PROBLEMAS

ACADEMIA INGENIERA 2000

Magnitudes fsicas y el sistema internacional

Las propiedades que caracterizan a los cuerpos o a los fenmenos naturales y que se pueden medir reciben el nombre de Magnitudes Fsicas. As por ejemplo tenemos la longitud, la masa, la velocidad, la temperatura, etc. Mientras que otras propiedades como el color, el sabor, la bondad, la belleza no son magnitudes fsicas, ya que no se pueden medir.

Entre las magnitudes fsicas hay algunas que son independientes de las dems y se denominan "Magnitudes fundamentales" como la masa, la longitud, el tiempo, etc. As como tambin existen magnitudes fsicas, que dependen de las fundamentales para ser expresadas, las cuales se denominan "Magnitudes derivadas, este es el caso de la velocidad, que se define mediante una relacin entre la longitud y el tiempo.

EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) es un conjunto de unidades de magnitudes fundamentales a partir del cual se debe expresar cualquier unidad de una magnitud derivada. Este fue un acuerdo comn tomado por la mayor parte del mundo el 14 de octubre de 1960 en Francia.

Magnitudes Fundamentales

NombreDimensinUnidad BsicaSmbolo

LongitudLMetroM

MasaMKilogramoKg

TiempoTSegundos

Temperatura termodinmica(KelvinK

Intensidad de corriente elctricaIAmpere

A

Intensidad luminosaJCandela

Cd

Cantidad de sustancia

Nmolmol

Magnitudes Auxiliares

NombreUnidad BsicaSmbolo

Angulo planoRadinrad

Angulo slidoEstereoradinsr

Principio de Homogeneidad Dimensional

En toda igualdad matemtica o frmula fsica que expresa la relacin entre las diferentes magnitudes fsicas, las dimensiones en el primer miembro y segundo miembro, deben ser iguales.

Sea la frmula fsica:

A = B2 ( [A] = [B2]

A = B2 + C ( [A] = [B2] = [C]

Ejemplo:

Analicemos la frmula para determinar el espacio recorrido por un mvil, en la lnea recta, con velocidad constante.

d = v . t

d: distancia en metros.

v: velocidad constante en m/s.

t: tiempo empleado en segundos.

( [d] = [v.t] = [longitud] = L

REGLAS DIMENSIONALES

1. Si el valor numrico de la magnitud X es igual al producto (cociente) de los valores numricos de las magnitudes A y B, entonces la dimensin de X ser igual al producto (cociente) de las dimensiones A y B

Si: X =A.B ( [X] = [A] . [B]

Si: X = ( [X] = [A] . [B]12. Si el valor numrico de la magnitud X es igual a la potencia m del valor numrico de la magnitud A, entonces la dimensin de X es igual a la potencia n/m de la dimensin de A.

Si: X = An/m ( [X] = [A]n/mSi: X = An ( [X] = [A]n ; Si: X = A1/m ( [X] =[A]1/m

3. Si el valor numrico de la magnitud X es un coeficiente constante (nmero; ngulo en radianes; funcin trigonomtrica, funcin logartmica;......etc) que es independiente de la dimensin de las magnitudes (unidades) fundamentales, entonces la dimensin de X es nula, y X es denominada adimensional.

Si: X = nmero ( [X] = 1

Si: X = Sen( ( [X] = 1

Si: X = LogN ( [X] = 1

Si: X = constante numrica (adimensional)

