Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordubrahms.emu.edu.tr/ersin/documents/mate 417/MATE 417-Ders-2.pdf · 1.Hiçbiri de 1000’den büyük olmayan, küçük paydalar

Derleyen: Ersin Kuset Bodur

Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordu...

Burada iki kat alma işlemi bitiyor

Örneğin, 35 ÷ 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu:

Fakat 35 elde edilemediği için bu kez 8’in ikiye bölme işlemleri gerçekleştiriliyor


Bölme işlemi her zaman az önce olduğu gibi basit gerçekleştirilemiyordu...

35 = 32 + 2 + 1 olduğundan

Örneğin, 35 ÷ 8 işlemi şöyle gerçekleştiriliyordu:

35÷8 = 4 + (1/4) + (1/8) olur


16 = 12 + 3 + 1 olduğundan

Örnek: 16 ÷ 3 = ?

16÷3 = 4 + 1 + (1/3) = 5 + (1/3) olur


Kesirleri birim kesir cinsinden ifade edebilmek için özel 2/n tabloları oluşturmuşlardır.


Bu tabloyu oluştururken bazı kesirleri;

2/n = 1/[(n+1)/2]+1/[n(n+1)/2]

formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır.

Örnek: 2/7’yi bu şekilde yazmaya çalışalım.

2/7 = 1/[(7+1)/2]+1/[7(7+1)/2] =1/4 + 1/(7X4) =1/4 + 1/28 Örnek: 2/11’i bu şekilde yazmaya çalışalım.

2/11 = 1/[(11+1)/2]+1/[11(11+1)/2] =1/6 + 1/(11X6) =1/6 + 1/66


Fakat 2/15’i yazarken bu kuralın çalışmadığı anlaşılmaktadır. Payda eğer 3k şeklinde ise

2/3k = [1/2k]+[1/6k] formülünü kullanarak birim kesirlere dönüştürdükleri anlaşılmaktadır.

Örnek: 2/15’i bu şekilde yazmaya çalışalım.

2/15 =2/(3X5)= [1/(2X5)]+[1/(6X5)] =1/10 + 1/30

Örnek: 2/21’i bu şekilde yazmaya çalışalım.

2/21 =2/(3X7)= [1/(2X7)]+[1/(6X7)] =1/14 + 1/42


Yukarıda açıklanan iki metoda rağmen, örneğin 2/19’un yazılması esnasında kullanılan;

2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114 İfedesinin nasıl ve niye tercih edildiği halen tam olarak anlaşılamamıştır.

Örneğin 2/19’u yazarken niye aşağıdaki alternatifler tercih edilmemiştir?

veya

2/19 =1/12 + 1/57 + 1/228

2/19 = 1/[(19+1)/2]+1/[19(19+1)/2] =1/10 + 1/190

2/n tablosundaki tüm verilenleri açıklayan kesin bir metod halen bulunamamıştır.


Tablonun oluşturulması esnasında aşağıda belirtilen tercihlerin yapıldığı anlaşılmaktadır: 1.Hiçbiri de 1000’den büyük olmayan, küçük paydalar tercih edilmektedir

2.Az sayıdaki birim kesir tercih sebebidir ve hiçbirinde 4’ten fazla birim kesir yoktur

3.Özellikle ilk birim kesir için, paydanın tek sayı değil, çift sayı olması tercih edilmektedir

4.Küçük paydalar öncelikle yazılmakta, ve hiçbir payda diğerinin aynisi olmamaktadır

5.Bazen küçük olan ilk payda, diğer paydaların değerinin azaltılması için artırılmaktadır.

Örneğin; 2/31 için (1/18 + 1/186 + 1/279) değil (1/20 + 1/124 + 1/155) kullanılmaktadır.

BU TERCİHLERİN NEDEN BU ŞEKİLDE YAPILDIĞI HALEN ANLAŞILMIŞ DEĞİLDİR


Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla çarpım işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:

ÖRNEK: (2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) işleminin nasıl yapıldığı aşağıda açıklanmıştır. Çarpma işleminde yaptığımız gibi iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz

(2 + 1/4) X (1 + 1/2 + 1/7) = 3 + 1/2 + 1/8 + 1/14

= 3.6964285714285714285714285714286


Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:

ÖRNEK: 37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = ?

Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz

Bu sayı 37’ye çok yakındır ve eksik kalanı bulmak için;

z x


Şimdi, kesirlerle ve kesir bulunan sayılarla bölme işlemlerinin nasıl yapıldığını öğrenelim:

ÖRNEK: 37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = ?

Bölme işleminde yaptığımız gibi bölenin iki katını alarak bu işlemi gerçekleştireceğiz

37 ÷ (1 + 2/3 + 1/2 + 1/7) = 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776

Ödev 3 Yunan yarımadasında hüküm süren Eski Yunan medeniyetleri ve bu medeniyetlerin en belirgin özelliklerinin anlatılacağı, bir sayfayı

geçmeyecek Ģekilde metin hazırlayınız.

Ödev teslimi : 20 Ekim 2011 tarihinde teslim edilecektir.


Mezopotamya Matematiği


BABĠL KULESĠ


AKBABA KABARTMALARI


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Stele_of_Vultures_detail_02.jpg

SÜMER YAZISI


BÜYÜK ZĠGGURAT


BABĠLĠN ASMA BAHÇELERĠ


HAMMURABĠ KANUNLARI


GILGAMIġ



Mezopotamya’da yaşamış başlıca medeniyetler:

Mezopotamya coğrafyasında yaşamış bazı medeniyetleri Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler, Hititler, Persler...olarak biliyoruz.


Günümüze Mısırlılardan çok daha fazla yazılı belgenin

Mezopotamyalılardan kaldığını görüyoruz. Bunun nedeni ise Mezopotamyalıların yazıyı kil tabletler üzerine yazmış olmalarından kaynaklanmaktadır. Kil tabletler bazen güneşde kurutuluyor, bazen ise pişiriliyordu. Bu sebeplerden dolayı tabletlerin ömrü oldukça uzun olmuştur. Tabletler dünyanın çeşitli müzelerinde korunmaktadırlar. Örneğin İstanbul arkeloji, Berlin, Lourve, Moskova gibi müzelerde halen sergilenmektedirler.


Mezopotamyada yaşayan medeniyetlere ait olan matematik

bilgimiz okunabilen tabletler aracılığı ile olmuştur. Okunabilen-incelenebilen beş yüze yakın tabletde matematikle ilgili işlemlerin olduğu görülmüştür. Kesinlikle kalıntılardan Mezopotamyada yapılan matematiğin Mısırda yapılan matematik seviyesinden oldukça ileri düzeyde olduğu biliniyor.


Mezopotamyada Mısırlda yapılan matematiğinin ötesinde ikinci

dereceden bazı polinomların köklerinin bulunması, iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümü gibi işlemler yapılıyordu. Fakat ikinci dereceden her polinomun köklerini bulamıyorlardı çünkü negatif ve irrasyonel sayılarını bilmiyorlardı.

Ayrıca Mezopotamyalılar sonradan Pisagor teoremi olarak adlandırılan teoremi de biliyorlardı. İlk önceleri pi sayısını karesi 10 olan bir sayı olarak bilmekte idiler. Ama daha sonraki yıllarda pi sayısını 3.15 olarak kullanmışlardır.


Değişik sayı sistemleri yanında 60 tabanlı sayı sistemini

kullanmışlardır. 60 tabanlı sayı sistemini kullanmalarına dair farklı üç görüş mevcuttur:

1) 60 sayısının 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30 gibi çok sayıda bölenlerinin olması günlük hayatta kolaylık sağlıyordu.


2) 60 tabanlı sayı sistemden önce o bölgede 10 ve 12

tabanlı sayı sistemlerinin kullananılıyordu. Daha sonra gelen medeniyetler, daha önceki ölçü birimleriyle uyum sağlayabilmek için, 10 ile 12 nin en küçük ortak katı olan 60 ‘ı sayı sistemlerinin tabanı olarak kullanmışlardır.


3) O yıllarda insanlar sayı saymak için bir eldeki, baş parmak hariç,

dört parmakta bulunan üç eklem yerini kullanıyorlardı; 4 parmakta 12 eklem yeri olduğu ve bir elde de beş parmak olduğu için bu iki sayının çarpımı olan 60 ‘ ı sayı sistemlerinin tabanı olarak almışlardır.

60 sayısını niçin sayı sistemlerine taban diye seçtiklerini anlatan bir tablet bulunduğu zaman bu sayı sistemini kullanma amaçlarını iyice öğrenmiş olacağız.


