etkin değerleridir.


8.2 Elektrik Devrelerinde Kalıcı Durum Güç Hesabı

CosVP )(SinVQ IVJQPS

a-) Saf omik devreler 0)(Sin,1)(Cos,0

S

Q

P

RZ

Özet: Etkin değerler Vef=V, Ief=I ile etkin fazörler ise V, I ile

gösterilmiş olsun. Aktif, reaktif ve karmaşık güçler:

Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.

0j10Z),3/t100(Sin200v

S=V I*


b-) Saf endüktif devreler 1)(0)(,90 SinCos

S

Q

P

jXLZ

c-) Saf kapasitif devreler 1)(0)(,90 SinCos

S

Q

P

jXcZ

Örnek: Verilen gerilim ve empedans için güçleri bulunuz.

4j0Z),4/t10(Cos50v


Örnek 8.2 Şekildeki saf bobin devresinde, verilen sinüsoidal

akım için güç bağıntılarını çıkarınız. )90(Im)( wtCosti

S

Q

P

V

I

Z


Örnek 9.2

JZ 1

JZ 1

)1//()1( JJZ

a-)

b-)

c-)

Örnek 8.3 Şekildeki devrede, verilen gerilim fazörü ve

empedanslar için güçleri hesaplayınız.

Çözüm:


Örnek 8.4. Şekildeki devrede yükün aktif gücü P=8 kW ve

güç kaç sayısı 0,8 geri olduğuna göre karmaşık gücünü ve

yükün empedansını bulunuz

Çözüm:


Örnek 8.5 Şekildeki devrede bir yük, iletim hattı üzerinden kaynağa

bağlanmıştır.

a-) yük akımını ve gerilimini bulunuz.

b-) yükün aktif, reaktif ve görünür güçlerini bulunuz.

c-) Hatlarda oluşan kayıp gücün aktif ve reaktif bileşenlerini bulunuz.

d-) Kaynağın devreye verdiği aktif, reaktif ve görünür güçleri bulunuz.


8.3 Güç Katsayısını Düzeltme

• Enerji sağlayan şebekeler, santrallerin ve hatların fazla

yüklenmemesi için bir işletmenin güç katsayısının 0.8 in

altına düşmesini önlemeye çalışır.

• Endüktif ve kapasitif yüklerin çektikleri reaktif güçler 180

derece faz farklıdır.

• Genellikle endüktif özellikte olan işletmelerin reaktif güç

bileşeni, işletmenin enerji girişine paralel bağlanan bir

kapasitif yük grubu ile kompanze edilebilir.


Örnek 8.6 Şekildeki devrenin güç katsayısını 0.9 geri yapmak için

bağlanması gereken reaktif gücü belirleyiniz.

Kompamzasyon yapılmadan önce ve yapıldıktan sonra devre akımı

nasıl değişmiştir, belirleyiniz. Z = 10- j 20


Örnek 8.7 Şekildeki devrede

a-) Kondansatör bağlı değilken yükün hatta meydana getirdiği

güç kaybını bulunuz.

b-) Bu yükün güç katsayısını yapmak için

paralel bağlanması gereken kondansatör değerini bulunuz

c-) Kompanzasyon sonucunda hatta meydana gelen güç

kaybını bulunuz

8,0Cos


8.4 Maksimum Güç Transferi

Sinüsoidal kalıcı durumdaki herhangi bir devrenin, iki ucuna

bağlanan bir yüke maksimum güç verebilmesini sağlayan koşullar,

dirençli devrelerde yapıldığı gibi belirlenebilir. Sonuç olarak

devrenin Thevenin eşdeğeri belirlendiğinde, bu devrenin yüke

verebileceği maksimum aktif gücün ancak olduğunda

gerçekleşebileceği görülür.

*THL ZZ

Yani, kabul edilirse devrenin yüke maksimum

güç verebilmesi için bağlanacak yükün empedansı,

THTHT JXRZ

THTHL JXRZ Olmalıdır.59F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT

Örnek 8.8 Şekildeki devrede, yükten maksimum güç alınabilmesi

için bağlanması gereken yükü ve yükün gücünü bulunuz.

40003000010 JZVV THTH

THeş RZ 2

L

2

TH

L

2

TH

TH

L

2

LMAXR4

VR.)

R2

V(R.IP

Çözüm


Bölüm 9

Üç Fazlı Sistemler

9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar ve Fazörleri9.2 Yıldız ve Üçgen Bağlantılar

9.3 Yıldız –Yıldız Bağlantının Analizi

9.4 Üç Fazlı Sistemlerde Güç


9.1 Üç fazlı Sinüsoidal Kaynaklar

)3

2wt(VmSinVc

)3

2wt(VmSinVb

)wt(VmSinVa

)3

2wt(VmSinVc

)3

2wt(VmSinVb

)wt(VmSinVa

Pozitif faz sırası

Negatif faz sırası


Fazörlerle 3 fazlı gerilim kaynağı ( pozitif ve negatif faz sırası)

120

120

0

VmVc

VmVb

VmVa

120

120

0

VmVc

VmVb

VmVa

0 VcVbVa

Kaynaklar dengeli ise (genlikler ve faz farkları eşit)

63

)3

2wt(VmSinVc

)3

2wt(VmSinVb

)wt(VmSinVa


9.2 Yıldız (Y) ve Üçgen ( ) Bağlantı

3 fazlı sistemlerde yıldız ve üçgen olmak üzere iki farklı bağlantı vardır.