FINES Y OBJETIVOS DEL ANLISIS ADIMENSIONAL

1. Expresar las magnitudes derivadas en funcin de las magnitudes fundamentales.

2. Comprobar la veracidad de las frmulas fsicas mediante el principio de homogeneidad dimensional.

3. Determinar frmulas fsicas empricas a partir de datos experimentales en el laboratorio.

MagnitudEcuacinFrmula Adicional

AreaLargo x AnchoL2

VolumenArea x AlturaL3

DensidadM.L3

CaudalL3.T1

Velocidad LinealL.T1

MagnitudEcuacinFrmula Adicional

Aceleracin LinealL.T-2

FuerzaMasa x AceleracinM.L.T-2

ImpulsoFuerza x TiempoM.L.T-1

Cantidad de MovimientoMasa x VelocidadM.L.T-1

TrabajoFuerza x Desplazamiento M.L2.T-2

EnergaMasa x (Velocidad)2M.L2T2

PotenciaM.L2.T3

PresinM.L1T2

Velocidad AngularT1

Aceleracin angularL.T2

Capacidad calorfica

Calor especficoL2.T-2.(-1

MAS FRMULAS

1) Desplazamiento lineal ( L

2) Desplazamiento Angular(1

3) Frecuencia(T14) Energa Cintica(M.L2.T25) E. Potencial gravitatoria(M.L2:T26) Cte. Universal de Gases(

7) Carga Elctrica(I.T

8) Peso especfico( M.L2.T2EJERCICIOS

Complete la siguiente tabla en el Sistema Internacional (S.I.)

[A][B][A.B]

1L3.M2L2.M3

2L3.T2L3T2

3L.M4.TL.M3.T2

4(2.T(.T3

5T3.I2T.I3

6(3.L3(2.L

7N4.J3.TN.J2.T

PROBLEMAS

01.- Sabiendo que la siguiente expresin es dimensional mente correcta

hallar [X]

Datos:

C : velocidad

P : presin

D : densidad

d :dimetro

a) Lb) c) d) e)

02.- Para determinar la energa cintica de una molcula de gas monoatmico ideal se usa :

Donde :

T: temperatura

K :constante de boltzman

Hallar [ K]

a) 1 b)

c)

d) e)

03.- La frecuencia de un pndulo esta dado por :

Donde:

m : masa

h : altura

g : aceleracin

Determinar las dimensiones de A

a) ML b) c) d) e)

04.- Si se cumple que:

Donde: P: presin V : volumen

( =

Determinar las dimensiones de A

a) b) c) d)

e)

05.- Encontrar la frmula dimensional de "F":

F =

a) LT-1b) L2Tc) LT-2 d) L-1T

e) L-2T

06.- Calcular la frmula dimensional de J

J = 86.F.t2

Donde:

F: fuerza

t: tiempo

a) ML-1b) MLc) ML-2 d) M-1Le) M-1L207.- En la ecuacin obtener: (()

Donde:

P: presin

D: densidadt: tiempoa)

b)

c)

d)

e) NA08.- De la ecuacin: Cul ser [x]?

x =

E: energa; F: fuerza

e: nmero ; t: tiempo

09.- En la ecuacin correcta, Qu magnitud representa x?

W =

W: trabajo ; P: periodo ; v: velocidad

m: masa ; c: frecuencia

a) Presinb) Trabajoc) Densidad d) Aceleracin e) NA

10.- Calcular la frmula dimensional de a :

a = V: velocidad ; R: radio

a) LT-1b) LTC) LT-2 d) L-1T e) L-2T

11.- Dada la expresin dimensionalmente correcta:

F = donde:

F: fuerza ; : masa/(tiempo)2 ; v: velocidad

t: tiempo

12.- Hallar [ ( ]:

( = A: aceleracin ; V: velocidad

a) Tb) Lc) T-1 d) L-1

e) LT

13.- Encontrar las dimensiones de "B" en la ecuacin:

B =

a) MLb) M-1Lc) ML-1d) MLT-1e) MLT

14.- Si la ecuacin es dimensionalmente correcta, hallar los valores de x e y.

Tg A(h1 - h2) = Log(P1 P2)x

Donde:

h1 , h2 , h3 , = alturas

p1 , p2 = presiones

a) 0 y 1 b) -1 y 1 c) 0 y 0 d) -2 y 2 e) 1/2 y -1/2

15.- Cul debe ser las dimensiones de A para que la expresin sea dimensionalmente correcta, si:

I: impulsoF: fuerzat: tiempo

g: aceleracinVo: velocidad

I =

a) MT b) M2 c) M d) MT-1 e) N.A.