Günümüzdeki sayı sistemimizde 10 ve 10 nun kuvvetlerini

kullandığımız ve sayıları buna göre basamaklandırdığımız biliniyor. Mezopotamyadaki sayı sistemi ise 60 tabanlı bir sistemidir. Mezopotamyalılar sayıları 60 ve 60 ın kuvvetlerine göre basamaklandırmışlardır. Günümüzde bu sayı sistemi: denizcilik ve astronomi de kullanılmaktadır. Bu sayı sisteminin özelliği basamaklı bir sayı sistemi olmasıdır. Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmesi bize Mezopotamyadaki sayı sisteminden kalan miraslardır.

Rakamların Sembollerle gösterimi


Mezopotamya’nın bir diğer özelliği ise, sayıları temsil eden soyut şekillerin kullanılması olmuştur. Soyut rakam sembolleri ilk kez Akadlar döneminde ortaya çıkmaya başlamıştır.

Akadlar döneminde, Sümer resim yazıları zaman geçtikçe unutulmuş ve bu resimler belirli kelimeleri veya sayıları temsil eden soyut simgeler haline dönüşmüşlerdir.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bf/SAG.svg

Rakamların Sembollerle Gösterimi


Mezopotamyalıların 1 ve 10 sayıları için bir

ve diğerleri için 2 sembol kullanıldığı

görülmektedir

Sayıları ifade etmek için sadece iki

sembol kullanılması, bir dezavantaj

olarak ortaya çıkmaktadır. Bu

nedenden dolayı sayılar gösterilirken

sembollerin tekrarlanarak kullanılması

zorunluluğu ortaya çıkmaktadır.

SAYILARIN BASAMAK DEĞERĠ KULLANILARAK ĠFADE EDĠLMESĠ


Babilliler, Sümer ve Akad sayı sistemlerini daha da geliştirdiler.

Sümer ve Akad dönemlerinde sayılar semboller ile gösterilmesine rağmen, bu dönemlerde basamak değeri ile ilgili bir bilginin olduğuna dair elimizde hiçbir veri bulunmamaktadır.Babilliler böylece, insanlık tarihinin önemli buluşlarından birini gerçekleştirmiş oldular.

1854 yılında, İngiliz yerbilimci William K. Loftus’un bulduğu ve sayıların karelerinin sıralandığı iki kil tablet, basamak değerlerinin Babilliler döneminde kullanıldığını kesinleştirmiş oldu.

Bu tabletlerde sıralanan sayılar; 1, 22 için 4, 32 için 9, ..., 72 için 49

Bunları takip eden 82 için 14, 92 için 121 ve diğerleri bulunmakta idi.



Bu sayılarda basamakları gösteren herhangi bir işaret olmadığı

için sayıların kaç olduğu hakkındaki kararı, yazının genel

hükmüne göre vermek gerekmektedir.

82 için 14, 92 için 121 sayıların aslında basamak değerleri kullanılarak 64 ve 81 sayılarını ifade ettikleri anlaşılmaktadır.

82 için gösterilen 14’ün, gerçekte 1×601 + 4×600= 64, olduğu

92 için gösterilen 121’in ise, 1×601 + 21×600= 81 olduğu anlaşılmaktadır.

14=64 sayısının gösterilişi ve

121=81 sayısının gösterilişidir



bu sayıyı günümüz rakamları ile ifade etmek için: 1,57,46,40 yazacağız.

1×603 + 57×602 + 46×601 + 40×600 = 424 000



Babillilerin basamakları yazarken aralarında hafif bir boşluk bırakarak yazdıkları anlaşılıyor.

= 1×601 + 1×600 = 61

= 2×600 = 2

KESĠRLĠ SAYILARIN GÖSTERĠLMESĠ


Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmuyordu

Sayısının değişik şekillerde okunuşları:

= 2×60-1 + 12×60-2 = 11/300

= 2×600 + 12×60-1 = 11/5

= 2×601 + 12×600 = 132


Bu belirsizliği, Babil sayılarını günümüz sayıları ile ifade ederken, ortadan

kaldırmak için basamak ayracı olarak virgül “ , ” ve tamsayı ayracı olarak ise

noktalı virgül “ ; ” kullanacağız.