Hat

ve

Faz

Akım-Gerilimlerinin

tanımı ?


30

Vbc

Vbn

Vca

Vcn

Vab

Van

030Vm.3................VbVaVab

Hat ve Faz Gerilimlerinin Genlik ve Faz İlişkisi

65

120

120

0

VmVc

VmVb

VmVa


Üçgen bağlantı

Hat ve Faz akım-gerilimlerinin tanımı ?


30

hb

c

hc

a

ha

b

30.Im3...........................IcIaIha

Hat ve Faz Akımlarının Genlik ve Faz İlişkisi

67

120ImIc

120ImIb

0ImIa


9.3 Yıldız-Yıldız Üç Fazlı Sistemler


Y-Y sistemin sadece bir fazı yani faz – nötr arası

incelenerek 3 fazlı sistemin analizine ulaşılabilir.


Örnek 9.1 3 fazlı Y-Y bir sistemin bir fazının kaynak, hat ve

yük değerleri aşağıda verilmiştir.

a-) Hat akımlarını

b-) Yükün faz gerilimleri

c-) Yükün hat gerilimlerini

d-) Kaynağın çıkış terminallerindeki faz gerilimleri

e-) Kaynağın çıkış terminallerindeki hat gerilimleri

?,, CBA

III

?,, CNBNAN

VVV

?,, CABCAB

VVV

?,, VcnVbnVan

?,, VcaVbcVab


Yıldız-Üçgen Üç Fazlı Sistemler


9.4. Üç Fazlı Sistemlerde Güç

3 fazlı sistem, 3 adet 1 fazlı sistemden ibaret olduğuna göre 3

fazlı sistemin toplam gücü, faz akım ve gerilimleri cinsinden

yazılan 3 adet bir faz gücünün 3 katıdır.

SinIfVfQCosIfVfP ...3...3

İster yıldız, ister üçgen bağlantı olsun 3 fazlı sistemlerin gücü

faz akım ya da gerilimleri yerine hat değerleri yazılırsa,

CosIVP HH ...3 SinIVQ HH ...3

Genellikle de 3 fazlı sistemlerde güç denildiğinde hat

değerleri yazılan bağıntı anlaşılır.


Bölüm 10

Laplace Dönüşümü ile Devre Analizi

10.1 Laplace Dönüşümü

10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri

10.3 Ters Laplace Dönüşümü

10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri

10.5 Laplace Dönüşümü ile Devrelerin Analizi

10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler

10.7 Transfer Fonksiyonu


10.1. Laplace Dönüşümü

Zamana bağlı bir f(t) fonksiyonunun t 0 için laplace dönüşümü

olan F(s),

Basamak-Birim Basamak Fonksiyonu

t (san.)

f(t)

A

ise0t0

ise0tA)t(f

F(s)=….

F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT 74

Rampa-Birim Rampa Fonksiyonu

t (san.)

f(t)

A

1

iset

isettAtf

00

0.)(

.....)s(F


Ani darbe (impulse) –Birim İmpuls fonksiyonu

t (san.)

f(t)(t)

t (san.)

f(t)

0 T

A

isett

isetttf

0)(

00)()(

İmpuls fonksiyonunun örnekleme özelliği

isetttt

isettttfdttttf

t

t 0201

21

0,0

0)0()().(

2

1

örnekleme özelliği kullanılarak

....)}t({L)s(F

AdttA

0

)(


Sinüs Fonksiyonu

0

stdte)wtsin.A(sinwt£F(s)

....)s(F

77

Euler bağıntısından,


Ötelenmiş Fonksiyonlar

t (san.)

f(t)

T1

T2

A1

A2

0

f(t-T1)

f(t-T2)

iseTt

iseTtATtf

1

11

10

)(

iseTt

iseTtATtf

2

22

20

)(

)()(£.

sFeTtfTs

78

Örnek 10.1: Ötelenmiş basamak fonksiyonunun laplace dönüşümünü

bulunuz.