16.- Dada la expresin:

Fx + 2mb = (Tg30o) Rt- 2 + Ln(cZ)

Dimensionalmente correcta,

Donde:

x: longitudm: masaf: fuerzac: velocidad

t: tiempo

Hallar las dimensiones del producto [b.R.z]

a) M2L3T-1 b) M2LT-1 c) ML3T-2 d) ML2T-2 e) ML3T-117.- Dada la expresin:

dimensionalmente correcta, donde:

F: fuerza

A: superficie

a: aceleracin

w: velocidad angular

p: presin

v: velocidad

Hallar la dimensin de x

a) L2 b) LT-3 c) L2T-3 d) T-3 e) LT-2

18.- En la siguiente expresin: d = donde d es el dimetro del ncleo de los tornillos usados en calderas de vapor, f es fuerza. Hallar las dimensiones de A y B

a) L y MLT

b) M1/2L1/2T y L2c) M-1/2L1/2T y L

d) M1/2L1/2T-1 y L

e) M1/2L1/2T y L1/219.- Hallar el periodo de un pndulo simple en funcin de su peso, masa del cuerpo que oscila y la longitud de la cuerda.

(K=constante).

a) b) c) d) e)

Departamento de Publicaciones

VECTOR

Es un ente matemtico que grficamente se representa por un segmento de recta orientado.

La fsica utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales

En general un vector se representa de la siguiente forma:

A = Mdulo del vector

( = Direccin del vector

OPERACIONES VECTORIALES

I. SUMA DE VECTORES O COMPOSICIN VECTORIAL

Es una operacin que tiene por finalidad hallar un nico vector denominado vector resultante (), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

Ejemplos:

Sean y vectores (

Sean ; y vectores (

II. RESTA DE VECTORES

Es una operacin que tiene por finalidad hallar un nico vector denominado vector diferencia (), el cual es igual a la resta de vectores.

Ejemplo:

Sean y vectores ( = -

MTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

A. MTODO DEL PARALELOGRAMO

Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tiene un mismo punto de origen.

Grficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepcin de las paralelas.

Vector resultante:

Mdulo de R:CASOS PARTICULARESA. Si ( = 0 (A((B)

( Se obtiene el mximo valor del mdulo de la resultante

R = A + B = Rmx

B. Si ( = 180 (A((B)

( Se obtiene el menor valor posible de la resultante

R = A B = Rmin

CONCLUSIN

Rmin ( R ( Rmax

( Si forma un cierto ngulo con

Rmin < R < Rmax

C. Si ( = 90 (A ( B)

( Se obtiene aplicando el teorema de Pitgoras

R =

PROPIEDADCuando los dos vectores A y B son iguales en mdulo

R = x

A. Si ( = 60

R = x

B. Si ( = 120

R = x

COMENTARIOS:

A. Si ( = 120 F F

FR = 0

NOTA IMPORTANTE:

D =

B. MTODO DEL POLGONO

Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares.

Es un mtodo grfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuacin del otro manteniendo sus caractersticas. El vector resultante () se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del ltimo vector.

Ejemplo: Sean ; y vectores

Construimos el polgono vectorial:

NOTA:

Se llama polgono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo.

C. MTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre s:

Se cumple que:Ax = ACos(

Ay = ASen(

El mtodo de los componentes rectangulares permite calcular el mdulo y la direccin de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir:

1Se halla las componente rectangulares.

2Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx; Ry)

3Se calcular el mdulo de la resultante aplicando Pitgoras y su direccin aplicando la funcin tangente.

R =

Tg( =

Si la direccin de es 0

( =

Si la direccin de es 90

( =

Si la = ( = =

Problemas Resueltos

01.- Determinar el mdulo y direccin del vector :

Si: = +++++

A partir del polgono vectorial mostrado donde los mdulos de los vectores y son iguales a 30 y 45 unidades

Solucin:

Buscaremos que reducir la expresin de , a partir del polgono. (Usamos el mtodo del polgono)

( Del tringulo rectngulo se observa que: =+

( Del polgono inferior tenemos que: =++

Reemplazando en: = +++++

= 2+ .... (I)

Donde:

(

02.- En el grfico mostrado, hallar el valor de A para que el vector resultante de los tres indicados est sobre el eje horizontal (eje x)

Solucin:

De la condicin del problema:

Ry = (Vy = 0

ASen60 + ASen45 10 = 0

A + A = 10

( A = 4 Respuesta

03.- Hallar x en funcin de y . M es punto medio del segmento

Solucin:

Del (JMK: ...... (1) Del (KMH: ...... (2)

Pero: MN = JM

Restando: (1) (2) :

(

04.- Un vector horizontal forma 143 con otro vector de 15 unidades. Determinar el mdulo de dicho vector de tal manera que la resultante sea mnima.