1 0 1 21,30;20,15 1 60 30 60 20 60 15 60

20 15 60 30

60 3600

1215 90

3600

90.3375


Tam sayı ile kesirli sayıyı ayıran bir işaret bulunmaması eksikliğinin yanında, sıfırın bulunmaması da önemli bir eksiklik idi.

Bu eksiklik bin yıl sonra Selevkoslar döneminde M.Ö 300 civarlarında çözüldü ve sıfır rakamının olduğu basamağı doldurmak için semboller kullanıldı

Çarpma


Fırat nehri üzerindeki Senkerah’ta bulunan iki tablet ile çarpmayı nasıl yaptıkları anlaşılmıştır.

Bu tabletlerde;

59’a kadar olan sayıların karesi, ve

32’ye kadar olan sayıların küpleri tablo halinde sıralanmaktadır.


ÇARPMA

Babillilerin çarpma işlemi için bu

formülü kullandıkları biliniyor.

İki sayının çarpımınını, bu sayıların toplam ve farklarının karelerini tablodan bulmak sureti ile elde ediyorlardı.

2 24a b a b a b

2 2

2 2

8 7 8 7 8 7 4

15 1 4

224 4

56

Bölme işlemini bizim burada gösterdiğimiz şekilde gerçekleştiremediklerini unutmayınız...


BÖLME

Bölme, Babilliler için zor bir işlem idi. Bölme işlemini gerçekleştirmek için çarpma işlemini

kullanıyorlardı. a÷b işlemini a×(1/b) olarak hesaplamayı gerçekleştiriyorlardı. Kil

tabletlerde, bu amaçla kullanılan (1/n) tabloları bulunmuştur;

0;30 0;10 0;5 0;3

0;20 0;7,30 0;4 0;2,30

0;15 0;6,40 0;3,45 0;2,

1 1

24

1 1

2 6 12 20

1 1 1 1

3 8 15 24

1 1 1 1

4

0;12 0;6

9 16 25

1 1 1 1

5 10 180

3;3,20

00;2


1/8 0; 7, 30

60:8 =7 kalan=4

4x60=240

240:8=30


BÖLME

224÷4 işlemini gerçekleştirmek için ;

0;30 0;10 0;5 0;3

0;20 0;7,30 0;4 0;2,30

0;15 0;6,40 0;3,45 0;2,

1 1

24

1 1

2 6 12 20

1 1 1 1

3 8 15 24

1 1 1 1

4

0;12 0;6

9 16 25

1 1 1 1

5 10 180

3;3,20

00;2

(3,44)×(;15) = 3×60×(15/60) + 44×(15/60) = 45 + 660/60 = 45 + 11 = 56

İşlemini yapmaları gerekiyordu.

224 => 3, 44


224:60=3 kalan 44

44x60=2640

2640:60=44


DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ

Babillilerin, Pisagor bağıntısı hakkında bilgi sahibi olduğunu gösteren 4 tane önemli tablet vardır.

1. Yale tablet YBC 7289

2. Plimpton 322

3. Susa Tableti

4. Tel Dibai (Tell Dhibai) tableti


KAREKÖK HESAPLARI

Yale üniversitesinde bulunan YBC 7289 tableti

Buradaki resim bir kareyi göstermektedir. Kenarı 30 olarak belirtilen karenin köşegeninde, 1;24,51,10 ve 42;25,35 olmak üzere iki tane sayı yazılmıştır.


KAREKÖK HESAPLARI

1;24,51,10 sayısını onluk sayı sisteminde ifade edersek: 1 + 24/60 + 51/602 +10/603 = 1.414213 elde edilir.

1.414213 sayısı ise yaklaşık olarak sayısını göstermektedir. 30 sayısı kenar uzunluğunu ve 42;25,35 sayısı ise köşegen uzunluğunu gösterirken, 1;24,51,10 sayısı da köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranını göstermektedir.

2


KAREKÖK HESAPLARI

042;25,35 42 60 25 60 35 3600 42 0.4167 0.097 42.4264

2 230 30 1800 42.4264

30 1;24,51,10 42;25,35

olduğu dikkate alındığında köşegen uzunluğunun kenar uzunluğunu ile çarpmak sureti ile elde edildiği anlaşılmaktadır.

2


KAREKÖK HESAPLARI

Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar?