Örnek 10.2 Verilen ötelenmiş üstel fonksiyonunun Laplace

dönüşümünü bulunuz

79

)2t(e)2t(f


Darbe fonksiyonu

t (san.)

f(t)

T1

T2

A

0

iseTtveTt

iseTtTAtf

210

21)(

)2()1(.)( TtuTtuAtf

... F(s)


81

Örnek 10.3 Şekilde verilen sinyalleri ötelenmiş temel test sinyallerinin

toplamı/farkı şeklinde yazarak sinyalin laplace dönüşümün bulunuz.

f(t)

t(sn)6321 40 5

10

-10

81

f(t)

t(sn)6321 40 5

10

-10

10u(t)

15(t-4)

5(t-6)10(t-2)


Laplace Dönüşüm Tablosu

Fonksiyonun adı f(t) F(s)

1. Birim anidarbe (t) 1

2.Birim basamak u(t) 1/s

3. Birim rampa t 1 / s2

4. Üstel e-at 1 / (s+a)

5. sinüs sin wt w / (s 2 + w 2)

6. cosinüs cos wt s / (s 2 + w 2)

7. Polinom t n (n= 1,2,3,4,..) n ! / (s n+1)

8. Tekrarlı kök t n e–at (n= 1,2,3,4...) n ! / (s+a) n+1

9. Sönümlü sinüs e–at sin wt w / ((s+a)2 + w 2)

10. Sönümlü cosinüs e–at cos wt (s+a) / ((s+a)2 + w 2)


10.2 Laplace Dönüşümünün Özellikleri

Doğrusallık Özelliği

)(2.)(1.)()(2.)(1.)( sFbsFasFisetfbtfatf

Üstel ile Çarpma

)()()(.)(11

asFsFisetfetfat

Rampa ile çarpma

)(.)1()()(.)( 11 sFds

dsFisetfttf

n

n

nn

83

Örnek 10.4

Örnek 10.5

Örnek 10.6 F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT

Örnek 10.7 Verilen sinyalin laplace dönüşümünü alınız.

)4()(2

tSintetft

Çözüm:


Türevin laplace dönüşümü

)0(..........).........0(.)0(.)()(1/21

nnnn

n

n

ffsfssFstfdt

d

)0().......0(),0(1/ n

fff

85

İntegralin laplace dönüşümü

Örnek 10.8


Örnek 10.9 Verilen integro-diferansiyel denklemin laplace

dönüşümünü alarak s- bölgesinde Y(s) çözümünü bulunuz.

1)0(yedt)t(y)t(y3dt

)t(dyt

0

)4t(2

Çözüm:


İlk değer teoremi

Son değer teoremi

87

Örnek 10.10


Örnek 10.11 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz?

)3s)(2s)(1s(

4s)s(F

Çözüm:88

10.3 Ters Laplace DönüşümüF(s) £f(t)

-1


Gerçek ve Katlı kök durumu

ps

Kn

ps

K

ps

K

ps

sNsF

nnn

..........

)(

2

)(

1

)(

)()(

1

ptpt

n

pt

n

eKnen

tKe

n

tKtf

........)!1(

.2.!

.1)(

21

)(!

1lim1 sFps

ds

d

iK

n

i

i

psi

i=0,1,2,........n-1

89

Örnek 10.12 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.

)2()1(

3)(

3

ss

ssF

Çözüm:


Karmaşık kök durumu

)jbas(

K

)jbas(

*K

)jbas)(jbas(

)s(N)s(F 11

t).jba(

1

t).jba(

1e.Ke.*K)t(f

90

1K)(..12)(

btCoseKtfat

Örnek 10.13 Verilen fonksiyonunun ters laplace dönüşümünü bulunuz.

)22)(2(

1)(

2

sss

ssF

Çözüm:


Sanal ya da karmaşık kutuplara sahip olan fonksiyonların

ters laplace dönüşümünün sinüsoidal ya da sönümlü sinüsoidal

Olduğu dikkate alınarak da karmaşık kutba sahip olan

fonksiyonların ters laplace dönüşümü alınabilir. Bu amaçla

aşağıdaki laplace dönüşümleri hatırlanmalıdır.

22

22

22

22

)()()()(

)()()()(

)()()(

)()()(

was

assFisewtCosetf

was

wsFisewtSinetf

ws

ssFisewtCostf

ws

wsFisewtSintf

at

at


Çözüm:

Örnek 10.14 Verilen fonksiyonun ters laplace dönüşümünü bulunuz.

42

2)(

2

ss

ssF


10.4 Devre Elemanlarının Laplace Bölgesi Eşdeğeri

Direnç:

)()( tRitv )()( sRIsV

93

LD

Bobin:

dt

tdiLtv

)()( LIossLIsV )()(

s

Io

sL

sVsI

)()(


Kondansatör:

dt

tdvCti

)()( CVossCVsI )()(

s

Vo

sC

sIsV

)()(

94

Örnek 10.15: Verilen bobin ve kondansatörün Laplace eşdeğerini çiziniz.


10.5 Laplace Dönüşümü İle Devrelerin Analizi

Laplace Dönüşümü ile devrelerin analizinde temel

olarak iki yol izlenebilir.

1-) Önce devrenin zaman bölgesinde inteğro-

diferansiyel denklemleri yazılarak Laplace dönüşümü

uygulanır.

2-) Devrenin laplace eşdeğeri çizilerek devre

denklemleri doğrudan S-bölgesinde yazılır.

Sonuçta her iki yoldan yazılan denklemler aynı

olacaktır ve denklemlerin çözümleri yapılarak devrenin

analizi gerçekleştirilecektir. 95F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M. GÖKBULUT

Örnek 10.16 Şekildeki devrede, a-) devrenin integro-diferansiyel

denklemini yazdıktan sonra LD alarak b-) Devrenin Laplace

eşdeğerini çizerek s-bölgesinde devre akımının ifadesini bulunuz.