Solucin:

Segn datos, construimos:

Del (, aplicando Ley de Senos:

(

( R = ( R = RMINIMO , si Sen( es mximo

( Sen( = 1 ( ( = 90

Luego: RMINIMO = 9 unidades

En el tringulo formado: ( = 90 ( ( = 53

Como: ( A = 12 unidades

PROBLEMAS

01.- Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

( ) Si un polgono vectorial es cerrado, la resultante es nula.

( ) Es imposible que una componente sea mayor que el vector original.

( ) Si:

a) VVF b) VFF c) VVV d) VFV e) FFF

02.- Segn los vectores mostrados, todos de igual mdulo 1 u, identifique la veracidad (v) o falsedad (f) de las proposiciones:

I. Todos los vectores son iguales.

II. Hay 8 vectores iguales.

III. El mdulo de la resultante vale

a) FFF b) FVF c) VFF d) FVV e) VFV

03.- Analice el siguiente grfico de vectores y seale la alternativa correcta:I. Si: =

EMBED Equation.DSMT4 II. Si:

I. Si:

a) FVV b) VVV c) VVF d) FVF e) FFF04.- El vector resultante del sistema es

Hallar el vector .

a) 3i + 4j

b) 5i 8jc) 3i 7jd) 3i 9j

e) 4i 11j

05.- Hallar el mdulo de la resultante de los dos vectores mostrados, si M es punto medio.

a) 7

b) 14

c) 21

d) 35

e) 16

06.- Encontrar la direccin del vector resultante del sistema mostrado.

a) 30o

b) 37o

c) 45o

d) 53o

e) 60o07.- Hallar el mdulo de la resultante.

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

e) 50

08.- Calcular el mdulo de la resultante.

a)

b)

c)

d)

e) 09.- Hallar el mdulo de la resultante, sabiendo que es vertical.

a) 2

b) 8

c)

d) 6

e) 10

10.- Si la resultante tienen un mdulo de 50 y es horizontal dirigindose hacia la izquierda. Cul es mdulo del vector ?

a) 5

b)

c) 12

d)

e) N.A.

11.- Calcular , para que la resultante sea vertical.

A = 6 y B = 8

a) 37o

b) 53o

c) 30o

d) 60o

e) 45o12.- En el sistema mostrado, hallar: sabiendo que: , y .

a)

b)

c)

d)

e)

13.- Hallar en funcin de . (AB = BC = CD)

a)

b)

c)

d)

e)

14.- Hallar en funcin de

a) -

b)

c) -

d)

e) -

15.- Determinar el mdulo de la resultante del siguiente sistema de vectores, si: = 10 , = 2

a) 3

b) 6

c) 5

d) 8

e) 7

16.- Hallar el mdulo de la resultante si: M, N, O son puntos medios:

a) 4cm

b) 5

c) 10

d) 20

e) 8

17.- Hallar el vector en funcin de A y B

a)

b)

c)

d) e)

18.- Si en el sistema mostrado se cumple:

siendo G baricentro del tringulo. Hallar el valor de:

a) 6

b) 3

c) 1/3

d) 2/3

e) 1/6

19.- Determine la resultante de los vectores.

a) 6

b) 14

c) 10

d) 16

e) 2

20.- En el siguiente grfico de vectores, determine la resultante de los vectores.

a) b) 5 c) 10 d) 8 e) 15

21.- Determine el mdulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 16 b) 4 c) 14 d) 7 e) 0

22.- En el cubo de arista L determine la resultante, si 0 es el centro de la base.

a)

b) 3L

c)

d) 2L

e) 4L

23.- Determinar el mdulo de la resultante.

a) 50 b) 30 c) 40 d) 70 e) 10

Concepto

Es un rama de la Fsica, que tiene la finalidad de analizar las condiciones que deben reunir un grupo de fuerzas actuantes sobre un cuerpo o sistema con al condicin de mantenerlo en equilibrio.