Bununla ilgili çeşitli tahminler olmasına rağmen, en popüler olan tahmin, Babillilerin algoritma içeren bir metod kullanmak sureti ile bu kadar yüksek doğruluk oranına ulaştıkları şeklindedir.

Bu tahmine göre karekök ikiyi hesaplamak için başlangıç olarak biri ikiden küçük, diğeri ise ikiden büyük iki sayı seçtiler.

2 2a b

Sonra bu iki sayının aritmetik ortalamasını hesaplayıp, bu sayının karesini aldılar;

2

2

a b


KAREKÖK HESAPLARI

Eğer hesapladıkları kare, ikiden küçük ise a sayısını ikiden büyük ise b sayısını aritmetik ortalama ile değiştirerek hesaplamaya devam ettiler.

a = 1 ve b = 2 ile bu hesaba başlandığı takdirde, 19 işlem sonra elde edilir.

2 1;24,51,10

İşlem Ondalık 60 Tabanı 1 1.500000 1;29,59,59 2 1.250000 1;14,59,59 3 1.375000 1;22,29,59 4 1.437500 1;26,14,59 5 1.406250 1;24,22,29 6 1.421875 1;25,18,44 7 1.414062 1;24,50,37 8 1.417969 1;25,04,41 9 1.416016 1;24,57,39 10 1.415039 1;24,54,08 11 1.414551 1;24,52,22 12 1.414307 1;24,51;30 13 1.414184 1;24,51;03 14 1.414246 1;24,51;17 15 1.414215 1;24,51;10 16 1.414120 1;24,51;07 17 1.414207 1;24,51;08 18 1.414211 1;24,51;09 19 1.414213 1;24,51;10

Bu kadar hassas ve doğru hesaplamayı nasıl başardılar?


PLİMPTON 322

Columbia Üniversitesi’nde bulunan tablettir.

Bu tablette 4 sütun ve 15 satırda sayılar vardır.


DİK ÜÇGEN (PİSAGOR) ÜÇLÜLERİ

Bu tablette yazılı olanlar, Babillerin kesinlikle dik üçgen üçlüleri (Pisagor bağıntısı) hakkında bilgileri olduğunu göstermektedir.

Babilli yazıcılar, c2 = a2 + b2 sayılarını kullanarak bu tabloyu hazırlamışlardır

Plimpton 322’nin pisagor üçlülerini sistematik olarak sunan bir tablo

olduğu anlaşılmıştır.


SUSA TABLETİ

Bu tablette, 50, 50 ve 60 kenar uzunluklarına sahip bir ikizkenar üçgen ile ilgili problem verilmektedir. Bu problemde, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin yarıçapı 31;15

olarak hesaplanmaktadır.

A, B ve C ikizkenar üçgenin köşeleri olsun.

O, üçgenin üç köşesinden geçen çemberin merkezi olsun.

AD, A köşesinden CB kenarına çizilen dik olsun.

ADB bir dik üçgen olur. Böylece |AD|2 + |DB|2 = |AB|2 yani |AD|2 = 502 - 302 = 402 ve |AD|= 40 elde edilir.

Çemberin yarıçapı r ise, |OA| = |OB| = r ve |OD| = 40 - r olur.

ODB dik üçgeninde; r2 = |OD|2 + |DB|2 ve r2 = (40 – r)2 + 302 buradan

r2 = 402 – 80r + r2 + 302, 80r = 2500 ve r = 31.2510 = 31;1560 bulunur.

2500:80=?


2500x1/80=

2500:80=31 kalan 20

20X60=1200

1200:80=15

Cevap: 31; 15


TEL DİBAİ TABLETİ

Bu tablette, alanı 0;45 ve köşegeni 1;15 olan dörtgenin kenar uzunlukları sorulmaktadır.

Tell Dhibayi Tablet

Alan 0;45

Köşegen 1;15

Bu sorunun çözümünü, günümüz notasyonları x ve y kullanarak, fakat aynen tablette gösterildiği gibi ve 60 tabanına göre elde edelim:

2xy = 1;30 eder, bunu (alan=2.(x.y/2)=0;45)

x2 + y2 = 1;33,45 ten çıkar

x2 + y2 - 2xy = 0;3,45 elde et

Karekök al ve x - y = 0;15 bul

İkiye böl (x - y)/2 = 0;7,30 olur

x2 + y2 - 2xy = 0;3,45 ‘i, 4’e böl

Böylece x2/4 + y2/4 –xy/2 = 0;0,56,15 olur


DOĞRUSAL DENKLEMLER

Doğrusal denklem çözümlerini nasıl gerçekleştirdiklerini görmek için, yazıcının yazdığı şekli hiç değiştirmeden, bir örnek inceleyelim:

Yazıcı soruyu şöyle ifade ediyor:

Bir torbadaki arpanın 2/3’ünün 2/3’ü alınıyor.