Çözüm:

96

sCsLR

LIos

VosV

sI1

)(

)(

vVoidtC

1

dt

diLRi

LD


10.5.1. Birinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi

Örnek 10. 17 Şekildeki devrede devre a-) akımını ve b-) kondansatör

gerilimini Laplace dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.2F, R=10, Vo=4 v.

97

Çözüm: Devrenin Laplace Eşdeğerleri


98

Örnek 10. 18 Şekildeki devrede devre akımını ve direnç gerilimini Laplace

dönüşümünü kullanarak bulunuz. L=0.1H, R=6, iL(0)=5A.

Çözüm:


99

Örnek 10.19 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace

dönüşümünü kullanarak bulunuz. i(t)=10 A, L=0.5H, R=4 iL(0)=2A

Çözüm:

Örnek 10.20 Şekildeki devrede bobin akımını ve gerilimini Laplace

dönüşümünü kullanarak bulunuz. C=0.1F, R=2 Vo=5 v

Çözüm:

t2e10t(i


Örnek 10.21 Şekildeki devrede anahtar 0.5 sn (a) konumunda

kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, için

kondansatör gerilimini bulunuz.

0t

100

Çözüm:


101

Örnek 10.22 Şekildeki devrede anahtar 1 sn (a) konumunda

kaldıktan sonra t=0 anında b konumuna alınıyor, için 0t )t(i


10.5.2. İkinci Dereceden Devrelerin Laplace Dönüşümü ile Analizi

İkinci dereceden devrelerin, karakteristik denklemin köklerine bağlı

olarak aşırı sönümlü, kritik sönümlü ve düşük sönümlü bir

davranış göstereceği hatırlanmalıdır.

102

Örnek 10.23 Şekildeki devrede LD ile i(t) akımını bulunuz. R=4

L=0.2H C=0.1F, Io= -2A, Vo=4v. v(t)=10v


Çözüm:

LC

1s.

RC

1s

s.VoC

10

V2

a-) 4,0R

HL 5,0

FC 5,0

VVo 2

103

Örnek 10.24 Şekildeki devrede farklı R değerleri için v(t)

gerilimini bulunuz.


b-) 5,0R

tteettv

22.2.16)(


)79t3(Cos.e.28.2)t(v

)1Kwt(Cose.1K.2)t(v

t

t.

c-) 1R


106

Örnek 10.25 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)

bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki

çözümünü bulunuz.


107

Örnek 10.26 Şekildeki devrelerin Laplace eşdeğerini çizerek a-)

bobin akımının b-) kondansatör geriliminin Laplace bölgesindeki

çözümünü bulunuz.


Örnek 10.27 Şekildeki devrenin Laplace eşdeğerini çizerek,

a-) Çevre akımları yöntemini uyguylayınız.

b-) Düğüm gerilimleri yöntemini uygulayınız.

c-) Vo(s) gerilimini bulunuz.


Örnek 10.28 Şekildeki devrede anahtar t=0 anında kapatılmaktadır.

Devrenin laplace eşdeğerini çizerek a-) çevre akımları ve b-) düğüm

denklemlerini yazınız.


Örnek 10.29 Şekildeki devrenin ab uçlarını ayırarak laplace

bölgesindeki Thevenin ve Norton Eşdeğerini bulunuz.


10.6 Karşıt Endüktanslı Devreler

dt

diM

dt

diLiRv

dt

diM

dt

diLiRv

1212222

211111

111

(0)]i - M[sI+(0)] i - [sIL + L R = V

(0)] i - M[sI+(0)] i - [sIL + I R = V

11222222

22111111

LD


112

(0)]i M(0) i [L- sMI+ I sL+ L R = V

(0)] Mi(0) i [L- sMI+ I sL+ I R = V

122122222

211211111

(0)]i - M[sI+(0)] i - [sIL + L R = V

(0)] i - M[sI+(0)] i - [sIL + I R = V

11222222

22111111


Örnek 10.30 Şekildeki devrede anahtar uzun süre a konumunda

kaldıktan sonra b ye alınıyor. için i2 akımını bulunuz. 0t

113

Çözüm


10.7 Transfer Fonksiyonu

Transfer fonksiyonu, başlangıç koşulları sıfır alınmak üzere laplace

bölgesinde bir devrenin çıkışının girişine oranıdır ve genellikle G(s)

yada H(s) ile gösterilir.

T.F. s’ e bağlı polinomlar oranıdır.

0

1

1

0

1

1

...

...

)(

)()(

asasa

bsbsb

sX

sYsG

n

n

n

n

m

m

m

m

114

4s2s

2s

)s(X

)s(Y)s(G

2

Örnek


Örnek 10.31Şekildeki devrenin transfer fonksiyonunu bulunuz.