Si vemos un cuerpo en reposo u otro desplazndose con movimiento rectilneo uniforme, estamos frente a fenmenos aparentemente distintos, pero en el fondo obedecen a las mismas leyes, pues ocurre que en Fsica ambas situaciones corresponden a un mismo estado, llamado equilibrio mecnico. El estudio de las leyes y condiciones que deben cumplir los cuerpos para encontrarse en dicho estado lo realiza aquella rama de la Mecnica llamada Esttica, ciencia que data de la poca de los egipcios y babilonios y que hoy ha dado lugar a la creacin de varias ramas de la Ingeniera: Civil, Mecnica, Minera, ....., etc.

FUERZA

Toda vez que dos cuerpos interactan entre s surge entre ellos una magnitud, que adems de valor tiene direccin, sentido y punto de aplicacin, llamada fuerza. Es esta magnitud que hace que los cuerpos estn en equilibrio, que cambien la direccin de su movimiento, o que se deformen. En general asociamos la fuerza con los efectos de: sostener, estirar, comprimir, jalar, empujar, tensar, atraer, repeler,...etc.

Unidades: F : ; Dinas, Newtons, poundals

FUERZAS ESPECIALES

A.- Peso (W)Llamamos as a la fuerza con que la Tierra atrae a todo cuerpo que se encuentre en su cercana. Es directamente proporcional con la masa de los cuerpos y con la gravedad local. Se le representa por un vector vertical y dirigido hacia el centro de la tierra.

B.- Normal (N)

Se le llama tambin fuerza de contacto, viene a ser la resultante de las infinitas fuerzas electromagnticas que se generan entre las superficie de dos cuerpos cuando estas se acercan a distancias relativamente pequeas, predominando las fuerzas repulsivas. La lnea de accin de la normal es siempre perpendicular a las superficies de contacto.

C.- Tensin (T)Esta es la fuerza electromagntica resultante que se genera en el interior de una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas externas que actan en los extremos de aquellos. En estas fuerzas predominan los efectos atractivos

Fuerzas de Accin y Reaccin

Son aquellas fuerzas de origen electromagntico y/o gravitacionales que se manifiestan cuando los cuerpos estn en contacto fsico o cuando estn separados.

Las caractersticas de estas fuerzas las encontramos en la:

Tercera Ley de Newton

Establece que a toda fuerza de accin le corresponde una fuerza de reaccin de igual mdulo y direccin, pero de sentido opuesto.

Caractersticas:

Las fuerzas de accin y reaccin siempre actan en cuerpos diferentes, para ser graficadas requieren de una separacin imaginaria de los cuerpos, si estos estn en contacto.

La direccin de las fuerzas de accin y reaccin dependen de la calidad de las superficies en contacto. Si las superficies son lisas sern perpendiculares a los apoyos de lo contrario no sern perpendiculares a los contactos.

Fuerza de Rozamiento o Friccin

Es aquella fuerza de origen electromagntico que se manifiesta cuando un cuerpo trata de moverse o se mueve a travs de una superficie rugosa, oponindose a su deslizamiento o traslacin.

La fuerza de rozamiento se grafica tangencialmente a las superficies en contacto con un sentido opuesto al movimiento o posible movimiento que intente realizar el cuerpo. El modulo de la fuerza de rozamiento es independiente del tamao de las superficies en contacto, pero es proporcional a la reaccin normal.

De la figura, la reaccin neta es R

Pero descomponiendo, tenemos Rxy Ry haciendo:

Rx = f : fuerza de rozamiento (roza la superficie)

Ry = N : fuerza normal (perpendicular a la superficie)

( : ngulo de desviacin por rugosidad de la superficie:

Tg( = = : coeficiente de friccin (adimensional)

Luego: f = (.NObsrvese que como ( = Tg( , puede ser mayor que la unidad; pero por lo general se trabaja con valores menores a uno ( (