Buna 100 birim arpa ekleniyor ve torbadaki kadar arpa elde ediliyor.

Torbadaki arpanın miktarı ne kadardır?

Yazıcının çözümü aynen aşağıda gösterildiği gibidir.

0;40 ile 0;40’ı çarp ve 0;26,40’ı elde et

Bundan 1;00 çıkar ve 0;33,20’yi bul

Kesirler tablosuna bak ve 1/0;33,20’ nin değerini 1;48 olarak bul

1;48’i 1;40 ile çarp ve cevabı 3,0 olarak bul.


DOĞRUSAL DENKLEMLER

Şimdi, aynı soruyu günümüzün modern cebir yöntemlerini kullanarak çözelim; Verilen soruda aşağıdaki denklemin çözümü soruluyor

2 2100

3 3x x

41 100

9x

Bu denklem, yeniden düzenlenirse;

olur ve mezopotamyalı yazıcının da bunun farkında olduğu anlaşılıyor. Sorunun cevabı

1100 180

1 4 9x olarak elde edilir

Yazıcının çözümü: 3,0; = 3X60 + 0 = 180 olduğu gözlemlenir...


İKİNCİ DERECE DENKLEMLER Babilliler, x2 + bx = c ve x2 - bx = c olmak üzere iki çeşit ikinci derece denklemlerini çözmeyi biliyorlardı.

xy c

y x b

3. Daha sonra bu sistemi çözmek için şöyle bir yöntem uygulanıyordu:

Bu denklemlerde b ve c tam sayı olmak zorunda olmayan pozitif iki sayı

Bu denklemlerin çözümü için standart bir formül uygulanıyordu. Buna göre;

1. Önce, x2 + bx = c denklemi x (x + b ) = c şeklinde yazılıyor

2. Sonra, y = x + b yazılarak aşağıdaki denklem sistemi elde ediliyordu

2 2

2 2

2

2

2

4 4

4

4

2 4

4

2

xy y x b c

y x b c

x y b c

x b b c

b b cx


BİRİNCİ DERECE DENKLEM SİSTEMLERİ

Babilliler birinci derece, 2X2 denklem sistemlerini, algoritma kullanan bir yöntem ile çözmeyi başarıyorlardı.

Bu denklemi çözmek için;

* 900xböylece; bulunur;

* *x y seçilerek,

* * 2 * 1800x y x elde edilir

Daha sonra;

*x x d ve

*y y d kullanılarak

denklem sistemini dikkate alalım;

2 1500

3 2

1800

x y

x y2 1

900 900 5003 2

2 1 1800 900 500

3 2 3 2

7 500 150

6

300

d d

d

d

d

1200x ve 600y bulunur;


Mısır-Mezopotamya dönemi matematiğinde teorem, formül ve ispat

yoktur. Bulgular emprik veya deneysel; işlemler sayısaldır. Bunun böyle olması kaçınılmazdır çünkü o dönemde matematik, simgesel olarak değil, sözel olarak ifade ediliyordu. Sözel ve sayısal matematikde ( geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaksız olmasa bile, kolay değildi.

Bu dönemin matematiği zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik “matematik için matematik “ anlayışıyla değil, günlük hayatın ihtiyaçları için, yani “halk için matematik “ anlayışıyla yapılmaktadır


Pers istilası birinci dönem Mısır-Mezopotamya

matematiğinin son bulduğu ve ikinci dönem olan Yunan matematiği döneminin başladığı olay olarak biliniyor.

Kaynaklar


1. Burton, `The History of Mathematics`, 6th Ed., McGraw Hill

2. Ali Ülger, Matematik Dünyası

Documents

Bölme işlemi her zaman basit gerçekleştirilemiyordubrahms.emu.edu.tr/ersin/documents/mate 417/MATE 417-Ders-2.pdf · 1.Hiçbiri de 1000’den büyük olmayan, küçük paydalar