R=10 L=2H C=4F

115

Çözüm: Başlangıç koşulları SIFIR için Laplace eşdeğeri

1

1)(

2

RCsLCsV

VosG


Bölüm 11

Durum Denklemleri

F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G. 116

11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları11.3. Durum Denklemelerinin Çıkarılması11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü

Devreler karmaşık hale geldikçe (örneğin kaynak sayısı birden fazla ise ve birden fazla değişkenin aynı anda incelenmesine ihtiyaç duyulursa) yani devreler çok girişli ve çok çıkışlı hale geldiğinde bu devrelerin diferansiyel denklemleri yerine durum denklemlerini çıkarmak daha kolay hale gelir. Şekilde çok girişli-çok çıkışlı bir devrenin blok gösterilişi verilmiştir.

11.1 Durum Denklemlerinin Tanımı

F.Ü. Teknoloji Fak. EEM M.G.117

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

tu

tu

tu

tu

r

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

ty

ty

ty

ty

m

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

tx

tx

tx

tx

n

Du(t) Cx(t) y(t)

Bu(t) Ax(t) (t)x.

• Giriş vektörü

• Çıkış vektörü

• Durum değişkenleri ?

• Durum vektörü

Durum Denklemi:


Çıkış Denklemi:

Örnek 11.1 Katsayı matrislerine rastgele değerler vermek üzere ikigirişli, iki çıkışlı ve üçüncü dereceden bir devrenin durum denkleminive çıkış denklemini matris düzeninde yazınız.

Çözüm

)(

)(

40

35

21

)(x

)(x

(t)x

065

430

321

)(

)(

)(

2

1

3

2

1

3

.

2

.

1

.

tu

tu

t

t

tx

tx

tx

)(

)(

71

12

)(x

)(x

(t)x

912

210

)(

)(

2

1

3

2

1

2

1

tu

tu

t

tty

ty


11.2. Devrelerde graf, dal ve kiriş kavramları

Karmaşık devrelerde, graf teorisinden yararlanarak sistematik biçimde durum denklemlerini çıkarmak daha uygundur.

Devre Grafı


Ağaç, Dal ve Kiriş

Devre grafından çeşitli alt graflar türetilebilir. Ağaç, bir alt graftır ancak bütün düğümlere uğrayan ama kapalı bir çevre oluşturmayan alt graflar ağaç olarak söylenir. Ağaç yapısında kalan elemanlar dal (düz çizgi) , ağaç dışında kalan elemanlar ise kiriş (kesikli çizgi) olarak söylenir.. Buna göre grafdan çıkarılabilecek bazı ağaçlar gösterilmektedir.


11.3. Durum Denklemelerinin ÇıkarılmasıKarmaşık devrelerin durum denklemlerinin çıkarılmasında, grafteorisinden yararlanılarak verilen bir devre için uygun bir ağaç yapısıseçilir. Bu ağaç, aşağıdaki koşulları sağlamalıdır.

1-) Gerilim kaynakları dal olarak ağaç içine alınmalıdır. Gerilim kaynaklarının yönü, kaynak içinde (+) dan (-) ye doğrudur.2-) Akım kaynakları kiriş olarak ağaç içine alınmalıdır. Akım kaynaklarının yönü kaynağın yönündedir3-) Kondansatörlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa dal olarak alınmalıdır. Kondansatörlerin hepsi dal olarak alınamıyorsa kiriş olarak alınmak durumunda olan kondansatörün değişkeni artık durum değişkeni olarak alınmamalıdır. 4-) Bobinlerin hepsi, ağaç yapısı bozulmuyorsa kiriş olarak alınmalıdır. Bobinlerin hepsi kiriş olarak alınamıyorsa dal olarak alınmak durumunda olan bobinin değişkeni artık durum değişkeni olarak alınmamalıdır. 5-) Dirençler, ağacı tamamlamak üzere dal yada kiriş olarak alınmalıdır.122

• Oluşturulan ağaçta, dal olan kondansatör gerilimleri (yada yükleri) ile kiriş olan endüktör akımları (ya da akıları)bağımsız durum değişkenleridir.

• Elemanların uç denklemleri ile aşağıda tanımlanan temelçevre ve temel kesit denklemlernden yararlanarak durumdenklemleri yazılabilir.

Temel çevre denklemleri: (Kirchoff’ un gerilimler kanunu):Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı kiriş olmak üzere diğerelemanları dal olan kapalı çevreler temel çevrelerdir ve bu çevredenklemleri bağımsız çevre denklemleridir.

Temel kesit denklemleri :(Kirchoff’un akımlar kanunu)Bir devrenin uygun ağaç yapısında, bir elemanı dal olmak üzere diğerelemanları kirişler olan kesitler temel kesitlerdir ve bu kesitlerindenklemleri bağımsız kesit ya da düğüm denklemleridir.


Örnek 11.2 Şekilde verilen elektrik devresinin durum denklemlerini çıkarınız.

R1

C1

C2

R2

i(t)v(t)

L

)()(,)(21

tivetvtvLccDurum değişkenleri:

i

v

L

CCR

C

i

v

v

LL

CCR

C

i

v

v

dt

d

L

c

c

L

c

c

01

2

1

21

11

10

011

2

1

21

10

1

100

2

1

2

1

124






11.4 Durum Denklemlerinin L.D. İle Çözümü

)()()(

)()()(

tDutCxty

tButAxtx

)s(U}DB)AsI(C{)(x)AsI(C)s(Y 11

0

)s(DU)s(CX)s(Y

)s(BU)AsI()(x)AsI()s(X

11

0L.D. alınırsa

Çıkış cevabı ise

)t(u)t(x

)t(x

)t(x

)t(x

2

0

20

01

2

1

2

1

)t(u

(t)x

(t)x)t(y 410

2

1

Örnek 11.5 Verilen durum denkleminin birim basamak cevabını bulunuz.

2

1

0

00

2

1

)(x

)(x)(x


Örnek 11.6 Verilen devrenin durum denklemini çıkararak birim basamak cevabını bulunuz. Durum değişkenleri çıkış olarak alınabilir. R=10 ohm L=0.1H C=0.2F.


Bölüm 12

Devrelerin Frekans Cevabı Analizi

ve

Filtreler

12.1 Frekans Cevabı Analizi

12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)

12.3 R L C Filtreler

12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri


12.1 Frekans Cevabı Analizi

• Bir devrenin frekans cevabı analizi, devreye bağlanan sinüsoidal

bir kaynağın frekansı değiştirildiğinde devrenin kalıcı durum

çıkışının nasıl değişeceğinin incelenmesini ihtiva eder.

• Dolayısıyla geçici cevap bileşeni ve başlangıç koşulları ile

ilgilenilmez.

• Bölüm 8 de, fazörler yardımıyla sinüsoidal kalıcı durum analizi

yapılmıştı. Ancak, frekans cevabı, transfer fonksiyonu ile

yakından ilişkilidir. Bu ilişkiyi belirlemek açısından devrelerin

transfer fonksiyonları üzerinden frekans cevabını açıklamak daha

uygundur.

)wt(VmCos)t(vi

???)t(vo

ss


Bölüm 11’ den hatırlanırsa transfer fonksiyonu, bir devrede

başlangıç koşulları sıfır alınmak kaydıyla Laplace bölgesinde çıkışın

girişe oranı olarak tanımlanmıştır.

Dolayısıyla, bir devrenin/sistemin transfer fonksiyonu bilinirse

herhangi bir giriş için çıkışı kolayca bulunur.

12.1.1 Transfer Fonksiyonu Ve Kalıcı Durum Sinüsoidal Cevap

)(

)()(

sX

sYsG

)s(X).s(G)s(Y


Jws

K

Jws

K

ws

AssGsYss

*11

22)()(

Bu ifade, geçici+kalıcı durum olmak üzere tam cevabı verir. Sadece

kalıcı durum cevabı ile ilgilendiğimize göre kararlı bir devre için

transfer fonksiyonu ile ilgili terimlerin ters laplace dönüşümü ,

zaman sonsuza giderken sıfır olacaktır. O halde Yss- kalıcı durum

çıkışını göstermek üzere,

Girişin, x(t)= A.Cos(wt) gibi sinüsoidal bir sinyal olduğunu dikkate

alalım.

22ws

sA)s(X

terimlerililgiile

fonksiyonuTransfer

Jws

K

Jws

K

ws

As)s(G)s(Y

*

11

22

)s(X).s(G)s(Y


)jw(G)jw(GA)jw(AGjws

As)s(GK

jws

2

1

2

11

)jw(Gwt(Cos)jw(GA)t(yss

Buradan K1 bulunursa,

Denklemler düzenlenerek sinüsoidal kalıcı durum çıkışı bulunursa,

• Bu devrenin girişinin x(t)= A.Cos(wt) olduğu hatırlanırsa, bir

devrenin kalıcı durum çıkışının genliğinin, transfer fonksiyonunun

genliği ile,

• faz açısının ise transfer fonksiyonun faz açısı ile orantılı olarak

değiştiği sonucu çıkarılır.

• Ayrıca, giriş kaynağının frekansı (w) değiştirilirse bu değerler ve

dolayısıyla devrenin çıkışının genliği ve faz açısı da değişecektir.


• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(s), devrenin laplace

bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir.

• Frekans bölgesi transfer fonksiyonu G(jw) ise devrenin frekans

bölgesi eşdeğerinden elde edilebilir ya da s-bölgesindeki transfer

fonksiyonunda s=jw dönüşümü ile bulunabilir.

jwssGjwG

)()( )(()()( jwGwtCosjwGAtyss


Örnek 12.1 Şekil (a) da zaman bölgesinde verilen devrenin

R=10, C=0.1F

a-) önce frekans bölgesi transfer fonksiyonunu bulunuz.

b-) vi(t)=10Cos(100t) girişi için kalıcı durum çıkışı voss bulunuz.


Örnek 12.2 Şekildeki devrede, kaynak akımı i(t)=10 Cos(4t) ise

kalıcı durumdaki çıkış yani Voss=?

Çözüm:

10s2s

)2s(10

I

Vo)s(G

2

44,6347,487,12610

43,6372,44

86

4020

10)4(2)4(

)24(10)(

24

j

j

jj

jjwG

w

...)t(voss


12.2 Frekans Seçici Devreler (Filtreler)

• Arzu edilen frekanstaki sinyalleri geçirecek istenmeyen frekanstaki

sinyalleri önleyecek (süzecek) şekilde tasarlanan devrelere Frekans

Seçici Devreler ya da Filtreler denir.

• Önceki örneklerden, bir RLC devresindeki elemanlar farklı şekillerde

bağlanmak suretiyle bir filtre elde edilebileceği görülmektedir.

Alçak Geçiren Filtreler (AGF):Köşe (kesim)frekansı ?

Bant genişliği ?


Yüksek Geçiren Filtreler (YGF):

Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.

Köşe (kesim)frekansı ?

Bant genişliği ?


Bant Geçiren (BGF) ve Bant Durduran Filtreler (BDF)

Gerçek filtre cevaplarını şekil üzerinde çiziniz.

Köşe (kesim)frekansı ?

Bant genişliği ?


12.3 R L C Filtreler

12.3.1 Alçak Geçiren RL Filtreler

Çözüm: Önce devreyi w=0 ve w=sonsuz için yorumla sonra çöz.

RsL

R

Vi

Vo)s(G

L

Rwc


12.3.2 Alçak Geçiren RC Filtreler

1sRC

1)s(G

RC

1wc



,

Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC AGF devrelerine dikkat edilirse

birinci dereceden bir AGF’nin transfer fonksiyonu;

c

c

ws

w)s(G

Örnek 12.3 Köşe frekansı 100 Hz olan bir alçak geçiren RL ve RC

filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.


12.3.3 Yüksek Geçiren RL Filtreler

L

Rs

s)s(G

L

Rwc



12.3.3 Yüksek Geçiren RC Filtreler

RC

1s

s)s(G

RC

1wc



cws

s)s(G

Sonuç olarak yukarıdaki RL ve RC YGF devrelerine dikkat edilirse

birinci dereceden bir YGF’nin transfer fonksiyonu;

Örnek 12.4 Köşe frekansı 1 kHz olan bir yüksek geçiren RL ve RC

filtre tasarlayınız. NOT: Önce L veya C değerini seçiniz.


LC

1s

L

Rs

sL

R

)s(G2

12.3.4 Bant Geçiren Filtreler



01

jwC

jwL

Genliğin maksimum olduğu andaki frekans (yani devre saf omik davranış

gösterirken) merkez ya da rezonans frekansıdır ve bu duruma devrenin

rezonans hali denir. Yani,

01

wCwL

LCwo

1

Genliğin maksimum olduğu nokta wo frekansında elde edilir

1)jwo(GGmax

Genlik ifadesi, ye eşitlenip w frekansı için çözülürse köşe frekansları, 2

1

LCL

R

L

Rwc

1

22

2

1

LCL

R

L

Rwc

1

22

2

2

Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü


Merkez frekansı (wo), köşe frekanslarının

geometrik ortalaması alınarak da bulunabilir.

LCwww cc

1210

Bant genişliği köşe frekanslarının farkıdır,

L

RwwB cc 12

Kalite faktörü ise,

B

woQ

CR

LQ

2

Kalite faktörü, bant genişliğinin anlam olarak tersini ifade eden bir

tanımdır. Bant genişliği arttıkça kalite faktörü azalır.


2

0

2wBss

Bs)s(G

Köşe frekansları,

20

2

22

0

2

12222

wBB

wwBB

w cc

Sonuç olarak yukarıdaki RLC BGF devrelerine dikkat edilirse

İkinci dereceden bir BGF’nin transfer fonksiyonu;


Örnek 12.5 Transfer fonksiyonu aşağıda verilen filtrenin

parametrelerini belirleyiniz.

6210s300s

s10)s(G

2

0

2wBss

Bs)s(G

Çözüm


Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu ve

filtrenin önemli parametrelerini belirleyiniz. BGF transfer

fonksiyonunu referans alınız.


LC

1s

RC

1s

sRC

1

)s(G2


Örnek 12.7 Örnek 12.6 daki devreye göre merkez frekansı 5 kHz ve

bant genişliği 200 Hz olan bir BGF tasarlayınız. C=5µF değerinde bir

kondansatör kullanılacaktır.

4002 fB 15,15911

BCR

RCB

100002 fwo

mHCw

LLC

wo 64,202105)10000(

111

322

2

Çözüm:


12.3.5 Bant Durduran Filtreler


LC

1s

L

Rs

LC

1s

)s(G2

2

22

2

2

L

Rww

LC

1

wLC

1

)Jw(G


BDF lerde de BGF lerde olduğu gibi benzer tanımlar yapılabilir.

Merkez frekansı wo, BDF’nin genliğinin min.olduğu noktadaki frekans

değeridir.

0)Jw(H 01 2

wLC LC

wo1

Merkez frekansı, köşe frekansları, bant genişliği ve kalite faktörü

Genlik ifadesi ye eşitlenerek w için çözülürse köşe frekansları, 2

1

LCL

R

L

Rwc

1

221

2

LCL

R

L

Rwc

1

222

2

L

RwcwcB 12

CR

L

B

woQ

2


2

0

2

2

0

2

wBss

ws)s(G

Köşe frekansları,

20

2

221 w

BBwc

2

0

2

222 w

BBwc

Sonuç olarak yukarıdaki RLC BDF devrelerine dikkat edilirse

İkinci dereceden bir BDF’nin transfer fonksiyonu;


Örnek 12.6 Şekildeki devrenin nasıl bir filtre devresi olduğunu

belirleyerek filtrenin parametrelerini bulunuz. BDF transfer

fonksiyonunu referans alınız.


LC

1s

RC

1s

LC

1s

V

V)s(G

2

2

i

0

2

0

2

2

0

2

wBss

ws)s(G


Örnek 12.7 Merkez frekansı 750 Hz ve kalite faktörü 3 olan bir

BDF tasarlayınız. 100 nF bir C kullanınız.

Çözüm:

15002 fwo

HzBQ

wB 250500

0

mHCw

L 4501

20

707104505003LBR


12.4 Logaritmik Frekans Cevabı (Bode) Eğrileri

Bode eğrileri, logaritmik frekans eksenine göre logaritmik genlik ve

faz cevabını veren eğrilerdir. Bode eğrilerinde genlik, decibel olarak

tanımlanır.

Frekans cevaplarında önemli bir yeri olan düşük frekans bölgesi,

logaritmik eksenlerde genişletilerek daha hassas bir cevap eğrisi elde

edilebilir ve yüksek frekans bölgesi ise sıkıştırılarak geniş bir frekans

alanında grafikler çizilebilir.

Çarpım ve bölüm durumunda olan transfer fonksiyonunun

bileşenleri, toplam yada fark durumuna getirilerek genlik ve faz

hesaplamaları kolaylaşabilir.

Genlik ve faz cevapları, analitik işlemler yerine gerekirse

grafiksel olarak da yapılabilir.


12.4.1 Desibel, Oktav ve Decade Kavramları)( jwG

)(.log.20)( jwGjwGdB


12.4.2 Bode Eğrilerinin Çizimi

• Bir devrenin transfer fonksiyonunun 4 temel bileşenden meydana

geldiği görülür.

• Logaritma alındığında bu bileşenler toplam ya da fark haline

geleceğinden bu bileşenlerin pay ve / veya paydada olması veya

tek katlı ya da çok katlı olması incelemeyi fazla etkilemez.

Sabit bir kazanç çarpanı K

sanal çarpan

birinci dereceden çarpan

ikinci dereceden çarpan

rjw

])[(

rjwT

)1(

r

nn w

w

w

wj

)21(

2

2


Sabit Kazanç Çarpanı K

KjwG )( olsun )log(.20)( KjwGdB

0)( KjwG

19

19.5

20

20.5

21

10 -1 100 101 102-1

-0.5

0

0.5

1

G(jw)dB

w(rad./sn)

w(rad./sn)

K=10 için


Sanal Bileşenr

jw

])[(

jwjwG

1)(

)log(20)( wjwGdB

20

tan)(1

w

jwG

s

1)s(G


Sanal bileşenin r katlı olduğu kabul edilirse bode genlik cevabı,

)log(..20)( wrjwGdB

2

.0

tan.)(1

rw

rjwG

r=2 için


Sanal bileşenin payda yerine payda olduğu dikkate alınırsa,

jwjwG )(

)log(20)( wjwGdB

20

tan)(1

w

jwG


s2

20)s(G

Örnek 12.8 Aşağıda transfer fonksiyonu verilen devrenin frekans

cevabını çiziniz.


Birinci dereceden bileşen rjwT

)1(

1

1)(

jwTjwG

1log(20)(22 TwjwG

dB

1tan)(

1 wTjwG

-20

-15

-10

-5

0M

agnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

r=1

ve

T=10 için

r=2 için ?

Asimptotlar ??


Birinci dereceden bileşenin pay olması durumunda

bode genlik ve fazı,

1log(20)(22 TwjwG

dB 1tan)(

1 wTjwG

0

5

10

15

20

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

0

45

90

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

1jwT)jw(G

Asimptotlar ??


İkinci dereceden bileşen r

nn w

w

w

wj

)21(

2

2

2

2

21

1)(

nn w

w

w

wj

jwG

22

2

2

)2()1(log(20)(nn

dB w

w

w

wjwG

-40

-30

-20

-10

0

10

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

için

8.0ve25.0

,10wn

Asimptotlar ??




)10(

200)(

sssG

-40

-20

0

20

40

Magnitu

de (

dB

)

10-2

10-1

100

101

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Çözüm:




)1s(s

)1.0s(100)s(G

Çözüm:

100s4s

)1s(200)s(G

2



Çözüm:


Documents

Bölüm 7 SinüsoidalKalıcı Durumee.tek.firat.edu.tr/sites/ee.tek.firat.edu.tr/files/Devre Analizi-II.pdf · Devre Analizi 7.1 Sinüsoidal kaynaklar 7.2 Ortalama ve Etkin Değer